10 de-thi-hsg-toan-10-co-dap-an

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọccccGV: TRẦN QUANG ĐẠTTRƯỜNG THPT NGUYỄNĐỔNG CHI – Hà TĩnhMail: [email protected]ưu tầm và chỉnh sửa

®Ò®Ò®Ò®Ò thithithithi chchchchäääännnn hhhhääääcccc sinhsinhsinhsinh gigigigiááááiiii ccccÊÊÊÊpppp tr tr tr tr êêêêngngngngMMMM««««nnnn :::: ToToToTo¸̧̧̧nnnn ---- llllíííípppp 10101010

Thêi gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

CCCCââââuuuu I:I:I:I: (5 điểm)1. Giải bất phương trình: ( )( )( )( ) 21 2 4 8 4x x x x x− − − − ≤2. Cho các số thực a, b, c (với a ≠ 0) sao cho: phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai

nghiệm thuộc đoạn [ ]0; 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:( )( )

( )2a b a b

Pa a b c− −

=− +

.

CCCCââââuuuu II:II:II:II: (5 điểm)1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2)9)(8)(2)(1( yxxxx =++++

2. Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:

3 33 3

1 1 5

1 1 15 10

x yx y

x y mx y

⎧ + + + =⎪⎪⎨⎪ + + + = −⎪⎩

CCCCââââuuuu III:III:III:III: (3 điểm) Trong mặt phẳng, cho góc � 060 .xOy = M, N là hai điểm lần lượt thay

đổi trên hai tia Ox và Oy sao cho:2013201211

=+ONOM

. Chứng minh đường thẳng MN luôn

đi qua điểm cố định.

CCCCââââuuuu IV:IV:IV:IV: (2 điểm) Cho x, y là hai số dương thay đổi, có tổng bằng 174

. Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:1

3112111 22

++

++++=

xyy

yx

yxxP .

CCCCââââuuuu V:V:V:V: (5 điểm)1. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng 0332:1 =−− yxd và

01725:2 =−+ yxd . Đường thẳng d đi qua giao điểm của 1d và 2d cắt hai tia Ox, Oy lần

lượt tại A và B. Viết phương trình đường thẳng d sao cho 2

2

OABSAB∆

nhỏ nhất.

2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc

của G xuống cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng:2 2 2

1 1 1. . . 0a GA b GB c GC+ + =��

. (với a=BC, b=AC, c=AB).

-------------------------------------------------------------------------------------------- HHHHếếếếtttt ----------------------------------------------------------------------------------------

mailto:[email protected]

http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọcccc

CCCCââââuuuu NNNNộộộộiiii dungdungdungdung ThangThangThangThangđđđđiiiiểểểểmmmm

IIII 5.05.05.05.0đđđđ1.1.1.1. GiGiGiGiảảảảiiii bbbbấấấấtttt phphphphươươươươngngngng trtrtrtrìììình:nh:nh:nh: ( )( )( ) ( ) 21 2 4 8 4x x x x x− − − − ≤ 2.52.52.52.5đđđđ

( ) ( )( )2 2 22 6 8 9 8 4bpt x x x x x⇔ − + − + ≤ (2)

0x = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm0,5

0≠x , ph¬ng tr×nh (2)8 86 9 4x xx x

⎛ ⎞⎛ ⎞⇔ + − + − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

0,5

§Æt8x tx

+ = , ®iÒu kiÖn 4 2t ≥ (*)

Bpt trë thµnh: 2 15 50 0 5 10t t t− + ≤ ⇔ ≤ ≤ , kÕt hîp (*) ta ®îc:84 2 10 4 2 10 5 17 5 17t x xx

≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ +

KL: nghiÖm cña BPT lµ: 5 17;5 17x ⎡ ⎤∈ − +⎣ ⎦

1,0

2.2.2.2. TTTTììììmmmm gigigigiáááá trtrtrtrịịịị llllớớớớnnnn nhnhnhnhấấấấtttt ccccủủủủaaaa bibibibiểểểểuuuu ththththứứứức:c:c:c: ( ) ( )( )

2a b a bP

a a b c− −

=− +

.... 2.52.52.52.5đđđđ

Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của PT đã cho. Theo Vi-et:1 2

1 2

bx xa

cx xa

⎧ + = −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

0,5

Do a ≠ 0 nên ta có :

( ) ( ) 2 21 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 22

1 11

b bx x x x x x x xa aP

b c x x x x x x x xa a

⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟ + + + + + + +⎝ ⎠⎝ ⎠= = = ++ + + + + +⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠

0,75

Không mất tính tổng quát giả sử x1 ≤ x2 do 2 nghiệm thuộc [0; 1] nên2 21 1 2 2; 1x x x x≤ ≤ và 1 2 1 21 x x x x+ + + > 0 nên ta có:2 21 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 11 1x x x x x x x xx x x x x x x x+ + + + + +

≤ =+ + + + + +

⇒ P ≤ 30,75

Dấu đẳng thức xẩy ra khi: 1 1 222 1

x x xx=⎧

⎨=⎩

1

2

1

2

0x = 1

1

x = 1

x

x

⎡ =⎧⎨⎢⎩⎢⇔ ⎢ =⎧⎢⎨⎢⎩⎣

00

02

cb a

ba c

⎡ =⎧⎨⎢ = − ≠⎩⎢⇔⎢

= = − ≠⎢⎣

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3

0,5

IIIIIIII 5.05.05.05.0đđđđ1.T1.T1.T1.Tììììmmmm ttttấấấấtttt ccccảảảả ccccáááácccc nghinghinghinghiệệệệmmmm nguynguynguynguyêêêênnnn ccccủủủủaaaa phphphphươươươươngngngng trtrtrtrìììình:nh:nh:nh: 2)9)(8)(2)(1( yxxxx =++++ 2.52.52.52.5đđđđ

http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọccccĐặt 5+= xt , ta được:

2)9)(8)(2)(1( yxxxx =++++ 222 )16)(9( ytt =−−⇔ (1)

Đặt2252 −= tu ( Zu∈2 ) ⇔ + − =(1) (2u 2y)(2u 2y) 49

0, 5

TrTrTrTrườườườườngngngng hhhhợợợợpppp 1:1:1:1:⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

−==

∨==

⇒⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

=−=+

∨=−=+

12252

12252

4922122

1224922

yu

yu

yuyu

yuyu

05252 =⇒±=⇒= xtu hay 10−=xTừ đó )12;0(),( ±=yx , )12;10( ±−

0,5


⎩⎨⎧

=−=

∨−=−=

⇒⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

−=−−=+

∨−=−−=+

12252

12252

4922122

1224922

yu

yu

yuyu

yuyu

50252 −=⇒=⇒−= xtu Từ đó )12;5(),( ±−=yx0,5


⎩⎨⎧

=−=

∨==

⇒⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

−=−−=+

∨=−=+

072

072

722722

722722

yu

yu

yuyu

yuyu

1472 −=⇒±=⇒= xtu hay 9−=x2372 −=⇒±=⇒−= xtu hay 8−=x

Từ đó )0;1(),( −=yx , )0;2(− , )0;8(− , )0;9(−

0,5

Tóm lại phương trình có 10 nghiệm nguyên (x, y) là:)0;1(− , )0;2(− , )0;8(− , )0;9(− , )12;0( ,

)12;0( − , )12;5(− , )12;5( −− , )12;10(− , )12;10( −−0,5

2.2.2.2. TTTTììììmmmm đđđđiiiiềềềềuuuu kikikikiệệệệnnnn ccccủủủủaaaa thamthamthamtham ssssốốốố mmmm đểđểđểđể hhhhệệệệ phphphphươươươươngngngng trtrtrtrììììnhnhnhnh sausausausau ccccóóóó nghinghinghinghiệệệệmmmm 2.52.52.52.5đđđđ

Đặt u = 1xx

+ và v = 1yy

+ với 2, 2u v≥ ≥

Hệ đã cho trở thành:( )3 3

5 583 15 10

u v u vu v mu v u v m

+ =⎧ + =⎧⎪ ⇔⎨ ⎨ = −+ − + = −⎪ ⎩⎩u, v là các nghiệm của PT : t2 – 5 t + 8 = m (1)

1.0

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi PT (1) có nghiệm t1, t2 thoả mãn 1 22, 2t t≥ ≥(t1, t2 không nhất thiết phân biệt)Xét hàm số y = t2 – 5 t + 8 với t ] [ )( ; 2 2;∈ −∞ − ∪ +∞

t - ∞ - 2 2 52

+∞

y

+∞ +∞

22

2

74

1.0

http://dehoa.net

http://detoan.net


Từ bảng biến thiên suy ra hệ đã cho có nghiệm khi7 24

22

m

m

⎡ ≤ ≤⎢⎢

≥⎣0.5

III.III.III.III. ChChChChứứứứngngngng minhminhminhminh đườđườđườđườngngngng ththththẳẳẳẳngngngng MNMNMNMN lulululuôôôônnnn đđđđiiii quaquaquaqua đđđđiiiiểểểểmmmm ccccốốốố địđịđịđịnh.nh.nh.nh. 3.03.03.03.0đđđđGọi Ot là tia phân giác của góc xOySuy ra Ot cố định. Gọi I là giao điểm MN với tia Ot.Ta chứng minh I cố định.

0.5

* MONONOMS OMN sin..21

=∆

= ONOMONOM .4360sin..

21 0 = (1)

0.5

* NOIOIONMOIOIOMSSS ONIOMIOMN sin..21sin..

21

+=+= ∆∆∆

= OIONOMOIONOM ).(4130sin.).(

21 0 +=+ (2)

1.0

Từ (1) và (2) suy ra:ONOMONOM

OI .31 +

=

320132012)11(

31

=+=ONOM

I⇒ cố định.1.0

IVIVIVIV TTTTììììmmmm gigigigiáááá trtrtrtrịịịị nhnhnhnhỏỏỏỏ nhnhnhnhấấấấtttt ccccủủủủaaaa bibibibiểểểểuuuu ththththứứứức:c:c:c:1

3112111 22

++

++++=

xyy

yx

yxxP .... 2.02.02.02.0đđđđ

Ta có: P = ( x +y1 ) 2 + 11( x +

y1 ) +

yx 1

3

+. Đặt: t = x +

y1 > 0. Ta có:

0.5

P = t 2 + 11 t +t3 = ( t –

21 )2 + (12 t +

t3 ) –

41

tt 3.122≥ –

41 =

447 .

Đẳng thức xảy ra khi t =21 .

1.0

Giải hệ:

174

1 12

x y

xy

⎧ + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩

được: x =41 và y = 4.

Vậy: MinMinMinMin PPPP ====4

47 đạt được khi x =41 và y = 4.

0.5

VVVV 5.05.05.05.0đđđđ

1.1.1.1. ViViViViếếếếtttt phphphphươươươươngngngng trtrtrtrììììnhnhnhnh đườđườđườđườngngngng ththththẳẳẳẳngngngng dddd saosaosaosao chochochocho 2

2

OABSAB∆

nhnhnhnhỏỏỏỏ nhnhnhnhấấấất.t.t.t. 2.52.52.52.5đđđđ

http://dehoa.net

http://detoan.net


• Gọi I là giao điểm của haiđường thẳng 1d và

2d )1;3(I⇒ .

0.5

• Giả sử )0;(aA và );0( bB với 0, >ba thì đường thẳng d có phương

trình 1=+by

ax . Vì 113

=+⇒∈ba

dI 0.5

• Ta có ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+=

∆222222

22

2

2 11411.4.

.4baOBOAOBOA

OBOASABOAB

0.5

• Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có

11311)13(2

2222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

baba 10111

22 ≥+⇒ba

0.5

• Min52

2

2

=∆OABSAB khi

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

103

10

3

113

b

a

baba

Khi đó đường thẳng d có phương trình 0103 =−+ yx .

0.5

2.2.2.2. ChChChChứứứứngngngng minhminhminhminh rrrrằằằằng:ng:ng:ng: 2 2 21 1 1. . . 0a GA b GB c GC+ + =

�� . (Với a=BC, b=AC, c=AB). 2.52.52.52.5đđđđ

2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1. . . 0 ( . . . ) 0a GA b GB a GC a GA b GB a GC+ + = ⇔ + + =

��

4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1. . . 2 . 2 . 2 . 0a GA b GB c Gc a b GA GB a c GA GC b c GB GC⇔ + + + + + =

�� (*) 0.75

Ta có: 1 1 1, , , 23 3 3a b c

a b ch h hGA GB GC ah bh ch S= = = = = = ,

0 2 2 21 1 1 1 1 1

0 2 2 21 1 1 1 1 1

01 1 1 1 1 1

. . . os(180 ) . . os , -2ab.cos

. . . os(180 ) . . osB, -2ac.cos

. . . os(180 ) . . osA, -2cb.cos

GA GB GA GB c C GA GB c C C c a b

GA GC GA GC c B GA GC c B b a c

GC GB GC GB c A GC GB c A

= − = − = − −

= − = − = − −

= − = −

��

��

�� 2 2 2a b c= − −

1.0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(*)4 . 4 . 4 . 4 .( ) 4 .( ) 4 .( ) 0

9 9 9 9 9 9S a S b S c S c a b S b a c S a c bVT − − − − − −

= + + + + + =

Là điều phải chứng minh.

0.75

http://dehoa.net

http://detoan.net


1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:( )

( ) ( )21 2

2 2 1 2

x y x y y

x y y x

⎧ + − = − −⎪⎨

− = − −⎪⎩

®k:1

(**)0

xy≥⎧

⎨ ≥⎩0,5

HPT( )

( ) ( )2 21 2 2 0(4)

2 2 1 2 (5)

x x y y y

x y y x

⎧− + + + + =⎪⇔ ⎨− = − −⎪⎩

Gi¶i (4) xem nh ph¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi Èn x ta ®îc:1 2

x yx y= −⎡

⎢ = +⎣

1,0

Víi x=-y lo¹i do (**) 0,5

Thay x=1+2y vµo (5) ta cã: ( )( ) ( ) 2 51 2 2 2 2 2

1 1y x

y y y yy x= ⇒ =⎡

+ − = − ⇔ ⎢ = − ⇒ = −⎣kÕt hîp

(**) nghiÖm cña HPT lµ: (x;y) = ( 5;2)1,0

M

A

B C

N

Ta có: 2 ,3

BC BABN +=�� ( )1

1 1BA k BCCA kCBCM

k k− ++

= =+ +

��

0,250,250,250,25

Do . 0BN CM BN CM⊥ ⇔ = ⇔�� ( ) ( )( )2 1 0BC BA BA k BC+ − + =

��

( ) ( )2 2 1 11 2 2 1 . 0 1 2 02 4

k a a k BA BC k k k− + + − + = ⇔ − − + − − = ⇔ =�� 0,50,50,50,5

Với 14 5

ak AM= ⇒ =0,250,250,250,25

BC là đường thẳng đi qua B và vuông góc với đường cao hạ từ A nên có PT:( ) ( )4 2 3 1 0 4 3 5 0x y x y− + + = ⇔ + − = .

0,50,50,50,5

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:

( )4 3 5 0 1

1;32 5 0 3

x y xC

x y y+ − = = −⎧ ⎧

⇔ ⇒ −⎨ ⎨+ − = =⎩ ⎩

0,50,50,50,5

http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọccccGọi d là đường thẳng đi qua B và vuông góc với đường phân giác góc C, d có phươngtrình:( ) ( )2 2 1 0 2 5 0x y x y− − + = ⇔ − − = .

Tọa độ điểm H là giao điểm của d và phân giác góc C là nghiệm của hệ:

( )2 5 0 33;1

2 5 0 1x y x

Hx y y+ − = =⎧ ⎧

⇔ ⇒⎨ ⎨− − = =⎩ ⎩

0,50,50,50,5

Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua đường phân giác góc C, khi đó B` thuộc AC và Hlà trung điểm BB` nên ta có:

( )' '2 4; 2 3 ' 4;3B H B B H Bx x x y y y B= − = = − = ⇒ AC là đường thẳng đi qua C và có vectơ chỉ0,50,50,50,5

phương ( )' 5;0CB��

nên có PT là:

( ) ( )0 1 5 3 0 3 0x y y+ − − = ⇔ − = . 0,50,50,50,5

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

( )3 0 55;3

3 4 27 0 3y x

Ax y y− = = −⎧ ⎧

⇔ ⇒ −⎨ ⎨− + = =⎩ ⎩

Vậy ( ) ( )5;3 , 1;3A C− − .

0,50,50,50,5

Thay tọa độ A, B lần lượt vào vế trái phương trình đường phân giác góc C ta được cácsố: 4; 5− − , do đó đường phân giác góc C đó là phân giác ngoài. 0,50,50,50,5

Kí hiệu N chỉ tập hợp các số tự nhiên. Giả sử :f N N→ là hàm số thỏa mãn các điều kiện

( )1 0f > và ( ) ( )( ) ( )( )2 22 22 2f m n f m f n+ = + với mọi , m n N∈ . Tính các giá trị của ( )2f

và ( )2013f .

Đặt ( )2f a= . Cho ( ) ( )( ) ( )20 0 3 0 0 0m n f f f= = ⇒ = ⇒ = .

Cho ( ) ( )( ) ( )21; 0 1 1 1 1m n f f f= = ⇒ = ⇒ = . Cho ( )1 3 3.m n f= = ⇒ =

Cho ( ) ( )( )220 ,n f m f m m N= ⇒ = ∀ ∈ nên ( ) 24f a= .

0,250,250,250,25

Mặt khác với mỗi số tự nhiên( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

3 1 2 2 3 2

1 2 2 3 2 1

k k k k k

f k f k f k f k

≥ ⇒ + + − = − +

⇒ + + − = − +

Từ (1) cho 3k = ta có

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 44 2 1 0 2 3 16 2 2 2f f f f a a f+ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = .

0,250,250,250,25

Theo trên ta chứng minh được ( )f n n= với 0; 1; 2; 3; 4n = . Ta chứng minh bằng quy nạp

( )f n n= . Thật vậy, với 3n ≥ từ đẳng thức (1) ta có:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 22

1 2 2 3 2

1 3 2 2 2 1 1 1

f n f n f n f n

f n n n n n f n n

+ + − = − +

⇒ + = − + − − = + ⇒ + = +

Do đó ( ) ( ), 2013 2013.f n n n N f= ∀ ∈ ⇒ =

0,50,50,50,5

http://dehoa.net

http://detoan.net


GV: TRẦN QUANG ĐẠTTRƯỜNG THPT NGUYỄNĐỔNG CHI – Hà TĩnhMail: [email protected]ưu tầm và chỉnh sửa

®Ò®Ò®Ò®Ò thithithithi chchchchäääännnn hhhhääääcccc sinhsinhsinhsinh gigigigiááááiiii ccccÊÊÊÊpppp trtrtrtrêêêêngngngngMMMM««««nnnn :::: ToToToTo¸̧̧̧nnnn ---- llllíííípppp 10101010

Thêi gian: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)

BBBBààààiiii 1.1.1.1. (4 điểm)

1. Giải phương trình: 1123 =−+− xx

2. Tìm m để phương trình 3m 13m 13m 13m 1x 6 x 9 m x 2 x 9 8 xx 6 x 9 m x 2 x 9 8 xx 6 x 9 m x 2 x 9 8 xx 6 x 9 m x 2 x 9 8 x2222++++

+ − + + − − = ++ − + + − − = ++ − + + − − = ++ − + + − − = + có hai

nghiệm 1 21 21 21 2x ,xx ,xx ,xx ,x sao cho 1 21 21 21 2x 10 xx 10 xx 10 xx 10 x< << << << <

BBBBààààiiii 2.2.2.2. (2,5 điểm) Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau nghiệm đúng vớimọi x:

6x2 + 4x + 5 > |2x2 + 4mx + 1| (1)

BBBBààààiiii 3.3.3.3. (3 điểm) Cho hệ phương trình:22 3 8 0

0x yx y m

⎧ + − =⎪⎨

− + =⎪⎩

1. Giải hệ phương trình với m = 1.

2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

BBBBààààiiii 4.4.4.4. (3 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R, có G làtrọng tâm. Chứng minh rằng:

1. 2 2 2 2 2 21 ( )3

GA GB GC a b c+ + = + + .

2.2 2 2

2 2

9a b cR OG + +

− =

BBBBààààiiii 5555 (4,5 điểm). Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; -5), B(-4; 5) vàđường thẳng d: x - 2y + 3 = 0.

1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ B đến ∆là lớn nhất.2. Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB là nhỏ nhất.BBBBààààiiii 6.6.6.6. (3 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 2.

Chứng minh rằng:2 2 2

1a b cb c a c a b

+ + ≥+ + +

----------------- Hết -----------------


http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọccccĐÁĐÁĐÁĐÁPPPP ÁÁÁÁNNNN

ĐáĐáĐáĐápppp áááánnnn ThangThangThangThangđđđđiiiiểểểểmmmm

BBBBààààiiii 1.1.1.1.4444 đđđđiiiiểểểểmmmm

1.1.1.1. §Æt a = 3 2 x− b = 1−x §K b .0≥

PT ⇔⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=====

⇔⎩⎨⎧

=+

=+

3;20;11;0

11

23

bababa

baba

*) a = 0; b = 1 gi¶i ®-îc x = 2*) a = 1 ; b = 0 gi¶i ®-îc x = 1*) a = -2; b=3 gi¶i ®-îc x = 10VËy nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ: x = 1; x = 2, x = 10.

0,0,0,0, 25252525đđđđ

0,0,0,0, 75757575đđđđ

0,0,0,0, 75757575đđđđ

0,250,250,250,25 đđđđ

2. PT (((( )))) 3m 13m 13m 13m 1x 9 3 m x 9 1 xx 9 3 m x 9 1 xx 9 3 m x 9 1 xx 9 3 m x 9 1 x2222++++

⇔ − + + − + = +⇔ − + + − + = +⇔ − + + − + = +⇔ − + + − + = + đặt t x 9, t 0t x 9, t 0t x 9, t 0t x 9, t 0= − ≥= − ≥= − ≥= − ≥

PT trở thành : (((( )))) (((( ))))2 22 22 22 23m 13m 13m 13m 1t 3 m t 1 t 9 2t 2 m 1 t m 13 0t 3 m t 1 t 9 2t 2 m 1 t m 13 0t 3 m t 1 t 9 2t 2 m 1 t m 13 0t 3 m t 1 t 9 2t 2 m 1 t m 13 02222++++

+ + + = + + ⇔ − + + + =+ + + = + + ⇔ − + + + =+ + + = + + ⇔ − + + + =+ + + = + + ⇔ − + + + = (1)

PT ban đầu có nghiệm 1 21 21 21 2x 10 xx 10 xx 10 xx 10 x< << << << <

⇔ (1) có nghiệm (((( )))) (((( ))))1 2 1 21 2 1 21 2 1 21 2 1 2

1 21 21 21 2

' 0' 0' 0' 00 t 1 t t 1 t 1 00 t 1 t t 1 t 1 00 t 1 t t 1 t 1 00 t 1 t t 1 t 1 0

t t 0t t 0t t 0t t 0

∆ >∆ >∆ >∆ >⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪

≤ < < ⇔ − − <≤ < < ⇔ − − <≤ < < ⇔ − − <≤ < < ⇔ − − <⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪ + >+ >+ >+ >⎩⎩⎩⎩

(((( )))) (((( ))))2222

2222m 1 2 m 13 0m 1 2 m 13 0m 1 2 m 13 0m 1 2 m 13 0m 25 0m 25 0m 25 0m 25 0

m 13m 13m 13m 13 m 1 1 0 13 m 0 m 13m 1 1 0 13 m 0 m 13m 1 1 0 13 m 0 m 13m 1 1 0 13 m 0 m 132222

m 1m 1m 1m 1m 1 0m 1 0m 1 0m 1 0

⎧⎧⎧⎧ + − + >+ − + >+ − + >+ − + >⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪ − >− >− >− >

++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇔ − − + < ⇔ − < ⇔ >⇔ − − + < ⇔ − < ⇔ >⇔ − − + < ⇔ − < ⇔ >⇔ − − + < ⇔ − < ⇔ >⎨ ⎨⎨ ⎨⎨ ⎨⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ > −> −> −> −⎩⎩⎩⎩+ >+ >+ >+ >⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

0,50,50,50,5 đđđđ

0,250,250,250,25 đđđđ

0,50,50,50,5 đđđđ

0,750,750,750,75 đđđđ

BBBBààààiiii 2.2.2.2.2,52,52,52,5đđđđiiiiểểểểmmmm

Vì 6x2 + 4x + 5 > 0 với mọi x nên(1) ⇔ - (6x2 + 4x + 5 ) < 2x2 + 4mx + 1 < 6x2 + 4x + 5

⇔2

2

(1 ) 1 04 2(1 ) 3 0x m xx m x

⎧ + − + >⎪⎨

+ + + >⎪⎩(2)

Vây, (1) nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi cả hai bất phương trìnhtrong hệ (2) đồng thời nghiệm đúng với mọi x. Điều này tương đương với

2 21' 2 22

(1 ) 4 2 3 0(1 ) 12 2 11 0

m m mm m m

⎧∆ = − − = − − <⎪⎨∆ = + − = + − <⎪⎩

1 31 1 2 3

1 2 3 1 2 3

mm

m

− < <⎧⎪⇔ ⇔ − < < − +⎨− − < < − +⎪⎩

1,01,01,01,0 đđđđ

0,50,50,50,5 đđđđ

0,50,50,50,5 đđđđ

0,50,50,50,5 đđđđ

BBBBààààiiii 3.3.3.3.3333 đđđđiiiiểểểểmmmm

2

2

2 3 8 00 2 3 3 8 0 (1)

y x mx yx y m x x m

⎧ ⎧ = ++ − =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨− + = + + − =⎪ ⎪⎩ ⎩

0,50,50,50,5 đđđđ

http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọcccc1. Với m = 1:(1) ⇔ 22 3 5 0x x+ − = . Đặt t = |x| (t ≥ 0) ta được phương trình:

2t2 + 3t - 5 = 0 ⇔1

5 (2lo¹i)

t

t

=⎡⎢⎢ = −⎣

.

Với t = 1 ⇒ |x| = 1 ⇔ x = ± 1.Vậy hệ có 2 nghiệm (1; 2) và (-1; 2).2. Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ PT (1) có nghiệm duy nhất

⇔ PT 2t2 + 3t + 3m - 8 = 0 (2) có nghiệm thoả mãn: 1

2

00

tt=⎧

⎨ <⎩

⇔3 8 0

83 302

mm

− =⎧⎪ ⇔ =⎨− <⎪⎩

0,750,750,750,75 đđđđ

0,250,250,250,25 đđđđ0,50,50,50,5 đđđđ

0,250,250,250,25 đđđđ

0,50,50,50,5 đđđđ

0,250,250,250,25 đđđđ

BBBBààààiiii 44443333 đđđđiiiiểểểểmmmm

1. Có :2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

4 ( )9

49 2 4 2 4 2 4

3

a b cGA GB GC m m m

b c a c a b a b c

a b c

+ + = + +

⎛ ⎞+ + += − + − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠+ +

=

0,50,50,50,5 đđđđ

0,50,50,50,5 đđđđ

0,50,50,50,5 đđđđ

2. Có:2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( )

3 2 ( )

OA OB OC OG GA OG GB OG GC

OG GA GB GC OG GA GB GC

+ + = + + + + +

= + + + + + +

��

��

Do OA = OB = OC = R và 0GA GB GC+ + =��

nên:2 2 2 2 23 3R OG GA GB GC= + + + hay

2 2 22 2 2 2 23 3

3a b cR OG GA GB GC + +

− = + + =

⇒2 2 2

2 2

9a b cR OG + +

− =

0,50,50,50,5đđđđ

0,50,50,50,5 đđđđ

0,50,50,50,5 đđđđ

Bài 5.4,5điểm

1. Gọi H là hình chiếu của B trên ∆, ta có: BH ≤ AB.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H ≡ A. Khi đó ∆ là đường thẳng qua A vàvuông góc với AB.PTTQ: 3x - 5y - 31 = 0.2. Kiểm tra A và B cùng phía với d.Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d.

Có: MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B.

Đẳng thức xảy ra ⇔ A’, M, B thẳng hàng. Suy ra M là giao điểm của

0,50,50,50,5 đđđđ

0,50,50,50,5 đđđđ

0,50,50,50,5 đđđđ0,50,50,50,5 đđđđ

0,50,50,50,5 đđđđ

0,50,50,50,5 đđđđ

http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọccccđường thẳng A’B với d.Gọi d’ là đường thẳng qua A và vuông góc với d. d’ có PTTQ:2x + y + 1 = 0.Gọi H là giao điểm của d’ và d. Tọa độ H = (-1; 1).H là trung điểm của AA’ nên A’ có toạ độ A’(-4; 7).

Đường thẳng A’B có VTCP ' (0; 2)A B = −��

nên có VTPT ' (1;0)A Bn =�

PTTQ đường thẳng A’B: x + 4 = 0.Toạ độ giao điểm M của A’B và d là nghiệm của hệ phương trình:

4 0 112 3 0 4

y xx y y+ = = −⎧ ⎧

⇔⎨ ⎨− + = = −⎩ ⎩⇒ M(-11; -4)

0,250,250,250,25đđđđ

0,250,250,250,25đđđđ

0,250,250,250,25 đđđđ

0,250,250,250,25đđđđ

0,50,50,50,5 đđđđ

Bài 63 điểm BBBBààààiiii 6.6.6.6. (3 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 2.

Chứng minh rằng:2 2 2

1a b cb c a c a b

+ + ≥+ + +

Có:2 2

2 .4 4

a b c a b c ab c b c

+ ++ ≥ =

+ +.

Tương tự:2 2

2 .4 4

b a c b a c ba c a c

+ ++ ≥ =

+ +;

2 2

2 .4 4

c a b c a b ca b a b

+ ++ ≥ =

+ +

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được

http://dehoa.net

http://detoan.net


GV: TRẦN QUANG ĐẠTTRƯỜNG THPT NGUYỄN

ĐỔNG CHI – Hà TĩnhMail: [email protected]

Sưu tầm và chỉnh sửa

§Ò§Ò§Ò§Ò thithithithi chchchchäääännnn hhhhääääcccc sinhsinhsinhsinh gigigigiááááiiii llllíííípppp 10101010MMMM««««nnnn ToToToTo¸̧̧̧nnnn

NNNNĂĂĂĂMMMM HHHHỌỌỌỌCCCC 2008-20092008-20092008-20092008-2009Thời gian làm bài:180 phót (kh«ng kể thời gian giao

®ề)

BBBBµµµµi1i1i1i1(8®).

1) Gi¶i ph¬ng tr×nh:9

x (x +1)(x +2)(x +3) =16

2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:⎧⎨⎩

2 2

x +y +xy =4

x y +xy =3.

BBBBµµµµiiii 2222(3®).

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P =2 2

2 2

x +3xy - yx +xy +y

BBBBµµµµiiii 3333(2®).Cho tam gi¸c ABC víi A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) vµ ®êng th¼ng d :

x – 2y – 3 = 0. T×m ®iÓm M thuéc d sao cho 2 3MA MB MC+ -uuur uuur uuur

®¹t gi¸ trÞ nhá

nhÊt

BBBBµµµµiiii 4444(6 đ)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, có H là trực tâm, gọi R là bán kính đườngtròn ngoại tiếp.1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA.2) Chứng minh rằng: cos cos cos sin sin sinA B C A B C+ + < + +

BBBBµµµµiiii 5555(1 ®)Cho a, b, c lµ ba sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng:

³a b c+ + 2

b+c a+c b +a

________________ HÕt _____________


http://dehoa.net

http://detoan.net


CCCC©©©©uuuu NỘI DUNG ĐIỂM

CCCCââââuuuu 1:1:1:1: 1)1)1)1) GiGiGiGi¶¶¶¶iiii phphphph¬¬¬¬ngngngng trtrtrtr××××nh:nh:nh:nh:9

x (x +1)(x +2)(x +3) =16(1)(1)(1)(1)

* §Æt t = x(x+3)⇒(1) trë thµnh t(t+2) =9/16⇔94

14

t

t

éê = -êêê =êë

1

* víi t =94ta cã x(x+3) = -

94⇔ x2 + 3x +

94= 0⇔ x = -

32

1

* víi t =14ta cã x(x+3) =

14⇔ x2 + 3x -

14= 0⇔

éêêêêêêë

-3+ 10x =

2

-3 - 10x =

2

1

* VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

323 10

23 10

2

x

x

x

éê = -êêê - +ê =êêê +ê = -êë

1

2)2)2)2) GiGiGiGi¶¶¶¶iiii hhhhÖÖÖÖ phphphph¬¬¬¬ngngngng trtrtrtr××××nh:nh:nh:nh:⎧⎨⎩

2 2

x +y +xy =4

x y +xy =3(2)(2)(2)(2)

(2) ⇔( x + y) + xy = 4xy(x+y) = 3

ìïïíïïî®Æt S = x+ y; P = xy

Ta ®îc hÖ4

3S PSP

ì + =ïïíï =ïîKhi ®ã S, P lµ nghiÖm cña Ph¬ng tr×nh

t2 - 4t + 3 = 013

SP

ì =ïïíï =ïîhoÆc

31

SP

ì =ïïíï =ïî

2

http://dehoa.net

http://detoan.net


*13

SP

ì =ïïíï =ïîx, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh u2 – u + 3 = 0

Ph¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm

1

*31

SP

ì =ïïíï =ïîx, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh u2 – 3u + 1 = 0

⇔

3 52

3 52

x

y

ìï +ï =ïïïíï -ïï =ïïî

hoÆc

3 52

3 52

x

y

ìï -ï =ïïïíï +ïï =ïïî

1

V©y hÖ cã 2 nghiÖm

3 52

3 52

x

y

ìï +ï =ïïïíï -ïï =ïïî

vµ

3 52

3 52

x

y

ìï -ï =ïïïíï +ïï =ïïî

CCCC©©©©uuuu 2222

TTTT××××mmmm gigigigi¸̧̧̧ trtrtrtrÞÞÞÞ llllíííínnnn nhnhnhnhÊÊÊÊt,t,t,t, nhnhnhnháááá nhnhnhnhÊÊÊÊtttt ccccññññaaaa PPPP ====2 2

2 2

x +3xy - yx +xy +y

* y = 0 th× P = 1 1

* y ≠ 0 th× P =2

2

3 11

t tt t

+ -+ +

víi t = x/y gäi P lµ mét gi¸ trÞ bÊt kú cña nã

khi ®ã ph¬ng tr×nh sau Èn t ph¶i cã nghiÖmP(t2 +t +1) = t2 + 3t - 1⇔(1- P)t2 + (3 -P)t – (1+ P ) = 0 cã nghiÖmhay

2 2

1Δ (3 ) 4(1 ) 0 (*)P

P P

é =êê = - + - ³ë(*)⇔ -3P2 – 6P +13 ≥ 0⇔ - (1+ 3 ) ≤ P ≤ 3 - 1

1

0,5VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = 1VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = - (1+ 3 )

CCCC©©©©uuuu 3333Cho tam gi¸c ABC víi A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) vµ ®êng th¼ng d :x – 2y – 3 = 0. T×m ®iÓm M thuéc d sao choQ = 2 3MA MB MC+ -

uuur uuur uuur®¹t gi¸ trÞ nhá

Gäi M(2y+3 ; y) ∈ d Khi ®ã 2 3MA MB MC+ -uuur uuur uuur

= (2y – 5 ; y+21)2 3MA MB MC+ -

uuur uuur uuur= 2 2(2 5) ( 21)y y- + + = 25 22 466y y+ +

2

http://dehoa.net

http://detoan.net


Q ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi y =115

-

VËy M(75

- ;115

- )

CCCC©©©©u4u4u4u4

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, có H là trực tâm, gọi R là bán kínhđường tròn ngoại tiếp.

1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA.2) Chứng minh rằng: cos cos cos sin sin sinA B C A B C+ + < + +

O

A

CB

H

A'

D

1

1) Gäi A’ lµ ®iÓm sao cho AA’ lµ ®êng kÝnh dÔ cã BHCA’ lµ h×nh b×nhhµnh. Do ®ã AH = 2OD = 2OCcosA = 2RcosA

2

2)1cos cos cos (cos cos cos cos cos cos )2

sin cos sin cos sin cos2 2 2 2 2 2

A B C A B B C C A

C A B A B C B C A

+ + = + + + + +

- - -= + +

Ta cã cos 12

A B- £ v× C nhän nªn

0 00 60 2cos 1 cos 2cos2 2 2 2C C A B C-< < Þ > Þ <

T¬ng tù ta cãcos 2cos

2 2

cos 2cos2 2

B C A

C A B

- <

- <

VËy cos cos cos sin sin sinA B C A B C+ + < + +

1

1

http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọcccc1

CCCC©©©©u5u5u5u5Cho a, b, c lµ ba sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng:

³a b c+ + 2

b+c a+c b +a

2( )

a a ab c a b ca b c

= ³+ + ++

2( )

b b ba c a b cb a c

= ³+ + ++

2( )

c c cb a a b cc b a

= ³+ + ++

]

Céng 3 bÊt ®¼ng thøc trªn vÕ theo vÕ ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh

2

http://dehoa.net

http://detoan.net



®Ò®Ò®Ò®Ò thithithithi chchchchäääännnn hhhhääääcccc sinhsinhsinhsinh gigigigiááááiiii ccccÊÊÊÊpppp trtrtrtrêêêêngngngngMMMM««««nnnn :::: ToToToTo¸̧̧̧nnnn ---- llllíííípppp 10101010

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

BBBBààààiiii 1:1:1:1: ( 3 điểm)a) Giải bất phương trình: 1 55 2x 4

2x 2x

x− < − + .

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 21 1y x x x x= + + + − + .BBBBààààiiii 2:2:2:2: ( 3 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta có:

( )3 33

2010 2010

4

x y x yx y zz x y

+ + + +≤

+ ++ +.

BBBBààààiiii 3:3:3:3: ( 3 điểm)Cho tam giác ABC có đường cao CH, H∈AB. Các điểm I, K lần lượt là trung

điểm của các đoạn AB và CH . Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh ABcắt cạnh AC tại M và cạnh BC tại N.Vẽ hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q thuộc cạnh AB. Gọi J là tâm của hình chữnhật MNPQ. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

BBBBààààiiii 4:4:4:4:( 1 điểm)Số 3 2009n + , n là số nguyên dương, có chia hết cho 184 không? hãy chứng minh

điều mà bạn khẳng định.------------------------------------------------------------Hết---------------------------------------------------------------

ĐÁĐÁĐÁĐÁPPPP ÁÁÁÁNNNN VVVVÀÀÀÀ BIBIBIBIỂỂỂỂUUUU ĐĐĐĐIIIIỂỂỂỂMMMMBBBBààààiiii NNNNộộộộiiii dungdungdungdung ttttừừừừngngngng ýýýý ĐĐĐĐiiiiểểểểmmmm1.a1.a1.a1.a + Đưa bất phương trình về dạng: 1 15 2 4

4x2x x

x⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ < + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 0,25đ


http://dehoa.net

http://detoan.net


+ Đặt 1 , 22

t x tx

= + ≥ , x > 0 và tính được 21x 14x

t+ = − 0,5đ

+ Viết được bất phương trình theo t: t2 − 5t + 2 > 0 ⇔ ( t > 2 ∨ t <12

(loại)) 0,25đ

+ Viết được bất phương trình

( )2 3 32 4 1 0 2 0 22 2

x x x x⎛ ⎞− + > ⇔ > + ∨ < < −⎜ ⎟⎝ ⎠

0,5đ

1.b1.b1.b1.b + Nhận xét: y là tổng của hai biểu thức nhận giá trị dương nên cóthể dùng bất đẳng thức cauchy biến đổi từ TBC sang TBN. 0,25đ

+ Viết được: ( )( )2 2 4 2442 1 1 2 1 2y x x x x x x≥ + + − + = + + ≥ 0,5đ

+ Đẳng thức xảy ra khi:2 2

4 2

1 10

1 1x x x x

xx x

⎧ + + = − +⎪ ⇔ =⎨+ + =⎪⎩

0,5đ

+ Luận được y ≥ 2, dấu " = " xảy ra khi x = 0. Do đó: min (0) 2y y= =ℝ

0,25đ2222 + Viết được để chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh:

( )3 33 4 x y x y+ ≥ + . 0,5đ

+ Viết được ( ) ( ) ( )( )3 23 34 3 0x y x y x y x y+ − + = + − ≥ 1,5đ

+ Suy được: ( )3 33 4z x y z x y+ + ≥ + + . 0,5đ

+ Kết luận được( )3 33

2010 2010

4

x y x yx y zz x y

+ + + +≤

+ ++ + 0,5đ

3333 + Chọn hệ trục tọa độ như hình bên vàviết đượctọa độ của H(0;0), A(a;0), B(b;0),C(0;c)

0,25đ

+ Suy được tọa độ các điểm

;0 , 0;2 2a b cI K+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0,25đ

+ Viết được phương trình của (d):y =m, 0< m <c; phương trình đườngthẳng AC: cx + ay –ac = 0, phươngtrình đường thẳng BC: cx + by – bc =0.

0,5đ

+ Lập luận và tìm được tọa độ của các

điểm M ( ) ;a c m

mc−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

, N ( ) ,b c m

mc−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

,

P ( ) ;0b c mc−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

,

1đ

http://dehoa.net

http://detoan.net


J ( )( ) ;2 2

a b c m mc

+ −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ Tính được tọa độ các vectơ:( ); , IJ ;

2 2 2 2m a ba b c mIK

c+⎛ ⎞+⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

�� 0,5đ

+ Viết được: IK .IJcm

=��

nên ba điểm I, J, K thẳng hàng . 0,5đ

4444 + Viết được 184 = 8.23 và 23 1m − chia hết cho 32 – 1 = 8. 0,25đ+ Viết được nếu n = 2m (chẵn), thì 2 23 2009 3 1 251.8 2m m+ = − + + khôngchia hết cho 8+ Nếu n = 2m + 1 (lẻ), thì ( )2 1 23 2009 3 3 1 251.8 4m m+ + = − + + cũngkhông chia hết 8.+ Kết luận được n +∀ ∈ℤ , 3n + 2009 không chia hết cho 184.

0,75đ

GhiGhiGhiGhi chchchchúúúú:::: MMMMọọọọiiii ccccááááchchchch gigigigiảảảảiiii khkhkhkháááácccc đúđúđúđúngngngng ccccăăăănnnn ccccứứứứ ttttừừừừngngngng phphphphầầầầnnnn ccccủủủủaaaa bibibibiểểểểuuuu đđđđiiiiểểểểmmmm đểđểđểđể chochochocho đđđđiiiiểểểểm.m.m.m.

http://dehoa.net

http://detoan.net


http://dehoa.net

http://detoan.net





BBBBààààiiii 1:1:1:1: (2.0 điểm) Với a,b,c > 0 thỏa mãn điều kiện abc =1. Chứng minh rằng:

43

)1)(1()1)(1()1)(1(

333

≥++

+++

+++ ba

cac

bcb

a

BBBBààààiiii 2:2:2:2: (2.0 điểm)Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường thẳng

AB,CD, cắt nhau ở E, AD, BC cắt nhau ở F, AC, BD cắt nhau ở M. Các đườngtròn ngoại tiếp của các tam giác CBE, CDF cắt nhau ở N. Chứng minh rằng O,M,N thẳng hàng.BBBBààààiiii 3333 :::: (2.0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

x3 + (x + 1)3 + ... + (x + 7)3 = y3 (1)BBBBààààiiii 4:4:4:4: (2.0 điểm)Chứng minh rằng, Trong mọi tam giác ta luôn có:

+ + <+ + +

sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin

A B CB C C A A B

BBBBààààiiii 5:5:5:5: (2.0 điểm) Giải hệ phương trình:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+−

−=+

yxyxyx

xyx

1788

49322

23

……………………………………………HẾT……………………………………………………………SSSSỞỞỞỞ GIGIGIGIÁÁÁÁOOOO DDDDỤỤỤỤCCCC VVVVÀÀÀÀ ĐÀĐÀĐÀĐÀOOOO TTTTẠẠẠẠOOOO VVVVĨĨĨĨNHNHNHNH PHPHPHPHÚÚÚÚCCCC ĐỀĐỀĐỀĐỀ KIKIKIKIỂỂỂỂMMMM TRATRATRATRA HHHHỌỌỌỌCCCC

SINHSINHSINHSINH GIGIGIGIỎỎỎỎIIII LLLLỚỚỚỚPPPP 10101010 ((((ĐềĐềĐềĐề 1)1)1)1)TRTRTRTRƯỜƯỜƯỜƯỜNGNGNGNG THPTTHPTTHPTTHPT TAMTAMTAMTAM DDDDƯƠƯƠƯƠƯƠNGNGNGNG NNNNĂĂĂĂMMMM HHHHỌỌỌỌCCCC 2008-2008-2008-2008-

2009200920092009……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………MMMMÔÔÔÔNNNN THITHITHITHI :::: TOTOTOTOÁÁÁÁNNNN

Thời gian làm bài: 180 phút không kểthời gian giao đề


http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọccccCCCCââââuuuu 1111 ( 3 điểm ):a, Giải các phương trình sau:

23

22

1=

−+

− xxb, Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0. Đặt Sn = xx nn

21 + , n là sốnguyên.

Chứng minh rằng a.Sn + b.Sn-1 + c.Sn-2 = 0.CCCCââââuuuu 2222 ( 2điểm )Tìm giá trị k lớn nhất để bất phương trình sau đúng với mọi x [ ]1;0∈

1)1( 22 ++≤−+ xxxxkCCCCââââuuuu 3333 ( 3 điểm)Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC tương ứng lấy cácđiểm D, E, F không trùng với các đỉnh tam giác sao cho các đoạn thẳng AE, BF,CD không đồng quy. Gọi P là giao điểm của BF và CD, Q là giao điểm AE với BF;R là giao điểm AE với CD. Giả sử 4 tam giác ADR, BEQ, CFP, PQR có diện tíchđều bằng 1.a, CMR tam giác BQDvà tam giác BPA đồng dạngb, CMR các tứ giác DRQB, EQPC, FPRA có diện tích bằng nhau và tính diện tíchcủa chúng.CCCCââââuuuu 4444 ( 2 điểm ): Cho 3 số dương a, b, c thỏa a + b + c = 1.CMR : (a + b )(b + c )(c + a )abc

7298

≤

………………………………………………………………………………………………………………

http://dehoa.net

http://detoan.net


http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọccccTRƯỜNG THPT CAO LÃNH 2 ĐỀ THI THỬ HSG VÒNG TỈNH LẦN 3 Ngày thi: 9/11/2008

NỘI DUNG ĐỀNỘI DUNG ĐỀNỘI DUNG ĐỀNỘI DUNG ĐỀ

Bài 1: (2.0 điểm) Với a,b,c > 0 thỏa mãn điều kiện abc =1. Chứng minh rằng:

43

)1)(1()1)(1()1)(1(

333

≥++

+++

+++ ba

cac

bcb

a

Bài 2: (3.0 điểm) Giải phương trình:

( )2

2 2log x x-5 log x-2x 6 0+ + =

Bài 3: (3.0 điểm) Tìm đa thức P (x) thỏa mãn điều kiện:

(3) 6( 1) ( 3) ( ), x

PxP x x P x

⎧⎪⎨⎪⎩

=− = − ∀

Bài 4: (2.0 điểm) Cho dãy số dương

)( nx

xác định xác định như sau:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥−+=+

=

=

0)(n nxnxnxxx

71452

451

10

1) Xác định số hạng tổng quát

nx

theo n

2) Tính số ước dương của biểu thức

2.21 +−+ nxnxnx

Bài 5: (3.0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường thẳng AB,CD, cắt nhau ở E, AD, BC cắt nhau ở F, AC, BD cắt nhau ở M. Các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác CBE, CDF cắt nhau ở N. Chứng minh rằng O,M, N thẳng hàng. Bài 6 : (2.0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

x3 + (x + 1)3 + ... + (x + 7)3 = y3 (1) Bài 7: (2.0 điểm)Chứng minh rằng, Trong mọi tam giác ta luôn có:

+ + <+ + +

sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin

A B CB C C A A B

Bài 8Bài 8Bài 8Bài 8:::: (3.0 điểm) Giải hệ phương trình:

1.

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+−

−=+

yxyxyx

xyx

1788

49322

23

2. 2. 2. 2. ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+

=−+

=−+

16)(

30)(

2)(

23

23

23

yxzzxzyy

zyxx

Thời gian làm bài 180 phút.

http://dehoa.net

http://detoan.net


SSSSỞỞỞỞ GIGIGIGIÁÁÁÁOOOO DDDDỤỤỤỤCCCC VVVVÀÀÀÀ ĐÀĐÀĐÀĐÀOOOO TTTTẠẠẠẠOOOO VVVVĨĨĨĨNHNHNHNH PHPHPHPHÚÚÚÚCCCC KKKKỲỲỲỲ THITHITHITHI CHCHCHCHỌỌỌỌNNNN HSGHSGHSGHSG LLLLỚỚỚỚPPPP12THPT12THPT12THPT12THPT NNNNĂĂĂĂMMMM HHHHỌỌỌỌCCCC 2008-20092008-20092008-20092008-2009 TRTRTRTRƯỜƯỜƯỜƯỜNGNGNGNG THPTTHPTTHPTTHPT TAMTAMTAMTAM DDDDƯƠƯƠƯƠƯƠNGNGNGNGĐĐĐĐỀỀỀỀ THITHITHITHI MMMMÔÔÔÔNNNN :::: TOTOTOTOÁÁÁÁNNNN

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Thời gian làm bài: 180 phút khôngkể thời gian giao đề

CCCCââââuuuu 1111. Giải phương trình: 269

32

=−

+xxx

CCCCââââuuuu 2.2.2.2. Giải hệ phương trình⎪⎩

⎪⎨⎧

+=−

=+−22

2

)2(8

02

yxx

xyy

CCCCââââuuuu 3333. Tìm tất cả các số thực a, b, p, q sao cho phương trình:102202 )()()12( qpxxbaxx ++=+−−

thỏa mãn với mọi số thực x.Câu 4. Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng 7. Các điểm M,N lần lượt nằmtrên hai cạnh AB, Ac sao choAN = BM. Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng BN và CM. Biết diện tích tamgiác BOC bằng 2.a, Tính tỷ số

ABMB

b, Tính giá trị góc AOBCCCCââââuuuu 5.5.5.5. Cho x, y, z là số thực dương thỏa mãn điều kiện 1=++ zxyzxy . Tìm giá trịnhỏ nhất của biểu thức::::

xyxz

xzzy

yzyxP

++

++

+=

333

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

http://dehoa.net

http://detoan.net


SSSSỞỞỞỞ GIGIGIGIÁÁÁÁOOOO DDDDỤỤỤỤCCCC VVVVÀÀÀÀ ĐÀĐÀĐÀĐÀOOOO TTTTẠẠẠẠOOOO VVVVĨĨĨĨNHNHNHNH PHPHPHPHÚÚÚÚCCCC ĐỀĐỀĐỀĐỀ KIKIKIKIỂỂỂỂMMMM TRATRATRATRA HHHHỌỌỌỌCCCCSINHSINHSINHSINH GIGIGIGIỎỎỎỎIIII LLLLỚỚỚỚPPPP 10101010 ((((ĐềĐềĐềĐề 3)3)3)3)TRTRTRTRƯỜƯỜƯỜƯỜNGNGNGNG THPTTHPTTHPTTHPT TAMTAMTAMTAM DDDDƯƠƯƠƯƠƯƠNGNGNGNG NNNNĂĂĂĂMMMM HHHHỌỌỌỌCCCC 2008-2008-2008-2008-

2009200920092009……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



CCCCââââuuuu 1111.( 2 điểm ) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực thuộcnửa khoảng [-2;4):

- x2 +4 |x-1| - 4m=0.CCCCââââuuuu 2222.( 1,5 điểm) Giải phương trình: 17152 32 −=−+ xxxCCCCââââuuuu 3333(1,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

2007200620062005 222 ++=+++ xyxyyyxx

CCCCââââuuuu 4444(1,5 điểm) Cho x,y,z dương. Chứng minh rằng: 2425 >+

++

++ yx

zxz

yzy

x

CCCCââââuuuu 5.5.5.5.(2,0 điểm)Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I. Gọi ma , mb , mclần lượt là độ dài các đường trung tuyến hạ từ A, B, C. Chứng minh rằng:

34

2

2

2

2

2

2

<++mmm cba

ICIBIA

Câu 6.Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong và ngoài góc A cắt cạnhBC tại D và E.

http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọccccChứng minh rằng nếu AD = AE thì AB2 + AC2 = 4R2 ( trong đó R là bán kinhdđường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

……………………………………………………HHHHẾẾẾẾTTTT……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………........

SSSSỞỞỞỞ GIGIGIGIÁÁÁÁOOOO DDDDỤỤỤỤCCCC VVVVÀÀÀÀ ĐÀĐÀĐÀĐÀOOOO TTTTẠẠẠẠOOOO VVVVĨĨĨĨNHNHNHNH PHPHPHPHÚÚÚÚCCCC ĐỀĐỀĐỀĐỀ KIKIKIKIỂỂỂỂMMMM TRATRATRATRA HHHHỌỌỌỌCCCCSINHSINHSINHSINH GIGIGIGIỎỎỎỎIIII LLLLỚỚỚỚPPPP 10101010 ((((ĐềĐềĐềĐề 3)3)3)3)TRTRTRTRƯỜƯỜƯỜƯỜNGNGNGNG THPTTHPTTHPTTHPT TAMTAMTAMTAM DDDDƯƠƯƠƯƠƯƠNGNGNGNG NNNNĂĂĂĂMMMM HHHHỌỌỌỌCCCC 2008-2008-2008-2008-

2009200920092009……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



CCCCââââuuuu 1111.( 2 điểm ) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực thuộcnửa khoảng [-2;4):

- x2 +4 |x-1| - 4m=0.CCCCââââuuuu 2222.( 1,5 điểm) Giải phương trình: 17152 32 −=−+ xxxCCCCââââuuuu 3333(1,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

2007200620062005 222 ++=+++ xyxyyyxx

CCCCââââuuuu 4444(1,5 điểm) Cho x,y,z dương. Chứng minh rằng: 2425 >+

++

++ yx

zxz

yzy

x

CCCCââââuuuu 5.5.5.5.(2,0 điểm)Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I. Gọi ma , mb , mc

lần lượt là độ dài các đường trung tuyến hạ từ A, B, C. Chứng minh rằng:

34

2

2

2

2

2

2

<++mmm cba

ICIBIA

Câu 6.Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong và ngoài góc A cắt cạnhBC tại D và E.Chứng minh rằng nếu AD = AE thì AB2 + AC2 = 4R2 ( trong đó R là bán kinhdđường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọcccc……………………………………………………HHHHẾẾẾẾTTTT……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………........

Họ và tên họcsinh……………………………………………………………………..Lớp11A……

ĐĐĐĐỀỀỀỀ KIKIKIKIỂỂỂỂMMMM TRATRATRATRA HHHHỌỌỌỌCCCC KKKKỲỲỲỲ IIII BANBANBANBAN KHCBKHCBKHCBKHCBMMMMÔÔÔÔNNNN :::: TINTINTINTIN

( Thời gian làm bài 45 phút )……………………………………………………

Câu 1 ( 3 điểm).Hãy cho biết các thủ tục vào- ra đơn giản và nêu ví dụ minh họa ?Câu 2 ( 2 điểm). Hãy chuyển các biẻu thớc trong Pascal dưới đây thành biểu thứctoán học tương ứng?a, a / b*c – sqrt(a + b) c, a + b*c /(2*c + 4b) - 2*ab, a*b + c + sqrt(a + b) d, 1 / a*b*c – dCâu 3.( 5 điểm) Hãy viết chương trình giải bất phương trình 0≥+ bax bằng ngônngữ lập trình Pascal?

………………………………………………….HẾT…………………………………………………………

Họ và tên họcsinh……………………………………………………………………..Lớp11A……

ĐĐĐĐỀỀỀỀ KIKIKIKIỂỂỂỂMMMM TRATRATRATRA HHHHỌỌỌỌCCCC KKKKỲỲỲỲ IIII BANBANBANBAN KHCBKHCBKHCBKHCB

http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọccccMMMMÔÔÔÔNNNN :::: TINTINTINTIN

( Thời gian làm bài 45 phút )……………………………………………………

Câu 1 ( 3 điểm).Hãy cho biết các thủ tục vào- ra đơn giản và nêu ví dụ minh họa ?Câu 2 ( 2 điểm). Hãy chuyển các biẻu thớc trong Pascal dưới đây thành biểu thứctoán học tương ứng?a, a / b*c – sqrt(a + b) c, a + b*c /(2*c + 4b) - 2*ab, a*b + c + sqrt(a + b) d, 1 / a*b*c – dCâu 3.( 5 điểm) Hãy viết chương trình giải bất phương trình 0≥+ bax bằng ngônngữ lập trình Pascal?

…………………………………………………...HẾT………………………………………………………

SSSSỞỞỞỞ GIGIGIGIÁÁÁÁOOOO DDDDỤỤỤỤCCCC VVVVÀÀÀÀ ĐÀĐÀĐÀĐÀOOOO TTTTẠẠẠẠOOOO VVVVĨĨĨĨNHNHNHNH PHPHPHPHÚÚÚÚCCCC KKKKỲỲỲỲ THITHITHITHI CHCHCHCHỌỌỌỌNNNN HSGHSGHSGHSG LLLLỚỚỚỚPPPP12THPT12THPT12THPT12THPT NNNNĂĂĂĂMMMM HHHHỌỌỌỌCCCC 2008-20092008-20092008-20092008-2009 TRTRTRTRƯỜƯỜƯỜƯỜNGNGNGNG THPTTHPTTHPTTHPT TAMTAMTAMTAM DDDDƯƠƯƠƯƠƯƠNGNGNGNGĐĐĐĐỀỀỀỀ THITHITHITHI MMMMÔÔÔÔNNNN :::: TOTOTOTOÁÁÁÁNNNN ((((ĐĐĐĐềềềề 5)5)5)5)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


Câu 1 ( 2 điểm) Giả sử phương trình bậc hai .02 =++ cbxax có hai nghiệm dương x1,x2 và phương trình bậc hai

.02 =++ abxcx có hai nghiệm dương x3, x4. Chứng minh rằng x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4Câu 2 ( 2 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình:

06116 23 =−++− axxx có 3 nghiệm nguyên phân biệt.Câu 3 ( 3điểm).a, Cho tam giác ABC có I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tamgiác. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng nếu AM vuông góc với OI thì

ACABBC112

+=

b,Cho tam giác ABC thỏa mãn:cbacbba ++

=+

++

311 . Tính số đo góc B

http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọccccCâu 4. ( 2 điểm) Giải phương trình: 53512 22 ++=++ xxxCâu5 ( 1 điểm)Cho a, b, c > 0 và a + b + c =1. CMR

)(910

2223

cbaabc

bc

ab

ca

++≥+++

……………………………………………………HHHHẾẾẾẾTTTT……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………........

SSSSỞỞỞỞ GIGIGIGIÁÁÁÁOOOO DDDDỤỤỤỤCCCC VVVVÀÀÀÀ ĐÀĐÀĐÀĐÀOOOO TTTTẠẠẠẠOOOO VVVVĨĨĨĨNHNHNHNH PHPHPHPHÚÚÚÚCCCC KKKKỲỲỲỲ THITHITHITHI CHCHCHCHỌỌỌỌNNNN HSGHSGHSGHSG LLLLỚỚỚỚPPPP10THPT10THPT10THPT10THPT NNNNĂĂĂĂMMMM HHHHỌỌỌỌCCCC 2008-20092008-20092008-20092008-2009 TRTRTRTRƯỜƯỜƯỜƯỜNGNGNGNG THPTTHPTTHPTTHPT TAMTAMTAMTAM DDDDƯƠƯƠƯƠƯƠNGNGNGNGĐĐĐĐỀỀỀỀ THITHITHITHI MMMMÔÔÔÔNNNN :::: TOTOTOTOÁÁÁÁNNNN

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


Câu 1 ( 2 điểm) Giả sử phương trình bậc hai .02 =++ cbxax có hai nghiệm dương x1,x2 và phương trình bậc hai

.02 =++ abxcx có hai nghiệm dương x3, x4. Chứng minh rằng x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4Câu 2 ( 2 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình:

06116 23 =−++− axxx có 3 nghiệm nguyên phân biệt.Câu 3 ( 3điểm).a, Cho tam giác ABC có I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tamgiác. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng nếu AM vuông góc với OI thì

ACABBC112

+=

b,Cho tam giác ABC thỏa mãn:cbacbba ++

=+

++

311 . Tính số đo góc B

Câu 4. ( 2 điểm) Giải phương trình: 53512 22 ++=++ xxxCâu5 ( 1 điểm)Cho a, b, c > 0 và a + b + c =1. CMR

)(910

2223

cbaabc

bc

ab

ca

++≥+++

……………………………………………………HHHHẾẾẾẾTTTT……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………........

http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọccccSSSSỞỞỞỞ GIGIGIGIÁÁÁÁOOOO DDDDỤỤỤỤCCCC VVVVÀÀÀÀ ĐÀĐÀĐÀĐÀOOOO TTTTẠẠẠẠOOOO VVVVĨĨĨĨNHNHNHNH PHPHPHPHÚÚÚÚCCCC KKKKỲỲỲỲ THITHITHITHI CHCHCHCHỌỌỌỌNNNN HSGHSGHSGHSG LLLLỚỚỚỚPPPP10THPT10THPT10THPT10THPT NNNNĂĂĂĂMMMM HHHHỌỌỌỌCCCC 2008-20092008-20092008-20092008-2009 TRTRTRTRƯỜƯỜƯỜƯỜNGNGNGNG THPTTHPTTHPTTHPT TAMTAMTAMTAM DDDDƯƠƯƠƯƠƯƠNGNGNGNGĐĐĐĐỀỀỀỀ THITHITHITHI MMMMÔÔÔÔNNNN :::: TOTOTOTOÁÁÁÁNNNN ((((ĐĐĐĐềềềề 6666 ))))

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


CCCCââââuuuu 1(1(1(1( 2222 đđđđiiiiểểểểm).m).m).m). Xác định a để hệ có nghiệm duy nhất

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=++

=+++

axyyx

ayx22

2

200920092

12009

CCCCââââuuuu 2222 (((( 2222 đđđđiiiiểểểểm).m).m).m). Giải phương trình: 51624923 22 =+−++− xxxxCCCCââââuuuu 3333 (((( 2222 đđđđiiiiểểểểm)m)m)m) .... Cho a, b, c >0 thỏa mãn abc = 1. CMR

43

)1)(1()1)(1()1)(1(

444

≥++

+++

+++ ba

cac

bcb

a

CCCCââââuuuu 4444 (((( 2222 đđđđiiiiểểểểm)m)m)m) .... cho đường tròn cố định tâm O, bán kính r và tam giác ABC thayđổi nhưng luôn ngoại tiếp đường tròn. Đường thẳng đi qua O cắt AB, AC lần lượttại M, N. Xác định vị trí của điểm A và của MN sao cho diện tích tam giác AMNđạt GTNN.

CCCCââââuuuu 5555 (((( 2222 đđđđiiiiểểểểm)m)m)m) .... Cho số ,122 +=n

nA với n là số tự nhiên . CMR với hai số tựnhiên khác nhau m, k thì km AA , nguyên tố cùng nhau

SSSSỞỞỞỞ GIGIGIGIÁÁÁÁOOOO DDDDỤỤỤỤCCCC VVVVÀÀÀÀ ĐÀĐÀĐÀĐÀOOOO TTTTẠẠẠẠOOOO VVVVĨĨĨĨNHNHNHNH PHPHPHPHÚÚÚÚCCCC KKKKỲỲỲỲ THITHITHITHI CHCHCHCHỌỌỌỌNNNN HSGHSGHSGHSG LLLLỚỚỚỚPPPP10THPT10THPT10THPT10THPT NNNNĂĂĂĂMMMM HHHHỌỌỌỌCCCC 2008-20092008-20092008-20092008-2009 TRTRTRTRƯỜƯỜƯỜƯỜNGNGNGNG THPTTHPTTHPTTHPT TAMTAMTAMTAM DDDDƯƠƯƠƯƠƯƠNGNGNGNGĐĐĐĐỀỀỀỀ THITHITHITHI MMMMÔÔÔÔNNNN :::: TOTOTOTOÁÁÁÁNNNN ((((ĐĐĐĐềềềề 6666 ))))

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


CCCCââââuuuu 1(1(1(1( 2222 đđđđiiiiểểểểm).m).m).m). Xác định a để hệ có nghiệm duy nhất

http://dehoa.net

http://detoan.net


⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=++

=+++

axyyx

ayx22

2

200920092

12009

CCCCââââuuuu 2222 (((( 2222 đđđđiiiiểểểểm).m).m).m). Giải phương trình: 51624923 22 =+−++− xxxxCCCCââââuuuu 3333 (((( 2222 đđđđiiiiểểểểm)m)m)m) .... Cho a, b, c >0 thỏa mãn abc = 1. CMR

43

)1)(1()1)(1()1)(1(

444

≥++

+++

+++ ba

cac

bcb

a

CCCCââââuuuu 4444 (((( 2222 đđđđiiiiểểểểm)m)m)m) .... cho đường tròn cố định tâm O, bán kính r và tam giác ABC thayđổi nhưng luôn ngoại tiếp đường tròn. Đường thẳng đi qua O cắt AB, AC lần lượttại M, N. Xác định vị trí của điểm A và của MN sao cho diện tích tam giác AMNđạt GTNN.

CCCCââââuuuu 5555 (((( 2222 đđđđiiiiểểểểm)m)m)m) .... Cho số ,122 +=n

nA với n là số tự nhiên . CMR với hai số tựnhiên khác nhau m, k thì km AA , nguyên tố cùng nhau

http://dehoa.net

http://detoan.net





BBBBààààiiii 1:1:1:1: (4 điểm )Cho họ đường thẳng ( )md

2

2 2

11 1

m my xm m m m

+= +

+ + + +Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có bất kỳ đường thẳng nàothuộc họ ( )md đi qua.BBBBààààiiii 2:2:2:2: (4 điểm )Cho 4 số không âm a, b, c, d thỏa mãn điều kiện:

11 1 1 1a b c da b c d+ + + =

+ + + +

Chứng minh rằng: 181

abcd ≤ .

BBBBààààiiii 3:3:3:3: (4 điểm )Giải hệ phương trình sau:

2 2

2 2

1 1 18

1 1 2

x x y x y x y y

x x y x y x y y

⎧ + + + + + + + + + =⎪⎨

+ + + − + + + + − =⎪⎩BBBBààààiiii 4:4:4:4: (4 điểm )Cho bất phương trình:

24 4 3x x x x m+ − ≤ − + +Xác định m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi [ ]0;4x∈ .

BBBBààààiiii 5555 :(4 điểm )Cho ∆ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến BM, CN. Gọi α là góc giữa haiđường thẳng BM và CN, chứng minh rằng khi đó 4cos

5α ≥ .


http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọccccĐáĐáĐáĐápppp áááánnnn vvvvàààà bibibibiểểểểuuuu đđđđiiiiểểểểmmmm ToToToToáááánnnn 10101010

Câu Nội dung ĐiểmI

II

BBBBààààiiii 1111 Gọi (xo;y o) là điểm cần tìm, khi đó phương trìnhsau

2

0 02 2

11 1

m my xm m m m

+= +

+ + + +⇔m2(y0-1)+m(y0-x0)+y0-x0=0 (1) vô nghiệmTH1: y0=1 (1)⇔ m(1-x0)+1-x0=0 luôn có nghiệm m.TH2: y0≠ 1, khi đó (1) vô nghiệm⇔ ∆= (y0-x0)(-x0-3y0+4)<0

⇔ (I) 0 0

0 0

03 4 0

y xx y− <⎧

⎨− − + >⎩hoặc (II) 0 0

0 0

03 4 0

y xx y− >⎧

⎨− − + <⎩Từ đó suy ra các điểm thỏa mãn là phần không bị gạchtrong hình nhưng không bao gồm cạnh và không bao gồmđỉnh A(1;1).

A1

10 4 x

43

BBBBààààiiii 2222Từ giả thiết suy ra

11 1 1 1

b c da b c d= + +

+ + + +

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm1bb+

;

1cc+

;1dd+

ta có

31 3

1 1 1 1 (1 )(1 )(1 )b c d bcd

a b c d b c d= + + ≥

+ + + + + + +

Tương tự có

31 3

1 (1 )(1 )(1 )acd

b a c d≥

+ + + +

31 3

1 (1 )(1 )(1 )abd

c a b d≥

+ + + +

4 điểm

1 đ0,5 đ

1,5 đ

1 đ

4 điểm

1 đ

0,5 đ

http://dehoa.net

http://detoan.net


III

31 3

1 (1 )(1 )(1 )abc

d a b c≥

+ + + +

Nhân vế với vế có1 81

(1 )(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )(1 )abcd

a b c d a b c d≥

+ + + + + + + +

⇔181

abcd ≤

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

BBBBààààiiii 3333

Điều kiện2

2

1 01 0

x x yy x y

⎧ + + + ≥⎪⎨

+ + + ≥⎪⎩Cộng và trừ từng vế tương ứng của hệ phương trình trên tađược

2 21 1 108

x x y y x yx y

⎧ + + + + + + + =⎪⎨

+ =⎪⎩Thế y=8-x vào phương trình trên ta được

2 29 16 73 10x x x+ + − + =

⇔ 2 2 2( 9)( 16 73) 8 9x x x x x+ − + = − + +

⇔ 2 2 2 2( 3 ) ( 8) 3 ) 9 (8 )x x x x⎡ ⎤+ − + = + −⎣ ⎦ (1)

Trong hệ trục tọa độ xét ( ;3)a x→

; (8 ;3)b x→

−

Khi đó | a→

|.| b→

|= 2 2 2 2( 3 ) ( 8) 3 )x x⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦

a→

. b→

=9 (8 )x x+ −

Pt (1) tương đương với | a→

|.| b→

|= a→

. b→

(2)Ta có | a

→

|.| b→

| ≥ a→

. b→

Khi đó (2) xảy ra khi và chỉ khi hoặc 0a→ →

= hoặc0b

→ →

= (không xảy ra) hoặc a→

cùng hướng b→

suy ra8 1 0xx−

= > ⇔ x=4.

KL: Nghiệm của hệ là (4;4)BBBBààààiiii 4444: 24 4 3x x x x m+ − ≤ − + + (1)

Điều kiện 2 2

0 4 0 44 3 0(2) 4 3(2)

x xx x m m x x≤ ≤ ≤ ≤⎧ ⎧

⇔⎨ ⎨− + + ≥ ≥ − −⎩ ⎩

Điều kiện cần để bpt (1) nghiệm đúng với [ ]0;4x∀ ∈ thì (2)nghiệm đúng [ ]0;4x∀ ∈

0,5 đ

0,5 đ

1,5 đ

1 đ

1 đ

1 đ

0,5 đ

http://dehoa.net

http://detoan.net


IV

Xét f(x)= x2-4x-3Bảng biến thiên

x 0 2 4

f(x) -3

-7

-3

Từ bảng biến thiên (2) đúng với [ ]0;4x∀ ∈

⇔[0;4]

max ( ) 3m f x m≥ ⇔ ≥ −

PT ⇔ 2 24 2 4 4 3x x x x m+ − ≤ − + +

Đặt 24t x x= −Bảng biến thiên

x 0 2 4

t

0

2

0

Dựa vào bảng biến thiên suy ra 0 2t≤ ≤Bất phương trình trở thànhg(t)=-t2+2t+1≤m (3)

Để bất phương trình đầu nghiệm đúng với [ ]0;4x∀ ∈ thì (3)có nghiệm đúng với [ ]0;2t∀ ∈ .

[0;2]max ( )m g t⇔ ≥

t 0 1 2

g(t)

1

2

1

0,5 đ

0,5 đ

1 đ

0,5 đ

0,5 đ

http://dehoa.net

http://detoan.net


V

Từ BBT suy ra 2m ≥ .Kết luân 2m ≥ thì bpt (1) nghiệm đúng [ ]0;4x∀ ∈ .BBBBààààiiii 5555Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ :

y

xB

N

A

G

M

C

A(0;0),B(b;0), C(0;c), M(2b ;0), N(0;

2c ); G(

3b ;

3c )

;6 3b cGM

→ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

; 2 ;3 3b cGB

→ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

;

GM→

.GB→

=2 2 2 22

18 9 9b c b c+

+ =

|GM→

|2 24

6b c+

= ; |GB→

|=2 243b c+

GM→

.GB→

=|GM→

|.|GB→

|. cosα

⇔2 2

2 2 2 2

2( )cos4 4b c

b c b cα

+=

+ +Áp dụng bất đẳng thức côsi có

2 22 2 2 2 5( )( 4 )(4 )

2b cb c b c +

+ + ≤

Suy ra 4cos5

α ≥

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi b2+4c2=4b2+c2 ⇔ b=c

1 đ

0,5 đ

1 đ

1 đ

http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọcccc1 đ

1 đ

1 đ

1 đ




CCCCââââuuuu 1:1:1:1: (2,5 điểm) . Cho phương trình: 01322 =+− xx (1).... Gọi x1, x2 là nghiệmphương trình (1)a, Hãy lập phương trình ẩn y nhận

122

211

2,2x

xyx

xy +=+= làm nghiệm.

b,Không giải phương trình (1) hãy tính giá trị biểu thức: 3212

31

2221

21

44353xxxxxxxxA

+++

=

CCCCââââuuuu 2:2:2:2: (1,5 điểm).cho phương trình : 01234 =++++ axbxaxx có ít nhất mộtnghiệm thực , với a,b là số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của 22 ba +CCCCââââuuuu 3333 :::: (2,5 điểm) .

a, Giải phương trình: 4310

26

=−

+− xx

b, Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm: 212)1()1(3

7)1()1(2

2

2

>−+−++

−−−+

mx

xx

x

xx

xx

CCCCââââuuuu 4:4:4:4: (1,5 điểm).Cho [ ]2;1,, ∈zyx . Tìm giá trị lớn nhất của

)111)((zyx

zyxP ++++=


http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọccccCCCCââââuuuu 5:5:5:5: (2.0 điểm). Cho tam giác ABC và P là điểm thuộc miền trong tam giác.Gọi K, M, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên các đường thẳng BC, CA,AB. Hãy xác định vị trí P sao cho tổng 222 AMCLBK ++ nhỏ nhất.

………………………………………………………………..H..H..H..HẾẾẾẾTTTT………………………………………………………………....( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

HHHHọọọọ vvvvàààà ttttêêêênnnn ththththíííísinh:sinh:sinh:sinh:……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………SSSSốốốố bbbbááááoooo danh:danh:danh:danh:…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

HHHHƯƯƯƯỚỚỚỚNGNGNGNG DDDDẪẪẪẪNNNN CHCHCHCHẤẤẤẤMMMM VVVVÀÀÀÀ THANGTHANGTHANGTHANG ĐĐĐĐIIIIỂỂỂỂMMMM

CCCCââââuuuu NNNNộộộộiiii dungdungdungdung ĐĐĐĐiiiiểểểểmmmm

IIII

Theo Vi-Et ta có :⎩⎨⎧

==+

132

21

21

xxxx 0,250,250,250,25

Lại có: 36)(2

21

212121 =

+++=+

xxxxxxyy 0,50,50,50,5

94421

2121 =++=xx

xxyy 0,50,50,50,5

Vậy: 09362 =+− yy 0,250,250,250,25

b, Ta có: [ ][ ]21

22121

21212

21

2)(45)2)(3xxxxxxxxxxxxA

−++−+

=0,250,250,250,25

http://dehoa.net

http://detoan.net


b, Đặtx

xt 1−= , bài toán quy về tìm đk để bpt sau đúng với mọi t: 0,250,250,250,25

[ ]1.2)32(1.41)32.(3

2

2

−−

=0;250;250;250;25

87

)212(4136

=−−

= 0,50,50,50,5

IIIIIIII

* x = 0 không là nghiệm pt* x 0≠ : Phương trình trở thành : 0)1(1

22 =++++ b

xxa

xx

0,250,250,250,25

Đặt 2;1≥=+ tt

xx , khi đó phương trình trở thành:

battbatt +=−⇔=+−+ 22 202

0,250,250,250,25

Theo Bunhia1

2

1)1)((

2

2

2

22222

+

−=

+

+≥+⇔++≤+

t

t

t

batbatbabat

0,250,250,250,25

61

91 2222 −

+++≥+t

tba

0,250,250,250,25

Mặt khác:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥+

≥+

++

516

25)1(16

518

19

25)1(9

2

2

2

tt

t

do 42 ≥t

0,250,250,250,25

Vậy 125422 ±=⇔±=⇔≥+ xtba 0,250,250,250,25

III.aIII.aIII.aIII.a

a, Với x <2 đặt ttt

tx

xt −=

+⇔+=−⇒>

−= 4

6101630

26

2

2

2

0,250,250,250,25

09648128 234 =+−+−⇔ tttt 0,250,250,250,252=⇔ t 0,250,250,250,25

21

=⇔ x

KL:

0,250,250,250,25

http://dehoa.net

http://detoan.net


III.bIII.bIII.bIII.b

23

122

2

≤+++−mtt

tt

Vì mẫu xác định với mọi t nên tmttm ∀>++⇒>⇔<∆ ,031210 2 0,250,250,250,25

Do đó bất phương trình tương đương với :tmtttt ∀++≤+− ,22612 22

tmtt ∀≥−++⇔ ,01234 2

0,250,250,250,25

0)12(169 <−−=∆⇔ m0,50,50,50,5

3225

≥⇔ m

KL:

0,250,250,250,25

IVIVIVIV

Do vai trò x, y, z như nhau nên giả sử 21 ≤≤≤≤ zyx

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⇒

011

011

yz

xy

zy

yx

0,250,250,250,25

xz

zx

yz

xy

zy

yx

++≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⇒ 2

0,250,250,250,25

)(253xz

zx

zx

xz

yz

zy

xy

yxP ++≤+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⇒ (1). Dấu ‘ = ’

xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc y = z

0,250,250,250,25

Đặt t = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈ 1;21

zx , ta có:

2510)

21)(2( ≤+⇒≤−−

tttt (2). Dấu ‘ =

‘ xảy ra khi21

=t

0,250,250,250,25

Từ (1) và (2) suy ra P 1055 =+≤P 0,250,250,250,25

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi và chỉ khi

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

===

⎩⎨⎧

===

21

21

zyxz

yx

KL:

0,250,250,250,25

Đặt S = BK2 + CL2 +AM2. Theo tính chất của tam giác vuông tacó:S = BM2 + CK2 + AL2

0,50,50,50,5

Do vậy: 2S =(BK2 +KC2) + (CL2 + LA2) + (AM2 +MB2 0,50,50,50,5

http://dehoa.net

http://detoan.net





BBBBµµµµiiii 1:1:1:1:1.Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 211 24 2 =−++−− xxxx .

2.Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

=++

217

2244

22

yxyxxyyx

BBBBµµµµiiii 2:2:2:2:1. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh

232 −x + 2+x ≥ 3 4 )2)(23( +− xx .2. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh

7925623 222 ++≤+++++ xxxxxx .

BBBBµµµµiiii 3.3.3.3. T×m hµm f(x) biÕt r»ng: xx

fxfx =+≠∀ )1(2)(:0 .

BBBBµµµµiiii 4.4.4.4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

85−−

=xxA Víi [ )+∞∈ ;14x .

BBBBµµµµiiii 5.5.5.5. Cho ®-êng trßn (C): 014222 =+−−+ yxyx .

VVVV ])()()[(21 222 MBAMLACLKCBK +++++≥

)(21 222 ABCABC ++= 0,50,50,50,5

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : MBAMLACLKCBK === ,, 0,50,50,50,5


http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọcccc1. LËp ph-¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) qua ®iÓm M(3;4).2. LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d) song song víi ®-êng th¼ng 3x + 4y +1=0 vµ c¾t (C) t¹i hai ®iÓm A; B sao cho tam gi¸c IAB cã diÖn tÝch lín nhÊt.

(Víi I lµ t©m ®-êng trßn (C) )BBBBµµµµiiii 6.6.6.6.

1. Chøng minh: .0;;111333

888

>∀++≥++ cba

cbacbacba

2.Cho çc sè d-¬ng a;b;c thâa m·n ®iÒu kiÖn a+b+c=3. Chøng minh:

23

111 222 ≥+

++

++ a

ccb

ba

HÕt.

HHHHääää ttttªªªªnnnn ththththÝÝÝÝ sinhsinhsinhsinh …………………………………………………… SSSSèèèè bbbb¸̧̧̧oooo danhdanhdanhdanh…………….ThThThThÝÝÝÝ sinhsinhsinhsinh khkhkhkh««««ngngngng ®-î®-î®-î®-îcccc ssssöööö ddddôôôôngngngng ttttµµµµiiii lilililiÖÖÖÖu,u,u,u, gigigigi¸̧̧̧mmmm ththththÞÞÞÞ khkhkhkh««««ngngngng gigigigi¶¶¶¶iiii ththththÝÝÝÝchchchch gggg×××× ththththªªªªm.m.m.m.

®¸®¸®¸®¸pppp ¸̧̧̧nnnn thithithithi chchchchäääännnn hhhhääääcccc sinhsinhsinhsinh gigigigiááááiiii ccccÊÊÊÊpppp trtrtrtrêêêêngngngng llllíííípppp 10101010n¨m häc 2008-2009 MMMM««««nnnn :::: ToToToTo¸̧̧̧nnnn

Thêi gian 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao®Ò

BBBBµµµµiiii ýýýý NNNNééééiiii dungdungdungdung §§§§iiiiÓÓÓÓmmmm

BBBBµµµµiiii 1111(4(4(4(4 ®®®®)))) 1111

Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 211 24 2 =−++−− xxxx .§K: 01;01 2 ≥−−≥− xxx .

§Æt u= 224 2 111

uxxxx =−+⇒−− ( u>0).

1111®®®®

Ph-¬ng tr×nh trë thµnh:2

51;1012 23 ±==⇔=+− uuuu .

- Víi u=1: x=1.

- Víi2

51±=u : 4

8

2512

2511

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

=x1111®®®®

http://dehoa.net

http://detoan.net


2222

Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

=++

217

2244

22

yxyxxyyx

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−+

=++⇔

21

722222

22

yxyx

xyyx

1111®®®®

§Æt u= 22 yx + ; v=xy. Cã ngay: u=5;v=2. Ta cã hÖ:

⎩⎨⎧

==+

2522

xyyx Gi¶i ra ta ®-îc çc nghiÖm: (1;2); (2;1); (-1;-2); (-2;-1). 1111®®®®

BBBBµµµµiiii 2222(4(4(4(4®®®®))))

1111

2 23 −x + 2+x ≥ 3 4 )2)(23( +− xx (1)

TX§: D = { ∈x R \ x ≥32 }

Trªn D th× 2+x > 0, Chia 2 vÕ cña (1) cho 2+x ta ®-îc

2 31223

≥++−

xx

4223

+−

xx §Æt t = 4

223

+−

xx , t ≥ 0

BPT ⇔ 2t2 – 3t + 1 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤21 hoÆc t ≥ 1

1111§§§§

* Víi 0 ≤ t ≤21 th× 4

223

+−

xx

≤21⇔

32

≤ x ≤4734

* Víi t ≥ 1 th× 4223

+−

xx

≥ 1 ⇔ x ≥ 2

VËy tËp nghiÖm cña BPT (1): T = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

4734;

32

∪ [ ]+∞;2

1111§§§§

2222

7925623 222 ++≤+++++ xxxxxx .§K: ( ] [ )+∞−∪−∞−∈ ;15;x- Víi x=-1: HiÓn nhiªn lµ nghiÖm.- Víi x>-1: BÊt ph-¬ng tr×nh t-¬ng ®-¬ng:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎢⎣

⎡−=−=

−>

⇔+≤+++52

17252

xxx

xxx Bpt v« nghiÖm.

1111®®®®

- Víi 5−≤x :BÊt ph-¬ng tr×nh t-¬ng ®-¬ng:57225 −=⇔−−≤−−+−− xxxx .

VËy Bpt cã 2 nghiÖm: x=-1; x=-5

1111®®®®

BBBBµµµµiiii 3333(2(2(2(2 ®®®®))))

Thay x bëi 1/x ta cã:x

xfx

f 1)(2)

1( =+ . KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ban

®Çu, gi¶i hÖ ta ®-îc:xxxf

32)(

2−=

2222®®®®

http://dehoa.net

http://detoan.net


BBBBµµµµiiii 4444(2(2(2(2 ®®®®))))

821

83

28

838

85

−+−

+−

=−

+−=−−

= xx

xx

xxxA

- ¸p dông Cosi 68

32

8≥

−+

−x

x . §¼ng thøc x¶y ra khi :

⇔−

=−

83

28

xx x=14.

1,51,51,51,5®®®®

- Víi 6218

2114 ≥−⇒≥ xx §¼ng thøc x¶y ra khi x=14.

VËy: 623

≥A §¼ng thøc x¶y ra khi x=14.

0,50,50,50,5®®®®

BBBBµµµµiiii 5555(4(4(4(4 ®®®®))))

1111

4)2()1(:)( 22 =−+− yxC . T©m I(1;2); b¸n kÝnh R=2.+ XÐt tiÕp tuyÕn cïng ph-¬ng Oy: KiÓm tra thÊy x=3 lµ tiÕp tuyÕn.

0,50,50,50,5®®®®

+ XÐt tiÕp tuyÕn (d) kh«ng cïng ph-¬ng Oy: y=ax+b.

21

22

=+

−+=

a

bad dI . Do M n¨m trªn d nªn: 3a+b=4.

Gi¶i hÖ a=0; b=4. d: y=4.VËy cã 2 tiÕp tuyÕn tho· m·n: x=3 vµ y=4.

1,51,51,51,5®®®®

2222

Gäi H(x;y) lµ trung ®iÓm AB. Gi¶ sö IH=a suy ra HB= 22 aR − .

141)(

21.

21.

21 222222 =≤−=−==∆ RaRaaRaHBIHS IHB §¼ng thøc x¶y ra

khi: 22 aR − =a 22==⇔

Ra .

1111®®®®

Nãi çch kh¸c ®-êng th¼ng d cã d¹ng: 3x+4y+C=0 c¾t ®-êng trßn t¹iAB: Trung ®iÓm H cña AB: IH= 2 . Ta cã ngay:

⎢⎢⎣

⎡

−−=

−=⇔=+

1125

11252511

C

CC

VËy cã 2 ®-êng th¼ng cÇn t×m:3x+4y+ 0112543;01125 =−−+=− yx

1111®®®®

BBBBµµµµiiii 6666(4(4(4(4®®®®))))

1111 .0;;111333

888

>∀++≥++ cba

cbacbacba

¸p dông bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n sau: cabcabcba ++≥++ 222 .

0,50,50,50,5®®®®

Ta cã : ccbabacacbcba

cbaaccbba

cbacba

33

242242242

333

444444

333

888 ++≥

++≥

++

cbacabcab

abccba

abcbca

abc

acb 111)(1)(1 222 ++=++≥++=++=

1,51,51,51,5®®®®

http://dehoa.net

http://detoan.net


2222

Ta cã :2211

2

2

2

2

abab

abab

ababa

−=−≥+

−=+

. 1111®®®®

Hoµn toµn t-¬ng tù ta chøng minh ®-îc cho çc tr-êng hîp cßn l¹i. Khi®ã:

23

2111 222 ≥++

−++≥+

++

++

cabcabcbaac

cb

ba

(Do a+b+c=3 nªn dÔ cã: 3≤++ cabcab ).§¼ng thøc x¶y ra khi a=b=c=1.

1111®®®®




CCCCââââuuuu I:I:I:I: (5 điểm)3. Giải bất phương trình: ( )( )( )( ) 21 2 4 8 4x x x x x− − − − ≤4. Cho các số thực a, b, c (với a ≠ 0) sao cho: phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai

nghiệm thuộc đoạn [ ]0; 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:( )( )

( )2a b a b

Pa a b c− −

=− +

.

CCCCââââuuuu II:II:II:II: (5 điểm)1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2)9)(8)(2)(1( yxxxx =++++

2. Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:

3 33 3

1 1 5

1 1 15 10

x yx y

x y mx y

⎧ + + + =⎪⎪⎨⎪ + + + = −⎪⎩


http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọccccCCCCââââuuuu III:III:III:III: (3 điểm) Trong mặt phẳng, cho góc � 060 .xOy = M, N là hai điểm lần lượt thay

đổi trên hai tia Ox và Oy sao cho:2013201211

=+ONOM

. Chứng minh đường thẳng MN luôn

đi qua điểm cố định.

CCCCââââuuuu IV:IV:IV:IV: (2 điểm) Cho x, y là hai số dương thay đổi, có tổng bằng 174

. Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:1

3112111 22

++

++++=

xyy

yx

yxxP .

CCCCââââuuuu V:V:V:V: (5 điểm)1. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng 0332:1 =−− yxd và

01725:2 =−+ yxd . Đường thẳng d đi qua giao điểm của 1d và 2d cắt hai tia Ox, Oy lần

lượt tại A và B. Viết phương trình đường thẳng d sao cho 2

2

OABSAB∆

nhỏ nhất.

2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc

của G xuống cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng:2 2 2

1 1 1. . . 0a GA b GB c GC+ + =��

. (với a=BC, b=AC, c=AB).

-------------------------------------------------------------------------------------------- HHHHếếếếtttt ----------------------------------------------------------------------------------------

CCCCââââuuuu NNNNộộộộiiii dungdungdungdung ThangThangThangThangđđđđiiiiểểểểmmmm

IIII 5.05.05.05.0đđđđ1.1.1.1. GiGiGiGiảảảảiiii bbbbấấấấtttt phphphphươươươươngngngng trtrtrtrìììình:nh:nh:nh: ( )( )( ) ( ) 21 2 4 8 4x x x x x− − − − ≤ 2.52.52.52.5đđđđ

( ) ( )( )2 2 22 6 8 9 8 4bpt x x x x x⇔ − + − + ≤ (2)

0x = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm0,5

0≠x , ph¬ng tr×nh (2)8 86 9 4x xx x

⎛ ⎞⎛ ⎞⇔ + − + − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

0,5

§Æt8x tx

+ = , ®iÒu kiÖn 4 2t ≥ (*)

Bpt trë thµnh: 2 15 50 0 5 10t t t− + ≤ ⇔ ≤ ≤ , kÕt hîp (*) ta ®îc:84 2 10 4 2 10 5 17 5 17t x xx

≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ +

KL: nghiÖm cña BPT lµ: 5 17;5 17x ⎡ ⎤∈ − +⎣ ⎦

1,0

2.2.2.2. TTTTììììmmmm gigigigiáááá trtrtrtrịịịị llllớớớớnnnn nhnhnhnhấấấấtttt ccccủủủủaaaa bibibibiểểểểuuuu ththththứứứức:c:c:c: ( ) ( )( )

2a b a bP

a a b c− −

=− +

.... 2.52.52.52.5đđđđ

http://dehoa.net

http://detoan.net


Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của PT đã cho. Theo Vi-et:1 2

1 2

bx xa

cx xa

⎧ + = −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

0,5

Do a ≠ 0 nên ta có :

( ) ( ) 2 21 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 22

1 11

b bx x x x x x x xa aP

b c x x x x x x x xa a

⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟ + + + + + + +⎝ ⎠⎝ ⎠= = = ++ + + + + +⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠

0,75

Không mất tính tổng quát giả sử x1 ≤ x2 do 2 nghiệm thuộc [0; 1] nên2 21 1 2 2; 1x x x x≤ ≤ và 1 2 1 21 x x x x+ + + > 0 nên ta có:2 21 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 11 1x x x x x x x xx x x x x x x x+ + + + + +

≤ =+ + + + + +

⇒ P ≤ 30,75

Dấu đẳng thức xẩy ra khi: 1 1 222 1x x xx=⎧

⎨=⎩

1

2

1

2

0x = 1

1

x = 1

x

x

⎡ =⎧⎨⎢⎩⎢⇔ ⎢ =⎧⎢⎨⎢⎩⎣

00

02

cb a

ba c

⎡ =⎧⎨⎢ = − ≠⎩⎢⇔⎢

= = − ≠⎢⎣

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3

0,5

IIIIIIII 5.05.05.05.0đđđđ1.T1.T1.T1.Tììììmmmm ttttấấấấtttt ccccảảảả ccccáááácccc nghinghinghinghiệệệệmmmm nguynguynguynguyêêêênnnn ccccủủủủaaaa phphphphươươươươngngngng trtrtrtrìììình:nh:nh:nh: 2)9)(8)(2)(1( yxxxx =++++ 2.52.52.52.5đđđđ

Đặt 5+= xt , ta được:2)9)(8)(2)(1( yxxxx =++++ 222 )16)(9( ytt =−−⇔ (1)

Đặt2252 −= tu ( Zu∈2 ) ⇔ + − =(1) (2u 2y)(2u 2y) 49

0, 5


⎩⎨⎧

−==

∨==

⇒⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

=−=+

∨=−=+

12252

12252

4922122

1224922

yu

yu

yuyu

yuyu

05252 =⇒±=⇒= xtu hay 10−=xTừ đó )12;0(),( ±=yx , )12;10( ±−

0,5


⎩⎨⎧

=−=

∨−=−=

⇒⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

−=−−=+

∨−=−−=+

12252

12252

4922122

1224922

yu

yu

yuyu

yuyu

50252 −=⇒=⇒−= xtu Từ đó )12;5(),( ±−=yx0,5


⎩⎨⎧

=−=

∨==

⇒⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

−=−−=+

∨=−=+

072

072

722722

722722

yu

yu

yuyu

yuyu

1472 −=⇒±=⇒= xtu hay 9−=x2372 −=⇒±=⇒−= xtu hay 8−=x

Từ đó )0;1(),( −=yx , )0;2(− , )0;8(− , )0;9(−

0,5

Tóm lại phương trình có 10 nghiệm nguyên (x, y) là:)0;1(− , )0;2(− , )0;8(− , )0;9(− , )12;0( ,

)12;0( − , )12;5(− , )12;5( −− , )12;10(− , )12;10( −−0,5

2.2.2.2. TTTTììììmmmm đđđđiiiiềềềềuuuu kikikikiệệệệnnnn ccccủủủủaaaa thamthamthamtham ssssốốốố mmmm đểđểđểđể hhhhệệệệ phphphphươươươươngngngng trtrtrtrììììnhnhnhnh sausausausau ccccóóóó nghinghinghinghiệệệệmmmm 2.52.52.52.5đđđđ

http://dehoa.net

http://detoan.net


Đặt u = 1xx

+ và v = 1yy

+ với 2, 2u v≥ ≥

Hệ đã cho trở thành:( )3 3

5 583 15 10

u v u vu v mu v u v m

+ =⎧ + =⎧⎪ ⇔⎨ ⎨ = −+ − + = −⎪ ⎩⎩u, v là các nghiệm của PT : t2 – 5 t + 8 = m (1)

1.0

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi PT (1) có nghiệm t1, t2 thoả mãn 1 22, 2t t≥ ≥(t1, t2 không nhất thiết phân biệt)Xét hàm số y = t2 – 5 t + 8 với t ] [ )( ; 2 2;∈ −∞ − ∪ +∞

t - ∞ - 2 2 52

+∞

y

+∞ +∞

22

2

74

Từ bảng biến thiên suy ra hệ đã cho có nghiệm khi7 24

22

m

m

⎡ ≤ ≤⎢⎢

≥⎣

1.0

0.5

III.III.III.III. ChChChChứứứứngngngng minhminhminhminh đườđườđườđườngngngng ththththẳẳẳẳngngngng MNMNMNMN lulululuôôôônnnn đđđđiiii quaquaquaqua đđđđiiiiểểểểmmmm ccccốốốố địđịđịđịnh.nh.nh.nh. 3.03.03.03.0đđđđGọi Ot là tia phân giác của góc xOySuy ra Ot cố định. Gọi I là giao điểm MN với tia Ot.Ta chứng minh I cố định.

0.5

* MONONOMS OMN sin..21

=∆

= ONOMONOM .4360sin..

21 0 = (1)

0.5

* NOIOIONMOIOIOMSSS ONIOMIOMN sin..21sin..

21

+=+= ∆∆∆

= OIONOMOIONOM ).(4130sin.).(

21 0 +=+ (2)

1.0

Từ (1) và (2) suy ra:ONOMONOM

OI .31 +

=

320132012)11(

31

=+=ONOM

I⇒ cố định.1.0

IVIVIVIV TTTTììììmmmm gigigigiáááá trtrtrtrịịịị nhnhnhnhỏỏỏỏ nhnhnhnhấấấấtttt ccccủủủủaaaa bibibibiểểểểuuuu ththththứứứức:c:c:c:1

3112111 22

++

++++=

xyy

yx

yxxP .... 2.02.02.02.0đđđđ

http://dehoa.net

http://detoan.net


Ta có: P = ( x +y1 ) 2 + 11( x +

y1 ) +

yx 1

3

+. Đặt: t = x +

y1 > 0. Ta có:

0.5

P = t 2 + 11 t +t3 = ( t –

21 )2 + (12 t +

t3 ) –

41

tt 3.122≥ –

41 =

447 .

Đẳng thức xảy ra khi t =21 .

1.0

Giải hệ:

174

1 12

x y

xy

⎧ + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩

được: x =41 và y = 4.

Vậy: MinMinMinMin PPPP ====4

47 đạt được khi x =41 và y = 4.

0.5

VVVV 5.05.05.05.0đđđđ

1.1.1.1. ViViViViếếếếtttt phphphphươươươươngngngng trtrtrtrììììnhnhnhnh đườđườđườđườngngngng ththththẳẳẳẳngngngng dddd saosaosaosao chochochocho 2

2

OABSAB∆

nhnhnhnhỏỏỏỏ nhnhnhnhấấấất.t.t.t. 2.52.52.52.5đđđđ

• Gọi I là giao điểm của haiđường thẳng 1d và

2d )1;3(I⇒ .

0.5

• Giả sử )0;(aA và );0( bB với 0, >ba thì đường thẳng d có phương

trình 1=+by

ax . Vì 113

=+⇒∈ba

dI 0.5

• Ta có ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+=

∆222222

22

2

2 11411.4.

.4baOBOAOBOA

OBOASABOAB

0.5

• Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có

11311)13(2

2222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

baba 10111

22 ≥+⇒ba

0.5

• Min52

2

2

=∆OABSAB khi

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

103

10

3

113

b

a

baba

Khi đó đường thẳng d có phương trình 0103 =−+ yx .

0.5

http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọcccc2.2.2.2. ChChChChứứứứngngngng minhminhminhminh rrrrằằằằng:ng:ng:ng: 2 2 2

1 1 1. . . 0a GA b GB c GC+ + =��

. (Với a=BC, b=AC, c=AB). 2.52.52.52.5đđđđ

2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1. . . 0 ( . . . ) 0a GA b GB a GC a GA b GB a GC+ + = ⇔ + + =

��

4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1. . . 2 . 2 . 2 . 0a GA b GB c Gc a b GA GB a c GA GC b c GB GC⇔ + + + + + =

�� (*) 0.75

Ta có: 1 1 1, , , 23 3 3a b c

a b ch h hGA GB GC ah bh ch S= = = = = = ,

0 2 2 21 1 1 1 1 1

0 2 2 21 1 1 1 1 1

01 1 1 1 1 1

. . . os(180 ) . . os , -2ab.cos

. . . os(180 ) . . osB, -2ac.cos

. . . os(180 ) . . osA, -2cb.cos

GA GB GA GB c C GA GB c C C c a b

GA GC GA GC c B GA GC c B b a c

GC GB GC GB c A GC GB c A

= − = − = − −

= − = − = − −

= − = −

��

��

�� 2 2 2a b c= − −

1.0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(*)4 . 4 . 4 . 4 .( ) 4 .( ) 4 .( ) 0

9 9 9 9 9 9S a S b S c S c a b S b a c S a c bVT − − − − − −

= + + + + + =

Là điều phải chứng minh.

0.75

2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:( )

( ) ( )21 2

2 2 1 2

x y x y y

x y y x

⎧ + − = − −⎪⎨

− = − −⎪⎩

®k:1

(**)0

xy≥⎧

⎨ ≥⎩0,5

HPT( )

( ) ( )2 21 2 2 0(4)

2 2 1 2 (5)

x x y y y

x y y x

⎧− + + + + =⎪⇔ ⎨− = − −⎪⎩

Gi¶i (4) xem nh ph¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi Èn x ta ®îc:1 2

x yx y= −⎡

⎢ = +⎣

1,0

Víi x=-y lo¹i do (**) 0,5

Thay x=1+2y vµo (5) ta cã: ( )( ) ( ) 2 51 2 2 2 2 2

1 1y x

y y y yy x= ⇒ =⎡

+ − = − ⇔ ⎢ = − ⇒ = −⎣kÕt hîp

(**) nghiÖm cña HPT lµ: (x;y) = ( 5;2)1,0

M

A

B C

N

0,250,250,250,25

http://dehoa.net

http://detoan.net


Ta có: 2 ,3

BC BABN +=�� ( )1

1 1BA k BCCA kCBCM

k k− ++

= =+ +

��

Do . 0BN CM BN CM⊥ ⇔ = ⇔�� ( ) ( )( )2 1 0BC BA BA k BC+ − + =

��

( ) ( )2 2 1 11 2 2 1 . 0 1 2 02 4

k a a k BA BC k k k− + + − + = ⇔ − − + − − = ⇔ =�� 0,50,50,50,5

Với 14 5

ak AM= ⇒ =0,250,250,250,25

BC là đường thẳng đi qua B và vuông góc với đường cao hạ từ A nên có PT:( ) ( )4 2 3 1 0 4 3 5 0x y x y− + + = ⇔ + − = .

0,50,50,50,5

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:

( )4 3 5 0 1

1;32 5 0 3

x y xC

x y y+ − = = −⎧ ⎧

⇔ ⇒ −⎨ ⎨+ − = =⎩ ⎩

0,50,50,50,5

Gọi d là đường thẳng đi qua B và vuông góc với đường phân giác góc C, d có phươngtrình:( ) ( )2 2 1 0 2 5 0x y x y− − + = ⇔ − − = .

Tọa độ điểm H là giao điểm của d và phân giác góc C là nghiệm của hệ:

( )2 5 0 33;1

2 5 0 1x y x

Hx y y+ − = =⎧ ⎧

⇔ ⇒⎨ ⎨− − = =⎩ ⎩

0,50,50,50,5

Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua đường phân giác góc C, khi đó B` thuộc AC và Hlà trung điểm BB` nên ta có:

( )' '2 4; 2 3 ' 4;3B H B B H Bx x x y y y B= − = = − = ⇒ AC là đường thẳng đi qua C và có vectơ chỉ0,50,50,50,5

phương ( )' 5;0CB��

nên có PT là:

( ) ( )0 1 5 3 0 3 0x y y+ − − = ⇔ − = . 0,50,50,50,5

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

( )3 0 5

5;33 4 27 0 3y x

Ax y y− = = −⎧ ⎧

⇔ ⇒ −⎨ ⎨− + = =⎩ ⎩

Vậy ( ) ( )5;3 , 1;3A C− − .

0,50,50,50,5

Thay tọa độ A, B lần lượt vào vế trái phương trình đường phân giác góc C ta được cácsố: 4; 5− − , do đó đường phân giác góc C đó là phân giác ngoài. 0,50,50,50,5

Kí hiệu N chỉ tập hợp các số tự nhiên. Giả sử :f N N→ là hàm số thỏa mãn các điều kiện

( )1 0f > và ( ) ( )( ) ( )( )2 22 22 2f m n f m f n+ = + với mọi , m n N∈ . Tính các giá trị của ( )2f

và ( )2013f .

Đặt ( )2f a= . Cho ( ) ( )( ) ( )20 0 3 0 0 0m n f f f= = ⇒ = ⇒ = .

0,250,250,250,25

http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọccccCho ( ) ( )( ) ( )2

1; 0 1 1 1 1m n f f f= = ⇒ = ⇒ = . Cho ( )1 3 3.m n f= = ⇒ =

Cho ( ) ( )( )220 ,n f m f m m N= ⇒ = ∀ ∈ nên ( ) 24f a= .Mặt khác với mỗi số tự nhiên

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

3 1 2 2 3 2

1 2 2 3 2 1

k k k k k

f k f k f k f k

≥ ⇒ + + − = − +

⇒ + + − = − +

Từ (1) cho 3k = ta có

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 44 2 1 0 2 3 16 2 2 2f f f f a a f+ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = .

0,250,250,250,25

Theo trên ta chứng minh được ( )f n n= với 0; 1; 2; 3; 4n = . Ta chứng minh bằng quy nạp

( )f n n= . Thật vậy, với 3n ≥ từ đẳng thức (1) ta có:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 22

1 2 2 3 2

1 3 2 2 2 1 1 1

f n f n f n f n

f n n n n n f n n

+ + − = − +

⇒ + = − + − − = + ⇒ + = +

Do đó ( ) ( ), 2013 2013.f n n n N f= ∀ ∈ ⇒ =

0,50,50,50,5

KỲKỲKỲKỲ THITHITHITHI OLYMPICOLYMPICOLYMPICOLYMPIC TRUYTRUYTRUYTRUYỀỀỀỀNNNN THTHTHTHỐỐỐỐNGNGNGNG 30/430/430/430/4LLLLẦẦẦẦNNNN THTHTHTHỨỨỨỨ XIIIXIIIXIIIXIII TẠITẠITẠITẠI THÀNHTHÀNHTHÀNHTHÀNH PHPHPHPHỐỐỐỐ HUHUHUHUẾẾẾẾ

ĐỀĐỀĐỀĐỀ THITHITHITHI MMMMÔÔÔÔNNNN TOTOTOTOÁÁÁÁNNNN LLLLỚỚỚỚPPPP 10101010Thời gian làm bài: 180 phút

ChúChúChúChú ý:ý:ý:ý: Mỗi câu hỏi thí sinh làm trên 01 tờ giấy riêng biệt

CCCCââââuuuu 1111 (4 điểm).Giải hệ phương trình:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+

=+

++

yxyxyx

xyyx

2

22 168

CCCCââââuuuu 2222 (4 điểm).Cho các số thực a, b, x, y thoả mãn điều kiện 3=− byax . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức aybxyxbaF +++++= 2222 .

CCCCââââuuuu 3333 (4 điểm).Cho tam giác ABC có các góc A, B thỏa điều kiện:

2cos2

23sin

23sin BABA −

=+ .

Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

http://dehoa.net

http://detoan.net


CCCCââââuuuu 4444 (4 điểm).Cho tứ giác lồi ABCD. Xét M là điểm tùy ý. Gọi P, Q, R, S là các điểm sao

cho:MPMDMCMB 4=++ ; MQMAMDMC 4=++ ;

MRMBMAMD 4=++ ; MSMCMBMA 4=++ .Tìm vị trí của điểm M sao cho PA = QB = RC = SD.

CCCCââââuuuu 5555 (4 điểm).Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là những điểm có

tọa độ nguyên. Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất mộtđiểm có tọa độ nguyên.

-------------------HẾT---------------------GhiGhiGhiGhi chchchchúúúú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Đáp án Toán 10

NỘI DUNG ĐIỂMCCCCââââuuuu 1:1:1:1: Giải hệ phương trình:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+

=+

++

)2(yxyx

)1(16yx

xy8yx

2

22

* Điều kiện: x + y > 0 0,5* (1) ⇔ (x2 + y2)(x + y) + 8xy = 16(x + y)

⇔ [(x + y)2 – 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy = 0⇔ (x + y)3 – 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = 0⇔ (x + y)[(x + y)2 – 16] – 2xy(x + y – 4) = 0⇔ (x + y – 4)[(x + y)(x + y + 4) – 2xy] = 0

1

⇔2 2

x y 4 0 (3)x y 4(x y) 0 (4)+ − =⎡

⎢ + + + =⎣

0,5

Từ (3) ⇒ x + y = 4, thế vào (2) ta được:

x2 + x – 4 = 2 ⇔ x2 + x – 6 = 0 ⇔ x 3 y 7x 2 y 2= − ⇒ =⎡

⎢ = ⇒ =⎣.

1

(4) vô nghiệm vì x2 + y2 ≥ 0 và x + y > 0. 0,5Vậy hệ có hai nghiệm là (–3; 7); (2; 2) 0,5

http://dehoa.net

http://detoan.net


Đáp án Toán 10

NỘI DUNG ĐIỂMCCCCââââuuuu 2:2:2:2: Cho các số thực a , b , x , y thỏa mãn điều kiện 3=− byax .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức aybxyxbaF +++++= 2222 .

Viết lại ( )2222

43

22baaybxF ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += .

0,5

Đặt ( )y;xM = , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

22a;bA , ( ) 3=−∆ byax: . Ta có

222

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

aybxMA . Mà ( )∆∈M nên ( )[ ] 2222 3

ba;AdMA

+=∆≥ .

Đẳng thức xảy ra khi M là hình chiếu của A trên ( )∆ .

1,5

Suy ra ( ) ( ) 34332

433 22

2222

22 =++

≥+++

≥ ba.ba

baba

F .1

Vậy 3=Fmin đạt được chẳng hạn khi

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

22

2602 ;;;y;x;b;a .

1

http://dehoa.net

http://detoan.net


Đáp án Toán 10

NỘI DUNG ĐIỂMCCCCââââuuuu 3:3:3:3: Cho tam giác ABC có các góc A, B thỏa điều kiện :

sin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

23A + sin ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

23B = 2cos ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2BA .

Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.Ta có: sin(

23A ) + sin(

23B ) = 2 sin(

4)(3 BA + ) cos(

4)(3 BA − ) .

1≥ sin(4

)(3 BA + ) > 0; cos(2BA − ) > 0

0 ≤2BA − ≤

43 BA − < π

⇒ cos(2BA − )≥cos(

43 BA − )

⇒cos(2BA − )≥cos(

43 )BA( − )

1

Từ sin(2

3A ) + sin(2

3B ) = 2cos(2BA − ) và cos(

2BA − )>0

Suy ra : 2sin(4

)(3 BA + )cos(4

)(3 BA − ) >0

Hay cos(4

3 )BA( − )>0.

1

Kết hợp với sin(4

)(3 BA + )≤1, ta có sin(4

)(3 BA + )cos(4

)(3 BA − )≤cos(4

)(3 BA − )

Do đó: 2 sin(4

)(3 BA+ )cos(4

)(3 BA− ) ≤ 2cos(4

)(3 BA − ) ≤ 2cos(2BA − )

1

Vì vậy nếu sin(2

3A ) + sin(2

3B ) = 2cos(2BA− ) thì phải có:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

−=

−

1)4

)(3sin(4

32

BA

BABA⇔ A = B =

3π .

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

1

http://dehoa.net

http://detoan.net


Đáp án Toán 10

NỘI DUNG ĐIỂMCCCCââââuuuu 4:4:4:4: Cho tứ giác lồi ABCD. Xét M là điểm tùy ý. Gọi P, Q, R, S là các

điểm sao choMPMDMCMB 4=++ ; MQMAMDMC 4=++

MRMBMAMD 4=++ ; MSMCMBMA 4=++Tìm vị trí của điểm M sao cho PA = QB = RC = SD.

Giả sử có điểm M thỏa bài toán. Gọi G là điểm sao choMDMCMBMAMG +++=5 .

0,5

Từ MPMDMCMB 4=++ , ta có GAPA 54 = .Tương tự GBQB 54 = , GCRC 54 = , GDSD 54 = .

1

Do đó PA = QB = RC = SD ⇔GA = GB = GC = GD. 1Nếu ABCD là tứ giác nội tiếp được trong đường tròn tâm O thì Gtrùng O và M là điểm duy nhất xác định bới

( )ODOCOBOAOM +++−= . Kiểm tra lại thấy thỏa PA = QB = RC =SD.

1

Nếu ABCD không phải là tứ giác nội tiếp được trong đường tròn thìkhông tồn tại điểm M.

0,5

http://dehoa.net

http://detoan.net


Đáp án Toán 10

NỘI DUNG ĐIỂMCCCCââââuuuu 5:5:5:5: Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là những

điểm có tọa độ nguyên.Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất mộtđiểm có tọa độ nguyên.Coi đỉnh Ai (xi; yi), i = 1, 2, 3, 4, 5.(xi; yi) có thể rơi vào những trường hợp sau:(2k; 2k’), (2k; 2k’+1), (2k+1; 2k’ + 1), ( 2k +1; 2k’) với k, k’ ∈ Z

1,5

Do đa giác có 5 đỉnh nên theo nguyên lí Đi rich lê, có ít nhất 2 đỉnhcó tọa độ thuộc một trong bốn kiểu trên.

1,5

Khi đó trung điểm của đoạn nối 2 đỉnh ấy sẽ có tọa độ nguyên.Do ngũ giác là lồi nên điểm này ở miền trong hoặc trên cạnh củangũ giác đó.

1

http://dehoa.net

http://detoan.net


ĐỀĐỀĐỀĐỀ THITHITHITHI HHHHỌỌỌỌCCCC SINHSINHSINHSINH GIGIGIGIỎỎỎỎIIII KHKHKHKHỐỐỐỐIIII 10101010ThThThThờờờờiiii gian:gian:gian:gian: 120120120120 phphphphúúúútttt

CCCCââââuuuu I.I.I.I. (2 điểm) Cho phương trình 2 (2 1) 2 0mx m x m+ − + − = , m là tham số1. Tìm m để phương trình có một nghiệm2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp hai lần nghiệmkia

CCCCââââuuuu II.II.II.II. (2 điểm) Cho hệ phương trình 2 2

x y xy ax y a+ + =⎧

⎨+ =⎩

, a là tham số

1. Giải hệ phương trình khi a = 52. Tìm a để hệ phương trình có nghiệmCCCCââââuuuu III.III.III.III. (1 điểm) Giải phương trình: 13 3 16x x x+ = − + −CCCCââââuuuu IV.IV.IV.IV. (2 điểm)

1. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB, BC, CA lấy lần lượt các điểm M, N, P thỏamãn 2AM AB BC= −

�� , 3BN BC AC= +��

, 2CP CA=��

. Chứng minh rằng hai tamgiác ABC và MNP có cùng trọng tâm.2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho A( - 2; -1); B(2; - 4). Tìm trên đường thẳng x = 1điểm M sao cho góc 045MBA∠ =CCCCââââuuuu V.V.V.V. (1 điểm) Gọi a, b, c là ba cạnh của tam giác; , ,a b ch h h là độ dài ba đườngcao tương ứng ba cạnh đó; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó

Chứng minh:1 1 1 1

a b ch h h r+ + =

CCCCââââuuuu VI.VI.VI.VI. (2 điểm)

Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh:2 2 2

2 2 2

1 1 1a b cb c c a a b a b c

+ + ≥ + +

HHHHƯỚƯỚƯỚƯỚNGNGNGNG DDDDẪẪẪẪNNNN CHCHCHCHẤẤẤẤMMMMCCCCÂÂÂÂUUUU NNNNỘỘỘỘIIII DUNGDUNGDUNGDUNG ĐĐĐĐIIIIỂỂỂỂMMMMI.1I.1I.1I.1 (2 điểm) Cho phương trình 2 (2 1) 2 0mx m x m+ − + − = , m là tham số

http://dehoa.net

http://detoan.net

http://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.nethttp://dehoa.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi hhhhóóóóaaaa hhhhọọọọcccc ------------ http://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.nethttp://detoan.net ---- ThThThThưưưư viviviviệệệệnnnn đềđềđềđề thithithithi totototoáááánnnn hhhhọọọọcccc1. Tìm m để phương trình có một nghiệm

• m = 0: 2x = −

• 0m ≠ : 4 1m∆ = +

Pt có 1 nghiệm 104

m⇔ ∆ = ⇔ = −

Vậy: m = 0 hoặc 14

m = −

0,25đ

0,5đ

0,25đ

I.2I.2I.2I.2 2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp hai lầnnghiệm kia

Pt có 2 nghiệm104

0 0

mm m

⎧∆ ≥ ≥ −⎧ ⎪⇔≤ ⇔⎨ ⎨≠⎩ ⎪ ≠⎩

Theo Viet và gt ta có:

1 2

1 2

1 2

1 2

2.

2

mx xm

mx xm

x x

−⎧ + =⎪⎪

−⎪ =⎨⎪

=⎪⎪⎩

Giải được: 2 10 2 0m m− − =5 3 3

5 3 3

m

m

⎡ = −⇔ ⎢

= +⎢⎣(thỏa)

Vậy5 3 3

5 3 3

m

m

⎡ = −⎢

= +⎢⎣

0,25đ

0, 25đ

0, 5đ

II.II.II.II.1 (2 điểm) Cho hệ phương trình2 2

x y xy ax y a+ + =⎧

⎨+ =⎩

, a là tham số

1. Giải hệ phương trình khi a = 5

a = 5: ta có 2 2

55

x y xyx y+ + =⎧

⎨+ =⎩ ( )2

5

2 5

x y xy

x y xy

+ + =⎧⎪⇔ ⎨+ − =⎪⎩

đặt S = x + y ; P = xy , ta có:2

52 5

S PS P+ =⎧

⎨− =⎩

32

SP=⎧

⇔ ⎨ =⎩hoặc 5

10SP= −⎧

⎨ =⎩

+ Với 32

SP=⎧

⎨ =⎩giải được 1

2xy=⎧

⎨ =⎩hoặc 2

1xy=⎧

⎨ =⎩

+ Với 510

SP= −⎧

⎨ =⎩: vô nghiệm

Vậy hpt có 2 nghiệm (1;2);(2;1)

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

II.2 2. Tìm a để hệ phương trình có nghiệmTa có: 2 2 3 0S S a+ − = (*)

3 1a∆ = +

http://dehoa.net

http://detoan.net


• 13

a < − : (*) vô nghiệm

• 13

a = − : (*) có nghiệm S = -1 23

P⇒ = : vô nghiệm

• 13

a > − :(*) có 2 nghiệm: 1

1

1 1 3

1 1 3

S a

P a a

⎧ = − − +⎪⎨

= + + +⎪⎩hoặc 2

2

1 1 3

1 1 3

S a

P a a

⎧ = − + +⎪⎨

= + − +⎪⎩

ĐK hệ pt có nghiệm 2 4 0S P− ≥(a) 2

1 14 0S P− ≥ giải được : 0 8a≤ ≤

(b) 22 24 0S P− ≥ : vô nghiệm

Vậy 0 8a≤ ≤

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

IIIIIIIIIIII (1 điểm) Giải phương trình: 13 3 16x x x+ = − + − (*)ĐK: 3 16x≤ ≤

Với ĐK trên (*) ( )213 3 16x x x⇔ + = − + −

2 ( 3)(16 )x x x⇔ = − −2 4( 3)(16 )x x x⇔ = − −

25 76 192 0x x⇔ − + =12165

x

x

=⎡⎢⇔⎢ =⎣

(thỏa)

Vậy:12165

x

x

=⎡⎢⎢ =⎣

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

IV Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB, BC, CA lấy lần lượt các điểm M, N,P thỏa mãn 2AM AB BC= −

�� , 3BN BC AC= +��

, 2CP AC=��

. Chứng minh rằnghai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.Ta có hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm ⇔ AM BN CP+ +

�� = 0�

Mà : AM BN CP+ +��

= 2AB BC−��

+3BC AC+��

+ 2CA��

= 0�

Vậy ta có ĐPCM

0, 5đ

0, 5đ

IV.2 2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho A( - 2; -1); B(2; - 4). Tìm trên đườngthẳng x = 1 điểm M sao cho góc 045MBA∠ =Gọi M(1; y) thuộc đt x = 1

( 1; 4)

( 4;3)

BM y

BA

= − +

= −

��

��

GT: 0

2 2

( 1)( 4) 3( 4)cos( , ) cos451 ( 4) . 4 3

yBM BAy

− − + += =

+ + +

��

0,25đ

0, 25đ

0,25đ

http://dehoa.net

http://detoan.net


2

3 16 225 1 ( 4)

yy+

⇔ =+ +

27 8 87 0y y⇔ + − =3

297

y

y

=⎡⎢⇔⎢ = −⎣

Vậy : 1 229(1;3); (1; )7

M M −

0,25đ

VVVV (1 điểm) Gọi a, b, c là ba cạnh của tam giác; , ,a b ch h h là độ dài ba đườngcao tương ứng ba cạnh đó; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó

Chứng minh:1 1 1 1

a b ch h h r+ + =

Ta có : 1 1.2 2a

a

aS a hh S

= ⇒ =

Tương tự: 12b

bh S

= ; 12c

ch S

=

Do đó:1 1 1 1

2a b c

a b c ph h h S S r

+ ++ + = = = : ĐPCM

0, 5đ

0,5đ

VIVIVIVI (2 điểm)

Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh:2 2 2

2 2 2


+ + ≥ + +

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:2 2 2

2 2 2

1 1 1 2a b c a b cb c c c a a a b b bc ca ab

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ≥ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Mà 2 a b cbc ca ba

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 1 12a b b c c abc ca ca ab ab bc a b c

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ≥ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Suy ra:2 2 2

2 2 2

1 1 1a b cb c c c a a a b b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 12a b c

⎛ ⎞≥ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 2

2 2 2


⇒ + + ≥ + + : ĐPCM

0, 5đ

0, 5đ

0, 5đ

0, 5đ

http://dehoa.net

http://detoan.net

Education

10 de-thi-hsg-toan-10-co-dap-an