Tema 3 Àlgebra de Boole

3

ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS

1

ÀLGEBRA DE BOOLE3.1 Definició d’Àlgebra de Boole

3.2 Funcions lògiques i taules de veritat

3.3 Formes Standard i canòniques

3.4 Suficiència NOT-AND-OR, NAND i NOR

3.5 Simplificació de funcions per Karnough

Dr. Joaquim Salvi, Dr. Arnau OliverEscola Politècnica Superior

Universitat de Girona

2

ÀLGEBRA DE BOOLE


3.1 Definició d’Àlgebra de Boole

Una mica d’història:

L’àlgebra de Boole és un conjunt de postulats i teoremes que permeten manipular funcions lògiques de forma sistemàtica.

Les funcions lògiques són funcions que només prenen dos valors: CERT/FALS que simbolitzem per 1/0 o Vcc/GND

Fou proposada per George Boole el 1854 en el seu “tractament sistemàtic de la lògica”

El 1904 Huntington en va extreure una sèrie de postulats que permeten donar una definició formal de l’àlgebra de Boole

3

ÀLGEBRA DE BOOLE


Definició d’Àlgebra de Boole

Definició d’Àlgebra de Boole: Un conjunt 𝐵 = 0,1 amb les operacions binàries + i · contingudes en 𝐵 𝑐 = 𝑎 + 𝑏; 𝑑 = 𝑎 ·𝑏; ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐵 és una àlgebra de Boole sí i només sí compleix els postulats de Huntington.

Els postulats són tautologies i formen part de la definició de l’àlgebra.

+ ·

00 0 0

01 1 0

10 1 0

11 1 1

4

ÀLGEBRA DE BOOLE


Postulats de Huntington:

P1: Les operacions + i · són commutatives:∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑎 · 𝑏 = 𝑏 · 𝑎

P2: Existeix un element neutre per + i · i aquest ∈ 𝐵:

∃ 𝑒+ ∈ 𝐵 ∶ ∀𝑎 ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑒+ = 𝑎 𝑒+=0

∃ 𝑒· ∈ 𝐵 ∶ ∀𝑎 ∈ 𝐵 𝑎 · 𝑒· = 𝑎 𝑒·=1

P3: Cada operació es distributiva respecte l’altra:

∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐵 𝑎 · 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐

∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑏 · 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 · (𝑎 + 𝑐)

P4: ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 existeix l’element complementari 𝑎′ per + i · i aquest ∈ 𝐵: ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑎′ ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑎′ = 𝑒·

∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑎′ ∈ 𝐵 𝑎 · 𝑎′ = 𝑒+

5

ÀLGEBRA DE BOOLE


Teoremes

A partir d’aquests postulats es defineixen una sèrie de teoremes. Aquests teoremes han de ser demostrats a partir dels postulats o de teoremes anteriors per a confirmar la seva validesa.

T1 – Principi de Dualitat. Qualsevol funció deduïda a partir de postulats i teoremes continua essent valida si intercanviem les operacions +↔·, 0 ↔ 1, i totes les variables 𝑎 ↔ 𝑎′

𝑎 + 𝑎′ = 1 → 𝑎′ · 𝑎 = 0

L’operació · normalment s’obvia per a simplificar les funcions:

𝑎′ · 𝑎 = 𝑎′𝑎

6

ÀLGEBRA DE BOOLE


Teoremes

T2 – Idempotència: 𝑎 + 𝑎 = 𝑎 → 𝑎𝑎 = 𝑎

Dem:𝑎𝑃2𝑎 + 0

𝑃4𝑎 + 𝑎𝑎′

𝑃3𝑎 + 𝑎 𝑎 + 𝑎′

𝑃4𝑎 + 𝑎 1

𝑃2𝑎 + 𝑎

𝑎𝑃2𝑎1𝑃4𝑎 𝑎 + 𝑎′

𝑃3𝑎𝑎 + 𝑎𝑎′

𝑃4𝑎𝑎 + 0

𝑃2𝑎𝑎

T3 – 𝑎 + 1 = 1 → 𝑎 · 0 = 0

Dem:1𝑃4𝑎 + 𝑎′

𝑃2𝑎 + 𝑎′1

𝑃3𝑎 + 𝑎′ 𝑎 + 1

𝑃41 𝑎 + 1

𝑃2,1𝑎 + 1

0𝑃4𝑎𝑎′𝑃2

𝑎 𝑎′ + 0𝑃3𝑎𝑎′ + 𝑎0

𝑃40 + 𝑎0

𝑃2,1𝑎0

7

ÀLGEBRA DE BOOLE


Teoremes

T4 – Absorció: 𝑎 + 𝑎𝑏 = 𝑎 → 𝑎 · (𝑎 + 𝑏) = 𝑎

Dem:𝑎𝑃1,21𝑎𝑃1,𝑇31 + 𝑏 𝑎

𝑃1,31𝑎 + 𝑏𝑎

𝑃1,2𝑎 + 𝑏𝑎

𝑃1𝑎 + 𝑎𝑏

𝑎𝑃1,20 + 𝑎

𝑃1,𝑇30𝑏 + 𝑎

𝑃1,30 + 𝑎 𝑏 + 𝑎

𝑃1,2𝑎 𝑏 + 𝑎

𝑃1𝑎(𝑎 + 𝑏)

T5 – Associativitat: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 → 𝑎(𝑏𝑐) = 𝑎𝑏 𝑐

Dem: El demostrarem més endavant a partir de taules de veritat

T6 – L’element complementari de 𝑎 és únic∀𝑎 ∈ 𝐵, ∃! 𝑎′ ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑎′ = 1 → 𝑎𝑎′ = 0

8

ÀLGEBRA DE BOOLE


Teoremes

T7 – Involució: 𝑎′ ′ = 𝑎

T8 - 0′ = 1 → 1′ = 0

T9 – Teorema de De Morgan: 𝑎𝑏 ′ = 𝑎′ + 𝑏′ → 𝑎 + 𝑏 ′ = 𝑎′𝑏′

Dem:0𝑃1,2𝑎𝑏 𝑎𝑏 ′

𝑇9𝑎𝑏 𝑎′ + 𝑏′

𝑃3𝑎𝑏𝑎′ + 𝑎𝑏𝑏′

𝑃1,2,40𝑏 +

𝑎0𝑇30 + 0

𝑇20

1𝑃1,2𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 ′

𝑇9𝑎𝑏 + 𝑎′ + 𝑏′

𝑃3(𝑎 + 𝑎′ + 𝑏′)(𝑏 +

𝑎′ + 𝑏′)𝑃1,2,4(1 + 𝑏′)(𝑎′ + 1)

𝑇31 + 1

𝑇21

Hem demostrat que es cert per 𝑎𝑏 ′ = 𝑎′ + 𝑏′ tant per 0 com per 1, també ho podríem demostrar per → 𝑎 + 𝑏 ′ = 𝑎′𝑏′

9

ÀLGEBRA DE BOOLE


Teoremes

T10 – 𝑎 + 𝑎′𝑏 = 𝑎 + 𝑏 → 𝑎 𝑎′ + 𝑏 = 𝑎𝑏

Dem: 𝑎 + 𝑎′𝑏 = 𝑎 + 𝑎′ 𝑎 + 𝑏 = 1 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏

𝑎 𝑎′ + 𝑏 = 𝑎𝑎′ + 𝑎𝑏 = 0 + 𝑎𝑏 = 𝑎𝑏

T11 – 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏′ = 𝑎 → 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏′ = 𝑎

Dem: 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏′ = 𝑎 + 𝑎 𝑎 + 𝑏′ 𝑏 + 𝑎 𝑏 + 𝑏′ =

𝑎 𝑎 + 𝑏′ 𝑏 + 𝑎 1 = 𝑎 (𝑎 + 𝑏′)(𝑎 + 𝑏) =𝑎 𝑎𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑏′𝑎 + 𝑏′𝑏 = 𝑎 𝑎 + 𝑎(𝑏 + 𝑏′) = 𝑎

10

ÀLGEBRA DE BOOLE


Teoremes

T12 – 𝑎𝑏 + 𝑎′𝑐 = 𝑎 + 𝑐 𝑎′ + 𝑏 → 𝑎 + 𝑏 𝑎′ + 𝑐 = 𝑎𝑐 + 𝑎′𝑏

Dem: 𝑎𝑏 + 𝑎′𝑐 = 𝑎 + 𝑎′ 𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑎′ 𝑏 + 𝑐= 𝑎 + 𝑐 𝑎′ + 𝑏 𝑎𝑎′ + 𝑏 + 𝑐= 𝑎 + 𝑐 𝑎′ + 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎′ + 𝑏 + 𝑐= 𝑎 + 𝑐 + 0𝑏 𝑎′ + 𝑏 + 0𝑐 = (𝑎 + 𝑐)(𝑎′ + 𝑏)

T13 – 𝑎𝑏 + 𝑎′𝑐 + 𝑏𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎′𝑐 →

𝑎 + 𝑏 𝑎′ + 𝑐 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 𝑎′ + 𝑐

Dem: 𝑎𝑏 + 𝑎′𝑐 + 𝑏𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎′𝑐 + 𝑎 + 𝑎′ 𝑏𝑐= 𝑎𝑏 + 𝑎′𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎′𝑏𝑐 = 𝑎𝑏 1 + 𝑐 + 𝑎′𝑐 1 + 𝑏= 𝑎𝑏 + 𝑎′𝑐

11

ÀLGEBRA DE BOOLE


Demostrar que 𝑩 = ( 𝟎, 𝟏 , +,·) és una àlgebra de Boole

Serà una àlgebra de Boole si compleix els postulats de Huntington:

P1 – Conmutativitat: Obvi, les taules per + i · són simètriques

P2 – Existència d’element neutre:

0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 L’element neutre de la suma és el 0

0 · 1 = 0, 1 · 1 = 1 L’element neutre del producte és el 1

+ 0 1

0 0 1

1 1 1

· 0 1

0 0 0

1 0 1

12

ÀLGEBRA DE BOOLE


Demostrar que 𝑩 = ( 𝟎, 𝟏 , +,·) és una àlgebra de Boole

P3 – Distributivitat:

𝑎 · 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 → 𝑎 + 𝑏𝑐 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐)

P4 – Existència d’element complementari per la + i · 𝑎 + 𝑎′ = 1: 𝑎 = 0 → 𝑎′ = 1; 𝑎 = 1 → 𝑎′ = 0𝑎 · 𝑎′ = 0: 𝑎 = 0 → 𝑎′ = 1; 𝑎 = 1 → 𝑎′ = 0

abc b+c a(b+c) ab ac ab+ac

000 0 0 0 0 0

001 1 0 0 0 0

010 1 0 0 0 0

011 1 0 0 0 0

100 0 0 0 0 0

101 1 1 0 1 1

110 1 1 1 0 1

111 1 1 1 1 1

13

ÀLGEBRA DE BOOLE


Mètodes de demostració de funcions: Taula de veritat

Ex: 𝑎 · 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

Taula de veritat

abc b+c a(b+c) ab ac ab+ac

000 0 0 0 0 0

001 1 0 0 0 0

010 1 0 0 0 0

011 1 0 0 0 0

100 0 0 0 0 0

101 1 1 0 1 1

110 1 1 1 0 1

111 1 1 1 1 1

14

ÀLGEBRA DE BOOLE


Mètodes de demostració de funcions: Elements commutats

𝑎 + 𝑏 𝑎 · 𝑏

Ex: 𝑎 · 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

b

a

a b

a

b

c

a

a

b

c

15

ÀLGEBRA DE BOOLE


Mètodes de demostració de funcions: Diagrames de Venn

𝑎 + 𝑏 𝑎 ∪ 𝑏 𝑎 · 𝑏 𝑎 ∩ 𝑏

Ex: 𝑎 · 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

b

c

a b

c

a

16

ÀLGEBRA DE BOOLE


Funcions lògiques i taules de veritat

Funcions de 1 variable: tenim 4 funcions diferents

𝑓 𝑥 = 0 𝑓 𝑥 = 1

𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥′ = 𝑥

x f(x)

0 0 0 1 1

1 0 1 0 1

17

ÀLGEBRA DE BOOLE


3.2 Funcions lògiques i taules de veritat

Funció: 𝑓 𝑥 = 0

Funció: 𝑓 𝑥 = 1

x f(x)

0 0

1 0

f(x)x

Fals

x f(x)

0 1

1 1

f(x)xCert

GND

Vcc

18

ÀLGEBRA DE BOOLE



Funció: 𝑓 𝑥 = 𝑥

Funció: 𝑓 𝑥 = 𝑥′ = 𝑥 Porta NOT

x f(x)

0 0

1 1

f(x)x

x f(x)

0 1

1 0

f(x)xNOT

x

x

19

ÀLGEBRA DE BOOLE



Funcions de 2 variables: tenim 16 funcions diferents. Nomes unes poques corresponent a funcions lògiques

En funcions de 𝑛 variables el pes (el codi binari és un codi ponderat) de cada variable el marca l’alfabet (𝑎, 𝑏, 𝑐), (𝑥, 𝑦, 𝑧) o el subíndex de la variable de major a menor (𝑥2, 𝑥1, 𝑥0), (𝑥0, 𝑥1, 𝑥2). En aquest cas 𝑎, 𝑥, i 𝑥2 son les variables de més pes.

x y f(x,y)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

20

ÀLGEBRA DE BOOLE



Funció: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 · 𝑦 Porta AND

Funció: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 Porta OR

x y f(x,y)

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

f(x)x

y x y

x y f(x,y)

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

f(x)x

y x y

21

ÀLGEBRA DE BOOLE



Funció: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ⊕ 𝑦 Porta XOR

Funció: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 · 𝑦 Porta NAND

x y f(x,y)

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

f(x)x

y

x y f(x,y)

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

f(x)x

y

x y

x y

22

ÀLGEBRA DE BOOLE



Funció: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 Porta NOR

Funció: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ⊕ 𝑦 Porta XNOR

x y f(x,y)

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

f(x)x

y

x y f(x,y)

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

f(x)x

y

x y

x y

23

ÀLGEBRA DE BOOLE



74LS08 74LS32

74LS04 74LS30

24

ÀLGEBRA DE BOOLE


Implementar en portes lògiques la següent funció:

𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐵𝐷 + 𝐴 𝐵 𝐶

A B C D

f

25

ÀLGEBRA DE BOOLE


Implementar en portes lògiques la següent funció:

𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐵𝐷 + 𝐴 𝐵 𝐶 =

𝐴 𝐵𝐶 + 𝐴 𝐵𝐵𝐷 + 𝐴 𝐵 𝐶 = 𝐴 𝐵𝐶 + 0 + 𝐴 𝐵 𝐶 =

𝐴 𝐵𝐶𝐶 + 𝐴 𝐵𝐶 = 𝐵𝐶 𝐴 + 𝐴 = 𝐵𝐶A B C D

f

26

ÀLGEBRA DE BOOLE


Extensió del teorema de De Morgan:

𝐴𝐵 = 𝐴 + 𝐵

𝐴 + 𝐵 = 𝐴 𝐵

Es extensiu a 𝑛 variables:

𝐴𝐵𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 𝐵 𝐶

Donat que:

𝐴𝐵𝐶 = 𝐴 + 𝐵𝐶= 𝐴 + 𝐵 + 𝐶

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 𝐵𝐶 = 𝐴 𝐵 𝐶

27

ÀLGEBRA DE BOOLE


Exemple: Simplifica la següent funció

𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴 + 𝐵 𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐵 𝐶

𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴 + 𝐵 𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐵 𝐶 = 𝐴 · 𝐵 𝐶 · 𝐶𝐷 + 𝐵 𝐶=

= 𝐴 · 𝐵 𝐶 · ( 𝐶 + 𝐷) + 𝐵 + 𝐶= 𝐴𝐵 𝐶 𝐶+ 𝐴𝐵 𝐶 𝐷 + 𝐵 + 𝐶 =

= 𝐴𝐵 𝐶 1+ 𝐷 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐵 + 𝐶𝑇10 𝐴 𝐶 + 𝐵 + 𝐶

𝑇10 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =

Simplificar les següents funcions:

𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴 𝐵 + 𝐴𝐵 𝐷 + 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐶𝐷 Sol: 𝐴 + 𝐶𝐷

𝑓 𝑋, 𝑌, 𝑍,𝑊 = 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑊 + 𝑋 + 𝑌 𝑍 + 𝑋𝑌 + 𝑋 Sol:𝑋 + 𝑌 + 𝑍 +𝑊

𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐶𝐴𝐵𝐷𝐸 + 𝐶𝐵𝐴 + 𝐷 𝐸𝐶𝐴𝐵 Sol:AB + CD

𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷 Sol:AB + CD

28

ÀLGEBRA DE BOOLE


Demostració d’igualtats:

Ex: 𝑓 𝐴, 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐴𝐵 𝐴 + 𝐵 𝐴𝐵 = 0

Per simplificació de funcions:𝐴 + 𝐵 + 𝐴𝐵 𝐴 + 𝐵 𝐴𝐵 = 0𝐴 + 𝐵 + 𝐴𝐵 𝐴 𝐴𝐵 + 𝐵 𝐴𝐵 = 0𝐴 + 𝐵 + 𝐴𝐵 0𝐵 + 0 𝐴 = 0𝐴 + 𝐵 + 𝐴𝐵 0 = 00 = 0

Per taula de veritat:

A B AB B’ A+B’+AB A+B’ A’ A’B f

0 0 0 1 1 1 1 0 0

0 1 0 0 0 0 1 1 0

1 0 0 1 1 1 0 0 0

1 1 1 0 1 1 0 0 0

29

ÀLGEBRA DE BOOLE


Demostrar les següents igualtats per teoremes i taules de veritat:

𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐴𝐵 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴 𝐵𝐶

𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 𝐶 + 𝐷 𝐶 + 𝐷 + 𝐸= 𝐴 + 𝐵 𝐷 + 𝐶

𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴𝐵 𝐷 + 𝐷 𝐶 + 𝐴 + 𝐷 𝐴𝐶 𝐵 = 𝐵

30

ÀLGEBRA DE BOOLE


Complement d’una funció:

Donada una funció 𝑭, el seu complementari es 𝑭

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥 𝑦𝑧

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧 · 𝑥 𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =

= 𝑥𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑧 + 𝑦x + 𝑦𝑦 + 𝑦 𝑧 + 𝑧𝑥 + 𝑧𝑦 + 𝑧 𝑧== 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑧 + 𝑦𝑥 + 𝑦 𝑧 + 𝑧𝑥 + 𝑧𝑦 == (𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑧 + 𝑧𝑥 + 𝑦𝑥)+ 𝑦 𝑧 + 𝑧𝑦 = 𝑥 + 𝑦 𝑧 + 𝑧𝑦

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 𝑧 + 𝑧𝑦 = 𝑥 · 𝑦 𝑧 · 𝑧𝑦 = 𝑥 𝑦 + 𝑧 𝑧 + 𝑦 =

= ( 𝑥y+ 𝑥𝑧) 𝑧 + 𝑦 = 𝑥y 𝑧 + 𝑥𝑦 𝑦 + 𝑥𝑧 𝑧 + 𝑥𝑧 𝑦 = 𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥 𝑦𝑧

31

ÀLGEBRA DE BOOLE


3.3 Formes Standard i canòniques:

Suma de productes: Una funció està expressada com a suma de productes (SdP) quan està expressada com una conjunt de termes sumats entre sí on cada terme està format per un producte de variables o d’una sola variable.

Ex: expressa la següent funció com a suma de productes:

𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 𝑏 = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑎 + 𝑏𝑐 𝑏 == 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐

32

ÀLGEBRA DE BOOLE


Formes Standard i canòniques:

Producte de sumes: Una funció està expressada com a producte de sumes (PdS) quan està expressada com una conjunt de termes multiplicats entre sí on cada terme està format per la suma de variables o d’una sola variable.

Ex: expressa la següent funció com a producte de sumes:

𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 = 𝑎 + 𝑏𝑐 𝑑 + 𝑏𝑒 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑑 𝑏𝑒 =

= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑑 ( 𝑏 + 𝑒)

33

ÀLGEBRA DE BOOLE



Els dispositius Programmable Logic Array (PLA) estan formats per una estructura de portes AND i OR en forma de suma de productes.

𝐹 𝐴,𝐵, 𝐶 = 𝐴 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 𝐶

A B C

...

34

ÀLGEBRA DE BOOLE



Minterns: Una funció està expressada com a suma de minternsquan és una suma de productes i cada terme té totes les variables de les que depèn la funció.

Ex: expressa la següent funció com a suma de minterns:

𝐹 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝐴 + 𝐵𝐶 = 𝐴 𝐵 + 𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴 𝐵 + 𝐵𝐶 =

= 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐶 + 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐶 + 𝐴 + 𝐴 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐴 𝐵𝐶 +𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐴 𝐵𝐶 + 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 =

= 𝑚7 +𝑚6 +𝑚5 +𝑚4 +𝑚3 = 𝑚(3,4,5,6,7)

Els minterns equivalen a les caselles de la taula de veritat on la funció val 1.

35

ÀLGEBRA DE BOOLE



Maxterns: Una funció està expressada com a producte de maxterns quan és un producte de sumes i cada terme té totes les variables de les que depèn la funció.

Ex: expressa la següent funció com a producte de maxterns:

𝐹 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 𝐵 + 𝐶 𝐶 𝐴 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 == 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 == 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =

= 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 == 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =

= 𝑀0 · 𝑀1 · 𝑀2 · 𝑀3 · 𝑀6 = 𝑀(0,1,2,3,6)

Els maxterns equivalen a les caselles de la taula de veritat on la funció val 0. I aplicant el teorema de la dualitat les variables estan negades.

36

ÀLGEBRA DE BOOLE


Relació entre minterns i maxterns

𝐹 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝑚5,6,7 = 𝑚5 +𝑚6 +𝑚7

Si neguem la funció, on la funció valia 1 ara

valdrà 0 i viceversa, per tant:

𝐹 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝑚0 +𝑚1 +𝑚2 +𝑚3 +𝑚4

Si tornem a negar la funció tindrem la funció

original:

𝐹 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝐹 𝐴, 𝐵𝐶 = 𝑚0 +𝑚1 +𝑚2 +𝑚3 +𝑚4 == 𝑚0 · 𝑚1 · 𝑚2 · 𝑚3 · 𝑚4 =

= 𝑀0 · 𝑀1 · 𝑀2 · 𝑀3 · 𝑀4= 𝑀(0,1,2,3,4)

A B C F(A,B,C)

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

37

ÀLGEBRA DE BOOLE


Donada la següent funció, expressa-la en mínterns i màxterns:

𝐹 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑋𝑌 + 𝑍 𝑌 + 𝑋𝑍

38

ÀLGEBRA DE BOOLE


Donada la següent funció, expressa-la en minterns i maxterns:

𝐹 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑋𝑌 + 𝑍 𝑌 + 𝑋𝑍 = 𝑋 + 𝑍 𝑌 + 𝑍 𝑌 + 𝑋 𝑌 + 𝑍 == 𝑋 + 𝑍 𝑌 + 𝑍 𝑌 + 𝑋 = 𝑋 + 𝑌 𝑌 + 𝑍 𝑋 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑍 == 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 == 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 = Π𝑀(0,1,2,4)

𝐹 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑋𝑌 + 𝑍 𝑌 + 𝑋𝑍 = 𝑋𝑌 + 𝑋𝑌𝑍 + 𝑌𝑍 + 𝑋𝑍= 𝑋𝑌 𝑍 + 𝑍 + 𝑋𝑌𝑍 + 𝑋 + 𝑋 𝑌𝑍 + 𝑋 𝑌 + 𝑌 𝑍 == 𝑋𝑌𝑍 + 𝑋𝑌 𝑍 + 𝑋𝑌𝑍 + 𝑋𝑌𝑍 + 𝑋𝑌𝑍 + 𝑋𝑌𝑍 + 𝑋 𝑌𝑍 == 𝑋𝑌𝑍 + 𝑋𝑌 𝑍 + 𝑋𝑌𝑍 + 𝑋 𝑌𝑍 = Σ𝑚(3,5,6,7)

A B C F(A,B,C)

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

39

ÀLGEBRA DE BOOLE


3.4 Suficiència de la NAND i de la NOR

Fins ara hem vist que qualsevol funció es pot implementar emprant només portes AND, OR i NOT.

Això és així per la pròpia definició de l’àlgebra de Boole.

Volem ara demostrar que qualsevol funció es pot implementar a partir de només portes NAND o de només portes NOR.

Això serà cert si amb NANDs podem implementar les portes AND, OR i NOT i d’igual manera amb NORs.

L’avantatge d’utilitzar un únic tipus de porta es que només utilitzem un únic tipus de circuit integrat (enlloc de 3 de diferents) i això pot abaratir costos.

40

ÀLGEBRA DE BOOLE


Suficiència de la NAND i de la NOR

𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑦

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑦

NAND NORFunció NOT

Funció ANDFunció AND

Funció OR

41

ÀLGEBRA DE BOOLE


Suficiència de la NAND i de la NOR

Expressa la següent funció nomes amb portes NAND i només amb portes NOR

𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴 + 𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐵𝐶

𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴 + 𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 =

= 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐴 + 𝐵 + 𝐶

42

ÀLGEBRA DE BOOLE


3.5 Simplificació de funcions per Karnough

El mapa de Karnaugh va ser inventat el 1950 per Maurice Karnaugh, un físic i matemàtic dels estats units, treballador dels laboratoris Bell.

Un mapa de Karnough de 𝑛 variables està compost per 2𝑛 cel·les adjacents, on cada cel·la representa una combinació de les 𝑛variables de les que depèn la funció en forma de míntern (1) o de màxtern (0).

Entre dues cel·les adjacents (Nord, Sud, Est i Oest) només canvia de valor un única variable. Emprarem doncs un codi continuo i cíclic per a codificar les files i les columnes: el codi gray. Els mapes de Karnough es pleguen com si fossin una esfera: el mínterns/màxterns de la primera columna tenen adjacència amb la darrera columna (i de la mateixa manera per files).

43

ÀLGEBRA DE BOOLE


Mapa de Karnough de 1 variable

𝑓 𝑥0 1

m0 (M0) m1 (M1)

x

x

Mapa de Karnough de 2 variables

𝑓 𝑥, 𝑦

0 1

0 m0 (M0) m2 (M2)

1 m1 (M1) m3 (M3)

x

x

y

y

44

ÀLGEBRA DE BOOLE



𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧


𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷

00 01 11 10

0 m0 (M0) m2 (M2) m6 (M6) m4 (M4)

1 m1 (M1) m3 (M3) m7 (M7) m5 (M5)

xy

y

z

z

x

00 01 11 10

00 m0 (M0) m4 (M4) m12 (M12) m8 (M8)

01 m1 (M1) m5 (M5) m13 (M13) m9 (M9)

11 m3 (M3) m7 (M7) m15 (M15) m11 (M11)

10 m2 (M2) m6 (M6) m14 (M14) m10 (M10)

AB

B

CD

D

A

C

45

ÀLGEBRA DE BOOLE


Mapa de Karnough de 5 variables 𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸

00 01 11 10

00 m0 m4 m12 m8

01 m1 m5 m13 m9

11 m3 m7 m15 m11

10 m2 m6 m14 m10

BC

DE

A = 0

00 01 11 10

m16 m20 m28 m24 00

m17 m21 m29 m25 01

m19 m23 m31 m27 11

m18 m22 m30 m26 10

BCDE

A = 1

000 001 011 010 110 111 101 100

00 m0 m4 m12 m8 m24 m28 m20 m16

01 m1 m5 m13 m9 m25 m29 m21 m17

11 m3 m7 m15 m11 m27 m31 m23 m19

10 m2 m6 m14 m10 m26 m30 m22 m18

ABC

DE

o bé:

46

ÀLGEBRA DE BOOLE


Mapa de Karnough de 6 variables 𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹

00 01 11 10

00 m0 m4 m12 m8

01 m1 m5 m13 m9

11 m3 m7 m15 m11

10 m2 m6 m14 m10

CD

EF

A = 0

00 01 11 10

m32 m36 m44 m40 00

m33 m37 m45 m41 01

m35 m39 m47 m43 11

m34 m38 m46 m42 10

CDEF

A = 1

00 m16 m20 m28 m24

01 m17 m21 m29 m25

11 m19 m23 m31 m27

10 m18 m22 m30 m26

00 01 11 10CD

EF

B = 0

m48 m52 m60 m56 00

m49 m53 m61 m57 01

m51 m55 m63 m59 11

m50 m54 m62 m58 10

00 01 11 10

B = 1

CDEF

47

ÀLGEBRA DE BOOLE


000 001 011 010 110 111 101 100

000 m0 m8 m24 m16 m48 m56 m40 m32

001 m1 m9 m25 m17 m49 m57 m41 m33

011 m3 m11 m27 m19 m51 m59 m43 m35

010 m2 m10 m26 m18 m50 m58 m42 m34

110 m6 m14 m30 m22 m54 m62 m46 m38

111 m7 m15 m31 m23 m55 m63 m47 m39

101 m5 m13 m29 m21 m53 m61 m45 m37

100 m4 m12 m28 m20 m52 m60 m44 m36

ABC

DEF

o bé: 𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹

48

ÀLGEBRA DE BOOLE


Mètode de simplificació de funcions per Karnough

1.- Obtenir la funció a simplificar en mínterns (o màxterns). És equivalent a disposar de la taula de veritat.

2.- Transportar els mínterns i/o els màxterns al mapa de Karnough.

3.- Decidir si agrupem només per mínterns (1) o per màxterns (0).

4.- Agrupar les cel·les que continguin només mínterns (o màxterns) amb grups de 2𝑛 cel·les com més grans millor. Per cada grup de 2𝑛

cel·les només canvien 𝑛 variables. Cada grup produeix un terme de la funció simplificada format per les variables que no canvien de valor.

5.- Els grups poden solapar-se si contenen algun míntern (o màxtern) no comú.

6.- Repetir el procés (de 4 a 5) fins tenir tots els mínterns (o màxterns) agrupats, obtenint el menor nombre de grups possible.

7.- Els grups representen una SdP (per mínterns) o PdS (per màxterns) de la funció simplificada.

49

ÀLGEBRA DE BOOLE


Simplificació de funcions per Karnough

𝑓 𝐴, 𝐵 = 𝑚1,2,3 =

𝑀(0)

50

ÀLGEBRA DE BOOLE



𝑓 𝐴, 𝐵 = 𝑚1,2,3 =

𝑀(0)

𝑓 𝐴, 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 agrupant per minterns

𝑓 𝐴, 𝐵 = (𝐴 + 𝐵) agrupant per maxterns

0 1

0 0 1

1 1 1

A

B

A

B

(A+B)

51

ÀLGEBRA DE BOOLE



𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝑚0,1,2,3,6

52

ÀLGEBRA DE BOOLE



𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝑚0,1,2,3,6

𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 𝐶 agrupant per minterns

𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 = ( 𝐴 + 𝐵)( 𝐴 + 𝐶) agrupant per maxterns

00 01 11 10

0 1 1 1 0

1 1 1 0 0

AB

C

𝐴𝐵 𝐶

( 𝐴 + 𝐵)

( 𝐴 + 𝐶)

53

ÀLGEBRA DE BOOLE



00 01 11 10

00 1 1 1

01 1 1

11 1 1

10 1 1 1

AB

CD𝐴 𝐷

𝐵

00 01 11 10

00 1 1

01 1 1

11 1

10 1 1

AB

CD𝐴 𝐷

𝐴𝐵

𝐵 𝐶𝐷

00 01 11 10

00 1 1

01

11

10 1 1

AB

CD 𝐵 𝐷

54

ÀLGEBRA DE BOOLE



Múltiples solucions:

Grups redundants:

00 01 11 10

00 1

01 1 1

11 1

10 1 1

AB

CD𝐴𝐵 𝐶

𝐴 𝐵𝐷

00 01 11 10

00 1

01 1 1

11 1

10 1 1

AB

CD 𝐴𝐵 𝐷

𝐴 𝐵𝐶

A 𝐶𝐷

00 01 11 10

00 1

01 1 1 1

11 1 1 1

10 1

AB

CD

𝐴𝐶 𝐷

Aquest grup no

agrupa cap 1 no

agrupat en altres

grups. Es prescindible.

55

ÀLGEBRA DE BOOLE



00 01 11 10

00 1 1

01 1 1 1

11 1

10 1 1

BC

DE

A = 0

00 01 11 10

1 00

1 01

1 11

1 1 10

BCA = 1

000 001 011 010 110 111 101 100

00 1 1 1

01 1 1 1 1

11 1 1

10 1 1 1 1

ABC

DE

56

ÀLGEBRA DE BOOLE



00 01 11 10

00 1 1

01 1 1 1

11 1

10 1 1

BC

DE

A = 0

00 01 11 10

1 00

1 01

1 11

1 1 10

BCDE

A = 1

000 001 011 010 110 111 101 100

00 1 1 1

01 1 1 1 1

11 1 1

10 1 1 1 1

ABC

DE

CD 𝐸

𝐵 𝐶𝐷𝐸

𝐴𝐶 𝐷𝐸

𝐴𝐵 𝐷

𝐵 𝐶 𝐷

Aquest grup no és vàlid.

Té 2𝑛 cel·les i no canvien

𝑛 variables.

CD 𝐸

𝐵 𝐶𝐷𝐸

𝐵 𝐶 𝐷𝐴𝐵 𝐷

𝐴𝐶 𝐷𝐸

57

ÀLGEBRA DE BOOLE



00 01 11 10

00 1 1 1

01 1 1

11

10 1 1

CD

EF

A = 0

00 01 11 10

1 1 1 00

01

11

1 1 10

CDEF

A = 1

00 1

01

11

10

00 01 11 10CD

EF

B = 0

1 00

01

11

10

00 01 11 10

B = 1

CDEF

58

ÀLGEBRA DE BOOLE



00 01 11 10

00 1 1 1

01 1 1

11

10 1 1

CD

EF

A = 0

00 01 11 10

1 1 1 00

01

11

1 1 10

CDEF

A = 1

00 1

01

11

10

00 01 11 10CD

EF

B = 0

1 00

01

11

10

00 01 11 10

B = 1

CDEF

𝐵𝐷 𝐹

𝐶 𝐷 𝐸 𝐹

𝐴 𝐵 𝐶 𝐸

59

ÀLGEBRA DE BOOLE



Condicions no importa:

En determinades funcions es pot donar el cas que determinats mínterns (o màxterns) no es puguin donar o en el cas de que es donin no ens importa si són 0 o 1.

Aquestes combinacions les anomenem condicions no importa (don’t care → dc) i els hi associarem una X en el mapa de Karnough.

Les X les podem agrupar amb els 1s o amb els 0s, per ajudar a simplificar aquests, però no estem obligats a agrupar totes les X.

60

ÀLGEBRA DE BOOLE



Condicions no importa:

𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝑚1,2,4,5,6,9 + 𝑑𝑐(7,13,15)

Un cop haguem simplificat la funció, les X agrupades amb 1s faran que la funció doni 1 en aquelles condicions (𝑑𝑐(7,13)) i les que no s’han agrupat doni 0 (𝑑𝑐(15)).

00 01 11 10

00 1

01 1 1 X 1

11 X X

10 1 1

AB

CD 𝐴𝐵

𝐴𝐶 𝐷

𝐶𝐷

00 01 11 10

00 1

01 1 1 1 1

11 1 0

10 1 1

AB

CD 𝐴𝐵

𝐴𝐶 𝐷

𝐶𝐷

61

ÀLGEBRA DE BOOLE


Problema de simplificació de funcions per KarnoughA3 A2 A1 A0 a b c d e f g

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0

0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0

0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1

0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1

0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1

1 0 1 0 X X X X X X X

1 0 1 1 X X X X X X X

1 1 0 0 X X X X X X X

1 1 0 1 X X X X X X X

1 1 1 0 X X X X X X X

1 1 1 1 X X X X X X X

Es demana implementar un

codificador de BCD a 7-segments,

de manera que l’entrada sigui un

nombre del 0 al 9 en BCD i la

sortida siguin els 7 leds

(a,b,c,d,e,f,g) que il·luminen un

display 7-segments.

62

ÀLGEBRA DE BOOLE


Més informació:

Estructura i Tecnologia de Computadors, tema 3

https://www.documentauniversitaria.cat/botiga.php?a=llibre&id=809

www.unigrades.eu

Floyd, Thomas L. (2009). Digitals Fundamentals. PearsonInternational. – Capítols 3, 4 i 5

https://www.documentauniversitaria.cat/botiga.php?a=llibre&id=809

http://www.unigrades.eu/

Education

Tema 3 Àlgebra de Boole