Алгебраический подход к анализу данных и его приложения

ККооннффееррееннцциияя ппррооффеессссоорроовв РРААНН ппоо ООттддееллееннииюю ммааттееммааттииччеессккиихх ннаауукк РРААНН

ААллггееббррааииччеессккиийй ппооддххоодд кк ааннааллииззуу ддаанннныыхх

ии ееггоо ппррииллоожжеенниияя

ААллееккссааннддрр ДДььяяккоонноовв

ММооссккооввссккиийй ггооссууддааррссттввеенннныыйй ууннииввееррссииттеетт ииммееннии ММ..ВВ.. ЛЛооммооннооссоовваа

ВВыыччииссллииттееллььнныыйй ццееннттрр иимм.. АА..АА.. ДДооррооддннииццыыннаа ФФИИЦЦ ИИУУ РРААНН

1144 ииююнняя 22001166 гг.. 1100::2255,, гг.. ММоосскквваа,, уулл.. ГГууббккииннаа,, дд.. 88,, ММааттееммааттииччеессккиийй ииннссттииттуутт ииммееннии ВВ.. АА.. ССттееккллоовваа РРооссссииййссккоойй ААккааддееммииии ннаауукк

Конференция профессоров ОМН РАН 14 июня 2016 года 2 слайд из 19

Алгебраический подход к анализу данных и его приложения А.Г. Дьяконов (ВМК МГУ, ВЦ ФИЦ ИУ РАН)

ООббллаассттьь ииссссллееддоовваанниийй

ААннааллиизз ддаанннныыхх ((DDaattaa MMiinniinngg))

ММаашшииннннооее ооббууччееннииее ((MMaacchhiinnee LLeeaarrnniinngg))



ООббллаассттьь ииссссллееддоовваанниийй

ЗЗааддааччии ммаашшииннннооггоо ооббууччеенниияя::

ккллаассссииффииккаацциияя ((рраассппооззннааввааннииее))

ррееггрреессссиияя

ппррооггннооззииррооввааннииее

ППррииммееррыы::

ккллаассссииффииккаацциияя ссппааммаа

ккааттееггооррииззаацциияя ттееккссттоовв

ддееттееккттииррооввааннииее ннееииссппррааввннооссттеейй

ппррееддссккааззааннииее ддееййссттввиийй

ппооллььззооввааттееллеейй

ААллггееббррааииччеессккиийй ппооддххоодд кк рреешшееннииюю ззааддаачч ааннааллииззаа ддаанннныыхх

((ЮЮ..ИИ.. ЖЖууррааввллёёвв))

ооппееррааццииии ннаадд ааллггооррииттммааммии

ооббооссннооввааннииее ккооррррееккттннооссттии ппооллииннооммоовв ннаадд ааллггооррииттммааммии



ААллггееббррааииччеессккиийй ппооддххоодд кк рреешшееннииюю ззааддаачч

рраассппооззннаавваанниияя//ккллаассссииффииккааццииии

11 1 11 11 10

1 1

1 1

B Cl l

q q ql q q ql

l l

S SI

S S

,

ммааттррииццаа ооццеенноокк ммааттррииццаа ккллаассссииффииккаацциийй

~ij

«i j

S K »

A B C ,

B –– рраассппооззннааюющщиийй ооппееррааттоорр,,

C –– рреешшааюющщееее ппррааввииллоо..

ммооддеелльь ААВВОО ((ааллггооррииттммыы ввыыччииссллеенниияя ооццеенноокк))



ААллггееббрраа ннаадд ааллггооррииттммааммии

ООппееррааццииии ннаадд рраассппооззннааюющщииммии ооппееррааттооррааммии::

1 2 1 2[ ] [ ] [ ]B B B B ,

[ ] [ ]cB c B ,

1 2 1 2[ ] [ ] [ ]B B B B .

ЛЛииннееййннооее ззааммыыккааннииее *( )BL ммнноожжеессттвваа

*B :

* *

1 1 1 1( ) { | {1,2, }, , , , , , }

r r r rB c B c B r c c B B B L Q .

ААллггееббррааииччеессккооее ззааммыыккааннииее k --йй ссттееппееннии *( )k BU :

* *

1 1( ) ({ | , , , 1 })k

s sB B B B B B s k U L .

ААллггееббррааииччеессккооее ззааммыыккааннииее::

* *

1

( ) ( )k

k

B B

U U .



ААллггееббрраа ннаадд ааллггооррииттммааммии

ООппррееддееллееннииее.. ММооддеелльь рраассппооззннааюющщиихх ооппееррааттоорроовв *R ннааззыыввааееттссяя

ккооррррееккттнноойй ((ооттннооссииттееллььнноо ззааддааччии рраассппооззннаавваанниияя)),, еессллии

q lQ *B R : [ ]B .

ТТееооррееммаа.. ММооддеелльь )( *BU ккооррррееккттннаа ттооггддаа ии ттооллььккоо ттооггддаа,, ккооггддаа

ввыыппооллннеенныы ппееррввооее ии ввттооррооее ууссллооввиияя ррееггуулляяррннооссттии..

11––33 ууссллооввиияя ррееггуулляяррннооссттии –– ЖЖууррааввллёёвв ЮЮ..ИИ.. ((11997777 гг..))

11––22 ууссллооввиияя ррееггуулляяррннооссттии –– ДДооккууккиинн АА..АА.. ((22000011 гг..))



ООссннооввнныыее ррееззууллььттааттыы ррааббооттыы

11.. ППррееддллоожжееннаа ттееоорриияя ссииссттеемм ээккввииввааллееннттннооссттеейй ддлляя ооппииссаанниияя ии

ииссссллееддоовваанниияя ааллггееббррааииччеессккиихх ззааммыыккаанниийй ккооннееччнныыхх ссттееппееннеейй..

22.. ППооллууччеенныы ннооввыыее ккррииттееррииии ккооррррееккттннооссттии ааллггееббррааииччеессккооггоо

ззааммыыккаанниияя ккооннееччнноойй ссттееппееннии ии ккррииттееррииии ррааззрреешшииммооссттии ззааддаачч

ааллггооррииттммааммии иизз ээттооггоо ззааммыыккаанниияя..

33.. ППооллууччееннаа ннееууллууччшшааееммааяя вв ооббщщеемм ссллууччааее ооццееннккаа ссттееппееннии

ккооррррееккттннооггоо ааллггееббррааииччеессккооггоо ззааммыыккаанниияя ммооддееллии ААВВОО..

44.. ИИссссллееддоовваанноо ппооппооллннееннииее ллииннееййннооггоо ззааммыыккаанниияя ммнноожжеессттвваа

ппооллииннооммоовв ооггррааннииччеенннноойй ссттееппееннии ннаадд ААВВОО ооппеерраацциияяммии ннооррммииррооввккии

ии ддееллеенниияя..

55.. ИИссссллееддоовваанноо ппоонняяттииее ккооррррееккттннооссттии ммооддееллии ооттннооссииттееллььнноо

ссееммееййссттвваа рреешшааюющщиихх ппррааввиилл..

66.. ИИссссллееддооввааннаа kk--ссииннггуулляяррннооссттьь ккооннееччнноойй ссииссттееммыы ттооччеекк

((ннееппооллннооттаа ррааззммееррннооссттии ппррооссттррааннссттвваа ззннааччеенниийй ппооллииннооммоовв

ооггррааннииччеенннноойй ссттееппееннии ннаадд ссттооллббццааммии ммааттррииццыы ппооппааррнныыхх ll11--

рраассссттоояянниийй ээттоойй ссииссттееммыы..



ННооввыыее ккррииттееррииии ккооррррееккттннооссттии ааллггееббррааииччеессккооггоо ззааммыыккаанниияя ккооннееччнноойй

ссттееппееннии ии ккррииттееррииии ррааззрреешшииммооссттии ззааддаачч ааллггооррииттммааммии иизз ээттооггоо

ззааммыыккаанниияя

ППооссттррооеенноо ммнноожжеессттввоо ооппееррааттоорроовв QLjijiB ),(),( }{ ,, },,2,1{},,2,1{ lqQL ::

ТТееооррееммаа.. ППррии k

kF F , {1,2, }k , ссппррааввееддллииввоо ррааввееннссттввоо

*

( , ) ( , )({ ( )} ) ( )k

k i j i j QLF B B

L U .

kF –– ппооллннооссттььюю ооппииссаанноо ПП..АА.. ККааррппооввииччеемм ((22001100 гг..))

ППооллииннооммыы ЮЮ..ИИ.. ЖЖууррааввллёёвваа ((11997777 гг..))

ППооллууччееннииее ллююббоойй ммааттррииццыы ооццееннккии

(ддлляя *( )k BU )

i

ikiiBc

)(

QLba

kbaba Bc

),(

),(),(

( , ) ( , )( , )

( )a b k a b

a b QL

c F B



ННееууллууччшшааееммааяя вв ооббщщеемм ссллууччааее ооццееннккаа ссттееппееннии ккооррррееккттннооггоо

ааллггееббррааииччеессккооггоо ззааммыыккаанниияя ммооддееллии ААВВОО

~ logk q q –– ЮЮ..ИИ.. ЖЖууррааввллёёвв ((11997777 гг..))

2k q l –– ВВ..ЛЛ.. ММааттррооссоовв ((11998855 гг..))

k m –– ТТ..ВВ.. ППллооххооннииннаа ((11998877 гг..))

2logk ql –– КК..ВВ.. РРууддааккоовв ((11998899 гг..))

ТТооччннааяя ооццееннккаа ((ооббщщиийй ссллууччаайй))::

2 2log logk q l

q –– ччииссллоо ккооннттррооллььнныыхх ооббъъееккттоовв,, l –– ккллаассссоовв,, m –– ээттааллоонннныыхх ооббъъееккттоовв..



ННееууллууччшшааееммааяя вв ооббщщеемм ссллууччааее ооццееннккаа ссттееппееннии ккооррррееккттннооггоо

ааллггееббррааииччеессккооггоо ззааммыыккаанниияя ммооддееллии ААВВОО

ТТееооррееммаа.. ММооддеелльь *( )BU ккооррррееккттннаа ттооггддаа ии ттооллььккоо ттооггддаа,, ккооггддаа

ккооррррееккттннаа ммооддеелльь *( )k BU ,, ггддее 2 2

log logk q l .

ТТееооррееммаа.. ДДлляя ллююббыыхх ннааттууррааллььнныыхх ппааррааммееттрроовв q ии l , 2q l ,

ссуущщеессттввууеетт ррееггуулляяррннааяя ззааддааччаа рраассппооззннаавваанниияя,, вв ккооттоорроойй ммооддеелльь *( )k BU ннееккооррррееккттннаа ппррии

2 2log logk q l .

ТТааккжжее ппооллууччеенныы ттооччнныыее ооццееннккии ддлляя ччаассттнныыхх ссллууччааеевв..



ППооппооллннееннииее ллииннееййннооггоо ззааммыыккаанниияя ммнноожжеессттвваа ппооллииннооммоовв

ооггррааннииччеенннноойй ссттееппееннии ннаадд ААВВОО ооппеерраацциияяммии ннооррммииррооввккии ии ддееллеенниияя

ООппррееддееллееннииее.. ССттааннддааррттнныымм ззааммыыккааннииеемм ооттннооссииттееллььнноо ооппеерраацциийй иизз

Op ммнноожжеессттвваа *H ннааззыыввааееттссяя ммнноожжеессттввоо

* * * *

Op

Op ( ) { ( ) | ( ) ( )}F

H F H H H M F H

L L L L ,

ггддее *( )M F –– ооббллаассттьь ооппррееддееллеенниияя ооппееррааццииии F .

ТТееооррееммаа.. ЗЗааммыыккааннииее *D ( )BL L ккооррррееккттнноо ттооггддаа ии ттооллььккоо ттооггддаа,, ккооггддаа

ззааммыыккааннииее *( )BU ккооррррееккттнноо,, ггддее D –– ннееппррееррыыввннааяя ффууннккцциияя,, ооттллииччннааяя

оотт ппооллииннооммаа..

)5(D3)2(D 32121 BBBBB ))(D2(D 21 BB



ККооррррееккттннооссттии ммооддееллии ооттннооссииттееллььнноо ссееммееййссттвваа рреешшааюющщиихх ппррааввиилл

ППууссттьь *C –– ммнноожжеессттввоо рреешшааюющщиихх ппррааввиилл,,

* –– ммнноожжеессттввоо ккллаассссииффииккаацциийй ((q l --ммааттрриицц))..

ООппррееддееллееннииее.. ММооддеелльь *R ((рраассппооззннааюющщиихх ооппееррааттоорроовв)) ннааззыыввааееттссяя

*C -* --ккооррррееккттнноойй,, еессллии

* *B R , *C C : ( [ ])C B .

ВВ ббооллььшшииннссттввее ссллууччааеевв ккооррррееккттннооссттьь ээккввииввааллееннттннаа

*C -* --ккооррррееккттннооссттии..



11--ссииннггуулляяррннооссттьь ккооннееччнноойй ссииссттееммыы ттооччеекк

((ввыырроожжддееннннооссттьь ммааттррииццыы ппооппааррнныыхх ll11--рраассссттоояянниийй ээттоойй ссииссттееммыы))

РРееззууллььттааттыы ИИ.. ШШёённббееррггаа:: ННееввыырроожжддееннннооссттьь ммааттрриицц ппооппааррнныыхх

рраассссттоояянниийй ддлляя ккооннееччнноойй ссииссттееммыы 1{ }q

i is ррааззллииччнныыхх ттооччеекк

ппррооссттррааннссттвваа m

R ии ммееттррииккии pl , 1 2p , 1q .

0112102112012110



11--ссииннггуулляяррннооссттьь ккооннееччнноойй ссииссттееммыы ттооччеекк

ТТееооррееммаа.. ССииссттееммаа ттооччеекк qiisS 1}~{ яяввлляяееттссяя 1--ссииннггуулляяррнноойй ттооггддаа ии

ттооллььккоо ттооггддаа,, ккооггддаа ссуущщеессттввууеетт ттааккооее ппооддммнноожжеессттввоо },,2,1{ qX ,, ччттоо

ддлляя ллююббооггоо ппррееооббррааззоовваанниияя Gg ссииссттееммаа ттооччеекк Xiisg )}~({ ннее ооттддееллииммаа

оотт ссииссттееммыы ттооччеекк Xqiisg \},,2,1{)}~({ ггииппееррппллооссккооссттььюю

ТТееооррееммаа.. ССииссттееммаа ттооччеекк qiisS 1}~{ ппррооссттррааннссттвваа

mR яяввлляяееттссяя

1--ссииннггуулляяррнноойй ттооггддаа ии ттооллььккоо ттооггддаа,, ккооггддаа

}0~

{\),,( т1

qqcc R ::

ms R~ 0)~,~(

1

q

i

ii ssc ,,

ггддее –– ммееттррииккаа ХХээммммииннггаа ииллии 1l --ммееттррииккаа..



kk--ссииннггуулляяррннооссттьь ккооннееччнноойй ссииссттееммыы ттооччеекк

((ннееппооллннооттаа ррааззммееррннооссттии ппррооссттррааннссттвваа ззннааччеенниийй ппооллииннооммоовв

ооггррааннииччеенннноойй ссттееппееннии ннаадд ссттооллббццааммии ммааттррииццыы ппооппааррнныыхх ll11--

рраассссттоояянниийй ээттоойй ссииссттееммыы))

0 1 1 2 0 1 1 4 0 0 2 0 2 21 0 2 1 1 0 4 1 0 2 0 2 0 2

1 2 0 1 1 4 0 1 2 0 0 2 2 02 1 1 0 4 1 1 0 2 2 2 0 0 0

SP

ппооллииннооммыы ннаадд ссттооллббццааммии

kk--ррааннгг

ООппррееддееллееннииее.. ССииссттееммаа ттооччеекк S ннааззыыввааееттссяя k --ссииннггуулляяррнноойй,, еессллии

ррааззммееррннооссттьь ппррооссттррааннссттвваа [ ]k SU ммееннььшшее q .



ККррииттееррииии kk--ссииннггуулляяррннооссттии

ТТееооррееммаа.. ССииссттееммаа ттооччеекк kk--ссииннггуулляяррннаа ттооггддаа ии ттооллььккоо ккооггддаа,, ннаа ннеейй

ммоожжнноо ззааддааттьь ффууннккццииюю,, ннее ппррееддссттааввииммууюю вв ввииддее ссууммммыы ффууннккцциийй kk

ппееррееммеенннныыхх..

ТТееооррееммаа.. ССииссттееммаа ттооччеекк kk--ссииннггуулляяррннаа ттооггддаа ии ттооллььккоо ттооггддаа,, ккооггддаа

ссооддеерржжиитт ппооддссииссттееммуу,, ккооттооррааяя яяввлляяееттссяя ннооссииттееллеемм ссууммммыы ффууннккцциийй

иизз ммнноожжеессттвваа D ..



ППууббллииккааццииии

ДДььяяккоонноовв АА..ГГ.. ААллггееббрраа ннаадд ааллггооррииттммааммии ввыыччииссллеенниияя ооццеенноокк:: ммииннииммааллььннааяя ссттееппеенньь ккооррррееккттннооггоо

ааллггооррииттммаа //// ЖЖ.. ввыыччиисслл.. ммааттеемм.. ии ммааттеемм.. ффиизз.. –– 22000055.. –– ТТ..4455.. –– №№66.. –– СС..11113344––11114455..

ДДььяяккоонноовв АА..ГГ.. ААллггееббрраа ннаадд ааллггооррииттммааммии ввыыччииссллеенниияя ооццеенноокк:: ммооннооттоонннныыее рреешшааюющщииее ппррааввииллаа //// ЖЖ.. ввыыччиисслл..

ммааттеемм.. ии ммааттеемм.. ффиизз.. –– 22000055.. –– ТТ..4455.. –– №№1100.. –– СС..11889933––11990044..

ДДььяяккоонноовв АА..ГГ.. ААллггееббрраа ннаадд ааллггооррииттммааммии ввыыччииссллеенниияя ооццеенноокк:: ннооррммииррооввккаа ии ддееллееннииее //// ЖЖ.. ввыыччиисслл.. ммааттеемм.. ии

ммааттеемм.. ффиизз.. –– 22000077.. –– ТТ..4477.. –– №№66.. –– СС..11009999––11110099..

ДДььяяккоонноовв АА..ГГ.. ММееттррииккии ааллггееббррааииччеессккиихх ззааммыыккаанниийй вв ззааддааччаахх рраассппооззннаавваанниияя ооббррааззоовв сс ддввууммяя

ннееппеерреессееккааюющщииммииссяя ккллаассссааммии //// ЖЖ.. ввыыччиисслл.. ммааттеемм.. ии ммааттеемм.. ффиизз.. –– 22000088.. –– ТТ..4488.. –– №№55.. –– CC..991166––992277..

ДДььяяккоонноовв АА..ГГ.. ККррииттееррииии ккооррррееккттннооссттии ааллггееббррааииччеессккиихх ззааммыыккаанниийй ммооддееллии ааллггооррииттммоовв ввыыччииссллеенниияя ооццеенноокк

//// ДДоокклл.. РРААНН.. –– 22000088.. –– ТТ..442200.. –– №№66.. –– СС..773322––773355..

ДДььяяккоонноовв АА..ГГ.. ААллггееббррааииччеессккииее ззааммыыккаанниияя ооббооббщщеенннноойй ммооддееллии ааллггооррииттммоовв ввыыччииссллеенниияя ооццеенноокк //// ДДоокклл..

РРААНН.. –– 22000088.. –– ТТ..442233.. –– №№44.. –– СС..446611––446644..

ДДььяяккоонноовв АА..ГГ.. ККррииттееррииии ввыырроожжддееннннооссттии ммааттррииццыы ппооппааррнныыхх ll11--рраассссттоояянниийй ии иихх ооббооббщщеенниияя //// ДДоокклл.. РРААНН.. ––

22000099.. –– ТТ.. 442255.. –– №№11.. –– СС.. 1111––1144..

ДДььяяккоонноовв АА..ГГ.. ААллггееббрраа ннаадд ааллггооррииттммааммии ввыыччииссллеенниияя ооццеенноокк:: ннооррммииррооввккаа ппоо ооттррееззккуу //// ЖЖ.. ввыыччиисслл.. ммааттеемм.. ии

ммааттеемм.. ффиизз.. –– 22000099.. –– ТТ..4499.. –– №№11.. –– СС..220000––220088..

ДДььяяккоонноовв АА..ГГ.. ТТееоорриияя ссииссттеемм ээккввииввааллееннттннооссттеейй ддлляя ооппииссаанниияя ааллггееббррааииччеессккиихх ззааммыыккаанниийй ооббооббщщеенннноойй

ммооддееллии ввыыччииссллеенниияя ооццеенноокк //// ЖЖууррннаалл ввыыччииссллииттееллььнноойй ммааттееммааттииккии ии ммааттееммааттииччеессккоойй ффииззииккии,, 22001100,, ТТ.. 5500,,

№№22.. СС..338888--440000..

ДДььяяккоонноовв АА..ГГ.. ТТееоорриияя ссииссттеемм ээккввииввааллееннттннооссттеейй ддлляя ооппииссаанниияя ааллггееббррааииччеессккиихх ззааммыыккаанниийй ооббооббщщеенннноойй

ммооддееллии ввыыччииссллеенниияя ооццеенноокк.. IIII //// ЖЖууррннаалл ввыыччииссллииттееллььнноойй ммааттееммааттииккии ии ммааттееммааттииччеессккоойй ффииззииккии,, 22001111,, ТТ..

5511,, №№33.. СС..552299--554444..

ДДььяяккоонноовв АА..ГГ.. ККррииттееррииии ввыырроожжддееннннооссттии ммааттррииццыы ппооппааррнныыхх ll11--рраассссттоояянниийй ии иихх ооббооббщщеенниияя //// ИИззввеессттиияя РРААНН..

ССеерриияя ММааттееммааттииччеессккааяя,, 22001122,, ТТ..7766::33,, СС.. 9933––111100..



ППррииккллаадднныыее ззааддааччии

ггоодд ссооррееввннооввааннииее ммеессттоо ззааддааччаа

22001144 GGrreeeekk MMeeddiiaa MMoonniittoorriinngg

MMuullttiillaabbeell CCllaassssiiffiiccaattiioonn

((WWIISSEE 22001144))

11//112211 ККллаассссииффииккаацциияя ттееккссттоовв ммееддииаа--ссттааттеейй ннаа ббооллььшшооее

ччииссллоо ппеерреессееккааюющщииххссяя ккллаассссоовв

22001133 ООллииммппииааддаа ВВииккииммааррттаа 11//4488 11.. ППррооггннооззииррооввааннииее ввеерроояяттннооссттии ззааккааззаа ччеерреезз

ккоолллл--ццееннттрр ппоо ддееййссттввиияямм ппооллььззооввааттеелляя ннаа ссааййттее

22.. ППррооггннооззииррооввааннииее ввеерроояяттннооссттии ооттккааззаа

ппооллььззооввааттеелляя оотт ссооззддааннннооггоо ззааккааззаа ппоо ооппииссааннииюю

ддееййссттввиийй ппооллььззооввааттеелляя ннаа ссааййттее ии ооппииссааннииюю

ззааккааззаанннныыхх ттоовваарроовв

33.. ППррооггннооззииррооввааннииее ввеерроояяттннооссттии ууххооддаа ппооссееттииттеелляя

((ппррееррыывваанниияя ссеессссииии)) сс ссааййттаа ппоо ддееййссттввиияямм

ппооллььззооввааттеелляя ннаа ссааййттее

22001111 VViiddeeooLLeeccttuurreess..NNeett

RReeccoommmmeennddeerr SSyysstteemm

CChhaalllleennggee ((EECCMMLL//PPKKDDDD

DDiissccoovveerryy CChhaalllleennggee 22001111))

11 // 6622

11 // 2222

РРааззррааббооттккаа ааллггооррииттммаа ррееккооммееннддааццииии ллееккцциийй ддлляя

ппррооссммооттрраа ннаа рреессууррссее VViiddeeooLLeeccttuurreess..NNeett..

22001111 dduunnnnhhuummbbyy''ss SShhooppppeerr

CChhaalllleennggee

11 // 228877 ППррееддссккааззыыввааннииее ввииззииттоовв ппооккууппааттееллеейй ии ссуумммм

ппооккууппоокк ддлляя ссееттии ссууппееррммааррккееттоовв..

22000088 FFoorrdd CCllaassssiiffiiccaattiioonn

CChhaalllleennggee

11 // 2200 ККллаассссииффииккаацциияя ссииггннааллоовв ммееххааннииззммоовв..



Алгоритм вычисления оценок (обобщённый)

– суперпозиция распознающего оператора (B ) и решающего правила (C ): A B C .

Распознающий оператор B

Оценка принадлежности объекта i

S к классу j

K

1,1,

, 0,0

[ ] ( ) ( ) ( , )t a

A j

t e b t

ij ab ia b S K

B x j w w S S

,

где tw Q при {1,2, , }t m (вес t -го объекта), ( )w Q при A

(вес учёта -й

близости), A Z

, , ( , )e b t

iS S

– функция близости:

,1 ,0 1, ( , ) ,( , ) 1 ( , )

0, ( , ) ,

te t e t i

ti ii

S S eS S S S

S S e

(или другой вид)

e – параметры функции (из множества Z

),

, 1,

\ , 0.

m

a jmj

j

S K aK

S K a

Education

Алгебраический подход к анализу данных и его приложения