جبر 1ث ع ف1

الوحدة األولي : املصفوفات

( توضع بين قوسين. رأسيةت في شكل صفوف ) أفقية (وأعمدة )هي تنظيم للبيانا: تعريف املصفوفة

مثل :

= ، ب = ، ج أ =

عدد األعمدة = ن ، عدد صفوف المصفوفة = م كان ا : إذ

ن×تكون املصفوفة علي النظم مـ

3× 1، ج علي النظم 2×2، المصفوفة ب علي النظم 3× 2ـ المصفوفة أ علي النظم

س ، ص ........ ( ، ج ، ب ، لمصفوفة بأي حرف كبير ) أ نرمز ل: ـ تسمية املصفوفة

ثالجات 3مراوح ، 6خالطات ، 5محالن لبيع األدوات الكهربية في أحد األيام باع المحل األول : مثال

3×2ثالجات ـ أكتب مصفوفة المبيعات س علي النظم 3مراوح ، 9خالطات ، 4ـ و باع المحل الثاني

المحل األول :ـ احلل

= المحل الثاني .. س

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: موقع العناصر يف املصفوفة*

العمود ع ، ( هو العنصر الذي يقع في الصف ص ص عأـ في المصفوفة أ يكون العنصر )

مثال : إذا كانت

.. 1 3، أ 2 2، أ 2 3، أ 21أ ـ أكتب نظم أ ثم أوجد = أ

احلل : 2-= 1 3أ ، 9= 2 2، أ 5= 2 3أ ، 3= 21أ ، 3× 3هو أ ـ نظم

بعض املصفوفات اخلاصة :. * 1: هي المصفوفة التي تتكون من صف واحد و أي عدد من األعمدة : م = ـ مصفوفة الصف1

3× 1س = علي النظم مثل

1: هي المصفوفة التي تتكون من أي عدد من الصفوف و عمود واحد فقط : ن= ـ مصفوفة العمود2

مثل

، ل = ص =

الصفوف = عدد األعمدة : م = ن : المصفوفة التي فيها عدد ـ املصفوفة املربعة3

مستطيل صغير : المصفوفة التي كل عناصرها أصفار : رمزها ـ املصفوفة الصفرية4

= مثل = ،

7 3 2

6 0 1

9 3

-2 1 1 0 5

5 6 3

4 9 3

7 3 4

1 9 6

-2 5 0

1 7 5

9

0

6

0 0 0

0 0 0

2

5

0

0 عطية ممدوح الصعيدي 0أ 1

عمدة و األ .أعمدة صفوفالجعلنا إذا ن × ي مصفوفة أ علي النظم م أل:

أ و رمزها ) [ أ] فإننا نحصل علي مدور المصفوفة صفوف مد

م .. × و تكون علي النظم ن (

) أ : مالحظة * مد

)مد

= أ

ـ مثال :أوجد أ إذا كانت أ = ، ب = ، ج =

مد، ب

مد، ج

مد

: احلل

أ مد، ب =

مد= ، ج

مد = ...........

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ـ تتساوي المصفوفتان أ ، ب إذا كان

.. ص ع = ب ص عأ [ كل عنصر في أ يساوي نظيره في ب أي أن 2] نفس النظم [ لهما1]

أوجد س ، ص ، ع = :إذا كانت 1مثال

4، ع = 5، ص = 2من التساوي :. س = :ـ احلل

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ـ إذا كانت 2

د ، هـ ، = أوجد جـ

:ـ احلل

3جـ = 6جـ = 2:. 2، 1بجمع [ 2.... ] 1، جـ + د = [ 1...] 5= د - من التساوي : جـ

7هـ = ، من التساوي 2-د = 1+ د = 3 [ 2من ]،

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

تتحقق المساواة األتية . ال يمكن أن ـ إثبت أنه لجميع قيم س ، ص3

=

4ص = ، 5:ـ من التساوي : س = احلل

( 3) 4س + ص = من التساوي ،

4 9= 4+5= يكون س + ص لكن بالتعويض عن قيم س ، ص

.. ن التساويكال يم ( 3المعادلة ) ان ن س ، ص ال تحققأي أ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

3 2 1

5 0 4

3 2 1

5 0 4

-1 6 8

3 6 9

3 5

2 0

1 4

3 5 -1

2 0 6

1 4 8

3

6

9

7 2 0

ع 3 5

0س 7

4 3ص

1 2 س

8 3 4

2-ص 0

5 2 1

س+ص 3 8

0 4 -2

د -جـ 3

2 1

4هـ

3 5

جـ+د 2

7 4

عطية ممدوح الصعيدي 0أ 2

نفس النظم و يكون ا علي لجمع ) أو طرح ( مصفوفتين البد و أن يكون:ـ أواًل اجلمع و الطرح

ظرة فيهما ..متناالناتج عن طريق جمع ) أو طرح ( العناصر ال

+ ب أ ، ب = أوجد إذا كانت أ = : 1مثال

:. احلل

أ + ب = و ذلك بجمع العناصر المتناظرة فيهما ..

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ـ إذا كانت أ = ، ب = أوجد أ + ب2مد

:ـ حللا

أ + ب مد

= + =

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: يمكن اإلثبات من المثال السابق .. مد+ ب مد= أ مد) أ + ب ( [ 1]: هامة ات الحظم*

صفر حيث ك [ يمكن ضرب أي مصفوفة في أي عدد مثل ك 2]

أ ( = -يث أ + ) أ ( بح -[ المعكوس الجمعي للمصفوفة ) أ ( هو ) 3]

[ أ + ب = ب + أ ، أ + = أ 4]

ــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ


ص 2 -س3أوجد ، ص = س =

:ـ احلل

= + 2 - 3ص = 2 –س 3

=


: إذا كانت مترين

أ + ب ، أ + ب3ب ، 4 -وجد : أ أ ، ب = أ = مد إن أمكن

3 5

2 0

1 4

2 0

7 -1

1 6

5 5

9 -1

2 10

1 7

2 4

0 -3

5 6

1 7

2 4

0 5

-3 6

1 12

-1 10

1 2 0

2 0 3

4 -1 2

7 1 -1

1 2 0

2 0 3

4 -1 2

7 1 -1

3 6 0

6 0 9

-8 2 -4

-14 -2 2

-5 8 -4

-8 -2 11

4 2 1

2 7 4

1 0 2

-1 4 3



ب + س2أوجد المصفوفة س بحيث أ = ، ب = مد أ 3=

:ـ احلل

ب + س2:. مدس أ 3=

مد 2 - 3ب = 2 -أ 3=

:. س مد =- =

:. ) س مد )

مد # س = = س

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ


أ 2 مد

أ فأوجد + =

:ـ احلل

أ 2مد

=- = أمد أكمل =

ــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

إذا كانت ـ )هام( 6

فأوجد المصفوفة س بحيث أ = ، ب =

أ 3 مد

س 3 -ب 2س = - مد

أ 3:. :ـ احللمد

س 3 -ب 2س = - مد

3سمدأ 3 -ب 2س = -

مد

3 سمد

- = 3 - 2س = -

3 سمد

( بتدوير الطرفين 1س = ....... ) -

3 س -سمد

3( × 2( ، بضرب المعادلة )2......... ) =

9 س 3 -سمد ( ........ =2)

/(2( و )1: بجمع )

/

8 = س = + = س

2 1 5

-2 3 4

1 0 -3

5 -1 4

2 1 5

-2 3 4

1 0 -3

5 -1 4

6 3 15

-6 9 12

2 0 -6

10 -2 8

4 3 21

-16 11 4

4 -16

3 11

21 4

1 2 0

5 -7 4

0 0 0

0 0 0

1 2 0

5 -7 4

-1 -2 0

-5 7 -4

4 -3

-2 -1

5 0

-3 -2

-1/2 -1 0

-5/2 7/2 -2

5 0

-3 -2

4 -2

-3 -1

10 0

-6 -4

12 -6

-9 -3

-2 6

3 -1

-2 3

6 -1

-6 9

18 -3

-2 6

3 -1

-6 9

18 -3

-8 15

21 -4

- 1 15 /8

21 /8 -1/2


ر× علي النظم ن ن ، ب مصفوفة× إذا كانت أ مصفوفة علي النظم م :ـ ضرب املصفوفات

ر ( × و يكون الناتج مصفوفة علي النظم ) م ب× فإنه يمكن ضرب أ

[ تساوي الوسطين ] .. ـ شرط ضرب مصفوفتين : عدد أعمدة األولي = عدد صفوف الثانية

] نظم الطرفين [ عدد أعمدة الثانية .. × ـ نظم المصفوفة الناتجة = عدد صفوف األولي

ب أ ، ب = ـ فأوجد أ ب ، :ـ أ = 1لمثا

:ـ احلل

أ ب = = =

] حذف الوسطين[ 2× 2أ ب علي النظم ، 2× 3النظم ، ب علي 3× 2: أ علي النظم الحظ أنـ

# = = ب أ =

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ


ـ إثبت أن أ ) ب+ج( = أ ب + أ ج أ = ، ب= ، ج =

:ـ احلل

(1) = = + :. أ ) ب + ج ( =

+ :. أ ب + ب ج =

= = + (2) أ ) ب+ج( = أ ب + أ ج ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: مالحظات هامة جدًا

) أ ب (ـ 1مد

= ب مد

أ مد

أ ـ 2 2

، أ أ × = أ 4

= أ 2

أ× 2

] حيث أ مصفوفة مربعة [

( I ) مصفوفة الوحدةـ 3

أصفار .، و باقي العناصر 1هي مصفوفة مربعة عناصر القطر الرئيسي فيها = ـ

.............. = I = ، I مثل

أ = أ × I =I× ـ أ 4

2 3 1

1 1 2

2 1

2 4

3 1

2 3 1

1 1 2

2 1

2 4

3 1

4+6+3 2+12+1

2+2+6 1+4+2

13 15

10 7

2 1

2 4

3 1

2 3 1

1 1 2

4+1 6+1 2+2

4+4 6+4 2+8

6+1 9+1 3+2

5 7 4

8 10 10

7 10 5

2 -1

3 0

3 -2

4 1

1 5

-2 -1

2 -1

3 0

3 -2

4 1

1 5

-2 -1

2 -1

3 0

4 3

2 0

6 6

12 9

2 -1

3 0

3 -2

4 1

3 -2

4 1

1 5

-2 -1

2 -5

9 -6

4 11

3 15

6 6

12 9

1 0

0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1



ـ فأوجد قيمة أ = أ = ، ب 2

ب 3 -

:ـ احلل

:. أ 2

= أ = × = أ

أ2

# = 3 -ب = 3 -

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

إذا كانت ـ 4

فأوجد أ أ = 4

:ـ احلل

:. أ 2 أ = = × = أ

أ 4= أ

2أ×

2 = =



ـ فإثبت أن : أ أ = 2 = 2Iأ + 5 -

:ـاحلل

:. أ 2

= =

أ2

2I =- 5 +2أ + 5 -

=- + # = =

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

أكمل ما يأتي ـ 6

ـ ) س + ص (1مد

ـ ) أ ب (2........ = ........ + ... مد ....... × ..... =

إذا كانت ج = فإن جـ 32 ج = ........... 5، = ..........

= ............ ـ 4

3 1

2 5

-2 0

5 8

3 1

2 5

3 1

2 5

11 8

16 27

11 8

16 27

-2 0

5 8

17 8

1 3

2 1

0 5

2 1

0 5

2 1

0 5

4 7

0 25

4 7

0 25

4 7

0 25

16 203

0 625

2 -1

-4 3

2 -1

-4 3

2 -1

-4 3

8 -5

-20 13

8 -5

-20 13

2 -1

-4 3

1 0

0 1

8 -5

-20 13

10 -5

-20 15

2 0

0 2

0 0

0 0

2 0

3 1

3

2

5

-1 4 0


صفوفة .تعريف الم :. متارين املصفوفات

ـ أنتجت ثالث شركات س ، ص ، ع نوعين من األقمشة فكان ما أنتجته الشركة س عبارة عن 1

متر 500متر من النوع الثاني . و ما أنتجته الشركة ص عبارة عن 1200متر من النوع األول ، 1000

من النوع متر700متر من النوع الثاني ، و ما أنتجته الشركة ع عبارة عن 900من النوع األول ،

2×3في صورة مصفوفة ) أ ( علي النظم متر من النوع الثاني ـ أكتب هذه البيانات 400األول ،

3×2ـ و أكتب أيضاً هذه البيانات في صورة مصفوفة ) ب ( علي النظم

ل حذاء ، و باع المح 12بدل ، 5قميص ، 20المالبس في أحد األيام باع المحل األول محالن لبيع ـ 2

3×2حذاء ـ أكتب هذه البيانات في صورة مصفوفة س علي النظم 14دل ، ب 3قميص ، 13الثاني

أكمــــــــــل ما يأتي ب = إذا كانت المصفوفة أ = ، ـ 3

= ........ 1 2( العنصر ب ii... ) ـ نظم أ هو ....... ، نظم ب هو ...... iـ

iii هو 3 1، العنصر ب ................= 2 3العنصر أ ـ........... ......

= 3 1+ ب 1 3، أ ....... ..... ..

2× 2، أكتب مصفوفة ب علي النظم 3× 2أكتب مصفوفة أ علي النظم ـ 4

ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

.. مدور املصفوفة و تساوي مصفوفتني

د قيمتي س ، ص فأوج ـ إذا كانت = 5

= فأوجد س ، ص ، ع ـ إذا كانت 6

إثبت أنه لجميع قيم س ، ص ال يمكن أن تتحقق المساواة األتية ـ 7

=

، ب = ـ أذكر نظم أ ، ب ثم أوجد أ ـ إذا كانت أ = 8مد، ب

مد

، ب = و كان ب إذا كانت أ = ـ9مد = أ فأوجد س ، ص

م معين للبيانات علي صورة ......... أفقية و ........... رأسية توضع بين أكمل : المصفوفة هي تنظيـ 10

ظم المصفوفة هو ............ ن........ ـ

3 -2

4 6

5 8

5 -6 2

4 6 0

س2

-3

2ص+ 5

4 -3

0 8

5س 6

7 4س+ص

6 1 5

ع 4 5

7ص -س3

1ص 2

5 7

س -ص 4-

4 -3

0 5

4 -3 6

0 8 9

س 2

-1 5

ص 2

4 5


1 -2

0 2

ـ اجلمع و الطرح :. ب 3-أ 2أوجد أ + ب ، ـ إذا كانت أ = ، ب = 11

إذا كانت أ = ، ب = ـ 12

ب ... 3أ + س = 2ـ أوجد المصفوفة س التي تحقق العالقة

= فأوجد كال من ب ، = أ ـ إذا كانت 13

ب+ أ ـ مد

أ، مد

أ ، ب - مد+ ب

مد إن أمكن ..

س = ، ص = ـ إذا كانت 14

س = -أ + ص 2ـ أوجد المصفوفة أ التي تحقق العالقة :

س 2إذا كانت س + ـ 15مد = فأوجد المصفوفة س +

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:ـ الضرب

، ب = فأوجد أ ب ،، ب أ أ = ـ إذا كانت 16

، ص = أوجد ) س ص ( إذا كانت س = ـ 17مد

ص 2-، س

س+ س2 أوجد المصفوفة س بحيثإذا كانت أ = ، ب = ، ـ 18مد أ ب=

إذا كانت أ = ـ إثبت أن أ ـ 192( 2I -= ) أ I 4أ + 4 -

2

ـ إذا كانت أ = ـ إثبت أن أ 202

= I 5 -أ -

إذا كانت س = فأوجد سـ 214

، ب = أوجد أ إذا كانت أ = ـ 222أ ب + ب 2+

2

2 1

-3 2

5 1

-1 3

0 1

7 -4

3 -2 5

1 4 0

2 -3 1

-2 3 1

2 -3 5

0 4 7

3 8

1 2

0 -3

3 -2 5

1 4 0

3 3 1

5 -1 2

3 4 -2

5 1 0

3 -2

1 4

7 3

1 6

3 2

1 4

-2 1

4 3

0 -2 3

1 4 5

1 5

1 4

4 0

-2 1

4 2

3 0

4 1

3 -2

4 -3

2 1

3 -1

0 -2 3

1 4 1

4 1 -1

1 2 1

1 0 2

2 5 1


.. حل متباينات الدرجة األولي يف متغري واحدـ

ـ أوجد مجموعة حل المتباينات األتية في ح و مثل الحل علي خط األعداد . 11 3س + 7 (3 )-5 <4 5س + 2 (2 )2 4 -س 3( 1)

:ـ الحل

11 - 3س 7 - 5 - 5 - 3 <4س 2+4 2س 3

8 ، ÷4س 4> 8 - 2÷؛ 2س 6 ، ÷3 2س 3

س 2 س 1 - 2 س < 2

[ 2، 2 -[ م ح = [ ،1 -] م ح = [ ، 2م ح = ]

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:ـ حل متباينة الدرجة األولي يف متغريينـ

6س + ص < 2ـ حل المتباينة : 1

و نحسب قيم ص و ذلك بالتعويض بأي قيمتين لـ س 6س+ص = 2:ـ نرسم المستقيم الحدي : احلل

و نحسب س 0و نحسب ص ثم نضع ص = 0المناظرة لها ـ و يفضل وضع س =

ـ نعوض بنقطة تقع في كل منهما و التي تحقق 2، ف 1ـ المستقيم يقسم المستوي إلي جزئين ف

( 0،0المتباينة يكون عندها الحل و يفضل التعويض بنقطة األصل )

اين ] > أ، < [ يكون المستقيم متقطع : إذا كانت عالمة التب

.[ يكون الخط متصل أ، ـ إذا كانت عالمة التباين ]

يمر بالنقطتين 6ص = س+2:. ل :

(0 ،6 ( ، )3 ،0 )

6ص < س+2( ال تحقق المتباينة 0، 0:. النقطة )

.. الحل هو المنطقة المظللة

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــ

-2ـ حل المتباينة س 2

يمثله خط مستقيم 2-المستقيم الحدي ل : س = :ـ احلل

( 0، 2-يوازي محور الصادات و يمر بالنقطة )

-2:. نقطة األصل تحقق المتباينة س

لمنطقة المظللة ... الحل هو ا -2 0حيث

الوحدة الثانية : البرمجة الخطـــية


2ـ حل المتباينة ص 3

2المستقيم الحدي ل : ص = :ـ احلل

يمثله خط مستقيم يوازي محور السينات

( 2، 0و يمر يالنقطة )

ألن 2( تحقق المتياينة ص > 0،0ـ النقطة )

0 <2 .. الحل هو المنطقة المظللة

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ

6ص 3س+ 2حل المتباينة ـ 4

يمر 6ص = 3س + 2:ـ المستقيم الحدي ل : احلل

( 0، 3( ، ) 2، 0بالنقط )

( ال تحقق المتباينة 0،0:. النقطة )

6> 0+0ألن 6ص 3س+2


ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

.. الحل البياني لمتباينتين أو أكثر من الدرجة األولي في متغيرين

-1، ص 4ص س+2: حل المتباينتين 1ـ مثال

شكل فيكون الحل هو منطقة التقاطع .. نحل المتباينتين بيانياً في نفس ال:ـ احلل

( 0، 2( ، ) 4، 0يمر بـ ) 4س + ص = 2: 1ل:.

( 1-، 0يوازي محور السينات و يمر بـ ) 1-: ص = 2، ل

ـ الحظ أن الحل هو المنطقة التي تحل

كل من المتباينتين معاً

( تحقق كل من المتباينتين 2، 3:. النقطة )

المنطقة المظللة .. الحل هو

ــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

0 ص ، 0س : حل المتباينتين مترين

1ل

2ل


ل المتباينات األتية بيانياً أوجد مجموعة حـ 2

4س + ص 0 ،2، ص 0س

:ـ احلل

هو محور السينات 0: ص = 2هو محور الصادات ، ل 0: س = 1ل

يحددان دائماً معاً الربع األول 0، ص 0و المتباينتين س

يمر بالنقط 4س + ص= 2: 3ـ ل

(0 ،4 ( ، )2 ،0 )

( تحقق كل المتباينات 0،0ـ النقطة )


ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

أوجد مجموعة حل المتباينات األتية بيانياً ـ 3

6س+ ص 4 ، 2، س + ص 0، ص 0س

:ـ احلل

يحددان دائماً معاً الربع األول 0، ص 0ـ كما سبق المتباينتين س

( 4، 0( ، )0،4يمر بـ ) 4: س+ ص = 1ل

( 0، 3( ، ) 0،6يمر بـ ) 6س+ ص= 2: 2ل

الحل هو المنطقة المظللة ..

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ـ ـ الربجمة اخلطية :ـ

ـ

ـ

منطقة الحلول المشتركة للمتباينات الموجودة و إليجاد الحل المطلوب ) أكبر قيمة أو أصغر قيمة ( نحدد

.. فنجد أنه يحددها رؤوس مضلع

علي النقطة التي تحقق المطلوب ) دالة الهدف ( نحصلبالتعويض بهذه الرؤوس في دالة الهدف و ـ

)) و األمثلة التالية توضح ذلك ((

1ل

2ل

3ل

2ل

1ل


ين مجموعة حل المتباينات األتية معاً بيانياً : ع1مثال

20س 5ص+ 3 ،2س -، ص 0، ص 0س

ص .. 3س+5= أكبر ما يمكن حيث ـ ثم أوجد من مجموعة الحل قيم ) س، ص( التي تجعل

:ـ احلل

ول يحددان دائماً معاً الربع األ 0، ص 0ـ كما سبق المتباينتين س

( 4، 1( ، ) 3، 0يمر بـ ) 3س = -: ص 1ـ ل

( 0، 4( ، ) 10، 0يمر بـ ) 20س = 5ص+ 2: 2ـ ل

ـ فضاء الحل هو المضلع أ و جـ ب

( 2،5(، ب) 3، 0( ،جـ ) 0،0(، و ) 0، 4حيث أ )

.: ..

بالتعويض بالنقط للحصول علي المطلوب

20= 0×3+ 4×5= أ ل

25= 5×3+ 2×5= ب، ل

9= 3×3+ 0×5= جـ ، ل

= صفر 0×3+ 0×5= و، ل

( 5، 2ل أكبر ما يمكن عند ب )

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

األتية أوجد بيانياً مجموعة حل المتباينات ـ 2

3، س + ص 4ص 2، س+ 0، ص 0س

. ـ ثم أوجد من مجموعة الحل قيم ) س، ص( التي تجعل ) ر ( أقل ما يمكن حيث

:ـ احلل

( 0، 4( ، ) 2، 0يمر بـ ) 4ص = 2: س + 1ـ ل

( 0، 3( ، ) 3، 0يمر بـ ) 3: س+ ص= 2ـ ل

طقة المحددة بأسفل الحل هو المن

( 3، 0( ، جـ ) 1، 2( ، ب) 0، 4بالنقط أ )

.:

20= 0×4+ 4× 5= أ ر

14= 1×4+ 2×5= ب، ر

12= 3×4+ 0×5= جـ، ر

( = 3، 0أقل قيمة عند جـ )

1ل

2ل

أ

ب

جـ

و

1ل

2ل

أ

ب

جـ


2ل

1ل

أ

جـ ب

و

أ

ب جـ

و

كمية المتاحة النوع األول النوع الثاني ال

80 2 1ذرة

120 2 3قمح

2 4الثمن

النوع أ النوع ب القيمة العظمي

20 1 1الوزن

96 4 6السمك

يق و يضعه في أكياس ، بحيث كجم من القمح ـ ينتج نوعين من الدق 120كجم من الذرة ، 80مطحن لديه ـ 3

كجم من 2يلزم للكيس من النوع الثاني ـ كجم من القمح 3كيلو واحد من الذرة ، يلزم للكيس من النوع األول

أوجد عدد األكياس من كل نوع التي يجب أن ينتجها المطحن ليكون دخله أكبر ما كجم من القمح ـ 2الذرة ،

. جـ 2جنيه ، النوع الثاني 4نوع األول يمكن ، علماً بأن ثمن الكيس من ال

:ـ احلل

120ص 2س+ 80 ،3ص 2، س + 0، ص 0:. س ـ

.. ، دالة الهدف :

( 0، 80( ، ) 40، 0يمر بـ ) 80ص= 2: س+1ـ ل

( 0، 40( ، ) 60، 0يمر بـ ) 120ص= 2س+3: 2ـ ل

حيث ل هو المضلع أ و جـ ب ـ منطقة الح

( 30، 20، ب) (40، 0) ( ،جـ0،0( ، و)0، 40أ)

، دالة الهدف :

140= ب ، ر 80= جـ ، ر 0= و ، ر 160= أر

( 0، 40يكون الدخل أكبر ما يمكن عند أ )

ولكيس من النوع األ 40أي أن المطحن ينتج

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ

يراد وضع نوعين من الكتب أ ، ب علي رف ـ 4

كجم ، و سمك 1كجم ، فإذا كان وزن الكتاب من كال النوعين هو 20سم ، و حمولته القصوي 96مكتبة طوله

الرف بحيث سم ـ أوجد عدد الكتب من كل نوع التي توضع علي4سم ، و من النوع ب 6الكتاب من النوع أ هو

يكون عددها أكبر ما يمكن .

:ـ احلل

دالة الهدف ، 96ص 4س+ 20 ،6، س+ ص 0، ص 0:. س

( 0، 20( ، ) 20، 0يمر بـ ) 20: س+ص= 1ل

( 0، 16( ، ) 24، 0يمر بـ ) 96ص= 4س+6: 2، ـ ل ب الحل هو المنطقة المضلعة أ و جـ

( 12، 8( ، ب) 20، 0( ، جـ ) 0،0( ، و)0، 16حيث أ)

.: ،

20= ب ، ر 20= جـ ، ر 0= و، ر 16= أ ر

( 12، 8( ، ب ) 20، 0أكبر قيمة عند جـ )

كتاب من النوع الثاني فقط 20ـ أي أنه نضع

.. من النوع الثاني 12كتب من النوع األول ، 8أو نضع


أ

ب جـ

و

فيتامين الصنف األول الصنف الثاني الحد األدني

4 2 1أ

9 3 3ب

50 75السعر

الدرجة األولي الدرجة الثانية المتاح

4المقاعد س ص

120 20 60الوزن

2500 5000السعر

قررت إحدي الشركات أن تقدم وجبة خفيفة لموظفيها تتكون من صنفين ، بحيث تتوفر في الوجبة الواحدة ـ 5

وحدات من فيتامين ب ـ فإذا كانت الوحدة من الصنف األول 9وحدات علي األقل من فيتامين أ ، 4لكل شخص

ة من الصنف الثاني تعطي في المتوسط وحدات فيتامين ب ـ و ان الوحد 3تعطي في المتوسط وحدة فيتامين أ ،

قرش ، وسعر 75وحدات من فيتامين ب ـ وكان سعر الوحدة من الصنف األول 3وحدتين من فيتامين أ ،

قرش ـ فكم عدد الوحدات من الصنفين يعطي أرخص وجبة و تتضمن الحد 50الوحدة من الصنف الثاني

األدني من الفيتامينات .

:ـ احلل

ص50س+ 75، دالة الهدف : ر = 9ص 3س+ 4 ،3ص 2س+ ، 0، ص 0س :.

( 0، 4( ، ) 2، 0يمر بـ ) 4ص = 2: س+ 1ل

( 0، 3( ، ) 3، 0يمر بـ ) 9ص= 3س+3: 2ـ ل

الحل هو المنطقة التي حدودها السفلي أ ، ب ، جـ

( 3، 0(، جـ )1، 2( ، ب ) 0، 4حيث أ)

ص 50س+ 75. ر = :

300= 0×50+4×75= أ ر

200= 1+50+2×75= ب، ر

150= 3×50+ 0×75= جـ، ر

( 3، 0أرخص وجبة عند جـ )

وحدات من الصنف الثاني 3ـ


جـنيه ، 5000كجم و يدفع 60مقاعد للركاب ، فإذا كان راكب الدرجة األولي يسمح له بحمل 4طائرة بها ـ 6

كجم .. ـ فأوجد 120جـ . فإذا كان أكبر وزن لألمتعة هو 2500كجم و يدفع 20و راكب الدرجة الثانية يحمل

د الركاب من كل درجة الذي يحقق أكبر دخل من األجور . عد

:ـ احلل

120ص 20س + 4 ،60س+ ص ، 0، ص 0س :. . ، دالة الهدف

( 0، 4( ، ) 4، 0يمر بـ ) 4: س+ص= 1، ل

( 0، 2) (،6، 0يمر بـ ) 120ص =20س+ 60: 2ل،

منطقة المضلعة أ ب جـ و الحل هو ال

( 0،0( ، و)4، 0جـ ) (،3، 1( ، ب) 0، 2حيث: أ)

:. دالة الهدف :

10000= جـ ، ر 12500= ب ، ر 10000= أر

( : مقعد واحد من الدرجة األولي 3، 1أكبر دخل عند ب)

مقاعد من الدرجة الثانية # # 3،

1ل

2ل

أ

ب

جـ

14

)الربجمة اخلطية( .ثانية متارين الوحدة ال . أ ـ حل متباينات الدرجة األولي يف متغري أو إثنني

ـ أوجد جمموعة حل املتباينات األتية

5 1س+ 4-[ 3] 7< 1س+ 3 [2 ]3 5 -س2 [ 1

5س 2 -7[ 5] 11س + 5س+ 2 2[ س+ 4

3س+ ص < 6 [8 ]3س+ ص 4 [7 ]2[ س+ ص 6

8ص < س+ 2[ 11] 4س+ 2[ ص 10] 12ص > 3س+ 4[ 9

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ب ـ حل متباينتني أو أكثر .. بيانيًا . ـ أوجد جمموعة حل املتباينات األتية

1، ص 3[ س 13] 2، ص > -1س [ 12

4 س + ص 2 ،2ص 2[ س+ 15] 3، س+ ص < 2س [ 14

0ص > 3س + -1 ،2، ص -2[ س 17] 4س+ ص 0 ،4، ص 0[ س 16

4ص 2، س + 3س + ، ص 0، ص 0س [ 18

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

.. يةــــــــــة اخلطـــــــــــالربجم

.. ـ عين مجموعة حل المتباينات األتية معاً بيانياً 1

140س+ ص 100 ،2، س + ص 0، ص 0س

( أكبر ما يمكن ل تجعل ) ـ ثم أوجد من مجموعة الحل قيم ) س، ص( التي

ص 4س+ 6 =ل حيث :

ـ عين مجموعة حل المتباينات األتية معاً بيانياً . 2

12ص 2س+ 6 ،3ص 2، س+ 0، ص 0س

( أكبر ما يمكن لـ ـ ثم أوجد من مجموعة الحل قيم ) س، ص( التي تجعل )

ص 4س+ 6 =ل : حيث

ـ عين مجموعة حل المتباينات األتية معاً بيانياً . 3

12ص 2س + 11 ،3ص 2، س+ 0، ص 0س

( أقل ما يمكن رـ ثم أوجد من مجموعة الحل قيم ) س، ص( التي تجعل )

ص 5س+ 03 = ر: حيث


متر من الصوف ـ ينتج نوعين من الثياب بحيث يلزم لعمل 120متر من القطن ، 80ترزي لديه ـ 4

متر من الصوف ، و للنوع الثاني يلزم متران من كل من القطن 3ثوب من النوع األول متر من القطن ،

ـ نيهج20ثاني النوع ال الثوب من جنيه ، و ثمن 40، الصوف ـ و كان ثمن الثوب من النوع األول

([ 0، 40] ) ـ أوجد عدد الثياب من كل نوع التي يجب أن ينتجها الترزي ليكون دخله اكبر ما يمكن

جميعها كهربائي ثم يقوم عامل بدهانها بتينتج مصنع نوعين من النجف أ ، ب ـ وكل نجفة يقوم ـ 5

ساعتين لتجميع النموذج ب ـ أما عامل الدهان و يأخذ الكهربائي ساعة لتجميع النموذج أ ، و بالبرونز ـ

6ساعات لدهان النموذج أ ، ساعة لدهان النموذج ب ـ و يعمل الكهربائي و عامل الدهان 3فيأخذ

جنيه من بيع 30جنيه من بيع الوحدة من النموذج أ ، 20ساعات يومياً ـ فإذا كان المصنع يكسب

الوحدة من النموذج ب

([ 3، 0ف الذي يمكن إنتاجه في اليوم ليعطيه أكبر ربح ممكن ] ) ـ فكم عدد النج

سعرات حرارية ـ و الثانية بها وحدتان 3وحدات فيتامين و تعطي 4سلعتان غذائيتان األولي بها ـ 6

سعر حراري 36وحدة فيتامين علي األقل ، 24سعرات حرارية ـ فإذا كان المطلوب 5فيتامين و تعطي

الثانية من السلعة قروش ، سعر الوحدة 10علي األقل .. و كان سعر الوحدة من السلعة األولي

ـ فما الكمية الواجب شراؤها من كال السلعتين لتحقيق المطلوب بأقل تكلفة .. قرش 15

ينتج نوعين من الحلوي كجم من السكر ، و 120كجم من الدقيق ، 72ـ مصنع ألنتاج الحلوي لديه 7

كجم سكر ، يحتاج إنتاج وحدة من النوع الثاني 12كجم دقيق ، 4 ـ تحتاج الوحدة من النوع األول

جنيه 45من النوع الثاني، ونيهج25كجم سكر ـ كما يبلغ ربح الوحدة من النوع األول 8كجم دقيق ، 8

حقيق أقصي ربح .. ـ فما هي الكمية الواجب إنتاجها من كال النوعين لت

سم ، 102علي رف مكتبه طوله ب ـ يراد وضع نوعين من الكتب علي أ ،8

كجم ، و سمك الكتاب من 1كجم . ـ فإذا كان وزن الكتاب من كال النوعين هو 25و حمولته القصوي

سم 6سم ، و من النوع ب هو 8النوع أ هو

وضع علي الرف بحيث يكون عددها أكبر ما يمكن ـ أوجد عدد الكتب من كل نوع التي ت .

نتين يول يلزم تشغيل ماكينتج مصنع نوعين من قطع الغيار أ ، ب ، فإذا كان إنتاج قطعة من النوع األـ 9

ساعات ـ و ألنتاج قطعة من النوع ب يلزم تشغيل الماكينة األولي 3ساعات و الثانية لمدة 3األولي لمدة

ساعات يومياً ، و 8لثانية لمدة ساعتين ـ فإذا كانت الماكينة األولي ال تعمل أكثر من ساعات و ا4لمدة

ل قطعة من النوع أ ، كمن جنيه24و كان المصنع يكسب ساعة يومياً .12التعمل أكثر من الثانية

حد ؟ من كل قطعة من النوع ب ـ فأوجد أكبر ربح يمكن أن يحصل عليه المصنع في اليوم الوا نيهج 40

عامل و كان المصنع ينتج نوعين من السلع فإذا كان إنتاج الوحدة 20آلة و 12مصنع صغير به ـ 10

آالت و 3من السلعة )أ( تحتاج إلي آلة واحدة ، و عاملين ـ و إنتاج وحدة من السلعة )ب( تحتاج

جنيه .. 20هو جنيه ، سعر الوحدة من السلعة ب 10عاملين ـ وأن سعر الوحدة من السلعة أ هو

@ @ @ . ـ المطلوب : تحديد االنتاج األمثل لهذا المصنع لتحقيق أعلي إيراد ممكن .



Education

جبر 1ث ع ف1