Bai giang xstk

HK1/2013-2014 - LÊ HỮU KỲ SƠN

K.KHCB

05/09/2013

1

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

CHƯƠNG 1

LÊ HỮU KỲ SƠN 1

Nội dung

Không gian mẫu và biến cố

Định nghĩa xác suất

Xác suất có điều kiện

Công thức nhân xác suất

Các biến cố độc lập

Công thức xác suất đầy đủ và Bayes


• Phép thử là một khái niệm cơ bản không định

nghĩa. Ta hiểu phép thử là một thí nghiệm hay

quan sát nào đó.

• Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu ta không dự

báo trước kết quả nào sẽ xảy ra.

Trong thực tế, các hiện tượng được chia thành 2

loại: hiện tượng tất nhiên và hiện tương ngẫu nhiên.



• Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là

một biến cố. Ký hiệu: A, B, C,…

• Tập hợp gồm tất cả các kết quả của phép thử

được gọi là không gian mẫu của phép thử. Ký

hiệu: S.


• Biến cố chỉ gồm một kết quả được gọi là biến cố

sơ cấp. Ký hiệu: .



Ví dụ 1: Gieo một đồng tiền xu gồm hai mặt số và

hình 1 lần. Xác định không gian mẫu.

Ví dụ 2: Gieo một đồng tiền xu hai lần. Xác định

không gian mẫu.

Ví dụ 3: Gieo một con xúc xắc một lần. Xác định

không gian mẫu.

Ví dụ 4: Gieo một con xúc xắc liên tiếp hai lần.

Xác định không gian mẫu. LÊ HỮU KỲ SƠN 5


Ví dụ 5: Xét điểm số của một sinh viên khi thi kết

thúc môn Xác suất thống kê ở trường Đại học

Công nghiệp Thực phẩm TPHCM.

• Hãy xác định không gian mẫu.

• Gọi biến cố A: “sinh viên này thi đậu”. Hãy xác

định các kết quả của A.



K.KHCB

05/09/2013

2


• Khi sự xảy ra của một biến cố không thể được dự

đoán chính xác thì ta gọi biến cố tương ứng là biến

cố ngẫu nhiên.

• Cho phép thử có không gian mẫu S và biến cố A.

Biến cố A được gọi là xảy ra nếu có một kết quả

nào đó của A xảy ra.

• Biến cố chắc chắn là biến cố bao giờ cũng xảy ra

khi thực hiện phép thử. Ký hiệu: S.



• Biến cố rỗng là biến cố không bao giờ xảy ra khi

thực hiện phép thử. Ký hiệu:

Ví dụ 6: Một nhóm có 6 nam, 4 nữ. Chọn ngẫu

nhiên 5 người.

Gọi A: “Chọn được ít nhất 1 nam”,

B: “Chọn được 5 nữ”,

C: “Chọn được 3 nam”.

Khi đó, A là biến cố chắc chắn, B là biến cố rỗng

và C là biến cố ngẫu nhiên.



• Quan hệ kéo theo: A B

• Quan hệ tương đương:

A BA B

B A

A B, A B• Tổng:

A B • Xung khắc:

A S \ A,• Đối lập: A B A B, A B A B

A B, AB• Tích:



Ví dụ 7: Một hộp có 10 bi gồm: 6 bi đỏ, 4 bi xanh.

Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp. Gọi các biến cố

A: “Lấy được ít nhất 1 bi đỏ”,

B: “Lấy được 3 bi đỏ”,

C: “Lấy được cùng lắm 2 bi đỏ”.

Xác định quan hệ của A và B; của A và C.



Ví dụ 8: Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp học.

Gọi A: “Sinh viên được chọn giỏi Tiếng Anh”,

B: “Sinh viên được chọn giỏi Toán”.

Hãy xác định biến cố: A+B; AB.



Ví dụ 9: Hai sinh viên thi hết môn xác suất thống kê.

Gọi A: “Sinh viên thứ nhất thi đậu”,

B: “Sinh viên thứ hai thi đậu”.

C: “Có ít nhất một sinh viên thi đậu”.

Hãy biểu diễn C qua A, B.



K.KHCB

05/09/2013

3


Ví dụ 10: Kiểm tra 5 bóng đèn trong một lô bóng

đèn. Gọi Ai: “Bóng đèn thứ i tốt” (i=1,2,3,4,5). Gọi B:

“Cả 5 bóng đèn đều tốt”. Hãy biểu diễn B qua các

biến cố Ai.


Định nghĩa cổ điển của xác suất

trong đó các biến cố sơ cấp đồng khả năng.

1 2 nS , , , Phép thử có không gian mẫu

Cho biến cố A có kA biến cố sơ cấp. Khi đó, xác

suất của A được ký hiệu và cho bởi công thức

AkP(A) .

n



Ví dụ 11: Gieo con xúc xắc cân đối và đồng chất 1

lần. Tính xác suất để:

1. Mặt trên con xúc xắc có một chấm;

2. Mặt trên con xúc xắc có số chấm là số chẵn.



Ví dụ 12: Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có

10 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người trực lớp. Tính xác

suất của biến cố trong 3 người được chọn có đúng

1 người nữ.



Ví dụ 13: Một hộp có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm.

1. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp. Tính xác

suất lấy được phế phẩm.

2. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp. Tính xác

suất lấy được 2 phế phẩm.

3. Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại lần lượt từng sản

phẩm ra 2 sản phẩm. Tính xác suất lấy được 2

phế phẩm.


Định nghĩa thống kê của xác suất

Giả sử ta thực hiện n lần một phép thử, biến cố A

xuất hiện k lần. Ta gọi

là tần suất xuất hiện của biến cố A.

• Với n đủ lớn, ta định nghĩa:

n

kf (A)

n

nP(A) f (A)

Ví dụ 14: Quan sát 10.000 em bé mới sinh, thấy có

5097 bé trai. Gọi A là biến cố em bé mới sinh là

con trai. Tính P(A). LÊ HỮU KỲ SƠN 18


K.KHCB

05/09/2013

4

Định nghĩa hình học của xác suất

Cho miền . Gọi độ đo của

là độ dài, diện tích, thể tích

(ứng với là đường cong,

miền phẳng, khối). Xét điểm

M rơi ngẫu nhiên vào miền .

Gọi A: “điểm M rơi vào miền ”, ta có S

độ đo của ( )P A độ đo của S


Định nghĩa hình học của xác suất

Ví dụ 15: Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình tròn

nội tiếp tam giác đều có cạnh 2 cm.

Giải. Gọi A: “điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp”.

Diện tích của tam giác là:

2

22 . 3( ) 3

4dt cm .

Bán kính của hình tròn là:

1 2 3 3.3 2 3

r cm

23

( ) ( ) 0,60463 3 3 3

dt S P A . LÊ HỮU KỲ SƠN 20

Các tính chất của xác suất

P( ) 0 1.

2.

3.

P(S) 1

0 P(A) 1, A S.

4. A B P A P B .


Công thức cộng xác suất

Giả sử A và B là hai biến cố bất kỳ trong một phép

thử. Khi đó, ta có

P(A B) P(A) P(B) P(A B) (1)

Hệ quả 1: Nếu A và B xung khắc thì

xungkhac

P(A B) P(A) P(B).(2)

P(A) 1 P(A)

Hệ quả 2: Cho A là biến cố bất kỳ. Khi đó

(3) LÊ HỮU KỲ SƠN 22


Ví dụ 16: Một lớp có 100 sinh viên (SV) trong đó có

50 SV thích xem bóng đá, 20 SV thích nghe nhạc, 10

SV thích xem bóng đá và nghe nhạc. Chọn ngẫu

nhiên 1 SV của lớp. Tính xác suất SV này thích xem

bóng đá hay thích nghe nhạc.



Ví dụ 17: Một hộp đựng 20 bi, trong đó có 10 bi đỏ.

Chọn ngẫu nhiên 8 bi từ hộp. Tính xác suất có ít nhất

1 bi đỏ trong 8 bi được chọn.



K.KHCB

05/09/2013

5


Giả sử A và B là hai biến cố và Xác suất

của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra

được ký hiệu và cho bởi công thức:

P(B) 0.

P(AB)

P A | B .P(B)

Ví dụ 18: Một nhóm 10 sinh viên gồm 3 nam và 7

nữ, trong đó có 2 nam 18 tuổi và 3 nữ 18 tuổi.

Chọn ngẫu nhiên một sinh viên từ nhóm đó. Gọi

biến cố A: “Sinh viên được chọn là nữ”, B: “Sinh

viên được chọn là 18 tuổi”. Tính P(A|B), P(B|A). LÊ HỮU KỲ SƠN 25


Ví dụ 19: Một lớp có 50 sinh viên trong đó có 20 nữ

và 30 nam. Trong kỳ thi môn Toán có 10 sinh viên

đạt điểm giỏi, gồm 6 nam và 4 nữ. Gọi tên ngẫu

nhiên 1 sinh viên trong danh sách lớp. Tìm xác suất

gọi được sinh viên giỏi môn Toán biết rằng sinh

viên đó là nữ.



Ví dụ 20: Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Từ hộp

này, lấy ngẫu nhiên lần lượt ra 2 bi, mỗi lần lấy 1 bi,

lấy không hoàn lại. Tính xác suất lần thứ hai lấy

được bi xanh biết rằng lần thứ nhất đã lấy được bi

đỏ.



• Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có

P(AB) P(A) P(B | A) P B P A |B

1 2 n 1 2 1 n 1 n 1P(A A ...A ) P(A )P A | A ...P A | A ...A

• Cho dãy biến cố . Khi đó, ta có 1 2 nA ,A ,...,A



Ví dụ 21: Một hộp có 10 sản phẩm, gồm 8 sản

phẩm tốt và 2 phế phẩm. Một người lấy ngẫu nhiên

từng sản phẩm cho tới khi gặp phế phẩm thì dừng.

Tính xác suất để người này dừng lại ở lần thứ ba.



Ví dụ 22: Một sinh viên học hệ niên chế được học

lại một lần nếu lần thứ nhất bị rớt. Biết rằng xác suất

sinh viên này thi đỗ lần 1 và lần 2 tương ứng là 0,6

và 0,8. Tính xác suất sinh viên này hoàn thành môn

học.



K.KHCB

05/09/2013

6


Ví dụ 23: Một sản phẩm xuất xưởng phải qua 3 lần

kiểm tra. Xác suất để một phế phẩm bị loại ở lần

kiểm tra đầu là 0,8; nếu lần kiểm tra đầu không bi

loại thì xác suất nó bị loại ở lần kiểm tra thứ hai là

0,9; tương tự nếu lần thứ hai cũng không bi loại thì

xác suất nó bị loại ở lần kiểm tra thứ ba là 0,95.

Tính xác suất để một phế phẩm bi loại khi kiểm tra.

Đáp số: 0,999.


Hai biến cố độc lập

Nói cách khác, A, B là độc lập nếu A có xảy ra hay

không thì cũng không ảnh hưởng đến khả năng xảy

ra của B và ngược lại.

• Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu

P(A |B) P(A) hoặc P(B | A) P(B).

Định lý: Hai biến cố A, B độc lập nếu và chỉ nếu

P(AB) P(A).P(B)



Việc kiểm tra tính độc lập bằng định nghĩa trong

nhiều bài toán là khó. Do đó, người ta thường dựa

vào thực tế để thừa nhận nó.

Ví dụ 24: Tung 2 đồng xu. Gọi

A : “đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt số”,

B : “đồng xu thứ hai xuất hiện mặt hình”,

C : “có ít nhất một mặt số xuất hiện”.

Hỏi A và B có độc lập? A và C có độc lập?



A, B độc lập A,B độc lập

A,B độc lập

A,B độc lập.

Định lý:

Ví dụ 25: Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc

lập nhau. Xác suất các máy trong ngày bị hỏng lần

lượt là: 0,1; 0,2; 0,15. Tính xác suất:

1. Có một đúng một máy hỏng trong ngày.

2. Có ít nhất hai máy hỏng trong ngày.



• Hệ các biến cố được gọi là đầy đủ

nếu có duy nhất một biến cố trong hệ xảy ra khi

thực hiện phép thử.

i i 1,...,nA

Nói cách khác, hệ đầy đủ nếu i i 1,...,nA

i j

1 2 n

A A , i j,

A A ... A S.


Ví dụ 26: Trộn lẫn hai bao lúa vào nhau rồi từ đó

bốc ra 1 hạt lúa. Gọi

A1: “Hạt lúa được chọn là của bao thứ nhất”,

A2: “Hạt lúa được chọn là của bao thứ hai”.

Khi đó, hệ {A1, A2} đầy đủ.




K.KHCB

05/09/2013

7


1A2A n 1A

nA

1A B 2A B n 1A B nA B

B


n

i i

i 1

P(B) P(A )P(B | A )

(1)

Trong phép thử, cho hệ đầy đủ các biến cố

và B là một biến cố bất kỳ trong phép thử. Khi đó

i i 1,...,nA

i i

i

P A .P B | AP(A | B)

P B (2)

(1): công thức XS đầy đủ; (2): công thức Bayes.



Ví dụ 27: Có 3 lô sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm của

từng lô tương ứng là 6%, 2%, 1%. Chọn ngẫu

nhiên một lô, rồi từ lô này chọn ngẫu nhiên một

sản phẩm.

1. Tìm xác suất để lấy được phế phẩm.

2. Biết lấy được phế phẩm. Tìm xác suất được

chọn của từng lô hàng.



Ví dụ 28: Một nhà máy sản xuất bóng đèn có hai

phân xưởng I và II. Phân xưởng II sản xuất gấp 4

lần phân xưởng I. Tỷ lệ bóng hư của phân xưởng I

là 10%, của phân xưởng II là 20%. Mua một bóng

đèn do nhà máy này sản xuất.

1. Tính xác suất để mua được bóng tốt.

2. Biết rằng đã mua được bóng tốt, tính xác suất

để bóng đèn này do phân xưởng I sản xuất.



Ví dụ 29: Một thùng phiếu gồm 10 phiếu, trong đó

chỉ có 2 phiếu trúng thưởng. Có 2 người lần lượt

rút thăm, mỗi người chỉ rút 1 phiếu. Tìm xác suất

trúng thưởng của người rút lần thứ hai.



BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN

CHƯƠNG 2



K.KHCB

05/09/2013

8

Nội dung chính

Biến số ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên liên tục


• Một đại lượng mà giá trị của nó là ngẫu nhiên,

không dự đoán trước được, được gọi là một biến

số ngẫu nhiên (hay biến ngẫu nhiên, đại lượng

ngẫu nhiên).

• Chúng ta thường ký hiệu biến số ngẫu nhiên

bằng các chữ cái in hoa X, Y, Z, …



Ví dụ 2: Tung một đồng xu cho đến khi được mặt

ngữa thì dừng. Gọi X là số lần tung. Khi đó, X cũng

là biến số ngẫu nhiên.

Ví dụ 1: Một hộp có 7 bi trắng và 3 bi đen. Lấy

ngẫu nhiên cùng lúc 4 bi từ hộp. Gọi X là số bi

trắng có trong 4 bi lấy ra. Khi đó, X là một biến số

ngẫu nhiên.



Ví dụ 3: Gọi X là chiều cao của con người. Khi đó,

X cũng là biến số ngẫu nhiên.



Ta chia các biến ngẫu nhiên thành 2 loại:

Biến ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc nếu nó chỉ

nhận hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn đếm

được các giá trị.

Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu tập giá

trị của nó là một hay một số khoảng của trục số,

thậm chí là cả trục số thực.



X

P

k kp P(X x ), k 1, 2,..., n.

Bảng sau đây được gọi là bảng phân phối (phân

bố) xác suất của X:

1x 2x 3xnx

1p2p

3p np

Ta đặt:


1 2 nX {x ,x , ,x },Xét với 1 2 nx x ... x .



K.KHCB

05/09/2013

9

Ví dụ 4: Một hộp đựng 4 quả cầu giống nhau đánh

số 1, 2, 3, 4. Chọn ngẫu nhiên 2 quả. Gọi X là tổng

hai số ghi trên hai quả đó. Lập bảng PPXS của X.

Ví dụ 5: Một hộp kín có chứa 10 bi, gồm: 7 bi đỏ, 3

bi đen. Chọn ngẫu nhiên 4 bi từ hộp. Gọi X là số bi

đen có trong 4 bi. Lập bảng PPXS cho X.



1 2 n1. p p ... p 1.

1 2 n2. x x ,x ,....,x ,... P X x 0.

k

k

k: a x b

3. P a X b p .

Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất

X

P

1x 2x 3xnx

1p2p

3p np

Ta có một số tính chất sau:




Ví dụ 6: Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn lần lượt từng

viên vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất

trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,8. Biết rằng nếu

có một viên trúng mục tiêu hay hết đạn thì dừng.

Gọi X là số viên đạn xạ thủ đã bắn.

1. Lập bảng PPXS cho X.

2. Tính P 1 X 3 , P X 2 , P X 3 .



• Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Hàm phân

phối xác suất của X là hàm số được ký hiệu và định

nghĩa như sau:

F(x) P(X x), x R.

• Hàm phân phối có các tính chất:

x x2. lim F(x) 0, lim F(x) 1.

3. P(a X b) F(b) F(a).

1. F(x) là hàm tăng.



Ví dụ 7: Tung hai đồng xu cân đối, đồng chất. Gọi X

là số mặt ngửa xuất hiện. Tìm hàm phân phối xác

suất của X.

• Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Hàm mật độ

xác suất của X là hàm số được ký hiệu và định nghĩa

như sau:

k k

k

p , x x ,f x

0, x x .



• Giả sử BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất

X 1x 2x nx

1p 2pnpP

Kỳ vọng của X được định nghĩa bởi:

n

1 1 n n k k

k 1

E X x p ... x p x p .



K.KHCB

05/09/2013

10

Ví dụ 8: Giả sử BNN X có bảng phân phối xác suất

1 1 1 1 1 1

E X 1. 2. 3. 4. 5. 6. 3,5.6 6 6 6 6 6

Kỳ vọng của X là

p

X 1 2 3 4 5 61

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6



Kỳ vọng là giá trị trung bình (theo xác suất) của

biến ngẫu nhiên X, nó phản ánh giá trị trung tâm

phân phối xác suất của X.

Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh nếu cần

chọn phương án cho năng suất (hay lợi nhuận) cao,

người ta chọn phương án sao cho năng suất kỳ vọng

(hay lợi nhuận kỳ vọng) cao.



Ví dụ 9: Một thống kê cho biết tỷ lệ tai nạn xe máy ở

thành phố H là 0,001. Công ty bảo hiểm A đề nghị

bán loại bảo hiểm tai nạn xe máy cho ông B ở thành

phố H trong một năm với số tiền chi trả là 10 triệu

đồng, phí bảo hiểm là 0,1 triệu đồng. Hỏi trung bình

công ty A lãi bao nhiêu khi bán bảo hiểm cho ông B?



Ví dụ 10: Ông A tham gia chơi một trò đỏ, đen như

sau: Trong một hộp có 4 bi đỏ và 6 bi đen. Mỗi lần

ông A lấy ra 1 bi: nếu là đỏ thì được thưởng 100

ngàn đồng, nếu là đen thì bị mất 70 ngàn đồng. Hỏi

trung bình mỗi lần lấy bi, ông A nhận được bao nhiêu

tiền ?



1. E(C) C, E(aX) aE(X)

2. Cộng tính: E(X Y) E(X) E(Y)

3. Đơn điệu: X Y E(X) E(Y)

Tính chất:


4. Nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì

E(XY) E(X)E(Y)


Phương sai của X là đại lượng được xác định bởi

n

2

k k

k 1

Var X p x EX .


• Giả sử BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất

X 1x 2x nx

1p 2pnpP

Độ lệch chuẩn của X là: X Var X .



K.KHCB

05/09/2013

11

• Mốt của X, ký hiệu bởi Mod(X), là giá trị của X mà

tại đó xác suất cao nhất.


1 2 nMod X a P X a max p ,p ,...,p .


n

22

k k

k 1

Var X x p EX .

Mệnh đề: Ta có

Ví dụ 11: Cho X có bảng phân phối xác suất

P

X 31 0

0,50,2 0,3

Tìm kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.



Do X – E(X) là độ lệch giữa giá trị của X so với

trung bình của nó nên phương sai là trung bình

của bình phương độ lệch đó. Phương sai dùng

để đo mức độ phân tán của X quanh kỳ vọng.

Nghĩa là: phương sai nhỏ thì độ phân tán nhỏ

nên độ tập trung lớn, và ngược lại.

Trong kỹ thuật, phương sai đặc trưng cho độ

sai số của thiết bị sản xuất. Trong kinh doanh,

phương sai đặc trưng cho độ rủi ro đầu tư.



1. 2Var C 0, Var(aX) a Var X

3. Nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì

Var(X Y) Var(X) Var(Y)

Tính chất:

2. Var a X Var X



• Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục. Hàm số

được gọi là hàm mật độ xác suất của X

nếu nó thỏa hai điều kiện sau:

f :R R

a) f x 0, x R;

b) f x dx 1.



Ví dụ 12: Cho hàm số

2x, x [0;1]f(x)

0, x [0;1]

Chứng tỏ f(x) là hàm mật độ của một BNN liên

tục X.




K.KHCB

05/09/2013

12

Mệnh đề: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục

có hàm mật độ . Khi đó f x

b

a

P a X b f x dx, a,b R .

Hệ quả: Nếu X là một biến ngẫu nhiên liên tục có

hàm mật độ thì f x 0 0P X x 0, x R.



Hệ quả: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục có

hàm mật độ . Khi đó f x

P(a X b)

P(a X b).

P(a X b)

P(a X b)



Ví dụ 13: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục

có hàm mật độ

3ax , x 0;2 ,f x

0, x 0;2 .

a) Hãy xác định giá trị của tham số a.

b) Tính:

1 1P 0 X , P 1 X 1 , P X .

2 3



Mệnh đề: Nếu X là BNN liên tục có hàm mật độ

f(x) thì x

F x : P X x f t dt, x .

Ví dụ 14: Cho BNN liên tục X có hàm mật độ

23x , x 0;1 ,f x

0, x 0;1 .

Tìm hàm phân phối xác suất của X.



• Cho BNN liên tục X có hàm mật độ f(x). Kỳ vọng

của X được định nghĩa là

E X xf x dx.


• Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục X là đại

lượng

2 2Var X E X EX x EX f x dx.


• Độ lệch tiêu chuẩn: X Var X


• Mốt của biến ngẫu nhiên liên tục X, ký hiệu bởi

Mod(X), là giá trị của X mà tại đó hàm mật độ xác

suất đạt giá trị lớn nhất.



K.KHCB

05/09/2013

13


Mệnh đề: Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm

mật độ f(x) thì

2

2Var X x f x dx xf x dx .



2x, x [0;1]f(x)

0, x [0;1]

Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.





axae , x 0,f(x)

0, x 0.

Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.


CÁC PHÂN PHỐI

XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

CHƯƠNG 3


Nội dung chính

Phân phối siêu bội

Phân phối nhị thức

Phân phối Poisson

Phân phối Gauss

Phân phối chuẩn

Xấp xỉ các loại phân phối

Phân phối Chi-bình phương

Phân phối Student


Bài toán: Cho một tập hợp có N phần tử, trong đó

có NA phần tử có tính chất A. Từ tập hợp, lấy ngẫu

nhiên n phần tử.

Gọi X là số phần tử có tính chất A lẫn trong n phần

tử lấy ra. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.

Phân phối siêu bội Phân phối siêu bội Phân phối siêu bội



K.KHCB

05/09/2013

14


N

n

AN AN N


A A

k n k

N N N

n

N

C CP X k , k 0,1...,n.

C

AX ~ H N; N ; n .

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân

phối siêu bội (hypergeometric distribution) với ba

tham số N, NA , n nếu

Ký hiệu:



Ví dụ 1: Một hộp có 15 quả cam trong đó có 5 quả

hư. Từ hộp ta lấy ngẫu nhiên ra 3 quả. Gọi X là số

quả hư có trong 3 quả lấy ra.

1. Lập bảng phân phối xác suất của X.

2. Tính kỳ vọng và phương sai của X.

3. Tính xác suất để có ít nhất 1 quả hư trong 3 quả

lấy ra.



AX ~ H N; N ; n .Cho Đặt Khi đó

N nE X np, Var X npq .

N 1

ANp , q 1 p.

N



Ví dụ 2: Từ một công trình xây dựng có 100 người

đang làm việc trong đó có 85 công nhân, chọn ra

một nhóm gồm 30 người. Gọi X là số công nhân

chọn được.

1. Tính xác suất chọn được từ 20 đến 22 công

nhân.

2. Tính trung bình số công nhân chọn được và

phương sai của X.



Một dãy gồm n phép thử ngẫu nhiên được gọi là

dãy phép thử Bernoulli nếu nó thỏa 3 điều kiện:

Các phép thử phải độc lập với nhau.

Ở mỗi phép thử, ta chỉ quan tâm đến một biến

cố A nào đó. Nếu A xảy ra, ta nói phép thử là

“thành công”. Nếu A không xảy ra, ta nói phép

thử “thất bại”.

Xác suất “thành công”, p = P(A), là không đổi

qua n phép thử.




K.KHCB

05/09/2013

15

Ví dụ 3: Tung một đồng xu (gồm hai mặt là số và

hình) cân đối, đồng chất 10 lần.

Ở mỗi lần tung, ta xem biến cố A: “mặt số xuất

hiện” có xảy ra hay không.

Xác suất xuất hiện mặt số ở mỗi lần tung là 0,5.

Do đó, đây là dãy gồm 10 phép thử Bernoulli.



Ví dụ 4: Một sinh viên trả lời 20 câu hỏi trắc nghiệm

một cách ngẫu nhiên. Mỗi câu hỏi có 4 phương án

trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Ở mỗi câu

trả lời, ta chỉ quan tâm sinh viên này trả lời đúng hay

không. Đây là dãy phép thử Bernoulli.



Bài toán: Thực hiện dãy gồm n phép thử

Bernoulli với xác suất “thành công” là p.

Gọi X là biến số ngẫu nhiên chỉ số lần “thành

công” trong n lần thử.

Lập bảng phân phối xác suất cho X.



• Cho X ~ B(n,p). Khi đó kỳ vọng, phương sai và mốt

của X được cho bởi:

E X np, Var X npq, Mod X np q; np q 1 .


Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là

có phân phối nhị thức (binomial distribution) với hai

tham số n và p nếu:

k k n k

nP X k C p q , q 1 p .

Ký hiệu: X ~ B(n; p).


Ví dụ 5: Ông A trồng 100 cây Bạch Đàn với xác

suất cây chết là 2%. Gọi X là số cây Bạch Đàn

chết.

1) Tính xác suất có từ 3 đến 5 cây Bạch Đàn chết.

2) Tính trung bình số cây Bạch Đàn chết.

3) Hỏi ông A cần phải trồng tối thiểu bao nhiêu cây

Bạch Đàn để xác suất có ít nhất một cây chết

lớn hơn 10% ?

ĐS: 1) 0,3078; 2) 2 cây; 3) 6 cây.



Ví dụ 6: Trong một vùng dân cư có 65% gia đình có

máy giặt, chọn ngẫu nhiên 12 gia đình. Tính xác

suất:

1) Chọn được 5 gia đình có máy giặt;

2) Chọn được ít nhất 2 gia đình có máy giặt.

ĐS: 1) 0,0591; 2) 0,999.




K.KHCB

05/09/2013

16


Bài toán: Ta quan tâm đến sự xuất hiện của biến

cố A trong khoảng thời gian (t1; t2). Giả thiết rằng:

Sự xuất hiện A trong khoảng thời gian (t1; t2)

không ảnh hưởng đến cơ may xuất hiện A trong

các khoảng thời gian kế tiếp;

Cơ may xuất hiện A trong khoảng thời gian (t1; t2)

tỷ lệ thuận với độ dài khoảng (t1; t2).

Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng thời

gian (t1; t2). Lập bảng phân phối cho X. LÊ HỮU KỲ SƠN 91


Định nghĩa: Biến số ngẫu nhiên X được gọi là có

phân phối Possion với tham số nếu X =

{0,1,2,…,n,…} và

0

ke

P X k , k 0,1,2,...k!

trong đó là trung bình số lần xuất hiện biến

cố mà ta quan tâm trong khoảng thời gian (t1; t2).

Ký hiệu: X ~ P .



Ví dụ 7: Quan sát tại siêu thị A thì thấy trung bình 5

phút có 18 khách đến mua hàng.

1) Tính xác suất có 25 khách hàng đến siêu thị A

trong 7 phút.

2) Tính xác suất có từ 3 đến 5 khách hàng đến siêu

thị A trong 2 phút.

Đáp số: 1) 0,0795; 2) 0,2504.

• Nếu thì X ~ P EX Var X ; modX 1;



Ví dụ 8: Một trung tâm bưu điện nhận được trung

bình 3 cuộc điện thoại trong mỗi phút. Tính xác suất

để trung tâm này:

1) Nhận được 7 cuộc điện thoại trong 2 phút.

2) Tính số cuộc điện thoại chắc chắn nhất mà trung

tâm nhận được trong khoảng thời gian 4 phút.



Ví dụ 9: Số khách đến mua hàng tại một quầy hàng

là biến ngẫu nhiên, trung bình cứ 3 phút có 1 người.

Năng lực phục vụ khách của quầy hàng thường

xuyên là: 2 người được phục vụ trong 5 phút (khách

không phải chờ một cách đáng kể, nghĩa là không

phải chờ quá 2 phút). Tính xác suất:

1) Có 2 khách hàng trong 30 giây.

2) Có khách bị chờ một cách đáng kể.


Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục Z được gọi là

có phân phối Gauss (hay phân phối chuẩn tắc) nếu

hàm mật độ xác suất của nó có dạng

2x

21

f x e , x R.2

Ký hiệu: Z ~ N(0; 1).

• Các số đặc trưng: Mod Z E Z 0; Var Z 1.

Phân phối chuẩn tắc Phân phối Gauss



K.KHCB

05/09/2013

17

Phân phối chuẩn tắc Phân phối Gauss

O

2x

21

y e2

x

1

2


• Hàm Laplace: là hàm số có dạng

2x x t

2

0 0

1x f t dt e dt, x R.

2

• Các tính chất của hàm Laplace:

a) Hàm số tăng và là hàm lẻ trên R.

Các giá trị của hàm Laplace được cho ở bảng B.

b) 0,5; 0,5.

c) Xác suất P a Z b b a .

Phân phối Gauss


Phân phối Gauss

Ví dụ 10: Cho Z ~ N(0;1). Tính các xác suất sau:

a) P 1,24 Z 3,21

b) P 2,17 Z 2,48

c) P Z 1,34

d) P Z 1,27


Phân phối Gauss

• Cho Giá trị được gọi là phân vị mức

của biến ngẫu nhiên Z ~ N(0;1) nếu:

0 1. t

P t Z t 1 .

• Công thức xác định của là: t

1t .

2

Ví dụ 11: Cho Z ~ N(0;1). Tìm phân vị mức

ĐS: 1,96.

0,05.


Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là

có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ xác suất của

nó có dạng

2

2

x

21

f x e , x R.2

• Các số đặc trưng: 2E X Mod X ; Var X .

Ký hiệu: 2X ~ N ; .

Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn


Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn



K.KHCB

05/09/2013

18

• Xác suất: Cho Khi đó

b aP a X b .

2X ~ N ; .


• Nếu thì

XZ ~ N 0,1 . 2X ~ N ;


Ví dụ 12: Đường kính của một loại chi tiết do một

máy sản xuất có phân phối chuẩn, kỳ vọng 20mm, độ

lệch chuẩn 0,2mm. Tính xác suất lấy ngẫu nhiên một

chi tiết:

1) Có đường kính trong khoảng 19,9mm đến

20,3mm.

2) Có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá

0,3mm.

ĐS:



Ví dụ 13: Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối

chuẩn với E(X) = 10 và P(10<X<20) = 0,3. Tính

P(5<X<15).

Đáp số:




Xấp xỉ phân phối siêu bội bởi phân phối nhị

thức

Cho . Nếu thì với X B n; pn N AX ~ H N; N ; n

Xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối

Poisson

Cho . Nếu n lớn, thì

X P , np.

np 5 X ~ B n;p

ANp .

N



Xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối chuẩn


2 2X N ; , np, npq.

np 5, nq 5 X ~ B n;p


2k np1

P X k exp .2npq2 npq

np 5, nq 5 X ~ B n;p



Ví dụ 14: Khi tiêm truyền một loại huyết thanh, trung

bình có 1 trường hợp phản ứng trên 1000 trường

hợp. Dùng loại huyết thanh này tiêm cho 2000

người. Tính xác suất:

1) Có 3 trường hợp phản ứng.

2) Có nhiều nhất 3 trường hợp phản ứng.

3) Có nhiều hơn 3 trường hợp phản ứng.

Đáp số: 1) 0,1805; 2) 0,86; c) 0,14.



K.KHCB

05/09/2013

19


Ví dụ 15: Trong 10000 sản phẩm trên một dây

chuyền sản xuất, có 2000 sản phẩm không được

kiểm tra chất lượng. Tìm xác suất để trong 400 sản

phẩm sản xuất ra:

1) Có từ 70 đến 100 sản phẩm không được kiểm tra

chất lượng.

2) Có 80 sản phẩm không được kiểm tra chất lượng.

Đáp số: a) 0,8882 b) 0,0478.



Ví dụ 16: Một khách sạn nhận đặt chỗ của 325

khách hàng cho 300 phòng vào ngày 1/9 vì theo kinh

nghiệm của những năm trước cho thấy tỷ lệ khách

đặt chỗ nhưng không đến là 10%. Tính xác suất:

1) Có 300 khách đến vào ngày 1/9 để nhận phòng.

2) Tất cả các khách đến vào ngày 1/9 đều nhận

được phòng.

Đáp số: 1) 0,0293; 2) 0,9177.


Phân phối Chi–bình phương

• Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Chi–

bình phương với n bậc tự do nếu

2 2 2

1 2 n kX Z Z ... Z ; Z ~ N 0,1 , k 1,2,...,n.

Ký hiệu: 2X ~ n .

• Nếu và X, Y độc lập nhau thì 2 2X ~ n , Y ~ m

2X Y ~ n m .


Phân phối Chi–bình phương

• Nếu thì 2X ~ n E X n, Var X 2n.

• Nếu thì 2X ~ n

FX nN 0,1 .

2n



• Biến ngẫu nhiên T được gọi là có phân phối

Student với n bậc tự do nếu

2UT , U ~ N 0,1 , V ~ n .

Vn

Ký hiệu: T ~ St n



• Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên T có phân phối

Student với n bậc tự do có dạng:

n 12 2

T

n 1

1 x2f x 1 , x .

n nn

2



K.KHCB

05/09/2013

20




• Nếu thì T ~ St n

nE T 0, Var T

n 2

Tính chất:

• Nếu thì T ~ St n FT N 0,1 .

Trong thực hành, khi với thì ta xem T ~ St n n 30

T N 0,1 .



• Nếu thì T ~ St n FT N 0,1 .

• Trong thực hành, khi với thì ta

xem

T ~ St n n 30

T N 0,1 .


MẪU THỐNG KÊ & ƯỚC

LƯỢNG THAM SỐ

CHƯƠNG 4


Tổng thể và mẫu ngẫu nhiên

Các đặc trưng trên tổng thể

Các đặc trưng của mẫu

Ước lượng tham số trung bình trên tổng thể

Ước lượng tham số tỷ lệ trên tổng thể

Nội dung chính


• Tập tất cả các đối tượng mà ta quan tâm nghiên cứu,

khảo sát được gọi là tổng thể. Số phần tử của tổng thể

được gọi là kích thước của tổng thể. Kích thước của

tổng thể thường rất lớn.

• Từ tổng thể, nếu ta chọn ra n phần tử để quan sát

một dấu hiệu nào đó thì n phần tử đó được gọi là một

mẫu có kích thước n.




K.KHCB

05/09/2013

21

• Mẫu được chọn ngẫu nhiên một cách khách quan

được gọi là mẫu ngẫu nhiên.

• Cơ bản, ta có 2 cách chọn mẫu: chọn mẫu không

hoàn lại và chọn mẫu có hoàn lại.

Khi mẫu có kích thước lớn, ta không phân biệt chọn

mẫu có hoàn lại hay không hoàn lại.



• Ta thường quan tâm đến 2 loại mẫu: mẫu định tính

và mẫu định lượng.

• Từ tổng thể, ta chọn một mẫu ngẫu nhiên có kích

thước n. Gọi X1, X2,…, Xn là các giá trị quan sát được.

Khi đó, ta xem X1, X2,…, Xn như là các biến ngẫu

nhiên độc lập và có cùng luật phân phối xác suất.



• Cho một ngẫu nhiên (X1, X2,…, Xn). Ta có 2 cách

sắp xếp các giá trị quan sát của mẫu:

+ Sắp theo bảng số liệu không tần số.

+ Sắp theo bảng số liệu có tần số.



VD 1. Theo dõi mức nguyên liệu hao phí để sản

xuất ra một đơn vị sản phẩm ở một nhà máy, ta

thu được các số liệu sau (đơn vị: gam)

20; 22; 21; 20; 22; 22; 20; 19; 20; 22; 21; 19; 19;

20; 18; 19; 20; 20; 18; 19; 20; 20; 21; 20; 18; 19;

19; 21; 22; 21; 21; 20; 19; 20; 22; 21; 21; 22; 20;

20; 20; 19; 20; 21; 19; 19; 20; 21; 21.



VD 2. Kiểm tra ngẫu nhiên điểm thi của 50

sinh viên, kết quả:

Điểm 2 4 5 6 7 8 9 10

Số SV) 4 6 20 10 5 2 2 1



VD 3. Đo chiều cao của n = 100 thanh niên, ta

có bảng số liệu ở dạng khoảng:

Chiều cao (cm) Số thanh niên

148 – 152

152 – 156

156 – 160

160 – 164

164 – 168

5

20

35

25

15




K.KHCB

05/09/2013

22

Tuy nhiên, do tổng thể thường có kích thước lớn

nên ta không xác định được các đặc trưng trên tổng

thể.

Một dấu hiệu trên tổng thể có 3 đặc trưng quan

trọng sau:

Trung bình của dấu hiệu trên tổng thể:

Phương sai của dấu hiệu trên tổng thể:

Tỷ lệ các phần tử có tính chất A của tổng thể: p

2

Các đặc trưng trên tổng thể


• Trung bình mẫu:

n1 2 n

i

i 1

X X ... X 1X X .

n n

• Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh:

2 2

n 21 n2

i

i 1

X X ... X X 1S X X .

n n

• Độ lệch chuẩn mẫu chưa hiệu chỉnh: 2ˆ ˆS S .



• Phương sai mẫu hiệu chỉnh:

2 2

n 21 n2

i

i 1

X X ... X X 1S X X .

n 1 n 1

• Độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh: 2S S .

Nhận xét:

2 2n ˆS S .n 1




• Tỷ lệ phần tử có tính chất A trên mẫu:

n

n i

i 1

1F Y

n

trong đó

,

,

1

0

iYnếu quan sát thấy có tính chất A,

nếu quan sát thấy không có tính chất A.


VD 4. Đo lượng huyết tương của 8 người mạnh

khoẻ, ta có

2,86 3,37 2,75 2,62 3,50 3,25 3,12 3,15

Hãy xác định các đặc trưng mẫu.



VD 5. Quan sát thời gian cần thiết để sản xuất một

chi tiết máy, ta thu được bảng số liệu:

Khoảng thời gian (phút) Số lần quan sát

20-25

25-30

30-35

35-40

40-45

2

14

26

32

14

Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh.




K.KHCB

05/09/2013

23

Định lý 1: Cho mẫu ngẫu nhiên độc lập, cùng phân

phối (X1, X2,…, Xn) với

Khi đó,

2

k kE X , Var X , k.

2

2 2

2 2

n n

E X , Var X ,n

n 1ˆE S ,n

E S ,

p 1 pE F p, Var F .

n



Định lý 2 (Định lý Lindeberg - Lévy): Cho mẫu

ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối (X1, X2,…, Xn)

với Khi đó: 2

kX N ; , k 1,2,...,n.

2

2

2

2

X N ; ;n

n 1 S

a

b .) n 1

)




Định lý 3: Cho mẫu ngẫu nhiên độc lập, cùng phân

phối (X1, X2,…, Xn) với

Khi đó, với n đủ lớn, ta có

2

X N ; .n

2

k kE X , Var X , k.


Ước lượng trung bình trên tổng thể

Bài toán: Trên tổng thể, ta xét một dấu hiệu có phân

phối chuẩn với tham số chưa biết.

• Từ tổng thể, ta chọn mẫu ngẫu nhiên (X1, X2,…,Xn).

Khi đó,

• Dựa vào mẫu trên, hãy tìm sao cho

với cho trước.

2N ;

2

kX N ; , k 1,2,...,n.

1 2,

1 2P 1 ,

0,1



Giải quyết

TH1: đã biết 2

22

kX N ; , k X N ;n

XZ n N 0;1

Với cho trước, ta tìm được (Tra bảng

B- bảng phân phối Gauss) sao cho

0,1

t

P t Z t 1



XP t n t 1

P X t X t 1

n n

Vậy ta chọn

1 2X t , X t .

n n



K.KHCB

05/09/2013

24


TH2: chưa biết 2

22

kX N ; , k X N ;n

XZ n N 0;1

2

2

2

n 1 SY n 1

Z XT n St n 1

SY

n 1LÊ HỮU KỲ SƠN 139


Với cho trước, ta tìm được (Tra bảng C

– Bảng phân phối Student) sao cho

0,1

n 1t

n 1 n 1P t T t 1

n 1 n 1XP t n t 1

S

n 1 n 1S SP X t X t 1 .

n n

Vậy ta chọn:

n 1 n 1

1 2

S SX t , X t .

n nLÊ HỮU KỲ SƠN 140


Lưu ý: Khi cỡ mẫu thì giá trị trong bảng C

trùng với giá trị trong bảng B.

n 1tn 30

t

• Khi ta có thì đại lượng: 1 2P 1

: độ tin cậy của ước lượng. 1

: khoảng ước lượng. 1 2,

: độ chính xác (sai số) của ước lượng.

2 1

2LÊ HỮU KỲ SƠN 141

Trong ứng dụng, ta có 4 trường hợp sau:

Trường hợp 1: và đã biết. n 30 2

- Xác định: X

- Xác định từ đẳng thức (Tra bảng B).

1

t2

t

- Xác định sai số:

t

n

- Khoảng ước lượng: X ; X



Trường hợp 2: và chưa biết. n 30 2

- Xác định: X, S


1

t2

t


St

n




Trường hợp 3: , đã biết và dấu hiệu

trên tổng thể có phân phối chuẩn.

n 30 2

Thực hiện tương tự như ở trường hợp 1.




K.KHCB

05/09/2013

25


- Xác định phân vị (Tra bảng C).

n 1t


n 1 S

tn


Trường hợp 4: , chưa biết và dấu hiệu

trên tổng thể có phân phối chuẩn.

n 30 2



VD 6. Một chủ kho cung cấp muốn ước lượng lượng

sơn chứa trong một thùng được sản suất từ một dây

chuyền công nghệ quốc gia. Biết rằng, theo tiêu

chuẩn của dây chuyền công nghệ đó, độ lệch tiêu

chuẩn của lượng sơn là 0,08 thùng. Điều tra một

mẫu gồm 50 thùng sơn thì được lượng sơn trung

bình là 0,97 thùng. Với độ tin cậy 99%, hãy ước

lượng lượng sơn trung bình chứa trong một thùng.

Đáp số: [0,9408 thùng; 0,9992 thùng]




VD 7. Đem cân một số trái cây vừa thu hoạch, ta

được kết quả sau:

X gam) 200-

210

210-

220

220-

230

230-

240

240-

250

Số trái 12 7 20 18 15

a) Tìm khoảng ước lượng cho trọng lượng trung

bình của một trái cây với độ tin cậy 95%.

b) Muốn sai số ước lượng không quá 2 gam ở độ

tin cậy 99% thì phải quan sát ít nhất bao nhiêu trái ?

Đáp số: a) [222,98g; 228,72g]; b) 293 trái. LÊ HỮU KỲ SƠN 147


VD 8. Đo đường kính của 100 trục máy do một nhà

máy sản xuất thì được bảng số liệu:

Đường kính (cm) 9,75 9,80 9,85 9,90

Số trục máy 5 37 42 16

a) Hãy ước lượng đường kính trung bình của một

trục máy ở độ tin cậy 97%.

b) Với độ chính xác 0,006 cm, hãy xác định độ tin

cậy.


VD 9. Khảo sát trọng lượng (kg) của gà khi xuất

chuồng, người ta cân thử một số con và thu được

kết quả: 2,1; 1,8; 2,0; 2,3; 1,7; 1,5; 2,0; 2,2; 1,8.

Giả sử trọng lượng của gà là biến ngẫu nhiên có

phân phối chuẩn. Ở độ tin cậy 95%, hãy ước lượng

trọng lượng trung bình của gà khi xuất chuồng trong

hai trường hợp sau:

a) Biết độ lệch chuẩn là 0,3 kg.

b) Chưa biết độ lệch chuẩn.



• Trên tổng thể, ta xét một dấu hiệu có tỷ lệ

chưa biết. Dựa trên mẫu ngẫu nhiên quan sát

được, ta tìm hai đại lượng sao cho 1 2p , p

1 2P p p p 1 .

: độ tin cậy của ước lượng. 1

: khoảng ước lượng. 1 2p ,p

: độ chính xác (sai số) của ước lượng.

2 1p p

2

Ước lượng tỷ lệ trên tổng thể



K.KHCB

05/09/2013

26

- Xác định tỷ lệ trên mẫu: n

mf F

n


1

t2

t


f 1 ft

n

- Khoảng ước lượng: f ; f

Các bước thực hiện việc ước lượng:



VD 10. Lô trái cây của một cửa hàng được đóng thành

sọt, mỗi sọt 100 trái. Kiểm tra ngẫu nhiên 50 sọt thì thấy

có 450 trái không đạt tiêu chuẩn.

a) Hãy ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn

của lô hàng ở độ tin cậy 95%.

b) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn

với độ chính xác 0,005, độ tin cậy đạt được là bao

nhiêu ?

c) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn

ở độ tin cậy 99,7% thì độ chính xác đạt được là bao

nhiêu ?



VD 11. Để ước lượng số cá có trong một cái hồ, người

ta bắt lên 10.000 con, đánh dấu rồi thả lại xuống hồ.

Sau một thời gian, lại bắt lên 8.000 con cá thì thấy có

564 con cá có đánh dấu. Ở độ tin cậy 97%, hãy ước

lượng tỷ lệ cá có đánh dấu trong hồ và cho biết số cá

có trong hồ ?



VD 12. Cân thử 100 quả cam, ta có bộ số liệu sau:

Khối lượng

(g)

32 33 34 35 36 37 38 39 40

Số quả 2 3 15 26 28 6 8 8 4

a) Hãy ước lượng khối lượng trung bình một quả

cam ở độ tin cậy 95%.

b) Cam có khối lượng dưới 35g được coi là cam

loại 2. Ước lượng tỷ lệ cam loại 2 ở độ tin cậy

90%.



Sử dụng máy tính bỏ túi tính đặc trưng mẫu

1. Số liệu đơn (không có tần số)

VD 1. Cho mẫu có cỡ mẫu là 5n :

12; 13; 11; 14; 11.

a) Máy fx 500 – 570 MS

• Xóa bộ nhớ: SHIFT MODE 3 = =

• Vào chế độ thống kê nhập dữ liệu:

– MODE 2 (chọn SD đối với fx500MS);

MODE MODE 1 (chọn SD đối với fx570MS).

– Nhập các số:

12 M+ 13 M+ 11 M+ 14 M+ 11 M+


• Xuất kết quả:

– SHIFT 2 1 =

(kết quả x là trung bình mẫu).

– SHIFT 2 2 =

(kết quả x n là độ lệch chuẩn của mẫu s ). – SHIFT 2 3 =

( 1x n là độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh s ).




K.KHCB

05/09/2013

27

b) Máy fx 500 – 570 ES

• Xóa bộ nhớ: SHIFT 9 3 = =


– SHIFT MODE dịch chuyển mũi tên tìm chọn

mục Stat 2 (chế độ không tần số).

– MODE 3 (stat) 1 (1-var) (nhập các số):

12= 13= 11= 14= 11= AC

• Xuất kết quả:

– SHIFT 1 5 (var) 1 = (n : cỡ mẫu)

– SHIFT 1 5 (var) 2 = (x )

– SHIFT 1 5 (var) 3 = ( ˆx n s ). – SHIFT 1 5 (var) 4 = ( 1x n s ).



2. Số liệu có tần số

VD 2. Cho mẫu có cỡ mẫu là 9n như sau:

X 12 11 15

n 3 2 4



a) Máy fx 500 – 570 MS

• Xóa bộ nhớ: SHIFT MODE 3 = =


– MODE 2 (chọn SD đối với fx500MS);

MODE MODE 1 (chọn SD đối với fx570MS).

– Nhập các số:

12 SHIFT , 3 M+

11 SHIFT , 2 M+

15 SHIFT , 4 M+

• Xuất kết quả, ta làm như 1a).



b) Máy fx 500 – 570 ES

• Xóa bộ nhớ: SHIFT 9 3 = =


– SHIFT MODE (SETUP) dịch chuyển mũi tên

4 1

– MODE 3 (stat) 1 (1-var)

– Nhập các giá trị và tần số vào 2 cột trên màn hình:

X FREQ

12 3

11 2

15 4 AC

• Xuất kết quả, làm như 1b).



KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT

THỐNG KÊ

CHƯƠNG 5


Khái niệm chung

Các loại sai lầm khi kiểm định

Cơ sở lý thuyết của kiểm định

Kiểm định giả thuyết về trung bình

Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ

Nội dung chính



K.KHCB

05/09/2013

28

Khái niệm chung

• Mô hình tổng quát của bài toán kiểm định là: ta

nêu lên hai mệnh đề trái ngược nhau, một mệnh

đề được gọi là giả thuyết H và mệnh đề ngược lại

được gọi là đối thuyết

• Giải quyết một bài toán kiểm định là đưa ra một

quy tắc hành động (chấp nhận H hoặc bác bỏ H)

bằng cách dựa vào mẫu quan sát.

H.


Khái niệm chung

• Ta nói rằng: chấp nhận giả thuyết H, có nghĩa là ta

tin rằng H đúng; bác bỏ H, có nghĩa là ta tin rằng

H sai.

• Ở đây, ta không thể khẳng định H đúng hay sai, ta

chỉ quan sát ngẫu nhiên một số trường hợp nên

không thể khẳng định chắc chắn điều gì cho cả

tổng thể.



Quan sát ngẫu nhiên một số trường hợp rồi suy rộng

cho cả tổng thể, sự suy rộng này có khi đúng, có khi

sai. Thống kê học phân biệt hai loại sai lầm:

• Sai lầm loại 1: Bác bỏ H trong khi H xảy ra,

• Sai lầm loại 2: Chấp nhận H trong khi H không xảy

ra.



Quyết định

Thực tế

Chấp nhận H Bác bỏ H

H xảy ra Đúng Sai lầm loại 1

H không xảy ra Sai lầm loại 2 Đúng



• Nếu ta hạ thấp nguy cơ sai lầm loại 1 thì nguy cơ sai

lầm loại 2 sẽ tăng lên và ngược lại. Do đó, thực tế thì

ta xem giữa hai sai lầm này, sai lầm nào tác hại nhiều

hơn thì cần tránh.

P Sai laàm loaïi

P Chaápnhaän H Hkhoâng xaûy ra

2

1 P Sai laàm loaïi P Baùc boû H Hxaûy ra ,


• Thống kê học quy ước sai lầm loại 1 là tác hại hơn

và cần tránh hơn. Do đó, ta chỉ xét các phép kiểm

định có nguy cơ sai lầm loại 1 không vượt quá một

giá trị ấn định trước, thông thường là 1%, 2%, 5% ...

Giá trị này còn được gọi là mức ý nghĩa của phép

kiểm định.




K.KHCB

05/09/2013

29


• Dựa vào mẫu quan sát X1, X2, …, Xn, ta chọn một

thống kê Q = f(X1, X2, …, Xn) sao cho khi H đúng

thì phân phối của Q hoàn toàn được xác định.

Thống kê Q được gọi là tiêu chuẩn kiểm định giả

thuyết H.

• Từ nguy cơ sai lầm , ta đi tìm khoảng ước lượng

[a, b] của Q ở độ tin cậy

1 .



• Nếu thì ta chấp nhận H.

• Nếu thì ta bác bỏ H.

Lưu ý:

Trong ứng dụng, nếu hàm mật độ của Q có dạng

đối xứng qua trục Oy, chẳng hạn như trong phân

phối Gauss N(0;1) và phân phối Student St(n), thì

ta chọn khoảng tin cậy đối xứng [-C; C] với

Q a,b

Q a,b

P Q C P Q C .2



• Nếu thì ta chấp nhận H.


Q C

Q C



Nếu hàm mật độ của Q không đối xứng thì ta quy

ước khoảng tin cậy trong phép kiểm định là [0; C]

với

• Nếu thì ta chấp nhận giả thuyết H.


P Q C .

Q C

Q C


Kiểm định so sánh trung bình với một số

Xét bài toán kiểm định: so sánh một tham số

trung bình,

Dựa vào mẫu quan sát (X1, X2, …, Xn), ta đưa ra

quyết định: chấp nhận H hoặc bác bỏ H.

Ta có 4 trường hợp sau:

0

0

H: ,

H : .


Trường hợp 1: và đã biết. n 30 2

- Xác định: X


1

t2

t

- Xác định giá trị thống kê:

0Xt n.

- Kết luận: Nếu thì ta chấp nhận H.

Nếu thì ta bác bỏ H.

t t

t t




K.KHCB

05/09/2013

30

Lưu ý. Trong trường hợp bác bỏ H, nghĩa là ,

thì:

• Nếu thì ta kết luận

• Nếu thì ta kết luận

0

0X 0.

0X 0.



Trường hợp 2: và chưa biết. n 30 2

- Xác định: X,S


1

t2

t


0X

t n.S



t t

t t



Trường hợp 3: , đã biết và dấu hiệu X

có phân phối chuẩn.

n 30 2

Thực hiện tương tự như ở trường hợp 1.




- Xác định phân vị (Tra bảng C).

n 1t


Trường hợp 4: , chưa biết và dấu hiệu

X có phân phối chuẩn.

n 30 2



n 1t t

n 1t t


0Xt n

S


VD 1. Đo lượng cholesterol ( đơn vị: mg%) cho

một nhóm người, ta ghi nhận lại được

Chol. 150 –

160

160 -

170

170 -

180

180 -

190

190 -

200

200 -

210

Số

người

3 9 11 3 2 1

a) Tính trung bình mẫu X và độ lệch chuẩn S.

b) Có tài liệu cho biết lượng cholesterol trung bình

là 175 mg%. Giá trị này có phù hợp với mẫu quan

sát không ? Kết luận với mức ý nghĩa 0,05 .



VD 2. Một nhà giáo dục học A muốn nghiên cứu

xem số giờ tự học trung bình hàng ngày của sinh

viên hiện nay có thay đổi không so với mức 1

giờ/ngày cách đây 10 năm.

Ông A khảo sát ngẫu nhiên 120 sinh viên và

tính được số giờ tự học trung bình là 0,82

giờ/ngày với S 0,82 giờ/ngày. Với mức ý nghĩa

3%, hãy cho biết kết luận của ông A ?




K.KHCB

05/09/2013

31

VD 3. Một công ty xây dựng cho biết mức lương

bình quân của một kỹ sư ở công ty là 8,7 triệu

đồng/tháng với độ lệch chuẩn 0,5 triệu đồng/tháng.

Kỹ sư A dự định xin vào làm ở công ty này và đã

thăm dò 18 kỹ sư thì thấy mức lượng trung bình là

8,45 triệu đồng/tháng.

Kỹ sư A quyết định rằng: nếu mức lương trung

bình bằng với mức công ty đưa ra thì nộp đơn xin

làm. Với mức ý nghĩa 2%, hãy cho biết kết luận

của kỹ sư A ?



VD 4. Một máy đóng gói các sản phẩm có khối

lượng 1kg. Nghi ngờ máy hoạt động không bình

thường, người ta chọn ra một mẫu ngẫu nhiên

gồm 100 sản phẩm thì thấy như sau :

Khối

lượng (kg)

0,95 0,97 0,99 1,01 1,03 1,05

Số gói 9 31 40 15 3 2

Với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận về nghi ngờ

trên ?



Xét bài toán kiểm định: so sánh một tham số tỷ

lệ,

Ở đây, p là tỷ lệ các phần tử có tính chất A trên tổng

thể. Dựa vào mẫu quan sát (X1, X2, …, Xn), ta đưa

ra quyết định: chấp nhận H hoặc bác bỏ H.

0

0

H: p p ,

H : p p .

Kiểm định so sánh tỷ lệ với một số


- Xác định tỷ lệ trên mẫu : n

mf f

n


1

t2

t


0

0 0

f pt n.

p 1 p



t t

t t




VD 5. Tỷ lệ phế phẩm của một nhà máy trước đây

là 5%. Năm nay nhà máy áp dụng một biện pháp

kỹ thuật mới. Để nghiên cứu tác dụng của biện

pháp kỹ thuật mới, người ta lấy một mẫu gồm 800

sản phẩm để kiểm tra và thấy có 24 phế phẩm.

a) Với mức ý nghĩa 1%, hãy cho kết luận về biện pháp kỹ thuật mới này ?

b) Nếu nhà máy báo cáo tỷ lệ phế phẩm sau khi áp dụng biện pháp kỹ thuật mới là 2% thì có chấp nhận được không ? Kết luận với mức ý nghĩa 1%.



VD 6. Khảo sát ngẫu nhiên 400 sinh viên về mức

độ nghiêm túc trong giờ học thì thấy có 13 sinh

viên thừa nhận có ngủ gục trong giờ học. Trong

kiểm định giả thuyết H: “có 2% sinh viên ngủ trong

giờ học”, mức ý nghĩa tối đa là bao nhiêu để H

được chấp nhận ?



K.KHCB

05/09/2013

32

Chương 6. Bài toán tương quan & Hồi quy

1. HỆ SỐ TƯƠNG QUAN MẪU

1.1. Định nghĩa

• Hệ số tương quan mẫu r là số đo mức độ phụ thuộc

tuyến tính giữa hai mẫu ngẫu nhiên cùng cỡ X và Y .

• Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên cỡ n về vector ngẫu nhiên

( , )X Y là ( , ); 1; 2;...;i ix y i n . Khi đó, hệ số tương

quan mẫu r được tính theo công thức:

1

. 1; .

ˆ ˆ.

n

i iix y

xy x yr xy x y

s s n



VD 1. Kết quả đo lường độ cholesterol (Y) có trong máu

của 10 đối tượng nam ở độ tuổi (X) như sau:

X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49

Y 1,9 4,0 2,6 4,5 2,9 3,8 4,1 4,6 3,2 4,0

Tính hệ số tương quan mẫu giữa X và Y .

1.2. Tính chất

1) 1 1r .

2) Nếu 0r thì ,X Y không có quan hệ tuyến tính;

Nếu 1r thì ,X Y có quan hệ tuyến tính tuyệt đối.

3) Nếu 0r thì quan hệ giữa ,X Y là giảm biến.

4) Nếu 0r thì quan hệ giữa ,X Y là đồng biến.



Giải. Từ số liệu ở bảng trên, ta tính được:

20 1, 9 ... 49 4, 0

167,2610

xy ;

1

41

3,9n

ii

x xn

; ˆ 13,5385xs ;

1

31

,56n

ii

y yn

; ˆ 0,8333ys .

Vậy .

0, 9729ˆ .x y

xy x yr

s s.



2. Đường hồi quy trung bình tuyến tính thực nghiệm

• Từ mẫu thực nghiệm về vector ngẫu nhiên ( , )X Y , ta

biễu diễn các cặp điểm ( , )i ix y lên mpOxy . Khi đó,

đường cong nối các điểm là đường cong phụ thuộc của

Y theo X mà ta cần tìm (xem hình a), b)).

Hình a

Hình b



• Đường thẳng là đường hồi quy thực nghiệm xấp xỉ tốt

nhất các điểm mẫu đã cho, cũng là xấp xỉ đường cong

cần tìm. Trong hình a) ta thấy xấp xỉ tốt (phụ thuộc

tuyến tính chặt), hình b) xấp xỉ không tốt.

2.1. Phương pháp bình phương bé nhất

• Khi có sự phụ thuộc tuyến tính tương đối chặt giữa hai

biến ngẫu nhiên X và Y ta cần tìm biểu thức a bX

xấp xỉ Y tốt nhất theo nghĩa cực tiểu sai số bình

phương trung bình 2( )E Y a bX , phương pháp này

được gọi là bình phương bé nhất.

• Với mỗi cặp điểm ( , )i ix y thì sai số xấp xỉ là:

( )i i iy a bx (xem hình c)). LÊ HỮU KỲ SƠN 191


Ta đi tìm các ước lượng a, b

sao cho 2

1

n

ii

đạt cực tiểu.

Đặt 2

1

n

iiQ

1

2( )i i

n

i

a bxy , ta có:

Hình c

/

1 1/

2

1 1 1

(1)0

0(2)

n n

i ia i i

n n nb

i i i ii i i

na b x yQ

Qa x b x x y



K.KHCB

05/09/2013

33


1 1

1 1(1) . .

n n

i ii i

a y b x y b xn n

.

Thay a vào (2), ta được:

2

1 1 1

.n n n

i i i ii i i

y b x x b x x y

2

1 1 1 1

1 1 1 1. .

n n n n

i i i i ii i i i

b x x x x y y xn n n n

2 2

2

..

x

xy x yb x x xy x y b

s.



• Vậy 2

.

x

xy x yb

s, .a y b x .

Đường hồi quy tuyến tính của Y theo X là:

.y a bx

• Tương tự: 2

.

y

xy x yb

s, .a x b y .

Đường hồi quy tuyến tính của X theo Y là:

.x a by



Giải. 1) ˆ ˆ1,55; 0,0707; 53; 5,099x yx s y s ;

82, 45 1,55 5382, 45 0,8322

0, 0707 5, 099xy r .

VD 2. Đo chiều cao (X: m) và khối lượng (Y: kg) của 5

học sinh nam, ta có kết quả:

X 1,45 1,60 1,50 1,65 1,55

Y 50 55 45 60 55

1) Tìm hệ số tương quan r.

2) Lập phương trình hồi quy tuyến tính của Y theo X.

3) Dự đoán nếu một học sinh cao 1,62m thì nặng khoảng

bao nhiêu kg?



2) 2 2

. 82, 45 1,55 5360, 0181

ˆ (0, 0707)x

xy x yb

s;

53 60,0181 1,55 40,0281a y bx .

Vậy 40,0281 60,0181y x .

3) Học sinh cao 1,62m thì nặng khoảng:

40,0281 60,0181 1,62 57,2012y kg.



VD 3. Số vốn đầu tư

(X: triệu đồng) và lợi

nhuận thu được (Y:

triệu đồng) trong một

đơn vị thời gian của

100 quan sát là:

Y

X

0,3

0,7

1,0

1 20 10

2 30 10

3 10 20

1) Lập phương trình hồi tuyến tính của X theo Y.

2) Dự đoán nếu muốn lợi nhuận thu được là 0,5 triệu

đồng thì cần đầu tư bao nhiêu?



Giải. 1) Ta có ˆ2; 0,7746; 0,71;xx s y

ˆ 0,2427ys ; 1,56xy .

2 2

. 1, 56 0,71 22, 3768

ˆ (0,2427)y

xy x yb

s;

2 2,3768 0,71 0,3125a x by .

Vậy 0,3125 2,3768x y .

2) Nếu muốn lợi nhuận thu được là 0,5 triệu thì cần đầu

tư khoảng:

0,3125 2,3768 0,5 1,5009x triệu đồng.



K.KHCB

05/09/2013

34


VD 4. Số thùng bia (Y: thùng) được bán ra phụ thuộc

vào giá bán (X: triệu đồng/ thùng). Điều tra 100 đại lý về

1 loại bia trong một đơn vị thời gian có bảng số liệu:

Y

X

100

110

120

0,150 5 15 30

0,160 10 25

0,165 15

1) Tính hệ số tương quan r.

2) Lập phương trình hồi tuyến tính của X theo Y.

3) Dự đoán nếu muốn bán được 115 thùng bia thì giá

bán mỗi thùng cỡ bao nhiêu? LÊ HỮU KỲ SƠN 199


2) 2 2

. 17,1 0,1558 1100, 0006

ˆ (7,746)y

xy x yb

s;

0,1558 0,0006 110 0,2218a x by .

Vậy 0,2218 0,0006x y .

3) Nếu muốn bán được 115 thùng bia thì giá bán mỗi

thùng khoảng:

0,2218 0,0006 115 0,1528x triệu đồng.

Giải. 1) ˆ ˆ0,1558; 0,006; 110; 7,746x yx s y s ;

17,1 0,1558 11017,1 0,8176

0, 006 7,746xy r .


Sử dụng máy tính bỏ túi tìm đường hồi quy

1. Số liệu không có tần số

a) Máy tính fx500MS, fx570MS

VD 1. Bài toán cho ở dạng cặp ( ),i ix y như sau:

X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49

Y 1,9 4,0 2,6 4,5 2,9 3,8 4,1 4,6 3,2 4,0

Tìm hệ số r , đường hồi quy Y theo X: y a bx .

Nhập số liệu:

MODE REG LIN

X, Y M+

20, 1.9 M+

52, 4.0 M+

… … … …

49 , 4.0 M+ LÊ HỮU KỲ SƠN 201


Xuất kết quả:

SHIFT 2 (dịch chuyển mũi tên phải 2 lần)

1 (A chính là a trong phương trình)

2 (B chính là b trong phương trình)

3 (r chính là r ).

Đáp số: 0,9729r ; 0,9311 0,0599y x .

b) Máy tính fx500ES, fx570ES

Xét lại VD 1 ở trên.

Nhập số liệu:

SHIFT MODE dịch chuyển mũi tên tìm chọn

mục Stat 2 (chế độ không tần số)

MODE 3 (stat) 2 (A+Bx) (nhập các giá trị

của X, Y vào 2 cột) LÊ HỮU KỲ SƠN 202


X Y

20 1.9

52 4.0

… …

49 4.0

Xuất kết quả:

SHIFT 1 7 1(A chính là a trong phương trình)

SHIFT 1 7 2(B chính là b trong phương trình)

SHIFT 1 7 3(r chính là r trong phương trình).

2. Số liệu có tần số

a) Máy tính fx500MS, fx570MS

VD 2. Tìm hệ số r , đường hồi quy thực nghiệm Y theo

X : y a bx với bài toán cho ở dạng bảng như sau: LÊ HỮU KỲ SƠN 203


X

Y

21

23

25

3 2

4 5 3

5 11 8

Nhập số liệu:

MODE REG LIN

X, Y; n M+

21, 3; 2 M+

21, 4; 5 M+

… …

25 , 5; 8 M+

Xuất kết quả: làm như 1a).

Đáp số: 0,7326r ; 2,6694 0,3145y x . LÊ HỮU KỲ SƠN 204


K.KHCB

05/09/2013

35


b) Máy tính fx500ES, fx570ES

Xét lại VD 2 ở trên

Nhập số liệu:

SHIFT MODE dịch chuyển mũi tên tìm chọn

Mục Stat 1 (chế độ có tần số)

MODE 3 (stat) 2 (A+Bx) (nhập các giá trị

của X, Y, tần số vào 3 cột)

X Y FREQ

21 3 2

21 4 5

... … …

25 5 8

Xuất kết quả: làm như 1b). ………………..Hết……………….. LÊ HỮU KỲ SƠN 205

Education

Bai giang xstk