Cap5 con densadores y dielectricos

Cuaderno de Actividades: Física II

5) Capacidad eléctrica y Condensadores

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 81


5.1) Capacidad eléctrica. C

Es la capacidad que poseen los conductores eléctricos para almacenar carga eléctrica. Esta característica de los sistemas de conductores dependerá de su geometría así como del medio que los contiene. Esta capacidad de almacenamiento de carga también puede entenderse como capacidad de almacenar energía en la distribución de cargas, como vimos en el capitulo anterior.

i) C de un conductor: Caso esfera de radio R.

Si se realiza el experimento de cargar una esfera metálica de radio R, se observaría que la carga se distribuye homogéneamente en la superficie alcanzando la esfera un potencial de equilibrio igual a,

kQ

VR

≡

En este caso la carga q se trae desde el ∞ de tal forma que el cociente entre Q y ∆V=V-0 se mantiene constante. Recuerde que el potencial de q en el ∞ es cero. Definiendo la capacidad eléctrica de la esfera como,

QC

V≡

∆

La C de la esfera es,

QQ QC

V V≡ ≡ ≡

∆ k Q 0

0

4

4C R

R

R

πε

πε

≡

≡

Como se indico depende del medio y de la geometría. Además proporciona información importante acerca de la capacidad de un sistema para almacenar energía por medio de la carga.


Q

q


ii) C para dos conductores: Caso condensador.

Son sistemas eléctricos constituidos por 2 conductores de tal forma que al imponerse una ∆V entre ellos, las líneas de fuerza salgan de uno e ingresen completamente al otro. Se encuentran en influencia eléctrica total.

-Q

V+ +Q V-

∆V: ∆V aplicada a los conductores

∆V = V+-V- =V2 – V1

Informa sobre la cantidad de carga {o energía} capaz de ser almacenada en el sistema.

u[C] = C / V = farad =F ( esta cantidad puede estar en mF, µF, pF )

j) Capacidad de ciertos condensadores

k) Condensador de placas paralelas

Q -Q

+ - + - + - + - + - d + -

∆V


QC

V=

∆

C

Er


'

1

'

)(

1

2

VVQV

QC

ECC

drE

daE

V

QC GC

o

∆=

∆=∆=

=

−==

∫

∫ε

1

0 0 02

0

0 0

{ }.{ }Q

cond

d

dE V Edr i dxi

AQ QC

d AdQ d

σ σ σε ε ε

εσε ε

= → ∆ = − = − =

= = =

∫ ∫ → 0AC

d

ε=

kk) Condensador Cilíndrico

H1

2

'

.

QC

VV Q V

V E dr

=∆

∆ = ∆

∆ = −∫r r

Aplicando LG,



1

2

0

1

2

. . {2 }

2

ˆ ˆ. { }.{ }2

ne

oSG SLat

o

R

r roR

hQq HEda E da E r h

QE

r H

QV E dr e dre

r H

πε ε

π ε

π ε

= = = ≡

→ =

→ ∆ = − = −

∫ ∫

∫ ∫

r rrv

r

r r

Ñ

1

2

2

1

2

1

{ } { }2 2

1{ { }

2

22

ln{ }1

R

o oR

o

o

Q dr Q RV Ln

H r H R

QC

RV Q Ln

H R

HC

R

R

πε πε

πεπε

∆ = − =

=∆ =

=

∫

2

1

2

ln{ }

oCRHR

πε=

kkk) Condensador Esférico

El condensador esférico está formado por dos casquetes esféricos conductores concéntricos, de espesores despreciables, de radios R1

y R2 (R2>R1). Suponga que la esfera interior se carga a Q+, mientras que la exterior se carga a Q-. Si en la región entre esferas existe vacío como aislante, entonces se calcula el campo eléctrico en ésa región, aplicando la ley de Gauss, eligiendo como superficie gausiana una superficie esférica concéntrica de radio genérico r,

2

02

0

. {4 }4

ne

oSG

q QEda E r

QE

rπ

ε ε π ε= ≡ → ≡=∫

rrvÑ

Con lo cual, la diferencia de potencial queda como:



1

2

1

2

1

22

2

ˆ ˆ. { }.{ }4

{ } { }4

R

r roR

R

o R

QV E dr e dre

r

Q drV

r

π ε

π ε

∆ ≡ − = −

∆ ≡ −

→

∫ ∫

∫

r r

o 1 2

Q 1 1ΔV≡{ } -4πε R R

Para obtener una capacidad de:

≡ → o 1 2

Q QC C≡ΔV Q 1 1{ } -

4πε R R→ C ≡

−o 1 2

2 1

4πε R RR R

jj) Energía del condensador. E=Epel=U

Q+ Q- σ+ σ- ρ=σ : E del condensador

V1 V2

{ } { }

, , ,

1 2

1

1 2

2

1 2

las superficies son equipotenciale

1

2

1 1:

2 21 1

2 21 1

2

1

2 2

s

2

1

cond pel pel pel

cond

E E E E daV

E da da

V V

V V

Q Q

Q Q

Econd

da d

Q V V Q

V

a

Q

V

Q

V

σ σ σσ

σ

σ

σ

σ σ

+ −

+ −

+

+ −

+

−

−

= = + =

= +

= +

= +

= += −

= − = ∆

∫

∫ ∫

∫ ∫



C=Q/∆V

De tal forma que si los procesos de carga son a ∆V= cte o Q= cte, se obtendrían,

jjj) Ensamblaje de condensadores

k) Ensamblaje en serie

Características:

j) Conservación de la q

q1 = q2 =q3=q

jj) Conservación de la Energía

∆V= ∆V1+∆V2+∆V3

De i ), ii) y C= Q/V

Ceq -1 = C1-1 +C2

-1+C3-1

Para n Cs

1

1

1{ }

i n

eqi i

CC

=−

=

= ∑


1

2condE Q V= ∆

2

2

1VCEcond ∆=

C

QEcond

2

2

1=


kk) Ensamblaje en paralelo

Características:

j) Q = cte

q1+ q2+ q3 =q

jj) E=cte

∆V= ∆V1=V2=∆V3

Si j), jj) y C=Q/V

Ceq = C1+ C2+ C3

Para n Cs

eq ii

C C= ∑

5,2) Ley de Gauss con dieléctricos

Concepto Previo: Dieléctrico (aislante)

AISLANTE Polarización

La polarización del dieléctrico se puede caracterizar usando cantidades micro- macro adecuadas.


dpP

dV=

rr


MICRO: p p: dipolo eléctrico

E

≡ p

MACRO: P: vector de polarización {E, P, D}

E P

MEDIOS DIELECTRICOS:

σp E n

= P = ρp

P

nP

p

p

.

ˆ.

−∇=

=

ρ

σ

Ley de Gauss con dieléctricos


ppDIE EEE σρ +=


0

. NE

SG

qE da

ε=∫

r rÑ

DIEplNE qqq +=

SG

∆V ql = carga libre qp = carga de polarización

0

0 0

0

0

00

. .

{ }1.

{ }

{ }( .

1

.

lim

. )

l p i p

SG SG

i p

SG

i p

i

VSG

pl

q qE da E da V

E daV

EdaV

E E P

ρ ρε ε

ρ ρε

ρ ρε

ρρρ

εε

∆ →

+ + = → = ∆

+ = ∆

+=

+= → ∇ + =∇

∆

∇

∫ ∫

∫

∫

r rr r

r

r

r

r

Ñ Ñ

Ñ

Ñ

LPE ρε =∇+∇r

.).( 0

LPE ρε =+∇ }.{ 0

v

Definiendo, D: Vector desplazamiento eléctrico, 0D E Pε= +r

Ley de Gauss en forma diferencial

Caso particular: Materiales l.i.h. l: lineales (P ≠ P (E local))i: isotrópicos ( no depende del sistema X ,Y,Z)


qN

. LD ρ∇ =r


h: homogéneos P ≠ P (moléculas)

Entonces, estas condiciones conducen a que, P Er rZ Z , de tal forma que,

0P Eε χ=

χ: Chi, susceptibilidad eléctrica

D Eε=

Con lo que la forma integral de la LG:

. ,ll le

SG

qE da q q

ε= =∫

r rÑ

OBSERVACIONES:

i) Definición de constante dieléctrica, K

0

(1 )Kε χε

= = +

Carga q en el seno del dieléctrico:

0 0

. i

sg

q q q KE da

Kε ε ε= = =∫

r rÑ


0 0 0

0

{ ( 1)}

( 1) : Permitividad eléctrica del medio

D E xE x E

x

ε ε εε ε

= + = += +

+ + + + +P+ + +q + + + + K

- - - - -. - - -

E

K=1

q /k


q q/K

ii) Energía con dieléctrico, EK

{ }

000

2 20 0

: con dieléctrico

: sin dieléctrico(vacio)

1 1

2 2

KKK

K

CCK C KC

CC

E C V KC V KE

= → =

→ = ∆ = ∆ =

0KE KE=

Esto es, siempre que pueda seguirse cargando el condensador la energía aumentara con dieléctrico.

5,3) Energía almacenada en el E

Usemos el condensador de placas paralelas,



Q C:A,d

∆V

{ }

20

20

2

)(2

1

2

12

1

EAd

Edd

A

VCEcond

ε

ε

=

=

∆=

20

: densidad volumetrica

de energía en el conde

1

nsador

2cond

cond

E

u

uE

Vu ε→ ≡=

En general, dada una distribución de cargas que crea un campo eléctrico en el espacio,

ρ E

3

1.

2el

R

E D EdV= ∫r r

Si asumimos l.i.h. : D= εE



3

21

2el

R

E E dVε = ∫

S3P34) Se tiene una línea de carga de densidad C

mλ

”sumergida” en un

medio dieléctrico de constante ε. Determine los vectores ,E D y Pr r r

.

SOLUCION:

Aplicando la LG para dieléctricos, obtenemos el E

r,

. , : argLELE

SG

qE ds q c a libreencerrada

ε=∫

r rÑ

ˆ( )2 rE r e

r

λπε

≡r

El vector desplazamiento eléctrico, Dr

, lo obtenemos recordando que estamos en un medio lih, donde se relaciona con E

r,

0 (1 )D Eε ε ε χ= ← ≡ +r r

, donde χ es la susceptibilidad eléctrica del medio,

ˆ( )2 rD r e

r

λπ

≡r

Y el vector de polarización lo obtenemos de 0P Eε χ≡r r

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

λ z A lih

ε E

r

y ˆre SG

x

Er

SG r λ y

ˆre

x

94


0 0( )ˆ ˆ( )

2 2r rP r e er r

ε χλ ε ε λπε πε

−≡ ≡r

S3P35) Una varilla cilíndrica de longitud L y base B tiene una polarización dada

por ( )22

ˆ CP a bx i

m≡ +

r.Determine las densidades de carga.

SOLUCION:

Según la definición de densidades de carga de polarización,

ˆ.

.

p

p

P n

P

σ

ρ

=

= −∇

r

r

Las densidades superficiales estarían descritas por:

En la base ubicada en x=0,( (0))p a b aσ = − + ≡ −

,

En la base ubicada en x=L, 2 2( ( ) )p a b L a bLσ = + ≡ +

En la superficie lateral no existe pσ.

Y la densidad volumétrica es dada por,

. 2xp

PP bx

xρ ∂= −∇ ≡ − ≡ −

∂r

S3P36) Determine la energía electrostática almacenada por una densidad volumétrica de carga uniforme, ρ, almacenada en una esfera de radio R.

SOLUCION:


ˆre

Pr

1̂n− 1̂n x B L

ρ

R

95


3

21

2pe

R

W E E dvε≡ = ∫

Determinamos E con Gauss en todo el espacio,

Dentro de la esfera

0

( ).

q rE ds

ε≡∫

r rÑ

…¿?

S3P31) Un condensador se compone de dos láminas parciales de 25 cm2 de superficie separadas por una distancia de 0,2 cm. La sustancia interpuesta entre ellas tiene una constante dieléctrica de 5. Las láminas del condensador están conectadas a una batería de 300 v.

a) ¿Cuál es la capacidad del condensador?b) ¿Y la carga sobre cada lámina?c) ¿Y la energía del condensador cargado?d) ¿Cuál es la polarización en el dieléctrico?



e) ¿Y el desplazamiento (D) en el mismo?f) ¿Y su densidad de energía?g) Encuentre todas las preguntas anteriores si el condensador es esférico de radio interno 12 cm y radio exterior 15 cm

SOLUCION:

Datos: A = 25 cm2 , K = 5 d=0,2m , ∆V=300

a) 0 0

AC

dε=

→ Ck = KCo; 0

1Kε χε

= ≡ +

b) Q = C∆V = Ck. ∆V → K KQ C V= ∆

c) 0kE KE≡ ; 0

1

2 oE C V= ∆

d) ?P =

r ; ˆP Pi=

r (2 placas paralelas)

0 ; 1 , , KQP E K E

A

σε χ χ σε

= = − ≡ ≡

e) ?D =r

;D E D Dσε ε σε

= = → ≡

r r

f) 2

0

1

2cond

cond

Eu E

Vε= =

g) Datos del condensador esférico 1 212 ; 15R cm R cm= = , idem…¿?

S3P2) Una carga puntual q0 se encuentra en el centro de un cascarón dieléctrico esférico de radios a y b (b > a)

a) Halle el campo eléctrico para todos los puntos del espacio.

b) La densidad de carga inducida en la superficie interior y exterior.

SUG: Use la ley de gauss en la forma 0D ds q=∫r rgÑ


Y

D

z x K 97


SOLUCION:

a) E=? ; ∀r en R:

ˆrE E e LG= ←r

↑

I) 0

20

1;

4

kqE k

r πε= = , 0<r<a

II) 002

1; ;

4

kqE k K

rε ε

πε= = = , a<r<b

III) 0

20

1;

4

kqE k

r πε= = , r>b

b) ˆ.p P nσ =r

0P E lihε χ= ←r r

( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 2

1ˆ ˆ ˆ: 1 . 1 ( ).

4p p II II r r

K qQ K E n K E r b e e

Kbσ ε ε

π+

+

−= − ≡ − = ≡ +

r

( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 2

1ˆ ˆ ˆ: 1 . 1 ( ).( )

4p p II II r r

K qQ K E n K E r a e e

Kaσ ε ε

π−

−

−= − ≡ − = − ≡ −

r


- + Qp

a q0 - + E r - + b - +

98

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