A História e Biografia de EuclidesBy Diamond– 29 de Dezembro de 2010Posted in: Biografias, Matemáticos

O matemático grego Euclides (?325 a.C. – 270 a.C.) morava na cidade de Alexandria, no Egito e foi nesta grande cidade cultural que ele escreveu seu famoso livro sobre geometria. O livro didático Os Elementos tem sido usado continuamente por mais de dois mil anos. Júlio César, Isaac Newton, George Washington e Albert Einstein aprenderam geometria no livro de Euclides. Milhões de colegiais estudaram geometria plana elementar com base na primeira parte de sua apresentação.

Ele deu à ciência o entendimento de que não basta coletar fatos. Deve-se dar uma ordem lógica a eles, resumi-los e sistematizá-los de forma a construir princípios gerais. Euclides planejou cuidadosamente a organização de seu livro. Primeiro, juntou tudo o que se sabia sobre o assunto e revelou uma série de definições e verdades básicas, ou “axiomas”. Então, organizou o resto do livro de forma a prosseguir logicamente e forneceu as provas que faltavam. Euclides desenvolveu suas conclusões geométricas a partir de provas matemáticas fundamentadas nos axiomas básicos e “postulados”, ou suposições, que arrolara no início.

A quinta suposição de Euclides é o postulado das paralelas: a partir de um ponto fora de uma linha, apenas uma outra linha pode ser traçada paralelamente à que já existia. Do postulado paralelo vem a conclusão de que a soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo deve ser 180º. O grande matemático Karl Gauss testou esta observação séculos depois. Gauss usou telescópios potentes e equipamentos de precisão para medir os ângulos de triângulos cujos lados tinham quilômetros de comprimento. Considerando a margem de erro experimental, os ângulos de cada triângulo somaram 180º, como previa a geometria de Euclides.

Euclides, detalhe da Escola de Atenas, afresco de Rafael, 1509. Museus do Vaticano, Roma.

Ainda assim, o postulado das paralelas é meramente uma suposição. Alguns matemáticos, inclusive Gauss, o substituíram por suposições alternativas para ver o que acontecia. Os astrônomos acreditam que algumas dessas “geometrias não-euclidianas” possam ter aplicação no mundo real. Por exemplo, a matemática que rege as estrelas de nêutrons e os buracos negros talvez seja não-euclidiana.

Os Elementos é um estudo abrangente de geometria plana, proporção, propriedades dos números e geometria sólida. No livro, a realização mais conhecida de Euclides é a prova de que a quantidade de números primos é infinita.

A citação mais famosa de Euclides é uma afirmação que ele fez a Ptolomeu I, rei do Egito e da Líbia. Aparentemente, Ptolomeu estudava geometria com Euclides e achava as provas exatas um assunto complicado. Por isso, pediu que Euclides apresentasse a matéria de forma simplificada. Ele respondeu imediatamente: “Não existem estradas reais para se chegar à geometria.”

Quanto à vida pessoal de Euclides, não se conhece praticamente nada. Ele provavelmente estudou em Atenas antes de viajar para Alexandria. Escreveu Os Elementos em grego, e o livro chegou aos cientistas da Renascença em latim por meio de uma tradução do árabe.

Portugal

Euclides era um matemático grego, viveu em Alexandria na primeira metade do séc. III a.C. Acredita-se que ele era mais novo que os primeiros discípulos de Platão e mais velho que os de Arquimedes. É muito provável que Euclides tenha recebido ensinamentos matemáticos dos primeiros discípulos de Platão.

Embora não se tenha informações biográficas de Euclides, sabe-se que ele fundou uma escola em Alexandria, no reinado de Ptolomeu I (306 - 283 a.C. ). Conta Prado de Bizâncio (412 - 485 d.C. ) que Ptolomeu perguntava a Euclides se não havia um caminho mais rápido de se aprender geometria e Euclides respondera: “Não há estrada real para geometria.”

A grande obra de Euclides , os Elementos, era subdividida em 13 livros. Na época de Arquimedes ele era freqüentemente adotado como livro básico. Entre gregos e romanos, durante toda a Idade Média e até o Renascimento, os Elementos foram considerados o livro por excelência para o estudo da geometria.

No séc. XIX, Lobatchevski, Bolyai e Riemam, abandonaram o quinto postulado de Euclides, provando que ele era independente dos outros, e criaram as geometrias não-euclidianas.

Euclides não apenas demonstrava de maneira lógica os teoremas geométricos formulados, procurava defini-los com mais clareza. Algumas definições que aparecem no seu primeiro livro, Elementos, são as seguintes:

• Um ponto é aquilo que não tem partes.

• Um ângulo plano é a inclinação, em relação uma com a outra, de duas retas do plano que se cruzam entre si e não estão na mesmo reta.

• Quando uma reta é colocada sobre outra reta, de maneira que os ângulos adjacentes sejam iguais, cada um dos ângulos é chamado reto e a reta superposta diz-se perpendicular à primeira.

Dos 13 livros que subdividiam os Elementos, os seis primeiros tratam da geometria plana, os quatro seguintes da teoria dos números e os três últimos da geometria do espaço.

No 1º livro, Euclides estuda o triângulo e desenvolve importantes considerações sobre o teorema de Pitágoras.

O 2º livro, trata da relações entre áreas dos quadrados e dos retângulos.

Os 3º e 4º livros contém as principais propriedades dos círculos.

Nos livros 5º e 6º, Euclides apresenta a teoria das proporções e aplica-a à geometria plana. Nos livros 7º, 8º e 9º, examina os números primos e estuda os processos de fatoração.

O décimo livro, considerado o mais perfeito, contém os números irracionais.

Os três últimos, dedicados à geometria no espaço, exemplo: cubos, pirâmides, paralelepípedos, etc.

Outras obras de Euclides foram:

Os dados

Da divisão

Os fenômenos

Ótica e Catóptrica - estudam as propriedades geométricas que derivam da proporção retilínea da luz e da sua reflexão em espelhos planos e curvos.

Introdução harmônica

CônicasUma edição completa das obras de Euclides foi publicada em Leipzig, com o título Opera omnia, em oito volumes, com texto grego e latim em (1883-1916)

Bommmmm

IntroduçãoNo âmbito da disciplina de matemática iremos realizar um trabalho que se focará

na vida e obra de Euclides, um dos maiores matemáticos do seu tempo.

De início iremos fazer uma abordagem à informação a cerca da sua vida, numa

sucinta biografia. Para além disso iremos enumerar também as áreas em que

Euclides se destacou para além da matemática.

Na matemática desenvolveremos principalmente os conteúdos das obras em que

Euclides se destacou especialmente, nos Treze Livros, e em geral na sua obra

d’Os Elementos onde desenvolve grandes avanços numa importante temática

escolar que ainda hoje estudamos, sem alterações, a geometria Euclidiana.

BiografiaNo ano de 325 a.C. nasce na Síria um professor, escritor grego e célebre

matemático, Euclides de Alexandria. Foi educado em Atenas e frequentou a

Academia de Platão. Anos mais tarde, a convite do rei Ptolomeu I, fez parte do

quadro de professores da recém fundada Academia, o Museu, em Alexandria, no

Egipto. Passando aí grande parte da sua vida alcançou grande prestígio pela

forma extraordinária como ensinava Geometria e Álgebra, conseguindo deste

modo aliciar um grande número de discípulos para as suas lições públicas. 

Muitas das suas obras foram perdidas, mas a mais importante, a monumental

publicação Stoichia (Os Elementos, 300 a.C.) resistiu passando assim até os dias

de hoje. Compõe-se de um conjunto de 13 livros (ou capítulos), em que Euclides

faz uma exposição rigorosa e ordenada dos assuntos básicos da matemática

elementar, incluindo aritmética, geometria e álgebra.

A d’Os Elementos é considerada a mais antiga da história da matemática e uma

das mais importantes. A sua contribuição foi tão grande que a maior parte das

proposições nela contida é tratada na escola actual, principalmente no campo da

geometria, conhecida, hoje, como Geometria Euclidiana, em homenagem ao seu

criador.

Muitas pessoas interpelam-se de como pôde ser possível sem geometria

construir-se as inigualáveis Pirâmides do Egipto, pois bem, anteriormente sabe-

se que os babilónios, povo que habitava a

Mesopotâmia, desenvolveram um

considerável conhecimento geométrico

desde 2000 a.C. Também no Egipto,

aproximadamente 1300 a.C., a geometria

era desenvolvida, os agricultores usavam-

na para medir terrenos, construtores

recorriam dela para as suas edificações. As

grandes pirâmides próximas ao Rio Nilo

demonstraram que os egípcios conheciam e

sabiam usar muito bem a geometria.

Por volta de 600 a.C., filósofos e

matemáticos gregos, entre os quais

podemos incluir Tales de Mileto e Pitágoras,

passaram a sistematizar os conhecimentos

geométricos da época. É de unânime senso

que a geometria, antes dos gregos, era puramente experimental, sem que

houvesse qualquer cuidado com os princípios matemáticos que regiam os

conhecimentos geométricos. Foram então, os gregos os primeiros a introduzir o

raciocínio dedutivo.

Porém foi com o matemático grego Euclides que a geometria realmente se

desenvolveu, fazendo da cidade egípcia de Alexandria, onde vivia, o centro

mundial da geometria por volta de 300 a.C. Sistematizando os conhecimentos

que outros povos haviam adquirido de forma desordenada através do tempo,

Euclides deu ordem a lógica a esses conhecimentos, estudando com rigor e

precisão as propriedades das figuras geométricas, as áreas e os seus volumes.

O nome de Euclides ficou na história da ciência para sempre associado à

primeira concepção da Geometria como um conjunto sistematizado e lógico de

propriedades. Muitas dessas propriedades eram já utilizadas anteriormente, de

forma dispersa e com objectivos, tanto utilitário como de mero prazer intelectual

ou artístico, por outras civilizações, mas Euclides organizou-as de forma lógica e

demonstrou-as tomando como ponto de

partida um conjunto reduzido de proposições

que toma como verdadeiras sem

necessitarem de demonstração e a que se

chama axiomas ou postulados.

Conta-se que, um dia, o rei lhe perguntou se

não existia um método mais simples para

aprender geometria, ao que Euclides

respondeu: "Não existem estradas reais para

se chegar à geometria", celebrizando-se

assim esta frase.

Certo dia, um discípulo perguntou-lhe qual

era o lucro que lhe poderia advir do estudo

da geometria. Euclides, para quem a

geometria era sagrada, chamou um escravo,

deu-lhe algumas moedas e ordenou que as entregasse ao aluno: "Já que deve

obter um lucro de tudo o que aprende".

Em 265 a.C. publica uma obra intitulada por Óptica, retratando temáticas

relacionadas com astrologia, astronomia, mecânica e música. Neste mesmo ano

morre deixando as suas vastas obras.

ObraCom grande capacidade e habilidade de exposição que tinha, Euclides, é

caracterizado como um bondoso velho. No entanto, existe a certeza de que,

devido a ele, os conceitos de geometria adquiriram forma científica na Grécia.

Embora a sua origem se encontre no antigo Egipto, local onde se sentiu a

necessidade de se efectuarem medições da terra devido às inundações

periódicas do Nilo.

Euclides escreveu inúmeros livros e tratados, abordando temáticas como óptica,

astronomia, mecânica e até música. O seu trabalho é tão vasto que alguns

historiadores não acreditavam que fosse obra de um só homem.

Apesar de se terem perdido mais de metade dos seus livros, ainda sobreviveram,

para felicidade dos séculos vindouros, as seguintes obras:

Os Elementos – a sua obra mais importante, constituída por 13 volumes, que

contemplam toda a aritmética, álgebra e geometria da sua altura. É considerado

um dos maiores bestsellers de sempre,

marcando grandemente a história da

Matemática. (Mais adiante descrevemos mais

aprofundadamente esta sua magnifica obra).

Os Dados – uma espécie de manual de

tabelas, de uso interno na Academia e que é

um complemento dos seis primeiros volumes

d’Os Elementos, que serve como guia para a

resolução de problemas, com relação entre

medidas lineares e angulares num círculo

dado.

A Divisão – contém, muito provavelmente, 36

proposições referentes à divisão geométrica

de figuras planas.

Os Fenómenos - julga-se que Euclides

recorreria à Geometria esférica para aplicação

à astronomia, nos fenómenos celestes,

sobreviveu assim esta compilação, parcialmente, e hoje é, depois d’A Esfera de

Autólico, o mais antigo conjunto de tratados científicos gregos existentes.

Óptica - estudo de perspectiva, sobre a visão, onde desenvolve uma teoria

contrária à de Aristóteles, segundo a qual o olho envia os raios que vão até ao

objecto que vemos, e não o inverso.

Data – compreende aplicações da álgebra à geometria, sendo sempre

apresentadas numa linguagem estritamente geométrica.

É de referir também que Euclides, cerca de 300 a.C., fundou a sua própria escola

de matemática. E foi através desta que as suas obras tomaram forma. Pela

importância das suas obras e pelo modo como foram apresentadas, estas

constituíram a base de todo o pensamento matemático, pelo que, Euclides é

considerado o criador da geometria Euclidiana.

Entre as muitas obras que, lamentavelmente se perderam. Damos maior

destaque ao livro Porismos que poderia conter aproximações à geometria

analítica.

Embora alguns conceitos já fossem conhecidos anteriormente à sua época, o que

dificulta uma análise completa da sua originalidade, considera-se o seu trabalho

genial: recolhendo tudo o que até então se conhecia, sistematizando os dados da

intuição e substituindo imagens concretas por noções abstractas. Cria assim, a

possibilidade de raciocinar sem qualquer apoio intuitivo.

Os ElementosOs Elementos de Euclides formam um dos mais bonitos e influentes trabalhos da

ciência na história da Humanidade. A sua beleza assenta no desenvolvimento

lógico da geometria e de outros ramos da Matemática.

São, a seguir à Bíblia, um dos livros mais reproduzidos e estudados na história do

Mundo Ocidental. Foi praticamente o único livro de texto usado no ensino da

Matemática durante mais de dois milénios. Os treze volumes que constituem a

sua obra, foram ao longo dos tempos estudados e admirados por muitos filósofos

e matemáticos de todos os países e de todos os tempos, devido à simplicidade

do estilo geométrico e à concisão e clareza da forma.

Na Idade Média, foi traduzido em latim e árabe, e após a descoberta da

imprensa, fizeram-se numerosas edições na maioria das línguas europeias. A

primeira foi de Campano, em latim, publicada após a sua morte, em 1482, e que

foi muitas vezes citada por Pedro Nunes. Em Portugal, Angelo Brunelli em 1768,

publicou uma tradução em português dos seis primeiros livros, do décimo

primeiro e segundo livros.

Torna-se, assim, uma obra modelo para todas as ciências físicas, destacando-se

pelas demonstrações rigorosas e pela forma em que estão expostas as bases da

geometria.

Euclides apresenta-nos assim a geometria como um todo, como um sistema

lógico, e não como um mero agrupamento de informações desconexas: as

definições, os axiomas, os postulados, as demonstrações e as proposições

surgem organizadas por uma ordem perfeita. (Cada proposição resulta das

definições, dos axiomas, dos postulados ou das proposições anteriores, de

acordo com uma demonstração).

Proposição

a) Teoremas: declaração acerca de propriedades relacionadas com um

determinado objecta que não provam existência de nada.

b) Problemas: directivas para a construção de um objecto que provam a

existência de algo.

Axiomas (noções comuns) - verdades matemáticas que não necessitam de

demonstração para serem aceites.

Postulados - É uma proposição cuja verdade, ainda que não tenha a evidência

de um axioma, se admite sem uma demonstração.

A este método estrutural chamamos Axiomático. Assim, Euclides com Os

Elementos, constitui o primeiro e mais nobre exemplo de um sistema lógico e

ideal. Há que ter em conta, contudo, os meios que dispunha na época e, como

tal, compreender prováveis deficiências principalmente nas demonstrações.

Os Treze livros

Livros I – IV

Os livros I-IV tratam da geometria plana

elementar. Partindo das mais elementares

propriedades de rectas e ângulos que

conduzem à congruência de triângulos, à

igualdade de áreas, ao Teorema de Pitágoras

(livro I, proposição 47) e ao seu recíproco (livro

I, proposição 48), à construção de um quadrado

de área igual à de um rectângulo dado, à

secção de ouro, ao círculo e aos polígonos

regulares. Sendo o Teorema de Pitágoras e a

secção de ouro introduzidos como propriedades

de áreas.

Como a maioria dos treze livros, o livro I

começa com uma lista de Definições (23, ao

todo) sem qualquer comentário como, por

exemplo, as de ponto, recta, círculo, triângulo,

ângulo, paralelismo e perpendicularidade de

rectas tais como:

. Ponto é o, que não tem partes, ou o, que não tem grandeza alguma.

. Linha é o, que tem comprimento sem largura.

. As extremidades da linha são pontos.

. Linha recta é aquela, que está posta igualmente entre as suas extremidades.

. Superfície é o, que tem comprimento e largura.

. As extremidades da superfície são linhas.

. Superfície plana é aquela, sobre a qual assenta toda uma linha recta entre

dois pontos quaisquer, que estiverem na mesma superfície.

. Ângulo plano é a inclinação recíproca de duas linhas, que se tocam em uma

superfície plana, sem estarem em direitura uma com a outra.

. Ângulo plano rectilíneo é a inclinação recíproca de duas linhas rectas, que se

encontram, e não estão em direitura uma com outra.

A seguir às definições, aparecem os Postulados e as Noções Comuns ou Axiomas,

por esta ordem. "Postular" significa "pedir para aceitar". Assim, Euclides pede ao

leitor para aceitar as cinco proposições geométricas que formula nos Postulados:

. Dados dois pontos, há um segmento de recta que os une;

. Um segmento de recta pode ser prolongado indefinidamente para construir

uma recta;

. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um

círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada;

. Todos os ângulos rectos são iguais;

Aqui, no livro I encontramos também o 5º postulado.

. Se uma linha recta cortar duas outras rectas de modo que a soma dos dois

ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois rectos, então

essas duas rectas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do

mesmo lado em que estão esses dois ângulos;

O 5º postulado, é mais famoso dos postulados de Euclides e aquele que tem

dado mais dores de cabeça aos matemáticos. Equivalente ao «axioma das

paralelas», de acordo com o qual, por um ponto exterior a uma recta, apenas

passa uma outra recta paralela à dada, desde cedo que este postulado foi

objecto de polémica por não possuir o mesmo grau de "evidência" que os

restantes.  

Assim, Próclo, criticou este postulado nos seguintes termos:

"Este postulado deve ser riscado da lista, pois é uma proposição com muitas

dificuldades que Ptolomeu, em certo livro, se propôs resolver... A asserção de

que duas linhas rectas, por convergirem mais e mais à medida que forem sendo

prolongadas, acabam por se encontrar, é plausível mas não necessária. (...) É

claro, portanto, que devemos procurar uma demonstração do presente teorema,

e que este é estranho ao carácter especial dos postulados."

O próprio Euclides e muitos dos seus sucessores tentaram demonstrar que esta

proposição era verdadeira, aplicando outros axiomas da geometria. Mas todas as

demonstrativas foram sempre em vão. Esta impossibilidade foi durante séculos o

escândalo da geometria e o desespero dos geómetras.

Livros V - IX

O livro V apresenta a teoria das proporções de Eudoxo na sua forma geométrica.

O livro VI usa a teoria das proporções na semelhança de figuras planas.

Regressamos ao teorema de Pitágoras e à secção de ouro - O numero de ouro é

irracional e aparece em diversos elementos da natureza em forma de razão, e é

representado por Φ.

Antes da elaboração da fórmula apresentada na ilustração 5, o número de ouro

foi descoberto num rectângulo em que a

razão entre o lado maior e o menor era

aproximadamente 1,618 – o valor aproximado

do número de ouro. Com teoremas relativos a

razões de grandezas. Entre os teoremas

desenvolvido neste livro e de destacar o

interesse pelo teorema da proposição 27 que tem o maior problema de

maximização que chegou até nós, a prova de que o quadrado é a figura

rectângula que relativamente a um dado perímetro tem maior área.

Os livros VII-IX desenvolvem conceitos sobre a teoria dos números, tais como a

divisibilidade dos inteiros, a adição de séries geométricas e algumas

propriedades dos números primos. Nesses volumes pode-se encontrar também o

“algoritmo de Euclides” - usado para determinar o máximo divisor comum entre

dois números –, o “Teorema de Euclides” que refere que existe uma infinidade

de números primos, bem como a prova da irracionalidade do da raiz quadrada

de 2.

Livros X – XIII

O livro X, classificação dos incomensuráveis, é o mais maior de todos os livros de

Euclides e considerado o mais difícil. Este livro trata

os números irracionais e contém a classificação

geométrica de irracionais quadráticos e as suas raízes

quadráticas.  

Os livros XI, XII e XIII tratam da geometria sólida,

falam sobre os ângulos dos sólidos, dos volumes dos

paralelepípedos, da pirâmide, e da esfera.

Um dos mais importantes temas destes livros é a

discussão dos cinco poliedros regulares, os sólidos

platónicos, e a prova de que existem apenas estes

cinco poliedros regulares. Os sólidos platónicos são

sólidos convexos cujas arestas formam polígonos planos regulares. A sua

designação deve-se a Platão, que os descobriu em cerca de 400 a.C. A existência

destes sólidos já era conhecida pelos pitagóricos, e egípcios que utilizaram

alguns destes sólidos na arquitectura e noutras construções. Sendo estes os

seguintes:

O cubo:

 

O tetraedro:

 

O octaedro:

 

O dodecaedro:

 

O icosaedro:

 

Ilustrações 7 – 11 - Sólidos Platónicos inhttp://3.bp.blogspot.com/_VqtsDeIVJXM/SKIWY86DVGI/AAAAAAAAABE/HiLgwNc2I_g/s320/ s_platon.gif

ConclusãoAo longo deste trabalho explorámos a biografia da vida de Euclides como

matemático e abordámos a sua obra. Dentro da obra focámo-nos principalmente

n’Os Elementos, obra constituída por treze livros que contêm excelentes avanços

no campo da geometria. A sua obra é admirada por muitos pensadores de todas

as épocas devido à simplicidade do estilo geométrico e à concisão e clareza da

forma. Ao referirmos os assuntos tratados em cada livro compreendemos melhor

o que Euclides fez pela geometria e a importância da Geometria Euclidiana nos

nossos dias, pois os seus principais, teoremas, postulados, proposições e

axiomas ainda hoje são valorizados e utilizados, até mesmo como bases em

outras ciências.

Assim, Euclides criou uma compilação de proposições, axiomas, postulados e

demonstrações numa sequência perfeita pela sua coerência e qualidade

argumentativa (estrutura axiomática). Percebe-se então o valor deste trabalho

que serviu como modelo para muitas outras ciências.

O trabalho de Euclides é notável. É, como tal, um exemplo do "Puro Homem da

Ciência", que se dedica à especulação pelo gosto do saber, independentemente

das suas aplicações materiais.

BibliografiaSites:

Conteúdo teórico

. http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm35/frames.htm

. http://vestibular.uol.com.br/ultnot/resumos/ult2774u17.jhtm

.  http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euclides/elementoseuclides.htm

. http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_euclidiana

Matemático grego (séculos IV a.C.-III a.C.). É o mais famoso matemático da Antiguidade. Não se conhecem o local e as datas de seu nascimento e sua morte, e quase nada se sabe sobre sua vida. É possível que tenha recebido ensinamentos dos primeiros discípulos de Platão. A única certeza é que funda em Alexandria, durante o reinado de Ptolomeu I (323 a.C.-285 a.C.), a primeira escola de Matemática. Sua principal obra, Elementos, de 13 volumes, é considerada essencial para o estudo da Geometria. Euclides faz uma compilação dos principais estudos de matemáticos que o antecederam, entre eles Hipócrates e Eudoxus. Estabelece novos teoremas e sistematiza os já existentes sobre Geometria plana, espacial e sobre números. Também formula os axiomas e postulados que estabelecem os princípios básicos da Geometria. Seus estudos dão origem à Geometria euclidiana, que prevalece até o século

XIX, quando surgem as primeiras teorias que se opõem às suas. Escreve ainda, entre outras obras, Dados, com 94 proposições de Geometria elementar, e Fenômenos, que trata da Geometria aplicada à Astronomia.