Anpec estatistica prova_resolvida06

EXAME NACIONAL DE SELEÇÃO 2006

PROVA DE ESTATÍSTICA

Resolvida pela equipe da Central de Ensino para Graduados LTDA

Fone: 11 3063-4019

1o Dia: 05/10/2005 - QUARTA FEIRA HORÁRIO: 10h30 às 12h 45 (horário de Brasília)

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1o Dia: 05/10 (Quarta-feira) – Manhã: 10:30h às 12h 45 - ESTATÍSTICA

Instruções 1. Este CADERNO é constituído de quinze questões objetivas. 2. Caso o CADERNO esteja incompleto ou tenha qualquer defeito, o(a) candidato(a) deverá

solicitar ao fiscal de sala mais próximo que o substitua. 3. Nas questões do tipo A, recomenda-se não marcar ao acaso: cada item cuja resposta divirja

do gabarito oficial acarretará a perda de n1

ponto, em que n é o número de itens da questão a

que pertença o item, conforme consta no Manual do Candidato. 4. Durante as provas, o(a) candidato(a) não deverá levantar-se ou comunicar-se com outros(as)

candidatos(as). 5. A duração da prova é de duas horas e quinze minutos, já incluído o tempo destinado à

identificação – que será feita no decorrer das provas – e ao preenchimento da FOLHA DE RESPOSTAS.

6. Durante a realização das provas não é permitida a utilização de calculadora ou qualquer

material de consulta. 7. A desobediência a qualquer uma das recomendações constantes nas presentes Instruções,

na FOLHA DE RASCUNHO e na FOLHA DE RESPOSTAS poderá implicar a anulação das provas do(a) candidato(a).

8. A saída de candidatos com o Caderno de Provas, só será permitida, após haver

transcorrido 1 hora e 15 minutos do início da prova. 9. As folhas de rascunho não podem ser destacadas do caderno de prova. AGENDA • 13/10/2005 – A partir das 20h, divulgação dos gabaritos das provas objetivas, nos endereços:

http://www.unb.br/face/eco/anpec2006 e http://www.anpec.org.br • 14 a 15/10/2005 – Recursos identificados pelo autor serão aceitos a partir do dia 14 até às 20h

do dia 15/10 do corrente ano. Não serão aceitos recursos fora do padrão apresentado no manual do candidato.

• 17/11/2005 – Entrega do resultado da parte objetiva do Exame aos Centros. • 18/11/2005 – Divulgação do resultado pela Internet, nos sites acima citados.

OBSERVAÇÕES: • Em nenhuma hipótese a ANPEC informará resultado por telefone. • É proibida a reprodução total ou parcial deste material, por qualquer meio ou processo, sem

autorização expressa da ANPEC.


http://www.unb.br/face/eco/anpec2006

http://www.anpec.org.br


Exame Nacional ANPEC 2006: 1° Dia ESTATÍSTICA 1/10 Central de Ensino para Graduados LTDA – http://www.centraldeensino.com.br


1o Dia: 05/10 (Quarta-feira) – Manhã: 10:30h às 12h 45 - ESTATÍSTICA

• Nas questões de 1 a 11, marque, de acordo com o comando de cada uma delas: itens

VERDADEIROS na coluna V; itens FALSOS na coluna F. • Nas questões 12 a 15, marque, de acordo com o comando: o algarismo das DEZENAS na

coluna D; o algarismo das UNIDADES na coluna U. O algarismo das DEZENAS deve ser obrigatoriamente marcado, mesmo que seja igual a ZERO.

• Use a FOLHA DE RASCUNHO para as devidas marcações e, posteriormente, a FOLHA DE RESPOSTAS.

QUESTÃO 01 Com relação a números índices, são corretas as afirmativas: Ⓞ O cálculo do índice de preços de Laspeyres requer que preços e quantidades para todos os

períodos sejam apurados conjuntamente. Solução: Falsa, pois, o índice de preços de Laspeyres requer os preços em todos os períodos e

somente a quantidade do período base. ① O cálculo do índice de quantidades de Paasche requer que somente os preços ou as quantidades

sejam apurados em todos os períodos. Solução: Falsa, pois, o índice de quantidades de Paasche requer as quantidades em todos os

períodos e somente o preço do período atual. ② O índice de preços de Paasche compara o custo de uma cesta de produtos do período atual,

avaliada a preços correntes, com o custo da mesma cesta avaliada a preços do período base. Solução: Verdadeira, pois é a definição do índice de preços de Paasche. ③ O índice de preços de Fischer atende o critério de reversão no tempo. Solução: Verdadeira, pois, o índice de Fischer é definido como:

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

⋅

⋅×

⋅

⋅= n

i

tii

n

i

ti

ti

n

iii

n

ii

ti

Pt

qp

qp

qp

qpF

1

0

1

1

00

1

0

0|

o critério de reversão no tempo é 1|00| =× Pt

Pt FF , logo temos:

1

1

0

1

00

1

1

0

1

0

1

1

00

1

0

|00| =⋅

⋅×

⋅

⋅×

⋅

⋅×

⋅

⋅=×

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

=n

ii

ti

n

iii

n

i

ti

ti

n

i

tii

n

i

tii

n

i

ti

ti

n

iii

n

ii

ti

Pt

Pt

qp

qp

qp

qp

qp

qp

qp

qpFF .

Portanto, o índice de preços de Fischer satisfaz o critério de reversão no tempo.


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④ Sendo negativa a correlação entre preços relativos e quantidades relativas, o índice de preços de Laspeyres é maior que o índice de preços de Paasche.

Solução: Verdadeiro, pois, a definições dos índices de preços de Laspeyres e Paasche:

∑

∑

=

=

⋅

⋅

n

iii

n

ii

ti

Pt

qp

qpL

1

00

1

0

0| e ∑

∑

=

=

⋅

⋅= n

i

tii

n

i

ti

ti

Pt

qp

qpP

1

0

10| .

Seja [ ] ),cov(1

0|0|0| YXLLP Qt

Pt

Pt ×=−=

−δ , onde a cov(X,Y) é a covariâncias dos preços relativos com

as quantidades relativas. Onde, Q

tL 0| é o índice da quantidade de Laspeyres que é sempre positivo, logo δ depende somente da covariâncias entre os preços relativos e as quantidades relativas. Como a covariância é negativa temos que

[ ] Pt

Pt

Qt

Pt

Pt PLYXLLP 0|0|

10|0|0| 0),cov( >⇒<×=−=

−δ . Referência para o exercício: Estatística e Introdução à econometria, Alexandre Sartoris.

QUESTÃO 02 São corretas as afirmativas: Ⓞ Seja Y uma variável aleatória com distribuição Binomial com parâmetros n e p, em que

10 ≤≤ p . Então, sendo n grande e p pequeno, a distribuição de Y aproxima-se de uma Poisson cuja média é np.

Solução: Verdadeiro. Sejam ),(~ pnBinomialY e pn ⋅=λ . Então

i

ni

i

iniini

nn

ininnn

nniinnpp

iinniYP

)1()1(

!)1()1(1

!)!(!)1(

!)!(!)(

λλλλλ

−−

××+−⋅⋅−

=

−

−=−

−==

−− L

Agora, para n grande e λ moderado (p pequeno) temos:

λλ −≈− en n)1( , 1)1()1(≈

+−⋅⋅−in

innn L e 1)1( ≈− inλ

assim, !

)(i

eiYPiλλ−

≈= .Portanto, )(~ npPoissonY =λ .

① Se Y é uma variável aleatória Normal com média 0 e variância 1; se X segue uma Qui-quadrado

com r graus de liberdade; e se Y são X independentes, então rXYZ = segue uma distribuição

t com r graus de liberdade. Solução: Verdadeira, pois, r

XYZ = segue uma distribuição t com r graus de liberdade, ver a

demonstração no livro, Introduction to the Theory of Statistics, Alexandre M. Mood. ② Sejam X e Y variáveis aleatórias distribuídas segundo uma Normal bivariada. Suponha que

E(X) = µX, E(Y) = µY, 2)( XXVar σ= , 2)( YYVar σ= e que a correlação entre X e Y seja ρXY. Então,





Z = aX + bY, em que a e b são constantes diferentes de 0, segue uma distribuição Normal com média aµX + bµY + abµX µY e variância a2σX

2 + b2σY2 + 2abρXY

Solução: Falsa, pois, vamos calcular a media de Z: Propried. e YX baYbEXaEbYaXEZE µµ +=+=+= )()()()( que é diferente da média dada no

exercício. ③ Sejam Y e X variáveis aleatórias com distribuições Qui-quadrado com p e q graus de liberdade,

respectivamente. Portanto,

= q

Xp

YZ segue uma distribuição F com p e q graus de

liberdade.

Solução: Verdadeira,

= q

Xp

YZ segue uma distribuição F com p e q graus de libredade, ver

a demonstração no livro, Introduction to the Theory of Statistics, Alexandre M. Mood, pagina 246.

④ Sejam X e Y variáveis aleatórias conjuntamente distribuídas segundo uma Normal bivariada. Suponha que E(X) = µX, E(Y) = µY, 2)( XXVar σ= , 2)( YYVar σ= e que a correlação entre X e Y seja ρXY. Então, E(Y|X) = µY + ρXY (x – µX).

Solução: Falsa, pois,

−−−

−−

−=

2

222| )()1(2

1exp12

1)|( XX

YY

YY

XY xyxyf µσρσ

µρσρσπ

que é a função densidade de Y|X e tem distribuição Normal com )()|( XX

YY xXYE µ

σσ

ρµ −+= .

QUESTÃO 03 Julgue as afirmativas. Em uma função densidade de probabilidade conjunta f(x,y), para as variáveis aleatórias contínuas X e Y:

Ⓞ A função densidade de probabilidade marginal de X é: y

yxfxf∂

∂=

),()( .

Solução: Falsa, pois, a definição de ∫∞

∞−

= dyyxfXf ),()( (ver qualquer livro intermediário de

Probabilidade). ① Se F(y) é a função distribuição de probabilidade marginal de Y, então f(y) = dF(y)/dy, para F(y)

derivável em todo o y. Solução: Verdadeira, pois, f(y) = dF(y)/dy é a definição da funcao de distribuição marginal de Y. ② X e Y serão independentes se f(x) = f(x | y). Solução: Verdadeira, pois, a definição de independência nos diz que: X é independente de Y )()|( xfyxf =⇔ ou )()(),( yfxfyxf = .





③ EX[E(Y | x ) ] = E[Y] Solução:Verdadeira, pois,

)()(

),()()(),()()|()()|()]|([

YEdyyfy

dxdyyxfydxdyxfxfyxfydxxfdyxyyfdxxfxYExYEEX

==

=⋅=

==

∫

∫ ∫∫∫∫ ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

④ Se X e Y são independentes, VY[E(X | y ) ] = V[X], Solução: Falsa, pois, 0)]([)]|([ == XEVyXEV YY .

QUESTÃO 04 Com relação a testes de hipóteses, julgue as afirmativas: Ⓞ Em um teste de hipóteses, comete-se um erro do tipo I quando se rejeita uma hipótese nula

verdadeira. Solução: Verdadeira, pois, o erro tipo I é definido como:

)|( verdadeiraHHrejeitarP oo=α . ① O poder de um teste de hipóteses é medido pela probabilidade de se cometer o erro tipo II. Solução: Falsa, pois, o poder de um teste de hipóteses é definido como β−1 , onde β é a

probabilidade de cometer o erro tipo II. ② A soma das probabilidades dos erros tipo I e tipo II é igual a 1. Solução: Falsa, pois, os erros tipo I e tipo II não são probabilidades complementares, logo a soma

dos dois pode dar diferente de 1. ③ Quanto maior for o nível de significância de um teste de hipóteses maior será o valor-p a ele

associado. Solução: Falsa, pois, )|( verdadeiraHxXPpvalor oobs>=− , e não tem nenhuma relação com o

tamanho do nível de significância. ④ Se o valor-p de um teste de hipóteses for igual 0,015, a hipótese nula será rejeitada a 5%, mas

não a 1%. Solução: Verdadeira, pois, para 5% o valor-p=0,015<0,05 e, portanto rejeita a hipótese nula, já para

1% o valor-p>0,01 e, portanto aceita a hipótese nula.

QUESTÃO 05 São corretas as afirmativas: Ⓞ O teorema de Tchebychev é útil para se calcular o limite inferior para a probabilidade de uma

variável aleatória com distribuição desconhecida quando se tem apenas a variância da população.

Solução: Falsa, pois, o teorema de Tchebychev nos diz que: Se X é uma variável aleatória com média finita e variância 2σ , então para qualquer valor 0>k





{ } 2

2

||k

kXP σµ ≤≥− ,

e não um limite inferior para a probabilidade. ① Um estimador não-tendencioso pode não ser consistente. Solução:Verdadeiro, pois, para um estimador θ̂ ser consistente ele etem que satisfazer

θθ =∞→

)ˆ(lim En

e 0)ˆ(lim =∞→

θVarn

já um estimador não-tendencioso satisfaz θθ =)ˆ(E e não sabemos nada sobre a )ˆ(θVar . Logo o estimador pode não ser consistente.

② Um estimador consistente pode não ser eficiente. Solução: Verdadeiro, pois, seja X=1µ̂ e ),,(ˆ 12 nXXmediana L=µ dois estimadores para a

média, que são consistente, mais 1µ̂ é eficiente e 2µ̂ não é eficiente. Logo temos que 2µ̂ é consistente e não é eficiente.

③ Sejam Y1,...,Yn variáveis aleatórias independentes com média µ e variância finita. Pela Lei dos

Grandes Números, E(m) = µ, em que m = ∑=

n

iiY

n 1

1 .

Solução: Falsa, pois, a Lei dos grande numeros nos diz: Sejam K,, 21 XX uma seqüência de variáveis aleatória independente e identicamente distribuída, tendo média finita. Então com

probabilidade 1, µ∑=

→=++ n

ii

n Xnn

XX1

1 1L quando ∞→n .

Logo, o exercicio é falso, pois, faltou ∞→n . ④ Sejam Y1,...,Yn variáveis aleatórias independentes com média µ e variância finita. Pelo

Teorema do Limite Central, a distribuição da média amostral m converge para uma distribuição Normal.

Solução:Verdadeiro, pois, o Teorema do Limite Central nos diz que: Dada uma variavel aleatoria X, iid, (independente e identicamente distribuida) como média µ e variância 2σ , a média amostral m segue (desde que a amostra seja suficientemente grande) uma distribuição Normal.

QUESTÃO 06 Julgue as afirmativas. A respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla: Ⓞ Se a variância do erro não for constante, as estimativas dos parâmetros serão não-viesadas. Solução: Verdadeiro, pois, para os parâmetros serem não viesados basta que 0)( =εE , ou seja não

depende da variância do erro. ① Se E(ε) ≠ 0, os estimadores de todos os parâmetros, com exceção do intercepto, serão viesados. Solução: Falsa, pois, se 0)( ≠εE todos os estimadores de todos os parâmetros serão viesados sem

exceção do intercepto.





② Se o erro não seguir a distribuição Normal as estimativas por MQO são consistentes. Solução: Falsa, pois, as estimativas por MQO são consistentes se, as propriedades dos erros são

satisfeitas e o QXXnn

=∞→

'1lim onde Q é uma matriz positiva definida.

③ Sob as hipóteses do modelo de regressão clássica, com erros na forma de ruído branco com

distribuição Normal, os estimadores de MQO serão os mais eficientes possíveis. Solução: Verdadeira, pois, as hipóteses do modelo de regressão clássica estão satisfeitas e no livro

Econometrics models, techniques and applications, autor Bodkin, tem um resultado que nos garante que os estimadores de MQO são os mais eficientes possíveis.

④ A presença de colinearidade imperfeita entre as variáveis explicativas gera estimadores

viesados. Solução: Falsa, pois, colinearidade imperfeita entre as variáveis explicativas é uma das hipóteses

básica sobre o modelo de regressão linear múltipla, para gera estimadores não viesados. Bibliografia: Econometrics models, techniques and applications, autor: Bodkin.

QUESTÃO 07 Considere o modelo:

Yt = αZt + βYt-1 + e1t (equação I) Zt = λZt-1 + e2t (equação II)

em que α, β e λ são parâmetros e

. todopara ,00

)(

,00

Normal~ 22212

12211

2

1

tkE

ee

kt

t

tt

≠

=

=

ee

eσσσσ

Suponha também que |λ|<1 e |β|<1. São corretas as afirmativas: Ⓞ A condição |λ|<1 garante a estacionariedade de segunda ordem de Zt. Solução: verdadeira, pois, Zt é um modelo AR(1) e ele só será estacionário se |λ|<1. Ver a demonstração no livro Estatística e introdução a econometria de Alexandre Sartoris. ① O estimador de mínimos quadrados ordinários de λ, na equação II, não é consistente. Solução: Falsa, pois, como vemos o erro et satisfaz as condições do modelo de regressão e com isso

o estimador de mínimos quadrados de λ , na equação dois são consistentes. ② Os estimadores de mínimos quadrados ordinários de α e β, na equação I, só serão consistentes

se σ12 = 1. Solução: Falsa, pois, os estimadores de mínimos quadrados ordinários de α e β, na equação I, só

serão consistentes, se QXXnn

=∞→

'1lim , onde Q é uma matriz positiva definida e

=

ii YZ

YZX MM

11

.





③ Sem nenhuma restrição adicional sobre os parâmetros do modelo, a equação I não satisfaz a condição de ordem para identificação.

Solução: Falsa, pois, na equação I o número de variáveis exógenas é igual ao número de variáveis endógenas. Logo satisfaz a condição de ordem para identificação.

④ Para testar se há endogeneidade na equação I, pode-se usar o teste de Hausman. Solução: Verdadeiro, pois, o teste de Hausman é para testar endogeneidade nas equações. Referencia: Econometrics Analysis, William H. Greene.

QUESTÃO 08 Em um modelo de regressão múltipla, com erros que seguem uma distribuição Normal, identifique se os itens são corretos: Ⓞ Os testes de heterocedasticidade de Breush-Pagan e de White podem ser calculados mediante

regressões auxiliares com os quadrados dos resíduos. Solução: Verdadeiro, pois, os testes de Breush-Pagan e de White utilizam regressões auxiliares nos

quadrados dos resíduos. Referencia: Econometrics Analysis, William H. Greene, pagina 423. ① Caso a forma funcional da heterocedasticidade seja conhecida, mínimos quadrados ponderados,

estimados de modo interativo, serão menos eficientes que o estimador de Máxima Verossimilhança.

Solução: Verdadeiro, no livro Econometrics Analysis, William H. Greene, ele comenta se a forma funcional da heterocedasticidade for conhecida o estimador de Máxima Verossimilhança sera mais eficiente que o de mínimos quadrados ponderados.

② Empiricamente não há como distinguir um modelo de expectativas adaptativas de primeira

ordem de um modelo de ajustamento parcial de primeira ordem. Solução: Falsa. ③ Se houver uma variável dependente defasada entre as variáveis explicativas, o teste apropriado

para a autocorrelação de primeira ordem dos resíduos é o h de Durbin, e não o teste de Breush-Godfrey.

Solução: Falso, pois, o teste de Breush-Godfrey é o apropiado para a autocorrelacao de primeira ordem dos resíduos, ver no livro Econometrics Analysis, William H. Greene.

④ Os métodos de estimação do coeficiente de autocorrelação Cochrane-Orcutt e Durbin são

diferentes em pequenas amostras. Solução: verdadeiro, pois, os métodos de estimação do coeficiente de autocorrelação Cochrane-

Orcutt e Durbin são iguais somente quando as amostras são grandes. Referencia: Econometrics Analysis, William H. Greene.

QUESTÃO 09 O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo, cujo objetivo é explicar as variações de renda entre 526 indivíduos de uma amostra aleatória:

ln(renda) = 0,362+ 0,094 educ + 0,014 exper – 0,178 sexo – 0,010 exper x sexo + u (0,128) (0,008) (0,002) (0,058) (0,002)





R2 = 0,368 n = 526

em que sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for mulher e 0, caso contrário), educ é o número de anos de escolaridade (0 ≤ educ ≤ 17), exper são anos de experiência profissional (0 ≤ exper ≤ 40) e u é a estimativa do erro. Os números entre parênteses são os erros-padrão das estimativas, robustos à heterocedasticidade. Com base nos resultados acima, é correto afirmar: Ⓞ Ao nível de significância de 5%, o efeito de um ano a mais de experiência profissional para

indivíduos do sexo masculino é estatisticamente maior do que o efeito para mulheres. Solução: Verdadeiro, pois, o efeito de um ano a mais de experiência profissional no ln(renda) nos

homens é de 0,014 com erro-padrao igual a 0,002 . Já para as mulheres é de 0,014 – 0,010 que é igual à 0,004 com erro-padrao igual à 0,002.

Agora vamos testas as hipóteses,

0:0:

1

0

>−==−=

MHD

MHD

HH

µµµµµµ

onde ),(~ 2DDND σµ , calculando o p-valor temos:

00002,0)5()002,001,0(010,00

)|( ≈>=>=

>

−=>=− ZPZP

SSPverdHPvalorp D

oobsDµ

µµ

onde =S 0,002. Como o p-valor é menor que o nível de significância, então rejeitamos H0. Logo, o efeito um ano a

mais de experiência profissional para os homens é estatisticamente maior que para as mulheres. ① Para um indivíduo com 10 anos de escolaridade, 1 ano adicional de estudo acarreta um

aumento da renda de aproximadamente 9%. Solução: Verdadeiro, pois, 10 anos de escolaridade acarreta um aumento no ln(renda) de 0,94, já 11

anos acarreta um aumento no ln(renda) de 1,034, sabemos que:

rendae renda =)ln( , logo, 09,194,0

034,1

≈ee que nos indica que o aumento na renda é de aproximadamente

de 9%. ② O efeito na renda de um aumento de 1 ano na experiência profissional para as mulheres é 1%

menor do que para os homens. Solução: Verdadeiro, pois, um aumento de 1 ano na experiência profissional gera um aumento no

ln(renda) de 0,014; já para as mulheres gera um aumento no ln(renda) de 0,004. Logo

99,0014,0

004,0

≈ee

que indica que o aumento na renda das mulheres é 1% menor do que para os homens. ③ Pela inspeção dos resultados da estimação fica claro que os erros do modelo são

heterocedásticos. Solução: Falso,pois, precisaríamos do gráfico dos resíduos versus a renda para determinar se

oserros são heterocedásticos. ④ Se a um nível de significância de 5%, o valor crítico do teste F para a regressão for 2,37, os

coeficientes angulares serão conjuntamente diferentes de zero.





Solução: Verdadeiro, pois, testando as hipóteses temos:

0:0:

543211

543210

≠≠≠≠≠=====

ββββββββββ

HH

Calculando o valor 84,75

521368,01(

4368,0

)1(1

2

2

=−

=

−−

−=

knR

kR

Fobs

E como obsF >2,37, rejeitamos a H0 . Logo, os coeficientes angulares serão conjuntamente diferentes de zero.

QUESTÃO 10 Julgue as afirmativas: Ⓞ Se a variável aleatória Y segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro p, então E(Y) = p. Solução: Verdadeiro, pois, pppYE =⋅+−⋅= 1)1(0)( ① Uma soma de variáveis aleatórias Binomiais segue uma distribuição Bernoulli. Solução: Falso, pois, a soma de variáveis aleatórias Bernoulli tem distribuica Binomial e não ao

contrario com esta no item. ② A distribuição Geométrica é um caso especial da distribuição Binomial. Solução: Falso, pois, a distribuição conta o número de ensaio ate obter um sucesso, já a Binomial

conta o número de sucesso em n ensaios. A distribuição Geométrica é um caso especial da Binomial negativa.

③ Uma distribuição Lognormal é assimétrica à direita. Solução: Verdadeira, pois, pelo gráfico da Lognormal, percebemos que ela é assimétrica à direita.

④ A variância de uma distribuição uniforme entre 0 e 2 é igual a 0,5. Solução: Falso, pois, a variância de uma distribuição Uniforme entre a e b é dado por:

12)()(

2abYVar −=

Logo, 5,031

124

12)02()(

2

≠==−

=YVar .





QUESTÃO 11 Dois economistas usam os modelos abaixo para analisar a relação entre demanda de moeda (m) e renda nacional (y). As variáveis estão todas em logaritmos e a periodicidade é mensal.

Economista A:

ttt uym ˆ099.1)0086.0(

+= (Equação 1) Economista B:

ttt eym ˆ14.1)145.0(

+∆=∆ (Equação 2)

Os valores entre parênteses são os erros-padrão. Testes Dickey-Fuller Aumentado (ADF), com número apropriado de defasagens maior que zero em todos os casos, para as variáveis e para os resíduos dos dois modelos geram os seguintes resultados:

Variável mt yt ût ∆mt ∆yt êt Estatística-ADF -2.191 -1,952 -2.993 -5.578 -6.312 -8.456

O valor crítico da tabela Dickey-Fuller a 5% é igual a –2,886. São corretas as afirmativas: Ⓞ Tanto a série de demanda de moeda quanto a de renda nacional são integradas de primeira

ordem. Solução: Verdadeiro, pois, como o valor critico da tabela Dickey-Fuller a 5% é igual a –2,886 que é

maior que ∆mt=-5,578 e maior que ∆yt=-6,312. Assim as séries de demanda de moeda e renda nacional são integradas de primeira ordem.

① As séries de demanda de moeda e de renda nacional não são cointegradas ao nível de

significância de 5%. Solução: Falsa, pois, como as estatísticas-ADF de ût e êt são –2,993 e –8,456, respectivamente, e

são menores que o valor critico da tabela Dickey-Fuller a 5%, temos que as series são cointegradas.

② Se a série de demanda de moeda for estacionária na diferença (difference stationarity) ela não

pode ser estacionária na tendência (trend stationary). Solução: Verdadeiro, pois, a diferença serve pra retirar tendência da seria. Logo se a serie é

estacionaria na diferença não pode ser estacionaria na tendência. ③ Se as séries de demanda de moeda e de renda nacional forem cointegradas, o Economista B

deve incluir o erro defasado ût-1 em seu modelo. Solução: Verdadeiro, pois, se as séries forem cointegradas temos um resultado que nos garante que

tt cym = , assim fazendo a primeira diferença temos: )ˆˆ()(099,1)ˆ099,1()ˆ099,1()ˆ099,1( 1111 −−−− −+−=+−+=+∆=∆ ttttttttttt uuyyuyuyuym

Portanto, o Economista B deve incluir o erro defasado 1ˆ −tu em seu modelo.

④ A série de renda nacional é um passeio aleatório puro. Solução: Falsa, pois, se Y fosse um passeio aleatório puro, Y seria igual a tY ε= onde

),0(~ 2εσε Nt . O que não ocorre no exercício.





QUESTÃO 12 Em uma região, 25% da população são pobres. As mulheres são sobre-representadas neste grupo,

pois constituem 75% dos pobres, mas 50% da população. Calcule a proporção de pobres entre as

mulheres. Multiplique o resultado por 100 e omita os valores após a vírgula.

Solução: Probabilidades dadas no exercício, 25,0)( =pobresP , 75,0)|( =pobresmulheresP e

5,0)( =mulheresP

Pelo teorema de Bayes temos:

375,05,0

75,025,0)(

)|()()(

)()|( =×

=⋅

=∩

=mulheresP

pobresmulheresPpobresPmulheresP

mulherespobresPmulherespobresP

Multiplicando o resultado por 100 e omitindo os valores após a virgula temos a resposta de 37.

QUESTÃO 13 Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade

≤≤+=

contrário. caso0

,30 se61

)( xkxxf X

Calcule Prob(1 ≤ X ≤ 2). Multiplique o resultado por 100 e desconsidere os valores após a vírgula. Solução: Para )(xf X ser uma função densidade temos que:

1)( =∫∞

∞−

dxxf X , logo vamos determinar a constante k, assim

kkxxdxkxdxxf X 3129

1261)(

3

0

23

0

+=

+=+= ∫∫

∞

∞−

igualando a 1 a equação acima temos:

12113

129

=⇒=+ kk

Logo

≤≤+=

contrário. caso0

,30 se121

61

)( xxxf X

Agora vamos determinar a )21( ≤≤ XP ,

31

121

121

122

124

121

12121

61)21(

2

1

22

1

=

+−

+=

+=+=≤≤ ∫ xxdxxXP

Agora multiplicando por 100 temos:

...333,3331100)21(100 =×=≤≤× XP

logo a solução é 33.





QUESTÃO 14 O tempo de utilização de um telefone celular durante um dia qualquer é uma variável aleatória

normal com média desconhecida e desvio padrão de 10 minutos. Por quantos dias se deve anotar os

tempos de utilização do celular para que o intervalo de confiança de 95% para a média tenha

amplitude de 2 minutos? Transcreva para a folha de respostas apenas a parte inteira do resultado.

Solução: Como o intervalo de confiança tem amplitude igual a 2 minutos temos que

12 =⇒= εε amplitude , logo 16,38410)96,1( 2222

=×=

= σ

εzn .

Portanto a solução é 384.

QUESTÃO 15 Uma série temporal Yt, t = 1,...T, foi gerada por um processo da classe ARIMA(p,d,q) e apresenta os

seguintes formatos para a Função de Autocorrelação (FAC) e Função de Autocorrelação Parcial

(FACP):

Supondo que a média da série seja 100 e que YT-3 = 35, YT-2 = 28, YT-1 = 38 e YT = 30, calcule a

previsão para YT+1 feita no instante T , isto é E(YT+1|YT,YT-1,YT-2,YT-3,...).

Solução: Analisando o gráfico da FACP ele nos sugere que o modelo é um AR(p), já o gráfico da

FAC nos dar o tamanho do p. Como temos no gráfico da FAC somente 3 valores acima de 0,2 que

são significantes, temos que o modelo então sugerido é um AR(3). Então

TTTTT YYYY εµφµφµφµ +−+−+−=− −−− )()()( 332211

onde, 100)( == µTYE , logo

TTTTT YYYY εφφφφ ++++= −−− 3322110 e 321

0

1)(

φφφφ

−−−=TYE .

A FACV é

0332211 >++= −−− τγφγφγφγ ττττ

A FAC é

332211 −−− ++= ττττ ρφρφρφρ





Para 1=τ temos:

)1(3,06,06,035,06,06,035,06,01

321321

321231212312011

φφφφφφφφφρφρφφρφρφρφρ

+−=⇒⋅+⋅+=⋅+⋅+=++=++= −−

Para 2=τ temos:

)2(6,06,035,0 3121302112 φφφρφρφρφρ −−=⇒++= −

Para 3=τ temos:

)3(6,035,02,0 2130312213 φφφρφρφρφρ −−=⇒++=

Substituindo (1) e (2) temos:

64,039,001,0 3

2φ

φ−−

=

Substituindo 21 ,φφ em três temos:

033,011859375,000390625,0

3 −≈−

=φ

Agora, substituindo 3φ em 2φ temos:

0045,064,0

)033,0(39,001,02 ≈

−−−=φ

Agora, substituindo 2φ , 3φ em (1) temos:

062356,06,06,0 1321 ≈⇒−−= φφφφ

Agora, vamos substituir 1φ , 2φ , 3φ em 321

0

1)(

φφφφ

−−−=TYE assim temos:

85,401

1001

)( 0321

0

321

0 =⇒−−−

=⇒−−−

= φφφφ

φφφφ

φTYE

Portanto, TTTTT YYYY ε+−++= −−− 321 033,00045,062,085,40 .

Assim, 1211 033,00045,062,085,40 +−−+ +−++= TTTTT YYYY ε

Logo, 697,58028033,0380045,03062,085,40),,,|( 211 ≅+⋅−⋅+⋅+=−−+ KTTTT YYYYE .

Portanto, a solução é 58.





Distribuição Normal Padrão

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .5000 .4960 .4920 .4880 .4840 .4801 .4761 .4721 .4681 .4641 0.1 .4602 .4562 .4522 .4483 .4443 .4404 .4364 .4325 .4286 .4247 0.2 .4207 .4168 .4129 .4090 .4052 .4013 .3974 .3936 .3897 .3859 0.3 .3821 .3783 .3745 .3707 .3669 .3632 .3594 .3557 .3520 .3483 0.4 .3446 .3409 .3372 .3336 .3300 .3264 .3228 .3192 .3156 .3121 0.5 .3085 .3050 .3015 .2981 .2946 .2912 .2877 .2843 .2810 .2776 0.6 .2743 .2709 .2676 .2643 .2611 .2578 .2546 .2514 .2483 .2451 0.7 .2420 .2389 .2358 .2327 .2296 .2266 .2236 .2206 .2177 .2l48 0.8 .2119 .2090 .2061 .2033 .2005 .1977 .1949 .1922 .1894 .1867 0.9 .1841 .1814 .1788 .1762 .1736 .1711 .1685 .1660 .1635 .1611 1.0 .1587 .1562 .1539 .1515 .1492 .1469 .1446 .1423 .1401 .1379 1.1 .1357 .1335 .1314 .1292 .1271 .1251 .1230 .1210 .1190 .1170 1.2 .1151 .1131 .1112 .1093 .1075 .1056 .1038 .1020 .1003 .0985 1.3 .0968 .0951 .0934 .0918 .0901 .0885 .0869 .0853 .0838 .0823 1.4 .0808 .0793 .0778 .0764 .0749 .0735 .0722 .0708 .0694 .0681 1.5 .0668 .0655 .0643 .0630 .0618 .0606 .0594 .0582 .0571 .0559 1.6 .0548 .0537 .0526 .0516 .0505 .0495 .0485 .0475 .0465 .0455 1.7 .0446 .0436 .0427 .0418 .0409 .0401 .0392 .0384 .0375 .0367 1.8 .0359 .0352 .0344 .0336 .0329 .0322 .0314 .0307 .0301 .0294 1.9 .0287 .0281 .0274 .0268 .0262 .0256 .0250 .0244 .0239 .0233 2.0 .0228 .0222 .0217 .0212 .0207 .0202 .0197 .0192 .0188 .0183 2.1 .0179 .0174 .0170 .0166 .0162 .0158 .0154 .0150 .0146 .0143 2.2 .0139 .0136 .0132 .0129 .0125 .0122 .0119 .0116 .0113 .0110 2.3 .0107 .0104 .0102 .0099 .0096 .0094 .0091 .0089 .0087 .0084 2.4 .0082 .0080 .0078 .0075 .0073 .0071 .0069 .0068 .0066 .0064 2.5 .0062 .0060 .0059 .0057 .0055 .0054 .0052 .0051 .0049 .0048 2.6 .0047 .0045 .0044 .0043 .0041 .0040 .0039 .0038 .0037 .0036 2.7 .0035 .0034 .0033 .0032 .0031 .0030 .0029 .0028 .0027 .0026 2.8 .0026 .0025 .0024 .0023 .0023 .0022 .0021 .0021 .0020 .0019 2.9 .0019 .0018 .0017 .0017 .0016 .0016 .0015 .0015 .0014 .0014 3.0 .00135 3.5 .000233 4.0 .0000317 4.5 .00000340 5.0 .000000287





RASCUNHO





RASCUNHO





RASCUNHO




Economy & Finance

Anpec estatistica prova_resolvida06