Cartilla profesores matematicas1

MatemáticasApreciad@ Maestr@,

En este documento se presenta los aspectos conceptuales que se abordan en los materiales dirigidos a los estudiantes, así como las respuestas a los ejercicios planteados.

El área de Matemáticas, para este programa se presenta en 10 sesiones, y tiene como propósito que los estudiantes logren fortalecer las habilidades cognitivas generales como: observación, comparación, clasificación, asociación, abstracción, comprensión, modelación, razonamiento y análisis, con el fin de aproximarlos a la comunicación por medio de la lectura y escritura del lenguaje matemático; apoyándonos a partir de lo expuesto en los lineamientos curriculares, las competencias básicas y los estándares básicos de competencias para el área de matemática , sugeridos por el Ministerio de Educación Nacional.

La realización de las actividades propuestas conlleva a que el estudiante fortalezca su pensamiento matemático adquirido en su paso por la escolaridad y fuera de ella. En las sesiones se asume la perspectiva integradora de los lineamientos curriculares y estándares básicos de competencias respecto de los conocimientos, procesos y contextos. Se privilegian como contextos las situaciones problemáticas enmarcadas en las mismas matemáticas, la vida diaria y las otras ciencias.

Lo anterior implica realizar un trabajo tanto por las formas de proceder: las competencias, como por los aspectos conceptuales y estructurales de las matemáticas: los componentes.

Las competencias

Para la construcción de las actividades propuestas en las sesiones, se tuvo en cuenta el documento de orientación del ICFES, para la elaboración de las pruebas así: el razonamiento y la argumentación; la comunicación, la representación y la modelación; y el planteamiento y resolución de problemas. En estas últimas quedan inmersas, desde luego, la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos.

El razonamiento y la argumentación: están relacionadas, entre otros, con aspectos como el dar cuenta del cómo y del porqué de los caminos que se siguen para llegar a conclusiones, justificar estrategias y procedimientos puestos en acción en el tratamiento de situaciones problema, formular hipótesis, hacer conjeturas, explorar ejemplos y contraejemplos, probar y estructurar argumentos, generalizar propiedades y relaciones, identificar patrones y expresarlos matemáticamente y plantear preguntas, reconocer distintos tipos de razonamiento y distinguir y evaluar cadenas de argumentos.

DOCENTES

La comunicación, la representación y la modelación: están referidas, entre otros aspectos, a la capacidad del estudiante para expresar ideas, interpretar, usar diferentes tipos de representación, describir relaciones matemáticas, relacionar materiales físicos y diagramas con ideas matemáticas, modelar usando lenguaje escrito, oral, concreto, pictórico, gráfico y algebraico, manipular proposiciones y expresiones que contengan símbolos y fórmulas, utilizar variables y construir argumentaciones orales y escritas, traducir, interpretar y distinguir entre diferentes tipos de representaciones, interpretar lenguaje formal y simbólico y traducir de lenguaje natural al simbólico formal.

El planteamiento y resolución de problemas: se relacionan, entre otros, con la capacidad para formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de la matemática, desarrollar, aplicar diferentes estrategias y justificar la elección de métodos e instrumentos para la solución de problemas, justificar la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo razonable o no de una respuesta obtenida, verificar e interpretar resultados a la luz del problema original y generalizar soluciones y estrategias para dar solución a nuevas situaciones problema.

Los componentes

Así mismo, en las sesiones no está explícito el campo de pensamiento (componentes) a trabajar, la idea es lograr la integralidad entre los tres campos de pensamientos propuestos por el ICFES, para la valoración de las pruebas saber.

El ICFES1, reorganiza los cinco pensamientos descritos en los lineamientos curriculares y en los estándares básicos de competencias en tres componentes: el numérico-variacional, el geométrico-métrico y el aleatorio. Esta división no pretende separar la matemática en elementos discretos; por el contrario, los mismos tienen la intención de proporcionar un esquema de clasificación útil que describe el espectro total de los componentes matemáticos planteados en los estándares.

Numérico-variacional: indaga por la comprensión de los números y de la numeración, el significado del número, la estructura del sistema de numeración; el significado de las operaciones, la comprensión de sus propiedades, de su efecto y de las relaciones entre ellas; el uso de los números y las operaciones en la resolución de problemas diversos, el reconocimiento de regularidades y patrones, la identificación de variables, la descripción de fenómenos de cambio y dependencia; conceptos y procedimientos asociados a la variación directa, a la proporcionalidad, a la variación lineal en contextos aritméticos y geométricos, a la variación inversa y al concepto de función.Geométrico-métrico: está relacionado con la construcción y manipulación de representaciones de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos y sus transformaciones. Más específicamente, con la comprensión del espacio, el desarrollo del pensamiento visual, el análisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacio a través de la observación de patrones y regularidades, el razonamiento geométrico y la solución de problemas de medición, la construcción de conceptos de cada magnitud (longitud, área, volumen, capacidad, masa, etc.), comprensión de los procesos de conservación, la estimación de magnitudes, la

apreciación del rango, la selección de unidades de medida, de patrones y de instrumentos, el uso de unidades, la comprensión de conceptos de perímetro, área y volumen.

Aleatorio: indaga por la representación, lectura e interpretación de datos en contexto; el análisis de diversas formas de representación de información numérica, el análisis cualitativo de regularidades, de tendencias, de tipos de crecimiento, y la formulación de inferencias y argumentos usando medidas de tendencia central y de dispersión; y el reconocimiento, descripción y análisis de eventos aleatorios.

LOS MATERIALES PARA LOS ESTUDIANTES.

En cada sesión se presenta una serie de procesos, los cuales pretenden desarrollar una pregunta, que permite despertar el interés de los estudiantes. Lograr lo anterior exige disciplina y atención. Es necesario, complementar estas sesiones con situaciones problema que puedan ser solucionadas desde la matemática y den cuenta de la aplicación de las temáticas propuestas.

Es importante en este trabajo fortalecer la interacción entre el maestro, el estudiante y los compañeros, a través de la exploración, esta permite llegar a resultados visibles de comunicación, interpretación y representación, permitiendo hacer visible que la matemática, está íntimamente relacionada con la realidad y con las situaciones que rodean al estudiante.

De la misma manera, la matemática se encuentra ligada al desarrollo del pensamiento racional (razonamiento lógico, abstracción, rigor y precisión), y es esencial para el desarrollo de la tecnología y la ciencia; por tanto, se debe propiciar espacios de discusión y argumentación, que favorezca el desarrollo individual.

Se inicia con actividades que requieren mediciones, transformación de figuras planas mediante ampliaciones y reducciones, y que involucran relaciones de semejanza a partir de repetición de figuras hallando áreas y volúmenes de objetos de forma no regular.

Es interesante mirar la transformación del lenguaje común al lenguaje matemático y viceversa; para aplicar estos conocimientos en las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) del algebra, se sigue el estudio con nuevos términos y la familiarización de ellos. Este camino se recorre a partir de la geometría, tomando conceptos básicos de esta como son: longitud, perímetro, área y volumen.

En la siguiente rejilla se presenta en cada sesión, la pregunta, los estándares y las temáticas propuestas. Es necesario, complementar estas sesiones con otras situaciones problema que puedan ser solucionadas desde la matemática y den cuenta de la aplicación de los conceptos matemáticos.

SESION PREGUNTA ESTANDARES TEMATICAS

1¿Cómo se

relaciona arte y geometría?

Reconozco y empleo unidades de longitud en el sistema métrico decimal.Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas.Utilizo técnicas y herramientas para la construcción de figuras planas y cuerpos con medidas dadas.

Medidas de Longitud, conversión de unidades de medida.Polígonos regulares e irregularesPerímetro de polígonos Operaciones con números naturalesOperaciones con números decimalesHomotecias- Semejanza

2¿Cómo mejoras tu percepción

espacial?

Predigo y comparo los resultados de aplicar transformacionesRígidas (traslaciones, rotaciones, reflexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte.Identifico características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiana y geográfica.Identifico relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud.

Ángulos Internos y Líneas notables de un trianguloMedidas de superficie, conversión de unidades de medida de área.Área de triángulos y cuadriláterosÁrea y volumen de figuras por composición y descomposiciónMedidas de volumen, conversión de unidades de volumen.

3

¿Cómo me expreso en el lenguaje algebraico?

Calculo áreas y Volúmenes a través de composición y descomposición de figuras y cuerpos.Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricosUso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.

VariableTérminos algebraicos, Expresiones algebraicasTérminos semejantesReducción de términos semejantes Suma de expresiones algebraicasSustracciones de expresiones algebraicas

4¿Cómo relaciono

el algebra y la geometría?

Generalizo procedimientos de cálculo validos para encontrar el perímetro y área de regiones planas y el área y volumen de sólidos.Establezco propiedades de congruencia y semejanza en figuras bidimensionales y objetos tridimensionales.

Multiplicación de expresiones algebraicasDivisión de expresiones algebraicas

5¿Cómo relaciono la geometría con

el algebra?

Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.

Productos notables Factorización de expresiones algebraicas.

6¿Cómo

represento las funciones?

Establezco relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicasDescribo y represento situaciones de variación relacionando diferente representaciones.

Datos, variables, graficas proporcionalidad directa e inversa

7

¿Cuáles son los problemas màs

precuentes en los jóvenes?

Comparo e interpreto datos provenientes de diversas fuentes (prensa, Revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).Interpreto, produzco y comparo representaciones gráficas adecuadas para presentar diversos tipos de datos. (diagramas de barras, diagramas circulares.)Uso medidas de tendencia central (media, mediana, moda) para interpretar comportamiento de un conjunto de datos.

Frecuencia absolutaDiagramas de barrasMedia y moda

8

¿Me ayudan las ecuaciones a solucionar problemas?

Reconozco el lenguaje algebraico como forma de representar procesos inductivos

Variable, ecuación, cantidad, incógnita.Equivalencia entre cantidades.

9 ¿Qué pasará el día de hoy?

Reconozco la posibilidad o la imposibilidad de ocurrencia de un evento a partir de una información dada o de un fenómeno Reconozco relaciones entre un conjunto de datos y sus representaciones

Datos, probabilidad, posibilidad, incertidumbre.

10

¿Cómo reconozco patrones en conjuntos

numéricos?

Reconozco patrones en secuencias numéricasInterpreto tendencias que se presentan en un conjunto de variables relacionadasReconozco el uso de propiedades y relaciones de los números reales

Conjuntos numéricos, patrones secuencias, relaciones y operaciones entre los elementos de los conjuntos numéricos.

A continuación te presentamos algunas de las soluciones de las diferentes actividades y ejercicios propuestos, en cada una de las sesiones.

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Matemáticas - Unit 1 Intensificación CORPORACIÓN INTERNACIONALPARA EL DESARROLLO EDUCATIVO

SESION 1

¿CÓMO SE RELACIONA LA GEOMETRÍA Y EL ARTE?

PROCESO 1: COMPARACIÓN DE PERÍMETROS Y ÁREAS

Observa un tablero de ajedrez, decimos que es una teselación hecha a partir de cuadrados.

Halla el perímetro del cuadrado pequeño 4+4+4+4=16cm

Escribe el perímetro del tablero de ajedrez 32+32+32+32=128 cm

Escribe la relación = 16/128=1/8 La relación es 1 a 8¿Cuál es el área total del tablero? 32cmX33=1028cm2

Compara el área del tablero con el área del cuadrado pequeño ¿Cuántas veces está contenida el área del tablero pequeño en el tablero?

El cuadrado pequeño ésta Contenido 64 veces en el tablero1024/16=64

NOMBRE DEL POLÍGONO PERÌMETRO ÀREACuadrado 4L=16cm L2 =16cm2

Rombo P=4√5 A=2(bxa)/2=6cm2

Triángulo P=10+√32 = 15,6 cm A=5x4/2=10cm2

Rectángulo 5+4+5+4=18cm A=5x4=20cm2

Trapecio P=6+2+√5+√18=14.47 A=3(8/2)=12cm2

Paralelogramo P=4+4+2√5=12,47cm A=4x3=12cm2

PROCESO 2: NÚMEROS POLIGONALES

Elabora los siguientes 5 números triangulares

Los estudiantes dibujarán los triángulos siguiendo el ejemplo dado.

Si la distancia entre dos puntos consecutivos es 3 cm, el perímetro del triángulo que ocupa la posición dos es:

P = 3+3+3 = 9 cm.

El perímetro del triángulo de la posición cinco es: P = 3* 12 = 36

La relación entre el número de la posición cinco y el que ocupa la posición dos es: 36 ⁄ 9, la relación es 4 a 1

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IntensificaciónMatemáticas - Unit 1 CORPORACIÓN INTERNACIONALPARA EL DESARROLLO EDUCATIVO

NÚMEROS HEXAGONALES

Elabora los siguientes 5 números hexagonales

El estudiante dibujará al menos las tres figuras siguientes, necesarias para calcular los siguientes Ítems.

Si la distancia entre dos puntos consecutivos es 3 cm, el perímetro del hexágono que ocupa la posición dos es:

P = 3*6 =18 cm

El perímetro del hexágono de la posición cinco es: P = 3*24 = 72

La relación entre el número de la posición cinco y el que ocupa la posición dos es: 72/18 = 4, la relación es 4 a 1

PROCESO 3: TU RETO

Observa la figura

Escribe el perímetro del rectángulo:P = 2y + 4x

Si el largo (base) del rectángulo es 2X y el ancho (altura) es Y unidades.

Escribe el área de la región sombreada:A = 2xy / 2 = xy

Observa la figura y completa la tabla.

Area región = área círculo grande – área circulo pequeño.Ag = 25 π = 78.54 cm2

Ap = 12.56cm2

Área Región = Ag - Ap = 65.98cm2

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Matemáticas - Unit 1 Intensificación CORPORACIÓN INTERNACIONALPARA EL DESARROLLO EDUCATIVO

Si el diametro del círculo grande es 10cm y el radio del círculo pequeño es 2 cm.

Escribe el valor de la región sombreada:

Observa la figura y completa la tabla.

Escribe el proceso para hallar el área sombreada:Cada estudiante escribirá una breve explicación que según él se debe seguir

Si la longitud del lado cuadrado es 3X.

Expresa el perímetro del cuadrado:3x + 3x + 3x + 3x + = 12xExpresa el área del cuadrado: (3x)2 = 9x2

Observa la región sombreada.Consta de cinco cuadrados de lado X, es decir, el área de cada uno es , luego el área de esta región es

Expresa el perímetro de la región sombreada:P = 12xExpresa el área de la región sombreada:5 * x2 = 5x2

Escribe la relación entre el área del cuadrado y el área de la región sombreada:9x2 / 5x2 = 9 / 5 = 1,8, la relación es 9 a 5 ó 1.8 a 1

El plano representa un apartamento de interés social.

Ancho: 3,5 cmLargo 5.5cm

Hallar el perímetro, sí la escala utilizada es:1cm = 2mP = 36cm =7200cm= 72m

Halla el área del apartamento

A = 3.5*5.5=19.25 cm2 = 77m2

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Intensificación CORPORACIÓN INTERNACIONALPARA EL DESARROLLO EDUCATIVOMatemáticas - Unit 2

SESION 2

¿CÓMO MEJORAS TU PERCEPCIÓN ESPACIAL?

PROCESO 1: DESDOBLEMOS FIGURAS. EL CUBO

¿Cuál es el área total del cubo? Cada cuadro tiene área= 4cm2 Área total = 6 *4cm2 =24cm2

Observa las siguientes figuras, halla el área total y el volumen.

Figura tridimensional

Área total (material necesario para la

construcción)Volumen de la figura

Figura 1

6 caras cada una con área 9cm2.

Luego área total=6*9cm2= 54cm2.

V=l3

V = (3cm)3 = 27 cm3

Figura 2

4 caras de área (4 cm*2cm = 8 cm2) = 32cm2

2 caras de área (4 cm*4cm = 16 cm2)= 32cm2

Área = 32cm2+32cm2= 64 cm2

Volumen = largo* alto*anchoV = 4cm*4cm*2cmV=32cm3

Para comparar el área de la figura uno con respecto al área de la figura dos.

Expresa la relación entre el volumen del cubo de la figura uno con respecto al volumen del cubo de la figura dos.

27 / 16 = 1.68, la relación es 1 a 1.68

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IntensificaciónCORPORACIÓN INTERNACIONALPARA EL DESARROLLO EDUCATIVO Matemáticas - Unit 2

Trabaja en grupo:

Halla el área total y el volumen de los dos prismas pentagonales de la tabla.

El área total es: 2 caras de 5√2cm2+5 caras de área 3cm2.

Área total= 15cm2 +10√2cm2=29cm2

El volumen es: 3*5√2=21.2cm3

Se calcula como en el anterior

El área total = 126 cm2

El volumen es =344 cm3

En la siguiente tabla encuentras tres (3) sólidos conocidos. Completa la tabla hallando el área total y el volumen de cada sólido.

Representación tridimensional Sólido desdoblado Área totalPirámide

A= 165 cm2

V=25cm2*7cm = 175 cm3

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Cilindro A = área de dos círculos + área del rectánguloA = 54.6 cm2 + 129cm2 = 183 cm2

V = área de la base * alturaV = 27.3cm2*7cm = 169.2cm3

Prisma A= 9m2+6m3+3m2 = 18m2

V = 9m3

PROCESO 2: ELABORA EL CUBO SOMA

En este proceso, las medidas y cálculos pueden variar según el tamaño del cubo soma para cada estudiante, la intención de esta actividad, es que el mejore la percepción espacial y a la vez pueda hacer ejercicios de comparación de áreas y volúmenes.

PROCESO 3: TU RETO

Esta actividad la puedes realizar en clase si te queda tiempo o en casa, es importante que consultes a tu profesor y compares tus respuestas.

Observa los puntos y únelos formando cuerpos geométricos

Se hacen siguiendo el ejemplo.

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SESION 3

¿CÓMO ME EXPRESO EN EL LENGUAJE ALGEBRÁICO?

1C+1L=1E2E=3CH1E=1C+1M1T=2CH+1E+1C

Términos ó variables de una igualdad matemática

PROCESO 1: LENGUAJE ALGEBRAICO

Escribe al frente de cada expresión su traducción en lenguaje algebraico.

La quinta parte de 40 más la octava parte de 56 = 1. 40 + 56 5 8

El doble de la quinta parte de 30 = 2 2.

Los dos tercios de cuarenta y dos 3.

El veinte por ciento de ochenta 20% (80)4.

El dieciséis por ciento de cuatro mil 16% (4000) 5.

Los cuatro tercios de veinticuatro 6.

Los nueve quintos de treinta 7.

Cuatro veces los dos quintos de cien 4 8.

Tres veces los cinco tercios de siete 3 9.

El triple de veinticinco 3*2510. 11.

PROCESO 2: EXPRESA PERÍMETROS Y ÁREAS

Expresa el perímetro y el área de cada una de las figuras.

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FIGURA PERÍMETRO ÁREA

Figura 1 P=2x+4x=6x A=2x*x=2x2

Figura 2 P=2x+6x=8x A =3x*x =3x2

Figura 3 P =4x A = x2

Figura 4 P = 4x+12x=16x A=6x*2x=12x2

Figura 5 P = 4x+4x= 8x A =2x*2x=4x2

PROCESO 3: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Expresa el perímetro y el área de cada una de las figuras y completa la tabla:

Ficha Perímetro Área

1 cm 1 x 2

P= 2+x A=1/2 x *1 = 1/2x

1 cm 2x

P=4x+2 A=2x

2 cm 3x

P=6x+4 A=6x

4 cm 4x

P=8x+8 A=16x

Figura 1:

P= 5+4x+4+3.5x+1+1/2x=8x+10A=16.5x

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Figura 2

P=2x+3x+x+2+3+1=6x+6A= 8x

Figura3

P=15x+8A= 22.5x

PROCESO 4: TU RETO

Esta actividad la puedes realizar en clase (si te queda tiempo) o en casa. Es importante que consultes con tu profesor y compares tus respuestas.1. Expresa los números del 1 al 20 utilizando cuatro veces el número 4 y las operaciones básicas.Existen distintas formas de crearlos, un ejemplo de ello es:

2. Encuentra ¿Cuántos números 3 hay entre 0 y 40?

3,13,23,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39, en total hay 14 números tres.

3. Resuelve las siguientes situaciones.

a. En un control de carretera se examinan las llantas cada 10 carros, los frenos cada 6 y las luces cada 15. A un vehículo se le hace revisión completa luego de estos sucesos. ¿En qué vehículo se vuelve hacer otra revisión completa?.

10 6 15 2

5 3 15 3 mcm = 2 x 3 x 5=30

5 1 5 5

1 1 1

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En el vehículo número 30

b. Sandra compró 182 galletas 156 chocolatinas y 260 dulces. Quiere saber cuál es el mayor número de amigos que puede invitar a una fiesta para que todos coman el mismo número de cada golosina. El número de invitados es:

182 156 260 291 78 130 13 MCD = 2 x 13 = 267 6 10

Puede invitar a 26 amigos.

c. Hace 14 años la edad de un padre era el triple de la edad de su hijo y ahora es el doble. Hallar las edades respectivas de padre e hijo hace 14 años.

X= Edad actual del padre Y= Edad actual del hijo X – 14 =3(y - 14) X = 2 Y Luego X= 28 y Y = 56

d. La edad de A es el triple de la de B y la de B es 5 veces la de C. B tiene 12 años más que C ¿Qué edad tiene cada uno?

A = 45 B = 15 C = 3

4. SECUENCIAS NUMÉRICAS: Para solucionar lo propuesto en esta sesión cuentas con 30 minutos.Analiza cada una de las secuencias y escribe los números que faltan en los espacios horizontales, observa el ejemplo de la primera fila.

1 3 6 10 15 21 28 36 45 551 4 9 16 25 36 49 64 81 1001 2 4 8 16 32 64 128 256 5124 16 36 64 100 144 256 324 400 4841 9 25 49 81 121 169 225 289 3611 3 9 27 81 243 729 2187 6551 1965359 57 55 53 51 49 47 45 43 41

49 42 35 28 21 14 7 0 -7 -14

64 56 48 40 32 24 16 8 0 -821 18 15 12 9 6 3 0 -3 -6

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SESION 4

¿CÓMO RELACIONO LA GEOMETRÍA CON EL ALGEBRA?

PROCESO 1: CONSTRUYE SUPERFICIES POR COMPOSICION DE FIGURAS

FIGURA PERÏMETRO ÁREAFIGURA 1 P=4X A=X2

FIGURA 2 P=2X+2 A=XFIGURA 3 P=4 A=1

1

X

X 1 1

Expresa el perímetro y área de la figura anterior.P = 4x + 6A = x2 +3x + 2

Dibuja la distribución de las fichas utilizadas para armar cada una de las figuras anterioresAquí el estudiante hace un dibujo de cómo irían distribuidas las fichas en el área dada, siguiendo el ejemplo de la figura anterior.

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Expresa el perímetro y el área de cada figura

FIGURA PERÏMETRO ÁREAFIGURA 1 P=4X + 8 A=X2 + 4X + 4FIGURA 2 P=4X + 16 A=X2 + 8X + 15FIGURA 3 P=4X + 12 A=X2 + 6X

En las figuras anteriores al expresar el área obtuviste expresiones como estas:

Figura 1: (x+2) (x+2) = x2 + 4x +4Figura 2: (x+3) (x+6) = x2 + 9x +18 Figura 3: x(x+6) = x2 + 6x

¿Qué similitud encuentras con los productos notables?

Concepto personal del estudiante sobre este tema.

PROCESO 2: PRÁCTICA SOLUCIÓN DE ALGORITMOS

DIMENSIONES: LARGO Y ANCHO ÁREA DE LA FIGURA

(x+3) (x+5) A=X2+3X+5X+15= X2+8X+15

(2x+5) (3x+2) A=6X2+4X+15X+10= 6X2+19X+10

(x+7) (4x+3) A=4X2+3X+28X+21= 4X2+31X+21

(x-1)2 A=X2-2X+1

(x+3) (x-3) A= X2+3x-3x-9=x2-9

(x+4) 2 A= X2+8x+16

(x-3)2 A= X2-6x+9

(x-4) (x-3) A= x2-7x+12

(3x-4) (x+3) A=x2+5x-12

(x-4) (x+4) A= X2-16

3x(x+2) A= 3x2+6x

(x+5) (x-2) A= x2+3x-10

(x+8) (x-2) A=x2+6x-16

4x (x-1) A=4x2-4

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PROCESO 3: TU RETO

Diferencias:

Flor Mariquita. Abajo frente al caracol

Mariquita en hoja atrás caracol Florecita, abajo caracol

Falta una hoja en tallo flor Rayas sobre concha caracol grande

Enuncia cuántas posibilidades tiene la hormiga para llegar al punto B.

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Las expresiones algebraicas de la derecha corresponden a la medida del área ó volumen de las figuras de la izquierda, une con una línea la expresión con la figura correspondiente:

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SESION 5

¿CÓMO RELACIONO LA GEOMETRÍA CON EL ALGEBRA?

PROCESO 1: HALLA AREAS DE SUPERFICIES POR DESCOMPOSICIÓN DE FIGURAS

Construye el rectángulo con las fichas, dibújalo y escribe la magnitud de sus lados.

PROCESO 2: PRÁCTICA LA SOLUCIÓN DE ALGORITMOS

Largo: X+3Ancho: X+3

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Expresiónalgebraica

Dibuja de acuerdo a la distribución de las fichas que la forman.

Longitud de los lados

Largo Ancho

9x + 3 3x+1 3

3x+2 X+1

2x 2x+1

2x+3 2x+3

X+3 X+3

PROCESO 3: TU RETO

RESPUESTA: 4

RESPUESTA: 30 días

RESPUESTA: Existen varias soluciones, cada estudiante debe plantear la suya.

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SESION 6

¿CÓMO REPRESENTO LAS FUNCIONES?

PROCESO 1: IDENTIFICA VARIABLES

El valor que paga Manuel, si consume 42 Kwh es de:

CT = 20240 + 1494 * 42CT = 62548

PROCESO 2: ESTABLEZCO RELACIONES

El valor del perímetro es:P = 4x

El valor del área es:A = x2

Teniendo en cuenta la longitud del lado (valor que puede tomar X) completa la tabla.

Longitud del lado cm Perímetro cm Área cm2

1 4 12 8 43 12 94 16 16… … …x 4x X2

Escribe.

¿Cómo varía el perímetro del cuadrado en función de la longitud del lado? Varia de forma lineal, de cuatro en cuatro

¿Cómo varía el área del cuadrado en función del la longitud del lado?

Varía de forma cuadrática, elevando al cuadrado el lado

Escribe la expresión algebraica que muestre las afirmaciones anteriores.

P = 4LA = L2

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PROCESO 3: ANALIZA GRÁFICAS

Analiza y resuelve las siguientes situaciones:

Un automóvil sale de la ciudad A con una velocidad constante de 60 km/h¿Cómo calculas la distancia recorrida por el automóvil en un tiempo determinado?

Multiplico la velocidad del auto por el tiempo transcurrido en horas.

A qué distancia de la ciudad se encontrará el automóvil al cabo de 1 1/2 hora, de 2 hora, 2 1/2 horas, horas y 3 horas?

Organiza los valores en una tabla de datos

TIEMPO DISTANCIA1 01 ½ 902 1202 ½ 1503 180

Elabora la gráfica cartesiana donde se relaciona distancia recorrida por el auto a medida que transcurre el tiempo.

¿Cómo es el comportamiento de la distancia recorrida por el automóvil a medida que pasa el tiempo?

Es directamente proporcional al tiempo.

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Analiza gráficas

Sandra preocupada por el tipo de ropa que debe llevar a un paseo; pregunta sobre el clima de los lugares donde debe ir y recibe la siguiente información:

¿Cuál es el lugar más caliente? Cartagena¿Qué lugares tienen la misma temperatura? Santa Isabel y Nevado del Ruiz

¿Qué puedes inferir ò deducir de la información consignada en la gráfica?

PROCESO 3: TU RETO

Partición 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tamaño de la hoja 1

Gráfica los datos de la tabla en un plano cartesiano partición vs tamaño de la hoja

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¿Qué tipo de función se presenta? Es una función de tipo exponencial¿Cuántas particiones crees que se pueden hacer?

Infinitas, aunque en la realidad el papel no lo permita.

TIEMPO (horas) DISTANCIA (Metros)0 101 52 2.53 1.254 0.6255 0.31756 0.156

Realiza una gráfica con los datos de la tabla tiempo vs distancia.

¿Es posible que algún día el escarabajo llegue a la cueva si continúa acercándose bajo la misma condición?

NO, Pues siempre le faltará la mitad de la distancia por recorrer, no importa que esta sea infinitamente pequeña.

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SESIÓN 7

¿CUÁLES SON LOS PROBLEMAS MÀS PRECUENTES EN LOS JÓVENES?

¿Cómo conocerías los problemas de tus compañeros?

Preguntándoles, recogiendo y analizando esta información.

¿Qué podrías aportar en la solución de los conflictos de tu curso ó colegio?

Hablar con padres, compañeros, profesores y directivos.

PROCESO 1: ORGANIZO E INTERPRETO INFORMACIÓN

DATO-GENERO MUSICAL FRECUENCIAABSOLUTA

Reggeton 11Vallenato 7

Balada rock 4Salsa 4

Hard rock 4Rock 7

Ninguno 3TOTAL 40

30 ♦ ♦ ♦♦ ♦ ♦


¿Cuál es la moda? Reggaetón¿Cuál es la mediana?Escribe tu opinión acerca de los datos obtenidos en la encuesta hecha anteriormente.

El Reggaetón es la música que más escuchan los jóvenes

¿Crees que es representativa para los jóvenes de tu edad?

PROCESO 2: ANALIZO INFORMACIÓN

DATO-HOBBIE FRECUENCIAABSOLUTA

Bailar 16Dormir 8Jugar 6Leer 5

Caminar 5TOTAL 40

¿Cuál es el hobbie que prefieren los jóvenes de grado octavo? Bailar

En estadística ¿Qué nombre recibe este valor? Moda

¿Qué otra forma de presentar esta información podrías utilizar? En diagramas como el de barras

PROCESO 3: TU RETO

En este caso el estudiante debe realizar su encuesta, organizar, analizar los datos obtenidos y realizar una exposición sobre los resultados.

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SESION 8

¿ME AYUDAN LAS ECUACIONES A SOLUCIONAR PROBLEMAS?

1. 3 + x = 5 X = 2

2. 21 - x = 7 + 2x x = 14 / 3

PROCESO 1 : SOLUCIONA LOS SIGUIENTES CASOS

Una varilla de 84 cm de longitud está pintada de color rojo y negro, la parte roja es 4 cm menor que la parte negra Halla la longitud de cada parte.

¿Cómo resolverías este problema?. Escribe el proceso y la solución encontrada.Se puede presentar una solución por simple observación, ó con ecuaciones:R: Rojo N: Negro1. R +N = 842. R = N +4Remplazando en la ecuación 1 el valor de R de la ecuación 2 tenemos:N + 4 + N = 84N = 44Luego R = 40

Δ= 7Σ=15♦= 3۩ =21

PROCESO 2: COSTRUYE TU DOMINO ALGEBRAICO

PROCESO 3: TU RETO

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1 plato pesa 1 Kg, 1 jarra pesa 1 KG,

Andres debe pagar $ 6000.

A. colectivos A. 230 D. No hubo incremento.D. 287 A. 241

EL NÚMERO DE SUERTE

Este es un proceso individual y los resultados dependen de cada estudiante.

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SESION 9

¿QUÉ PASARÁ EL DÍA DE HOY?

Escribe 5 situaciones que podrían ocurrir hoy en tu vida y sobre las cuales no tienes control

Si llueveQue me llame un amigo lejanoQue conozca alguien nuevoQue la salir de clase me pase algoQue me gane la lotería

PROCESO 1: ORGANIZANDO MI VESTUARIO

¿Has calculado cuántas maneras tienes de intercambiar o combinar las prendas de vestir que tienes?

Si tienes dos sacos (uno rojo y el otro azul), tres camisas diferentes, dos jeans de diferente color y un par de zapatillas ¿De cuántas formas puedes organizar tu pinta del Domingo?

Los sacos, los eliges de 2 maneras; las camisas de 3 formas los jeans de dos formas y las zapatillas de una forma. En total,2 x 3 x 2 x 1 = 12 formas de vestir el domingo.

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PROCESO 2: ELIGIENDO TU SILLA

Escribe el número de posibilidades para escoger una silla y sentarse, tiene el grupo.

5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

A medida que van siendo ocupadas las sillas ¿Cuántas posibilidades le quedan a los demás integrantes del grupo?

1º 1202º 243º 64º 25º 1

Numera a los integrantes de tu grupo

Número Nombre12345

Número Nombre Número de opciones para elegir la silla

12345

¿Cuántas posibilidades tiene el grupo en total para organizarse en las sillas? 120

¿Cómo lo calcularon? Respuesta individual

Con un dibujo muestra todas las posibilidades que tiene tu grupo para ocupar las sillas

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Si se retira una silla ¿Cómo se alteran los resultados?

1º 242º 63º 24º 15º no se puede sentar

PROCESO 3: ELIGIENDO REPRESENTANTES:

¿De cuántas formas se pueden elegir estas dos personas?¿Cómo lo hicieron?

Se puede hacer la experiencia para entender el proceso de combinación

En probabilidad ¿Qué nombre recibe este proceso? Combinación 2d5

Apostamos.

Si lanzas una moneda al aire tres veces seguidas, que resultados puedes obtener:

CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SSS

¿Qué probabilidad hay de obtener cara en cada uno de los lanzamientos? 1 de 2 o sea ½.

Si lanzas un par de dados ¿Cuál es la probabilidad de que los dos muestren el mismo número? 6 de 36

¿Cuál es la probabilidad de que muestren un número par? 1 de 2

PROCESO 4: CONSTRUYO MI BARAJA

¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta con círculo? 2 de 8¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta con triángulo? 5 de 8¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta con cuadrado? 1 de 8¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta con el triángulo más grande? 1 de 8

Un evento que tenga probabilidad cero Sacar una carta con un rectángulo

Un evento que tenga probabilidad uno Sacar una carta con un cuadrado

Dos eventos que tengan la misma probabilidad

Sacar un cuadrado ó sacar el triángulo grande

Tres eventos tales que la suma de sus probabilidades sea uno.

Sacar un circulo, sacar un triángulo y sacar un cuadrado

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¿Cuántas personas gustan de un solo género musical? 18¿Cuántos gustan de rock y merengue? 1¿Cuántas no gustan de ninguno de los tres géneros? 3¿Cuántos gustan de los tres géneros? 1¿Cuántos gustan de rock y merengue pero no de reggaetón? Ninguno

PROCESO 5: TU RETO

Juguemos al azar

RESULTADO DEL DADO PROBABILIDAD

1 ó 2 2 de 63 1 de 6

4 ó 5 2 de 60 ó 6 2 de 6

¿Cuál es tu probabilidad de ganar en este juego? 2 de 6

Resuelve las siguientes situaciones:

D. 45 A. 17 D. 289/450A. 6 B. 8 C. 13

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SESION 10

¿CÓMO RECONOZCO PATRONES EN CONJUNTOS NUMÉRICOS?

1. Operaciones

Caso 1: 9876, 987654Caso 2: 111111, 11111111Caso 3: 88888, 8888888

2. Regularidad

Caso 1: los números de 9 a 1Caso 2: Solo 1, aumentan según la posiciónCaso 3: solo 8, aumentan según la posición.

PROCESO 1: UBICO LOS NÚMEROS EN LA RECTA NUMÉRICA

¿A qué conjunto de números pertenecen los ubicados en la base? Primos

¿Cuál es el patrón que rige la construcción de la pirámide? Adición ó suma

¿Cuáles números de la pirámide NO son primos? 8, 12, 18, 30, 33, 50

38 ♦ ♦ ♦♦ ♦ ♦


X -1 3 -5 7

2 -2 6 -10 14

-4 4 -12 20 -28

6 -6 18 -30 42

-8 8 -24 40 -56

10 -10 30 -50 70

¿A qué conjunto numérico pertenecen los números contenidos en la cuadricula? Enteros

¿Qué operación realizaste para encontrar los valores ocultos? Multiplicación

¿Qué puedes argumentar acerca de los resultados que se dan al multiplicar fila por columna?

¿A qué conjunto de números pertenecen los ubicados en la base? Racionales

¿Cuál es el patrón que rige la construcción de la pirámide? Adición ó suma

Explica brevemente el proceso de suma y resta de números racionales.

Siguiendo las reglas de suma, resta y multiplicación de números decimales construye la siguiente escalera de arriba hacia abajo y teniendo en cuenta que a = 0.35

39 ♦ ♦ ♦♦ ♦ ♦


PROCESO 3: TU RETO

Espejos

Suponga que la línea recta frente a la figura es un espejo, dibuja la imágen que se refleja en cada caso:

-2 es a 4 como _-4___es a 16• 3 es -27 como 6 es a _-54_____• 1 / 2 es 2 / 4 como 3 es a __6____• m0,25 es a 0,75 como 0,122 es a _0.366____• _3____ es a 21 como 8 es a ___24___• 1 es a 47 como 3 es a 141•

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5 10 15 20 25 30 35 40 45 507 14 21 28 35 42 49 56 63 7011 22 33 44 55 66 77 88 99 11020 18 16 14 12 10 8 6 4 2100 90 80 70 60 50 40 30 20 1080 72 64 56 48 40 32 24 16 899 88 77 66 55 44 33 22 11 01 4 9 16 25 36 49 64 81 1001 3 5 7 9 11 13 15 17 19

RESUELVE LAS SIGUIENTES SITUACIONES

RESPUESTA: $140 y $120

RESPUESTA: $4205 collares

DESCUBRE EL NÚMERO QUE HACE FALTA

10 es a 6 como 9 es a ____5_____1. 20 es a 15 como 12 es a____7____2. 36 es a 30 como 20 es a_____14____3. 100 es a 25 como 200 es a ____125__4. 82 es a 73 como 64 es a_____55____5.

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BIBLIOGRAFIA

Las ideas del texto fueron pensadas antes por....

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Estándares Básicos de Matemáticas y Lenguaje para la Educación básica y media. Mayo de 2003.

1ICFES, Documento de orientación pruebas saber 2009.

ARDILA, Raquel, Castiblanco, Celia y otros. Espiral, serie de matemáticas para educación básica secundaria y media. NORMA, 2004.

GAMBOA, Carmen, MARÍN, Javier y otros. El espacio y sus elementos. FUNDAEC, 1986.

PADILLA, Eduardo, MELO Clara y otros. Estrategias matemáticas para el desarrollo de competencias. EDUCAR, 2003.

VILLEGAS Mauricio y otros. Matemática 2000, segunda edición, VOLUNTAD, 1991.MURRAY R.Spiegel, LARRY J. Stephens. Estadística tercera edición. Mc GRAW HILL, 2001.AGUIRRE, Ángel - [email protected] D. Campos, V. Méndez and J. Fort . (2004).”Description of diffusive and propagative behavior on fractals” Phys. Rev. E 69, http://classes.yale.edu/fractals/Labs/PaperFoldingLab/PaperFoldingLab.html.http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/150/htm/caos.htmALSINA, C. - BURGUÉS, C. - FORTUNY, J. (1991): Materiales para construir la geometría. Madrid, Ed. Síntesis.http://electronred.iespana.es/sist_numera.htm

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Estrategias Matemáticas. Educar Editores. Edición 2005

Education

Cartilla profesores matematicas1