Upload
-
View
255
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
LOGO
Основы логики и логические основы компьютера
http://yaro-vik.ru/
Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 7 города Слободского Кировской области
© Ярославцев Виктор Леонидович, учитель информатики
LOGO
- это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Джордж Буль
1815-1864
Джордж Буль родился в Линкольне в семье мелкого торговца. Он окончил только начальную школу для детей бедняков. Джордж Буль по праву считается отцом математической логики. В 1854 году вышел его главный труд ―изучения законов мышления‖
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Основными формами мышления являются , и
–это форма мышления, фиксирующая основные,
существенные признаки объекта
–это форма мышления, в которой что либо утверждается или отрицается о свойствах
реальных предметов и отношениях между ними
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
—это любое повествовательное
предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно
оно или ложно.
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Так, например, предложение " " следует считать высказыванием, так как оно истинное.
Предложение " "тоже высказывание, так как оно ложное.
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Высказываниями не являются, например, предложения
" " и "
".
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания " ", " ", " ", " ", "
" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются .
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются
. Высказывания, не являющиеся составными, называются
.
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Так, например, из элементарных высказываний " ", " " при помощи связки " " можно получить составное высказывание "
", понимаемое как "
".
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
При помощи связки " " из этих же высказываний можно получить составное высказывание "
", понимаемое в алгебре логики как "
".
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Пусть через обозначено высказывание "
", а через —высказывание "
".
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Тогда составное высказывание ""
можно кратко записать как . Здесь " " — логическая связка, —логические переменные, которые могут принимать только два значения -" " или " ", обозначаемые, соответственно, " " " ".
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Логическое умножения
Логическое сложение
Логическое отрицание
Таблицы истинности
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Операция, выражаемая связкой " ", называется (лат. conjunctio — соединение) или и обозначается точкой " . " (может также обозначаться знаками или ).
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Высказывание истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания и истинны.
Например, Высказывание "10 делится на 2 и 5 больше 3" , а высказывания "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и 5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3" — .
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Операция, выражаемая связкой "или", называется (лат. disjunctio — разделение) или
и обозначается знаком (или
).
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Высказывание ложно тогда итолько тогда, когда оба высказывания
ложны.
Например,
Высказывание "10 не делится на 2 или 5не больше 3" ,
а высказывания "10 делится на 2 или 5больше 3", "10 делится на 2 или 5 небольше 3", "10 не делится на 2 или 5больше 3"— .
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Операция, выражаемая словом "не", называется
или и обозначается чертой над высказыванием.
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.
Пример. "Луна — спутник Земли" (А); "Луна — не спутник Земли" (А).
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
А B F=A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A F=A
0 1
1 1
Таблица истинности функции логического
сложения
А B F=A&B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Таблица истинности функции логического
отрицания
Таблица истинности функции логического
сложения
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Логические выражения
Таблицы истинности
Равносильные логические выражения
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Каждое составное высказывания можно выразить в виде в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие
.
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Запишем в форме логического выражения составное высказывание (2*2=5 или 2*2=4) и (2*2<>5 или 2*2<>4). Теперь запишем высказывания в форме логического выражения:
F=(AVB)&(AVB).Поставим в логическое выражения значения логических переменныхи получим значение логической функции:F=(A+B)&(A+B)=(0+1)&(1+0)=1&1=1
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Для каждого составного высказывания можно построить таблицу истинности. При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определѐнной последовательностью действий. Эта последовательность действий называется
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
1)Необходимо определить количество строк и столбцов в таблице истинности (количества строк равно количеству комбинаций логических переменных, а количества столбцов равно количеству логических переменных и логических операций). 2)Необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, и обозначить столбцы.3)Необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
F=(A+B)&(A+B)
A B A+B A B A+B (A+B)&(A+B)
0 0 0 1 1 1 0
0 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 1 1 1
1 1 1 0 0 0 0
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают,
называются .
Для обозначения равносильных логических выражений используется знак ― ―.
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Любое составное высказывания можно рассматривать как логическую функцию аргументами которой являются логические переменные . Сама функция и аргументы могут принимать только два различных значения: ― ‖ ( ) и ― ‖ ( ).
Логическое следования
Логическое равенства
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Операция, выражаемая связками " ", "
", " ", называется (лат. implico — тесно
связаны) и обозначается знаком . Высказывание ложно тогда и только тогда, когда истинно, а ложно.
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Операция, выражаемая связками " ", " ", "
", называется или
и обозначается знаком или . Высказывание
истинно тогда и только тогда, когда значения и совпадают.
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
В алгебре высказываний законы логики записываются в виде , которые позволяют проводить эквивалентные преобразования логических выражений.
тождества, непротиворечия, исключения третьего, закон двойного отрицания, закон де Моргана, коммутативности, ассоциативности, закон дистрибутивности.
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Всякое высказывание тождественно самому себе: А=А
Логическое произведения и его отрицания должно быть ложно: A&A=0
Результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда
принимает значения «истина»: A+A=1
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Если дважды отрицать некоторое высказывания, то в результате мы получим
исходное высказывание: А=А
A v B=A&B
A&B=A v B
Логическое умножения Логическое сложения
A&B=B&A A+B=B+A
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Логическое умножения Логическое сложения
(A&B)&C=A&(B&C) (A+B)+C=A+(B+C)
Дистрибутивность умножения
относительного сложения
Дистрибутивность сложения
относительно умножения
(A&B)+(A&C)=A&(B+C) (A+B)&(A+C)=A+(B&C)
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить
.
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
— это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Базовые логические элементы
Сумматор двоичных чисел
Триггер
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Базовые логические элементы реализуют рассмотренные выше основные логические операции:• логический элемент « » - логическое умножения;• логический элемент « » - логическое сложение;• логический элемент « » - инверсию.
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
– это табличное представление логической схемы, в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов вместе со значением истинности выходного сигнала для каждого из этих сочетаний.
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль.
Таблица истинности схемы
X Y X*Y
0 0 0
1 0 0
0 1 0
1 1 1
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Схема реализует конъюнкцию двух или более логических значений.
&
X
YF=X·Y
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Таблица истинности схемы
x y x v y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Когда хотя бы на одном входе схемы будет , на еѐ выходе также будет .
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Схема реализует дизъюнкцию двух или более
логических значений.
X
Y
F=X+Y
1
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Таблица истинности схемы
x x
0 1
1 0
Если на входе схемы , то на выходе . Когда на входе , на выходе .
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Схема ( ) реализует операцию отрицания. Связь между входом этой схемы и выходом можно записать соотношением = где читается как "" или " ".
X F=X1
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Таблица истинности схемы
x y X*Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Схема состоит из элемента инвертора и осуществляет
отрицание результата схемы .Связь между выходом и входами и схемы записывают следующим образом: , где читается как " ".
X
F=X·Y&
Y
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Таблица истинности схемы
x y X+Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Схема состоит из элемента и инвертора и осуществляет
отрицание результата схемы . Связь между выходом и входами и схемы записывают следующим образом: , где , читается как " ".
X
F=X+Y1
Y
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
— это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел.
Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом арифметико-логического устройства компьютера, однако он находит применение также и в других устройствах машины.
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Полусумматоры
Полный одноразрядный сумматор
Многоразрядный сумматор
Сумматоры двоичных чисел подразделяются на:
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Для определения суммы можно применить следующее логическое
выражение: S=(A+B)&(A&B).
Схема полусумматора двоичных чисел
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Полный одноразрядный сумматор должен иметь три входа: A, B – слагаемые и P0 – перенос из младшего разряда и два выхода: сумму S и перенос P.
Логическое выражения для вычисления суммы в полном сумматоре принимает
следующий вид:
S=(A+B+P0)&P0+(A&B&P0).
Формула переноса имеет следующий вид:
P=(A&B)+(A&P0)+(B&P0).
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Таблица сложения
Слагаемые
Перенос из
младшего
разрядаПеренос Сумма
A B P0 P S
0 0 0 0 0
0 1 0 0 1
1 0 0 0 1
1 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 1 1 0
1 1 1 1 1
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Многоразрядный сумматор процессора состоит из полных одноразрядных сумматоров. На каждый разряд ставится одноразрядный сумматор, причѐмвыход сумматора младшего разряда подключается ко входу старшего разряда.
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
— это электроннаясхема, широко применяемая врегистрах компьютера длянадѐжного запоминания одногоразряда двоичного кода. Триггеримеет два устойчивых состояния,одно из которых соответствуетдвоичной единице, а другое —двоичному нулю.
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики
LOGO
Самый распространѐнный тип триггера — так
называемый (S и R, соответственно,
от английских set — установка, и reset — сброс).
0
1
0
1
S
R
Q
Q
МКОУ СОШ № 7 г. Слободского
© Ярославцев В.Л., учитель информатики