1. Este programa interactivo le va a ser de mucha ayuda.
Contiene todo lo necesariopara hacer de su proceso de aprendizaje
ms sencillo y sistemtico. Estorganizado de tal forma que con slo un
clic, usted tenga acceso a toda lainformacin necesaria para
convertirse en un experto.Con hipervnculos, explicaciones claras,
ejemplos, y ejercicios de prctica, quisimoshacer una gua completa
con la cual esperamos aportar a su proceso deaprendizaje una forma
sencilla y til a la vez. Deseamos que lo disfrute y que seade mucha
ayuda para usted.Ir a Men deEjercicios y TareasPor:Daniel Camilo
Rodrguez PintoIvn Barriga Gonzlez-RubioJuan Camilo Rivera Gonzlez
2. IInnttrroodduucccciinnPara algunas personas, las matemticas
representan uno de los principalesdolores de cabeza a la hora de
estudiar en el colegio, pero creemosfirmemente que con un mtodo
prctico de estudio todo se vuelve mssencillo y este dolor de cabeza
se alivia. Por eso hemos creado unPrograma de matemticas de grado
12 interactivo que resume todos lostemas tratados en esta rea
durante este ao de una manera prctica parahacer de sus tiempos de
estudio algo ms organizado y fcil. Se trata de unapresentacin
diseada en forma de pgina web utilizando hipervnculos paranavegar a
travs de cada tema de una manera muy fcil. Contieneexplicaciones
para todos los temas que se tratan en el rea de matemticasde este
grado, adems de otros recursos como ejemplos explicados paso apaso
y ejercicios de prctica para que comprenda a la perfeccin todo
lorelacionado con las matemticas del grado 12. 3.
OObbjjeettiivvooss Presentar un material de estudio dinmico e
interactivo que facilite alestudianteel aprendizaje de las
Matemticas. Facilitar a los alumnos la preparacin de los exmenes
del grado 12. Ayudar a resolver las dudas relacionadas con los
temas . Fomentar el inters hacia la investigacin en los temas de
Matemticas. Proporcionar material que pueda servir de
repaso.Regresar aPgina dePresentacin 4. JJuussttiiffiiccaacciinnSe
ha observado que muchos alumnos presentan dificultades en el
aprendizaje delas Matemticas y no cuentan con herramientas o
programas que faciliten ymotiven al alumno hacia el inters por las
Matemticas, por el contrario muchosterminan con fobia hacia
ellas.Aprovechando los avances de la tecnologa decidimos elaborar
un programainteractivo, ameno, de fcil acceso, que permita a los
alumnos resolver elproblema de aprendizaje de las
Matemticas.Regresar aPgina dePresentacin 5. MMeettooddoollooggaaSe
elaboraron diapositivas en formato PowerPoint, con hipervnculos
para mayoraccesibilidad y rapidez, similar a una pgina web.Se
recopil informacin de fuentes confiables mediante un proceso
deinvestigacin exhaustiva, que luego fue organizada y
resumida.Fueron diseados fondos coloridos abstractos y modernos,
uno a uno paraamenizar el aprendizaje de los temas.Regresar aPgina
dePresentacin 6. CCrroonnooggrraammaa1. Elaboracin de la parte
escrita, para justificar e introducir lo que es el proyectoPrograma
12 como tal.2. Se elaboraron las diapositivas para los temas, de
acuerdo al orden como se venen el ao.3. Dentro de cada tema primero
se elabora el men principal donde tieneconexin a los subtemas,
luego la explicacin terica de cada tema,seguidamente los ejemplos,
y por ltimo se elaboran los ejercicios de prctica,con sus
respectivas respuestas.4. El ideal propuesto para la elaboracin del
proyecto era tomarse dos semanaspor tema, se logr en ciertos temas,
mientras que otros tomaron hasta tressemanas.Regresar aPgina
dePresentacin 7. CCoonncclluussiinnA lo largo de todo este trabajo
pudimos comprobar que si organizamos de unaforma sistemtica todo lo
que necesitamos estudiar, ya sea en el rea dematemticas o en
cualquier otra, todo va a ser mucho ms sencillo y vamos apoder
aprender de una mejor manera. En conclusin, este tipo de proyectos
sonuna herramienta muy til que los docentes deberan implementar
para susclases y para que los alumnos tengan un mejor aprendizaje.
Es hora de aplicar latecnologa en nuestras aulas de clase ya que la
misma es lo que hoy en damueve al mundo y la educacin no debe ser
la excepcin, dada la importanciaque tiene en todas las
sociedades.Regresar aPgina dePresentacin 8. BBiibblliiooggrraaffaa
http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_01100.html
http://www.pupr.edu/cpu/pdf/Matematicas/Math110/4.Desigualdades%20con
http://www.geocities.com/CollegePark/Campus/5534/index.htl
http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica
http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id20.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_integral
http://es.wikipedia.org/wiki/Integrales 20Valor%20Absoluto.pdf
CALCULUS, EARLY TRASCENDENTALS, Third edition-JAMES STEWART,
Brooks/Cole Publishing Company Algebra de Baldor, ediciones y
publicaciones preludio 1996 FFCLA Ejercicios y ejemplos dados por
la profesora Carmen A. de PaterninaRegresar aPgina dePresentacin 9.
CCrrddiittoossRegresar aPgina dePresentacin 10.
EESSTTAADDSSTTIICCAALa estadstica es una ciencia matemtica que se
refiere a la coleccin, estudio einterpretacin de los datos
obtenidos en un estudio. Es aplicable a una amplia variedadde
disciplinas, desde la fsica hasta las ciencias sociales, ciencias
de la salud como laPsicologa y la Medicina, y usada en la toma de
decisiones en reas de negocios einstituciones gubernamentales.La
Estadstica se divide en dos ramas: La estadstica descriptiva, que
se dedica a los mtodos de recoleccin, descripcin,visualizacin y
resumen de datos originados a partir de los fenmenos en estudio.
Losdatos pueden ser resumidos numrica o grficamente. Ejemplos
bsicos de descriptoresnumricos son la media y la desviacin estndar.
Resmenes grficos incluyen variostipos de figuras y grficos. La
inferencia estadstica, que se dedica a la generacin de los modelos,
inferencias ypredicciones asociadas a los fenmenos en cuestin
teniendo en cuenta lo aleatorio eincertidumbre en las
observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y
extraerinferencias acerca de la poblacin de estudio. Estas
inferencias pueden tomar la formade respuestas a preguntas si/no
(hiptesis), estimaciones de caractersticas numricas(estimacin),
pronsticos de futuras observaciones, descripciones de
asociacin(correlacin) o modelamiento de relaciones entre variables
(anlisis de regresin).RReeggrreessaarr a al lM Meenn 11. Elementos
ddee llaa eessttaaddssttiiccaa ddeessccrriippttiivvaaCenso o
MuestreoExtraccin de datos de un conjunto de elementos en una o
varias de sus cualidades comunes,las cuales se llaman variables
estadsticas.PoblacinConjunto al cual se aplica el censo o
muestreo.Variable estadsticaEs el factor de estudio de cierta
estadstica (edades, notas, etc.).DatoResultado particular obtenido
en el censo o muestreo de un elemento de la poblacin.Datos
TotalesNmero total de datos del censo o muestreo.ItemsSon los
valores diferentes que la variable estadstica toma.Frecuencia
AbsolutaEs el nmero de veces que aparece un mismo dato en el censo
o muestreo.Frecuencia RelativaEs la proporcin con que aparece
cierto dato con relacin al nmero de veces que podrahaber ocurrido,
se halla dividiendo la frecuencia absoluta del dato entre la
poblacin,multiplicndolo por 100; es un porcentaje.ModaEs el dato
con mayor frecuencia absoluta, es decir el que aparece ms seguido
en el censoo muestreo.MedianaEs el dato que al ordenar los datos
totales se encuentra exactamente en la mitad. Si el nmerode datos
totales es par, se suman los dos datos de la mitad y se dividen
entre 2. 12. RangoEs el recorrido que tiene la encuesta, es decir,
la diferencia entre el dato mayor y elmenor.Media o PromedioEs el
resultado de sumar todos los datos de la encuesta y dividirlos
entre el nmero total deellos, es decir entre la
poblacin.DesviacinSe hace con un dato determinado y es la
diferencia de ste dato y el promedio.Desviacin mediaEs el promedio
del valor absoluto de las desviaciones de los
datos.Frecuencia|dato-media|..Nmero total de datosVarianciaEs el
promedio del cuadrado de las desviaciones de los
datos.Frecuencia(dato-media)..Nmero total de datosDesviacin TpicaEs
la raz cuadrada de la variancia.Grfico de BarrasEs un grfico que
representa los datos obtenidos por medio de rectngulos
conlongitudes proporcionales a las frecuencias
correspondientes.Grfico de Crculo o PastelEs un grfico que
representa los datos obtenidos, donde los 360 de un crculo
sereparten proporcionalmente a las frecuencias de los distintos
datos. 13. Fueron encuestados cierto nmero de alumnos de 10 para
obtener el promedio de las diferentes reasacadmicas, en escala de 1
a 10; los resultados son los mostrados a continuacin:4.8 8.8 6.8
6.5 5.3 7.5 8.3 5.9 7.5 6.3 5.9 9.8 9.8 7.5 6.5 6.9 7.5 9.87.2 5.3
6.3 7.5 7.5 6.5 7.0 9.5 7.7 5.9 7.0 6.8 7.5 9.6 10.0 7.0 9.7
6.3Elaborar un tabla con los resultados, dar todos los elementos de
la encuesta y los grficos:1. Variable estadstica: Notas2. Poblacin:
363. # de Items: 184. Moda: 7.55. Mediana: 7.0+7.2= 7.126. Rango:
10-4.8= 5.27.
Media:4.8+2(5.3)+3(5.9)+3(6.3)+3(6.5)+2(6.8)+6.9+3(7.0)+7.2+7(7.5)+7.7+8.3+8.8+9.5+9.6+9.7+3(9.8)+10367.38
7.48. Desviacin de 5.3: 5.3-7.4= -2.19. Frecuencia Absoluta de 7.5:
710. Frecuencia Relativa 33336666 de 7.5: 7/36*100= 19.4% 14.
NNoottaa 4.8 5.3 5.9 6.3 6.5 6.8 6.9 7.0 7.2 7.5 7.7 8.3 8.8 9.5
9.6 9.7 9.8 10.0FFrreeccuueenncciiaa 1 2 3 3 3 2 1 3 1 7 1 1 1 1 1
1 3 111. Desviacin
media:[|4.8-7.4|+2|5.3-7.4|+3|5.9-7.4|+3|6.3-7.4|+3|6.5-7.4|+2|6.8-7.4|+|6.9-7.4|+3|7.0-7.4|+|7.2-7.4|+
7|7.5-7.4|+ |7.7-7.4|+
|8.3-7.4|+|8.8-7.4|+|9.5-7.4|+|9.6-7.4|+|9.7-7.4|+3|9.8-7.4|+|10-7.4|]36[2.6+4.2+4.5+3.3+1.8+1.2+0.5+1.2+0.2+0.7+0.3+0.9+1.4+2.1+2.2+2.3+7.2+2.6]3639.2361.089
1.112.
Variancia:[(4.8-7.4)+2(5.3-7.4)+3(5.9-7.4)+3(6.3-7.4)+3(6.5-7.4)+2(6.8-7.4)+(6.9-7.4)+3(7.0-7.4)+(7.2-7.4)+7(7.5-7.4)
+(7.7-7.4)+(8.3-7.4)+(8.8-7.4)+(9.5-7.4)+(9.6-7.4)+(9.7-7.4)+3(9.8-7.4)+(10-7.4)]36[(2.6)+(4.2)+(4.5)+(3.3)+(1.8)+(1.2)+(0.5)+(1.2)+(0.2)+(0.7)+(0.3)+(0.9)+(1.4)+(2.1)+(2.2)+(2.3)+(7.2)+(2.6)]36[6.76+17.64+20.25+10.89+3.24+1.44+0.25+1.44+0.04+0.49+0.09+0.81+1.96+4.41+4.84+5.29+51.84+6.76]36138.44363.845
3.813. Desviacin Tpica:3.845= 1.96 15. Frecuencia del dato =
xPoblacin 360Frec. Rel. Del dato = x360 16. EEjjeerrcciicciioossLas
calificaciones finales en matemticas de 80 estudiantes figuran en
la siguiente tabla:68 84 75 82 68 90 62 88 76 9373 79 88 73 60 93
71 59 85 7561 65 75 87 74 77 95 78 63 7266 78 82 75 94 62 69 74 68
6096 78 89 61 75 95 60 79 83 7179 62 67 97 78 85 76 65 71 7565 80
73 57 88 78 62 76 53 7486 67 73 81 72 63 76 75 85 77 17.
RReessppuueessttaass1. Notas2. 803. 374. 755. 756. 447. 38. 6.25%9.
8.75%10. 75.257511. -14.25 -1412. 17.75 1713. 8.22514. 108.67515.
10.4216. 9717. 5318. 97, 96, 95, 94, 9319. 53, 57, 59, 60, 6120.
8821. 30%22. 57.5%24.25. 18. PPRROOGGRREESSIIOONNEESSToda secuencia
ordenada denmeros reales recibe el nombrede progresin. Dentro del
grupode progresiones existen dosparticularmente interesantes porel
principio de regularidad quepermite sistematizar la definicinde sus
propiedades:RReeggrreessaarr a al lM MeennDato Curioso:Un da en la
escuela, el profesor del clebrematemtico Carl Friedrich Gauss,
cuando tenaapenas 10 aos; le manda sumar los cienprimeros nmeros
naturales, con el propsitode unos minutos de tranquilidad.
Perotranscurridos pocos segundos Gauss levanta lamano y dice tener
la solucin: los cienprimeros nmeros naturales suman 5.050.
Yefectivamente es as. Cmo lo hizo Gauss?Pues mentalmente se dio
cuenta de que lasuma del primer trmino con el ltimo, la delsegundo
con el penltimo, etc., era constante:100+1 = 2+99 = 3+98 = 4+97 =
... = 101Y deduce que con los 100 nmeros se puedenformar 50 pares
de igual resultado; por lotanto el resultado de esta suma se da por
lafrmula que conocemos hoy gracias a l:(u+a)n2 19.
PPRROOGGRREESSIIOONNEESS AARRIITTMMTTIICCAASSEn matemticas, una
progresin aritmtica es una serie de nmerostales que la diferencia
de dos trminos sucesivos cualesquiera de lasecuencia es una
constante, cantidad llamada diferencia de laprogresin o simplemente
diferencia. Por ejemplo, la progresin 3, 5, 7,9, 11,... es una
progresin aritmtica de constante (o diferencia comn)2.Frmula
General:u=a+(n-1)du= ltimo trminoa= primer trminon= nmero de
trminosd= diferenciaFrmula de Suma:S= (u+a)n = [2a+(n-1)d]n2 2 20.
EEjjeemmppllooss::RReeggrreessaarr a a P
Prrooggrreessioionneessu=a+(n-1)d ; [2a+(n-1)d]n2Recordar: 21.
EEjjeemmppllooss,, PPrroobblleemmaass u=a+(n-1)d ; [2a+(n-1)d]n1.
Compr 50 libros. Por el primero pagu 8 cts. y por cada uno de los
dems 3 cts. ms que por el anterior. Hallar elimporte de la
compra.n=50 S= [2*8+(50-1)3]50 = [16+(49)3]25= [16+147]25= [163]25=
4075cts= $40.75a=8cts 2d=3ctsS= ?2. Las ganancias anuales de un
comerciante durante 11 aos estn en progresin aritmtica. El primer
ao gan $1180 yel ltimo $6180. Cunto ms gan en cada ao a contar del
segundo ao, que en el anterior?n=11a=$1180 u=a+(n-1)d d= u-a d=
6180-1180 = 5000 = $500u=$6180 n-1 11-1 10d= ?3. En el primer ao de
negocios un hombre gan $500 y en el ltimo gan $1900. Si en cada ao
gan $200 ms que enel ao anterior, Cuntos aos tuvo el negocio?a=
$500u= $1900 n= u-a+1 n= 1900-500+200 1600 = 8d= $200 d 200 200n=
?2Recordar: 22. PPRROOGGRREESSIIOONNEESS GGEEOOMMTTRRIICCAASSEn
matemticas, las progresiones geomtricas se definen comoaquellas
secuencias en las que cada trmino se obtiene multiplicandoel
anterior por un valor fijo, llamado razn.u= ltimo trminoa= primer
trminon= nmero de trminosr= raznFrmula General:u=arFrmula de
Suma:S= (ur) a= a(1-r)1 r 1 r 23.
EEjjeemmppllooss::RReeggrreessaarr a a P
PrrooggrreessioionneessRReeccoorrddaarr:: SS== aa((11--rr))uu==aarr
;;11--rr 24. Recordar: S= a(1-r)EEjjeemmppllooss,,
PPrroobblleemmaass:: u=ar ;1-rRReeggrreessaarr a a P
Prrooggrreessioionneess 25. EEjjeerrcciicciiooss
PPrrooggrreessiioonneess::Respuestas ProgresionesProgresiones
AritmticasProgresiones GeomtricasIr a:Regresar a: 26. Ejercicios
PPrrooggrreessiioonneess--PPrroobblleemmaass::32. Un dentista
arregl a un hombre todas las piezas de la boca que tena completas.
Por la primera le cobr $1, y porcada una de las de las dems 20cts
ms que por la anterior. Cunto cobro el dentista?33. Un hombre
avanza en el primer segundo de su carrera 6m y en cada segundo
posterior avanza 25cm ms que en elanterior. Cunto avanz en el 8
segundo y que distancia habr recorrido en 8 segundos?38. Un
dentista arregla 20 piezas a una persona cobrndole un centavo por
la primera, 2 cts. por la segunda, 4 cts. por latercera, 8 cts. por
la cuarta, y as sucesivamente. Cules sern los honorarios del
dentista?35. Una Persona viaja 50km el primer da y en cada da
posterior 5 kilmetros menos de lo que recorri el da anterior.Cunto
habr recorrido al cabo de 8 das?36. Una piedra dejada caer
libremente desde la azotea de un edificio recorre 16.1 pies en el
primer segundo, y en cadasegundo posterior recorre 32.2 pies ms que
en el segundo anterior. Si la piedra tarda 5 segundos en llegar al
suelocul es la altura del edificio?37. El lunes gan 2 lempiras y
cada da despus gan el doble de lo que gan el anterior. Cunto gan el
sbado y cuntode lunes a sbado?38. Un dentista arregla 20 piezas a
una persona cobrndole un centavo por la primera, 2 cts. por la
segunda, 4 cts. por latercera, 8 cts. por la cuarta, y as
sucesivamente. Cules sern los honorarios del dentista?39. Un hombre
jug durante 8 das y cada da gan 1/3 de lo que gan el da anterior.
Si el 8 da gan 1 balboa, cuntogan el 1er. da?40. La poblacin de una
ciudad ha aumentado en progresin geomtrica de 59049 almas que era
en 1953 a 100000 almasen 1958. Cul es la razn de crecimiento por
ao?Ir a:Respuestas ProgresionesRegresar a: Progresiones
AritmticasProgresiones Geomtricas 27. Respuestas a los Ejercicios
ddee PPrrccttiiccaa::Teora Coordinatoria1. 1202. 1203. 304. 7925.
50406. 357. 7208. 720; 50409. 720; 12010. 50411. 612. 1013. 614.
3628,80015. 5616. 12017. 40320; 12018. 2419. -210,23420.
3231Regresar a Ejercicios de: Progresiones Teora coordinatoria 28.
TTEEOORRAA CCOOOORRDDIINNAATTOORRIIAALa teora coordinatoria estudia
la ordenacin de las cosaso elementos.La distinta ordenacin de
lascosas o elementos origina las:Regresar al MenDe aqu tambin se
derivanformas de representar sumas omultiplicaciones muy
extensas:RReeggrreessaarr a al lM Meenn 29.
CCoooorrddiinnaacciioonneessSon los grupos que se pueden formar con
varios elementos (letras, objetos, personas),tomndolos uno a uno,
dos a dos, tres a tres, etc., de modo que dos grupos del mismo
nmerode elementos se diferencien por lo menos en un elemento o, si
tienen los mismos elementos,por el orden en que estn colocados; por
ejemplo, colocando las letras a,b,c,d en grupos de dos:ab, ac, ad,
ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc= 12 formas diferentes.Clculo del
nmero de coordinaciones de m elementos tomados n A nCon m
elementos, tomados de uno en uno, se pueden formar m coordinaciones
monarias,entonces:Am=mPara formar las binarias, a la derecha de
cada uno de los m elementos se escriben, uno a uno,los dems m-1
elementos; luego, cada elemento origina m-1 coordinaciones binarias
y los melementos darn m(m-1) coordinaciones binarias; luego:Am=
m(m-1) Am= Am(m-1); para las ternarias ser: Am= Am(m-2) y as
sucesivamente con lascuaternarias etc.; entonces multiplicando
miembro a miembro estas igualdades y suprimiendolos factores
comunes a los dos miembros se obtiene:Frmula de Coordinacin:Nota:Si
se establece la condicin de que cierto nmero de elementos tienen
que ocupar lugares fijosen los grupos que se formen, al aplicar la
frmula, m y n se disminuyen en el nmero deelementos fijos. 30.
EEjjeemmppllooss::1. Cuntos nmeros distintos de 4 cifras se pueden
formar con los nmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9?A= 9X8X7X6=3024
modos2. Cuntas seales distintas pueden hacerse con 7 banderas
izando 3 cada vez?A= 7X6X5= 210 modos3. Con 10 jugadores de basket,
de cuntos modos se puede disponer el equipo de 5jugadores si los
dos forwards han de ser siempre los mismos?A= A= 8X7X6= 336 modos4.
De cuntos modos pueden sentarse 3 personas en 5 sillas?A= 5X4X3= 60
modos5. Hay 7 hombres para formar una tripulacin de 5, pero el
timonel y el stroke son siempre losmismos. De cuntos modos se puede
disponer la tripulacin?A= A= 5X4X3= 60 modos 31.
PPeerrmmuuttaacciioonneessSon los grupos que se pueden formar con
varios elementos entrando todos en cada grupo, demodo que un grupo
se diferencie de otro cualquiera en el orden en que estn colocados
loselementos.Por ejemplo con: a, b y c: abc, acb, bac, bca, cab,
cba 6Clculo de elementos de una permutacin:Las permutaciones son un
caso particular de las coordinaciones, en donde todos suselementos
entran en cada grupo. Por lo tanto, la frmula del nmero de
permutaciones de melementos, Pm, se obtiene de la frmula que nos da
el nmero de coordinaciones:Am= m(m-1)(m-2)(m-n+1)Ya que m=n,
entonces:Pm= m(m-1)(m-2).X1 = m!La expresin m! se llama factorial,
que indica el producto delos nmeros enteros consecutivos de 1 hasta
m. Por lo tanto :En Permutaciones Circulares:Frmula
dePermutacin:Cuando m elementos se disponen alrededor de un crculo,
el nmero de permutacioneses (m-1) si se cuenta siempre en el mismo
sentido a partir de un mismo elemento. 32. EEjjeemmppllooss::1. De
cuntos modos pueden colocarse en un estante 5 libros?P= 5!=
1X2X3X4X5= 120 modos2. De cuntos modos pueden sentarse 6 personas
de un mismo lado de una mesa?P= 6!= 1X2X3X4X5X6= 720 modos3. Con 9
jugadores, de cuntos modos se puede disponer una novena si el
ptcher y el ctcherson siempre los mismos?P= P= 7!= 1X2X3X4X5X6X7=
5040 modos4. De cuntos modos pueden sentarse 6 personas en una mesa
redonda, contando en un solosentido, a partir de una de ellas?P=
P=5!= 1X2X3X4X5= 120 modos5. Se tiene un libro de Aritmtica, uno de
lgebra, uno de Geometra, uno de Fsica y uno deQumica. De cuntos
modos pueden disponerse en un estante si el de Geometra siempreest
en el medio?P=P= 1X2X3X4= 24 modos 33.
CCoommbbiinnaacciioonneessSon los grupos que se pueden formar con
varios elementos, tomndolos uno a uno, dos a dos,tres a tres, etc.,
de modo que dos grupos que tengan el mismo nmero de elementos
sediferencien por lo menos en un elemento.Formando combinaciones
binarias con las letras a, b, c, d quedaran: ab,ac,ad,bc,bd,cd= 6
modosFormando combinaciones ternarias con las mimas letras,
quedaran: abc, abd, acd, bcd= 4 modosClculo del nmero de
combinaciones de m elementos tomados de n a nSi en las
combinaciones binarias anteriores permutamos los elementos de cada
combinacin,obtendremos las coordinaciones binarias; si en las
combinaciones ternarias anteriorespermutamos los elementos de cada
combinacin, obtendremos las coordinaciones ternarias;pero al
permutar los elementos de cada combinacin, el nmero de grupos
(coordinaciones)que se obtiene es igual al producto del nmero de
combinaciones por el nmero depermutaciones de los elementos de cada
combinacin. Por lo tanto, designado por Cm , lascombinaciones de m
cosas tomadas n a n, por Pn las permutaciones que se pueden formar
conlos n elementos de cada grupo y por Am las coordinaciones que se
obtienen al permutar los nelementos de cada grupo. Por lo tanto:Es
decir, el nmero de combinaciones de m elementos tomados n a n es
igual al nmero decoordinaciones de los m elementos tomados n a n
dividido entre el nmero de permutacionesde los n elementos de cada
grupo. 34. EEjjeemmppllooss:: 35. SSuummaattoorriiaaLas sumatorias
nos permiten representar sumas muy grandes, de n sumandos o
inclusosumas infinitas y se expresan con la letra griega sigma ( )
.Una sumatoria se define como:La variable i es el ndice de suma al
que se le asigna un valor inicial llamado lmite inferior,m. La
variable i recorrer los valores enteros hasta alcanzar el lmite
superior, n.Necesariamente ha de cumplirse: m nEEjjeemmppllooss::
36. PPrroodduuccttoorriiaaLas productorias nos permiten representar
productos muy grandes, de n factores oincluso productos infinitos y
se expresan con la letra griega mayscula pi ( ) .La productoria se
define como:El subndice i indica una variable que recorre los
nmeros enteros desde un valormnimo m (indicado en el subndice) y un
valor mximo n (indicado en el superndice).n=4 1.(7x-20)= [7(2)-20]
X [7(3)-20] X [7(4)-20]j=2[14-20] X [21-20] X [28-20][-6] X [1] X
[8]36X1X64= 2304n=3 2. (4x-10)= [4(1)-10] X [4(2)-10] X
[4(3)-10]j=1[4-10] X [8-10] X [12-10][-6] X [-2] X [2]-216X-8X8=
13824EEjjeemmppllooss:: 37. FFaaccttoorriiaallLa expresin m! se
llama factorial, que indica el producto de los nmeros
enterosconsecutivos de 1 hasta m.EEjjeemmppllooss::1. 5!=
1X2X3X4X5= 1202. 8!= 1X2X3X4X5X6X7X8= 40,3203. 7!= 1X2X3X4X5X6X7=
5,0404. 6!= 1X2X3X4X5X6= 7205. 10!= 1X2X3X4X5X6X7X8X9X10=
3628,800EEjjeemmpplloo ddee eejjeerrcciicciiooss ccoonn
ooppeerraacciioonneess ccoommbbiinnaaddaass ::n=4 n=4 (3x-2) +
(7-3)!- (3x-1)=j=1 j=3{[3(1)-2]+ [3(2)-2]+[3(3)-2]+[3(4)-2]} + 4!
{[3(3)-1] X [3(4)-1]{[3-2]+[6-2]+[9-2]+[12-2]} + (1X2X3X4) {[9-1] X
[12-1]}{1+4+7+10} + 24 {8 X 11}{1+16+49+100} + 24
{512X1331}166+24-681472= -681,282 38. EEjjeerrcciicciiooss
TTeeoorraa CCoooorrddiinnaattoorriiaa1. Cuntos nmeros distintos de
3 cifras se pueden formar con los nmeros 4, 5, 6, 7, 8 y 9?2. Con 5
jugadores, de cuntos modos se puede disponer un team de basket de 5
hombres?3. Entre la Guaira y Liverpool hay 6 barcos haciendo los
viajes. De cuntos modos puede hacer el viaje de ida y vueltauna
persona, si el viaje de vuelta debe hacerlo en un barco distinto al
de ida?4. De 12 libros, cuntas selecciones de 5 libros pueden
hacerse?5. De cuntos modos pueden disponerse las letras de la
palabra Ecuador, entrando todas en cada grupo?6. Cuntas selecciones
de 4 letras pueden hacerse con las letras de la palabra Alfredo?7.
Cuntos nmeros distintos de 6 cifras pueden formarse con los nmeros
1, 2, 3, 4, 5 y 6?8. De cuntos modos pueden disponerse en una fila
un sargento y 6 soldados si el sargento siempre es el primero?,
Siel sargento no ocupa lugar fijo?9. De cuntos modos pueden
sentarse un padre, su esposa y sus cuatro hijos en un banco?, En
una mesa redonda,contando siempre a partir del padre?10. Cuntas
seales distintas pueden hacerse con 9 banderas, izando 3 cada
vez?11. Cuntos nmeros mayores que 2000 y menores que 3000, se
pueden formar con los nmeros 2, 3, 5 y 6?12. Cuntas selecciones de
3 monedas pueden hacerse con una pieza de 5cts, una de 10, una de
20, una de 40 y una dea peso?13. De cuntos modos puede disponerse
una tripulacin de 5 hombres si el timonel y el stroke son siempre
los mismos?14. De cuntos modos pueden disponerse 11 muchachos para
formar una rueda?15. De entre 8 candidatos, cuntas ternas se pueden
escoger?16. Cuntos nmeros de 5 cifras que empiecen por 1 y acaben
por 8 se pueden formar con los nmeros 1,2,3,4,5,6,7,8?17. Con 5
consonantes y 3 vocales, cuntas palabras distintas de 8 letras
pueden formarse?, Cuntas, si las vocales sonfijas?18. De cuntos
modos se puede disponer un team de basket de 5 hombres con 5
jugadores si el centre es fijo?Hallar:n=5 n=419. (7x+15)- (12-6)! -
(17x-48)j=2 j=3n=6 n=320. (3x+6) + (4x-7)+ (35-28)!j=3 j=1 39.
Lggiiccaa MMaatteemmttiiccaaAArriisstttteelleess ffuuee eell
pprriimmeerroo eenn llooggrraarr llaa pprriimmeerraa
ssiisstteemmaattiizzaacciinn ddeellaa llggiiccaa
mmaatteemmttiiccaa.. MMuucchhoo ttiieemmppoo ddeessppuuss
Leeiibbnniizz uuttiilliizzssmmbboollooss mmaatteemmttiiccooss eenn
ssuu eessttuuddiioo yy llaa ddeessaarrrroollll
ccoommooiinnssttrruummeennttoo ddee llaa mmaatteemmttiiccaa.. EEnn
eell ssiigglloo XXIIXX GGeeoorrggee BBoooollee rreeaalliizzaauunn
eessttuuddiioo mmss aammpplliioo ssoobbrree llaa llggiiccaa
ssiimmbblliiccaa.. AA ccoommiieennzzooss ddeellssiigglloo XXXX,,
ccoonn ssuu oobbrraa PPrriinncciippiiaa MMaatteemmttiiccaa,,
BBeerrttrraanndd RRuusssseellll yyAAllffrreedd NNoorrtthh
WWhhiitteehheeaadd rreeddeeffiinneenn llooss ccoonncceeppttooss
bbssiiccooss llggiiccoosseessttaabblleecciieennddoo aass uunnaa
ffuunnddaammeennttaacciinn ppaarraa llaass
mmaatteemmttiiccaassppuurraass..RReeggrreessaarr a al lM Meenn
Ejercicios 40. Conectivos LgicosMediante la siguiente tabla se
muestran los diferentes conectivoslgicos con su respectivo nombre,
smbolo, notacin y lectura:Ejercicios 41. PPrrooppoossiicciioonneess
LggiiccaassUna proposicin lgica es un enunciado del cual se puede
decir que es verdadero o falso, pero no las dos cosas a lavez. Las
proposiciones pueden ser simples (formada por una sola proposicin)
y compuestas (formadas por dos o msproposiciones) Ejemplos:2 + 2 =
4La primera vocal del alfabeto es e.Nuestro planeta se encuentra en
la Va Lctea.Estas son proposiciones ya que de ellas se puede
afirmar que son verdaderas o falsas sin ninguna duda. En cambio
sise dice:Buenos dasCepllate los dientes.Estudia ingls.Estas no son
proposiciones ya que de ellas no se puede afirmar si son verdaderas
o falsas, son saludos u ordenes; si sedice:La vida es bella.Hace
frio.Las matemticas son difciles.Tampoco son proposiciones ya que
su valor de verdad depende de la persona, de sus gustos o
circunstancias.Las proposiciones se representan con letras
minsculas:lvaro est leyendo: pAyer fue Domingo: qProposiciones
como:2x + 9 = 13X - 5x + 6 = 0Son proposiciones abiertas, porque su
valor de verdad depende del valor que se le asigne a la variable X.
42. Las proposiciones compuestas tambin deben ser verdaderas o
falsas, esta veracidad ofalsedad depende de las proposiciones
componentes. Las proposiciones se ligan por medio deconectivos segn
lo dicho en la tabla de conectivos lgicos.Conjuncin (y) :Significa
simultaneidad de las afirmaciones. Es verdadera slo si las dos
proposiciones sonverdaderas.Ejemplo:Sen30 = 2 es primo par:Sen= O/H
: = V 2 es primo par = V V V = VDisjuncin (o) V:Significa que se
hace una de las dos afirmaciones o ambas. Basta que una de las
preposicionessea verdadera para que el resultado sea
verdadero.Ejemplo:Cos 135 = 2/2 V -27 = -3 F V V = VCos= A/H= - 2/2
V -3 x -3 x -3 = -27El Signoes - 43. Disjuncin exclusiva ( esto o
lo otro) V :Significa que es una de las dos, p o q pero no
ambas.Las dos proposiciones deben tener valores de verdad
diferentes para que la proposicin seaverdadera.Ejemplo: + / = 17/12
V 64 = 22 + / = 9 + 8 / 12 = 17/12= V V V F = V64 =22= FCondicional
(Entonces) :Significa que la primera afirmacin (antecedente)
condiciona a la segunda (consecuente). Estadependencia se puede
explicar mejor as: La primera es condicin suficiente para la
segunda,tambin la segunda es condicin necesaria para la primera.En
la implicacin las dos proposiciones deben tener el mismo valor de
verdad ( V V o F F) o laprimera proposicin (antecedente) falsa y la
segunda proposicin (consecuente) verdadera para quela proposicin
sea verdadera.Ejemplo:809 + 234 1043 = 1 (234) =54756809 + 234 =
1043 1043 = 0 = F F V= V(234) = 54756= V 44. Bicondicional (Si, slo
si) :Significa que las dos proposiciones son de igual valor lgico
(VV o FF), tambin la primeraproposicin es condicin necesaria y
suficiente para la segunda proposicin.Ejemplo:3x 5 = 45, si x es
igual a 16 128 = 423(16) 5 = 48 5 = 43= F128 = 42 = FF F = VNegacin
(Es Falso que) ~:Dada una proposicin simple se puede hallar una
proposicin que es exactamente su negacin osu opuesto; basta
anteponer la expresin es falso que, ejemplo:El museo nacional est
abierto los domingos = pEs falso que el museo nacional est abierto
los domingos = ~pEjercicios 45. TTaabbllaass ddee VVeerrddaaddLas
tablas de verdad se construyen mediante polinomios booleanos que
sonexpresiones algebraicas formadas por preposiciones unidas
mediante conectivoslgicos.Por ejemplo:{~ (p q) V [(~p V r ) (~p
q)]}La siguiente tabla muestra los valores de verdad de las
proposiciones compuestaspara cada uno de los diferentes
conectivos.p q p V q p V q p q p q ~pV V F V V FF V V F F FF V V V
F VF F F V V Vp qV VV FF VF F 46. Para recordar: La conjuncin (y)
slo es verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas.La
disjuncin (o) es verdadera cuando una de las dos proposiciones son
verdaderas.La disjuncin exclusiva (esto o lo otro) es verdadera
cuando las proposiciones tienen diferentevalor de verdad (V F) (F
V). El condicional (entonces) es verdadero cuando las dos
proposiciones tienen el mismo valor deverdad o cuando el
antecedente es verdadero y el consecuente es falso.El Bicondicional
(si, slo si) es verdadero cuando las dos proposiciones tienen el
mismo valor deverdad.En negacin (es falso que) el valor de verdad
original de la proposicin se cambia por el contrario.Cuando el
valor de verdad resultante de la tabla de verdad es verdadero se
dice que escautologa, si es falso se dice que es falacia, si los
valores estn mezclados se dice que esincierta.Si una tabla se forma
con polinomios Booleanos formados por dos proposiciones tiene2 = 4
posibilidades, si es formado por tres proposiciones tiene 2 = 8
posibilidades que sern:V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F 47.
Tener en cuenta:En un caso que intervengan 2 proposiciones el total
de combinaciones que se consideran son 4. Entrminos generales, el
total de combinaciones para una tabla es 2, siendo a el nmero
deproposiciones. Para facilitar el desarrollo se procura llevar un
orden en la disposicin de losvalores dentro de la tabla de la
siguiente manera:Si hay dos proposiciones se colocan en la primera
dos verdades y dos falsas y en la segundauna verdad y una falsa
(intercaladas).Si hay tres proposiciones se colocan en la primera
de 4 en 4, es decir, cuatro verdades y cuatrofalsas; en la segunda
de 2 en 2, es decir, dos verdades y 2 falsas y en la tercera
intercaladas, esdecir, una verdad y una falsa. Seguidamente se
hallan los valores de verdad de las diferentesproposiciones
compuestas.Cuando la respuesta final de la tabla da toda verdadera
se dice que es una Cautologa, si datoda falsa se dice que es una
Contradiccin o Falacia; y si aparecen falsos y verdaderos se
diceque es Incierta. 48. 6 1 5 2 4 3p q r ~p ~qV V V F FV V F F FV
F V F VV F F F VF V V V FF V F V FF F V V VF F F V V Tabla
Incierta~ {(p q) V [(~q p) (r V ~p)]}V VF V V VF VV V F FF FV V V
VV FF V F FF FV V V VF FV V V VV FF F F VV FF F F VPrimero le damos
todos los valores de verdad posibles a las proposiciones que
aparecen en el polinomio Booleano: p, q y r, y tambin a
lasnegaciones que aparezcan de estas, que son solamente ~p y ~q y
cuyos valores de verdad sern exactamente los valores de verdad
opuestosa los de p y q, respectivamente.Como en un polinomio
aritmtico, en un polinomio booleano se comienza por los parntesis
luego los corchetes y por ltimo las llaves.Entonces, empezando por
los parntesis, comenzamos con (pq) (los nmeros encima de cada
conectivo lgico indican el orden en que sevan resolviendo), por lo
tanto seguimos las leyes de los conectivos lgicos usando todos los
valores de verdad posibles para cada una de lasproposiciones P y Q,
entonces: V y V= V; V y V= V; V y F= F... Y as sucesivamente hasta
que demos respuesta a todos los valores posibles de Py Q en el
orden ya dado. Luego resolvemos los siguientes parntesis (~q p) y
(r V ~p) utilizando las leyes de cada conectivo lgico.Podemos ver
que estos dos ltimos parntesis estn unidos por el conectivo lgico s
slo s (), por lo tanto unimos las dos respuestas delos parntesis
con la regla del conectivo lgico de bicondicional y luego unimos
esta respuesta con la de la primera proposicin (pq) con elconectivo
lgico de disyuncin (este o lo otro). Y la respuesta final, como nos
indica esta tabla, ser la negacin de esta disyuncin, es decirlos
valores de verdad contrarios de la repuesta de la disyuncin. Tambin
se puede concluir que esta tabla es incierta ya que los valores
deverdad finales son algunos verdad y algunos falsos.Ejercicios 49.
Anlisis ddee PPoolliinnoommiiooss BBoooolleeaannoossPara analizar
un polinomio Booleano se halla el valor de verdad de cada
proposicin,teniendo en cuenta cuando los conectivos lgicos son
falsos y cuando son verdaderos,como nos recuerda la tabla de abajo;
y luego se realiza la operacin dada. La Conjuncin (y) slo es
verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas. La Disyuncin
(o) slo es falsa cuando las dos proposiciones son falsas. El
Condicional (entonces) slo es falso cuando la primera proposicin es
verdadera y la segunda falsa. La Disyuncin Exclusiva (esto o lo
otro) es verdadera cuando las proposiciones tienen diferente
valorde verdad y falsa cuando ambas tienen el mismo valor de
verdad. El Bicondicional (si, slo si) es verdadero cuando ambas
proposiciones tienen el mismo valor deverdad y falsa cuando tienen
valores de verdad diferentes. 50. Ejemplo:Si (Q~P)V(~QR) es Falso,
entonces:~{~(~QP)[(P V Q)(QR)]} es?La disyuncin (o) slo es falsa
cuando las dos proposiciones son falsas.(Q~P)V(~QR)F FEl
condicional (entonces) slo es falso cuando la primera proposicin es
verdadera y la segunda falsa.El Bicondicional (si, slo si) es falso
cuando las dos proposiciones tienen valores de verdad diferentes,
yse puede concluir que:Y ahora se reemplazan los valores de verdad
o falsedad de cada proposicin en el polinomio Booleano y seresuelve
el polinomio con las leyes de los conectores lgicos teniendo en
cuenta tambin que se resuelvenprimero los parntesis luego los
corchetes, luego las llaves y por ltimo lo que se encuentra fuera
de ellas.~{~(FV)[(V V V)(VV)]}~{~V [F V]}~{ F F}~F= VArgumentos
Lgicos:Un argumento lgico es un razonamiento en el cual partiendo
de una serie de enunciados seobtiene un resultado llamado:
CONCLUSIN, aqu hay un ejemplo de cmo se llega a unargumento
lgico.Ejercicios 51. Ejercicios:Determine la negacin de las
siguientes proposiciones y encuentre el valor de verdad original y
dela negacin:1. 11 es divisor de 1212. 2 es nmero par primo3. Es
falso que 18 es divisor de 90Simboliza las siguientes proposiciones
compuestas y determina su valor de verdad:4. O Espaa es un pas de
Europa o de Amrica Latina.5. 25 es divisor de 100 y 43 es nmero
primo.6. (3/4) = 64/27 entonces Log 5 = 7. Sen225 = 2/2 si, slo si
128 = 4 2Reemplaza el trmino variable para convertirlas a
proposiciones cerradas:8. X es un entero positivo mayor que 12 y
menor que 159. 4x 2 = 5510. X es la capital de Francia 52.
Determinar el valor de verdad o falsedad de los siguientes
enunciados:11. Si 2+2=4, entonces 3+3=7, s slo s 1+1= 412. 6+4= 10
y 2 x 2 =213. 5=25 o 3x3=914. 2+5= 7 este o lo otro 3+6= 915. 5+1=
8, s slo si 3+6= 916. 27 es nmero primo y 15 es mltiplo de 517. El
MCD de 12 y 15 es 60, y el MCM de 9 y 12 es 3618. Todo mltiplo de
12 es mltiplo de 4, entonces (-5)= -12519. El 20% de 50 es 20, este
o lo otro, el triple de 83 es 24920. En la ecuacin , el valor de x
es 6, entonces la tercera parte de 45 es 1221. Tan /2= 1, Cos45=
2/222. Cos2x= 2Cosx, Cos180= 2Cos9023. x+y=16, es un crculo de
radio=4 3x+2y-7=0 es una lnea de m=-3/224. 4x+9y-4x-3y+5=0 , es la
ecuacin de una elipse V 486=3225. Senx+Cosx= 1 Secxcosx=126.
Sen225=-2/2 log64=627. La excentricidad de una parbola es 3} C= {x
U/ x es primo}Realizar un diagrama de Venn(A U B) C(B C)(A U B) (B
C)(B C) U (A C)UUUUU 91. OOppeerraacciioonneess ccoonn
FFuunncciioonneessDos o mas funciones pueden combinarse para
obtener nuevas funciones. Dichascombinaciones se logran mediante
los signos de operacin (+, x, , ) y sedefinen de la siguiente
formas: Suma de Funciones: (f + g)(x) = f (x) + g(x) Diferencia de
Funciones: (f g) (x)= f (x) g(x) Producto de Funciones: (f g)(x) =
f (x) g(x) Cociente de Funciones: (f g)(x) = f (x) g(x)En cada una
de estas operaciones est el dominio de F y el dominio de G.
Composicin de Funciones: (f o g)(x) = f (g(x)) Funcin Inversa: f
-1(x) 92. 1. Funcione1. Suma de Funcioness (f + g)(x) = f(x) +
g(x)Para hallar la suma de dos funciones simplemente se suman los
valores correspondientesa f (x) y g(x).Ejemplo:Dados: f (x)= 3x 1
g(x)= 4x 5 , Hallar (f + g)(x)3x(f + g)(x)= 3x 1 + 4x 53x(f +
g)(x)= 9x2 3x + 4x 53x(f + g)(x)= 9x2 + x 53x22..
DDiiffeerreenncciiaa ddee FFuunncciioonneess:: (f g)(x) = f(x) Para
hallar la diferencia de dos funciones simplemente se restan los
valorescorrespondientes a f (x) y g(x).Ejemplo:Dados: f (x)= 3x 1
g(x)= 4x 5 , Hallar (f g)(x)3x(f g)(x)= 3x 1 4x 53x(f g)(x)= 9x2 3x
4x + 53x(f + g)(x)= 9x2 7x + 53xg(x) 93. 3. Funcione3. Producto de
Funcioness (f g)(x) = f(x) g(Pxa)ra hallar el producto de dos
funciones simplemente se multiplican los valorescorrespondientes a
f (x) y g(x).Ejemplo:Dados: f (x)= 3x 1 g(x)= 4x 5 , Hallar (f
g)(x)3x(f g)(x)= 3x 1 4x 53x(f g)(x)= 12x2 15x 4x + 53x(f g)(x)=
12x2 19x + 53x44.. CCoocciieennttee ddee FFuunncciioonneess:: (f
g)(x) = f(x) Para hallar el cociente de dos funciones simplemente
se dividen los valoresg(x)correspondientes a f (x) y
g(x).Ejemplo:Dados: f (x)= 3x 1 g(x)= 4x 5 , Hallar (f g)(x)3x(f
g)(x)= 3x 114x 53x(f g)(x)= 9x2 3x4x 5 94. 55.. FFuunncciinn
CCoommppuueessttaa (f o g)(x) = f(g(x))Es una funcin formada por
dos o ms funciones completas conectadas entre si, una despusde la
otra.(f o g)(x)= f (g(x)) se lee f de g(x) o g compuesto f (x).(g o
f )(x)= g(f (x)) se lee g de f (x) o f compuesto g(x).Esta funcin
no es conmutativa: (f o g)(x) (g o f )(x)g compuesto de f (x) se
halla reemplazando el valor de g en las variables de la funcin
f.Ejemplo:Dados: f (x)= 3x 1 g(x)= 4x 5 , Hallar (f o g)(x)3x(f o
g)(x)= 3 4x 5 1 3x(f o g)(x)= 4x 5 xx(f o g)(x)= 3x 5xSi una funcin
f: a r b es biyectiva entonces su funcin inversa es f-1: b r a. La
funcin inversatiene como dominio el rango de la funcin de la cual
se origin y como rango el dominio.Para hallar la funcin inversa de
una funcin dada, primero se verifica que la funcin seabiyectiva,
luego se intercambian posiciones, es decir, donde hay x se escribe
y, y donde hayy se escribe x, por ltimo se despeja y, y se expresa
como f-1(x).Dado: g(x)= 4x 5 , Hallar g-1(x)3xy= 4x 5 x= 4y 53x
3y3xy 4y= -5y(3x 4)= -5g-1(x)= _ 53x 4//66.. FFuunncciinn
IInnvveerrssaa f-1(x) 95. EEjjeemmpplloossDados: f (x)= 4x2 3x + 5
; g(x)= 3x 5 ; h(x)= 4x 54 3xHallar: g(x) h(x) = 3x 5 _ 4x 5 3x3x 5
8x + 10f (x) 2 3x = 6x4x2 3x + 5 4x2 3x + 51gg((xx)) hh((xx)) ==
33xx33xx 55 88xx ++ 1100ff ((xx)) 2244xx33 1188xx22 ++ 3300xx (f o
g o h)(x) ; (g o h)(x)= 3(4x 5) 53x = 4x 5 5x = -x 5 x = -x2 5x4 4x
4x x 2x(f o g o h)(x)= 4 (-x2 5x)2 3(-x2 5x) + 5(2x)2 2x(f o g o
h)(x)= 4(-x2 5x) 3(-x2 5x) + 5 (f o g o h)(x)= -2x2 10x 3x(-x2 5x)
+ 10x24x2 2x 2x2((ff oo gg oo hh))((xx))== 88xx22 1100xx 33xx--xx22
55xx22xx22 Dado f (x)= 3x 5 , hallar f -1(x)4x + 2y= 3x 5 x= 3y 5
4xy + 2x= 3y 54x + 2 4y + 2 4xy 3y= -2x 5y(4x 3)= -2x 5ff
--11((xx))== __ 22xx ++ 5544xx 33//b // 96. DDoommiinniioo yy
RRaannggooDDoommiinniiooCorresponde a todos los valores posibles de
una variable x en una ecuacin funcin. Si esta corresponde a todos
los nmeros reales, como en una ecuacinlineal, cbica, entre otras y
en la mayora de las ocasiones, se dice que x R.El dominio se halla
despejando y en la funcin o ecuacin, hallando los
valorescorrespondientes a x.RRaannggooCorresponde a todos los
valores posibles de una variable y en una ecuacin funcin. Si esta
corresponde a todos los nmeros reales, como en una ecuacinlineal,
cbica, entre otras y en la mayora de las ocasiones, se dice que y
R.El rango se halla despejando x en la funcin o ecuacin, hallando
los valorescorrespondientes a y.Casos especiales de Dominio y
Rango: EEccuuaacciinn CCuuaaddrrttiiccaa ((PPaarrbboollaa))
VVaarriiaabbllee eenn eell ddeennoommiinnaaddoorr RRaazz ddee
nnddiiccee ppaarr ddee uunnaa vvaarriiaabbllee 97. El Dominio y el
Rango de una funcin ecuacin se pueden hallar de dos
formas:Grficamente y Analticamente.Grficamente, observando la
grfica determinar si la variable x y/ y, tienen como valortodos los
nmeros reales, o que puntos o tramos, no tienen como valor,
teniendo en cuentasi la grfica posee asntotas, si es cerrada si slo
va en una direccin, como una parbola.Analticamente, despejando la
variable, dependiendo si se desea hallar el dominio o el rangode la
expresin, y a partir de esto determinar si la variable puede tener
como valor todos losnmeros reales que puntos o tramos no puede
tener como valor, de acuerdo a los casos aver a continuacin.Existen
casos en que tramos de la funcin son indefinidos debido a que no se
pueden realizarciertas operaciones dentro de los nmeros reales,
como: la divisin entre cero, raz de ndicepar de un nmero negativo
etc. Adems existen curvas como la parbola, en donde partendos lneas
con el mismo sentido desde un punto llamado vrtice. En estas el
dominio o elrango contienen todos los nmeros reales exceptuando los
valores menores o mayores alvrtice, dependiendo de la concavidad de
la curva.A partir de esto se establecen algunas excepciones donde
tanto el dominio como el rango no sontodos los nmeros reales:
EEccuuaacciinn CCuuaaddrrttiiccaa ((PPaarrbboollaa)) al despejar y
x para el dominio o el rango se presentan del otro lado de la
ecuacin: VVaarriiaabbllee eenn eell ddeennoommiinnaaddoorr RRaazz
ddee nnddiiccee ppaarr ddee uunnaa vvaarriiaabbllee 98.
EEccuuaacciinn CCuuaaddrrttiiccaaHallar el dominio y el rango de
laexpresin: x2 + 4x y 5= 0y= x2 + 4x 5D: x RVx= - 42(1)Vx= -4/2Vx=
-2Vy= (-2)2 + 4(-2) 5Vy= 4 8 5Vy= -9V(-2, -9)R: y R/ y -9R 99.
VVaarriiaabbllee eenn eell ddeennoommiinnaaddoorrEn caso de que al
despejar una de las variables se presenten variables en el
denominadordel otro lado de la ecuacin, este se debe igualar a cero
para determinar la asntota, elvalor que x o y no puede tomar, ya
que la divisin entre cero para los nmeros reales
noexiste.Ejemplo:HDaolmlairn eiol dominio y el rango de la
expresin: 3x + 2xy 5y + 9= 02xy 5y= -3x 9y(2x 5)= -3x 9y= -3x 92x
52x 5= 02x= 5x= D: x R/ x Rango3x + 2xy= 5y 9x(3 + 2y)= 5y 9x= 5y
92y + 32y + 3= 02y= -3y= -R: y R/ y -Asntota VerticalAsntota
Horizontal 100. RRaazz ddee nnddiiccee ppaarr ddee uunnaa
vvaarriiaabblleeEn caso de que al despejar una de las variables se
presente una variable dentro de un radical dendice par, se debe
hacer una desigualdad indicando que lo que est adentro del radical
debese mayor o igual a cero, ya que no existe solucin en los nmeros
reales para una raz dendice par negativa. Si hay radicales de ndice
par con variables en el denominador, se debecolocar la desigualdad
slo mayor que, ya que la divisin entre cero tampoco existe en
losnmeros reales.Ejemplo:HalDlaorm eli ndioominio y el rango de la
expresin: 8x2 + 10y2 2= 04x2 + 5y2 1= 05y2= 1 4x2y2= 1 4x25y= 1
4x251 4x2 0-4x2 -1x2 - x D: x R / - x Rango4x2 + 5y2 1= 04x2= 1
5y2x2= 1 5y24x= 1 5y221 5y2 0-5y2 -1y2 -15 x 15R: y R / -55 x 55
101. EEjjeemmpplloossHallar el Dominio y Rango de las siguientes
expresiones.1. 3x 2y + 7= 02. y2 4y + 4x 8Rango3x= 2y 7x= 2y 73R: y
RRango4x= -y2 + 4y + 8x= -y2 + 4y + 84R: y RDominio2y= 3x + 7y= 3x
+ 72D: x RDominio-y2 + 4y + 8 = 4x-y2 + 4y + 8 = x4Abre hacia la
izquierdaVy= -4/-2Vy= 2Vx= -(2)2 + 4(2) + 84Vx= 12/4Vx= 3V(3, 2)D:
x R/ x 33. 4x2y 5y + 9 = 0Rango4x2y = 5y 9 = 0x2= 5y 94. x3 6x2 +
12x 8 y= 04yx= 5y 92y5y 9 0 y > 05y 9 y > 0y 9/5 y > 0R: y
R/ y 9/5Rango(x 2)3= yx 2=3yx= 3y + 2R: y RDominio4x2y 5y = -9y(4x2
5)= -9y= -94x2 54x2 5= 04x2= 5x2= 5/4x=5/2D: x R/ x 5/2Dominioy= x3
6x2 + 12x 8D: x R 102. 1.2.3.4. 103. GGrrffiiccaass ddee
FFuunncciioonneessLas funciones con mayor uso son las reales, estas
son:Funciones Polinmicas:Funciones Especiales Funcin Constante
Funcin Idntica Funcin Lineal Funcin Cuadrtica Funcin Cbica Funcin
de n grado Funcin Exponencial Funcin Logartmica Funcin
TrigonomtricaFunciones Trascendentes Funcin Inversa Funcin Valor
Absoluto Funcin Racional Funcin Escalonada Funcin Signo Funcin
Mayor Entero Funcin Segmentada Por TramosLa forma comn para
graficar estas funciones es creando una tabla de valores.En esta
seccin se hace una breve explicacin de cada funcin y se muestra el
tipo degrfica de cada una. 104. FFuunncciioonneess
PPoolliinnmmiiccaassFuncin ConstanteEs una funcin en la cual la
imagen de todos los elementos del dominio es la misma.Ejemplo:f
(x)= -1x y1 -10 -1-1 -1-2 -1Funcin IdnticaEs una funcin en la cual
el elemento de la imagen es igual al elemento del dominio.Ejemplo:f
(x)= xf (x)= -1x y2 21 10 0-1 -1f (x)= x 105. FFuunncciioonneess
PPoolliinnmmiiccaassFuncin LinealTransforma los elementos del
dominio en elementos del rango por medio de la expresin:y= mx +
bEjemplo:3x + 2y 5= 02y= 5 3xy= 5 3x2x y2 -1 10 5/2-1 4Funcin
CuadrticaEs una funcin de la forma ax2 + bx + c, es decir, una
ecuacin de 2do grado.Ejemplo:f (x)= 5 3x2x y3 -22 03/2 1 00 -2f
(x)= -x2 + 3x 2f (x)= 5 3x2f (x)= -x2 + 3x 2Se halla primero el
vrticeen x, Vx= -b/2a. Y se colocandos valores mayores y dosvalores
menores.Vx= -3 = 3/22(-1) 106. FFuunncciioonneess
PPoolliinnmmiiccaassFuncin CbicaEs una funcin de tercer
grado.Ejemplo:x y2 91 20 1-1 0-2 -7f (x)= x3 + 1Funcin de nEs una
funcin de grado n. Algunas grficas de las funciones de n par sern
parbolas, yalgunas de grados impares tendrn la forma de una grfica
de una funcin cbica, algunasotras grficas tendrn puntos mximos y
puntos mnimos y luego continan. Ejemplos:x y2 321 10 0-1 -1-2 -32f
(x)= x5f (x)= x3 + 1f (x)= x5 f (x) = x3 3x + 4x y2 61 2 21/80 4-
43/8-1 6-2 2f (x) = x3 3x + 4 107. FFuunncciioonneess
TTrraasscceennddeenntteessFuncin ExponencialEs una funcin de la
forma f (x)= ax ; a R a 1. Esta funcin es asntota respecto al eje
x.Ejemplos:x y1 20 1-1 Funcin LogartmicaEs la funcin inversa de la
exponencial, es de la forma f (x)= logax ; a R a 1. Esta funcin es
asntotarespecto al eje y. Cuando la base de la funcin es e, se le
llama funcin , f (x)= n x.Ejemplos:f (x)= 2xx y3 11 0 -1f (x)=
log3xf (x)= 2xf (x)= log3xx y1 0 1-1 2f (x)= ()xf (x)= ()xf (x)=
log3x3y= xEn la tablade valores deeste tipo defuncin se ledan
valores ay para hallarlos de x.f (x)= logxx y3 -11 0 1()y=
xllooggaarriittmmoo nnaattuurraallf (x)= logx 108.
FFuunncciioonneess TTrraasscceennddeenntteessFunciones
TrigonomtricasSon funciones basadas en las diferentes razones
trigonomtricas: Seno, Secante, Tangente, Coseno,Cosecante y
Cotangente.Estas son funciones peridicas en el punto 2 rad
360.Variaciones en la funcin Seno y Coseno se dan por la expresin:
y = c a b( d), donde a es laSenCosamplitud, b el nmero de ciclos, c
el desplazamiento vertical, d desplazamiento horizontal, y Pperodo;
el signo determina la funcin: Seno, -Seno, Coseno, -Coseno. A
partir de estos elementosse puede hacer la grfica (ms rpido que
hacer una tabla de valores) y tambin lo contrario, apartir de la
grfica se puede formar la ecuacin, encontrando sus
elementos.Ejemplo:f (x)= 1 + 2Sen(2 + 60)y= 1 + 2Sen 2( +
30)Entonces:a= 2b= 2c= 1d= -30f = SenaadcP= 360bP= 360 = 1802f (x)=
1 + 2Sen(2 + 60)Es de recordar:La funcin Seno empieza desde cero y
es inicialmente creciente (hacia arriba), por lo tanto lafuncin -
Seno empieza desde cero y es inicialmente decreciente (hacia
abajo).La funcin Coseno empieza desde el mximo y es inicialmente
decreciente, por lo tanto la funcin Coseno empieza desde el mnimo y
es inicialmente creciente. 109. FFuunncciioonneess
EEssppeecciiaalleessFuncin InversaSi una funcin en donde a
relaciona a b es biyectiva, su funcin inversa ser entonces
unafuncin donde b relaciona a a. Para hallar la funcin inversa de
una funcin dada se siguenlos pasos estudiados en Operaciones con
Funciones.Ejemplo:x y1 20 -1 -1-2 -f (x)= 3x + 12Funcin Valor
Absoluto5/2Es una funcin donde la variable independiente est dentro
de valor absoluto. Hay querecordar que el valor absoluto de un
nmero siempre es positivo.Ejemplo:f (x)= |x 1|f (x)= 3x + 12f (x)=
|x 1|f (x)= 3x + 12x= 3y + 122x= 3y + 13y= 2x 1f-1(x)= 2x 13x y2 1
0-1 -1-5/2-2f-1(x)= 2x 13f -1(x)= 2x 13x y3 22 11 00 1-1 2 110.
FFuunncciioonneess EEssppeecciiaalleessFuncin Segmentada Por
TramosEsta funcin est compuesta por una cantidad finita de
funciones, desconectadas o conectadasentre s. Se representa
mediante una llave abierta despus de la funcin, con otras
funcionesorganizadas debidamente segn sus intervalos. Al final su
dominio y su rango son la unin delos dominios y los rangos de las
funciones componentes.Ejemplo:x x2 +1-2 5-1 20 11 2x y1 2f (x) =x
12x >1x +121 12 3/23 2f (x) =3x 2 , x < -2x2 + 1 , -2 x 12
111. FFuunncciioonneess EEssppeecciiaalleessFuncin RacionalEs una
funcin formada por el cociente de dos funciones o dos polinomios
algebraicos.Ejemplo:x y1 -1/30 -5/6-1 -7/3-2 -3 11/3-4 13/f (x)= 2x
53x +63x + 6= 03x= -6x= -2Funcin Escalonada6Es una funcin
segmentada por -5 tramos. 5/3Se simboliza (x).Ejemplo:x 0f (x)= ||
x || 113. GGeeoommeettrraa AAnnaallttiiccaaEn esta seccin de
Relaciones y Funciones se incluyen tambin el resto detemas
referentes a la geometra analtica: Ecuacin de la lnea, crculoy las
secciones cnicas: Elipse, Hiprbola y Parbola; donde se
debenencontrar sus elementos en la ecuacin y a partir de estos
hacer lagrfica; lo contrario, a partir de la grfica, determinar sus
elementosy formar la ecuacin.Ver en el programa 11. 114.
FFuunncciinn LLooggaarriittmmoo NNaattuurraalley = xe = 2.7
1828FFuunncciioonneess TTrraasscceennddeenntteessf (x)= Logexf (x)=
n xx y0.135 -20.368 -11 02.72 17.39 2 115. Grficas de Funciones
Trigonomtricas eenn PPoossiicciinn nnoorrmmaall:: y aa== 11,, bb==
11,, cc== 00,, dd== 000 130 0,86602545 0,70710760 0,590 0120
-0,5135 -0,70711150 -0,86603180 -1210 -0,86603225 -0,70711240
-0,5270 0300 0,5315 0,707107330 0,866025360
1FFuunncciinnSSeennooFFuunncciinnCCoosseennoo y0 130 0,86602545
0,70710760 0,590 0120 -0,5135 -0,70711150 -0,86603180 -1210
-0,86603225 -0,70711240 -0,5270 0300 0,5315 0,707107330 0,866025360
1 116. y0 130 1,154700545 1,4142135660 290 120 -2135 -1,4142136150
-1,1547005180 -1210 -1,1547005225 -1,4142136240 -2270 300 2315
1,41421356330 1,1547005360 1 y0 30 245 1,4142135660 1,1547005490
1120 1,15470054135 1,41421356150 2180 210 -2225 -1,4142136240
-1,1547005270 -1300 -1,1547005315 -1,4142136330 -2360
FFuunncciinnSSeeccaanntteeFFuunncciinnCCoosseeccaannttee360360 117.
Y0 030 0,57735045 160 1,73205090 120 -1,73205135 -1150 -0,57735180
0210 0,577350225 1240 1,732050270 300 -1,73205315 -1330 -0,57735360
0FFuunncciinnTTaannggeenntteeFFuunncciinnCCoottaannggeennttee Y0 30
1,7320508145 160 0,5773502790 0120 -0,5773503135 -1150
-1,7320508180 210 1,73205081225 1240 0,57735027270 0300
-0,5773503315 -1330 -1,7320508360 118.
EEEEjjjjeeeerrrrcccciiiicccciiiioooossss
RRRReeeellllaaaacccciiiioooonnnneeeessss yyyy
FFFFuuuunnnncccciiiioooonnnneeeessssI. Dados : A = {0,1,2,3} B =
{0,2,3,4,5,6,7,8}, analice cada relacin, elabore un diagrama
sagital para cada una, diga si esfuncin y si es, analcela tambin.1.
X r Y A x B/ x y2. X r Y A x A/ y es divisor de x3. X r Y A x B/ y
= 2x4. X r Y A x B/ y = 2x + 15. X r Y A x B/ y = x + 2II. De las
siguientes relaciones diga cual es funcin:a. b. c.
d.12341231234123412341234III. Analice las siguientes ecuaciones
dando todos sus elementos y graficando, diga si el grfico obtenido
corresponde a unarelacin o a una funcin, y diga que tipo de grfica
es:1. 3x 2y + 5 = 0 7. 4y 9x 16y 54x 101 = 02. 2x 3 = 0 8. x 6x +
8y +17 = 03. 4y + 5 = 0 9. y + 2y 12x + 25 = 04. 3x + 3y 9 = 0 10.
(x 5) + (y + 5) = 15. 2x + 2y 12x + 8y + 26 = 06. 9x + 4y 36x + 24y
36 = 012341234169 49AAnnlliissiiss ddee RReellaacciioonneess
yyGGeenneerraalliiddaaddeess FFuunncciioonneess
OOppeerraacciioonneess ccoonn FFuunncciioonneessDDoommiinniioo
yyRRaannggoo GGrrffiiccaass ddee FFuunncciioonneess11. 169(x 1)2 +
144(y 3)2= 24 33612. x2 + 4y + 8= 013. y2 14y 24x 119= 014. x2 +
16y 32=015. 4x2 + 4y2 + 23x 32y 48= 0 119. 13. f(x) = 15. Sgn(x)
=14. f(x) =2x+16. (g + h)(x)7. (h g)(x)8. (h g)(x)9. (g / h)(x)10.
(f o g)(x)11. (g + f)(x)h(x)12. (h o f o g)(x)2x 120. VII. Hallar
el dominio y rango de las siguientes expresiones:1.3xy + 5x 9y =
06. 4xy2 8x + 3 = 02.2x2 + 3y 5 = 07. 2x2y 3xy +7 = 03.4x 5xy + 7y
= 08. 5x2 3xy 9 = 04.3y2 + 5x 9 = 09. 7xy 3x + 12y = 05.4x2y + 5y
13 = 010. 9x2 3y + 7 = 0VIII. Escriba la ecuacin de la lnea segn
las condiciones dadas y grafique cada una.1.m= -, pasa por (-5,
4)2.x-int= -, y-int= -3.m= y-int= 44.Pasa por los puntos A(, 4)
B(0, -)5. Pasa por (-5, 3) y es paralela a 3x 2y + 7 = 06. Pasa por
(3, -7) y es perpendicular a 2x 5y + 9 = 07. Es bisectriz
perpendicular del segmento A (-5, 3) B(2, -4)8. Pasa por el punto
de interseccin de 3x + 2y= 8 ; 2x 3y= 4 y esperpendicular a 5x 3y +
9= 0IX. Escriba la ecuacin del circulo segn las condiciones dadas y
grafique cada uno.1.C (3, - ), r=172.El dimetro es el segmento (-1,
5) (-5, 9)3.C(5, -3) pasa por (3, 11)4.C(3, -4) tangente al
eje5.Tangente a lnea 5x 12y = 24 , C(5, -5)6.Circunscrito al
triangulo de vrtices (3, -2) (2, 5) (-1, 6) 121. X. Escriba la
ecuacin de las cnicas dadas y grafique.1.e=1 V(0, 0) F(0, 3)2.e=1
V(0, 0) D: y 4=03.e=1 V(0, 0) lr=10 , abre a la derecha4.e=1 V(0,
0) pasa por (-3, 4) abre hacia abajo5.e=1 V(3, 2) F(3, 4)6.e=1 V(4,
1) D: x 2=07.e=1 V(4, -2) abre a la derecha, lr=88.e=1 V(3, -2) PF
(-2, ) (8, )9.e=1 F(2, -3) D: x 6=010.e=1 V(3, -4) eje horizontal
pasa por (2,-5)11. e < 1 C (5, 1) V(5, 4) B(3, 1)12. e < 1
V(6, 3) F(-4, 3) (4, 3)13. e < 1 B (-1, 2) (-1, 4) F(1, -1)14. e
< 1 V(-1, 3)(5, 3) longitud del eje menor = 415. e < 1 C(3,
2) F(3, 7) V(3, -5)16. e > 1 C(2, 0), eje transversal paralelo
al eje x, F(10, 0) V(6, 0)17. e > 1 C(0, 0) eje conjugado || al
eje x, eje transversal=12 , lr=618. e > 1 C(-2, 2) V(4, 2) F(6,
2)19. e > 1 C(-2, 2) V(-2, -4) F(-6, -2)20. e > 1 C(2, 5) eje
transversal paralelo al eje x, F(8, 5) B(2, 9)Anlisis ddee
RReellaacciioonneess yyGGeenneerraalliiddaaddeess
FFuunncciioonneess OOppeerraacciioonneess ccoonn
FFuunncciioonneessDDoommiinniioo yyRRaannggoo GGrrffiiccaass ddee
FFuunncciioonneess 122. RReessppuueessttaass 123.
RReessppuueessttaass 124. El concepto de lmite es la base
fundamental con la que se construye el clculoinfinitesimal
(diferencial e integral).El lmite es el valor al que tiende una
funcin cuando la variable independientetiende a un nmero
determinado o al infinito.El concepto de continuidad se aplica a
una funcin, y se refiere a una curva quecontina sin interrupcin, si
esta presenta un valor indeterminado, o cualquiertipo de
interrupcin se dice que f (x) no es continua o es discontinua en el
puntox = a. 125. Sea f una funcin definida en algn intervaloabierto
que contenga a a. El lmite de f (x) cuando xtiende a a es L, y se
escribe segn la definicinpsilon-delta:limxa f (x) = L:Si el
siguiente enunciado es verdadero:Dada cualquier > 0, sin
importar cuan pequeasea, existe una > 0, tal que si:0
