1

 

 

Apunts  de  Cinemàtica  

1r BATXILLERAT

Departament de Física i Química IES CAP DE LLEVANT

140710 jvsirerol

EL MOVIMENT

2

I. EL MOVIMENT. MAGNITUDS VECTORIALS PER DESCRIURE’L La velocitat

Ja sabem de l’any passat que la velocitat és una magnitud vectorial i la representàvem per una fletxa. Aquest any aprofundirem en el concepte de vector. Recordem que per descriure adequadament un vector com la velocitat d’un mòbil no és suficient donar el seu valor, 3, 5 o 20 m/s, que rep el nom de mòdul del vector, a més, cal indicar el punt sobre la trajectòria, punt d’aplicació, on el mòbil té aquest valor i el sentit que es mou sobre la trajectòria. En la figura de la dreta es mostra una trajectòria i, sobre ella, es representa el vector velocitat en tres punts diferents: “O”, “A” i “B”. • Cada vector té el seu origen o punt

d’aplicació a on es troba el mòbil sobre la trajectòria.

• El vector velocitat SEMPRE és tangent a la trajectòria i tan sols coincidirà amb la trajectòria quan aquesta sigui rectilínia.

• La longitud de la fletxa que representa la velocitat, o qualsevol altre vector, ha de tenir una grandària proporcional al valor de la velocitat.

L’acceleració Com ja haureu suposat, l’acceleració també és una magnitud vectorial i, per tant també ha de complir les tres condicions ja indicades:

1. L’acceleració té un mòdul, que és el seu valor, 2, 8, 12 m/s2. 2. Un punt d’aplicació, que és el lloc sobre la trajectòria on es troba el mòbil en aquell

instant. Per tant, compartirà origen amb el vector velocitat. 3. Tindrà una direcció i un sentit que, en general no coincidirà ni amb la trajectòria ni

amb el vector velocitat. Únicament coincidiran si la trajectòria és rectilínia. Anem a veure un exemple gràfic En la figura es representen els vector velocitat i acceleració en tres instants diferents. Fixeu-vos que tan sols tenen la mateixa direcció en el punt “A” on la trajectòria és rectilínia. Com a conseqüència del paràgraf anterior podem assegurar: • Que si la trajectòria no és rectilínia l’acceleració ha de tenir una direcció diferent a la

del vector velocitat. • Si el vectors velocitat i acceleració, en un determinat instant, no tenen la mateixa

direcció llavors segur que la trajectòria és corba. A més, el vector acceleració, quan la trajectòria no és rectilínia, sempre apunta cap a l’interior de la corba, tal i com podeu veure en el dibuix.

!

!

t0

tA

tB

3

La posició: Novetats respecte l’any passat L’any passat, per estudiar el moviment donàvem:

• L’equació del moviment sobre la trajectòria, per exemple: 25,062 tte ++−=

• I, havíem d’afegir com era la trajectòria, per exemple, la que tenim dibuixada a

continuació: Si volem fer un tractament matemàtic precís, hauríem de tenir en compte:

- L’equació del moviment del mòbil, és a dir, com varia, en el temps, la posició del mòbil sobre la trajectòria.

- L’equació de la trajectòria, amb el seu origen i posicions. Manejar conjuntament l’equació del moviment del mòbil i la que representa la seva trajectòria a la vegada és complicat. Aquest any estudiarem el moviment en dues dimensions, sobre un pla. Per estudiar aquest tipus de moviment aprendrem a utilitzar una eina més potent per representar les trajectòries dels mòbils sobre el pla. Aquesta nova eina es diu VECTOR DE POSICIÓ, 𝑹, del mòbil. Ja tenim un altre vector!. Com l’utilitzarem? Anem a veure: a. El primer que haurem de fer és escollir un punt arbitrari sobre el pla que serà el nostre

ORIGEN. Aquest punt origen pot estar sobre la trajectòria, si ens facilitat l’estudi del problema, però pot elegir en qualsevol altre punt del pla.

b. Sobre aquest punt origen, centrarem l’origen d’uns eixos de coordenades que tindran la orientació que ens sembli més adient per a l’estudi o la resolució del problema.

c. Referits a aquest eixos ubicarem la posició del mòbil, pels diferents instant, de la mateixa manera que en matemàtiques indiques la posició d’un punt del pla, és a dir donant les seves coordenades. Gràficament o representarem per una fletxa, un vector.

Com podeu veure, en el dibuix es representa la posició del mòbil, respecte als eixos elegits, en els instants, t0, tA i tB, quan es troba en els punts “O”, “A” i “B”. Cadascun d’aquests vectors vindrien donats per les coordenades dels punts : “O”, “A” i “B” respectivament.

!t0

tA

tB

4

Si dibuixéssim molts vectors de posició per a qualsevol instant i ajuntéssim totes les puntes dels vectors, TINDRÍEM LA TRAJECTÒRIA DEL MÒBIL!!. Per tant, per aconseguir saber la trajectòria del mòbil és suficient saber com varia el vector de posició del mòbil en el temps. És a dir, cal conèixer:

𝑹 = 𝒇(𝒕) Representació del tres vectors que descriuen el moviment Aquí tenim els vectors posició, velocitat i acceleració d’un mòbil que es mou de la forma tan arbitrària com la que mostra la figura. Les preguntes que ens podem fer són: - Es poden conèixer les funcions que

ens indiquin com varia el vector posició, com varia el vector velocitat i com varia el vector acceleració a mida que passa el temps?

- Si existeixen aquestes funcions, hi ha algun tipus de relació entre elles?. L’Objectiu d’aquest tema és respondre a aquestes preguntes i per fer-ho, el primer que necessitem saber és com operar amb els vectors. A1. En el dibuix es mostra la trajectòria d’un satèl·lit artificial que dóna voltes a la Terra. La seva òrbita és el·líptica i la Terra ocupa un dels focus de l’el·lipse. El punt de l’orbita que és més proper a la Terra rep el nom de Perigeu i el més llunyà Apogeu. En el Perigeu la velocitat del satèl·lit és més gran que en l’Apogeu. Escull uns eixos de coordenades que estiguin centrats sobre la Terra, suposa un sentit pel moviment del satèl·lit i dibuixa els vectors posició, velocitat i acceleració en tres punts diferents d’aquesta òrbita realitzada pel satèl·lit, escull dos dels punts que siguin l’apogeu i el perigeu.

!

!

5

OPERACIONS AMB VECTORS En Física per donar l’expressió d’un vector es defineixen els vectors unitaris” !    , ! “ ubicats a l’origen i amb les direccions dels eixos “X” i “Y” respectivament:

𝐹 = 𝐹! ,𝐹! =  𝐹!! + 𝐹!! On : També podem trobar el mòdul del vector, a partir de les seves

components, utilitzant Pitàgoras: Infinites maneres de descompondre un vector • Per un mateix vector, 𝒖 , tenim infinites

possibilitats per trobar les seves components. Tot depèn de l’elecció que es faci dels eixos sobre els que vulguem trobar els seus components

• Les components del vector “𝒖” no són les mateixes sobre els eixos X1Y1 que sobre els eixos X2Y2. Una elecció adequada dels eixos facilita l’escriptura i operacions amb les seves components.

A2. Sobre uns eixos de coordenades tenim el vector 𝑣 = 2𝚤 + 5𝚥, calcula:

a. El mòdul del vector 𝑣 i l’angle que forma amb l’eix “x”. b. Ara dibuixa uns nous eixos que, tenint el mateix origen han girat 15º en sentit

antihorari, com en la figura anterior. i. Troba el nou angle que forma el vector amb els nous eixos. ii. Quines són les components del vector 𝑣 respecte als nous eixos? iii. Calcula novament, sobre els nous eixos, el mòdul del vector.

Fx = F ⋅cosα

Fy = F ⋅sinα

F = Fx

2 + Fy2

6

Que una magnitud sigui vectorial ens permet:

1. Descompondre el seu vector sobre uns eixos arbitraris i de la nostre conveniència i operar amb cadascuna de les components com si es tractés d’un problema unidimensional. En la figura de la dreta podem veure un cos sobre un pla inclinat i les forces que actuen sobre ell, el pes i la normal. Si el cos es mou ho farà en el sentit de baixada pel pla inclinat, per tant en interessa escollir uns eixos de coordenades que tinguin un dels seus eixos en la direcció del pla inclinat i veure quines són les components de les forces, pes i normal, que actuen en la possible direcció del moviment. En la segona figura podem veure els eixos i la descomposició de les forces. En aquesta descomposició podem veure que únicament la component “px “ és la força responsable que el cos baixi pel pla inclinat.

2. Si tenim dos o més vectors, d’una mateixa magnitud, que actuen simultàniament sobre un mateix cos, podem trobar l’efecte resultant dels diversos vectors sense fer altre cosa que la suma vectorial dels esmentats vectors

En la figura tenim una barca que vol travessar un riu. La barca té una velocitat perpendicular a la vora del riu de 10 m/s, però el corrent del riu arrastra la barca, riu avall, amb una velocitat de 5 m/s. L’efecte superposat de les dues velocitats no és altra cosa que la suma vectorial de les dues velocitats. Ara és el moment de aprendre com es fa per sumar, restar , ... , vectors.

!

7

Sumes o restes de vectors Geomètricament: Per a sumar o restar dos vectors "𝐴  𝑖  𝐵", s’utilitza la regla del paral·lelogram, que consisteix en dibuixar les línies de punts que completen el paral·lelogram, com mostra la figura, i la seva diagonal és el vector buscat:

Com podeu veure, la resta "𝐴 − 𝐵" es redueix a la suma del vector "𝐴" amb el vector "−𝐵". Numèricament: Les operacions consisteixen en sumar o restar, segons el cas, les components de cada vector. Així: A3. Sobre un mateix cos hi actuen simultàniament tres forces que sobre uns mateixos eixos de coordenades tenen les següents components:

𝐹! = 5  , 2 ; 𝐹! = 2  ,−7 ; 𝐹! = −3  , 4 tots en newtons a. Dibuixa uns eixos de coordenades i representa-hi els tres vectors. b. Primer fes la suma geomètrica dels vectors. Això es fa primer sumant dos vectors i el

resultat es suma amb el tercer vector. c. Calcula numèricament la suma de forces, és a dir, la força resultant. A4. Sobre un mateix cos hi actuen simultàniament les tres forces següents: 𝐹! = 5,4  𝑁    𝑖  𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎  𝑢𝑛  𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒  𝑑𝑒  22º  𝑎𝑚𝑏  𝑙!𝑒𝑖𝑥"𝑥" 𝐹! = 7,3  𝑁    𝑖  𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎  𝑢𝑛  𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒  𝑑𝑒  286º  𝑎𝑚𝑏  𝑙!𝑒𝑖𝑥"𝑥" 𝐹! = 5,0  𝑁    𝑖  𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎  𝑢𝑛  𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒  𝑑𝑒  127º  𝑎𝑚𝑏  𝑙!𝑒𝑖𝑥"𝑥"

a. Dibuixa uns eixos de coordenades i representa-hi els tres vectors. b. Troba les components dels tres vectors. c. Calcula numèricament la suma de forces, és a dir, la força resultant.

!

A= ax ,ay( ) ;

B = bx ,by( )

A+B = ax +bx( ), ay +by( )!

"#$

A−B = ax −bx( ), ay −by( )!

"#$

8

Producte escalar de dos vectors El producte escalar de dos vectors "𝑎  , 𝑏", és un escalar i es defineix com segueix: On 𝑎  𝑖   𝑏 , són els mòduls dels corresponents vectors. En el cas de tenir els vectors en components:

Aplicant la definició anterior als vectors unitaris quan fem el seu producte, trobem:

Llavors el producte es redueix a:

Utilitzarem el producte escalar de dos vectors per: • Trobar l’angle que formen dos vectors qualsevol. • Per multiplicar el mòdul d’un vector per la component de l’altre sobre el primer. En

Física, aquest producte veurem que té un important significat. Exemple-1: Sobre un cos de 80 kg actua una força que ve donada per 𝐹 = 20 · 𝚤 + 30 · 𝚥 , mentre que el vector desplaçament del cos val ∆𝑟 = 100 · 𝚤 − 10 · 𝚥. a. Fer el productes escalar dels dos vectors. En Física, aquest producte escalar rep el nom

de Treball realitzat per la força al llarg del desplaçament. b. Trobar l’angle que formen la força i el desplaçament.

Solució:

a. 𝑊 𝑡𝑟𝑒𝑏𝑎𝑙𝑙 = 𝐹 · ∆𝑟 = 20, 30 · 100,−10 = 2000+ −300 = 1.700  𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠

b. Per a trobar l’angle que formen els dos vectors, encara que es pot fer d’altres maneres, utilitzarem la definició de producte escalar. Primer trobarem el cosinus de l’angle i després l’angle.

𝐹 · ∆𝑟 = 𝐹 · ∆𝑟 · cos𝛼 à cos𝛼 = !·∆!! · ∆!

tan sols ens falta trobar el mòdul dels dos vectors:

𝐹 = 20! + 30! = 36,1  𝑁 ; ∆𝑟 = 100! + −10 ! = 100,5  𝑚

cos𝛼 = !·∆!! · ∆!

= !"##!"·!"",!

= 0,47 à 𝛼 = 62º

a ⋅b = a ⋅

b ⋅cosα on α és l'angle que formen els dos vectors

a = ax

i + ay

j

b = bx

i +by

j

i ⋅i =j ⋅j =1

i ⋅j =j ⋅i = 0

a ⋅b = ax ⋅bx + ay ⋅by

9

II. ACCELERACIÓ TANGENCIAL I ACCELERACIÓ CENTRÍPETA (NORMAL).

En el curs passat tan sols teníem en compte les acceleracions del mòbil que afectaven al mòdul del vector velocitat, el vector velocitat tan es feia gran o petit. L’any passat el vector acceleració tenia sempre la mateixa direcció, que no sentit, que el vector velocitat. Si el vector velocitat i el vector acceleració tenien el mateix sentit en un punt de la trajectòria, el mòbil guanyava velocitat, el vector velocitat es feia gran. Per contra, si el vector velocitat i acceleració tenien sentit contrari, el mòbil frenava, perdia velocitat, el mòdul del vector velocitat es feia petit. L’acceleració que vam estudiar l’any passat en física rep el nom d’ ACCELERACIÓ TANGENCIAL, 𝒂𝒕, ja que sempre és tangent al vector velocitat.

L’acceleració que apareix en les equacions del moviment uniformement accelerat, mua, que vau aprendre l’any passat és precisament l’acceleració tangencial. És a dir:

𝑒 = 𝑒! + 𝑣!. 𝑡 + !!.𝑎! . 𝑡

! ; 𝑣 = 𝑣! +  𝑎! . 𝑡 Però ara, que entenem millor que la velocitat és un vector, sabem que un vector canvia tant quan varia el seu mòdul com quan es modifica la seva direcció. Per tant, hi haurà acceleració quan la velocitat canviï el seu mòdul sinó també quan ho faci la direcció del vector velocitat.

Aquesta definició engloba els dos conceptes, l’acceleració per canvi del mòdul de la velocitat i l’acceleració per canvi en la direcció en què apunta el vector velocitat. L’acceleració causant del canvi de direcció del vector velocitat rep el nom d’ACCELERACIÓ CENTRÍPETA. Ja vam veure l’any passat que per aconseguir que un cos tengui un moviment de rotació calia que sobre el cos hi actués una Força Centrípeta, idò bé, l’acceleració centrípeta és causada per aquesta força centrípeta. Recordem: Segona Llei de la Dinàmica: De l’equació anterior es dedueix que l’acceleració centrípeta té la mateixa direcció i sentit que la força centrípeta. Per tant, l’acceleració centrípeta tindrà la direcció del radi de la corba que faci el mòbil i apuntarà al centre de la mateixa. En la figura podem veure que la força centrípeta i, per tant, l’acceleració centrípeta, apunten cap la ma que fa girar el cos. Un altre detall important és que tant la força

Definició: L’acceleració tangencial, 𝒂!!⃗ 𝒕, és la responsable de la variació del mòdul del vector velocitat. L’acceleració tangencial sempre té la mateixa direcció que el vector velocitat.

�⃗�!"#$%í!"#$ = 𝑚 · �⃗�!"#$%í!"#$

Definició: Un mòbil accelera quan el seu vector velocitat canvia en el temps.

10

com l’acceleració són perpendiculars al vector velocitat. És per això que a l’acceleració centrípeta també rep el nom d’Acceleració Normal. En el cas més general, un mòbil pot tenir acceleració tangencial i acceleració centrípeta, una tangent al vector velocitat i l’altre normal al vector velocitat. L’acceleració total que tindrà el mòbil en aquest cas serà la suma vectorial de les dues acceleracions:

Ja sabem de 4t com es calcula l’acceleració tangencial, però com podem calcular l’acceleració centrípeta?.

𝑎! =𝑣 − 𝑣!

𝑡

La demostració d’aquesta equació, encara que es pot treure fent algunes aproximacions geomètriques, queda fora del objectiu d’aquest curs. Moltes vegades ens trobarem que coneixem els vectors velocitat i acceleració total per un cert instant i posició, i pot ser d’interès trobar les components tangencial i centrípeta de l’acceleració. Si aquest és el problema, la solució no és complicada, haurem de posar uns eixos de coordenades en el punt considerat, amb la precaució de col·locar els eixos de manera que un tingui la direcció del vector velocitat i l’altre sigui perpendicular a ell. L’angle que formen la velocitat i l’acceleració total el podem trobar a partir de la definició de producte escalar dels dos vectors.

Definició: L’acceleració centrípeta, 𝒂!!⃗ 𝒄, és la responsable del canvi de direcció del vector velocitat dels mòbils i, per tant, que la trajectòria sigui corba. El vector acceleració centrípeta sempre és perpendicular al vector velocitat en el punt considerat i sempre apunta cap el centre de rotació instantani de la trajectòria.

a = an +at

|�⃗�!| =|!!⃗ |!

!

L’acceleració centrípeta té per mòdul: El sentit del vector, ja l’hem comentat abans, apunta al centre de la corba.

11

A5. Les components d’un vector de posició varia en el temps segons la taula adjunta:

a. Sobre uns eixos dibuixa les posicions del mòbil en els 6 primers segons. Dibuixa els vectors posició per a t=1s i t=6s.

b. Dibuixa la trajectòria que fa el mòbil. c. Si per t=2s el mòbil es mou a 2 m/s i per

t=4s es mou a 4m/s, dibuixa els vectors velocitat en aquests instants.

d. Encara que de forma aproximada dibuixa com seria el vector acceleració per a t=2s i t=4s.

A6. Sobre un pla XY, es mou un cos en línia recta i velocitat constant de 2 m/s. La línia sobre la que es mou forma un angle de 30º amb l’eix “X” i passa per l’origen. En l’instant inicial el cos es troba a l’origen. a. Fes una taula de valors i troba sobre la recta la posició del cos en el 5 primers segons. b. Troba les coordenades de les 5 posicions que has trobat. c. Dibuixa el vector velocitat sobre qualsevol punt del moviment i troba les seves

components sobre l’eix “X” i sobre l’eix “Y”. d. Pots trobar les equacions del moviment del mòbil de cadascuna de les seves components

sobre cada eix? A7. Una nau espacial es mou en línia recta a una velocitat de 12000 km/h, quan s’atraca a un planeta ha de reduir la seva velocitat per a ser capturat per l’atracció gravitatòria del planeta i quedar en òrbita al seu voltant. La nau, mentre es mou encara en línia recta, posa els propulsors en marxa per a reduir la velocitat a 8000 km/h. els propulsors estan en marxa 15 minuts. Calcula: a. L’acceleració de la nau. Quin tipus d’acceleració és la que has calculat? b. Quina distància recorre la nau mentre frena? c. Quina és l’acceleració que apareix en les equacions del moviment que vam veure a 4t

d’ESO? A8. La distància del Sol a la Terra és de 150x106km. Calcula: a. La velocitat de la Terra al voltant del Sol en km/h i m/s. b. Té acceleració la Terra en aquest moviment? Si en té, calcula-la. A9. Explica un cas d’un mòbil que tingui acceleració tangencial i acceleració centrípeta. A10. Una mosca es mou de manera que en un punt determinat de la seva trajectòria les components dels vectors velocitat i acceleració són respectivament: 𝑎 = 0,5  , 1 ;  𝑖      𝑣 = 1,2  , 0,4 m/s. Calcula: a. L’angle que formen els dos vectors. És mou en línia recta la mosca en aquest punt? b. Els vectors acceleració tangencial i acceleració centrípeta. A11. Un cotxe es troba aturat en una corba d’una carretera de 200m de radi. Quan se’n adona que la seva posició és perillosa i que pot causar algun accident, arranca ràpidament i aconsegueix una velocitat de 20m/s en 6,7s. Calcula les acceleracions tangencial, centrípeta i total per a t= 4s, instant en el qual encara està fent la corba.

Temps(s)   X(m)   Y(m)  0   0   -­‐6  1   1   -­‐5,5  2   2   -­‐4  3   3   -­‐1,5  4   4   2  5   5   6,5  6   6   12  

12

III. MOVIMENT EN DUES DIMENSIONS. COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS. Abans ens hem demanat si era possible saber com variava el vector velocitat en el temps o el vector acceleració. La resposta és que sí, sigui quin sigui el tipus de moviment que realitzi el mòbil, el requisit és conèixer com varia en el temps el vector de posició, 𝑹 = 𝒇(𝒕). Però tenim un problema, no sabem encara prou matemàtiques. Malgrat això, és podem estudiar moviments sobre el pla sempre aquests siguin senzills, és a dir, que siguin uniformes o uniformement accelerats. Idò bé, estudiarem aquests dos casos. Per l’estudi del moviment en dues dimensions és fonamental tenir en compte que tant el vector de posició, com la velocitat, com l’acceleració, són això, vectors, magnituds vectorials i això ens dóna les següents avantatges: a. Sempre els podrem descompondre sobre uns eixos de la nostre elecció i conveniència. b. Podrem estudiar el que passa sobre cada eix com si es tractés d’un problema

unidimensional, com estudiàvem a 4t d’ESO, i de forma independent cada eix. L’únic lligam entre les equacions dels dos eixos és el temps.

c. També ho podrem fer a l’inrevés, si coneixem com és el moviment sobre cada eix, podrem determinar el moviment real del mòbil.

Exemple -2: Un moviment uniforme sobre els dos eixos Un moviment d’aquest tipus és el moviment de la barca que travessava el riu. La barca té una velocitat de 10 m/s en el sentit perpendicular al corrent del riu i una velocitat de 5 m/s en la mateixa direcció del riu. No cal pensar-hi gaire per veure que hem d’escollir uns eixos que tenguin aquestes dues direccions com mostra la figura. Així tenim que la barca realitza un moviment uniforme al llarg dels eixos “X” i “Y”, per tant podem establir sobre cada eix les equacions del moviment pertinents a partir de l’equació del moviment uniforme 𝑒 = 𝑒! + 𝑣 · 𝑡 : • Eix X:

𝑥(𝑡) = 𝑥! + 𝑣! · 𝑡 ; si escollim que la posició inicial és zero, 𝑥 𝑡 = 5 · 𝑡 • Eix Y:

𝑦 𝑡 = 𝑦! + 𝑣! · 𝑡 ; si escollim que la posició inicial és zero, 𝑦 𝑡 = 10 · 𝑡 fixeu-vos que el lligam entre les dues equacions és el temps.

!

13

El vector de posició de la barca respecte de l’origen en funció del temps, ve donat per:

𝑅 𝑡 = 𝑥 𝑡  𝚤 +  𝑦 𝑡  𝚥 = 5 · 𝑡    𝚤 +   10 · 𝑡  𝚥 el vector velocitat no depèn del temps ja que es tracta d’un moviment uniforme sobre els dos eixos:

𝑣 = 5  𝚤 + 10  𝚥 el vector acceleració és zero en les dues components ja que és un moviment uniforme. Exemple-3: Una component moviment uniforme, l’altre component moviment uniformement accelerat: Moviment parabòlic. Quan llancem una pilota a un company, quan surt aigua d’una canonada que no estigui vertical, quan fem un salt en carrera per a fer un basquet, quan es dispara qualsevol tipus d’arma, ... , en tots aquest casos l’objecte llançat realitza una trajectòria parabòlica. Que el vector velocitat inicial formi un angle amb l’horitzontal ens permet descompondre el vector velocitat en una component horitzontal i una altra vertical i estudiar cadascuna per separat. Elegirem que l’eix “Y” tengui la direcció vertical i que l’eix “X” la direcció horitzontal. És important adonar-se que els dos eixos són espacials i les seves unitats, en general seran metres:

• Eix vertical. Eix de les “Y”: En aquesta direcció actua la força de la gravetat i, per tant, els cossos estan sotmesos a l’acceleració de la gravetat, que com ja hem dit és un vector. Com a conseqüència: o El moviment serà uniformement accelerat

al llarg d’aquest eix, el cos realitzarà un mua.

o Si escollim com a positiu el sentit vertical cap amunt, el vector acceleració de la gravetat, que és l’acceleració del moviment, vindrà donat per: 𝑎! = 𝑔 = −9,8  𝚥  𝑚/𝑠! à 𝑔 = −9,8  𝑚/𝑠!

o Les equacions del moviment en aquest direcció seran les del mua i seran escalars ja que és un moviment en una sola dimensió igual que l’any passat: 𝑒 = 𝑒! + 𝑣! · 𝑡 +

!!𝑎 · 𝑡! ; en aquest cas queda:

𝑣 = 𝑣! + 𝑎 · 𝑡 ; que en aquest cas ens queda:

𝑦 = 𝑦! + 𝑣!! · 𝑡 +!!𝑔 · 𝑡!  

𝑣! = 𝑣!! + 𝑔 · 𝑡 = 𝑣!sinθ+ g · t  

14

• Eix horitzontal. Eix “X”: Al llarg de l’eix “X”, no hi ha acceleració i el mòbil realitza un moviment uniforme, l’acceleració és zero i la velocitat serà constant. • En la figura s’ha escollit que el sentit cap a la dreta sigui el positiu. • L’equació del moviment serà la del moviment uniforme:

𝑒 = 𝑒! + 𝑣 · 𝑡 ; sobre l’eix “X” ens queda: l’equació de la velocitat és redueix a: L’equació de l’acceleració queda reduïda a: Les funcions vectorials seran les següents: • Funció vectorial del vector de posició:

𝑅 𝑡 = 𝑥 𝑡  𝚤 +  𝑦 𝑡  𝚥 = 𝑥! + 𝑣!𝑐𝑜𝑠𝜃 · 𝑡   ·   !+   𝑦! + 𝑣!𝑠𝑖𝑛𝜃 · 𝑡 +12𝑔 · 𝑡

! ·  ! Aquesta equació ens donarà el vector posició del mòbil per a qualsevol instant. En la majoria de problemes escollirem un eixos en què, 𝑥! = 0    𝑖    𝑦! = 0. • Funció vectorial de la velocitat:

𝑣 𝑡 =  𝑣! · 𝚤 + 𝑣! · 𝚥 = 𝑣!𝑐𝑜𝑠𝜃 · !+ 𝑣!𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑔 · 𝑡 · !

aquesta equació ens dona el vector velocitat per a qualsevol instant. • Funció vectorial de l’acceleració: 𝑎 = 𝑎! · 𝚤 + 𝑎! · 𝚥 = 0 · !− 9,8 · !

Equació de la trajectòria del mòbil De les equacions del moviment del mòbil també podem treure l’equació de la trajectòria que realitza. De les equacions

o 𝑦 = 𝑦! + 𝑣!𝑠𝑖𝑛𝜃 · 𝑡 +!!𝑔 · 𝑡!

o 𝑥 = 𝑥! + 𝑣!𝑐𝑜𝑠𝜃 · 𝑡 En general, escollirem els eixos de manera que les posicions inicials siguin zero, això ho aconseguim posant l’origen de coordenades en el punt d’inici del moviment: x0 =0 i y0 =0. Seguidament aïllem el temps de la segona i substituïm en la primera i trobarem l’equació de la trajectòria, és a dir, 𝑦 = 𝑓 𝑥 . Operant, fàcilment trobem l’equació de la trajectòria que ens queda:

𝑥 = 𝑥! + 𝑣! · 𝑡  

𝑎! = 0

𝑣! = 𝑐𝑡𝑒.= 𝑣!. 𝑐𝑜𝑠𝜃

15

𝑦 = 𝑥 · 𝑡𝑎𝑛𝜃 − !·!!

!·!!!·!"#!!

L’equació anterior correspon a l’equació d’una paràbola invertida que passa per l’origen com els gràfics de les figures anteriors. Aquesta equació és vàlida si: x0 =0 i y0 =0. El punt del màxim de la trajectòria en el moviment parabòlic Moltes vegades és interesant trobar el punt del màxim de la trajectòria. Les coordenades del màxim es poden obtenir directament de l’equació que acabem de trobar de la trajectòria parabòlica utilitzant procediments matemàtics per a trobar màxims o mínims en una funció. Donat que encara no coneixem aquests procediments matemàtics, ho farem per un procediment més senzill. En un moviment parabòlic l’alçada màxima a què arriba un projectil compleix la condició que la component vertical de la velocitat ha de ser zero, 𝑣! = 0. D’aquesta condició podem trobar l’instant en què això passa:

𝑡 = −𝑣! · 𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑔

El valor del temps trobat, substituït en l’equació del vector de posició ens donarà les coordenades, 𝑃!à! = 𝑥!, 𝑦! , del punt corresponent al màxim. Un altre exemple de moviment parabòlic Es tracta d’un llançament horitzontal. Cal observar que mentre la component horitzontal de la velocitat es manté constant, la seva component vertical va augmentant a causa de l’acceleració de la gravetat.

𝑣! = 𝑣!sinθ+ g · t = 0  

16

Exemple - 4: Considerem un mòbil que es mou en el pla XY de manera que es mou sobre l’eix X amb un moviment uniforme, ax=0 m/s2, i sobre l’eix Y amb un moviment uniformement accelerat amb ay= - 9,8 m/s2. En l’instant Inicial el vector velocitat del mòbil forma un angle de 30º amb l’eix “X” i el mòdul de la velocitat és 30 m/s. a. Trobar les equacions del moviment sobre cada eix. Les equacions vectorials de la posició, la velocitat i l’acceleració. b. Trobar l’equació de la trajectòria i dibuixar-la.

c. Trobar els vectors posició, velocitat i acceleració tangencial i normal per l’instant t=0,5s. SOLUCIÓ: Agafarem els eixos amb l’origen on es troba el mòbil per a t=0 s: x0=0 i y0=0. Trobem les components de la velocitat inicial

La funció del vector de posició vindrà donada per: La funció del vector velocitat: Finalment la funció del vector acceleració: b. Trobar l’equació de la trajectòria és fàcil combinant l’equació del moviment sobre cada eix, aïllar el temps de la component “X” i substituir en l’altre.

y = 0,58 x - 7,2.10-3 x2 com el coeficient de la “x2 ” és negatiu, la paràbola és invertida.

v0 x =v .cosα = 30.cos30º= 26m / s ; ax = 0

v0 y =v .senα = 30.sin30º=15m / s ; ay = −9,8m / s2

R(t) = 26 ⋅ t

i + 15 ⋅ t − 4,9 ⋅ t2( )

j

v(t) = 26 i + 15− 9,8 ⋅ t( )

j

a(t) = 0 i − 9,8

j

!

17

Per a trobar els vector cal substituir en les expressions vectorials t=0,5s

c) Per trobar les components tangencial i centrípeta de l’acceleració hem de buscar l’angle que formen els vector velocitat i acceleració. Per trobar aquest angle utilitzarem el producte escalar dels dos vectors. Per tant, hem de trobar el mòdul dels dos vectors i el seu producte escalar a partir de les seves components:

Aquest és l’angle que formen els vectors velocitat i acceleració. Trobem les seves components tangencial i normal: 𝑎! = 𝑎 · 𝑠𝑖𝑛111,2º =  9,1  𝑚/𝑠! ;   𝑎! = 𝑎 · 𝑐𝑜𝑠111,2º =  −3,5  𝑚/𝑠! A aquests vectors estan referits a uns nou eixos centrats en el punt d’aplicació del vector velocitat. Per aquests nous eixos moltes vegades es canvien els noms dels vectors unitaris, en lloc de 𝚤    , 𝚥, els diuen 𝝉    𝒊    𝒏, això té poca importància, però, si els usem, els vectors acceleració tangencial i centrípeta queden així: 𝑎! = 9,1 · 𝒏    𝑚/𝑠! i 𝑎! = −3,5 · 𝝉  𝑚/𝑠!

R(t = 0,5) =13

i + 6,3

j

v(t = 0,5) = 26 i +10,1

j

a(t) = 0 i − 9,8

j

a ⋅ v = a ⋅ v ⋅cosα

a = 9,82 = 9,8m / s2

v = 262 +10,12 = 27,9 m/sa ⋅ v = 26 ⋅0+10,1⋅ (−9,8)( ) = −99,0

a ⋅ v = a ⋅ v ⋅cosα⇒ cosα =a ⋅ va ⋅ v

=−99

27,9 ⋅9,8= −0,36 α =111,20

18

PROBLEMES ELS VECTORS EN FÍSICA. EL MOVIMENT

1. D’acord amb un determinat sistema referència, les coordenades de dos vectors són (3, 4) i (-5, 2). Calcular la longitud dels vectors, el mòdul, i l’angle “α”que formen amb l’eix X. Fer un dibuix.

Sol: mòduls: 5 i 5,4 ; angle: 53,1º i 158,2º

2. Dues forces de 20 i 30 Newtons, que actuen sobre un mateix cos, formen un angle entre si de 120º. a. Escollir un sistema de referència adequat i que permeti una expressió el més fàcil

possible dels dos vectors. b. Escriure les components (x, y) de cada vector sobre aquests eixos. Escriure els vectors en

funció del vectors unitaris. Sol: Per exemple: 𝐹! = 10  , 17,3 = 10𝚤 + 17,3𝚥 𝑁 →    𝐹! = 30  , 0 = 30𝚤  𝑁

3. Un objecte es mou de tal manera que la seva velocitat en un determinat instant és 120 m/s i forma un angle de 60º amb l’horitzontal. Calcula les components vertical i horitzontal de la velocitat. Sol: 𝑣 = 60  , 104 𝑚/𝑠

4. Tenim una vagoneta que es troba sobre un rails de tren que són rectilinis. A la vegada, tenim un cavall que estira d’ella amb una corda, per un camí paral·lel al dels rails. Això implica que la força que fa la corda sobre la vagoneta forma un angle de 15º amb el camí dels rails. Si la força que fa el cavall és de 800 N, quina component d’aquesta força és útil per fer moure la vagoneta?. Quina component d’aquesta força es perd?. Calcula-les. Sol: 𝐹 = 773  ,      207 𝑁

5. Un cos de 20 Kg de massa es troba sobre un pla inclinat 40º. a. Fes un dibuix en el que representis la situació del cos sobre el pla i dibuixa també la força

del pes del cos. b. Descompon la força del pes en una component en la direcció del pla inclinat i un altra en

una direcció perpendicular al pla inclinat. Sol: 𝑝 = 126  ,      150 𝑁

19

6. La figura representa els vectors velocitat i

acceleració d’un mòbil en un determinat instant en què es troba en el punt “B”. L’angle que formen els dos vectors és de 60º. Troba les components del vector acceleració: una en la direcció de la velocitat i l’altra en la direcció perpendicular. Quin nom tenen aquestes dues components de l’acceleració? El valor dels vectors és el següent:

2/5,2 smaB =! ; smvB /0,3=! Sol: 𝑎 = 𝑎! +  𝑎! = 1,25  , 2,2  𝑚/𝑠!

7. Sobre un cos de massa “m” actua una força que, en un determinat sistema de referència, ve donada pel vector 𝐹 =  −3𝚤 + 4𝚥.

a) Calcular el mòdul de la força. b) Calcular les components de la força, F’, en la mateixa direcció i sentit de l’anterior, però

que el seu valor sigui 5 vegades més gran i que actua sobre la mateixa massa. c) Calcular el mòdul d’ F’. Compara el resultat amb l’obtingut en l’apartat “a”. d) Com haurà variat el vector acceleració del cos respecte a la primera força?.

Sol: a) 𝐹 = 5  𝑁 ; b) 𝐹′ =  5 · −3𝚤 + 4𝚥 ; c) 𝐹′ = 25  𝑁 ; d) 5 vegades més gran.

8. Tenim el vector: 𝐴 =  9𝚤 + 12𝚥 .

a) Troba les components d’un nou vector que tingui la mateixa direcció i sentit que A, però de mòdul unitat.

b) Busca un vector com el de l’apartat (a) però de mòdul 3. Sol: a) 𝐴′ =   !

!"9𝚤 + 12𝚥 ; b) 𝐴′ =   !

!"9𝚤 + 12𝚥

9. Una barca creua un riu de manera que la barca sempre està orientada perpendicularment a la vora. La seva velocitat és de 1,5 m/s, però a la vegada el corrent del riu té a una velocitat de 0,75 m/s. Calcula la velocitat de la barca respecte a la vora del riu. Sol: 𝑣 =  0,75𝚤 + 1,5𝚥 10. Per a t = 4 s, el vector velocitat d’un mòbil té per component 𝒗 = (3 ,1) i tres segons més tard les components del vector velocitat són 𝒗’ = (2, -2), Calcular:

a) El vector que resulta de fer la diferència “𝑣′− 𝑣”, fes el càlcul numèricament i de forma gràfica. El vector que resulta de la resta és conegut com vector increment o variació de velocitats “ ∆𝑣 =  𝑣′− 𝑣 ”.

b) Si definim vector acceleració mitjana com el quocient entre el vector variació de velocitat partit per l’interval de temps que ha estat necessari per produir-se aquest canvi,

calcular l’acceleració mitja “𝑎! = ∆!∆!

”. Quina direcció i sentit tindrà aquest vector?. c) Creus que el mòbil es mou sobre una trajectòria rectilínia?.

Sol: a) ∆𝑣 =  𝑣′ − 𝑣 =   −1  ,−3 𝑚/𝑠 ; b) 𝑎! = ∆!∆!= !!

!   ,−1 ; c) NO

20

PROBLEMES Cinemàtica: Acceleració tangencial i acceleració normal

1. (OIF febrer 01) Un cotxe experimenta una acceleració tant centrípeta com tangencial. Quina de les següents afirmacions és correcta? a. Es mou al llarg d’una línia recta disminuint la seva velocitat. b. Es mou al llarg d’una línia recta incrementant la seva velocitat. c. Es mou al llarg d’una corba a velocitat constant. d. Es mou al llarg d’una corba amb velocitat no constant

Sol: d.

2. (OIF febrer 01) Una partícula es mou descrivint una trajectòria circular horitzontal. Passa per un punt P amb celeritat |v| = v que està disminuint. En el punt P l’acceleració: a. Té la direcció i sentit de la velocitat. b. Té la direcció de la velocitat i sentit contrari. c. Està dirigida cap al centre de la trajectòria. d. Està dirigida cap a una altra direcció.

Sol: d

3. (PAU setembre 98) Tres ciclistes, A, B i C, descriuen una corba circular de 20 metres de radi. Calcula l'acceleració total de cada ciclista en un instant en què el mòdul de la seva velocitat és de 10 m/s, sabent que: a. El ciclista A conserva una velocitat de mòdul constant. b. El ciclista B accelera uniformement i la seva velocitat passa de 9,5 m/s a 10,5 m/s en 0,5

segons. c. El ciclista C frena uniformement d'11 m/s a 9 m/s en un temps de 0,5 segons.

Sol: a) 5 m/s2 ; b) 5,38 m/s2 ; c) 6,40 m/s2 .

4. Indica el tipus d’acceleració que té un mòbil en els següents casos. Troba el valor de l’acceleració en cas que sigui possible: a. El mòbil realitza una trajectòria rectilínia a rapidesa constant. b. Un mòbil realitza una trajectòria rectilínia augmentant la seva rapidesa 0,5 m/s2. c. El mòbil es mou amb una rapidesa de 20 m/s mentre realitza una corba de 86 m de radi.

Sol: a) cap ; b) at ; c) ac.

5. Calcula el valor de l’acceleració centrípeta en els següents casos: a. El mòbil es mou amb una rapidesa de 20 m/s mentre realitza una corba de 86 m de radi. b. El mateix mòbil recorre la mateixa corba però a 40 m/s. c. El mòbil es mou a 20 m/s però pren una corba de radi la meitat que la corba anterior.

Sol: a) 4,65 m/s2 ; b) 18,6 m/s2 ; c) 9,3 m/s2.

21

6. Indica el tipus de trajectòria i moviment que realitza un mòbil que té les següents acceleracions. Calcula en cada cas l’acceleració total. a. Té una rapidesa inicial de 10 m/s i 22 0 ; 2 smasma nt // == !! .

b. Té una rapidesa inicial de 10 m/s i 22 0 ; 0 smasma nt // == !! .

c. Té una rapidesa inicial de 10 m/s i 22 3 ; 0 smasma nt // == !! .

d. Té una rapidesa inicial de 10 m/s i 22 50 ; 1 smasma nt /,/ == !! . Sol: a) rectilini, a=2 m/s2 ; b) a=0 ; c) circular, a= 3 m/s2 ; d) corba, 𝑎 = 1  , 0,5 𝑚/𝑠!

7. El dibuix representa la trajectòria d’un cotxe de joguina que es mou de A fins a D. Les

corbes tenen 0,5 m de radi. a. Representa la velocitat en cada punt si la rapidesa és de 1m/s en el punt A, de 2 m/s en el

punt B, de 3 m/s en el punt C i disminueix a 2 m/s en el punt D. b. Representa també les acceleracions tangencial, centrípeta i total en cada punt. Sabem que

en A i B la rapidesa augmenta 1 m/s cada segon i que en C i D disminueix 1 m/s cada segon.

8. En un determinat instant el vector de posició d’un mòbil ve donat per ( )4,6=R

!. En aquesta

posició, els vectors velocitat i acceleració del mòbil venen donats per ( )3,2 −=v! i ( )1,1−−=a! .

a. Representa els tres vectors. b. Troba l’angle que formen la velocitat i l’acceleració. c. Troba les acceleracions tangencial i normal.

Sol: b) 78,7º ; c) at=0,28 m/s2 , ac= 1,37 m/s2.

9. En la figura es mostra el camí seguit per un cotxe. En el camí hi ha rectes i dos arcs de circumferència. El cotxe arranca en A realitza un mua fins arribar a C. Després es mou amb mu. Dibuixa els vector velocitat i acceleració en els segments entre lletres.

10. Per acabar un problema obert: Una taula té una amplada de 1m. Per un costat llancem un cos que recorre la seva amplada en 2 segons.

a. Calcula la velocitat amb recorre la taula suposant que es mou a velocitat constant. b. Explica el valor o valors de la velocitat inicial si realitza un mua a causa de la força

de fricció.

22

PROBLEMES Moviment en 2 dimensions, tir parabòlic

1. Un senyor, A, es troba respecte a un altre, B, en el punt (-20, 20), on es suposa que el senyora B es troba a l’origen d’unes coordenades imaginàries. El senyor A es vol dirigir a la casa que es troba en el punt (21, -4). Si el senyor A acostuma a tardar 36 s en realitzar el recorregut pel camí més curt, calcula el mòdul de la velocitat del senyor A i les seves components sobre els eixos de referència. Sol: 4,75 km/h = 1,32 m/s ; vx=1,139 m/s i vy= 0,67 m/s.

2. Un noi, que està dintre d’un tren que es mou a 54,0 km/h, tira verticalment cap amunt una pilota amb una velocitat de 6 m/s. Quina trajectòria realitza la pilota per un observador exterior? Quina trajectòria realitza pel noi de dins el tren. Sol: una paràbola ; un moviment vertical.

3. Una nau espacial es mou amb una rapidesa de 5000 km/h en una direcció prefixada. Inesperadament apareix, en un determinat instant, una força perpendicular a la direcció de la velocitat que provoca a la nau una acceleració de 2 m/s2. Si la força actua al llarg de 30 s, quant es desviarà la nau del seu rumb en aquest temps?. Sol: 900 m.

4. Un noi tira una pedra horitzontalment amb una velocitat de 20 m/s i des d’una alçada de 1m del terra. La seva companya, deixa caure verticalment una pedra des de la mateixa alçada. Quina arribarà primer al terra si els dos fets són simultanis?. Sol: Igual.

5. Un jugador de bàsquet llança la pilota per fer cistella amb una velocitat de 6 m/s i un angle de 30º. Si la cistella es troba a 40 cm per sobre del punt de sortida de la pilota, calcula la distància horitzontal a la qual es troba la cistella del jugador. Sol: 2,17 m

6. Un tenista quan fa una sacada colpeja la pilota a una alçada de 2,40 m i la impulsa amb una velocitat horitzontal de 30 m/s. Si la xarxa es troba a 12 m del jugador i té una alçada de 0,9 m, indica si la pilota passarà o si, per contra, toparà amb ella. Sol: 1,6>0,9

7. Una pilota baixa per una teulada amb que té una inclinació de 15º. Si surt de la teulada amb una velocitat de 8 m/s, a quina distància caurà la pilota de la façana de la casa?. La façana té una alçada de 5,4 m. Sol: 6,6 m

8. Un cangur pot fer salts de fins 8 m de longitud. Si quan surt del terra ho fa amb un angle de 45º, amb quina velocitat surt impulsat? Quant temps està en l’aire. Sol: 8,85 m/s ; 1,28s

23

9. El vector de posició en funció del temps d’un tir parabòlic ve donat per: jttitR

!!!)..9,4.0,12()..0,16( 2−+=

a) Indica quina seria l’equació del vector velocitat corresponent a aquest moviment. b) Què val l’alçada quan la component x val 20 m?.

Sol: a) 𝑣 = 16𝚤 + 12− 9,8 · 𝑡 𝚥 ; b) 7,34 m

10. Quan s’observa el gran salt de longitud que va fer l’atleta Jesse Owen en l’Olimpíada 1936, es pot apreciar que l’alçada màxima del seu salt va ser de 1,1 m i que en aquell instant, la seva velocitat era de 6,5 m/s. Determinar: la component “v0y” de la velocitat en l’instant inicial i l’angle amb què va sortir del terra. Sol: 4,64 m/s ; 35,5º

11. Un llançador de pilotes de base-ball, llança horitzontalment una pilota a 140Km/h. Si el receptor està a 9,2 m, quan haurà baixat la pilota, a causa de la gravetat, en arribar al receptor? Sol: 0,5 m

12. Un projectil és llançat des d’una alçada de 200 m tal i com mostra la figura. La seva velocitat inicial és de 60 m/s amb un angle de 60º. A quina distància de la base caurà el projectil?. Sol: 408 m

13. En el problema anterior, quina serà l’alçada màxima a què arribarà la pilota? Sol: 338 m

14. Un avió de carga vola horitzontalment amb una velocitat de 900 Km/h i una alçada de 12 Km. El pilot observa sorprès que es desprèn una peça de l’avió i que cau a terra. a. Quant temps tarda la peça de l’avió en arribar a terra?. b. A quina distància horitzontal caurà la peça respecte de la vertical on la peça s’ha després

de l’avió? c. Quan la peça arribi al terra, on es trobarà l’avió?.

Sol: a) 49,5s ; b) 12.372 m ; c) haurà recorregut 12.372 m

15. Carles es mou amb la seva bicicleta a la seva màxima velocitat, 40 Km/h. Està pujant una rampa de 10º d’inclinació per fer un salt que li permeti creuar volant una síquia de 7 m d’ample. Ho podrà fer? Quina és la mínima velocitat que ha de tenir per poder fer el salt exitosament?. Sol: NO ; la velocitat mínima és 14,2 m/s.

24

16. Un autocar circula en línia recta amb una rapidesa de 20 m/s. Un cargol del sostre del vehicle s’amolla i cau. a) En quina de les tres posicions caurà el cargol?. b) La distància que recorrerà el cargol en la seva

caiguda serà més, igual o menys de 2 m?. c) El temps que tarda el cargol en caure és igual,

menor o major al que tardaria si el vehicle estès parat? Sol: a) 2 ; b) 2 m ; c) igual

17. L’ESA realitza vols parabòlics amb l’avió A300 per facilitar que científics treballin en microgravetat. Quan l’avió es troba a 7600 m d’alçada inicia un moviment parabòlic, com el mostra la imatge. Inicia la paràbola amb un angle de 45º i una velocitat inicial 580 km/h, aquest també és instant en què para els motors i així l’avió es mou baix l’única influència de la gravetat. La paràbola finalitza que l’avió recupera l’alçada inicial de 7600m. a. Quant temps passen els científics en microgravetat? b. Quina és la major alçada a què arriba l’avió?

Sol: a) 23,25 s ; b) 663m per sobre dels 7600m

18. El ió 56Fe3+ té una massa de 56 u (1u = 1,66x10-27kg). És llançat amb una velocitat de

2𝑥10!  𝚤  𝑚/𝑠 dintre d’una zona de l’espai on és afectat per una força elèctrica constant de valor 4,8x10!!"  ȷ    N en tota la zona. Suposa que quan la partícula entre en la zona afectada per la força, és l’instant en què posem en marxa el cronòmetre i passa pel punt (0,0). No has de tenir en compte el pes de la partícula, per què? a. Calcula l’acceleració del ió. I fes un dibuix on representis: els eixos de coordenades, la

posició del ió en l’instant inicial, la seva velocitat, la força que actua sobre el ió i la seva acceleració.

b. Quin serà el valor de la coordenada “y” quan la coordenada x= 1 m. Fes un dibuix aproximat de la trajectòria sobre el eixos anteriors. Sol: a) 5,2x109m/s2 ; b) 6,45x10-4m.

25

MAGNITUDS ANGULARS Unes altres unitats per mesurar angles Fins ara, hem mesurat sempre els angles en graus, minut i segons, però volem introduir unes noves unitats que s’utilitzen molt quan s’estudia el moviment circular. Aquesta nova unitats el radiant (rad). i és unitat del Sistema Internacional d’Unitats, Definició: Un radiant és aquell angle amb vèrtex en el centre de la circumferència en què es compleix que l’arc corresponent “s”, el que abraça, té la mateixa longitud que el radi “r”.

Un angle d’1 radiant li correspon un arc de circumferència igual a la longitud del radi.

Així, si una circumferència té un radi de 2 m, un angle de d’1 rad serà aquell que el seu arc té una longitud de 2m. De la mateixa manera si angle és de 2,5 radiants i el radi és de 4m, la longitud del seu arc serà 10 m.

A.1- a) Un cotxe recorre 350 m d’una corba de 200 m de radi, calcula l’angle recorregut pel mòbil en radiants. b) Una roda d’un cotxe de 30 cm de radi, quin angle ha recorregut un punt del perímetre de la roda després de recorre 10 m?. c) Si la mateixa roda gira un angle de8π radiants, quin espai ha recorregut?. A.2- a) Escriu la relació que hi ha entre angle total d’una circumferència i la seva longitud total. b) Escriu l’expressió que relaciona qualsevol angle “ϕ ” expressat en radiants i la longitud del seu arc corresponent “S”. A.3- Quants radiants té l’angle que abraça a tota la circumferència?. Quina és l’equivalència entre graus i radiants?.

26

A.4-

a) Passa a radiants els següents angles: 0º ; 90º ; 180º ; 270º.

b) Passa a graus π π π π3 6

4564

; ; ; .

Velocitat angular Definició: Definim velocitat angular “ω ” com l’angle, expressat en radiants, que gira un mòbil per unitat de temps. Es mesura en “rad/s”.

𝜔 =∆𝜑∆𝑡 =

𝜑 − 𝜑!∆𝑡

A.5- a) Calcula la velocitat angular d’un mòbil que es dóna 2 voltes per segon.

b) Calcula la velocitat angular d’un disc que gira a 33 revolucions per minut. c) Calcula la velocitat angular de la Terra. d) Calcula la velocitat angular de la minutera d’un rellotge.

A.6- Escriu l’expressió de la rapidesa lineal d’un mòbil que realitza un moviment uniforme. Substitueix la magnitud lineal de la posició per l’expressió que la relaciona amb els radiants, opera i troba la relació entre la rapidesa lineal i l’angular. Observació: Quan una roda gira amb un nombre de revolucions (voltes) constant, la velocitat angular ω és la mateixa per a tots el punts de la roda, però no passa el mateix amb la velocitat lineal de punts que es troben a diferents distàncies de l’eix de rotació. A.7- Calcula les velocitats lineals de dos punts, A i B, d’un disc que es troben a 10 i 20 cm de l’eix de rotació. El disc gira a raó de 33 revolucions per minut.

A.8- Calcula la velocitat lineal de dos cossos situats sobre la Terra, un es troba sobre l’Equador i l’altre a Menorca. Menorca es troba sobre el paral·lel 40º (latitud nord) i el radi de la Terra és d’uns 6400 Km. A.9- Escriu l’expressió de la força centrípeta en funció de la velocitat angular. Calcula la força centrípeta que actua sobre un cos que es troba a Menorca i sobre un cos que es troba a l’Equador. En aquest cas, és la força centrípeta la força resultant?.

27

L’acceleració angular Definim l’acceleració angular de forma anàloga a com ho vam fer pel moviment lineal. Definició: Definim acceleració angular “α ” com la variació de la velocitat angular ω per unitat de temps. Les seves unitats són “rad/s2”

𝜶 =∆𝝎∆𝒕 =

𝝎−𝝎𝟎

∆𝒕 A.10- A partir de la definició de l’acceleració lineal, busca la relació entre l’acceleració lineal i l’angular.

A.11- A partir de l’equació del moviment uniformement accelerat i utilitzant les relacions entre les magnituds lineals i angulars, troba una equació pel m.u.a. en funció de les variables angulars.

El període i la freqüència Si el moviment és circular uniforme, ω = cte. , el mòbil tarda sempre el mateix temps en donar una volta complerta, el moviment és periòdic i al temps li diem període. Definició: El període “T” és el temps que tarda un mòbil en donar una volta sencera. El període es mesura en segons. Definició: La freqüència “ f ” d’un moviment periòdic és el número de voltes o revolucions que dóna un mòbil per unitat de temps. La freqüència es mesura en “1/s = s−1”, també anomenat Hertz (Hz).

𝑓 =𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜  𝑑𝑒  𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒𝑠

∆𝑡 A.12- Indica la relació entre el període “T” i la freqüència “ f ”.

28

A.13- En un moviment circular uniforme en un període “T” el mòbil “escombra” un angle ϕ π= 2 radiants per tant es compleix:

ωϕ π

= =ΔΔt T

2

a) Busca l’expressió que relaciona la velocitat angular ω amb la freqüència f .

b) Troba la freqüència d’un disc que gira a 33 r.p.m., la freqüència de rotació de la

Terra.

c) Calcula la freqüència d’una rentadora que centrifuga 900 rev/mi.

29

PROBLEMES Magnituds angulars per a descriure la rotació

1. Sobre una circumferència de 100 m de radi un vianant recorre 300 m. a. Calcula l’angle en radiants que ha recorregut. b. Si ha recorregut els 300 m en 5 minuts, quina era la seva velocitat angular?. c. Si el vianant recorre ara una circumferència de 200 m de radi amb la mateixa velocitat

lineal, quina serà ara la seva velocitat angular?. Sol: 3 radiants ; 0,01 rad/s; 0,005 rad/s.

2. Un motor d'un cotxe gira, al ralentí, a 1.000 rpm.

a. Calcula el període, la freqüència i la velocitat angular del cigonyal. b. Quina serà la seva acceleració si triplica aquesta velocitat angular en 8 segons? c. Quantes voltes haurà girat en aquest espai de temps?

Sol: 104,7 rad/s , 0,06 s i 16,6 Hz , 26,17 rad/s2 , 266 voltes

3. Una roda que inicialment està aturada comença a girar i en 8 voltes i al cap de 8 segons, arriba a girar amb velocitat angular constant. a. Quin és el valor d'aquest velocitat? b. Quan gira a velocitat constant, quin és el seu període? Quina és la seva freqüència? Sol: 12,56 rad/s ; 0,5 s ; 2 Hz.

4. Calcula la velocitat angular de rotació de la Terra respecte al seu propi eix. Calcula la velocitat lineal que té un habitant que viu a l’equador terrestre i la velocitat lineal d’un que viu a Menorca. Menorca es troba a una latitud de 40º. El radi de la Terra és d’uns 6400 km. Sol: 7,3x10-5 rad/s ; 465 m/s ; 358 m/s.

5. Si la ESA llança els seus satèl·lits des de Kourou que té una latitud de 5,2º, a. En quina direcció ha de llançar els satèl·lits per aprofitar el moviment de rotació de la

Terra? b. Troba la velocitat addicional que subministra el moviment de rotació de la Terra als

satèl·lits quan són llaçats des de l’esmentada base. Pren com a radi de la Terra 6,4x106m. c. D’on creus que millor llaçar satèl·lits, de Cabo Cañaveral, latitud 28,5º, com fan els

americans o des de Kourou com fem els europeus. d. En què es tradueix l’avantatge?.

Sol: a) En el mateix sentit de rotació de la Terra; b) 465 m/s ; c)Kourou ; d) Estalvi energètic.

30

ENCARA ENS QUEDA UNA PREGUNTA PER CONTESTAR: Hi ha alguna relació entre les funcions vectorials, 𝑅 𝑡 , 𝑣 𝑡  𝑖  𝑎 𝑡 ?. La resposta és sí. El vector posició d’un mòbil al llarg del moviment canvia en funció del temps. Algunes vegades el canvi es produeix de forma ràpida i altres vegades més lentament. Si hi pensem un poc, podem intuir que el ritme de canvi del vector de posició ens ha d’informar de la velocitat. Efectivament: En la figura és mostren els vectors de posició en els punts P1 i P2 i els instants, t1 i t2, en què es troben en aquests punts. També és mostra el vector desplaçament entre els dos punts, que ve definit per:

∆𝑟 = 𝑟! − 𝑟! aquest vector dividit per l’interval de temps, ∆𝑡 = 𝑡! − 𝑡!, es coneix com a velocitat mitjana en aquest interval.

𝑣! =∆𝑟∆𝑡

Aquest vector velocitat mitjana té la mateixa direcció i sentit que el vector desplaçament. Si us hi fixeu en el dibuix, el valor absolut d’aquesta velocitat mitjana, el mòdul, tan sols és una aproximació a la rapidesa real del mòbil, “  𝑣” (sense vector), que ve donada per:

𝑣 =∆𝑆∆𝑡

aquesta dificultat deixa d’existir si fem l’interval de temps, ∆𝑡  ,i, per tant ∆𝑟, molt petits. Si fem això, ∆𝑟 → ∆𝑆. Quant petits cal fer aquest intervals? Infinitament petits “∆𝑡 → 0”. Llavors el càlcul del quocient de l’infinitament petit desplaçament entre un interval de temps infinitament petit esdevé el càlcul d’un límit que per definició és la derivada:

𝑣 = lim∆!→!

∆𝑟∆𝑡 =

𝑑𝑟𝑑𝑡

Δs

31

El que ens diu aquesta equació és que podem trobar, l’equació vectorial de la velocitat, fent la derivada respecte el temps de la funció vectorial de la posició. Com aquest càlcul es realitza quan l’interval de temps es fa infinitament petit, la funció vectorial trobada per la velocitat és la velocitat instantània. El mòdul de la velocitat instantània coincideix completament amb la rapidesa instantània per a qualsevol instant.

𝑣 = 𝑣(𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑠𝑎) L’acceleració Podem trobar l’equació vectorial de l’acceleració fent un raonament semblant a l’anterior però amb els vectors velocitat i estudiar com és el seu ritme de canvi en el temps. Llavors trobarem per a l’acceleració instantània:

𝑎 = lim∆!→!

∆𝑣∆𝑡 =

𝑑𝑣𝑑𝑡

Novament, l’equació anterior ens diu que podem trobat l’equació de la funció vectorial de l’acceleració instantània fent la derivada de la funció vectorial de la velocitat. El que acabem de veure dóna resposta a la pregunta formulada. Si coneixem la funció vectorial de la posició, poem trobar les funcions vectorials de la velocitat i l’acceleració fent les successives derivades respecte el temps. També és possible el procés invers, és a dir, a partir de l’equació vectorial de l’acceleració es pot trobar l’equació vectorial de la velocitat i d’aquesta el de la posició, però per a fer aquest camí s’ha de donar a la vegada informació de contorn d’algunes condicions en què es realitza el moviment. Nota: el càlcul de derivades i integrals és un dels objectius de l’assignatura de matemàtiques de batxillerat.