ภาคตัดกรวย - mathstat.sci.tu.ac.thmathstat.sci.tu.ac.th/~charinthip/main menu/TU154/Chapter6/Conic 28-9-2555.pdf · พาราโบลา ระนาบทีตัดกรวย

6-1 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทิพย์ เฮงคราวิทย์

บทที� 6

ภาคตัดกรวย

กรวย เป็นรูปทรงเรขาคณิตที�มีวิธีการสร้างในเชิงคณิตศาสตร์ ดงันี �

ให้ a และ b เป็นเส้นตรงสองเส้นใดๆ ที�ตดักนัที�จดุ V เป็นมมุแหลม

ให้เส้นตรง a และจดุ V ตรึงอยุ่กับที� ผิวที�เกิดจากการหมนุเส้นตรง b รอบเส้นตรง a (โดย

หมนุ ระหวา่งเส้นตรง a และ b มีขนาดคงตวั) เรียกวา่ กรวยกลมตรง

ในบทนี �เราจะศกึษาเฉพาะกรวยกลมตรงเท่านั �น และจะเรียกสั �นๆ วา่ กรวย เส้นตรงที�ตรึงอยู่กับที�

เรียกวา่ แกนของกรวย จดุ V เรียกว่า จุดยอด และ เส้นตรง b ที�ผ่านจุด V ทํามมุ กับแกนของ

กรวย เรียกวา่ ตัวก่อกําเนิดของกรวย และ จดุ V จะแบ่งกรวยออกเป็นสองข้าง (nappes) ซึ�งอยู่คนละ

ข้างของจดุยอด ดงัรูป

ภาคตัดกรวย (conic section) คือ รูปในระนาบที�เกิดจากการตดักันของระนาบกับกรวยได้แก่ วงกลม

(circle) พาราโบลา (parabola) วงรี (ellipse) และไฮเพอร์โบลา (hyperbola)


ภาคตดักรวย ที�ได้จากการนําระนาบไปตดักรวยตรง โดยไมผ่า่นจดุยอดของกรวย จะได้ดงัตอ่ไปนี �

รูประนาบที�ตัดกรวย ลักษณะของระนาบที�ตัดกรวย

รูปในระนาบที�เกิดจากการตัดกรวย

ระนาบที�ตดักรวย ตั �งฉาก กบั

แกนของกรวย

วงกลม

ระนาบที�ตดักรวย ขนาน กบั

ตวัก่อกําเนิดของกรวย และ

จะตดักรวยข้างเดยีว

พาราโบลา

ระนาบที�ตดักรวย ทํามมุ

แหลมกบัแกนของกรวย แต่

ขนาดใหญ่กวา่ และ

ระนาบจะตดักรวยข้างเดียว

วงรี



รูปในระนาบที�เกิดจากการตัดกรวย

ระนาบที�ตดักรวย ขนานกบั

แกน

ไฮเพอร์โบลา

ถ้าระนาบผา่นจดุยอดของกรวย รอยตดัของระนาบกบักรวยจะเป็นจดุ หรือ เส้นตรงเส้นหนึ�ง หรือ

เส้นตรงสองเส้นตดักนั ซึ�งเรียกลกัษณะดงักลา่ววา่ ภาคตัดกรวยลดรูป กลา่วคือ


ระนาบที�ตดักรวย ผา่นจดุยอดและตั �งฉากกบัแกน

ของกรวย จะได้ จดุ 1 จดุ

ระนาบที�ตดักรวย ผา่นจดุยอดและตดัตวัก่อกําเนิด

ของกรวย จะได้ เส้นตรง 1 เส้น

ระนาบที�ตดักรวย ผา่นจดุยอดและตดัทบัแกนของ

กรวย จะได้ เส้นตรง 2 เส้นตดักนั


การเลื�อนแกนทางขนาน (Translation of Axes)

การเลื�อนแกนทางขนาน หมายถึง การเปลี�ยนแปลงแกนพิกัดเดิมอย่างน้อยหนึ�งแกน (แกน x

หรือ แกน y ) โดยให้แกนพิกดัใหมข่นานกบัแกนพิกดัเดิม

การเลื�อนแกนทางขนานนบัเป็นพื �นฐานที�สําคญัที�ชว่ยในการศกึษาเกี�ยวกบัภาคตดักรวยให้สะดวก

ยิ�งขึ �น

ให้จดุ ( , )P x y เป็นจดุที�อยู่ห่างจากแกน y ไปทางขวามือเป็นระยะทาง x หน่วย และอยู่เหนือ

แกน x เป็นระยะทาง y หน่วย ดงัรูป ก

เมื�อเลื�อนแกนจดุ ( , )P x y ยงัคงที� แตพิ่กดัของ P จะเปลี�ยนไปเมื�อเทียบกับแกนพิกัดใหม่ พิกัด

ของจดุกําเนิดใหมเ่มื�อเทียบกบัแกนพิกดัเดิม x และ y คือ จดุ '( , )O h k และแกนพิกัดใหม่ 'x และ 'y

ขนานกบัแกนพิกดัเดิม x และ y ตามลําดบั ดงัรูป ข

นั�นคือ แกนพิกดัใหมเ่กิดจากการเลื�อนแกนตามแนวนอน h หน่วย และตามแนวตั �ง k หน่วย

ให้ ( , )x y เป็นพิกดัของจดุ P เมื�อเทียบกบัแกนพิกดัเดิม

( ', ')x y เป็นพิกดัของจดุ P เมื�อเทียบกบัแกนพิกดัใหม ่และ ,h k เป็นจํานวนจริง

ดงันั �น จะได้

'

'

x x h

y y k

หรือ

'

'

x x h

y y k


ตัวอย่าง 1 ถ้าเลื�อนแกนไปโดยใช้จุด ( 2,3) เป็นจุดกําเนิดใหม่ ซึ�ง (0,2), ( 5, 4), (4, 1)A B C

และ ( 3, 5)D เป็นพิกดัของจดุเมื�อเทียบกบัแกนพิกดัเดิม จงหาพิกดัเหลา่นี �เมื�อเทียบกบัแกนพิกดัใหม ่

วธีิทาํ ให้ ( , )x y เป็นพิกดัของจดุเมื�อเทียบกบัแกนพิกดัเดิม

และ ( ', ')x y เป็นพิกดัของจดุเมื�อเทียบกบัแกนพิกดัใหม ่

ในที�นี � ( , ) ( 2,3)h k นั�นคือ 2h และ 3k

พิจารณาจดุ (0,2)A จะได้วา่ 0x และ 2y

จาก 'x x h ดงันั �น ' 0 ( 2) 2x

และ 'y y k ดงันั �น ' 2 3 1y

ดงันั �น พิกดัของจดุ (0,2)A เมื�อเทียบกบัแกนพิกดัใหม ่คือ จดุ (2, 1)

( 5, 4), (4, 1)B C และ ( 3, 5)D แสดงเป็นแบบฝึกหดั

ข้อตกลง การเลื�อนแกนทางขนานโดยมจีดุ ( , )h k เป็นจดุกําเนิดใหม ่จะเรียกสั �นๆ วา่ การเลื�อน

แกนไปที�จดุ ( , )h k

ตัวอย่าง 2 ถ้าเลื�อนแกนไปที�จดุ (3, 7) แล้วกราฟของสมการ 2 26 14 2 0x yx y จะมี

สมการเทียบกบัแกนใหม ่ซึ�งใช้พิกดั ( ', ')x y แทนพิกดั ( , )x y เป็นอย่างไร

วธีิทาํ จากโจทย์เลื�อนแกนไปที�จดุ (3, 7) จะได้ ( , ) (3, 7)h k นั�นคือ 3h และ 7k


จากสตูร 'x x h จะได้ ' 3x x

และจาก 'y y k ดงันั �น ' 7y y

ตอ่ไปแทน ' 3x x และ ' 7y y ลงในสมการ 2 26 14 2 0x yx y

จะได้วา่ 2 2' 3 ' 3 ' 7 4 0'6 1 27x x y y

นั�นคือ 2 2' 6 ' 9 6 ' 1 14 ' 49 14 ' 98 2 08 'x yy yx x

เพราะฉะนั �น 2 2' ' 60x y

ดงันั �น 2 2' ' 60x y เป็นสมการเทียบกบัแกนใหมข่องกราฟรูปนี �

ตัวอย่าง 3 จากสมการ 2 2 8 6 24 0x y x y ถ้าต้องการเลื�อนแกนอ้างอิงให้ได้สมการในรูป

2 2'' 1yx แล้วจดุกําเนิดใหมค่ือจดุใด

วธีิทาํ จากสมการ 2 2 8 6 24 0x y x y

จะได้ 2 28 6 24x x y y

ดงันั �น 2 2 2 2 2 28 4 6 3 24 4 3x y yx

นั�นคือ 2 2

4 3 1x y

ให้ ' 4x x และ ' 3y y

จะได้วา่ 2 2'' 1yx ซึ�งเป็นสมการที�ต้องการ และจดุกําเนิดใหมค่ือจดุ (4, 3)

ตัวอย่าง 4 จากสมการ 2 2 36 235 9 02 50 6y x yx ถ้าต้องการเลื�อนแกนอ้างอิงให้ได้

สมการในรูป 2 2''

1259

yx แล้วจดุกําเนิดใหมค่ือจดุใด

วธีิทาํ (เป็นแบบฝึกหดั)


การเลื�อนแกนทางขนานกับการเขียนกราฟ

การเขียนกราฟโดยการเลื�อนแกนทางขนานไปที�จดุ ( , )h k ที�เหมาะสม จะเขียนง่ายกว่าการเขียน

กราฟในระบบพิกัดฉากที�มีจุดกําเนิดที�จุด (0,0) โดยเปลี�ยนพิกัดจุด ( , )P h k ใดๆ ในระบบเดิม เป็น

( ', ')P x y ในระบบใหม่ โดยที� 'x x h และ 'y y k จะทําให้สมการเทียบกับแกนใหม่มีรูปซึ�ง

สะดวกตอ่การเขียนกราฟ ดงันี �

ตัวอย่าง 5 จงเขียนกราฟของสมการ 2( 5)y x

วธีิทาํ จากสมการ 2( 5)y x และเลื�อนแกนไปที�จดุ (5,0)

ดงันั �น จะได้สมการเทียบกบัแกนใหม ่คือ 2' 'y x

วงกลม (Circle)

วงกลม คือ เซตของจดุทั �งหมดในระนาบที�ห่างจากจดุๆ หนึ�งที�ตรึงอยู่กบัที�เป็นระยะทางคงตวั จดุที�

ตรึงอยู่กบัที�นี � เรียกวา่ จุดศูนย์กลาง (center) ของวงกลม และระยะทางคงตวั เรียกวา่ รัศมี (radius) ของ

วงกลม

พิจารณารูปวงกลมตอ่ไปนี �


จากรูป เป็นวงกลมที�มีจดุศนูย์กลางอยู่ที�จดุ (0,0)C และมีรัศมี r หน่วย

สมการวงกลมที�มีจดุศนูย์กลางอยู่ที�จดุ (0,0)C และมีรัศมี r หน่วย คือ 2 2 2x y r

ตัวอย่าง 6 จะได้ว่าสมการวงกลมที�มีจุดศูนย์กลางอยู่ที�จุด (0,0) และมีรัศมียาว 3 หน่วย คือ 2 2 23x y นั�นคือ 2 2 9x y

พิจารณารูปวงกลมตอ่ไปนี �

เป็นวงกลมที�มีจดุศนูย์กลางอยู่ที�จดุ ( , )C h k และมีรัศมี r หน่วย

สมการวงกลมที�มีจดุศนูย์กลางอยู่ที�จดุ ( , )C h k และมีรัศมี r หน่วย คือ

2 2 2( )( ) y rx kh

ตัวอย่าง 7 จงหาสมการของวงกลมที�มีจดุศนูย์กลางอยู่ที�จดุ ( 1, 2) และมีรัศมี 3 หน่วย

วธีิทาํ สมการวงกลมที�มีจดุศนูย์กลางอยู่ที�จดุ ( , )C h k และมีรัศมี r หน่วย คือ

2 2 2( )( ) y rx kh

จากโจทย์ ( , ) ( 1, 2)h k ดงันั �น 1h และ 2k และ 3r

เพราะฉะนั �น สมการของวงกลมที�มีจดุศนูย์กลางอยู่ที�จดุ ( 1, 2) และมีรัศมี 3 หน่วย คือ

2 2 2( ( 1)) ( 2) 3yx

นั�นคือ 2 2(( ) ) 91 2x y หรือ 2 2 2 4 4 0y x yx


การหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม

เราจะได้ว่า สมการวงกลมที�อยู่ในรูป 2 2 0y Dx Ey Fx จะมีจุดศูนย์กลางอยู่ ที�

,2 2

D E

และมีรัศมี 2 21

24Dr E F หน่วย

การพิจารณาคา่ 2 2 4D E F

1. ถ้า 2 2 4 0E FD แล้ว 0r กราฟของสมการจะเป็นวงกลมที�มีจุดศูนย์กลางอยู่ ที�

,2 2

D E

และมีรัศมีเท่ากบั 2 21

24D E F หน่วย

2. ถ้า 2 2 4 0E FD แล้ว 0r กราฟของสมการจะเป็นจดุ

3. ถ้า 2 2 4 0E FD แล้ว r ไมเ่ป็นจํานวนจริง เขียนกราฟไมไ่ด้

ตัวอย่าง 8 จงหาจดุศนูย์กลางและรัศมีของวงกลม 2 2 6 4 3 0y x yx

วธีิทาํ วธีิที� 1 จากสมการวงกลมที�อยู่ ในรูป 2 2 0y Dx Ey Fx จะมีจุดศูนย์กลางอยู่ ที�

,2 2

D E

และมีรัศมี 2 21

24Dr E F หน่วย

จากโจทย์สมการวงกลมอยู่ในรูป 2 2 6 4 3 0y x yx

จะได้ 6, 4D E และ 3F

ดงันั �น จดุศนูย์กลางอยู่ที� , 3, 22 2

D E

และมีรัศมี 2 2 41

24D Er F หน่วย

วธีิที� 2 เราจะจดัให้อยู่ในรูป 2 2 2( )( ) y rx kh

จากโจทย์สมการวงกลมอยู่ในรูป 2 2 6 4 3 0y x yx

2 26 4 3x yx y

2 2 2 26 3 4 2 3 9 4x y yx


2 2

3 2 16yx

ดงันั �น วงกลมมีจดุศนูย์กลางอยู่ที� 3, 2 และมีรัศมี 4 หน่วย

ตัวอย่าง 9 จงอธิบายลกัษณะของกราฟ 2 22 3 32 4 0y x yx

วธีิทาํ จากสมการ 2 22 3 32 4 0y x yx

จะได้วา่ 2 2 3 32 0

2 2y xx y

เพราะฉะนั �น 2 23 32

2 2x yx y


2 2 23 3 3

4 41

32 1

2 2x x y y

จึงได้วา่ 2 2

23 1

4

11

16 4x y

ดงันั �น กราฟเป็นรูปวงกลม มีจดุศนูย์กลางอยู่ที� 3 , 14

และรัศมียาว 1

4 หน่วย

ตัวอย่าง 10 จงอธิบายลกัษณะของกราฟ 2 2 6 02 1y x yx


พาราโบลา (Parabola)

พาราโบลา คือ เซตของจดุทกุจดุบนระนาบ ซึ�งอยู่ห่างจากเส้นตรงคงที�เส้นหนึ�งบนระนาบและจุด

คงที�จดุหนึ�งบนระนาบที�ไมอ่ยู่บนเส้นตรงนั �นเป็นระยะทางเท่ากนัเสมอ

รูปตอ่ไปนี � แสดงลกัษณะของพาราโบลา


ซึ�งประกอบด้วย

1. จดุคงที� เรียกวา่ จดุโฟกสัของพาราโบลา

2. เส้นตรงคงที� เรียกวา่ เส้นบงัคบัหรือไดเรกตริกซ์ (Directrix)

3. เส้นตรงที�ผ่านจุดโฟกัส จุดยอดและตั �งฉากกับไดเรกตริกซ์ เรียกว่า แกนพาราโบลา

หรือ แกนสมมาตร

4. จดุที�แกนพาราโบลาตดักบัโค้งพาราโบลา เรียกวา่ จดุยอด (Vertex) ของพาราโบลา

5. สว่นของเส้นตรงที�ผ่านโฟกัสและตั �งฉากกับแกนพาราโบลา โดยจุดปลายทั �งสองอยู่

บนโค้งของพาราโบลา เรียกว่า ลาตัสเรกตัม (Latus rectum) ซึ�งเรียกว่า คอร์ด

(Chord) ของพาราโบลา

พิจารณารูปพาราโบลาตอ่ไปนี �

จากรูป เป็นพาราโบลาที�มีจุดยอดอยู่ที�จุด (0,0) จุดโฟกัสอยู่ที� ( ,0)F c เส้นไดเรกตริกซ์ คือ

เส้นตรง x c และมีแกน x เป็นแกนพาราโบลา

สมการพาราโบลา คือ 2 4y cx


ตอ่ไปพิจารณารูปพาราโบลาตอ่ไปนี �

จากรูป เป็นพาราโบลาที�มีจุดยอดอยู่ที�จุด (0,0) จุดโฟกัสอยู่ที� (0, )F c เส้นไดเรกตริกซ์ คือ

เส้นตรง y c และมีแกน y เป็นแกนของพาราโบลา

สมการพาราโบลา คือ 2 4x cy

ตัวอย่าง 11 จงหาสมการพาราโบลา เมื�อกําหนดให้จดุโฟกสัอยู่ที� (5,0) และจดุยอดอยู่ที� (0,0)

วธีิทาํ จากโจทย์ จดุโฟกสัอยู่ที� (5,0) และจดุยอดอยู่ที� (0,0)

แสดงวา่แกนพาราโบลา คือ แกน x และ 5c เป็นกราฟพาราโบลาเปิดทางขวา

เส้นไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง 5x

ลาตสัเรกตมั ยาว | 4(5) | 20 หน่วย

สมการอยู่ในรูป 2 4y cx นั�นคือสมการพาราโบลา คือ 2 4(5) 20y x x

ตัวอย่าง 12 จงอธิบายลกัษณะของสมการ 2 6x y

วธีิทาํ จากสมการ 2 6x y

จะได้ 2 342

x y

แสดงวา่เป็นกราฟพาราโบลา จดุศนูย์กลางอยู่ที�จดุ (0,0)

แกนพาราโบลา คือ แกน y และ 3

2c เป็นกราฟพาราโบลาหงายขึ �น


จดุโฟกสั อยู่ที� 30,2

เส้นไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง 3

2y

และลาตสัเรกตมั ยาว 34 62

หน่วย

ตัวอย่าง 13 จงอธิบายลกัษณะของสมการ 2 10x y


การหาสมการพาราโบลาที� มีจุดยอดอยู่ที� จุด ( , )h k และมีแกนขนานกับแกน x หรือ

ขนานกับแกน y

เมื�อแกนของพาราโบลาขนานกบัแกน x ดงัรูป

จากรูป จะได้วา่

จดุยอดอยู่ที� ( , )V h k

จดุโฟกสัอยู่ที� ( , )F h c k

เส้นไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x h c

แกนของพาราโบลาขนานกบัแกน x อยู่บนเส้นตรง y k

ความยาวของลาตสัเรกตมั เท่ากบั | 4 |c หน่วย

จะได้ สมการพาราโบลา คือ 2 4( )) (ck hy x


เมื�อแกนของพาราโบลาขนานกบัแกน y


จดุยอดอยู่ที� ( , )V h k

จดุโฟกสัอยู่ที� ( , )F h k c

เส้นไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง y k c

แกนของพาราโบลาขนานกบัแกน y อยู่บนเส้นตรง x h

ความยาวของลาตสัเรกตมั เท่ากบั | 4 |c หน่วย

จะได้ สมการพาราโบลา คือ 2 4( )) (ch kx y

ตัวอย่าง 14 จงหาสมการของพาราโบลา เมื�อกําหนดให้จุดยอดอยู่ที� ( 2,3) และจุดโฟกัสอยู่ที�

( 2,7)

วธีิทาํ จากโจทย์ จดุยอดอยู่ที� ( 2,3) ( , )h k ดงันั �น 2h และ 3k

จดุโฟกสัอยู่ที� ( 2,7) ( , )h k c จะได้วา่ 7k c แต ่ 3k ดงันั �น 4c

แกนพาราโบลาขนานกบัแกน y คือเส้นตรง 2x

เส้นไดเรกตริกซ์ คือเส้นตรง 3 4 1y k c

เนื�องจาก 4 0c ดงันั �นเป็นพาราโบลาหงายขึ �น


ลาตสัเรกตมัยาวเท่ากบั | 4(4) | 16 หน่วย

สมการจะอยู่ในรูป 2 4( )) (ch kx y

จะได้สมการ 2( ( 2)) 4(4)( 3)yx

จึงได้วา่ 2 4 4 16 48x x y

นั�นคือ 2 4 16 52 0x x y

ตัวอย่าง 15 จงอธิบายลกัษณะของกราฟ 2 6 20 109 0y xy

วธีิทาํ จากสมการ 2 6 20 109 0y xy จะได้วา่ 2 6 20 109y xy

ดงันั �น 2 2 26 3 20 109 3y xy

นั�นคือ 2( 3) 20 100y x

จึงได้วา่ 2( 3) 20 5 4(5) 5y x x

ดงันั �น จะได้ 5, 3h k และ 5c เป็นกราฟพาราโบลาเปิดทางขวา

จดุยอดอยู่ที� ( , ) (5,3)h k

แกนพาราโบลาขนานกบัแกน x คือเส้นตรง 3y k

จดุโฟกสัอยู่ที� ( , ) (5 5,3) (10,3)h c k

เส้นไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง 5 5 0x h c

ลาตสัเรกตมัยาวเท่ากบั | 4(5) | 20 หน่วย

ตัวอย่าง 16 จงอธิบายลกัษณะของกราฟ 2 4 20 56 0x x y


ตัวอย่าง 17 จงอธิบายลกัษณะของกราฟ 23 9 5 2 0xx y



วงรี (Ellipse)

วงรี คือ เซตของจดุทกุจดุบนระนาบซึ�งผลบวกของระยะทางจากจดุใดๆ ในเซตนี �ไปยงัจุดคงที�สอง

จดุบนระนาบมีคา่คงตวั และคา่คงตวันี �มากกวา่ระยะทางระหวา่งจดุคงที�สองจดุนั �น

รูปตอ่ไปนี �แสดงลกัษณะของวงรี

ซึ�งสว่นประกอบของวงรี คือ

1. จดุคงที�สองจดุ คือ จดุ F และ 'F เป็นโฟกสัของวงรี

2. จดุกึ�งกลางระหวา่งโฟกสัทั �งสอง คือ จดุ C เป็นจดุศนูย์กลางของวงรี

3. จดุที�เส้นตรงที�ลากผา่นโฟกสัทั �งสองตดักบัวงรี คือ จดุ A และ 'A เป็นจดุยอดของวงรี

4. สว่นของเส้นตรงที�เชื�อมจุดยอดทั �งสองของวงรี คือ 'AA เรียกว่า แกนเอก (major axis) ของ

วงรี

5. สว่นของเส้นตรงที�ตั �งฉากกบัแกนเอกที�จดุศนูย์กลาง และมีจดุปลายทั �งสองอยู่บนวงรี คือ 'BB

เรียกวา่ แกนโท (minor axis) ของวงรี

6. ส่วนของเส้นตรงที�ตั �งฉากกับแกนเอกที�จุดโฟกัส และมีจุดปลายทั �งสองอยู่บนวงรี เรียกว่า

ลาตสัเรกตมัของวงรี


พิจารณารูปวงรีตอ่ไปนี �


แกนเอกอยู่บนแกน x จดุศนูย์กลางอยู่ที�จดุ (0,0)

จุด ( ,0)A a และ '( ,0)A a เป็นจุดยอดของวงรี และเรียก 'AA ว่าแกนเอก ซึ�ง

'AA ยาว 2a หน่วย (เมื�อ 0a )

จดุ (0, )B b และ '(0, )B b เป็นจุดปลายแกนโทของวงรี เรียก 'BB ว่าแกนโท ซึ�ง

'BB ยาว 2b หน่วย (เมื�อ 0b )

จดุ ( ,0)F c และ '( ,0)F c เป็นโฟกสัของวงรี ซึ�ง 'FF ยาว 2cหน่วย (เมื�อ 0c )

ลาตสัเรกตมัยาวเท่ากบั 22b

a หน่วย

คา่ความเยื �องศนูย์กลาง (eccentricity) หรือ cea

สมการไดเรกตริกซ์ คือ ax

e หรือ

2ax

c

สมการวงรี คือ 2 2

2 21

x y

a b โดยที� 0a b และ 2 2 2b a c


ตอ่ไปพิจารณารูปวงรีตอ่ไปนี �


แกนเอกอยู่บนแกน y จดุศนูย์กลางอยู่ที�จดุ (0,0)

จุด (0, )A a และ '(0, )A a เป็นจุดยอดของวงรี และเรียก 'AA ว่าแกนเอก ซึ�ง

'AA ยาว 2a หน่วย (เมื�อ 0a )

จดุ ( ,0)B b และ '( ,0)B b เป็นจุดปลายแกนโทของวงรี เรียก 'BB ว่าแกนโท ซึ�ง

'BB ยาว 2b หน่วย (เมื�อ 0b )

จดุ (0, )F c และ '(0, )F c เป็นโฟกสัของวงรี ซึ�ง 'FF ยาว 2cหน่วย (เมื�อ 0c )


a หน่วย

คา่ความเยื �องศนูย์กลาง (eccentricity) หรือ cea

สมการไดเรกตริกซ์ คือ ax

e หรือ

2ax

c

สมการวงรี คือ 2 2

2 21

y x

a b โดยที� 0a b และ 2 2 2b a c

ตัวอย่าง 18 จงหาสมการวงรีที�มีโฟกัสอยู่ที�จุด (4,0) และ ( 4,0) และมีค่าเยื �องศนูย์กลาง เท่ากับ

8

13

วธีิทาํ จดุโฟกสัอยู่ที� (4,0) และ ( 4,0) แสดงวา่จดุศนูย์กลางอยู่ที� (0,0) แกนเอกอยู่บนแกน

x และ 4c และมีคา่เยื �องศนูย์กลาง เท่ากบั 813

นั�นคือ 8

13e


จาก cea

จึงได้วา่ 8 4

13 a เพราะฉะนั �น 13

2a

จาก 2 2 2b a c หรือ 2 2 2c ba จะได้วา่ 2

2 2134

2b

นั�นคือ 5

2

10b

เพราะฉะนั �นสมการจะอยู่ในรูป 2 2

2 21

x y

a b


1169 105

4 4

x y

ดงันั �นสมการวงรี คือ 2 24 4

1169 105

x y

ตัวอย่าง 19 จงอธิบายลกัษณะของกราฟ 2 2

116 9

x y

วธีิทาํ จากสมการ 2 2

116 9

x y

จะได้ 2 16a ดงันั �น 4a

และ 2 9b ดงันั �น 3b

เ นื� องจาก 2 2 2b a c ห รือ 2 2 2c ba เพราะฉะนั �น 2 16 9 7c นั�นคื อ

7c

แกนเอกอยู่บนแกน x

จดุศนูย์กลางอยู่ที� (0,0)

จดุยอดอยู่ที� (4,0) และ ( 4,0)

จดุโฟกสัอยู่ที� ( 7,0) และ ( 7,0)

จดุปลายแกนโทอยู่ที� (0,3) และ (0, 3)

ลาตสัเรกตมัยาวเท่ากบั 22 2(9) 9

4 2

b

a หน่วย


ตัวอย่าง 20 จงอธิบายลกัษณะของกราฟ 2 23 3x y

วธีิทาํ จากสมการ 2 23 3x y จะได้วา่ 2 2

11

3

yx

ดงันั �น 2 3 3a a

และ 2 1 1b b

เนื�องจาก 2 2 2c ba เพราะฉะนั �น 2 3 1 2 2cc

แกนเอกอยู่บนแกน y

จดุศนูย์กลางอยู่ที� (0,0)

จดุยอดอยู่ที� (0, 3) และ (0, )3

จดุโฟกสัอยู่ที� (0, 2) และ (0, )2

จดุปลายแกนโทอยู่ที� (1,0) และ ( 1,0)

ลาตสัเรกตมัยาวเท่ากบั 22

3

2b

a หน่วย

สมการวงรีที�มีจุดศูนย์กลางที� ( , )h k

สมการวงรีที�มีจุดศนูย์กลางที� ( , )h k แกนเอกขนานกับแกน x คือ 2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

โดยที�

0a b และ 2 2 2b a c

ดงัรูป



แกนเอกขนานกบัแกน x

จดุศนูย์กลางอยู่ที� ( , )h k

จุด ( , )F h c k และ '( , )F h c k เป็นจุดโฟกัสของวงรี ซึ�ง 'FF ยาว 2c หน่วย

( 0c )

จุด ( , )A h a k และ '( , )A h a k เป็นจุดยอดของวงรี และเรียก 'AA ว่าแกนเอก ซึ�ง

'AA ยาว 2a หน่วย ( 0a )

จดุ ( , )B h k b และ '( , )B h k b เป็นจดุปลายแกนโทของวงรี และเรียก 'BB ว่าแกน

โท ซึ�ง 'BB ยาว 2b หน่วย ( 0b )


a หน่วย

คา่ความเยื �องศนูย์กลาง เท่ากบั cea

สมการวงรีที�มีจุดศนูย์กลางที� ( , )h k แกนเอกขนานกับแกน y คือ 2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

b a

โดยที�

0a b และ 2 2 2b a c

ดงัรูป



แกนเอกขนานกบัแกน y

จดุศนูย์กลางอยู่ที� ( , )h k

จุด ( , )F h k c และ '( , )F h k c เป็นจุดโฟกัสของวงรี ซึ�ง 'FF ยาว 2c หน่วย

( 0c )

จุด ( , )A h k a และ '( , )A h k a เป็นจุดยอดของวงรี และเรียก 'AA ว่าแกนเอก ซึ�ง

'AA ยาว 2a หน่วย ( 0a )

จดุ ( , )B h b k และ '( , )B h b k เป็นจดุปลายแกนโทของวงรี และเรียก 'BB ว่าแกน

โท ซึ�ง 'BB ยาว 2b หน่วย ( 0b )


a หน่วย


ตัวอย่าง 21 จงหาสมการวงรี เมื�อกําหนดให้จุดโฟกัสอยู่ที�จุด (4, 2) และ ( 2, 2) และผลบวกค่าคง

ตวัเท่ากบั 8 หน่วย

วธีิทาํ จากจุดโฟกัสอยู่ที�จุด (4, 2) และ ( 2, 2) จะได้ว่าจุดกึ�งกลางระหว่างโฟกัสทั �งสอง คือ

(1, 2)

ดงันั �นจดุศนูย์กลางอยู่ที� (1, 2) นั�นคือ 1h และ 2k

และผลบวกคา่คงตวัเท่ากบั 8 หน่วย จึงได้วา่ 2 8 4a a

ระยะระหวา่งจดุ (1, 2) กบัจดุ (4, 2) เท่ากบั 3 หน่วย ดงันั �น 3c

เนื�องจาก 2 2 2b a c ดงันั �น 2 16 9 7 7b b

แกนเอกขนานกบัแกน x อยู่บนเส้นตรง 2y

เพราะฉะนั �นสมการจะอยู่ในรูป 2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b


22

( 1) ( 2)

71

4

x y


จึงได้วา่ 2 2( 1) ( 2)

116 7

x y

ดงันั �น 2 27( 1) 16( 2) 112x y

นั�นคือ 2 216 14 64 4 07 1x y x y

ตัวอย่าง 22 จงอธิบายลกัษณะของกราฟ 2 216 14 64 4 07 1x y x y

วธีิทาํ จากสมการ 2 216 14 64 4 07 1x y x y

จดัให้อยู่ในรูปกําลงัสองสมบรูณ์ จะได้วา่

2 214 16 4 417 6x x y y

2 27 2 16 4 41x x y y

2 2 2 2 2 27 2 1 16 4 2 41 7(1 ) 16(2 )x x y y

2 2

7 1 16 2 41 7 64 112yx

นํา 112 หารทั �งสองข้างของสมการ จะได้

2 2( 1) ( 2)

116 7

x y

จะได้ 1h และ 2k

2 16 4aa

2 7 7b b

เนื�องจาก 2 2 2 16 7 9 3bc ca

เพราะฉะนั �นแกนเอกขนานกบัแกน x อยู่บนเส้นตรง 2y

จดุศนูย์กลางอยู่ที� ( , ) (1,2)h k

จดุโฟกสัอยู่ที� ( , ) (1 3, 2) (4, 2)h c k และ ( , ) (1 3, 2) ( 2, 2)h c k


จดุยอดอยู่ที� ( , ) (1 4, 2) (5, 2)h a k และ ( , ) (1 4, 2) ( 3, 2)h a k

จดุปลายแกนโทอยู่ที� ( , ) ( , 7)1 2h k b และ ( , ) ( , 7)1 2h k b

ลาตสัเรกตมัยาวเท่ากบั 22 7

2

b

a หน่วย

คา่ความเยื �องศนูย์กลางเท่ากบั 3

4

cea

ตัวอย่าง 23 จงอธิบายลกัษณะของกราฟ 2 221 100 42 404 025 y x yx


ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)

ไฮเพอร์โบลา คือ เซตของจดุทกุจดุบนระนาบ ซึ�งผลตา่งของระยะห่างจากจุดใดๆ ในเซตนี �ไปยัง

จดุคงที�สองจดุบนระนาบมีคา่คงตวัซึ�งมากกวา่ศนูย์ แตน้่อยกวา่ระยะห่างระหวา่งจดุคงที�ทั �งสอง

ตอ่ไปนี �เป็นรูปแสดงลกัษณะของไฮเพอร์โบลา


1. จดุคงที�สองจดุ คือ F และ 'F เป็นจดุโฟกสัของไฮเพอร์โบลา

2. จดุกึ�งกลางระหวา่งจดุโฟกสัทั �งสอง คือจดุ C เป็นจดุศนูย์กลางของไฮเพอร์โบลา

3. จุดที� ไฮเพอร์โบลาตัดกับเส้นตรงที�ผ่านโฟกัสทั �งสอง คือ จุด A และ 'A เ ป็นจุดยอดของ

ไฮเพอร์โบลา


4. ส่วนของเส้นตรงที� เชื�อมจุดยอดทั �งสองของไฮเพอร์โบลา คือ 'AA เรียกว่า แกนตามขวาง

(Transverse axis) ของไฮเพอร์โบลา

5. ส่วนของเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางและตั �งฉากกับแกนขวาง คือ 'BB เรียกว่า แกนสังยุค

(Conjugate axis) ของไฮเพอร์โบลา

6. เส้นตรง 1L และ 2L เป็นเส้นกํากบั (asymptotes) ของไฮเพอร์โบลา

พิจารณารูปไฮเพอร์โบลาตอ่ไปนี �

จากรูป จะได้สมการของไฮเพอร์โบลาที�มีจุดศูนย์กลางที� (0,0)C แกนตามขวางอยู่บนแกน x คือ 2 2

2 21

x y

a b เมื�อ 2 2 2b c a

และ

จดุโฟกสัอยู่ที� ( ,0)F c และ '( ,0)F c

จดุยอดอยู่ที� ( ,0)A a และ '( ,0)A a ซึ�งความยาวแกนตามขวาง คือ ' 2AA a

จดุปลายแกนสงัยคุอยู่ที� (0, )B b และ '(0, )B b ซึ�งความยาวแกนสงัยคุ คือ ' 2BB b

สมการเส้นกํากบั คือ by x

a


a หน่วย



ตอ่ไปพิจารณารูปไฮเพอร์โบลา

จากรูป จะได้สมการของไฮเพอร์โบลาที�มีจุดศูนย์กลางที� (0,0)C แกนตามขวางอยู่บนแกน y คือ 2 2

2 21

y x

a b เมื�อ 2 2 2b c a

และ

จดุโฟกสัอยู่ที� (0, )F c และ '(0, )F c

จดุยอดอยู่ที� (0, )A a และ '(0, )A a ซึ�งความยาวแกนตามขวาง คือ ' 2AA a

จดุปลายแกนสงัยคุอยู่ที� ( ,0)B b และ '( ,0)B b ซึ�งความยาวแกนสงัยคุ คือ ' 2BB b

สมการเส้นกํากบั คือ ay x

b


a หน่วย


กราฟของไฮเพอร์โบลาเป็นเส้นโค้ง 2 เส้น แต่ละเส้น เรียกว่า รูปสี�เหลี�ยมมมุฉากที�ด้านลากผ่านจุด

( ,0), (0, )a b หรือ (0, ), ( ,0)a b เรียกวา่รูปสี� เหลี�ยมมุมฉากศูนย์กลาง (central rectangle)

วิธีการเขียนกราฟของไฮเพอร์โบลา

I. วาดรูปสี�เหลี�ยมมมุฉากศนูย์กลาง ที�มีจุดกําเนิดเป็นจุดศนูย์กลางมีแต่ละด้านขนานกับแกนพิกัด

และตดัแกนพิกดัที� a และ b

II. ลากเส้นกํากบัซึ�งเป็นเส้นตรงที�เกิดจากการตอ่เส้นทแยงมมุของรูปสี�เหลี�ยมศนูย์กลาง

III. ลงจดุยอด คือจดุที�ระยะตดัแกน x ทั �งสอง ( x a ) ของไฮเพอร์โบลา 2 2

2 21

x y

a b


หรือ จดุที�ระยะตดัแกน y ทั �งสอง ( y a ) ของไฮเพอร์โบลา 2 2

2 21

y x

a b

IV. เขียนกราฟของไฮเพอร์โบลา เริ�มต้นจากจุดยอดทีละจุด แล้วเขียนกราฟของแต่ละกิ�งของ

ไฮเพอร์โบลา โดยลากเส้นโค้งลูเ่ข้าหาเส้นกํากบัแตไ่มต่ดัเส้นกํากบั ดงันี �

ตัวอย่าง 24 จงหาสมการไฮเพอร์โบลา เมื�อกําหนดให้ผลตา่งของระยะจากจดุใดๆ บนไฮเพอร์โบลาไป

ยงัยงัจดุโฟกสั (5,0) และ ( 5,0) เท่ากบั 8 หน่วย

วธีิทาํ จดุ (5,0) และ ( 5,0) เป็นจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา จะได้จุดศนูย์กลางอยู่ที� (0,0)

และ 5c แกนตามขวางอยู่บนแกน x และจากผลตา่งเท่ากบั 8 หน่วย จะได้วา่ 2 8 4a a

จาก 2 2 2b c a จะได้ 2 25 16 9 3b b

ดงันั �นสมการจะอยู่ในรูป 2 2

2 21

x y

a b


2 21

4 3

x y หรือ

2 2

116 9

x y หรือ 2 216 1449 yx

ตัวอย่าง 25 จงอธิบายลกัษณะของกราฟ 2 2 16 9 441 xy

วธีิทาํ จากสมการ 2 2 16 9 441 xy

นํา 144 หารตลอดสมการ จะได้วา่ 2 2

19 16

y x

เป็นสมการไฮเพอร์โบลาที�มีแกนตามขวางอยู่บนแกน y


จาก 2 2

19 16

y x จะได้ 2 9 3a a

และ 2 16 4b b

เนื�องจาก 2 2 2b c a หรือ 2 2 2c ba ดงันั �น 2 9 1 5 56 2c c

จดุศนูย์กลางอยู่ที� (0,0) จดุยอดอยู่ที� (0,3) และ (0, 3)

จดุโฟกสัอยู่ที� (0,5) และ (0, 5)

จดุปลายแกนสงัยคุ คือ (4,0) และ ( 4,0)

สมการเส้นกํากบั คือ 3

4y x

ลาตสัเรกตมั ยาวเท่ากบั 22(4) 32

3 3

และคา่ความเยื �องศนูย์กลาง 5

3e

สมการของไฮเพอร์โบลาที�มีจุดศูนย์กลางที� ( , )h k

สมการของไฮเพอร์โบลาที�มีจุดศูนย์กลางที� ( , )h k แกนตามขวางขนานกับแกน x คือ 2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

เมื�อ 2 2 2b c a และ 0 a c

ดงัรูป



จดุโฟกสัอยู่ที�จดุ ( , )F h c k และ '( , )F h c k

จดุยอดอยู่ที�จดุ ( , )A h a k และ '( , )A h a k

จดุปลายแกนสงัยคุอยู่ที�จดุ ( , )B h k b และ '( , )B h k b

สมการเส้นกํากบั คือ ( )b

y k x ha


a หน่วย

คา่ความเยื �องศนูย์กลาง cea

สมการของไฮเพอร์โบลาที�มีจุดศูนย์กลางที� ( , )h k แกนตามขวางขนานกับแกน y คือ 2 2

2 2

( ) ( )1

y k x h

a b

เมื�อ 2 2 2b c a และ 0 a c

ดงัรูป


จดุโฟกสัอยู่ที�จดุ ( , )F h k c และ '( , )F h k c

จดุยอดอยู่ที�จดุ ( , )A h k a และ '( , )A h k a

จดุปลายแกนสงัยคุอยู่ที�จดุ ( , )B h b k และ '( , )B h b k


สมการเส้นกํากบั คือ ( )a

y k x hb


a หน่วย

คา่ความเยื �องศนูย์กลาง cea

ตัวอย่าง 26 จงอธิบายลกัษณะของกราฟ 2 216 32 36 169 4 0y y xx

วธีิทาํ จากสมการ 2 216 32 36 169 4 0y y xx

จดัรูปเป็นกําลงัสองสมบรูณ์ จะได้

2 216 32 36 19 64xy y x

2 216 2 4 169 4xy y x

2 2 2 2 2 216 2 1 4 2 16 ( 9)(29 ( )4 16 1)y y xx


16 1 29 144xy

นํา 144 หารตลอดสมการ จะได้วา่

2 2( 1) ( 2)

19 16

y x

จะได้ 2h และ 1k

2 9 3a a

2 16 4b b

เนื�องจาก 2 2 2b c a จะได้ 2 9 1 5 56 2c c

แกนตามขวางขนานกบัแกน y อยู่บนเส้นตรง 2x

จดุศนูย์กลางอยู่ที�จดุ ( , ) ( 2, 1)h k

จดุโฟกสัอยู่ที�จดุ ( , ) ( 2, 1 5) ( 2, 4)h k c


และ ( , ) ( 2, 1 5) ( 2, 6)h k c

จดุยอดอยู่ที�จดุ ( , ) ( 2, 1 3) ( 2, 2)h k a

และ ( , ) ( 2, 1 3) ( 2, 4)h k a

จดุปลายแกนสงัยคุอยู่ที�จดุ ( , ) ( 2 4, 1) (2, 1)h b k

และ ( , ) ( 2 4, 1) ( 6, 1)h b k

สมการเส้นกํากบั คือ 3( ) 1 ( 2)

4

ay k x h y x

b

ลาตสัเรกตมัยาวเท่ากบั 22 2(16) 32

3 3

b

a หน่วย

คา่ความเยื �องศนูย์กลาง 5

3e

ตัวอย่าง 27 จงอธิบายลกัษณะของกราฟ 2 24 2 16 13 0x y x y


ตัวอย่าง 28 จงอธิบายลกัษณะของกราฟ 2 29 40 554 54 0x y x y


การหมุนแกน (Rotation of axis)

Documents

ภาคตัดกรวย - mathstat.sci.tu.ac.thmathstat.sci.tu.ac.th/~charinthip/main menu/TU154/Chapter6/Conic 28-9-2555.pdf · พาราโบลา ระนาบทีตัดกรวย