Solucion parcial econometria

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ECONOMETRÍA FINANCIERA

TRABAJO No 1

Profesor Norman Giraldo

[email protected]

Alejandro Bedoya V.

[email protected]

Juan Manuel Ospina M. [email protected]

Marzo, 2011

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Markowitz en su modelo de gestión de carteras, muestra cómo lograr una inversión óptima, que no es más que la correcta distribución del capital entre las diferentes opciones de activos, a esto Markowitz le llama cartera eficiente, que se define como, una cartera que proporciona la máxima rentabilidad con un mínimo de riesgo.

Objetivo de este modelo es calcular una cartera eficiente, o en otras palabras maximizar la rentabilidad, reduciendo el riesgo.

El modelo asume un comportamiento racional del inversionista, es decir el inversionista desea rentabilidad y rechaza el riesgo.

Supuestos del modelo

Para cada activo se define el rendimiento logarítmico

Ecuación 1

Donde es el precio del activo al día de hoy y es el precio del activo al día de ayer. La conveniencia de usar estos rendimientos es en primer lugar aprovechar las propiedades de la función Ln y en segundo lugar supone que existes muchos precios entre y , en otras palabras, el rendimiento es continuo.

La rentabilidad de cualquier titulo es una variable aleatoria, así .

Parámetro media o esperanza , se acepta como la media de rentabilidad , así,

Ecuación 2

Se acepta como media de riesgo, la dispersión, medida por la desviación estándar, así

Ecuación 3

La varianza y la media se mantienen constantes por un periodo , ósea que no dependerán del tiempo t, así se acumulan los datos de la historia y se estimar la distribución asociada a dichas variables.

Resultados de el modelo de Markovitz para dos activos con riesgo.

El rendimiento del portafolio se define como:

Ecuación 4

Rendimiento medio óptimo del portafolio se obtiene así:

Ecuación 5

RESUMEN - Teoría de Markovitz

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Desviación estándar (ó volatilidad) optima:

Ecuación 6

Resultados Markowitz para n.

La generalización de este modelo supone y un trabajo con n activos, por tanto se redefinen las

formulas para vectores y matrices.

Suponiendo un capital k invertido en n activos se define como el vector de porcentajes en

inversión por tanto debe cumplir que así , luego el vector de

rendimientos es . El vector de rendimientos medios será .

La matriz de varianza covarianza para los rendimientos se define positiva, es decir

con así la covarianza de los rendimientos será .

Con estas definiciones tenemos las formulas de Marcowitz para hallar el portafolio óptimo que

son:

Rentabilidad esperada del portafolio

Ecuación 7

Varianza del portafolio

Ecuación 8

El objetivo es encontrar el portafolio óptimo o en otras palabras la combinación optima de capital

luego será:

Ecuación 9

Sujeto a:

Ecuación 10

Ecuación 11

Nota: estas dos restricciones, no restringen la posibilidad de venta en corto para evitar las ventas

en corto, es necesario agregar la restricción

El problema descrito por las ECUACIONES 9, 10, 11 es un problema de de programación cuadrática

con restricciones lineales de tipo igualdad. Para resolver este problema es necesario aplicar

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multiplicadores de LaGrange. En este resumen se describirá la solución de manera superficial,

haciendo énfasis en los resultados importantes.

La función del lagrangiano se define como sigue:

Ecuación 12

Luego del tratamiento matemático apropiado se obtiene que

Donde

Ecuación 13

Ecuación 14

Ecuación 15

Ecuación 16

Despejando entonces de la ECUACION 12 se tiene que:

Ecuación 17

Ecuación 18

En el caso de los portafolios tangentes se tienen activos sin riego o activos de renta fija. Para este caso se plantea el modelo de la siguiente manera. Se parte de la ECUACION 9, pero se modifican sus restricciones. Sujeto a: Ecuación 19

Donde es la tasa libre de riesgo.

Nota: el rendimiento del portafolio debe de ser mayor que el rendimiento libre de riesgo

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Luego con las ECUACIONES 9 y 18 se plantea la función del lagrangiano:

Ecuación 20

Luego de un tratamiento matemático apropiado se obtiene que:

Ecuación 21

Donde

Ecuación 22

Rentabilidad esperada del portafolio tangente

Ecuación 23

Varianza del portafolio tangente

Ecuación 24

En el trabajo No 1 se plantea la solución de los ejercicios 2 y 5 propuestos en la guía de trabajo siguiendo las notaciones y recomendaciones del mismo. Con el desarrollo de este trabajo se demuestran y verifican algunos de los resultados de la teoría de Markovitz sobre portafolios de inversión óptimos y diversificación de los mismos basándose en la correlación que existe entre diferentes activos o conjuntos de activos.

Punto 2. En una frontera eficiente se escogen dos portafolios y , correspondientes a las metas de rendimiento 1) y 2) Desarrollar lo siguiente.

a) Encuentre .

Reemplazando los valores de y en la ECUACIÓN 17 se tiene que:

Ecuación 25

DESARROLLO

INTRODUCCIÓN

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Ecuación 26

b) Compruebe que, dado , siempre existe un portafolio óptimo con esta meta

de rendimiento, que cumple . Sugerencia: use la ECUACION 17 y exprese a en función de y . Nota: en la práctica la condición , debe cambiarse por , que produce resultados realistas.

La ECUACIÓN 17 puede reescribirse así:

Organizando la ecuación

Observe que los dos primeros términos corresponden a

Sumando y restando

y

en la ecuación anterior se obtiene:

Organizando la ecuación se tiene:

Observe que si sacamos factor común agrupamos algunos términos y sumamos tenemos:

Sacando factor común obtenemos.

Por tanto, partiendo de la ecuación de 17 que define un portafolio optimo, se Comprueba que, dado , siempre existe un portafolio óptimo con esta meta de rendimiento, que

cumple

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c) Escriba el portafolio anterior de manera equivalente . y

denote . Calcule , la varianza del portafolio z.

Así: sacando factor común se tiene

La varianza del portafolio usando la ECUACION 18 será:

Pero entonces.

Realizando las operaciones indicadas.

Luego reemplazando a de las ECUACIONES 25 y 26 en la ecuación anterior tenemos.

Luego de multiplicar y simplificar se tiene la varianza del portafolio es:

Ecuación 27

d) Calcule

Usando la ECUACION 18

Reemplazando a de la ECUACION 25 se tiene que

Operando y simplificando en la ecuación anterior se tiene que

Ecuación 28

e) Calcule

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De la ECUACION 18 se tiene que:

Reemplazando , se tiene que

Realizando las operaciones indicadas en la ecuación anterior

Luego reemplazando a de las ECUACIONES 25 y 26 en la ecuación anterior tenemos.

Operando y simplificando en la ecuación anterior

Ecuación 29

Luego la viene dada por

Usando los resultados anteriores ECUACIONES 27, 28, 29 y reemplazándolos en la ecuación anterior tenemos que:

f) Suponga dos portafolios , con metas de rendimientos ,

Encuentre

. Sugerencia: exprese , igual para Luego

use la ECUACION 18. La respuesta es una expresión que debe depender de a, b, c, d,

De la ecuación 18 se tiene que:

Luego reemplazando

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Realizando las operaciones indicadas en la ecuación anterior

Usando los resultados anteriores de las ECUACIONES 27, 28, 29 y reemplazando en la ecuación anterior tenemos que.

Ecuación 30

g) A cada portafolio con meta de rendimiento , se le puede asociar otro

portafolio , con meta de rendimiento

. Compruebe

que estos portafolios tienen rendimientos incorrelacionados

Sugerencia: use el resultado del numeral F.

De la ECUACION 30 se tiene que:

Reemplazando los rendimientos

tenemos.

Por tanto se demuestra que los rendimientos son incorrelacionados.

Punto 5

5. Suponga que se conforma un portafolio con cuatro activos: A1, A2, A3, A4. Los rendimientos son efectivos mensuales .El vector de rendimientos medios es:

Y la matriz de varianzas covarianzas es:

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a) Encuentre el portafolio de varianza mínima, su rendimiento esperado y su volatilidad.

Apoyados en las ECUACIONES 17 y 18 y haciendo los cálculos en el programa estadístico R se tiene que:

El portafolio , rendimiento esperado y la volatilidad del portafolio de varianza

mínima son:

Ilustración 1. Grafica de la frontera eficiente y el portafolio de mínima varianza

Nota: observe que este portafolio no tiene restricción sobre la venta en corto por tanto, permite porcentajes de

inversión negativos ( . Sin embargo como w es el vector de porcentajes de inversión cumple que

.

b) Encuentre el portafolio tangente a sumiendo que la tasa libre de riesgo (tasa de inversión

en renta fija) es , efectiva mensual. Compruebe que ocurren porcentajes

negativos. Además, calcule el rendimiento medio y la volatilidad de este portafolio.

Denote por el portafolio, el rendimiento medio y la volatilidad,

respectivamente.

Apoyados en las ECUACIONES 21,23, 24 y con ayuda del programa estadístico R tenemos que

En la ILUSTRACIÓN 2. Muestra el portafolio tangente dado una tasa de inversión libre de riesgo

La línea azul parte desde la tasa libre de riesgo y representa las combinaciones de activos con riesgo y

0.05 0.10 0.15 0.20

0.0

05

0.0

10

0.0

15

0.0

20

0.0

25

0.0

30

0.0

35

stj

uj

1

2

3

4

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sin riesgo que maximizan la relación entre riesgo y rentabilidad (Ratio de Sharpe). La proporción optima entre activo con riesgo y sin riesgo se moverá a lo largo de la recta de acuerdo con el grado de aversión al riesgo que tenga un inversionista en particular, según lo planteado en el teorema de separación de Tobin, hasta el punto del portafolio tangente, que en la grafica se muestra de color rojo.

Observe que como es de esperara considera la posibilidad de ventas a corto, es decir tiene porcentajes de

inversión negativos y Sin embargo como es el vector de porcentajes de inversión cumple que .

Ilustración 2. Grafica del portafolio tangente en la frontera eficiente con ventas en corto.

c) Recalcule el portafolio tangente restringiendo la venta a corto, utilizando la función

“solve.QP” de la librería “quadprog”. Calcule el rendimiento medio y la volatilidad. Denote

por el portafolio, el rendimiento medio y la volatilidad, respectivamente.

Usando las ecuaciones 9, 10, 11 y agregando la restricción , luego programando la función en el programa estadístico R se tiene:

Ilustración 3. Grafica del portafolio tangente en la frontera eficiente.

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En la ILUSTRACIÓN 3 se pueden observar dos fronteras eficientes. La frontera azul hace referencia a un portafolio que permite la venta en corto, mientras que la frontera negra hace referencia a un portafolio que restringe la venta en corto. El punto rojo sobre la frontera negra muestra el portafolio tangente a la frontera sin venta a corto por tanto tiene sentido que este portafolio tangente reduzca la volatilidad y la rentabilidad. , ya que no tiene encanuta los ingresos anticipados de la venta en corto que se asumirían en el tiempo cero como un pasivo.

d) Suponga que el valor del portafolio tangente al inicio del mes es Al

final del mes es Denote por el rendimiento de este portafolio en el mes. Por

tanto,) Calcule el percentil de según la ecuación

, asumiendo que , en ambos casos: con venta a corto y sin

venta a corto. Comente sobre el resultado. Concretamente, cuál portafolio asume mayor

riesgo de inversión, medido con ?

Se tiene que:

Reemplazando el valor de , se obtiene

Reescribiendo la expresión anterior:

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

0.0

00

0.0

05

0.0

10

0.0

15

0.0

20

0.0

25

0.0

30

0.0

35

sigma.p

up

1

2

3

4

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Como es posible aplicar la distribución normal inversa para calcular el percentil r

para , y así despejar así:

Luego despejando a :

Los resultados se muestran en la tabla a continuación para los portafolios tangentes con y sin ventas a corto:

Tabla 1. Valoración de pérdidas en portafolios tangentes

Con venta en corto sin venta en corto

V(0) 100.000.000 V(0) 100.000.000

Up 0,0309806 Up 0,02941224

St 0,1037374 st 0,09807625

Percentil r -0,1019642 Percentil r -0,10196421

q0.1 90.306.187,4 q0.1 90.821.192,3

Con un 10% de probabilidad, la máxima perdida en un mes para el portafolio sin venta a corto, será mayor que para el portafolio con venta a corto. Esto puede ser porque el portafolio con venta a corto considera un ingreso inicial por la venta en corto del activo A3 para apalancar la adquisición de otros activos. Mientras que en el portafolio sin venta en corto no se considera dicho ingreso.

Puede observarse que con un 10% de probabilidad el valor final del portafolio sin venta a corto transcurrido un mes es mayor. Es decir que a un nivel de confianza del 90% este asume menor riesgo de pérdida que el portafolio óptimo con venta en corto.

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El portafolio óptimo es aquel que minimiza la varianza maximizando la rentabilidad

esperada.

Un portafolio eficiente es aquel que se ubica en la pártete superior de la frontera

eficiente, es decir que a medida que se incrementa el riesgo incrementa su rentabilidad.

En el desarrollo del punto dos, literal b. Se muestra que el rendimiento de un portafolio

estará entre el menor y el mayor de los rendimientos de los activos que lo conforman.

En el desarrollo del punto dos, literal b. se puede apreciar como con dos portafolios, uno

de menor riesgo y otro de mayor riesgo, se puede construir una frontera eficiente para

cualquier rentabilidad esperada. Lo que se reduce a una combinación optima de ambos

portafolios.

Restringir las operaciones en corto castiga la frontera de portafolios eficientes.

Es necesario hacer una consideración especial de el activo implicado, a la hora de asumir

ventas en corto, porque esto podría llevar a el portafolio a pérdidas inesperadas.

El portafolio óptimo o tangente maximiza la relación entre la prima por riesgo esperada y

el riesgo.

[1] Bodie Z, Kane A, Marcus A. Principios de inversiones, Quinta edición. MC GRAM HILL,

España (2004).

[1]Ruppert, D. (2004). Statistics and Finance: An Introduction. Springer Verlag .NewYork.

CONCLUSIONES

REFERENCIAS

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Literal a)

#Portafolio de Varianza mínima

n = 4

(u = c(0.0275,0.0219,0.0120,0.0357))

(S = matrix(c(0.022526377,-0.003495562,0.010318065,0.007935904,-0.003495562,0.036070945,-

0.003806943,-0.006872127,

0.010318065,-0.003806943,0.049574959,0.008098270,0.007935904,-

0.006872127,0.008098270,0.028025520),n,n))

#sigma para activos A1 A2 A3 A4

(st=sqrt(diag(S)))

# inversa de la matriz de var-cov

(Si = solve(S))

#rendimiento del portafolio

(upd = seq(min(u),max(u),length.out=1))

#vector de unos

(uno = rep(1,n))

# las cuatro constantes

a = t(uno)%*%Si%*%uno

b = t(uno)%*%Si%*%u

c = t(u)%*%Si%*%u

d = a*c - b^2

# las lambdas de los multiplicadores lagrange

l1 = (c - b*upd)/d

l2 = (a*upd - b)/d

# mostrar estos valores

(c(a,b,c,d,l1,l2))

#Prueba debe de dar 1

l1*a+l2*b

#Rendimiento optimo del debe ser igual al rendimiento meta

l1*b+l2*c

# solución conformación portafolio optimo

(w = rep(l1,n)*Si%*%uno + rep(l2,n)*Si%*%u)

#Rendimiento optimo

(up=b/a)

# varianza del portafolio optimo

st2 = (a*up^2-2*b*up+c)/d

ANEXOS – CODIOS DE R

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(stp=sqrt(st2))

# calcular frontera eficiente

(uj = min(u)+(max(u)-min(u))*seq(1,30,1)/30)

(stj = sqrt((a*uj^2 - 2*b*uj + c)/d ))

wj = mat.or.vec(n,5)

for(j in 1:5){

l1 = (c - b*uj[j])/d

l2 = (a*uj[j] - b)/d

(wj[,j] = t(rep(l1,n)*Si%*%uno + rep(l2,n)*Si%*%u))

}

####Grafica

plot(stj,uj,type='l',ylim=c(0.002,max(u)),xlim=c(0.01,max(st)))

points(st[1],u[1],col=8,pch=19)




points(stp,up,col=2,pch=19)

abline(h=b/a)

abline(v=1/sqrt(a))

Literal B

#Portafolio tangente

n = 4

(u = c(0.0275,0.0219,0.0120,0.0357))

(S = matrix(c(0.022526377,-0.003495562,0.010318065,0.007935904,-0.003495562,0.036070945,-

0.003806943,-0.006872127,

0.010318065,-0.003806943,0.049574959,0.008098270,0.007935904,-

0.006872127,0.008098270,0.028025520),n,n))


(st=sqrt(diag(S)))

# inversa de la matriz de var-cov

(Si = solve(S))

#rendimiento metadado

(upd = seq(min(u),max(u),length.out=4))

#vector de unos

(uno = rep(1,n))



b = t(uno)%*%Si%*%u

c = t(u)%*%Si%*%u

d = a*c - b^2

# las lambdas

(l1 = (c - b*upd)/d)

(l2 = (a*upd - b)/d)


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(c(a,b,c,d))

#Prueba debe de dar 1

l1*a+l2*b

#Rendimiento optimo del debe ser igual al rendimiento meta

l1*b+l2*c

# solucion conformacion portafolio optimo

(w = l1*Si%*%uno + l2*Si%*%u)

#Rendimiento del portafolio optimo

(up1=w*u)

(st.op = sqrt((a*upd^2-2*b*upd+c)/d))

#Rendimiento y varianza Portafolio minima varianza

(up=b/a)

(stp = sqrt((a*up^2-2*b*up+c)/d))

#### portafolio minima varianza

# añadir activo renta fija pdf tasa e.m 0.008

r = log(1+0.008)

# portafolio tangente

(wt = Si%*%(u - r*uno)*rep(1/(b - r*a),n))

# rendimiento medio y varianza del portafolio tangente

ut = (c - r*b)/(b - r*a)

st3 = (c - 2*r*b + a*r^2)/(b - r*a)^2

stt = sqrt(st3)

# calcular frontera eficiente

(uj = min(u)+(max(u)-min(u))*seq(1,30,1)/30)

(stj = sqrt((a*uj^2 - 2*b*uj + c)/d ))

wj = mat.or.vec(n,5)

for(j in 1:5){

l1 = (c - b*uj[j])/d

l2 = (a*uj[j] - b)/d

(wj[,j] = t(rep(l1,n)*Si%*%uno + rep(l2,n)*Si%*%u))

}

(wj)

####Grafica

plot(stj,uj,type='l',ylim=c(0.002,max(u)),xlim=c(0.01,max(st)))

points(st[1],u[1],col=3,pch='1')




points(stt,ut,col=2,pch=19)

points(0,r,col=2,pch=19)

18|

segments(0.0,r,stt,ut,col='blue', lwd = 2, lty = 3)

points(stp,up,col=2,pch=19)

abline(h=b/a)

abline(v=1/sqrt(a))

abline(h=ut)

abline(v=stt)

Literal C

# ejemplo de optimizacion con restricciones

library(quadprog)

n = 4

(u = c(0.0275,0.0219,0.0120,0.0357))

(S = matrix(c(0.022526377,-0.003495562,0.010318065,0.007935904,-0.003495562,0.036070945,-

0.003806943,-0.006872127,

0.010318065,-0.003806943,0.049574959,0.008098270,0.007935904,-

0.006872127,0.008098270,0.028025520),n,n))


st=sqrt(diag(S))

#Rendimiento del portafolio

up = seq(min(u),max(u), length.out = 50)

# rendimiento tangente

#Matriz identidad

Id = matrix(0,n,n)

diag(Id) = 1

#vector de unos

uno=rep(1,n)

#vector de ceros

d = rep(0,n)

#Matriz que une el vector de unos, rendimientos y la matriz identidad para las restricciones

(A = rbind(t(uno),t(u),Id))

#Portafolio Con restriccion sin venta en corto

#Matriz de portafolios para restricciones AW)=b y Bw=C

wsvc = matrix(0,n,50)

sigma.p = matrix(0,n,1)

for( j in 1:50 ){

(b = c(1,up[j],rep(-1.0e-06,n)))

sol = solve.QP(Dmat=S,dvec=d,Amat=t(A),bvec=b,meq=2)

(wsvc[,j] = sol$solution)

(sigma.p[j] = sqrt(t(wsvc[,j])%*%S%*%wsvc[,j]))

}

# solucion sin restricciones de venta a corto

Si = solve(S)



b = t(uno)%*%Si%*%u

19|

c = t(u)%*%Si%*%u

d = a*c - b^2


(c(a,b,c,d))

# las lambdas de los multiplicadores lagrange

l1 = (c - b*up)/d

l2 = (a*up - b)/d

wnr = mat.or.vec(n,50)

for(j in 1:50){

wnr[,j] = rep(l1[j],n)*Si%*%uno + rep(l2[j],n)*Si%*%u

}

# volatilidad del portafolio optimo

sigma.p.nr = sqrt((a*up^2-2*b*up+c)/d)

(sigma.p.nr)

# rendimiento medio y varianza del portafolio tangente sin restricciones

r = log(1+0.008)

ut = (c - r*b)/(b - r*a)

st2 = (c - 2*r*b + a*r^2)/(b - r*a)^2

stt = sqrt(st3)

# rendimiento medio y varianza del portafolio tangente con restricciones

nsr=which.max((up-r)/(sigma.p))

(wtsvc=wsvc[,nsr])

(utsvc=up[nsr])

(stsvc=sigma.p[nsr])

# rendimiento medio y varianza del portafolio tangente con restricciones

nsr=which.max((up-r)/(sigma.p.nr))

(wtcvc=wnr[,nsr])

(utcvc=up[nsr])

(stcvc=sigma.p.nr[nsr])

plot(sigma.p , up ,type='l',ylim=c(0.0002,max(u)),xlim=c(0,max(st)))

points(st[1],u[1],col=2,cex=1,pch='1')




points(0,r,col=2,cex=1,pch=19)

points(stsvc,utsvc,col=2,cex=1,pch=19)

segments(0.0,r,stsvc,utsvc,col=4, lwd = 2, lty = 3)

points(stcvc,utcvc,col=3,cex=1,pch=19)

segments(0.0,r,stcvc,utcvc,col=3, lwd = 2, lty = 3)

lines(sigma.p.nr, up,col="4", type='l',lty=1,xlab="",ylab="",ylim=c(0,max(u)))

Economy & Finance

Solucion parcial econometria