View
1.551
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Fungsi Komposisi
Citation preview
MODUL AJAR MATEMATIKA
Kode Modul : MA32FK
Pokok Bahasan : Fungsi Komposisi
Penyusun : Nur Muchamad
Website : www.ma-tema.tk
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON
2014
http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR βFUNGSI KOMPOSISIβ 1
FUNGSI KOMPOSISI
A. Konsep dan Aturan Fungsi Komposisi
a. Konsep Fungsi Komposisi
Contoh 1:
Di dalam pembuatan kertas kita tidak bisa mengolah kayu langsung menjadi kertas
tetapi mula-mula kayu diolah menjadi pulp oleh suatu mesin tertentu dan baru
kemudian pulp diolah lagi menjadi kertas menggunakan mesin lain.
Misalkan mesin A adalah mesin pengolah kayu menjadi pulp (proses I), sedangkan
mesin B adalah pengolah pulp menjadi kertas (proses II). Jika diilustrasikan dengan
bagan, tampak seperti berikut ini.
Misalkan mesin C adalah mesin yang mampu mengolah kayu langsung menjadi
kertas (tentu di dalam mesin C terjadi proses I dan proses II).
Jadi pada mesin C terjadi komposisi antara proses I dan proses II.
Contoh 2:
CV. Abadi Sejahtera menerapkan sistem yang unik dalam menggaji karyawannya.
Dalam satu bulan masa kerja, seorang karyawan akan mendapatkan gaji pokok dan
dua macam bonus yang ditetapkan dengan aturan tertentu. Distribusi gaji dan bonus
karyawan CV. Abadi Sejahtera diperlihatkan dalam tabel berikut ini.
No. Gaji Pokok Bonus 1 Bonus 2
1. Rp 1.000.000,00 Rp 100.000,00 Rp 50.000,00
2. Rp 1.500.000,00 Rp 150.000,00 Rp 75.000,00
3. Rp 2.000.000,00 Rp 200.000,00 Rp 100.000,00
4. Rp 2.500.000,00 Rp 250.000,00 Rp 125.000,00
5. Rp 3.000.000,00 Rp 300.000,00 Rp 150.000,00
β¦ β¦ β¦ β¦
Jika diperhatikan dengan seksama, kita bisa mengetahui aturan penetapan dua macam
bonus yang diberikan kepada karyawan tersebut. Bonus 1 ditetapkan dengan aturan
bahwa besarnya adalah 10% atau 1/10 gaji pokok (aturan I), sementara bonus 2
ditetapkan dengan aturan bahwa besarnya adalah 50% atau Β½ dari bonus 1 (aturan
II). Kita juga dapat mengetahui aturan penetapan bonus 2 berdasarkan gaji pokok
karyawan, yaitu:
http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR βFUNGSI KOMPOSISIβ 2
Bonus 2 =1
2Γ Bonus 1 =
1
2Γ
1
10Γ Gaji Pokok =
1
20Γ Gaji Pokok.
Diketahui bahwa aturan penetapan bonus 2 berdasarkan gaji pokoknya adalah bahwa
besarnya bonus 2 adalah 1/20 atau 5% dari gaji pokok.
Jadi, aturan penetapan bonus 2 (aturan III) berdasarkan besarnya gaji pokok ini
ditentukan dengan mengkomposisikan aturan I dan aturan II.
b. Pengertian dan Aturan Fungsi Komposisi
Dari dua fungsi π(π₯) dan π(π₯) dapat dibentuk fungsi baru dengan menggunakan
operasi komposisi. Operasi komposisi dilambangkan dengan β (dibaca: dot atau
bundaran atau komposisi). Fungsi baru yang dapat dibentuk dengan operasi
komposisi itu adalah:
1. π β π (π₯), dibaca: π komposisi π π₯ atau π π π₯.
2. π β π (π₯), dibaca: π komposisi π π₯ atau π π π₯.
Diketahui π adalah sebuah fungsi dari himpunan π΄ ke himpunan π΅, sedangkan π
adalah fungsi dari himpunan π΅ ke himpunan πΆ. Fungsi dari himpunan π΄ ke himpunan
π΅, kemudian dilanjutkan fungsi dari himpunan π΅ ke himpunan πΆ, dinamakan fungsi
komposisi yang dilambangkan dengan (π β π).
Fungsi (π β π) adalah komposisi fungsi π dan π yang pengerjaannya dilakukan pada
fungsi π terlebih dahulu kemudian dilanjutkan fungsi π.
Definisi:
Misalkan fungsi:
π:π΄ β π΅ ditentukan dengan aturan π¦ = π π₯
http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR βFUNGSI KOMPOSISIβ 3
π:π΅ β πΆ ditentukan dengan aturan π¦ = π π₯
Fungsi komposisi π dan π ditentukan dengan aturan π π₯ = π β π π₯ = π π π₯ .
Definisi:
Misalkan fungsi:
π:π΄ β π΅ ditentukan dengan aturan π¦ = π π₯
π:π΅ β πΆ ditentukan dengan aturan π¦ = π π₯
Fungsi komposisi π dan π ditentukan dengan aturan π π₯ = π β π π₯ = π π π₯ .
Catatan: Fungsi komposisi π β π π₯ = π π π₯ atau π β π π₯ = π π π₯
disebut fungsi komposisi diri, yaitu fungsi komposisi yang dibentuk dari dua buah
fungsi yang sama.
Contoh 1:
Misalkan fungsi π:π β π dan π:π β π ditentukan dengan aturan π π₯ = 3π₯ β 1
dan π π₯ = 2π₯. Tentukanlah:
1. π β π π₯
2. π β π π₯
3. π β π π₯
4. π β π π₯
Penyelesaian:
1. Dengan menggunakan rumus, didapat:
π β π π₯ = π π π₯ = π 2π₯ = 3 2π₯ β 1 = 6π₯ β 1
Jadi, π β π π₯ = 6π₯ β 1.
2. Dengan menggunakan rumus, didapat:
π β π π₯ = π π π₯ = π 3π₯ β 1 = 2 3π₯ β 1 = 6π₯ β 2
Jadi, π β π π₯ = 6π₯ β 2.
3. Dengan menggunakan rumus, didapat:
π β π π₯ = π π π₯ = π 3π₯ β 1 = 3 3π₯ β 1 β 1 = 9π₯ β 3 β 1 = 9π₯ β 4
Jadi, π β π π₯ = 9π₯ β 4.
4. Dengan menggunakan rumus, didapat:
π β π π₯ = π π π₯ = π 2π₯ = 2 2π₯ = 4π₯
Jadi, π β π π₯ = 4π₯.
http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR βFUNGSI KOMPOSISIβ 4
Contoh 2:
Misalkan fungsi π:π β π dan π:π β π ditentukan dengan aturan π π₯ = 4π₯ β 1
dan π π₯ = π₯2 + 2. Tentukanlah:
1. π β π π₯
2. π β π π₯
3. π β π π₯
4. π β π π₯
Penyelesaian:
1. π β π π₯ = π π π₯ = π π₯2 + 2 = 4 π₯2 + 2 β 1 = 4π₯2 + 7
Jadi, π β π π₯ = 4π₯2 + 7.
2. π β π π₯ = π π π₯ = π 4π₯ β 1 = 4π₯ β 1 2 + 2 = 16π₯2 β 8π₯ + 3
Jadi, π β π π₯ = 16π₯2 β 8π₯ + 3.
3. π β π π₯ = π π π₯ = π 4π₯ β 1 = 4 4π₯ β 1 β 1 = 16π₯ β 5
Jadi, π β π π₯ = 16π₯ β 5.
4. π β π π₯ = π π π₯ = π π₯2 + 2 = π₯2 + 2 2 + 2 = π₯4 + 4π₯2 + 6
Jadi, π β π π₯ = π₯4 + 4π₯2 + 6.
Contoh 3:
Misalkan fungsi π dan π dinyatakan dengan pasangan terurut
π = β1,4 , 1,6 , 2,3 , 8,5
π = 3,8 , 4,1 , 5,β1 , 6,2
Tentukanlah (π β π) dan (π β π).
Penyelesaian:
Fungsi komposisi dari dua fungsi yang dinyatakan dengan pasangan terurut lebih
mudah ditentukan dengan menggunakan diagram pemetaan (diagram panah).
1. Fungsi komposisi (π β π), pemetaan pertama oleh fungsi π dilanjutkan pemetaan
kedua oleh fungsi π. Diagram pemetaan fungsi komposisi (π β π) diperlihatkan
pada gambar di bawah. Dari gambar, tampak bahwa:
π β π = { 3,5 , 4,6 , 5,4 , 6,3 }
2. Fungsi komposisi (π β π), pemetaan pertama oleh fungsi π dilanjutkan pemetaan
kedua oleh fungsi π. Diagram pemetaan fungsi komposisi (π β π) diperlihatkan
pada gambar di bawah. Dari gambar, tampak bahwa:
π β π = { β1,1 , 1,2 , 2,8 , 8,β1 }
Gambar diagram panah:
http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR βFUNGSI KOMPOSISIβ 5
Contoh 4:
Misalkan fungsi π dan π dinyatakan dengan pasangan terurut
π = 0,1 , 2,4 , 3,β1 , 4,5
π = 2,0 , 1,2 , 5,3 , 6,7
Tentukanlah (π β π) dan (π β π).
1. Fungsi komposisi (π β π), pemetaan pertama oleh fungsi π dilanjutkan pemetaan
kedua oleh fungsi π. Diagram pemetaan fungsi komposisi (π β π) diperlihatkan
pada gambar di bawah. Dari gambar, tampak bahwa:
π β π = { 2,1 , 1,4 , 5,β1 }
2. Fungsi komposisi (π β π), pemetaan pertama oleh fungsi π dilanjutkan pemetaan
kedua oleh fungsi π. Diagram pemetaan fungsi komposisi (π β π) diperlihatkan
pada gambar di bawah. Dari gambar, tampak bahwa:
π β π = { 0,2 , 4,3 }
Gambar diagram panah:
c. Syarat Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan
Tidak setiap dua fungsi dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi. Untuk
mengetahui syarat agar komposisi dua buah fungsi merupakan sebuah fungsi
komposisi, perhatikan gambar berikut ini.
Gambar di atas menunjukkan dua buah fungsi π:π΄ β π΅ dan π:π΅ β πΆ. Berdasarkan
gambar tersebut, dapat diketahui bahwa
http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR βFUNGSI KOMPOSISIβ 6
π π1 = π dan π π1 = π1 sehingga π β π (π1) = π1
π π2 = π dan π π1 = π1 sehingga π β π (π2) = π1
π π3 = π dan π π3 = π3 sehingga π β π (π3) = π3
π π4 = π dan π π3 = π3 sehingga π β π (π4) = π3
π π5 = π dan π π4 = π4 sehingga π β π (π5) = π4
Dengan demikian, disimpulkan bahwa π β π :π΄ β πΆ merupakan sebuah fungsi atau
fungsi komposisi.
Dari gambar tersebut juga, terlihat bahwa π adalah dungsi dengan domain (daerah
asal) himpunan π΅, sedangkan π adalah fungsi dengan kodomain (daerah kawan)
himpunan π΅. Range fungsi π adalah π π = π1 , π3 ,π4 , sehingga range π merupakan
himpunan bagian dari himpunan π΅. Dengan kata lain, range π merupakan himpunan
bagian dari domain π.
Sekarang perhatikan gambar berikut ini.
Pada gambar tersebut, fungsi π:π΄ β π΅ dan fungsi π:π· β πΆ dengan π· β π΅. Jika
dibuat fungsi komposisi π β π, komposisi fungsi tersebut bukan merupakan sebuah
fungsi karena π π3 = π3 bukan anggota π, sehingga π3 tidak dipetakan oleh π. Jika
kita perhatikan, ternyata domain π merupakan himpunan bagian dari range π. Oleh
karena itu, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.
Fungsi π dapat dikomposisikan dengan fungsi π, sehingga komposisi π β π
merupakan sebuah fungsi apabila range π merupakan himpunan bagian dari domain
π, atau dapat ditulis π π β π·π.
d. Nilai dari Fungsi Komposisi
Untuk menjelaskan nilai dari suatu fungsi komposisi, dapat dilakukan dengan dua
cara berikut ini.
1. Dengan menentukan rumus fungsi komposisinya dulu kemudian
mensubstitusikan nilainya.
2. Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai pada fungsi yang akan dicari.
http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR βFUNGSI KOMPOSISIβ 7
Contoh 1:
Diketahui dua buah fungsi aljabar berikut yang dinyatakan dengan rumus π π₯ = π₯2
dan π π₯ = 4π₯ + 2. Tentukanlah nilai-nilai dari fungsi komposisi π β π (β1) dan
π β π (2).
Penyelesaian:
Cara 1
π β π π₯ = π π π₯
π β π π₯ = π 4π₯ + 2
π β π π₯ = 4π₯ + 2 2
π β π π₯ = 16π₯2 + 16π₯ + 4
π β π β1 = 16. β1 2 + 16. β1 + 4
π β π β1 = 16 β 16 + 4 = 4
π β π π₯ = π π π₯
π β π π₯ = π π₯2
π β π π₯ = 4 π₯2 + 2
π β π π₯ = 4π₯2 + 2
π β π 2 = 4. 2 2 + 2
π β π 2 = 4.4 + 2
π β π 2 = 16 + 2 = 18
Cara 2
π β π β1 = π π β1
π β π β1 = π 4. β1 + 2
π β π β1 = π β2
π β π β1 = β2 2 = 4
π β π 2 = π π 2
π β π 2 = π 22
π β π 2 = π 4
π β π 2 = 4.2 + 2
π β π 2 = 8 + 2 = 10
Contoh 2:
Diketahui fungsi π:π β π ditentukan dengan rumus berikut ini.
π π₯ = 1
π₯ + 1β1
jikajikajika
π₯ β€ 00 < π₯ < 2π₯ β₯ 2
1. Hitunglah π(β2), π(1), dan π(2)
2. Hitunglah π β π (β2), π β π (1), dan π β π (2)
http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR βFUNGSI KOMPOSISIβ 8
Penyelesaian:
1. Nilai dari fungsi π(π₯) berbeda-beda tergantung pada interval nilaiπ₯-nya.
π β2 = 1
π 1 = 1 + 1 = 2
π 2 = β1
2. π β π β2 = π π β2
π β π β2 = π 1
π β π β2 = 1 + 1 = 2
π β π 1 = π π 1
π β π 1 = π 1 + 1
π β π 1 = π 2
π β π 1 = β1
π β π 2 = π π 2
π β π 2 = π β1
π β π 2 = 1
B. Sifat-sifat Fungsi Komposisi
Sifat-sifat operasi komposisi pada fungsi-fungsi adalah sebagai berikut.
a. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnya tidak komutatif.
π β π π₯ β π β π (π₯)
b. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif.
π β π β π π₯ = π β π β π π₯
c. Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapat sebuah unsur identitas, yaitu
fungsi identitas πΌ π₯ = π₯.
π β πΌ π₯ = πΌ β π π₯ = π(π₯)
C. Fungsi Komposisi dari Beberapa Fungsi
Suatu fungsi komposisi dapat tersusun dari dua fungsi atau lebih. Jika komposisi fungsi
terdiri dari tiga fungsi atau lebih, pengerjaannya harus dilakukan berurutan atau tidak
boleh terbalik (kita bisa menggunakan sifat komutatif tetapi bisa memanfaatkan sifat
asosiatif untuk menyelesaikan persoalan sejenis ini).
Contoh:
Diketahui tiga buah fungsi π, π, dan π pada bilangan real yang ditentukan dengan rumus
π π₯ = π₯2, π π₯ = 5π₯ + 3, dan π π₯ = π₯ + 1. Tentukan komposisi fungsi berikut ini.
1. π β π π₯
2. π β π β π π₯
http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR βFUNGSI KOMPOSISIβ 9
Penyelesaian:
1. π β π π₯ = π π π₯
π β π π₯ = π 5π₯ + 3
π β π π₯ = 5π₯ + 3 2
π β π π₯ = 25π₯2 + 30π₯ + 9
2. Karena operasi komposisi berlaku sifat asosiatif, maka kita bisa memilih untuk
mengerjakan komposisi (π β π) atau (π β π) terlebih dahulu.
π β π β π π₯ = π β π β π π₯
π β π β π π₯ = π β π β π π₯
π β π β π π₯ = π β π π π₯
π β π β π π₯ = π β π π₯ + 1
π β π β π π₯ = π π π₯ + 1
π β π β π π₯ = π π₯ + 1 2
π β π β π π₯ = π π₯ + 1
π β π β π π₯ = 5. π₯ + 1 + 3
π β π β π π₯ = 5π₯ + 5 + 3 = 5π₯ + 8
D. Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Fungsi Lain Diketahui
Misalkan fungsi π dan fungsi komposisi (π β π) atau (π β π) sudah diketahui, maka
fungsi π dspst ditentukan. Begitu pula kalau fungsi π dan fungsi komposisi (π β π) atau
(π β π) diketahui maka fungsi π dapat ditentukan. Cara untuk mentukan fungsi jika
rumus fungsi komposisi dan fungsi lainnya telah diketahui dapat dipelajari dari beberapa
contoh berikut ini.
Contoh 1:
Misalkan fungsi komposisi π β π π₯ = β2π₯ + 3 dan π π₯ = 4π₯ β 1.
Carilah fungsi π(π₯).
Penyelesaian:
Dalam contoh ini fungsi komposisi π β π (π₯) dan fungsi π(π₯) diketahui, yang akan
ditentukan adalah fungsi π(π₯).
π β π π₯ = β2π₯ + 3
β π π π₯ = β2π₯ + 3
β 4.π π₯ β 1 = β2π₯ + 3
β 4.π(π₯) = β2π₯ + 3 + 1
β 4.π(π₯) = β2π₯ + 4
β π π₯ =β2π₯ + 4
4= β
1
2π₯ + 1
Jadi, fungsi π π₯ = β1
2π₯ + 1
http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR βFUNGSI KOMPOSISIβ 10
Contoh 2:
Misalkan fungsi komposisi π β π π₯ = 4 β 2π₯ dan fungsi π π₯ = 6π₯ + 1.
Carilah fungsi π(π₯).
Penyelesaian:
Dalam contoh ini fungsi komposisi π β π (π₯) dan fungsi π(π₯) diketahui, yang akan
ditentukan adalah fungsi π(π₯).
π β π π₯ = 4 β 2π₯
βΊ π π π₯ = 4 β 2π₯
βΊ π 6π₯ + 1 = 4 β 2π₯
βΊ π 6π₯ + 1 = 4 + β1
3. 6π₯ + 1 +
1
3
βΊ π 6π₯ + 1 = 4 β1
3. 6π₯ + 1 +
1
3
βΊ π 6π₯ + 1 = 4 +1
3β
1
3. 6π₯ + 1
βΊ π 6π₯ + 1 = 41
3β
1
3. 6π₯ + 1
Oleh karena π 6π₯ + 1 = 41
3β
1
3. 6π₯ + 1 maka π π₯ = 4
1
3β
1
3π₯.
Jadi, fungsi π π₯ = 41
3β
1
3π₯.
http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR βFUNGSI KOMPOSISIβ 11
DAFTAR PUSTAKA
Lestari, Sri dan Diah Ayu K. 2009. Matematika 2 untuk SMA/MA Program Studi IPS Kelas
XI. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 2: Konsep dan Aplikasinya untuk
Kelas XI SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat
Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI
Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Wirodikromo, Sartono. 2003. Matematika 2000 untuk SMU Jilid 3 Kelas 2 Semester 1.
Jakarta: Erlangga.