Penerapan Persamaan Differensial Biasa Orde II Pada Fisika

Pada Pegas dan Rangkain Listrik

Pada sebuah pegas lilit yang panjangnya l, tergantung pada suatu bidang. Hukum Hooke menyatakan bahwa panjang s akibat pegas itu di tarik atau di tekan oleh gaya vertikal F adalah berbanding lurus dengan |F|; yaitu

|F| = k.s (5.1)

dimana k adalah faktor pembanding. Faktor k ini unik untuk tiap pegas dan tergantung pada bahan. Ketebalan dan sifat lain dari pegas itu.

Misalkan suatu benda A dengan berat w diikatkan pada bagian bawah pegas dan di biarkan sistem ini mencapai keseimbangan. Andaikan ada suatu sumbu koordinat tegak harus yang searah positifnya kebawah dan titik asalnya terletak pada garis datar melalui titik paling rendah P pada pegas itu. Benda A di tarik sejauh x0 kemudian di lepaskan. Selanjutnya gerak yang di hasilkan oleh titik yang paling rendah pegas itu akan di bicarakan pada bagian berikut ini.

1. Gerak Harmoni Sederhana

Andaikan tidak ada hambatan udara dan gesekan lain pada benda A di lepaskan, maka timbul gaya ke atas pada P yang terjadi akibat regangan pegas itu. Gaya ini cenderung mengembalikan P ke posisi seimbang. Dari hukum Hooke, besarnya gaya adalah –kr. Tetapi dari hukum kedua Newton gaya ini sama dengan m.a, dimana m = w/g (massa benda A), a percepatan dan g percepatan gravitasi.

(5.2) dan (5.3)

Dari persamaan (5.2) dan (5.18)

(5.4)

Persamaan (5.4) merupakan persamaan differensial yang menyatakan keadaan benda A pada saat t setelah di lepaskan.

(5.5)

Persamaan (5.5) adalah persamaan diffrensial linier dengan koefisien yang memounyai solusi umum:

(5.6)

c1 dan c2 adalah konstanta sembarang. Untuk mendapatkan c1 dan c2 dalam kasus khusus dapat di peroleh dengan menurunkan persamaan (5.6).

(5.7)

Pada saat di lepaskan t = 0.x = x0 dan v = dx/dt = 0. Dengan memasukkan syarat awal ini keadaan persamaan (5.6) dan (5.7) di peroleh c1 = 0 dan c2 = x0. Penyelesaian untuk persamaan (5.4) dengan syarat awal t = 0, x = x0 dan v = dx/dt = 0 adalah:

(5.8)

Contoh 1

Bila sebuah benda 5 pon diikat pada sebuah pegas yang tergantung vertikal dititik yang paling rendah P d a n p e g a s i t u b e r t a m b a h p a n j a n g 6 i n c h i . B e n d a 5 p o n i t u diganti dengan benda 20 pon. Kemudian sistem ini dibiarkan mencapai kesetimbangan.B i l a b e n d a 2 0 p o n i t u d i t a r i k k e b a w a h s e j a u h 1 k a k i d a n k e m u d i a n d i l e p a s k a n , b e r i k a n gambaran tentang gerak titik paling rendah P pada pegas itu (andaikan tidak ada hambatan dan gesekan lain)

Jawab

Misalkan g = 32 kaki/det2 . konstanta K dapat di tentukan dengan mensubstitusikan F = 5 dan s = ½ kedalam |F| = ks, di dapat k =10. Dari persamaan (5.4) dan (5.5) di peroleh:

Solusi umum untuk persamaan diatas adalah

[ x = c1 sin4t + c2 cos4t ]

2. Getaran Yang Diredam

Dalam uraian diatas diandaikan tidak ada gesekan. Padahal dalaam kenyataannya gesekan selalu ada yaitu gesekan yang di timbulkan oleh hambatan udara atau hambatan yang lainyang menyebabkan gerak yang di maksud bukan lagi gerak harmoni sederhana. Gaya penghambat ini dapat di hampiri dengan mengikutsertakan dalama persamaan diffrensialnya. Suatu sukuyang sebanding dengan kecepatan. Gaya penghambathambatan udara bekerja berlawanan arah dengan arah gerak partikel yang bergetar. Sehingga persamaan hukum Hooke dapat di tulis menjadi

F = -kx – qv (5.9)

Dengan q suatu konstanta positif dan v kecepatan partikel. Suku -qv dalam persamaan (5.9) menyatakan gaya yang menghambat. Sehingga persamaan differensial yang menyatakan getaran ini di tulis sebagai

(5.10)

Dengan memisalkan β2 = kq/w dan α = qq/w maka persamaan (5.10) dapat di tulis sebagai

(5.11)

Persamaan (5.11) merupakan persamaan diffrensial linier dengan koofesien konstan yang persamaan karakteristiknya

r2 + αr + β2 = 0 (5.12)

3. Rangkaian Listrik

Banyak masalah dalam rangkaian listrik merupakan persamaan differensial linier. Suatu rangkaian listrik adalah suatu lintas tertutup sembarang pada suatu jaringan lisrtik. Tahanan ,kumparan dan kondensator menggunakan energi yang di berikan oleh sumber gaya elektromotif E. Sebuah tahanan energi dalam menghambat arus listrik yang melaluinya. Hal ini serupa dengan gesekan yang menghambat arus air di dalam sebuah pipa. Sebuah kumparan cenderung menstabilkan arus listrik dengan melawan sembarang penambahan atau penurunan arus dan dengan demikian menyimpan dan melepaskan energi. Sebuah kondensator (kapasitor) terdiri atas pelat-pelat yang di pisah-pisahkan dengan bahan isolator, ia menyimpan muatan listrik. Notasi yang di gunakan

q muatan listrik (coulomb) yang di simpan atau di timbulkan dalam suatu unsur pada suatu rangkainlistrik.

t waktu (detik)

i arus listrik (ampere) yang merupakan laju perubahan muatan listrik terhadap waktu ketika mengalir dari suatu unsur ke unsur yang lain pada sebuah rangkaian, sehingga

i = dq/dt

E gaya elektromotif (volt)

C kapasitansi (farad); konstant pada tiap kondensator.

R tahanan atu resistan (ohm); konstan pada tiap tahanan (resistor)

L koefisien imbas atau koefisien induktansi (henry); konstan untuk tiap kumparan (induktor)

Dalam Fisika di tunjukkan bahwa:

1. Beda tegangan (voltase) melalui sebuah kondensator adalah:

1/C . q

dimana q muatan listrik pada kondensator tersebut pada saat t.

2. Beda tegangan (voltase) melalui sebuah tahanan adalah: Ri

3. Beda tegangan (voltase) melalui sebuah kumparan adalah:

L= didt

Menurut hukum kedua Kirchoff bahwa pada suatu rangkaian listrik sembrang, jumlah beda-beda teganagan (voltase) adalah sama dengan gaya elektromotif E(t) pada saat itu.

Untuk rangkaian yang mengandung sebuah tahanan ,sebuah kumparan ,sebuah kondensator, sebuah sumber gaya elektromotif dan sebuah saklar, hukum Kirchoff dinyatakan secara matematis dengan persamaan differensial

Contoh:

Suatu jarinagn listrik terdiri atas induktasi 0,05 henry, tahanan 20 ohm, kondesator yang berkapasitas 100 mikroforad, dan suatu gaya gerak listrik E = 100 volt. Carilah i dan q jika di ketahui awal muatan q = 0, arus i = 0 bila t = 0.

Jawab :