Tema Divisibilidad. 1er año Ciclo Básico. Prof. Leticia Medina

Divisibilidad en ℵℵℵℵ

División entera Los 62 alumnos de los primeros años de un liceo participan de un torneo de fútbol. Cada equipo tendrá 11

jugadores. ¿Cuál es el mayor número de equipos que pueden formarse si ningún jugador puede jugar en más

de un equipo?¿Jugarán todos los alumnos? Cuantos quedan sin jugar?

Dividendo divisor

Cociente resto

Se verifica que: 62 = 11.5 +7 7<11 En general Dividir a entre b es encontrar el cociente y el resto que cumplan las siguientes condiciones:

1) a=bq+r

2) r<b o División exacta: Se llama así a la división cuyo resto es cero. Ejercicios Completa los siguientes esquemas de división entera

Problema: Se desean hacer tarjetas de 7 x 13 cm, recortándolas de una cartulina de 50x65

Cuál es el mayor número de tarjetas que se pueden cortar de una cartulina? Compara con tus compañeros

los resultados obtenidos, fundamentando las respuestas.

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Múltiplos y divisores de un número natural

Se llaman múltiplos de un número a todos los números que resultan de la multiplicación de ese número

con cada uno de los naturales.

Ejemplo: son múltiplos del número 2 el 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22 y muchos más. Los múltiplos son

infinitos como son infinitos los números naturales.

Múltiplos de 2�: 0, 2, 4, 6, ...

Múltiplos de 6�: 0, 6, 12, 18, ...

Múltiplos de 8�: 0, 8, 16, 24, ...

Existen algunas reglas que permiten decidir si un número es múltiplo de otro.

Un número es múltiplo de otro número, si al dividir el primero entre el segundo, el resto de dicha división

es nulo, es decir si dicha división es exacta.

y Verifica que 204 es múltiplo de 12

Verdadero o falso: 468 es múltiplo de 24? 18 es múltiplo de 17?

Investiga y extrae conclusiones:

✍ 15 es múltiplo de 1? Y 17 es múltiplo de 1?

✍ Piensa un número, ese número es múltiplo de si mismo?

✍ El número que pensaste es múltiplo de cero?, (es decir, puedes encontrar un número que

multiplicado por cero dé como resultado el número que pensaste?)

✍ Y cero es múltiplo de ese número?

Todo natural es múltiplo de 1

Todo natural es múltiplo de si mismo

Cero es múltiplo de todo natural

Ningún número distinto de cero es múltiplo de cero

Ejercicio

� Hallar 5 múltiplos de 2, de 3, de 5, de 1 y de 8

� Escribe los naturales que cumplan ser múltiplos de 11 y además ser menor que 100

� Señala entre los siguientes números aquellos que son múltiplos de 12:

12, 0,4,6,18,132,482,63,126

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Múltiplos comunes

Observamos que 15 es múltiplo de 3 y es múltiplo de 5. Entonces es múltiplo común a 3 y a 5. Si m es un

múltiplo de a y de b entonces m es un múltiplo común a “a” y a “b”

Ejercicio Encuentra los números naturales inferiores a 35 que sean

1) Múltiplos comunes a 2 y a 5

2) Múltiplos comunes a 3 y a 9

3) Múltiplos comunes a 4 y a 6

Investiguemos juntos 18 es múltiplo de 9 y 162 es múltiplo de 9 ¿serán múltiplos de 9 su suma, su diferencia y su producto?

Mínimo común múltiplo

Al menor de los múltiplos comunes de dos números a y b distinto de cero, se le denomina mínimo

común múltiplo de a y b y se escribe m.c.m (a,b)

Ejemplo: m(3)= {0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,.......}

m(5)= {0,5,10,15,20,25,30,35,45,50,....}

m.c.m (3,5) =15

Ejercicio: hallar

1) m.c.m (18,27)

2) m.c.m (15,9)

3) m.c.m (8,24)

4) m.c.m (10,15 y 18)

Como todo número tiene sus múltiplos así también tienen sus divisores, es decir otros números

que lo dividen exactamente.

54 es múltiplo de 6 pues 54= 9×6. Se dice también que 6 es un divisor de 54 o que 54 es divisible entre 6 (y también que 9 es un divisor de 54).

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Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 Divisores de 35: 1, 5, 7, 35 Divisores de 66: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66

Divisor de un número

Si b es un número natural distinto de cero, decimos que b es divisor de a si y solo si a es

múltiplo de b. Podemos decir también que los divisores de un número son los que dividen a éste en

forma exacta, es decir que el resto de dividir el número entre su divisor debe ser cero.

Ejemplos:

Ejercicios: 1) Escribe 5 divisores de 78 2) Indicar con verdadero o falso:

a. 9 es divisor de 18? 12 es divisor de 12?

b. 675 es divisible entre 3? Y 17895 es divisible entre 5? Y 47896478 es divisible

entre 2?

S Piensa un número, el uno, ¿es divisor de este número? ¿El propio número, es divisor de si

mismo? ¿El cero, es divisor del número que pensaste?

Realizaremos algunas observaciones para extraer conclusiones Realizaremos algunas observaciones para extraer conclusiones Realizaremos algunas observaciones para extraer conclusiones Realizaremos algunas observaciones para extraer conclusiones

entre todos.entre todos.entre todos.entre todos.

Al observar la serie de los múltiplos de 2 se encuentra que todos son números pares. Se puede afirmar que: Todo Todo Todo Todo númeronúmeronúmeronúmero par es par es par es par es múltiplomúltiplomúltiplomúltiplo de de de de 2....

+ Los números 3, 6, 9, 12, 15, 18,

21,.... son múltiplos de 3; observa

que al sumar las cifras de los

números 12, 15, 18, 21 se obtiene el

numero 3 o un múltiplo de 3:

De esta manera, se puede generalizar lo siguiente: Un nUn nUn nUn nuuuumero es mero es mero es mero es mmmmúúúúltiploltiploltiploltiplo de de de de

3 si la suma de sus cifras es 3 o un 3 si la suma de sus cifras es 3 o un 3 si la suma de sus cifras es 3 o un 3 si la suma de sus cifras es 3 o un mmmmúúúúltiploltiploltiploltiplo de 3. de 3. de 3. de 3.

. Los números 0, 10, 15, 20, 25, 30... son múltiplos de 5; todos ellos terminan

en 0 y 5, por lo tanto, se dice que: Un Un Un Un númeronúmeronúmeronúmero es es es es múltiplomúltiplomúltiplomúltiplo de de de de 5 cuando su cuando su cuando su cuando su

últimaúltimaúltimaúltima cifra es cifra es cifra es cifra es 0 o o o o 5....

A continuación utilizaremos estas conclusiones y otras más, para recopilar algunas reglas que te

harán saber cuando un número es divisible entre otro sin necesidad de estar haciendo la

operación.

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A este conjunto de reglas le llamamos CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par. Ej. 8, 14, 54, 382,

1876 son divisibles por 2.

Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3, si la suma de los dígitos que lo componen, es

múltiplo de tres. Por ejemplo 6, 21, 69, 255, 1356 son divisibles por 3

Divisibilidad por 4: un número es divisible por cuatro si las dos últimas cifras (unidades y

decenas) son dos ceros (00) o son divisibles por cuatro. Doce es divisible por cuatro por lo tanto

512 es divisible entre cuatro. Al igual que: 204 y 780, 7500...

Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 si su último dígito es 0 o 5.

Divisibilidad por 6: un número es divisible por 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez.

Divisibilidad por 7: un número es divisible por 7, si el número que se obtiene al separar el último

dígito, multiplicarlo por 2 y restarle el número que queda, es múltiplo de 7. Esto se ve complicado

pero observa: el número 98 es divisible por 7 porque se separa el 9 del 8, ahora se multiplica 8 x 2

= 16 y se resta 16 –9 = 7

245 es divisible por 7. porque se separa el último dígito, el 5; queda 24. Ahora se multiplica 5 x 2

= 10 y se resta 24 – 10 = 14

Divisibilidad por 9: un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.

Divisibilidad por 10: un número es divisible por 10, si su último dígito es 0.

Divisibilidad por 11: un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre las sumas formadas

por las cifras de que ocupan lugar par y las que ocupan lugar impar es múltiplo de 11

Divisibilidad por 100: un número es divisible por 100, si sus dos últimos dígitos son cero. .

Divisibilidad por 1000: un número es divisible por 1000, sus tres últimos dígitos son cero.

Ejercicios

✍ Completar con una cifra, para se

verifique:

317.... sea divisible por 2 y por 3

103... sea divisible por 3 y por 5

372... sea divisible por 2, 3 y por 5

∑ Completa la tabla con verdadero o falso, según el

número indicado en la columna sea divisible o no entre

el número anotado en la cabecera de cada fila.

2 3 5 11 658 1955 518 4096 120

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Divisores comunes Considera los divisores de 18 y 24: D(18 ) ={ 1,2,,3,6,9,18}; D(24)= {1,2,3,4,6,8,12,24}

Los divisores comunes de 18 y 24 son {1,2,3 y 6}. El mayor de los divisores comunes a 18 y a 24 es

el 6; decimos entonces que 6 es el máximo común divisor de 18 y 24 y lo anotamos M.C.D (18,24) Máximo común divisor El mayor de los divisores comunes a dos o más números se le llama máximo común divisor

entre esos números.

Ejercicio: hallar

1) MCD(15,20)

2) MCD(63,135)

3) MCD(12,16)

4) MCD(18,27)

5) MCD(36,60)

6) MCD(12,8,36)

Para practicar en casa, completando la tabla. a b mcm MCD 6 12 30

15 20 42

Números primos Los números primos son aquellos que tienen la propiedad de poseer únicamente dos divisores: el

mismo número y el 1, que es divisor de todo número.

Son números primos el 2,3,5,7,11...

Números compuestos A los números naturales que admiten más de dos divisores les llamamos números compuestos Ejemplo: 24 es un número compuesto pues 24 admite como divisor el 2 por ejemplo, además de si mismo y la unidad (y eventualmente otros) El 1 no es primo ni compuesto (sólo tiene un divisor, cual?) El 0 tampoco es primo ni compuesto Completemos la Criba de Eratóstenes

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Juguemos un poco…

✍ investiga si los siguientes números son primos o compuestos:

282,461,586,845,142

✍ ayuda al niño a buscar si juguete si sabes que puedes avanzar en forma vertical u

horizontal siguiendo el camino de los números primos

2 6 4 8 10 12 14 15 16 38 20

7 11 17 39 40 45 76 79 83 53 30

72 80 19 27 59 61 71 73 78 5 50

62 65 31 37 41 80 44 46 49 13 60

93 92 91 91 82 84 85 86 87 89 97

Descomposición en producto de factores primos

Los números enteros compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de números

primos, a dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos. Todo

número compuesto admite una factorización en producto de factores primos y dicha factorización

es única.

La disposición clásica es la siguiente:

Cocientes sucesivos factores primos 42 2 21 3

7 7 1

42 = 2.3.7 Ejercicios

✍ Descomponer en producto de factores primos: 76,231,315,745,116

✍ En un supermercado compran barriles de jugo de naranja de 120 L, jugo de pomelo en

barriles de 80 L. Para la venta lo fraccionan en damajuanas. ¿cuál es la mayor cantidad de litros

que puede contener una damajuana para que todos tengan la misma cantidad de jugo?¿cuántas

damajuanas hay en total?

✍ Dos varillas de 96 cm y 72 cm quieren ser cortados en trozos de igual longitud y de

manera de que esta sea la mayor posible. ¿cuál debe ser la longitud de cada trozo?¿cuántos trozos

de cada varilla se obtienen?

✍ Números cruzados:

Horizontales 1. Resto de la división de 1425 entre 841 2. 16371= 7×....+5 3. múltiplo de 95 4. .....= 7×2+1

Verticales a- cociente de dividir 31325 entre 6 b- resto de dividir 3833 entre 1000 c- múltiplo de 1457 d- número cuyo cociente de la división por 19 es 45 y resto.