Convegno“Esperienze a Confronto Matematica&Realtà”

6- 8 Maggio 2013 Perugia

Stefano BovaStefano BovaClasse IV AClasse IV A

Liceo Scientifico L. Liceo Scientifico L. SicilianiSiciliani

Tutor: Prof.essa Anna Tutor: Prof.essa Anna AlfieriAlfieri

o Albero di Pitagora come logo del “Siciliani”: valore e significato educativo

o La costruzione geometrica dell’albero di Pitagora

o L’albero di Pitagora è un frattale?

Albero pitagorico frattale costruito sulla base del teorema più famoso della storia e i cui rami descrivono spirali logaritmiche. È una sorta di ponte tra la matematica classica e quella più moderna, nel nome di Pitagora, matematico, filosofo, musicista e scienziato ante litteram, che operò in Calabria.

Episodio che ispirò, nel 1666, lo scienziato e filosofo inglese Isaac Newton per il passaggio verso la Fisica moderna: la gravità terrestre (Galileo Galilei) e quella celeste (Johannes Keplero) sono in realtà la stessa unica, universale forza. I moti del cielo e della terra vennero così unificati.

Il ceppo da cui parte l’albero, inteso come metafora della conoscenza, un ceppo su cui si innesta la nostra Nazione. Un modo anche per non dimenticare l’obiettivo di Lisbona 2000 della Comunità Europea:“diventare l’economia basata sulla conoscenza più competitiva e dinamica del mondo”.

Step 0: si parte da un quadrato di lato unitario;Step 1: Si costruisce sul lato superiore del quadrato un triangolo rettangolo isosceleStep 2: si costruiscono i quadrati sui cateti costruiti; Step 3: si ripete l'operazione del passo 1 e 2

1.Rotazione del quadrato ABCD di un angolo di +225° (in senso antiorario) intorno al vertice C.Otteniamo il quadrato A'B'C'D'.

2.Omotetia diretta, sempre di centro C, di rapporto (√2)/2 ≈ 0.707 (Il lato da costruire è infatti quello di un quadrato di diagonale 1).

1.Rotazione del quadrato ABCD di un angolo di +135° (cioè 135° in senso antiorario) intorno al vertice D.Otteniamo il quadrato A'B'C'D'.

2.Omotetia diretta, sempre di centro D, di rapporto (√2)/2 ≈ 0.707 (Il lato da costruire è infatti quello di un quadrato di diagonale 1).

Step 0: si parte da un quadrato di lato unitario;Step 1: si costruisce sul lato superiore del quadrato un triangolo rettangolo, con gli angoli di 30° e 60°;Step 2: si costruiscono quindi i quadrati su entrambi i cateti;Step 3 : si ripete l'operazione del passo 1 e 2 sui quadrati ottenuti.

•Rotazione del quadrato ABCD di un angolo di +240° (cioè 120° in senso orario) intorno al vertice C.Otteniamo il quadrato A'B'C'D'. •Omotetia di centro C' e rapporto (√3)/2 al quadrato A'B'C'D'.Il lato del quadrato essendo pari all'altezza di un triangolo equilatero di lato 1 misura ≈ 0.866

•Rotazione del quadrato ABCD di un angolo di +150° (cioè 150° in senso antiorario) intorno al vertice D.Otteniamo il quadrato A'B'C'D'. •Omotetia di centro D' e rapporto ½ al quadrato A'B'C'D‘.Il lato del quadrato misura o.5 essendo pari alla metà del lato del quadrato di partenza=1

La somma delle aree dei quadrati costruiti in ogni passaggio è uguale a quella del quadrato di partenza.L'area sembra diventare infinita, ma a partire dal quinto passaggio la figura piega su se stessa, LIMITANDOSI.

Perimetro : INFINITOArea : LIMITATA

Nel tipo 30° e 60° aumenta del fattore 1/2 +(√3)/2Nel tipo 45° aumenta del fattore 2/√2 = √2Il numero di quadrati aggiunti al passaggio n è 2n;

Caratteristiche

Auto somiglianza Dimensione Frattale

Iterazioni delle trasformazioni geometriche

d = log (numero di pezzi)log (ingrandimento)

L’albero pitagorico non ha tuttavia una dimensione frazionaria infatti dalla definizione data risulta soltanto auto somigliante mentre la dimensione frattale risulta sempre un numero intero.

Si possono creare infinite spirali partendo dai quadrati. L'albero di Pitagora ne è un buon esempio.

Una spirale logaritmica, spirale equiangolare o spirale di crescita è un tipo particolare di spirale che si ritrova spesso in natura.

Albert Bosman nel 1942 realizzò una struttura in acciaio che mostra l’applicazione del Teorema di Pitagora che lui stesso battezzò col nome di “Albero Pitagorico”.Questa è situata sulla sommità di una collina che domina il Parco Pignera a Crotone.

http://www.webfract.it/FRATTALI/Pit45.htmhttp://www.miorelli.net/frattali/natura.htmlhttp://www.webfract.it/FRATTALI/Pitagora1.htmhttp://geotourist.webgenesys.it/opere/lalbero-del-

teorema-28/http://www.liceosiciliani.cz.it/http://matematicamedie.blogspot.it/2011/09/alberi-di-

pitagora.htmlhttp://nicolebattilani.altervista.org/blog/la-mela-

dellintelletto/http://www.scuolasanpiox.it/progetti%202007-2008.htmhttp://www.frattali.it/alberopitagora.htmhttp://www.windoweb.it/desktop_foto/foto_frattali.htmhttp://Matematizzando/commenti.php?

msgid=11719164&id=394354&ssonc=778487227