Tema 3(9-10): Aplicacions de la derivada

1. Estudi i representació de funcions2. Problemes d'optimització3. Teorema de Rolle4. Regla de l'Hôpital per a resoldre indeterminacions 0/0

1. Estudi i representació de funcionsRepàs apartat 5. del tema 1a) Domini

Eix x: Resoldre l'equació f (x) = 0

b) Punts de tall amb els eixos

Eix y: Càlcul de f (0)

Verticals en x = c quan:

c) Asímptotes

Horitzontals en y = k quan:

limx→c

f (x)=∞

limx→±∞

f (x)=k

Obliqües en y = mx + n quan: limx→∞

f (x)x

=m=0

limx→∞

[ f (x)−mx ]=n

Si f'(a) > 0 creix, si f'(a) < 0 decreix

d) Monotonia (creix o decreix)

e) Curvatura (còncau o convex)

Si f'(a) = 0 màx o mín Si f''(a) < 0 Màxim

Si f''(a) > 0 Mínim

Si f''(a) > 0 és còncava, si f''(a) < 0 és convexa

Si f''(a) = 0 és punt d'inflexió

Exemples: Polinòmica, Racional, Radical, Exponencial, Logarítmica, a trossosp.247: 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 30 i 31 [una cada un, full a part]

2. Problemes d'optimitzacióObjectiu: interpretar les funcions donades / construïdes

a) Problemes amb la funció donada

1r: Fer derivada

2n: Igualar a 0 (on hi haurà màxim o mínim)

f ' (t )=10−2t

10−2t=0 ; t=5mesos

3r: Amb derivada 2a mirar si màx o mín

f ' ' (t )=−2

Ex pàg 218: Benefici empresa s'expressa com f(t)=10t-t2

t: temps en mesos

En quin moment és el màxim benefici?

Negatiu, per tant màxim.

El màxim benefici és al cap de 5 mesos p218 E3, 13, 14

b) Problemes en què cal construir la funció

1r: Expressar funció

2n: Utilitzar condició per tenir només una variable (f(x))

f (x , y)=x2+2y

x · y=125

3r: Seguir amb el procés anterior

f ' (x)=2x−250x2

Ex pàg 219: Trobar 2 nombres el producte dels quals és 125, de talmanera que el valor del quadrat del primer més el doble del segonsigui mínim

condició

Els nombres són el 5 i el 25.

p219 E4, 15, 16, 67-82

funció

y=125x f ( x)=x2+2 · 125

x

2x−250x2 =0 ; x=5

f ' ' (x)=2−500x3 f ' ' (5)=6>0

3. Teorema de RolleSi f(x) és contínua en l'interval [a,b], derivable en tot l'interval (a,b), i f(a) = f(b), podem afirmar que dins de l'interval hi ha almenys un punt c pel qual f'(c) = 0, és a dir, un punt màxim o mínim.

Michel Rolle"per força la funció ha de fer un retorn"

p220 Ex, 17, 18, 83, 84, 85, 87, 88

4. Regla de l'Hôpital

Sempre i quan f(c) = 0, g(c) = 0, i g'(c) # 0.

p223 Altre ex, 23, 24, 104, 105, 106, 107

limx→c

f (x)g (x)

=limx→c

f ' (x)g ' (x)

limx→−1

x2+4x+3x3+1

=00

Exemple:

limx→−1

x2+4x+3x3+1

= limx→−1

2x+43x2 =2

3

f ' (x)=2x+4

g ' (x)=3x2