59 ภาคตัดกรวย-พาราโบลา-วงรี-ไฮเพอร์โบลา

2558-หน้าที เอกสารทบทวนความรู้ วิชาคณิตศาสตร์เพือเตรียมสอบ เรียบเรียง โดย อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท์

ภาคตัดกรวย (푐표푛푖푐푠 푠푒푐푡푖표푛 )

นิยาม เซตของจุดหรือทางเดินของ ที่อยูหางจากจุดที่คงที่จุดหนึ่งและ

เสนตรงที่คงที่เสนหนึ่งเปนอัตราสวนที่คงที่เสมอ

เราเรียกเซตของจุดหรือทางเดินของจุดเหลานี้วา ภาคตัดกรวย

เรียกจุด F วา จุดโฟคัส (Focus)

เรียกเสนตรง L วา เสนไดเรคตริกซ (directrix)

เรียกอัตราสวน 푃퐹

푃푀= e วา เอคเซนตริซิตี้ (퐸푐푐푒푛푡푟푖푐푖푡푦)

การพิจาราคากราฟจากคา e

1) ถา 푒 = 1 กราฟที่ไดจะเปนกราฟ พาราโบลา

2) ถา 푒 < 1 กราฟที่ไดจะเปนกราฟ วงร ี

3) ถา 푒 > 1 กราฟที่ไดจะเปนกราฟ ไฮเพอรโบลา

การพิจารณาชนิดของกราฟจากสมการ

퐴푥 + 퐵푦 + 퐷푥 + 퐸푦 + 퐹 = 0

โดยที่ 퐴, 퐵, 퐷, 퐸. 퐹 ∈ 푅

กรณีที่ 1 ถา 퐴และ퐵 มีเครื่องหมายเหมือนกันและ 퐴 = 퐵

โดยที่ 퐴 และ 퐵 ไมเทากับ 0

สมการในกรณีนี้จะเปนสมการของกราฟ วงกลม

เชน 2푥2 + 2푦2 + 8푥 − 2푦 − 1 = 0

−3푥 − 3푦 + 12푥 − 6푦 + 5 = 0

กรณีที่ 2 ถา 퐴และ퐵 มีเครื่องหมายเหมือนกันและ 퐴 ≠ 퐵


สมการในกรณีนี้จะเปนสมการของกราฟ วงรี

เชน 2푥2 + 3푦2 + 8푥 − 2푦 − 1 = 0

−3푥 − 2푦 + 12푥 − 6푦 + 5 = 0

กรณีที่ 3 ถา 퐴และ퐵 มีเครื่องหมายตางกัน


สมการในกรณีนี้จะเปนสมการของกราฟ ไฮเพอรโบลา

เชน 2푥2 − 3푦2 + 8푥 − 2푦 − 1 = 0

2푥 − 2 푦 − 4푥 + 6푦 − 2 = 0

กรณีที่ 4 ถา 퐴หรือ퐵 ตัวหนึ่งตัวใดมีคาเปน 0 เพียงคาเดียว

สมการในกรณีนี้จะเปนสมการของกราฟ พาราโบลา

เชน 2푥2 + 8푥 − 2푦 − 1 = 0

กรณีที่ 5 ถา 퐴และ퐵 มีคาเปน 0 ทั้งคู

สมการในกรณีนี้จะเปนสมการของกราฟ เสนตรง

เชน 8푥 − 2푦 − 1 = 0


กราฟ พาราโบลา

นิยาม พาราโบลา เปนเสนทางเดินของจุดที่อยูหางจากเสนตรงที่คงที่

เสนหนึ่งและหางจากจุดที่คงที่จุดหนึ่งเปนระยะทางเทากันตลอด

จุดที่คงที่นี้ เรียกวา จุดโฟคัส และ เสนตรงที่คงที่นี้ เรียกวา

เสนไดเรกตริกซ หรือเสนบังคับ

สมการรูปแบบที่ 1 (푦 − 푘)2 = 4푝(x − h), 푝 > 0

รูปกราฟ

ลักษณะรูปจะตะแคงขวา

มีจุดยอดอยูที่ 푉 = (ℎ, 푘)

แกนสมมาตร คือ 푦 = 푘 หาไดจาก (푦 − 푘)2 = 0 ∴ 푦 = 푘 จุด 퐷, 푉, 퐹 ตองอยูบนแกนสมมาตรและมีคา 푦 = 푘 ทุกจุด

มีโฟกัส 퐹 อยูบนแกนสมมาตรในรูปพาราโบลา

หางจากจุด 푉 เปนระยะ 푝 หนวย ดังนั้น 퐹 = (ℎ + 푝, 푘)

퐴퐵 เปนเลตัสเรกตัม ยาว 4푝 ดังนั้นสามารถหาจุด 퐴, 퐵 ไดดังนี ้퐴 = (ℎ + 푝, 푘 + 2푝), 퐵 = (ℎ + 푝, 푘 − 2푝)

จุด 퐷 อยูบนแกนสมมาตรอยูนอกรูปพาราโบลา

หางจากจุด 푉 ระยะ − 푝 หนวย ∴ 퐷 = (ℎ − 푝, 푘), 푝 > 0

สมการเสนบังคับ(푑푖푟푒푐푡푟푖푥) คือ 푥 = ℎ − 푝

สมการรูปแบบที่ 2 (푦 − 푘)2 = −4p(x − h) , 푝 > 0


ลักษณะรูปจะตะแคงซาย


แกนสมมาตร คือ 푦 = 푘 หาไดจาก (푦 − 푘)2 = 0 ∴ 푦 = 푘 จุด 퐷, 푉, 퐹 ตองอยูบนแกนสมมาตรและมีคา 푦 = 푘 ทุกจุด


หางจากจุด 푉 เปนระยะ − 푝 หนวย ดังนั้น 퐹 = (ℎ − 푝, 푘)

퐴퐵 เปนเลตัสเรกตัม ยาว 4푝 ดังนั้นสามารถหาจุด 퐴, 퐵 ไดดังนี ้퐴 = (ℎ − 푝, 푘 + 2푝), 퐵 = (ℎ − 푝, 푘 − 2푝)


หางจากจุด 푉 ระยะ 푝 หนวย ∴ 퐷 = (ℎ + 푝, 푘), 푝 > 0

สมการเสนบังคับ(푑푖푟푒푐푡푟푖푥) คือ 푥 = ℎ + 푝


สมการรูปแบบที่ 3 (푥 − 푘)2 = 4푝(y − h), 푝 > 0


รูปกราฟ จะมีลักษณะ หงายข้ึน


แกนสมมาตร คือ 푥 = ℎ หาไดจาก (푥 − ℎ)2 = 0 ∴ 푥 = ℎ จุด 퐷, 푉, 퐹 ตองอยูบนแกนสมมาตรและมีคา 푥 = ℎ ทุกจุด


และหางจากจุด 푉 เปนระยะ 푝 หนวย ดังนั้น 퐹 = (ℎ, 푘 + 푝)

퐴퐵 เปนเลตัสเรกตัม ยาว 4푝 ดังนั้นสามารถหาจุด 퐴, 퐵 ไดดังนี ้퐴 = (ℎ + 2푝, 푘 + 푝), 퐵 = (ℎ − 2푝, 푘 + 푝)


หางจากจุด 푉 ระยะ − 푝 หนวย ∴ 퐷 = (ℎ, 푘 − 푝), 푝 > 0

สมการเสนบังคับ(푑푖푟푒푐푡푟푖푥) คือ 푦 = 푘 − 푝

สมการรูปแบบที่ 4 (푥 − ℎ)2 = −4p(y − k) , 푝 > 0


รูปกราฟ จะมีลักษณะ คว่ําลง


แกนสมมาตร คือ 푥 = ℎ หาไดจาก (푥 − ℎ)2 = 0 ∴ 푥 = ℎ จุด 퐷, 푉, 퐹 ตองอยูบนแกนสมมาตรและมีคา 푥 = ℎ ทุกจุด


หางจากจุด 푉 เปนระยะ − 푝 หนวย ดังนั้น 퐹 = (ℎ − 푝, 푘)

퐴퐵 เปนเลตัสเรกตัม ยาว 4푝 ดังนั้นสามารถหาจุด 퐴, 퐵 ไดดังนี ้퐴 = (ℎ + 2푝, 푘 − 푝), 퐵 = (ℎ − 2푝, 푘 − 푝)


หางจากจุด 푉 ระยะ 푝 หนวย ∴ 퐷 = (ℎ, 푘 + 푝), 푝 > 0

สมการเสนบังคับ(푑푖푟푒푐푡푟푖푥) คือ 푦 = 푘 + 푝


퐸푥1 จงสรางรูปกราฟของสมการ (푦 − 2) = 8(푥 + 1)

วิธีทํา จากสมการจะได รูปตามแกน 푥 เพราะ 푥 ยกกําลัง 1

กราฟลักษณะตะแคงขวา เพราะเครื่องหมายหนา 4푝 เปนบวก

푉 = (−1,2) , 4푝 = 8 ∴ 푝 = 2

รูปลูตามแกน 푥 ไปทางซีกบวก ทางขวา ตามรูป

จุด 퐹 = (−1 + 2,2) = (1,2)

จุด 퐹 = (−1 + 2,2) = (1,2)

จุด 퐷 = (−1 − 2,2) = (−3,2)

สมการเสน 푑푖푟푒푐푡푟푖푥 คือ 푥 = −3

สมการเสนแกนสมมาตร คือ 푦 = 2

เสนลาตัสเรคตัม 퐴퐵 ยาว = 4푝 = 4(2) = 8

จุดปลายของเสนลาตัสเรคตัม

จุด 퐴 = (1 , 2 + 4) = (1,6)

จุด 퐵 = ( 1 , 2 − 4) = ( 1, −2)

แบบทดสอบความรูความเขาใจ

1. จงสรางรูปกราฟของสมการ (푦 + 3) = 16(푥 − 1)

พรอมกับแสดงรายละเอียดของกราฟ

วิธีทํา 푉 = … … … . . … ,

4푝 … … … … … ∴ 푝 = … … … … …

รูปลูตามแกน … … … ไปทางซีก … … … … . . ตามรูป

จุด 퐹 = … … … … … … … … … … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … . … …

สมการเสน 푑푖푟푒푐푡푟푖푥 คือ … … … … … … … … ….

สมการเสนแกนสมมาตร คือ … … … … … … … … ….

เสนลาตัสเรคตัม 퐴퐵 ยาว = … … … … … … … … ..


จุด 퐴 = … … … … … … … … … … … … … … ….

จุด 퐵 = … … … … … … … … … … … … … … ….


퐸푥2 จงสรางรูปกราฟของสมการ (푦 − 3) = −12(푥 − 2)

วิธีทํา จากสมการจะได รูปตามแกน 푥 เพราะ 푥 ยกกําลัง 1

กราฟลักษณะตะแคงซาย เพราะเครื่องหมายหนา 4푝 เปนลบ

푉 = (2,3) , −4푝 = −12 ∴ 푝 = 3

รูปลูตามแกน 푥 ไปทางซีกลบ ทางซาย ตามรูป

จุด 퐹 = (2 − 3,3) = (−1,3)

จุด 퐷 = (2 + 3,3) = (5,3)

สมการเสน 푑푖푟푒푐푡푟푖푥 คือ 푥 = 5




จุด 퐴 = (−1 , 3 + 6) = (−1,9)

จุด 퐵 = (−1 , 3 − 6) = ( −1, −3)

2. จงสรางรูปกราฟของสมการ (푦 − 3) = −24(푥 + 2)


วิธีทํา 푉 = … … … . . … ,

−4푝 = … … … … … ∴ 푝 = … … … … …


จุด 퐹 = … … … … … … … … … … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … . … …





จุด 퐴 = … … … … … … … … … … … … … … ….

จุด 퐵 = … … … … … … … … … … … … … … ….


퐸푥3 จงสรางรูปกราฟของสมการ (푥 − 3) = 12(푦 − 2)


วิธีทํา จากสมการจะได รูปตามแกน 푦 เพราะ 푦 ยกกําลัง 1

กราฟลักษณะหงายข้ึน เพราะเครื่องหมายหนา 4푝 เปนบวก

푉 = (3,2) , 4푝 = 12 ∴ 푝 = 3

รูปลูตามแกน 푦 ไปทางซีกบวก (หงาย) ตามรูป

จุด 퐹 = (3,2 + 3) = (3,5)

จุด 퐷 = (3,2 − 3) = (3, −1)

สมการเสน 푑푖푟푒푐푡푟푖푥 คือ 푦 = −1

สมการเสนแกนสมมาตร คือ 푥 = 3



จุด 퐴 = (3 − 6 , 5 −) = (−3,5)

จุด 퐵 = ( 3 + 6 , 5 ) = ( 9,5)

3. จงสรางรูปกราฟของสมการ (푥 + 1) = 8(푦 − 4)


วิธีทํา 푉 = … … … . . … ,

4푝 = … … … … … ∴ 푝 = … … … … …


จุด 퐹 = … … … … … … … … … … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … . … …





จุด 퐴 = … … … … … … … … … … … … … … ….

จุด 퐵 = … … … … … … … … … … … … … … ….


퐸푥4 จงสรางรูปกราฟของสมการ (푥 + 4) = −20(푦 − 1)


วิธีทํา จากสมการจะได รูปตามแกน 푦 เพราะ 푦 ยกกําลัง 1

กราฟลักษณะคว่ําลง เพราะเครื่องหมายหนา 4푝 เปนลบ

푉 = (−4,1) , −4푝 = −20 ∴ 푝 = 5

จุด 퐹 = (−4 , 1 − 5) = (−4, −4)

จุด 퐷 = (−4 ,1 + 5) = (−4 , 6)

สมการเสน 푑푖푟푒푐푡푟푖푥 คือ 푦 = 6

สมการเสนแกนสมมาตร คือ 푥 = −4



จุด 퐴 = (−4 − 10 , −4) = (−14, −4)

จุด 퐵 = (−4 + 10 , −4 ) = ( 6, −4)

4. จงสรางรูปกราฟของสมการ (푥 − 5) = −12(푦 − 1)


วิธีทํา 푉 = … … … . . … ,

− 4푝 = … … … … … ∴ 푝 = … … … … …


จุด 퐹 = … … … … … … … … … … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … . … …





จุด 퐴 = … … … … … … … … … … … … … … ….

จุด 퐵 = … … … … … … … … … … … … … … ….

2558-หน้าที เอกสารทบทวนความรู้ วิชาคณิตศาสตร์เพือเตรียมสอบ เรียบเรียง โดย อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท์ 퐸푥5. จงสรางรูปกราฟของสมการ 푦 − 6푦 − 8푥 + 1 = 0


วิธีทํา 푦2 − 6푦 − 8푥 + 1 = 0

푦 − 6푦 = 8푥 − 1

푦 − 6푦 +62 = 8푥 − 1 +

62

푦 − 6푦 + (3) = 8푥 − 1 + (3)

(푦 − 3) = 8푥 + 8 = 4(푥 + 1)

จากสมการจะได รูปตามแกน 푥 เพราะ 푥 ยกกําลัง 1

กราฟลักษณะตะแคงขวา เพราะเครื่องหมายหนา 4푝 เปน บวก

มีจุด 푉 = (−1,3) , 4푝 = 4 ∴ 푝 = 1

แกนสมมาตรหาจาก (푦 − 3)2 = 0 ∴ 푦 = 3 ดังรูป

จุด 퐹 = (−1 + 2,3) = (1,3)

จุด 퐷 = (−1 − 2,3) = (−3,3)

สมการเสนบังคับ( 푑푖푟푒푐푡푟푖푥) คือ 푥 = −3


จุดปลายของเสนลาตัสเรคตัม 퐴 = (1,7), 퐵 = (1, −1)

5. จงสรางรูปกราฟของสมการ 푦 − 4푦 − 4푥 + 16 = 0


วิธีทํา … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

จากสมการจะได กราฟลักษณะ … … … … … … … … ..

มีจุด 푉 =. … … … . , 4푝 =. … … … . … . ∴ 푝 =. … … ….

แกนสมมาตร … … … … … … … … . . … … … … … … … ..

จุด 퐹 = … … … … … … … … … … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … . … …




จุด 퐴 = … … … … … … … … … … … … … … ….

จุด 퐵 = … … … … … … … … … … … … … … ….

2558-หน้าที เอกสารทบทวนความรู้ วิชาคณิตศาสตร์เพือเตรียมสอบ เรียบเรียง โดย อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท์ 퐸푥6. จงสรางรูปกราฟของสมการ 푦 + 4푦 + 12푥 − 8 = 0

พรอมกับแสดงรายละเอียดของกราฟ วิธีทํา 푦2 + 4푦 + 12푥 − 8 = 0

푦 + 4푦 = −12푥 + 8

푦 + 4푦 +42 = −12푥 + 8 +

42

푦 + 4푦 + (2) = −12푥 + 8 + (2)

(푦 + 2) = −12푥 + 12 = −12(푥 − 1)

จากสมการจะได รูปตามแกน 푥 เพราะ 푥 ยกกําลัง 1

กราฟลักษณะตะแคงซาย เพราะเครื่องหมายหนา 4푝 เปนลบ

มีจุด 푉 = (1, −2) , −4푝 = −12 ∴ 푝 = 3

แกนสมมาตรหาจาก (푦 + 2)2 = 0 ∴ 푦 = −2 ดังรูป

จุด 퐹 = (−1 − 3, −2) = (−4, −2)

จุด 퐷 = (−1 + 3, −2) = (2,2)

สมการเสนบังคับ( 푑푖푟푒푐푡푟푖푥) คือ 푥 = 2



จุด 퐴 = (−4, −2 + 6) = (−4,4)

จุด 퐵 = (−4, −2 − 6) = (−4, −8)

6. จงสรางรูปกราฟของสมการ 푦 + 8푦 + 20푥 − 4 = 0


วิธีทํา … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

จากสมการจะได กราฟลักษณะ … … … … … … … … . . … … …

เพราะ … … … … … … … … … … … … … … … … … … . … ..

มีจุด 푉 =. … … … … , −4푝 =. … … … … ∴ 푝 =. … …

แกนสมมาตรหาจาก … … … … … … … … … … … … … ดังรูป

จุด 퐹 = … … … … … … … … … … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … . … …




จุด 퐴 = … … … … … … … … … … … … … … ….

จุด 퐵 = … … … … … … … … … … … … … … ….

2558-หน้าที เอกสารทบทวนความรู้ วิชาคณิตศาสตร์เพือเตรียมสอบ เรียบเรียง โดย อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท์ 퐸푥7. จงสรางรูปกราฟของสมการ 푥 − 6푥 − 20푦 − 11 = 0


วิธีทํา 푥2 − 6푥 − 20푦 − 11 = 0

푥 − 6푥 = 20푦 + 11

푥 − 6푥 +62 = 20푦 + 11 +

62

푥 − 6푥 + (3) = 20푦 + 11 + (3)

(푥 − 3) = 20푦 + 20 = 20(푦 + 1)

จากสมการจะได รูปตามแกน 푦 เพราะ 푦 ยกกําลัง 1

กราฟลักษณะหงายข้ึน เพราะเครื่องหมายหนา 4푝 เปนบวก

มีจุด 푉 = (3, −1) , 4푝 = 20 ∴ 푝 = 5

แกนสมมาตรหาจาก (푥 − 3)2 = 0 ∴ 푥 = 3 ดังรูป

จุด 퐹 = (3, −1 + 5) = (3,4)

จุด 퐷 = (3, −1 − 5) = (3, −6)

สมการเสนบังคับ( 푑푖푟푒푐푡푟푖푥 )คือ 푦 = −6



จุด 퐴 = (3 + 10,4) = (13,4)

จุด 퐵 = (3 − 10,4) = (−7,4)

7. จงสรางรูปกราฟของสมการ 푥 + 4푥 − 12푦 + 16 = 0


วิธีทํา … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

푉 = … … … . . … , 4푝 = … … .. ∴ 푝 = … … …

แกนสมมาตรหาจาก … … … … … … … … … … … … … . ดังรูป

จุด 퐹 = … … … … … … … … … … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … . … …





จุด 퐴 = … … … … … … … … … … … … … … ….

จุด 퐵 = … … … … … … … … … … … … … … ….

2558-หน้าที เอกสารทบทวนความรู้ วิชาคณิตศาสตร์เพือเตรียมสอบ เรียบเรียง โดย อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท์ 퐸푥8. จงสรางรูปกราฟของสมการ 푥 + 4푥 + 16푦 − 44 = 0


วิธีทํา 푥2 + 4푥 + 16푦 − 44 = 0

푥 + 4푥 = −16푦 + 44

푥 + 4푥 +42 = −16푦 + 44 +

42

푥 + 4푥 + (2) = −16푦 + 44 + (2)

(푥 + 2) = −16푦 + 48 = −16(푦 − 3)

จากสมการจะได รูปตามแกน 푦 เพราะ 푦 ยกกําลัง 1

กราฟลักษณะคว่ํา เพราะเครื่องหมายหนา 4푝 เปนลบ

มีจุด 푉 = (−2,3) , −4푝 = −16 ∴ 푝 = 4

แกนสมมาตรหาจาก (푥 + 2)2 = 0 ∴ 푥 = −2 ดังรูป


จุด 퐹 = (−2,3 − 4) = (−2, −1)

จุด 퐷 = (−2,3 + 4) = (−2,7)

สมการเสนบังคับ( 푑푖푟푒푐푡푟푖푥 ) คือ 푦 = 7

เสนลาตัสเรคตัม 퐴퐵 ยาว = 4(푝) = 4(4) = 16


จุด 퐴 = (−2 + 8, −1) = (6, −1)

จุด 퐵 = (−2 − 8, −1) = (−10, −1)

8. จงสรางรูปกราฟของสมการ 푥 − 6푥 + 8푦 + 17 = 0


วิธีทํา … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

푉 = … … … . . … ,

4푝 = … … … … … ∴ 푝 = … … … … …


จุด 퐹 = … … … … … … … … … … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … . … …





จุด 퐴 = … … … … … … … … … … … … … … ….

จุด 퐵 = … … … … … … … … … … … … … … ….


퐸푥9. จงหาสมการกราฟพาราโบลาพรอมแสดงรายละเอียดที่เหลือ

เมื่อกําหนดคาตอไปนี้มาให

푉 = (−2,3), 퐹 = (3,3)

วิธีทํา พิจารณา 푉 = (−2,3), 퐹 = (3,3)

แลวจะเห็นวาคา 푥 เปล่ียนจาก 푥 = −2 ไปหาคา 푥 = 3

แสดงว่ากราฟจะมีลักษณะตะแคงขวาเพือคลุมจุด 퐹 ดังรูป

จากรูปจะไดวา ∴ 푝 = 5

퐷 = (−2 − 5,3) = (−7,3)

퐴 = (3,3 + 10) = (3,13)

B = (3,3 − 10) = (3, −7)

แกนสมมาตร ∶ 푦 = 3

เส้นบังคับ ∶ 푥 = −7

สมการของกราฟนี้คือ (푦 − 3)2 = 4(5)(푥 + 2)

9. จงหาสมการกราฟพาราโบลาพรอมแสดงรายละเอียดที่เหลือ


푉 = (1,2), 퐹 = (5,2)

วิธีทํา … … … … … … … … … … … … … … … … . . … ,

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …


จุด 푉 = … … … … … … … … … … … … … . … …

จุด 퐹 = … … … … … … … … … … … … … . … …

∴ 푝 = … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … . … …





จุด 퐴 = … … … … … … … … … … … … … … ….

จุด 퐵 = … … … … … … … … … … … … … … ….

สมการของกราฟนี้คือ … … … … … … … … … … … … ..




푉 = (3,5), 퐹 = (−2,5)

วิธีทํา พิจารณา 푉 = (3,5), 퐹 = (−2,5)

แลวจะเห็นวาคา 푥 เปล่ียนจาก 푥 = 3 ไปหาคา 푥 = −2

แสดงว่ากราฟจะมีลักษณะตะแคงซ้ายเพือคลุมจุด 퐹 ดังรูป

∴ 푝 = 5

สมการของกราฟคือ (푦 − 5)2 = −4(5)(푥 − 3)

(푦 − 5) = −20(푥 − 3)

จุด 퐷 = (3 + 5,5) = (8,5)





จุด 퐴 = (8,5 + 10) = (5,15)

จุด 퐵 = (8,5 − 10) = (8, −5)

สมการของกราฟนี้คือ (푦 − 5)2 = −4(5)(푥 − 3)



푉 = (4,1), 퐹 = (−1,1)

วิธีทํา … … … … … … … … … … … … … … … … . . … ,

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …


∴ 푝 = … … … … . … …

สมการของกราฟคือ … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … … … . . . … …

สมการเสนบังคับ( 푑푖푟푒푐푡푟푖푥) คือ … … … … … … … … …

สมการเสนแกนสมมาตร คือ … … … … … … … … . . … … ….

เสนลาตัสเรคตัม 퐴퐵 ยาว = … … … … … … … . . … … … ..


จุด 퐴 = … … … … … … … … … … … … … . . … . . … ….

จุด 퐵 = … … … … … … … … … … … … … . . . . … … ….





푉 = (−3, −2), 퐹 = (−3,2)

วิธีทํา พิจารณาคาที่จุด 푉 ไปจุด퐹 จะเห็นวาคา 푥 คงที่

แตคา 푦 เปล่ียน จาก − 2 เปน 2 กราฟตองคลุมจุด 퐹

แสดงวากราฟเคล่ือนที่ข้ึนตามแกน 푦 เปนกราฟหงาย ดังรูป

∴ 푝 = 4

สมการของกราฟคือ (푥 + 3)2 = 4(4)(푦 + 2)

(푥 + 3) = 16(푦 + 2)

จุด 퐷 = (−3, −2 − 4) = (−3, −6)

สมการเสนบังคับ( 푑푖푟푒푐푡푟푖푥) คือ 푦 = −6




จุด 퐴 = (−3 + 8,2) = (5,2)

จุด 퐵 = (−3 − 8,2) = (−11,2)

สมการของกราฟนี้คือ (푥 + 3)2 = 4(4)(푦 + 2)



푉 = (2,1), 퐹 = (2,4)

วิธีทํา … … … … … … … … … … … … … … … … . . … ,

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …


∴ 푝 = … … … … . … …

สมการของกราฟคือ … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … … … . . . … …

สมการเสนบังคับ( 푑푖푟푒푐푡푟푖푥) คือ … … … … … … … … …

สมการเสนแกนสมมาตร คือ … … … … … … … … . . … … ….

เสนลาตัสเรคตัม 퐴퐵 ยาว = … … … … … … … . . … … … ..


จุด 퐴 = … … … … … … … … … … … … … … . . … … ….

จุด 퐵 = … … … … … … … … … … … … … . … … … ….





푉 = (−4, −1), 퐹 = (−4, −5)

วิธีทํา พิจารณาคาที่จุด 푉 ไปจุด 퐹 จะเห็นวาคา 푥 คงที่ ที่ 푥 = −4

แตคา 푦 เปล่ียน จาก y = −1 เปน y = −5

แสดงวากราฟเคล่ือนที่ข้ึนตามแกน 푦 ลงดานลาง เพราะกราฟ

ตองคลุมจุด 퐹 ได กราฟลักษณะคว่ําลง ดังรูป

푝 = 4

จุด 퐷 = (−4,3)

สมการเสนบังคับ( 푑푖푟푒푐푡푟푖푥) คือ 푦 = 3




จุด 퐴 = (−4 + 8, −5) = (4, −5)

จุด 퐵 = (−4 − 8, −5) = (−12, −5)

สมการของกราฟนี้คือ (푥 + 4)2 = −4(4)(푦 + 1)



푉 = (1,3), 퐹 = (1, −1)

วิธีทํา … … … … … … … … … … … … … … … … . . … ,

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …


จุด 푉 = … … … … … … … … … … … … . . … . … …

จุด 퐹 = … … … … … … … … … … … … … . . … . … …

4p = … … … … … … … … … ∴ 푝 = … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … … … … . …

สมการเสนบังคับ( 푑푖푟푒푐푡푟푖푥) คือ … … … … … … … ….

สมการเสนแกนสมมาตร คือ … … … … … … … . … … ….

เสนลาตัสเรคตัม 퐴퐵 ยาว = … … … … … … … . … … ..


จุด 퐴 = … … … … … … … … … … … … … . . … … ….

จุด 퐵 = … … … … … … … … … … … … … . … … ….





푉 = (2,1), สมการเสนไดเรคตริกซ คือ 푥 = −2

วิธีทํา จากโจทย 푉(2,1) สมการเสนบังคับ คือ 푥 = −2

เสนบังคับอยูทางซายของ 푉 และ จุด 퐹 อยูคนละดานกับเสนกํากับ

แสดงวากราฟจะมีลักษณะตะแคงขวา ดังรูป

จุด 푉 = (2,1)

จุด 퐹 = (2 + 4,1) = (6,1)

푝 = 6 − 2 = 4 ∴ 2푝 = 8

จุด 퐷 = (2 − 4,1) = (−2,1)

สมการเสนบังคับ( 푑푖푟푒푐푡푟푖푥) คือ 푥 = −2




จุด 퐴 = (6,1 + 8) = (6,9)

จุด 퐵 = (6,1 − 8) = (6, −7)

สมการของกราฟนี้คือ (푦 − 1)2 = 4(4)(푥 − 2)



푉 = (2,1), สมการเสนไดเรคตริกซ คือ 푥 = −2

วิธีทํา … … … … … … … … … … … … … … … … . . … ,

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …


จุด 푉 = … … … … … … … … … … … … . . … . … …

จุด 퐹 = … … … … … … … … … … … … … . . … . … …

4p = … … … … … … … … … ∴ 푝 = … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … … … … . …





จุด 퐴 = … … … … … … … … … … … … … . . … … ….

จุด 퐵 = … … … … … … … … … … … … … . … … ….





푉 = (−2,4), สมการเสนบังคับ คือ 푦 = −2

วิธีทํา จากโจทย 푉(−2,4) สมการเสนบังคับ คือ 푦 = −2

เสนบังคับอยูดานลางของ 푉 และ จุด 퐹 อยูคนละดานกับเสนกํากับ

แสดงวากราฟจะมีลักษณะหงายข้ึน ดังรูป

จุด 푉 = (−2,4)

จุด 퐹 = (−2,4 + 6) = (−2,10)

푝 = 4 − (−2) = 6 ∴ 2푝 = 12

จุด 퐷 = (−2 ,4 − 6) = (−2, −2)

สมการเสนบังคับ( 푑푖푟푒푐푡푟푖푥) คือ 푦 = −2




จุด 퐴 = (−2 − 12,10) = (−12,10)

จุด 퐵 = (−2 + 12,10) = (10,10)

สมการของกราฟนี้คือ (푥 + 2)2 = 4(6)(푦 − 4)



푉 = (2,3), สมการเสนไดเรคตริกซ คือ 푦 = −1

วิธีทํา … … … … … … … … … … … … … … … … . . … ,

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …


จุด 푉 = … … … … … … … … … … … … . . … . … …

จุด 퐹 = … … … … … … … … … … … … … . . … . … …

4p = … … … … … … … … … ∴ 푝 = … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … … … … . …





จุด 퐴 = … … … … … … … … … … … … … . . … … ….

จุด 퐵 = … … … … … … … … … … … … … . … … ….





퐹 = (−2,1), สมการเสนไดเรคตริกซ คือ 푦 = 5

วิธีทํา จากโจทย 퐹(−2,1) สมการเสนบังคับ คือ 푦 = 5

เสนบังคับอยูดานบนของ 퐹 แสดงวากราฟจะมีลักษณะคํ่าลง ดังรูป

จุด 푉 = −2,5 + 1

2= (−2,3)

จุด 퐹 = (−2,1)

푝 = 5 − 3 = 2 ∴ 2푝 = 4

จุด 퐷 = (−2 ,5)

สมการเสนบังคับ( 푑푖푟푒푐푡푟푖푥) คือ 푦 = 5




จุด 퐴 = (−2 − 4,1) = (−6,1)

จุด 퐵 = (−2 + 4,1) = (2,1)

สมการของกราฟนี้คือ (푥 + 2)2 = −4(2)(푦 − 3)



퐹 = (2, −4), สมการเสนไดเรคตริกซ คือ 푦 = 2

วิธีทํา … … … … … … … … … … … … … … … … . . … ,

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

จุด 푉 = … … … … … … … … … … … … . . … . … …

จุด 퐹 = … … … … … … … … … … … … … . . … . … …

4p = … … … … … … … … … ∴ 푝 = … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … … … … . …





จุด 퐴 = … … … … … … … … … … … … … . . … … ….

จุด 퐵 = … … … … … … … … … … … … … . … … ….





퐹 = (−2,3), สมการเสนไดเรคตริกซ คือ 푥 = 6

วิธีทํา พิจารณาจากโจทย จุด 퐹 อยูทางซายของเสนบังคับ

แสดงวากราฟรูปนี้ตะแคงซาย ดังรูป

จุด 푉 =−2 + 6

2, 3 = (2,3)

p = 6 − 2 = 4 ∴ 4푝 = 4(4) = 16

จุด 퐷 = (6,3)





จุด 퐴 = (−2,3 + 8) = (−2,11)

จุด 퐵 = (−2 ,3 − 8) = (−2, −5)

สมการของกราฟนี้คือ (푦 − 3)2 = −4(4)(푥 − 2)



퐹 = (2,1), สมการเสนไดเรคตริกซ คือ 푥 = 10

วิธีทํา … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

จุด 푉 = … … … … … … … … … … … … . . … . … …

4p = … … … … … … … … … ∴ 푝 = … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … … … … . …





จุด 퐴 = … … … … … … … … … … … … … . . … … ….

จุด 퐵 = … … … … … … … … … … … … … . … … ….





สมการเสนบังคับ(ไดเรคตริกซ) คือ 푥 = 1

มีจุดปลายเสนลาตัสเรคตัมอยูที่ 퐴(7,7)퐵(7, −5)

วิธีทํา จะเห็นวาจุด 퐹 เปนจุดกึ่งกลางของ 퐴퐵

∴ F =7 + 7

2 ,8 + (−6)

2 = (7,1)

จุด 퐹 เป็นจุดอยู่ทางขวาของเส้นบังคับ(พิจารณาจากค่า 푥)

กราฟนี้มีลักษณะตะแคงขวา ดังรูป

จุด 푉 =1 + 7

2, 1 = (4,1)

p = 7 − 4 = 3 ∴ 4푝 = 12

จุด 퐷 = (1,1)



เสนลาตัสเรคตัม 퐴퐵 ยาว = 4(3) = 12

สมการของกราฟนี้คือ (푦 − 1)2 = 4(3)(푥 − 4)



สมการเสนไดเรคตริกซ คือ 푥 = −3

มีจุดปลายเสนลาตัสเรคตัมอยูที่ 퐴(5,10)퐵(5, −6)

วิธีทํา … … … … … … … … … … … … … … … … . . … ,

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

จุด 푉 = … … … … … … … … … … … … . . … . … …

4p = … … … … … … … … … ∴ 푝 = … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … … … … . …





จุด 퐴 = … … … … … … … … … … … … … . . … … ….

จุด 퐵 = … … … … … … … … … … … … … . … … ….





สมการเสนไดเรคตริกซ คือ 푦 = −6

มีจุดปลายเสนลาตัสเรคตัมอยูที่ 퐴(−5,4)퐵(15,4)

วิธีทํา จะเห็นวาจุด 퐹 เปนจุดกึ่งกลางของ 퐴퐵

∴ F =−5 + 15

2 ,4 + 4

2 = (5,4)

จุด 퐹 เป็นจุดอยู่ทางด้านบนของเส้นบังคับ(พิจารณาจากค่า 푦)

กราฟนี้มีลักษณะหงายข้ึน ดังรูป

จุด 푉 = 5,−6 + 4

2= (5, −1)

p = 4 − (1) = 5 ∴ 4푝 = 10

จุด 퐷 = (5, −6)


สมการเสนแกนสมมาตร คือ 푦 = −6

เสนลาตัสเรคตัม 퐴퐵 ยาว = 4(5) = 20

สมการของกราฟนี้คือ (푥 − 5)2 = 4(5)(푦 + 1)



สมการเสนไดเรคตริกซ คือ 푦 = −1

มีจุดปลายเสนลาตัสเรคตัมอยูที่ 퐴(−1,3)퐵(7,3)

วิธีทํา … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …


จุด 푉 = … … … … … … … … … … … … . . … . … …

p = … … … … … … … … … ∴ 4푝 = … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … … … … . …






แบบทดสอบ ชุดท่ี ퟏ 1. พาราโบลาขอใดมีจุดยอดอยูที่ (– 2,1)

1. 푥 + 4푥– 2푦 + 2 = 0 2. 푥2– 4푥– 5푦 + 9 = 0 3. 푦 – 2푦– 3푥– 5 = 0 4. 푦 + 2푦– 4푥 + 9 = 0 2. พาราโบลาขอใดมีจุดโฟกัสอยูที่ (– 2,3) 1. 푥 + 4푥– 8푦 + 12 = 0 2. 푥2 + 4푥 + 8푦 + 20 = 0 3. 푦 + 6푦 + 4푥 + 13 = 0 4. 푦 – 4푦– 4푥– 8 = 0 3. พาราโบลาขอใดมี 푥 = – 4 เปนเสน 퐷푖푟푒푐푡푟푖푥 1. 푥 – 2푥– 4푦– 7 = 0 2. 푥2 + 6푥 + 4푦 + 5 = 0 3. 푦 – 4푦– 20푥 + 24 = 0 4. 푦 – 2푦 + 8푥 + 41 = 0 4. พาราโบลาขอใดมี 푦 = 3 เปนเสน 퐷푖푟푒푐푡푟푖푥 1. 푥 + 4푥– 8푦 + 28 = 0 2. 푥2 + 4푥 + 4푦– 4 = 0 3. 푦 – 6푦– 8푥– 7 = 0 4. 푦 – 4푦 + 4푥 + 12 = 0 5. พาราโบลาขอใดมี 푦 = 2 เปนเสนแกนสมมาตร 1. 2푥 – 4푥 + 3푦 + 8 = 0 2. 2푥2 + 4푥 + 3푦– 4 = 0 3. 2푦 – 12푦– 3푥 + 15 = 0 4. 3푦 – 12푦– 2푥 + 14 = 0 6. พาราโบลาขอใดมีจุดยอดอยูที่ (2, – 3) จุดโฟกัสอยูที่ (2,1) 1. 푥 – 4푥– 16푦 + 52 = 0 2. 푥2– 4푥– 16푦– 44 = 0 3. 푦 + 6푦 + 15푥– 23 = 0 4. 푦 + 6푦– 16푥 + 41 = 0 7. พาราโบลาขอใดมีจุดยอดอยูที่ (– 2, 5) และ มีเสน 퐷푖푟푒푐푡푟푖푥 คือ 푥 = 4 1. (푥 + 2) = 24(푦– 5) 2. (푥 + 2)2 = – 24(푦– 5) 3. (푦 − 5) = 24(푥 + 2) 4. (푦 − 5) = – 24(푥 + 2)

8. พาราโบลาขอใดมีลาตัสเรคตัมยาว 12 หนวย เสน 퐷푖푟푒푐푡푟푖푥 คือ 푥 = 4 และ 푦 = – 1 เปนแกนสมมาตร 1. (푥 − 1)2 = – 12(푦– 1) 2. (푥 − 1)2 = – 12(푦 + 1) 3. (푦 + 1) = – 12(푥– 1) 4. (푦 − 1) = – 12(푥– 1) 9. ขอใดเปนจุดปลายของลาตัสเรคตัมของสมการ (푦 + 2)2 = – 12(푥– 3) 1. (0, – 5) 2. (0, 5) 3. (0, 4) 4. (0, – 4) 10. ถากราฟพาราโบลาที่มีลักษณะคว่ํา มีจุดยอดอยูที่ (2,3) มีลาตัสเรคตัมยาว 12 หนวย แลวขอใดไมถูกตอง 1. สมการคือ 푥 – 4푥 + 12푦– 32 = 0 2. จุดโฟกัสคือ (2,0) 3. สมการ 퐷푖푟푒푐푡푟푖푐 คือ 푦 = 6 4. จุดปลายจุดหนึ่งของลาตัสเรคตัมคือ (2,6) 11. ถากราฟพาราโบลาที่มีลักษณะตะแคงซาย มีจุดยอดอยูที่ (1,2) มีลาตัสเรคตัมยาว 16 หนวย แลวขอใดไมถูกตอง 1. สมการคือ 푦 – 4푦 + 16푥– 12 = 0 2. จุดโฟกัสคือ (−3,2) 3. สมการ 퐷푖푟푒푐푡푟푖푐 คือ 푦 = 2 4. จุดปลายจุดหนึ่งของลาตัสเรคตัมคือ (−3,10) 12. จงหาวาขอใดเปนกราฟของสมการพาราโบลาที่มีแกนสมมาตร ขนานกับแกน 푥 และผานจุด (−2,1), (1,2)และจุด(−1,3) 1. 5푥 + 2푥 + 21푦 + 20 = 0 2. 5푥2 + 2푥 − 21푦 + 20 = 0 3. 5푦 + 2푥 − 21푦 + 20 = 0 4. 5푦 + 2푥 + 21푦 − 20 = 0 13. กองดินรูปพาราโบลา สูงสุด 18 ฟุต ฐานกวาง 24 ฟุต จงหา ความสูงของกองดิน ณ จุดที่อยูหางจากจุดศูนยกลางของฐาน 1 8 ฟุต 2. 10 ฟุต 3. 12 ฟุต 4. 14 ฟุต 14. สะพานขามแมน้ําโคงเปนรูปพาราโบลา สูงสุด 50 ฟุต ระยะหางของสะพาน ตรงจุด สูง 42 ฟุต จะอยูหางกัน 40 ฟุต จงหา ความกวางของแมน้ําตรงระหวางคอสะพานนี้ 1 80 ฟุต 2. 85 ฟุต 3. 90 ฟุต 4. 95 ฟุต


นิยาม วงรี คือทางเดินของจุดที่มีผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ

บนกราฟถึงจุดคงที่ 2 จุดมีคาคงที่เสมอ

สมการรูปทั่วไปของวงรีคือ

แบบที่ 1 (푥 − ℎ)

푎2

2

+(푦 − 푘)

푏2

2

= 1 โดยที่ 푎 > 푏

รูปจะรีตามแกน 푥 สังเกตจาก 푎 อยูกับคา 푥

ส่ิงที่ไดจากสมการ

1. รูปรีตามแกน 푥 เพราะคา 푎 อยูกับคา 푥

2. 푉푉 เปน แกนเอก ยาว 2푎

3. DD เปน แกนโท ยาว 2푏

4. 퐹퐹 ยาว 2푐 โดยที่ 푎 = 푏 + 푐

5. AB = A B เปนเสนเรตัสเรกตัม ยาว 2푏

푎

6. จุด 퐶, 푉, 푉 , 퐹, 퐹 ตองอยูบนเสนแกนเอกเสมอ


푏2

2

+(푦 − 푘)

푎2

2

= 1 โดยที่ 푎 > 푏

รูปจะรีตามแกน 푦 สังเกตจาก 푎 อยูกับคา 푦

ส่ิงที่ไดจากสมการ

1. รูปรีตามแกน 푦 เพราะคา 푎 อยูกับคา 푦

2. 푉푉 เปน แกนเอก ยาว 2푎

3. DD เปน แกนโท ยาว 2푏

4. 퐹퐹 ยาว 2푐 โดยที่ 푎 = 푏 + 푐

5. AB = A B เปนเสนเรตัสเรกตัม ยาว 2푏

푎

6. จุด 퐶, 푉, 푉 , 퐹, 퐹 ตองอยูบนเสนแกนเอกเสมอ


퐸푥1. จงเขียนรูป (푥 − 1)

25 +(푦 + 2)

9 = 1

และลงจุดตางๆของกราฟ วิธีทํา 푎2 = 25 ∴ 푎 = ±5

รูปรีตามแกน 푥 เพราะ 푎 อยูกับ 푥 ไดรูปและจุดตามนี้

푏 = 9 ∴ 푏 = ±3 และ 푏 + 푐 = 푎

∴ 푐 = 푎 − 푏 = 25 − 9 = 16 ∴ c = ±4

จะไดจุด 퐶 = (1, −2)

푉 = (1 + 5, −2) = (6, −2) เล่ือนตามแกน 푥 คา 푦 คงที่ 푉 = (1 − 5, −2) = (−4,2) เล่ือนตามแกน 푥 คา 푦 คงที่ 퐹 = (1 + 4, −2) = (5, −2) เล่ือนตามแกน 푥 คา 푦 คงที่ 퐹 = (1 − 4, −2) = (−3, −2) เล่ือนตามแกน 푥 คา 푦 คงที่ 퐷 = (1 , −2 + 3) = (1,1) เล่ือนตามแกน 푦 คา 푥 คงที่ 퐷 = (1 , −2 − 3) = (1, −5) เล่ือนตามแกน 푦 คา 푥 คงที่

|퐴퐹| = |퐹퐵| = 푏푎 =

35 = 1.8

ความยาวเรตัสเรกตัม = 2푏2

푎= 2(1.8) = 3.6

퐴 = (5 , −2 + 1.8) = (5, −0.2) เล่ือนตามแกน 푦

퐵 = (5 , −2 − 1.8) = (5, −3.8) เล่ือนตามแกน 푦

퐴′ = (−3 , −2 + 1.8) = (−3, −0.2) เล่ือนตามแกน 푦

퐵′ = (−3 , −2 − 1.8) = (−3, −3.8) เล่ือนตามแกน 푦

ความยาวแกนเอก = 2|푎| = 2(5) = 10

ความยาวแกนสังยุค = 2|푏| = 2(3) = 6

Ans.

แบบทดสอบความเขาใจ

1. จงเขียนรูป และลงจุดตางๆของกราฟ

(푥 + 2)

25 +(푦 − 1)

16 = 1

วิธีทํา 푎2 = … … . … … … … ∴ 푎 = … … … … … … …

푏 = … … … … … . … … … … ∴ 푏 = … … … … … … …

푐 = … … … … … … … … . … ∴ 푐 = … … … … … … …

รูปรีตามแกน … … … เพราะ … … … … … … … . . . . ตามรูป

จุด 퐶 = … … … … … … … … … … … … … … … . … …

จุด 푉 = … … … … … … … … 푉′ = … … … … … . … …

จุด 퐹 = … … … … … … … … 퐹′ = . … … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … 퐷′ = . … … … … … . … …

|퐴퐹| = |퐹퐵| = 푏푎 =. … … … … … … … … … … … …

ความยาวเรตัสเรกตัม = 2푏2

푎=. … … … … … … … … ….

퐴 =. … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

퐵 =. … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

퐴′ =. … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

퐵′ =. … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

ความยาวแกนเอก = 2|푎| =. … … … … … … … … . . ….

ความยาวแกนสังยุค = 2|푏| =. … … … … … … … … . ..


퐸푥2. จงเขียนรูป (푥 + 3)

16 +(푦 − 2)

25 = 1

และลงจุดตางๆของกราฟ

วิธีทํา 푎2 = 25 ∴ 푎 = ±5

รูปรีตามแกน 푦 เพราะ 푎 อยูกับ 푦 ไดรูปและจุดตามนี้

푏 = 16 ∴ 푏 = ±4 และ 푏 + 푐 = 푎

∴ 푐 = 푎 − 푏 = 25 − 16 = 9 ∴ c = ±3

จะไดจุด 퐶 = (−3,2) 푉 = (−3,2 + 5) = (−3,7) เล่ือนตามแกน 푦 คา 푥 คงที่ 푉 = (−3,2 − 5) = (−3, −3) เล่ือนตามแกน 푦 คา 푥 คงที่ 퐹 = (−3,2 + 3) = (−3,5) เล่ือนตามแกน 푦 คา 푥 คงที่ 퐹′ = (−3,2 − 3) = (−3, −1) เล่ือนตามแกน 푦 คา 푥 คงที่ 퐷 = (−3 + 4,2) = (1,2) เล่ือนตามแกน 푥 คา 푦 คงที่ 퐷 = (−3 − 4,2) = (−7,2) เล่ือนตามแกน 푥 คา 푦 คงที่ ความยาวแกนเอก = 2|푎| = 2(5) = 10 ความยาวแกนโท = 2|푏| = 2(4) = 8 Ans.


(푥 + 3)

16 +(푦 − 2)

25 = 1

วิธีทํา 푎2 = … … . … … … … ∴ 푎 = … … … … … … …

푏 = … … … … … . … … … … ∴ 푏 = … … … … … … …

푐 = … … … … … … … … . … ∴ 푐 = … … … … … … …

รูปรีตามแกน … … … เพราะ … … … … … … … . . . . ตามรูป

จุด 퐶 = … … … … … … … … … … … … … . … …

จุด 푉 = … … … … … … … … … … … … … . … …

จุด 푉′ = … … … … … … … … … … … … … . … …

จุด 퐹 = … … … … … … … … … … … … … . … …

จุด 퐹′ = … … … … … … … … … … … … … . … …

จุด 퐷 = … … … … … … … … … … … … … . … …

จุด 퐷′ = … … … … … … … … … … … … … . … …

2558-หน้าที เอกสารทบทวนความรู้ วิชาคณิตศาสตร์เพือเตรียมสอบ เรียบเรียง โดย อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท์ 퐸푥3. จงเขียนรูป และลงจุดตางๆของกราฟ

7 푥 + 16푦 + 42푥 − 64푦 + 15 = 0

วิธีทํา

( 7 푥 + 42푥) + (16푦 − 64푦) + 15 = 0

7( 푥 + 6푥) + 16(푦 − 4푦) + 15 = 0

7( 푥 + 6푥 + 3 − 3 ) + 16(푦 − 4푦 + 2 − 2 ) + 15 = 0

7( 푥 + 6푥 + 3 ) + 16(푦 − 4푦 + 2 ) = −15 + 7(3 ) + 16(2 )

7( x + 3 ) + 16( 푦 − 2 ) = −15 + 63 + 64

7( x + 3 ) + 16( 푦 − 2 ) = 112

7( x + 3 )112

+16( 푦 − 2 )

112=

112 112

( x + 3 )16

+( 푦 − 2 )

7= 1

จะได 푎2 = 16 ∴ 푎 = ±4

รูปรีตามแกน 푥 เพราะ 푎 อยูกับ 푥

푏 = 7 ∴ 푏 = ± √7 และ 푏 + 푐 = 푎

∴ 푐 = 푎 − 푏 = 16 − 7 = 9 ∴ c = ±3

∴ ไดรูปและจุดตามนี้


9 푥 + 25푦 − 36푥 − 50푦 − 164 = 0

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..


25푥 + 16푦 + 50푥 − 96푦 − 231 = 0


( 25푥 + 50푥) + (16푦 − 96푦) = 231

25( 푥 + 2푥) + 16(푦 − 6푦) = 231

25( 푥 + 2푥 + 1 − 1 ) + 16(푦 − 6푦 + 3 − 3 ) = 231

25( 푥 + 2푥 + 1 ) + 16(푦 − 6푦 + 3 ) = 231 + 25(1 ) + 16(3 )

25( x + 1 ) + 16( 푦 − 3 ) = 400

25( x + 1 )400

+16( 푦 − 3 )

400=

400 400

( x + 1 )16

+( 푦 − 3 )

25= 1

จะได 푎2 = 25 ∴ 푎 = ±5

รูปรีตามแกน 푦 เพราะ 푎 อยูกับ 푦

푏 = 16 ∴ 푏 = ± 4 และ 푏 + 푐 = 푎

∴ 푐 = 푎 − 푏 = 25 − 16 = 9 ∴ c = ±3



5푥 + 4푦 − 10푥 + 16푦 + 1 = 0

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..


퐸푥5. สมการวงรีที่มีจุดยอดจุดหนึ่งอยูที่ (3, −6)และมี

จุดโฟกัสจุดหนึ่งอยูที่ (3,3)และมีจุดศูนยกลางอยูที่ (3, −1)

จงหาสมการของวงรีและวาดรูปลงจุดตางๆที่เหลือ

วิธีทํา พิจารณาจาก C(3, −1), 푉(3, −6)และ퐹(3,3)

จะไดวากราฟรีตามแกน 푦 เพราะคา 푦 เปลียนคา

มีคา 푎 = −1 − (−6) = 5, 푐 = 3 − (−1) = 4

ไดสมการดังนี้ ( 푥 − 3 )2

16+

( 푦 + 1 )2

25= 1

ไดรูปดังนี ้

5. สมการวงรีที่มีจุดยอดจุดหนึ่งอยูที่ (−3,4)และมี

มีจุดศูนยกลางอยูที่ (−3,2)จุดโฟกัสจุดหนึ่งอยูที่ 3,2 + √3


…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..


퐸푥6. สมการวงรีที่มีจุดยอดจุดหนึ่งอยูที่ (3,3)และ

มีจุดศูนยกลางอยูที่ (−2,3)มีเรตัสเรคตัมยาว 4 หนวย


วิธีทํา พิจารณาจาก C(−2,3), 푉(3,3)

จะไดวากราฟรีตามแกน 푥 เพราะคา 푥 เปลียนคา

มีคา 푎 = 3 − (−2) = 5,

เรตัสเรคตัมยาว 4 หนวย ∴ 2푏2

푎 = 4

∴ 2푏

5 = 4 ∴ 푏 = 10 ∴ b = ± √10

푐 = 푎 − 푐 ∴ b = 25 − 10 = 5 ∴ c = ± √15

ไดสมการดังนี้ ( 푥 + 2 )2

25+

( 푦 − 3 )2

10= 1

ไดรูปดังนี ้

6. สมการวงรีที่มีจุดยอดจุดหนึ่งอยูที่ (−2,2)และ

มีจุดศูนยกลางอยูที่ (3,2)มีเรตัสเรคตัมยาว 3.6 หนวย


…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

2558-หน้าที เอกสารทบทวนความรู้ วิชาคณิตศาสตร์เพือเตรียมสอบ เรียบเรียง โดย อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท์ 퐸푥7. สมการวงรี 9푥 + 25푦 − 18푥 − 50푦 + 푘 = 0

มีเรตัสเรกตัมยาว 3.6 หนอย แลว 푘 มีคาเทาไร

วิธีทํา จาก 9푥2 + 25푦2 − 18푥 − 50푦 + 푘 = 0

(9푥 − 18푥) + (25푦 − 50푦) = −푘

9(푥 − 2푥) + 25(푦 − 2푦) = −푘

9(푥 − 2푥 + 1 − 1) + 25(푦 − 2푦 + 1 − 1) = −푘

9(푥 − 2푥 + 1) − 9 + 25(푦 − 2푦 + 2 ) − 25 = −푘

9(x − 1) + 25(y − 2) = −푘 + 34

9(x − 1)34 − 푘

+25(y − 2)

34 − 푘= 1

(x − 1)34 − 푘

9+

(y − 2)34 − 푘

25= 1

푎 =34 − 푘

9 , 푏 =

34 − 푘25

เรตัสเรกตัมยาว 3.6 หนอย ∴ 2푏2

푎 = 3.6

∴ 34 − 푘

25 = 1.8

34 − 푘9

∴ 34 − 푘

25 = 0.6 √34 − 푘

∴ 34 − 푘 = 15 √34 − 푘

∴ √34 − 푘 = 15

∴ 34 − 푘 = 225

∴ 푘 = 191 Ans.

7. สมการวงรี 9푥 + 16푦 + 36푥 − 96푦 + 푘 = 0

มีเรตัสเรกตัมยาว 4.5 หนอย แลว 푘 มีคาเทาไร

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

2558-หน้าที เอกสารทบทวนความรู้ วิชาคณิตศาสตร์เพือเตรียมสอบ เรียบเรียง โดย อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท์ 퐸푥8. สมการวงรี 25푥 + 4푦 − 150푥 − 16푦 + 푘 = 0

มีแกนเอกยาว 10 หนอย แลว 푘 มีคาเทาไร

วิธีทํา จาก 9푥2 + 25푦2 − 18푥 − 50푦 + 푘 = 0

(9푥 − 18푥) + (25푦 − 50푦) + 푘 = 0

9(푥 − 2푥) + 25(푦 − 2푦) + 푘 = 0

9(푥 − 2푥 + 1 − 1) + 25(푦 − 2푦 + 1 − 1) + 푘 = 0

9(푥 − 2푥 + 1) − 9 + 25(푦 − 2푦 + 1) − 25 + 푘 = 0

9(x − 1) + 25(y − 1) − 34 + k = 0

ดังนั้นจุดศูนยกลางจะอยูที่ (1,1) รีตามแกน x

2a = 10 ∴ a = 5

จะสามารถหาจุดยอดได (6,1), (−5,1) สองจุดนี้อยูบนเสนกราฟ

ดังนี้สามารถนําคา 푥, 푦ไปแทนในสมการแลวเปนจริง

ดังนั้นแทนคา 푥 = 6, 푦 = 1 ในสมการ

9(x − 1) + 25(y − 1) − 34 + k = 0 จะไดดังนี้ 9(6 − 1) + 25(1 − 1) − 34 + k = 0

9(25) − 34 + k = 0 ∴ k = 34 − 225 = −191 Ans.

퐸푥9. สมการวงรี มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด(4, −1)

จุดยอดจุดหนึ่งอยูที่จุด (8, −1)และคาความเย้ืองจุดศูนยกลาง

(퐸푐푐푒푛푡푟푖푐푖푡푦)มีคาเทากับ 0.75 จงหาสมการวงรีนี้

วิธีทํา จาก 퐶 = (4, −1), 푉 = (8, −1)

∴ a = 8 − 4 = 4 รูปรีตามแกน 푥

คาความเย้ืองจุดศูนยกลางมีคาเทากับ 0.75

∴ จาก 푒 = 푐푎 ∴ 0.75 =

푐4 ∴ 푐 = 3

∴ จาก 푏 = 푎 − 푐 = 4 − 3 = 16 − 9 = 7

สมการที่ไดคือ ( 푥 − 4 )2

16+

( 푦 + 1 )2

7= 1 퐴푛푠.

8. สมการวงรี 9푥 + 16푦 − 36푥 + 32푦 + 푘 = 0

มีแกนเอกยาว 8 หนอย แลว 푘 มีคาเทาไร

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

9. สมการวงรี มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด(−3,2)

จุดยอดจุดหนึ่งอยูที่จุด (−3,4)และคาความเย้ืองจุดศูนยกลาง

(퐸푐푐푒푛푡푟푖푐푖푡푦)มีคาเทากับ 56 จงหาสมการวงรีนี้

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..


แบบทดสอบ ชุดท่ี ퟐ

1. ขอใดเปนจุดยอดจุดหนึ่งของกราฟ

(푥 + 2)

25 +(푦 − 1)

9 = 1

1. (−2, 6)

2. (−2, 4)

3. (3, 1)

4. (−5, 1)

2. ขอใดเปนจุดโฟกสจุดหนึ่งของกราฟ

(푥 − 3)

16 +(푦 − 4)

25 = 1

1. (−2, 6)

2. (−2, 4)

3. (3, 1)

4. (−5, 1)

3. ขอใดเปนจุดจุดศูนยกลางของกราฟ 3푥 + 4푦 − 6푥 + 16푦 + 7 = 0

1. (1, 1)

2. ( 2, 1)

3. (2, −1)

4. (1, −2)

4. ขอใดเปนความยาวของแกนเอกของกราฟ 4푥 + 9푦 + 16푥 − 18푦 + 16 = 0

1. 1 หนวย

2. 2 หนวย

3. 3 หนวย

4. 4 หนวย

5. ขอใดเปนจุดโฟกสจุดหนึ่งของกราฟ 25푥 + 9푦 + 50푥 − 90푦 + 25 = 0

1. (1, 1)

2. (−1, 1)

3. (1, −1)

4. (−1, −1)

6. ขอใดเปนสมการวงรีที่มีจุดยอดจุดหนึ่งอยูที่ (−2, −2)และมี

จุดโฟกัสจุดหนึ่งอยูที่ (−2,7)และมีจุดศูนยกลางอยูที่ (−2,3) 1. 25푥 + 9푦 + 100푥 − 54푦 − 44 = 0

2. 25푥 + 9푦 − 100푥 + 54푦 − 44 = 0 3. 25푥 + 9푦 − 100푥 − 54푦 − 44 = 0

4. 25푥 + 9푦 + 100푥 + 54푦 − 44 = 0

7. ขอใดเปนสมการวงรีที่มีแกนเอกขนานกับแกน 푦 ยาว 10 หนวย

มีแกนโทยาว 6 หนวย และมีจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยูที่ (1,1) 1. 9푥 + 25푦 + 18푥 − 150푦 + 6 = 0

2. 25푥 + 9푦 + 50푥 + 36푦 − 164 = 0 3. 25푥 + 9푦 − 50푥 + 54푦 − 119 = 0

4. 25푥 + 9푦 + 50푥 + 81푦 − 191 = 0

8. ขอใดเปนสมการวงรีที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ (5,3)

และกราฟสัมผัสแกน 푥 แกน 푦 พอดี 1. 25푥 + 9푦 − 150푥 − 90푦 + 225 = 0

2. 9푥 + 25푦 − 90푥 − 150푦 + 225 = 0 3. 25푥 + 9푦 + 150푥 + 90푦 + 225 = 0

4. 9푥 + 25푦 + 90푥 + 150푦 + 253 = 0

9. สมการวงรี 5푥 + 9푦 − 10푥 + 36푦 + 푘 = 0

มีจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยูที่ (3, −2) แลว 푘 มีคาเทาไร 1. − 1

2. − 2

3. − 3

4. − 4

10. สมการวงรี 3푥 + 4푦 + 12푥 − 16푦 + 푘 = 0

มีแกนยาว ยาว 4 หนวย แลว 푘 มีคาเทาไร 1. 15

2. 16

3. 17

4. 18


นิยาม ไฮเพอรโบลา คือทางเดินของจุดที่มีผลตางของระยะทาง จากจุดใดๆ บนกราฟถึงจุดคงที่ 2 จุดมีคาคงที่เสมอ

สมการรูปทั่วไปของวงรีคือ


푎2

2

−(푦 − 푘)

푏2

2

= 1

รูปจะลูตามแกน 푥 สังเกตจาก คา 푥 เปนตัวตั้ง คา 푦 เปนตัวลบ


푏2

2

−(푦 − 푘)

푎2

2

= 1

สมการเสนกํากับหาไดจาก (푥 − ℎ)

푎2

2

−(푦 − 푘)

푏2

2

= 0

∴ (푦 − 푘)

푏2

2

= (푥 − ℎ)

푎2

2

∴ (푦 − 푘)

푏= ±

(푥 − ℎ)

푎

∴ กรณีที่ 1 푎(푦 − 푘) = + 푏(푥 − ℎ)

푎푦 − 푎푘 = 푏푥 − 푏ℎ

∴ 푎푦 − 푏푥 = 푎푘 − 푏ℎ

∴ กรณีที่ 2 푎(푦 − 푘) = − 푏(푥 − ℎ)

푎푦 − 푎푘 = −푏푥 + 푏ℎ

∴ 푎푦 + 푏푥 = 푎푘 + 푏ℎ

แบบที่ 2 (푦 − 푘)

푎2

2

−(푥 − ℎ)

푏2

2

= 1

รูปจะลูตามแกน 푦 สังเกตจาก คา 푦 เปนตัวตั้ง คา 푥 เปนตัวลบ

สมการเสนกํากับหาไดจาก (푦 − 푘)

푎2

2

−(푥 − ℎ)

푏2

2

= 0

∴ (푦 − 푘)

푎2

2

= (푥 − ℎ)

푏2

2

∴ (푦 − 푘)

푎= ±

(푥 − ℎ)

푏

∴ กรณีที่ 1 푏(푦 − 푘) = + 푎(푥 − ℎ)

푏푦 − 푏푘 = 푎푥 − 푎ℎ

∴ 푏푦 − 푎푥 = 푏푘 − 푎ℎ

∴ กรณีที่ 2 푏(푦 − 푘) = − 푎(푥 − ℎ)

푏푦 − 푏푘 = −푎푥 + 푎ℎ

∴ 푏푦 + 푎푥 = 푏푘 + 푎ℎ


퐸푥1. จงเขียนรูป (푥 − 1)

25 −(푦 + 2)

9 = 1

และลงจุดตางๆของกราฟ

วิธีทํา 푎2 = 25 ∴ 푎 = ±5

รูปตามแกน 푥 เพราะ 푥 เปนตัวตั้ง ไดรูปและจุดตามนี้ 푏 = 9 ∴ 푏 = ±3 และ 푎 + 푏 = 푐 ∴ 푐 = 25 + 9 = 34 ∴ c = ±√34

จะไดจุด 퐶 = (1, −2) 푉 = (1 + 5, −2) = (6, −2) เล่ือนตามแกน 푥 คา 푦 คงที่ 푉 = (1 − 5, −2) = (−4,2) เล่ือนตามแกน 푥 คา 푦 คงที่ จะไดจุด 퐹 = 1 + √34, −2 เล่ือนตามแกน 푥 คา 푦 คงที่ 퐹′ = 1 − √34, −2 เล่ือนตามแกน 푥 คา 푦 คงที่ 퐷 = (1 , −2 + 3) = (1,1) เล่ือนตามแกน 푦 คา 푥 คงที่ 퐷 = (1 , −2 − 3) = (1, −5) เล่ือนตามแกน 푦 คา 푥 คงที่ ความยาวแกนขวาง = 2|푎| = 2(5) = 10 ความยาวแกนสังยุค = 2|푏| = 2(3) = 6 สมการเสนกํากับหาไดจากสมการ

(푥 − 1)

25 −(푦 + 2)

9 = 0

∴ (푥 − 1)

5 = ±(푦 + 2)

3

∴ 3(푥 − 1) = ±5(푦 + 2) ∴ กรณีที่1 3(푥 − 1) = 5(푦 + 2) ∴ 5푦 − 3푥 = −13 ∴ กรณีที่2 3(푥 − 1) = − 5(푦 + 2) ∴ 3푥 + 5푦 = −7 Ans.

แบบทดสอบความเขาใจ


(푥 − 3)

4 −(푦 − 2)

9 = 1

วิธีทํา 푎2 = … … . … … … … ∴ 푎 = … … … … … … …

푏 = … … … … … . … … … … ∴ 푏 = … … … … … … …

푐 = … … … … … … … … . … ∴ 푐 = … … … … … … …

รูปขนานตามแกน … … … เพราะ … … … … … … … . . . . ตามรูป

V = … … … … … … … … … … … … … … … … … … ….

푉 = … … … … … … … … … … … … … … … . … … … ..

퐹 = … … … … … … … … … … … … … … … … … … ….

퐹 = … … … … … … … … … … … … … … … … … … . ..

D = … … … … … … … … … … … … … … . . … … … . …

퐷 = … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

สมการเสนกํากับ คือ … … … … … … … … … … … … … ….

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …


퐸푥2. จงเขียนรูป (푦 + 3)

16 −(푥 − 2)

25 = 1

และลงจุดตางๆของกราฟ วิธีทํา 푎2 = 16 ∴ 푎 = ±4 รูปตามแกน 푦 เพราะ 푦 เปนตัวตั้ง ไดรูปและจุดตามนี้ 푏 = 25 ∴ 푏 = ±5 และ 푎 + 푏 = 푐 ∴ 푐 = 푎 + 푏 = 25 + 16 = 34 ∴ c = ±√34

จะไดจุด 퐶 = (2, −3) 푉 = (2, −3 + 4) = (2,1) เล่ือนตามแกน 푦 คา 푥 คงที่ 푉 = (2, −3 − 4) = (2, −7) เล่ือนตามแกน 푦 คา 푥 คงที่ 퐹 = 2, −3 + √34 เล่ือนตามแกน 푦 คา 푥 คงที่ 퐹′ = 2, −3 − √34 เล่ือนตามแกน 푦 คา 푥 คงที่ 퐷 = (2 + 5 , −3) = (7, −3) เล่ือนตามแกน 푥 คา 푦 คงที่ 퐷 = (2 − 5 , −3) = (−3, −3) เล่ือนตามแกน 푦 คา 푥 คงที่ ความยาวแกนขวาง = 2|푎| = 2(4) = 8 ความยาวแกนสังยุค = 2|푏| = 2(5) = 10 สมการเสนกํากับหาไดจากสมการ

(푦 + 3)

16 −(푥 − 2)

25 = 0

∴ (푦 + 3)

4 = ±(푥 − 2)

5

∴ 5(푦 + 3) = ±4(푥 − 2) ∴ กรณีที่1 5(푦 + 3) = 4(푥 − 2) ∴ 5푦 − 4푥 = −23 ∴ กรณีที่2 5(푦 + 3) = − 4(푥 − 2) ∴ 5푦 + 4푥 = −7 Ans.


(푦 + 5)

4 −(푥 − 1)

16 = 1

วิธีทํา 푎2 = … … . … … … … ∴ 푎 = … … … … … … …

푏 = … … … … … . … … … … ∴ 푏 = … … … … … … …

푐 = … … … … … … … … . … ∴ 푐 = … … … … … … …


V = … … … … … … … … … … … … … … … … … … ….

푉 = … … … … … … … … … … … … … … … . … … … ..

퐹 = … … … … … … … … … … … … … … … … … … ….

퐹 = … … … … … … … … … … … … … … … … … … . ..

D = … … … … … … … … … … … … … … . . … … … . …

퐷 = … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …


… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …


5 푥 − 4푦 − 30푥 − 8푦 + 21 = 0


( 5 푥 − 30푥) − (4푦 + 8푦) + 21 = 0

5( 푥 − 6푥) − 4(푦 + 2푦) + 21 = 0

5( 푥 − 6푥 + 3 − 3 ) − 4(푦 + 2푦 + 1 − 1 ) + 21 = 0

5( 푥 − 6푥 + 3 ) − 4(푦 + 2푦 + 1 ) = −21 + 5(3 ) − 4(1 )

5( x − 3 ) − 4( 푦 + 1 ) = −21 + 45 − 4

5( x − 3 ) − 4( 푦 + 1 ) = 20

5( x − 3 )20

−4( 푦 + 1 )

20=

20 20

( x − 3 )4

−( 푦 + 1 )

5= 1

จะได 푎2 = 4 ∴ 푎 = ±2

รูปขนานตามแกน 푥 เพราะ 푎 อยูกับ 푥

푏 = 5 ∴ 푏 = ± √5 และ 푏 + 푐 = 푎

∴ 푐 = 푎 + 푏 = 4 + 5 = 9 ∴ c = ±3



7 푥 − 9푦 + 28푥 + 18푦 − 44 = 0


… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

푎 = … … ∴ 푎 = … … , 푏 = … … … ∴ 푏 =. … …

푐 = … … … … … … … … . … ∴ 푐 = … … … … … … …


V = … … … … … … … … … 푉 = … … … … … … … …

퐹 = … … … … … … … … … 퐹 = … … … … … … … ..

D = … … … … … … … … … 퐷 = … … … … … … …


… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …


9 푦 − 7푥 + 36푦 + 14푥 − 34 = 0


(9푦 + 36푦) − ( 7 푥 − 14푥) − 34 = 0

9(푦 + 4푦) − 7( 푥 − 2푥) − 34 = 0

9(푦 + 4푦 + 2 − 2 ) − 7( 푥 − 2푥 + 1 − 1 ) − 34 = 0

9( 푦 + 4푦 + 2 ) − 7(푥 − 2푥 + 1 ) = 34 + 9(2 ) − 7(1 )

9( y + 2 ) − 7( 푥 − 1 ) = 63

9( y + 2 )63

−7( 푥 − 1 )

63=

63 63

( y + 2 )7

−( 푥 − 1 )

9= 1

จะได 푎2 = 7 ∴ 푎 = ± √7

รูปขนานตามแกน 푥 เพราะ 푎 อยูกับ 푥

푏 = 9 ∴ 푏 = ± 3 และ 푏 + 푐 = 푎

∴ 푐 = 푎 + 푏 = 7 + 9 = 16 ∴ c = ±4



9 푦 − 25푥 − 36푦 − 50푥 − 214 = 0


… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

푎 = … … ∴ 푎 = … … , 푏 = … … … ∴ 푏 =. … …

푐 = … … … … … … … … . … ∴ 푐 = … … … … … … …


V = … … … … … … … … … 푉 = … … … … … … … …

퐹 = … … … … … … … … … 퐹 = … … … … … … … ..

D = … … … … … … … … … 퐷 = … … … … … … …


… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

… … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … . …

2558-หน้าที เอกสารทบทวนความรู้ วิชาคณิตศาสตร์เพือเตรียมสอบ เรียบเรียง โดย อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท์ 퐸푥5. สมการ 9푥 − 7푦 − 36푥 + 14푦 + 푘 = 0

โดยที่จุดโฟกัส 2 จุดอยูหางกัน 8 หนวย แลว 푘 มีคาเทาไร

วิธีทํา จาก 9푥2 − 7푦2 − 36푥 + 14푦 + 푘 = 0

(9푥 − 36푥) − (7푦 − 14푦) = −푘

9(푥 − 4푥) − 7(푦 − 2푦) = −푘

9(푥 − 4푥 + 4 − 4) − 7(푦 − 2푦 + 1 − 1) = −푘

9(푥 − 4푥 + 2 ) − 36 − 7(푦 − 2푦 + 1) + 7 = −푘

9(x − 2) − 7(y − 1) = −푘 + 29

9(x − 2)29 − 푘

−7(y − 1)

29 − 푘= 1

(x − 2)29 − 푘

9−

(y − 1)29 − 푘

7= 1

푎 =29 − 푘

9 , 푏 =

29 − 푘7

จากโจทย ความยาว 퐹퐹′ = 8 ∴ 2푐 = 8 ∴ 푐 = 4

จาก 푎2 + 푏2 = 푐2

∴ 29 − 푘

9+

29 − 푘7

= 16

∴ (29 − 푘)(19

+17) = 16

∴ (29 − 푘)(1663) = 16

∴ ∴ (29 − 푘) = 63

∴ 푘 = 29 − 63 = −34 Ans.

5. สมการ 16푥 − 9푦 + 96푥 − 36푦 + 푘 = 0

โดยที่จุดโฟกัส 2 จุดอยูหางกัน 10 หนวย แลว 푘 มีคาเทาไร

(ตอบ k=-36)

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………..


แบบทดสอบชุดท่ี ퟑ 1. ขอใดเปนจุดยอดจุดหนึ่งของกราฟ

(푥 + 2)

25 +(푦 − 1)

9 = 1

1. (−2, 6)

2. (−2, 4)

3. (3, 1)

4. (−5, 1)

2. ขอใดเปนจุดโฟกสจุดหนึ่งของกราฟ

(푥 − 3)

16 +(푦 − 4)

25 = 1

1. (−2, 6)

2. (−2, 4)

3. (3, 1)

4. (−5, 1)

3. ขอใดเปนจุดจุดศูนยกลางของกราฟ 3푥 + 4푦 − 6푥 + 16푦 + 7 = 0

1. (1, 1)

2. ( 2, 1)

3. (2, −1)

4. (1, −2)

4. ขอใดเปนความยาวของแกนเอกของกราฟ 4푥 + 9푦 + 16푥 − 18푦 + 16 = 0

1. 1 หนวย

2. 2 หนวย

3. 3 หนวย

4. 4 หนวย

5. ขอใดเปนจุดโฟกสจุดหนึ่งของกราฟ 25푥 + 9푦 + 50푥 − 90푦 + 25 = 0

1. (1, 1)

2. (−1, 1)

3. (1, −1)

4. (−1, −1)

6. ขอใดเปนสมการวงรีที่มีจุดยอดจุดหนึ่งอยูที่ (−2,2)และมี

จุดโฟกัสจุดหนึ่งอยูที่ (−2,7)และมีจุดศูนยกลางอยูที่ (−2,3) 1. 25푥 + 9푦 + 100푥 − 54푦 − 44 = 0

2. 25푥 + 9푦 − 100푥 + 54푦 − 44 = 0 3. 25푥 + 9푦 − 100푥 − 54푦 − 44 = 0

4. 25푥 + 9푦 + 100푥 + 54푦 − 44 = 0

7. ขอใดเปนสมการวงรีที่มีแกนเอกขนานกับแกน 푦 ยาว 10 หนวย

มีแกนโทยาว 6 หนวย และมีจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยูที่ (1,1) 1. 9푥 + 25푦 + 18푥 − 150푦 + 6 = 0

2. 25푥 + 9푦 + 50푥 + 36푦 − 164 = 0 3. 25푥 + 9푦 − 50푥 + 54푦 − 119 = 0

4. 25푥 + 9푦 + 50푥 + 81푦 − 191 = 0

8. ขอใดเปนสมการวงรีที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ (5,3)

และกราฟสัมผัสแกน 푥 แกน 푦 พอดี 1. 25푥 + 9푦 − 150푥 − 90푦 + 225 = 0

2. 9푥 + 25푦 − 90푥 − 150푦 + 225 = 0 3. 25푥 + 9푦 + 150푥 + 90푦 + 225 = 0

4. 9푥 + 25푦 + 90푥 + 150푦 + 253 = 0

9. สมการวงรี 5푥 + 9푦 − 10푥 + 36푦 + 푘 = 0

มีจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยูที่ (3, −2) แลว 푘 มีคาเทาไร 1. − 1

2. − 2

3. − 3

4. − 4

10. สมการวงรี 3푥 + 4푦 + 12푥 − 16푦 + 푘 = 0

มีแกนยาว ยาว 4 หนวย แลว 푘 มีคาเทาไร 1. 15

2. 16

3. 17

4. 18

Education

59 ภาคตัดกรวย-พาราโบลา-วงรี-ไฮเพอร์โบลา