일반물리 중간고사 범위 레시테이션 자료

UNIST

20131241 박용현

2. 한 직선상의 운동

어떻게 운동을 해석하는가 ?• 여러 물리량에 대한 개념 정의• 그 물리량들의 수학적 관계와 그 의미

물리량에 대한 개념 정의

변위 vs 이동거리

A B

변위 vs 이동거리• 변위 : 위치의 변화량 (displacement)• 얼마나 물체의 위치가 옮겨졌나 ?-> 크기• 어디로 물체의 위치가 옮겨졌나 ?-> 방향=> 변위는 크기와 방향을 가지고 있음 ( 벡터 )

• 이동거리 : 물체가 실제로 이동한 거리(distance)

• 얼마나 물체의 위치가 움직였나 ?-> 크기=> 이동거리는 크기만 가지고 있음 ( 스칼라 )

변위 vs 이동거리

• 이동거리는 ?

• 변위는 ?

A B

5m

속도 vs 속력

속도 vs 속력• 속도 : 시간에 대한 변위의 변화량 (Velocity)• 얼마나 빠르게 물체의 위치가 옮겨졌나 ?-> 크기• 어디로 물체의 위치가 옮겨졌나 ?-> 방향 => 속도는 크기와 방향을 가지고 있음 ( 벡터 ) 물체의 운동 방향 = 속도의 방향 • 속력 : 시간에 대한 이동거리의 변화량

(Speed)• 얼마나 빠르게 물체가 움직였나 ?-> 크기=> 이동거리는 크기만 가지고 있음 ( 스칼라 )

가속도• 가속도 (acceleration): 시간에 대한 속도의 변화량• 얼마나 빠르게 물체의 속도가 변하였나 ?-> 크기• 어디로 물체의 속도를 바뀌게 하는가 ?-> 방향=> 가속도는 크기와 방향을 가지고 있음 ( 벡터 )

변위 , 속도 , 가속도 ( 수식 )• 변위 , 속도 , 가속도 vs 이동거리 , 속력

변위 , 속도 , 가속도 ( 수식 )• 등속도 운동 (constant velocity)

: 속도가 일정한 운동 ( 운동 방향과 속력이 일정한 운동 )

• 등가속도 운동 (constant acceleration):가속도가 일정한 운동 (•

★★★③

변위 , 속도 , 가속도 ( 그래프 )• 등속도 운동

𝑂𝑂𝑂 t

a

tt

xv

𝑣0 𝑥0

변위 , 속도 , 가속도 ( 그래프 )• 등가속도 운동 ( 가속 )

𝑂𝑂𝑂 t

a

tt

xv

𝑣0 𝑥0𝑎0

변위 , 속도 , 가속도 ( 그래프 )• 등가속도 운동 ( 감속 )

𝑂𝑂𝑂 t

a

tt

xv

𝑣0 𝑥0

𝑎0

변위 , 속도 , 가속도

③

•25 An electric vehicle starts from rest and acceler-ates at a rate of in a straight line until it reaches a speed of 20 m/s. The vehicle then slows at a constant rate of until it stops. (a) How much time elapses from start to stop? (b) How far does the vehicle travel from start to stop?

변위 , 속도 , 가속도•25 An electric vehicle starts from rest and acceler-ates at a rate of in a straight line until it reaches a speed of 20 m/s. The vehicle then slows at a constant rate of until it stops. (a) How much time elapses from start to stop? (b) How far does the vehicle travel from start to stop?

𝑂 t

v

20

10 30

등가속도운동의 예 - 자유낙하운동• 자유 낙하 운동 (Free-fall acceration)

• 가속도 방향이 수직아래

등가속도운동의 예 - 자유낙하운동

③

•48 A hoodlum throws a stone vertically downward with an initial speed of 12.0 m/s from the roof of a building, 30.0 m above the ground. (a) How long does it take the stone to reach the ground? (b) What is the speed of the stone at impact?

등가속도운동의 예 - 자유낙하운동•48 A hoodlum throws a stone vertically downward with an initial speed of 12.0 m/s from the roof of a building, 30.0 m above the ground. (a) How long does it take the stone to reach the ground? (b) What is the speed of the stone at impact?

𝑂 t

v

+¿

12

𝑡1

12+𝑔𝑡1

변위 , 속도 , 가속도

3mA

B

g

③

• 93 A stone is thrown vertically upward. On its way up it passes point A with speed v, and point B, 3.00 m higher than A, with speed Calculate (a) the speed v and (b) the maximum height reached by the stone above point B.

2,3 차원에서의 운동

2,3 차원에서의 운동• 1. 좌표평면 , 공간좌표 -> 수직한 축을 더하여 확장 시킴• 2,3 차원에서의 운동 해석 -> 수직한 직선들을 추가 ( 평면 , 공간상에서의 운동 )

• 2. 벡터 분해

포물선 운동

포물선 운동

𝑎𝑦=𝑔

𝑎𝑥=0

포물선 운동

포물선 운동

𝑣0𝑣0 𝑥𝑣0 𝑦

포물선 운동• 수평 방향 (x 축 ) 은 등속도 운동

• 수직 방향 (y 축 ) 은 등가속도운동

𝑣0

포물선 운동

𝑣0 𝑥=𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑣0 𝑦=𝑣0𝑠𝑖𝑛𝜃𝜃

포물선 운동 - 최고점의 높이

H

물체를 띄울 때 ( 시작점 = 지면 , 종점 = 최고점 )


H


지면에서의 물체의 운동 상태1. 운동방향이 비스듬함=> 수평 , 수직방향으로 분해

𝑣0𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃𝜃𝑣0𝑠𝑖𝑛𝜃


H

𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃


최고점에서의 물체의 운동 상태1. 운동방향이 수평 방향임=> 수직 방향의 속도가 없음

③


H

① 𝑣0𝑥=𝑣=𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃수평방향의 운동 수직방향의 운동

높이 = 수직방향의 변위


③

포물선 운동 - 최고점에 도달하는 시간

H

① 𝑣0𝑥=𝑣=𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃수평방향의 운동 수직방향의 운동


① 𝑣0𝑥=𝑣=𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃

포물선 운동 - 수평 거리

R ③

수평방향의 운동 수직방향의 운동

𝑡1

칭𝑡 2

𝑡

수평거리 = 수평방향의 변위

포물선 운동

1.2𝑚

1.52𝑚

수평방향의 운동① 𝑣0𝑥=𝑣=𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃

수직방향의 운동 ③

•22 A small ball rolls horizontally off the edge of a tabletop thatis 1.20 m high. It strikes the floor at a point 1.52 m horizon-tally from the table edge. (a) How long is the ball in the air? (b) What isits speed at the instant it leaves the table?

포물선 운동

𝐻

h

42𝜃0 42𝑠𝑖𝑛𝜃0

42𝑐𝑜𝑠 𝜃0

𝐴

5.5 𝑠

••28 In Fig. 4-34, a stone is projected at a cliff of height h with an initial speed of 42.0 m/s directed at angle60.0° above the horizontal. The stone strikes at A, 5.50 s after launching. Find (a) the height h of the cliff, (b) the speed of the stone just before impact at A, and (c) the maximum height H reached above the ground.

포물선 운동

𝐻

h

42𝜃0 42𝑠𝑖𝑛𝜃0

42𝑐𝑜𝑠 𝜃0

5.5 𝑠

수평방향의 운동① 𝑥− 𝑥0=𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡

수직방향의 운동

••28 In Fig. 4-34, a stone is projected at a cliff of height h with an initial speed of 42.0 m/s directed at angle60.0° above the horizontal. The stone strikes at A, 5.50 s after launching. Find (a) the height h of the cliff, (b) the speed of the stone just before impact at A, and (c) the maximum height H reached above the ground.

𝐻−h

𝑡1 5.5−𝑡 1

𝐴

등속원운동

등속원운동

등속원운동

𝜃𝑟

𝜃

𝑥

𝑦

𝑎=𝑣2

𝑟

등속원운동

𝑟

𝑇=2𝜋𝑟𝑣

등속원운동

5𝑚7𝑔

• 92 An astronaut is rotated in a horizontal centrifuge at a radius

of 5.0 m. (a) What is the astronaut’s speed if the centripetal acceleration has a magnitude of 7.0g? (b) How many revolu-tions per minute are required to produce this acceleration? (c) What is the period of the motion?

𝑎=𝑣2

𝑟𝑇=

2𝜋𝑟𝑣

힘과 운동

힘과 운동• 변위 , 속도 , 가속도 -> 물체가 가지는 물리량• 힘 -> 외부에서 물체에 가하는 물리량

힘과 운동 - 뉴턴 제 2 법칙�⃗�=𝑚�⃗�

𝐹m

𝑎

힘과 운동 - 뉴턴 제 2 법칙�⃗� 𝑛𝑒𝑡=�⃗�1+ �⃗� 2+⋯=𝑚�⃗�

�⃗� 1

𝑚

𝑎

�⃗� 2

힘과 운동 - 뉴턴 제 1 법칙�⃗� 𝑛𝑒𝑡=�⃗�1+ �⃗� 2+⋯=𝑚�⃗�=0

�⃗� 1

𝑚

�⃗� 1𝑚

• 등속도 운동• 정지 운동

힘과 운동 - 뉴턴 제 3 법칙

�⃗� 1

𝑚

𝑎

�⃗� 2

�⃗� 𝐴𝐵=− �⃗�𝐵𝐴

힘과 운동 - 뉴턴 제 3 법칙

Earth

𝐴

𝐵

𝐶

�⃗� 𝐴𝐶

�⃗�𝐶𝐴

�⃗� 𝐴𝐵

�⃗�𝐵𝐴 �⃗�𝐵𝐶

�⃗�𝐶𝐵

힘과 운동 - 여러가지 힘• 중력 (gravitational force)

• 수직 항력 (Normal force)

• 마찰력 (Frictional force)

• 장력 (Tension)

힘과 운동 - 여러가지 힘• 중력 (gravitational force)

Earth

𝐹 𝑔=𝑚𝑔

𝑚

𝐹 𝑔

힘과 운동 - 여러가지 힘• 수직 항력 (Normal force)

𝑚𝑔

𝐹𝑁

힘과 운동 - 여러가지 힘• 수직 항력 (Normal force)

𝜃

𝐹𝑁

힘과 운동 - 여러가지 힘• 마찰력 (Frictional force)• - 정지 마찰력 (Static frictional force)

• - 운동 마찰력 (Kinetic frictional force)

힘과 운동 - 여러가지 힘• 마찰력 (Frictional force)• - 정지 마찰력 (Static frictional force)

𝐹𝑓 𝑠

𝑓 𝑠∝𝐹 , 𝑓 𝑆 ,𝑚𝑎𝑥=𝜇𝑠 ,𝑚𝑎𝑥 𝐹𝑁

?

힘과 운동 - 여러가지 힘• 마찰력 (Frictional force)• - 운동 마찰력 (Kinetic frictional force)

𝑓 𝑘=𝜇𝑘𝐹𝑁 ,𝐹− 𝑓 𝑘=𝑚𝑎

𝑓 𝑘

𝐹 𝑚

힘과 운동 - 여러가지 힘• 마찰력 (Frictional force)• - 정지 마찰력 (Static frictional force) 과 운동 마찰력

(Kinetic frictional force) 의 비교

𝜇𝑠 ,𝑚𝑎𝑥𝐹𝑁

𝐹

𝑓

𝜇𝑘𝐹𝑁

힘과 운동 - 여러가지 힘• 장력 (Tension)

• 계 (System): 어떤 물체에 초점을 두어 물체의 운동을 해석하는가 ? 𝑆𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚𝑆𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚

𝑇 𝑇

힘과 운동 - 여러가지 힘• 장력 (Tension)

• 계 (System)

𝑆𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚1𝑆𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚3

𝑇 𝐹𝑇𝑓 𝑘 𝑚𝑚𝑆𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚2

힘과 운동 - 여러가지 힘

𝑚 𝜃𝐹

𝐹𝑁

𝑚𝑔

𝐹 sin 𝜃𝐹 cos𝜃

•49 In Fig. 5-45, a block of mass 5.00 kg is pulled along a horizontal frictionless floor by a cord that ex-erts a force of magnitude 12.0 N at an angle 25.0°. (a) What is the magnitude of the block’s acceleration? (b) The force magnitude is slowly increased. What is its value just before the block is lifted (completely) off the floor? (c) What is the magnitude of the block’s ac-celeration just before it is lifted (completely) off the floor? 평방향의 힘 :수직방향의 힘 :

면 상에 있다 .면 상에 없다 .

힘과 운동 - 여러가지 힘• 67 Figure 5-58 shows three blocks attached by cords

that loop over frictionless pulleys. Block lies on a frictionless table; the masses are 6.00 kg, = 8.00 kg, and 10.0 kg. When the blocks are released, what is the tension in the cord at the right?

𝐵

𝐶𝐴

SYSTEM

𝑚𝐴𝑔 𝑚𝑐𝑔

𝐹 𝑛𝑒𝑡=(𝑚𝐴+𝑚𝐵+𝑚𝐶 )𝑎

𝑇

’

𝑇 ′

𝑇

𝐹 𝑛𝑒𝑡=𝑚𝑐𝑎

힘과 운동 - 여러가지 힘• 구심력 : 등속원운동을 유지 시켜주는 힘

𝐹𝐹 𝑛𝑒𝑡=𝑚𝑎=𝑚

𝑣2𝑟

힘과 운동 - 여러가지 힘••21 An initially stationary box of sand is to be pulled across a floor by means of a cable in which the tension should not exceed 1100 N. The coefficient of static friction between the box and the floor is 0.35. (a) What should be the angle between the cable and the hori-zontal in order to pull the greatest possible amount of sand and (b) what is the weight of the sand and box in that situation?

𝑇

𝑇 cos𝜃𝑇 sin 𝜃

𝐹𝑁

𝑚𝑔

𝑓 𝑠 방향의 힘면 상에 있다 .면 상에 없다 .

힘과 운동 - 여러가지 힘••57 A puck of mass 1.50 kg slides in a circle of ra-dius 20.0 cm on a frictionless table while attached to a hanging cylinder of mass 2.50 kg by means of a cord that extends through a hole in the table (Fig. 6-43).What speed keeps the cylinder at rest?

𝑚

𝑀

𝑇

𝑇𝑀𝑔

𝑆𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚1


¿𝑚 𝑣2𝑟

힘과 운동 - 여러가지 힘• 70 The bob has a mass of 0.040 kg, the string has

length 0.90m and negligible mass, and the bob fol-lows a circular path of circumference 0.94 m. What are (a) the tension in the string and (b) the period of the motion?

𝑇

𝜃

𝑚𝑔𝑇 sin 𝜃

𝑇 cos𝜃

운동에너지과 일

운동에너지와 일• 일

𝐹 𝑚

𝑠


𝐹 𝑚

𝑠

𝑚𝑔


𝑚

𝑠𝐹 𝜃


�⃗� ∙𝑠=𝑊 ,𝐹𝑠𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑊 (𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒)

𝑚

𝑠𝐹 𝜃𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐹𝑠𝑖𝑛𝜃

운동에너지와 일• 일의 주체는 힘 !

𝐹 𝑚

𝑠

𝑚𝑔


𝑚

𝑠𝐹 1

𝐹 2

𝐹 𝑛𝑒𝑡

�⃗� 𝑛𝑒𝑡 ∙ �⃗�=𝑊𝑛𝑒𝑡

운동에너지와 일• 운동에너지

𝐹 𝑚

𝑠𝐾

운동에너지와 일• 일과 운동에너지 정리

𝐹 𝑚

𝑠𝐾

∆𝐾=𝐾 𝑓 −𝐾 𝑖=𝑊𝑛𝑒𝑡

𝑓 𝑘

운동에너지와 일• 운동 에너지 값 유도

𝐹 𝑚

𝑠𝐾𝐾=

12𝑚𝑣

2

2𝑎𝑠=𝑣 𝑓 2−𝑣𝑖2

운동에너지와 일• 일과 운동에너지 정리 - 마찰력

𝑓 𝑘=𝜇𝑘𝐹𝑁 , (𝐹− 𝑓 𝑘 )𝑠=12𝑚𝑣2

𝑓 𝑘

𝐹 𝑚

𝑠

운동에너지와 일• 일과 운동에너지 정리 - 마찰력

𝐹 𝑚

𝑠1

𝑚𝑓 𝑘

𝑠2

�⃗� ∙𝑠1=𝑊 1=∆𝐾=𝐾 1−𝐾 0=12𝑚𝑣1

2− 12𝑚𝑣02

�⃗� 𝑘 ∙𝑠2=𝑊 2=∆𝐾=𝐾2−𝐾 1=12𝑚𝑣2

2− 12𝑚𝑣12

𝑊 1=−𝑊 21 20

운동에너지와 일• 여러가지 힘이 주는 일 - 일정한 힘

𝑥

�⃗� (𝑥)

𝑊

𝑊=�⃗� ∙𝑠

운동에너지와 일• 여러가지 힘이 주는 일 - 일반적인 힘

𝑥

�⃗� (𝑥)

𝑊𝑊=∫

𝑥1

𝑥2

�⃗� (𝑥) ∙𝑑 �⃗�

운동에너지와 일• 여러가지 힘이 주는 일 - 탄성력

( 평형점 )


𝑂1 𝑥1

𝐹=−𝑘𝑥1


𝑂


𝑂 2𝑥2

𝐹=−𝑘𝑥2


𝑂

𝐹 (𝑥)=−𝑘𝑥시점 : 평형점


𝑂

𝐹 (𝑥)=−𝑘𝑥

𝑊=∫−𝑘𝑥𝑑𝑥=− 12 𝑘𝑥2


𝑂1 𝑥1

𝐹=−𝑘𝑥1

𝑊탄성력=∫1

0

−𝑘𝑥𝑑𝑥=12𝑘𝑥1

2

점 : 평형점


𝑂


𝑂1 𝑥1

𝐹사람=𝑘𝑥1

𝑊사람=∫0

1

𝑘𝑥𝑑𝑥=12𝑘𝑥1

2

• 여러가지 힘이 주는 일 - 중력운동에너지와 일

𝑚

h

𝑚𝑔

𝑊 𝑔= h𝑚𝑔 ?𝑊 𝑔=− h𝑚𝑔 ?

운동에너지와 일••22 A cave rescue team lifts an injured spelunker directly upward and out of a sinkhole by means of a motor-driven cable. The lift is performed in three stages, each requiring a vertical distance of 10.0 m: (a) the initially stationary spelunker is accelerated to a speed of 5.00 m/s; (b) he is then lifted at the constant speed of 5.00 m/s; (c) finally he is decelerated to zero speed. How much work is done on the 80.0 kg rescuee by the force lifting him during each stage?

10𝑚

10𝑚

10𝑚(𝑎)∆𝐾=𝐾 1−𝐾 0=𝑊𝑛𝑒𝑡=𝑊 𝑐𝑎𝑣𝑒 .𝑎−𝑊𝑔

0

1

2

3(𝑏)∆𝐾=𝐾 2−𝐾 1=𝑊 𝑛𝑒𝑡=𝑊𝑐𝑎𝑣𝑒 .𝑏−𝑊 𝑔

(𝑐 )∆𝐾=𝐾 3−𝐾2=𝑊𝑛𝑒𝑡=𝑊 𝑐𝑎𝑣𝑒 . 𝑐−𝑊𝑔

운동에너지와 일••29 we must apply a force of magnitude 80N to hold the block stationary at x=-2.0cm From the position,we then slowly move the block so that our force does +4.0J of work on the spring-block system, the block is then again stationary. What is the block’s position?(two answer)

𝑥0


𝑥0𝑥=−2𝑐𝑚

N−𝑘𝑥

𝐹 𝑛𝑒𝑡=𝐹탄성력−𝐹 𝑎𝑝𝑝=0


𝑥0𝑥=−2𝑐𝑚

−𝑘𝑥

𝐹 𝑛𝑒𝑡=𝐹탄성력−𝐹 𝑎𝑝𝑝=0

𝑊탄성력=12 𝑘𝑥

2


𝑊탄성력

𝑥2cm−2cm

운동에너지와 일•••33 The block in Fig. 7-10a lies on a horizontal frictionless surface, and the spring constant is 50 N/m. Initially, the spring is at its relaxed length and the block is stationary at position . Then an applied force with a constant magnitude of 3.0 N pulls the block in the positive direction of the x axis, stretching the spring until the block stops. When that stopping point is reached, what are (a) the position of the block, (b) the work that has been done on the block by the applied force, and (c) the work that has been done on the block by the spring force? During the block’s dis-placement, what are (d) the block’s position when its kinetic energy is maximum and (e) the value of that maximum kinetic energy?

𝑥0

3N

운동에너지와 일•••33 The block in Fig. 7-10a lies on a horizontal frictionless surface, and the spring constant is 50 N/m. Initially, the spring is at its relaxed length and the block is stationary at position . Then an applied force with a constant magnitude of 3.0 N pulls the block in the positive direction of the x axis, stretching the spring until the block stops. When that stopping point is reached, what are (a) the position of the block, (b) the work that has been done on the block by the applied force, and © the work that has been done on the block by the spring force? During the block’s dis-placement, what are (d) the block’s position when its kinetic energy is maximum and (e) the value of that maximum kinetic energy?

𝑥0𝑥1𝑥

∆𝐾=𝐾 𝑥1−𝐾 𝑥0=𝑊 𝑛𝑒𝑡=𝑊𝑎𝑝𝑝−𝑊탄성력𝐹 𝑛𝑒𝑡=𝐹𝑎𝑝𝑝−𝐹탄성력

3N

𝑥2

포텐셜에너지와 에너지 보존

포텐셜 에너지와 에너지 보존• 어떤 힘이 작용하는 공간 안에 물체가 운동을 시작하고 진행하는 상황에서 어떤 힘이 그 물체를 운동을 시작한 위치로 되돌리려고 할 때 그 힘을 복원력이라 하고 그 공간을 보존장이라고 한다 .

포텐셜 에너지와 에너지 보존• 보존장의 예 : 중력장

𝑚𝑔

포텐셜 에너지와 에너지 보존• 보존장의 예 : 중력장

𝑚𝑔

4

5 3

21

𝑦 1𝑦 2

𝑦 4

포텐셜 에너지와 에너지 보존• 보존장의 예 : 탄성력

𝑂

포텐셜 에너지와 에너지보존• 보존장의 예 : 탄성력

𝑂1 𝑥1

𝐹=𝑘𝑥1

포텐셜 에너지와 에너지 보존• 보존장의 예 : 탄성력

𝑂𝑂1 𝑥1

포텐셜 에너지와 에너지 보존• 보존장이 아닌 예 : 마찰력

𝐹 𝑚𝐾

𝑓 𝑘

포텐셜 에너지와 에너지 보존• 포텐셜 에너지 : 복원력을 제외한 외력이 가해지지 않을 때 운동에너지로 전환될 잠재성이 있는 에너지

h𝑚𝑔

∆𝐾=𝐾1−𝐾 0=𝑊𝑛𝑒𝑡=𝑊 𝑎𝑝𝑝+𝑊𝑚𝑔=0

0

1

𝑊 𝑎𝑝𝑝=−𝑊𝑚𝑔=−∆𝑈

𝑈= h𝑚𝑔

포텐셜 에너지와 에너지 보존• 역학적 에너지 보존

h

𝑈𝐾

보존장 -> 하나의 시스템으로 생각복원력외의 외력이 가해지지 않음보존장 안과 밖의 에너지의 출입이 없음보존장 안에서의 전체 에너지 보존전체 에너지 = 역학적 에너지 = 운동에너지+ 위치에너지역학적에너지 보존법칙은 복원력외의 외력이 작용하지 않는 상황에서 물체가 복원력에 의하여 움직이는 동안 운동에너지와 위치에너지의 합이 일정하다

포텐셜 에너지와 에너지 보존• 포텐셜에너지 - 탄성력

𝑂

포텐셜 에너지와 에너지 보존• 포텐셜 에너지

𝑂1 𝑥1

𝐹=−𝑘𝑥1∆𝐾=𝐾1−𝐾 0=𝑊𝑛𝑒𝑡=𝑊 𝑎𝑝𝑝+𝑊 𝑠𝑝𝑟𝑖𝑛𝑔=0𝑊 𝑎𝑝𝑝=−𝑊 𝑠𝑝𝑟𝑖𝑛𝑔=−∆𝑈

𝑈=12 𝑘𝑥

2


𝑂1 𝑥1

𝐹=−𝑘𝑥1


𝑂


𝑂 1𝑥1

𝐹=−𝑘𝑥1


𝑂


𝑈 (𝑥)

𝑥𝑥1

12 𝑘𝑥1

2

𝑥1


• 역학적 에너지 보존의 상황• 보존장을 시스템으로 잡을 때 시스템에 가하는 외력이 없는 상황 (=물체에는 복원력만 작용하는 상황 )• => 따라서 역학적에너지는 보존장이라는 시스템이 갖고있는 총 에너지라할 수있고 보존장안에서의 포텐셜에너지와 운동에너지는 서로 전환될 수 있다 .

포텐셜 에너지와 에너지 보존•••34 A boy is initially seated on the top of a hemi-spherical ice mound of radius R 13.8 m. He begins to slide down the ice, with a negligible initial speed (Fig. 8-45). Approximate the ice as being frictionless. At what height does the boy lose contact with the ice?

𝑅 𝑥𝜃

질량중심과 선운동량

질량중심과 선운동량• 질량중심



질량중심과 선운동량• 질량중심• 1) 왜 질량중심인가 ?• 2) 질량중심의 성질과 특징

질량중심과 선운동량• 질량중심 : 물체를 던질 때 물체 위의 무수히 많은 점들 중에서 물체 자체 내에서 회전운동 없이 선 운동만을 하고 있는 점

Ex) 등속도 운동 , 등가속도 운동 포물선 운동 용수철 운동

변위와 관련된 물리량 : 변위 속도 가속도 질량 힘 등등

질량중심과 선운동량• 질량중심의 성질• 야구 배트의 운동 -> 질량중심의 운동• 질량 중심을 이용한 해석과정 = 어떤 시스템을 한 점에 대응하여 해석하는 과정

질량중심과 선운동량• 질량중심의 물리량• 질량중심의 위치 -> 위치를 찾는 과정에서 질량중심의 의미를 확실히 받아들일 수 있음

질량중심과 선운동량• 질량중심 - two particles system이다 .

(= 시스템 1 의 질량은 위치해 있다 .)이다 .(= 시스템 2 의 질량은 위치해 있다 .)

𝑂𝑥1𝑥2

𝑆𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚1 𝑆𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚2


질량중심과 선운동량• 질량중심 - two particles system이다 .

(= 시스템 3 의 질량은 위치해 있다 .)

𝑂𝑥1𝑥2



질량중심과 선운동량• 질량중심 - two particles system각의 점들을 시스템으로 잡아 해석 = 점들을 모두 묶은 시스템을 잡아 해석

𝑂𝑥1𝑥2𝑥𝑐𝑜𝑚



𝑚1𝑥1+𝑚2𝑥2=(𝑚¿¿1+𝑚2)𝑥¿𝑚1𝑥1+𝑚2𝑥2=(𝑚¿¿1+𝑚2)𝑥𝑐𝑜𝑚¿

질량중심과 선운동량• 질량중심 - many particles system

(𝑚¿¿1+𝑚2+𝑚3+𝑚4⋯+𝑚𝑛)𝑥𝑐𝑜𝑚=𝑚1 𝑥1+𝑚2𝑥2+𝑚3𝑥3+𝑚4𝑥4⋯+𝑚𝑛𝑥𝑛¿

𝑂 𝑥2𝑥1 𝑥𝑛𝑥3 𝑥4𝑥𝑐𝑜𝑚

(∑𝑘=1𝑛

𝑚𝑘)𝑥𝑐𝑜𝑚=∑𝑘=1

𝑛

(𝑚𝑘𝑥𝑘)

질량중심과 선운동량• 질량중심 - Solid body

¿

질량중심과 선운동량• 질량중심끼리 더하는것 two body system 처럼 생각

질량중심과 선운동량• 질량중심끼리 더하는것 two body system 처럼 생각

완전한 원판 -> 전체 시스템각각의 도형 -> 하나의 파티클을 잡은 시스템

𝑚1𝑥1+𝑚2𝑥2=(𝑚¿¿1+𝑚2)𝑥𝑐𝑜𝑚¿

질량중심과 선운동량• 선운동량

𝑚𝑣𝑝

질량중심과 선운동량• 선운동량

𝑝=𝑚𝑣운동에너지 : 일에서 비롯된 물리량 => 외부에서 물체에게 얼마만큼의 거리동안 알짜힘을 주었는지에 따라 달라지는 물체가 가지는 물리량운동량 : 외부에서 물체에게 얼마만큼의 시간동안 알짜힘을 주었는지에 따라 달라지는 물체가 가지는물리량

𝑑𝑝=𝐹 𝑛𝑒𝑡 𝑑𝑡

질량중심과 선운동량• 충격량𝑑�⃗�=𝐹 (𝑡 )𝑑𝑡

∫𝑡 𝑖

𝑡 𝑓

𝑑�⃗�=∫𝑡𝑖

𝑡 𝑓

�⃗� (𝑡 ) 𝑑𝑡

𝑡𝑖 𝑡 𝑓𝑡

�⃗�=∫𝑡 𝑖

𝑡 𝑓

�⃗� (𝑡 )𝑑𝑡 =∆𝑝

𝐹

질량중심과 선운동량

𝑣6𝑚6

𝑚3

𝑣3

𝑚5

𝑣5𝑚2𝑣2

𝑚4

𝑣4

𝑚1

𝑣1

𝑆𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚

• 시스템 질량중심의 선운동량

질량중심과 선운동량• 시스템의 선운동량

𝑣6𝑚6

𝑚3

𝑣3

𝑚5

𝑣5𝑚2𝑣2

𝑚4

𝑣4

𝑚1

𝑣1

𝑀𝑣𝑐𝑜𝑚

𝑚1𝑣1+𝑚2𝑣2+𝑚3𝑣3+𝑚4𝑣 4+𝑚5𝑣5+𝑚6𝑣6⋯+𝑚𝑛 𝑣𝑛=𝑀𝑣𝑐𝑜𝑚=�⃗�

질량중심과 선운동량• 시스템의 선운동량

𝑣6𝑚6

𝑚3

𝑣3

𝑚5

𝑣5𝑚2𝑣2

𝑚4

𝑣4

𝑚1

𝑣1

�⃗�=𝑚1𝑣1+𝑚2𝑣2+𝑚3𝑣3+𝑚4𝑣4+𝑚5𝑣5+𝑚6𝑣6⋯+𝑚𝑛𝑣𝑛=𝑀𝑣𝑐𝑜𝑚

𝐹 𝑛𝑒𝑡=𝑑𝑃𝑑𝑡 =𝑀𝑎𝑐𝑜𝑚

𝐹 4

𝐹 3

𝐹 1

𝐹 2

𝑀𝑣𝑐𝑜𝑚

• 운동량 보존의 법칙질량중심과 선운동량

𝑣6𝑚6

𝑚3

𝑣3

𝑚5

𝑣5𝑚2𝑣2

𝑚4

𝑣4

𝑚1

𝑣1 𝐹 𝑛𝑒𝑡=𝑑𝑃𝑑𝑡 =0

𝑀𝑣𝑐𝑜𝑚 𝑃 𝑓 −𝑃 𝑖=0


전체 시스템 외부에 외력이 없을 경우 시스템 내부의 운동량의 합은 항상 일정

• 충돌 - 완전 비탄성 충돌질량중심과 선운동량

𝑚1

𝑣1𝑚2

𝑣2𝑣3

운동량 보존 !!

• 충돌 - 비탄성 충돌질량중심과 선운동량

𝑚1

𝑣1𝑚2

𝑣2𝑣3𝑣4

운동량 보존 !!

• 충돌 - 완전탄성 충돌질량중심과 선운동량

𝑚1

𝑣1𝑚2

𝑣2𝑣3𝑣4

운동량 보존 !!

운동에너지 보존 !!

• 운동량 보존의 법칙질량중심과 선운동량

𝑣6𝑚6

𝑚3

𝑣3

𝑚5

𝑣5𝑚2𝑣2

𝑚4

𝑣4

𝑚1

𝑣1


𝐹 𝑛𝑒𝑡=𝑑𝑃𝑑𝑡 =0

𝑀𝑣𝑐𝑜𝑚 𝑃 𝑓 −𝑃 𝑖=0

회전운동

회전운동• 회전 물리량

물리량의 분류• 선물리량 : 변위 , 속도 , 가속도 , 힘 , 선운동에너지 , 질량등등

• 회전 물리량 : 각변위 , 각속도 , 각가속도 , 토크 , 회전운동에너지 ,회전관성등등

물리량운동 선운동회전운동

선물리량회전물리량

Ex) 포물선운동 ,등속원운동

회전운동• 회전 운동 : 물체가 어떤 회전축을 기준으로 회전하는 운동

회전운동• 회전 물리량

𝑟

𝑟

𝑙

𝜃

𝑑𝑙=𝑟𝑑𝜃𝑣=

𝑑𝑙𝑑𝑡=𝑟

𝑑 𝜃𝑑𝑡 =𝑟 𝜔

𝑎= 𝑑𝑣𝑑𝑡 =𝑟 𝑑𝜔𝑑𝑡 =𝑟 𝛼

• 위• 속도• 가속도

회전운동• 회전 물리량의 방향

𝜃 회전 물리량의 방향=> 회전축을 이용하여 정의


𝜃


𝜔


𝛼

회전운동• 원운동과 각가속도

회전 운동

회전 운동

𝜃𝑎

𝑎=𝑣2

𝑟

𝑎

𝑎𝑎𝑡

𝑎𝑟

변위 , 속도 , 가속도 ( 수식 )• 등속도 운동 : 속도가 일정한 운동

( 운동 방향과 속력이 일정한 운동 )

• 등가속도 운동 : 가속도가 일정한 운동 (•

★★★③

회전운동• 등각속도 운동 : 각속도가 일정한 운동

( 회전 운동 방향과 각속력이 일정한 운동 )

• 등각가속도 운동 : 등각가속도가 일정한 운동 (•

★★★③

회전운동• 회전 물리량 : 회전 관성과 회전운동에너지

𝜔

회전운동• 회전 물리량 : 회전 관성• 하나의 물체=> 무수히 많은 입자로 이루어짐 𝐾=

12𝑚1𝑣12+

12𝑚2𝑣22+

12𝑚3𝑣32+⋯

𝐼=∑𝑖=1

𝑛

𝑚𝑖𝑟 𝑖2=∫ 𝑟2𝑑𝑚

전축으로부터 i 번째 입자까지의 거리 원기둥의 회전운동에너지 = 원기둥을 이루고있는 입자들의 운동에너지의 합 𝐾=

12 𝐼 𝜔

2

𝐼=∑𝑖=1

𝑛


회전운동• 회전관성• 회전축의 위치가 바뀌면 회전관성이 달라진다 !

𝐼 1𝐼 2𝐼 3

𝐼 4

𝐼 5

𝐼 6

회전운동• 회전 물리량 : 회전 관성 ( 질량 중심이 회전축일 때 최소 )• 질량중심이외의 다른 점 : 포물선 운동 ( 선운동 )+ 야구 배트자체내에서의 회전운동 ( 회전운동 )

• 질량중심이 : 포물선 운동 ( 선운동 )

• 회전축위에 있는 점들은 회전하지 않음• 공중에 있을 때 질량중심을 회전축으로 회전운동을 함• 자연은 에너지를 최소화하려는 운동을 하려함

회전축이 질량중심일때의 회전관성의 크기가 가장 작다 .𝐼 𝑐𝑜𝑚

회전운동• 회전 물리량 : 회전 관성𝐼=∑

𝑖=1

𝑛


• 회전 물리량 : 회전 관성 ( 평행축 정리 )

회전운동

𝑐𝑜𝑚𝑎𝑏

𝑟 𝑟 ′h

𝐼 𝑐𝑜𝑚=∫ 𝑟2𝑑𝑚=∫(𝑥¿¿2+𝑦 2)𝑑𝑚 ¿

(𝑥 , 𝑦 )𝐼 ′=∫𝑟 ′ 2𝑑𝑚=∫(𝑥−𝑎)2+¿¿

• 회전 물리량 : 회전 관성 ( 평행축 정리 )

회전운동

𝑐𝑜𝑚𝑎𝑏

𝑟 𝑟 ′h

𝐼 𝑐𝑜𝑚=∫ 𝑟2𝑑𝑚=∫(𝑥¿¿2+𝑦 2)𝑑𝑚 ¿

(𝑥 , 𝑦 )

𝐼 ′=𝐼 𝑐𝑜𝑚+𝑀 h2

회전운동• 회전 물리량 : 토크

r

Fφ

𝐹 sin𝜑


r

Fφ

𝐹 sin𝜑 τ=F𝑟 sin 𝜑

힘과 운동 - 뉴턴 제 2 법칙�⃗� 𝑛𝑒𝑡=�⃗�1+ �⃗� 2+⋯=𝑚�⃗�

�⃗� 1

𝑚

𝑎

�⃗� 2


𝜏𝑛𝑒𝑡=𝜏1+𝜏2+⋯=𝐼 �⃗�

구름 , 토크 , 각운동량

구름 , 토크 , 각운동량• 구름 = 회전운동 + 선운동 ( 병진운동 )


• 구름 = 회전운동 + 선운동 ( 병진운동 )

구름 , 토크 , 각운동량회전운동 : 질량중심을 회전축으로 회전운동


• 구름 = 회전운동 + 선운동 ( 병진운동 )


• 구름운동 -> 순수한 회전운동구름 , 토크 , 각운동량


𝑅

2𝑅


𝑅

𝐼 𝑐𝑜𝑚

𝐼 ′=𝐼 𝑐𝑜𝑚+𝑀 𝑅2


𝑅𝐼 ′=𝐼 𝑐𝑜𝑚+𝑀 𝑅2

회전 운동 선 운동


𝐼 𝑐𝑜𝑚∝𝑀𝑅2

𝜔2∝ 𝑣2

𝑅2𝐼 𝑐𝑜𝑚𝜔2∝𝑀𝑣2

𝐾=12 M 𝑣𝑐𝑜𝑚

2(𝛼+1)

구름 , 토크 , 각운동량• 빗면에서의 구름운동


𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑓

중력이 물체에 작용하는 점 : 질량중심 !

마찰력이 물체에 작용하는 점 : 빗면과 물체가 맞닿아 있는 점중력 -> 선 운동에만 관여함마찰력 -> 선 운동과 회전운동에 관여함


𝑓𝑅

뉴턴 제 2 법칙 ( 힘 ):뉴턴 제 2 법칙 ( 토크 ):선가속도와 각가속도 사이의 관계:

𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑎𝑐𝑜𝑚=𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃

1+ 𝐼𝑐𝑜𝑚 /𝑀𝑅2

구름 , 토크 , 각운동량• 요요

구름 , 토크 , 각운동량• 요요

𝑎𝑐𝑜𝑚=𝑔𝑠𝑖𝑛90°

1+ 𝐼𝑐𝑜𝑚 /𝑀𝑅02

𝑅0


𝜏=𝑟 𝑋 𝐹𝑙=𝑟 𝑋𝑝

• 각운동량선물리량과의 관계식 회전 물리량과의 관계식

𝑝=𝑚𝑣𝑙=𝐼 𝜔

구름 , 토크 , 각운동량• 토크와 각운동량 사이의 관계𝐹 𝑛𝑒𝑡=

𝑑𝑝𝑑𝑡

𝜏𝑛𝑒𝑡=𝑑𝑙𝑑𝑡

구름 , 토크 , 각운동량• 각운동량 보존법칙

𝜏𝑛𝑒𝑡=𝑑𝑙𝑑𝑡=0

𝐹 𝑛𝑒𝑡=𝑑𝑝𝑑𝑡 =0

구름 , 토크 , 각운동량• 각운동량과 각운동량 보존법칙

𝐹𝐹

𝑙

구름 , 토크 , 각운동량• 각운동량과 각운동량 보존법칙

𝐹 1

𝐹 2


S 𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚

구름 , 토크 , 각운동량• 각운동량 보존법칙 𝜏𝑛𝑒𝑡=

𝑑𝑙𝑑𝑡=0

𝐹 2

𝐹 1

𝑙=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 𝐼 𝑖𝜔𝑖=𝐼 𝑓 𝜔𝑓

구름 , 토크 , 각운동량• 각운동량 보존법칙 적용



S 𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚


운동량 보존 법칙 적용 - 최소 두 가지 상황 (1. 충돌 전 상황 2. 충돌 후 상황 ) 으로 나눔각운동량 보존 법칙 적용 - 최소 두 가지 상황 으로 나눔


𝐼 𝑖𝜔𝑖 𝐼 𝑓𝜔 𝑓

구름 , 토크 , 각운동량••11 a constant horizontal force of magnitude 10 N is ap-plied to a wheel of mass 10kg and radius 0.30 m. The wheel rolls smoothly on the horizontal surface, and the acceleration of its center of mass has magnitude 0.60 m/s2. (a) In unit-vec-tor notation, what is the frictional force on the wheel? (b) What is the rotational inertia of the wheel about the rotation axis through its center of mass?

𝐹

𝑓

1. 뉴턴 제 2 법칙 ( 힘 ):2. 뉴턴 제 2 법칙 ( 토크 ):3. 선가속도와 각가속도 사이의 관계:

구름 , 토크 , 각운동량••12 a solid brass ball of mass 0.280 g will roll smoothly along a loop-the-loop track when released from rest along the straight section. The circular loop has radius =14.0 cm, and the ball has radius . (a) What is if the ball is on the verge of leaving the track when it reaches the top of the loop? If the ball is released at height 6.00, what are the (b) magnitude and (c) direction of the horizontal force component acting on the ball at point ?

h𝑅𝑄

역학적 에너지 보존루프트랙 최고점에서의 운동에너지물체가 떨어질 조건

구름 , 토크 , 각운동량••52A cockroach of mass m lies on the rim of a uniform disk of mass 4.00m that can rotate freely about its center like a merrygo-round. Initially the cockroach and disk rotate together with anangular velocity of 0.260 rad/s. Then the cockroach walks halfwayto the center of the disk. (a) What then is the angular velocity ofthe cockroach–disk system? (b) What is the ratio K/K0 of the newkinetic energy of the system to its initial kinetic energy? (c) Whataccounts for the change in the kinetic energy?

𝐼 𝑖𝜔𝑖 𝐼 𝑓𝜔 𝑓


평형

평형𝐹 𝑛𝑒𝑡=∑ 𝐹=0𝜏𝑛𝑒𝑡=∑𝜏=∑ 𝐹𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃=0

평형••4 suppose the length of the uniform bar is 3.00 m and its weight is 200 N. Also, let the block’s weight 300 N and the angle 30.0°. The wire can withstand a maximum tension of 500 N. (a) What is the maximum possible distance before the wire breaks? With the block placed at this maximum , what are the (b) horizontal and (c) vertical components of the force on the bar from the hinge at ?

𝑥𝜃

𝐿

𝑇𝐹 𝑣

𝐹 h𝑚𝑏𝑔

𝑚𝑏𝑎𝑟 𝑔

𝑇𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃

수평방향의 알짜힘:수직방향의 알짜힘:+

알짜 토크:

평형••25what magnitude of (constant) force applied horizontally at the axle of the wheel is necessary to raise the wheel over an obstacle of height h 3.00 cm? The wheel’s radius is r 6.00 cm, and its mass is m 0.800 kg.

수평방향의 알짜힘:수직방향의 알짜힘:바퀴가 올라가기 위한 토크 조건:바퀴가 올라가기 위한 토크의 최소조건

𝜃𝜃 ′𝑚𝑔𝐹

𝐹 h

𝐹 𝑣

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일반물리 중간고사 범위 레시테이션 자료