of 63 /63
LOGO Основы логики и логические основы компьютера http://yaro-vik.ru/ Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 7 города Слободского Кировской области © Ярославцев Виктор Леонидович, учитель информатики

Основы логики и логические основы компьютера

  • Upload
    -

  • View
    254

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

LOGO

Основы логики и логические основы компьютера

http://yaro-vik.ru/

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 7 города Слободского Кировской области

© Ярославцев Виктор Леонидович, учитель информатики

LOGO

- это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Джордж Буль

1815-1864

Джордж Буль родился в Линкольне в семье мелкого торговца. Он окончил только начальную школу для детей бедняков. Джордж Буль по праву считается отцом математической логики. В 1854 году вышел его главный труд ―изучения законов мышления‖

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Основными формами мышления являются , и

–это форма мышления, фиксирующая основные,

существенные признаки объекта

–это форма мышления, в которой что либо утверждается или отрицается о свойствах

реальных предметов и отношениях между ними

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

—это любое повествовательное

предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно

оно или ложно.

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Так, например, предложение " " следует считать высказыванием, так как оно истинное.

Предложение " "тоже высказывание, так как оно ложное.

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Высказываниями не являются, например, предложения

" " и "

".

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания " ", " ", " ", " ", "

" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются .

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются

. Высказывания, не являющиеся составными, называются

.

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Так, например, из элементарных высказываний " ", " " при помощи связки " " можно получить составное высказывание "

", понимаемое как "

".

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

При помощи связки " " из этих же высказываний можно получить составное высказывание "

", понимаемое в алгебре логики как "

".

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Пусть через обозначено высказывание "

", а через —высказывание "

".

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Тогда составное высказывание ""

можно кратко записать как . Здесь " " — логическая связка, —логические переменные, которые могут принимать только два значения -" " или " ", обозначаемые, соответственно, " " " ".

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Логическое умножения

Логическое сложение

Логическое отрицание

Таблицы истинности

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Операция, выражаемая связкой " ", называется (лат. conjunctio — соединение) или и обозначается точкой " . " (может также обозначаться знаками или ).

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Высказывание истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания и истинны.

Например, Высказывание "10 делится на 2 и 5 больше 3" , а высказывания "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и 5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3" — .

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Операция, выражаемая связкой "или", называется (лат. disjunctio — разделение) или

и обозначается знаком (или

).

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Высказывание ложно тогда итолько тогда, когда оба высказывания

ложны.

Например,

Высказывание "10 не делится на 2 или 5не больше 3" ,

а высказывания "10 делится на 2 или 5больше 3", "10 делится на 2 или 5 небольше 3", "10 не делится на 2 или 5больше 3"— .

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Операция, выражаемая словом "не", называется

или и обозначается чертой над высказыванием.

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.

Пример. "Луна — спутник Земли" (А); "Луна — не спутник Земли" (А).

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

А B F=A+B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

A F=A

0 1

1 1

Таблица истинности функции логического

сложения

А B F=A&B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Таблица истинности функции логического

отрицания

Таблица истинности функции логического

сложения

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Логические выражения

Таблицы истинности

Равносильные логические выражения

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Каждое составное высказывания можно выразить в виде в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие

.

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Запишем в форме логического выражения составное высказывание (2*2=5 или 2*2=4) и (2*2<>5 или 2*2<>4). Теперь запишем высказывания в форме логического выражения:

F=(AVB)&(AVB).Поставим в логическое выражения значения логических переменныхи получим значение логической функции:F=(A+B)&(A+B)=(0+1)&(1+0)=1&1=1

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Для каждого составного высказывания можно построить таблицу истинности. При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определѐнной последовательностью действий. Эта последовательность действий называется

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

1)Необходимо определить количество строк и столбцов в таблице истинности (количества строк равно количеству комбинаций логических переменных, а количества столбцов равно количеству логических переменных и логических операций). 2)Необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, и обозначить столбцы.3)Необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

F=(A+B)&(A+B)

A B A+B A B A+B (A+B)&(A+B)

0 0 0 1 1 1 0

0 1 1 1 0 1 1

1 0 1 0 1 1 1

1 1 1 0 0 0 0

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают,

называются .

Для обозначения равносильных логических выражений используется знак ― ―.

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Любое составное высказывания можно рассматривать как логическую функцию аргументами которой являются логические переменные . Сама функция и аргументы могут принимать только два различных значения: ― ‖ ( ) и ― ‖ ( ).

Логическое следования

Логическое равенства

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Операция, выражаемая связками " ", "

", " ", называется (лат. implico — тесно

связаны) и обозначается знаком . Высказывание ложно тогда и только тогда, когда истинно, а ложно.

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Операция, выражаемая связками " ", " ", "

", называется или

и обозначается знаком или . Высказывание

истинно тогда и только тогда, когда значения и совпадают.

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

В алгебре высказываний законы логики записываются в виде , которые позволяют проводить эквивалентные преобразования логических выражений.

тождества, непротиворечия, исключения третьего, закон двойного отрицания, закон де Моргана, коммутативности, ассоциативности, закон дистрибутивности.

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Всякое высказывание тождественно самому себе: А=А

Логическое произведения и его отрицания должно быть ложно: A&A=0

Результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда

принимает значения «истина»: A+A=1

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Если дважды отрицать некоторое высказывания, то в результате мы получим

исходное высказывание: А=А

A v B=A&B

A&B=A v B

Логическое умножения Логическое сложения

A&B=B&A A+B=B+A

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Логическое умножения Логическое сложения

(A&B)&C=A&(B&C) (A+B)+C=A+(B+C)

Дистрибутивность умножения

относительного сложения

Дистрибутивность сложения

относительно умножения

(A&B)+(A&C)=A&(B+C) (A+B)&(A+C)=A+(B&C)

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить

.

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

— это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Базовые логические элементы

Сумматор двоичных чисел

Триггер

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Базовые логические элементы реализуют рассмотренные выше основные логические операции:• логический элемент « » - логическое умножения;• логический элемент « » - логическое сложение;• логический элемент « » - инверсию.

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

– это табличное представление логической схемы, в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов вместе со значением истинности выходного сигнала для каждого из этих сочетаний.

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль.

Таблица истинности схемы

X Y X*Y

0 0 0

1 0 0

0 1 0

1 1 1

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Схема реализует конъюнкцию двух или более логических значений.

&

X

YF=X·Y

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Таблица истинности схемы

x y x v y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Когда хотя бы на одном входе схемы будет , на еѐ выходе также будет .

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Схема реализует дизъюнкцию двух или более

логических значений.

X

Y

F=X+Y

1

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Таблица истинности схемы

x x

0 1

1 0

Если на входе схемы , то на выходе . Когда на входе , на выходе .

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Схема ( ) реализует операцию отрицания. Связь между входом этой схемы и выходом можно записать соотношением = где читается как "" или " ".

X F=X1

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Таблица истинности схемы

x y X*Y

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Схема состоит из элемента инвертора и осуществляет

отрицание результата схемы .Связь между выходом и входами и схемы записывают следующим образом: , где читается как " ".

X

F=X·Y&

Y

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Таблица истинности схемы

x y X+Y

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Схема состоит из элемента и инвертора и осуществляет

отрицание результата схемы . Связь между выходом и входами и схемы записывают следующим образом: , где , читается как " ".

X

F=X+Y1

Y

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

— это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел.

Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом арифметико-логического устройства компьютера, однако он находит применение также и в других устройствах машины.

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Полусумматоры

Полный одноразрядный сумматор

Многоразрядный сумматор

Сумматоры двоичных чисел подразделяются на:

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Для определения суммы можно применить следующее логическое

выражение: S=(A+B)&(A&B).

Схема полусумматора двоичных чисел

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Полный одноразрядный сумматор должен иметь три входа: A, B – слагаемые и P0 – перенос из младшего разряда и два выхода: сумму S и перенос P.

Логическое выражения для вычисления суммы в полном сумматоре принимает

следующий вид:

S=(A+B+P0)&P0+(A&B&P0).

Формула переноса имеет следующий вид:

P=(A&B)+(A&P0)+(B&P0).

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Таблица сложения

Слагаемые

Перенос из

младшего

разрядаПеренос Сумма

A B P0 P S

0 0 0 0 0

0 1 0 0 1

1 0 0 0 1

1 1 0 1 0

0 0 1 0 1

0 1 1 1 0

1 0 1 1 0

1 1 1 1 1

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Многоразрядный сумматор процессора состоит из полных одноразрядных сумматоров. На каждый разряд ставится одноразрядный сумматор, причѐмвыход сумматора младшего разряда подключается ко входу старшего разряда.

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

— это электроннаясхема, широко применяемая врегистрах компьютера длянадѐжного запоминания одногоразряда двоичного кода. Триггеримеет два устойчивых состояния,одно из которых соответствуетдвоичной единице, а другое —двоичному нулю.

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

Самый распространѐнный тип триггера — так

называемый (S и R, соответственно,

от английских set — установка, и reset — сброс).

0

1

0

1

S

R

Q

Q

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO

[email protected]

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского