Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014

CHUYÊN ĐỀ: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

1) Hàm đặc trưng được xác định ngay từ một phương trình trong hệ

Bài ❶: Giải hệ phương trình 3 3

2 2

(1)

1 (2)

x y y x

x xy y

ìï - = -ïíï + + =ïî

Lời giải:

Ta có : 3 3(1) ( ) ( )x x y y f x f yÛ + = + Û = với + 3( )f t t t= +

23 1 0'( ) t tf t + > "= Î ¡ nên hàm số ( )f t đồng biến trên ¡

Nên (1) x yÛ = thay vào (2) ta được phương trình:

2 2 2 12 2x x x x+ + = Û = ±

Với 2 2yx ± Þ = ±=

Vậy hệ có 2 nghiệm là ( ) ( ) ( ); 2;2 ; 2; 2x y = - -

Bài ❷: Giải hệ phương trình 3 3

2 4

3 3 (1)

1 (2)

x y x y

x y

ìï - = -ïíï + =ïî

Lời giải:

Ta có : 3 33 3 ( ) ( )x x y y f x f yÛ - - - Û = với 3( ) 3f t t t= -

Từ phương trình 2 4(2) : 1 | |,| | 1 1x y x y t+ = Þ £ Þ £

Khi đó 2'( ) 3 3 0 1f t t t- £ " £=

ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 1


Hàm số ( )f t nghịch biến trên ( ;1)-¥ . Nên (1) x yÛ = thay vào (2) ta được:

2 4 4 2 2 1 5 1 51 1 0

2 2x x x x x x

- + - ++ = Û + - = Û = Û = ±

Với 1 5 1 52 2

yx- + - +

± Þ = ±=

Vậy hệ có 2 nghiệm 1 5 1 5 1 5 1 5

( ; ) ; ; ; .2 2 2 2

x yæ ö æ ö÷ ÷ç ç- + - + - + - +÷ ÷ç ç÷ ÷= - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Bài ❸: Giải hệ phương trình 3 3 2

5 3

2 3 4 (1)

1 0 (2)

x x y y y

x y

ìï + - = + +ïíï + + =ïî

Lời giải:

3 3 2 3 3(1) 3 4 2 ( 1) ( 1)x x y y y x x y yÛ + = + + + Û + = + + +

( ) ( 1)f x f yÛ = + với 3( ) tf t t= +

2'( ) 3 1 0 tf t t + > "= Î ¡ . Nên (1) 1 1x y y xÛ = + Û = - thay vào (2) ta được:

5 3( 1) 1 0x x+ - + =

( )4 2 3 3 0x x x xÛ + - + =

2

4 2 4

00

3 33 3 0 02 4

xx

x x x x x

é =êé = êêÛ Û æ öêê ÷ç+ - + = ÷+ - + =çêê ÷ë ç ÷çè øêë

Với 0 1x y= Þ =-

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( )0; ; 1 .x y = -



Bài ❹: Giải hệ phương trình 3 2 3 2

2

3 2 3 (1)

3 2 8 (2)

x x y y

x y y

ìï - + = +ïïíï - = +ïïî

Lời giải:

Điều kiện:

3 2

2

3 00

8 02

2 0

y yy

y yx

x

ìï + ³ï ìï ³ï ïï + ³ Ûí íï ï ³ï ïî- ³ïïî

Khi đó 3 2(1) 3 2 3x x y yÛ - + = +

( )3

3( 1) 3( 1) 3 3 3x x y yÛ - - - = + - +

( )( 1) 3f x f yÛ - = + với 3( 3)f t t t-=

2'( ) 3 3 0 1f t t t= - ³ " ³ .Hàm số ( )f t đồng biến trên ( )1;+¥

Nên 21 3 2 1 3(1) x y x x yÛ - = + Û - + = +

Kết hợp với (2) ta có hệ phương trình :

2 2 2

2 22

2 1 3 2 1 3 2 2 (1 )

9( 2) 8 9 18 8 (2 )3 2 8

x x y x x y x x y

x y y x y yx y y

ì ì ìï - + = + ¢ï ï- + = + - - =ï ï ïï Û Ûí í í ¢ï ï ï- = + - = +- = +ï ï ïî îïî

Thế (1') vào (2 ') ta được phương trình:

( ) ( )22 22 2 89 2 218 x xx x x- - + -= --

4 3 29 18 4 8 8 12x x x x xÛ - = - + - -

( )( )4 3 2 3 24 8 17 6 0 3 5 2 0x x x x x x x xÛ - + - + = Û - - + - =

3 2 33

5 2 0x

x

xx xÛ Û =

- + -

éêêêë ==

. Do 3 2 5 2 0 2x xx x- + - > " ³



Với 3 1x y= Þ = . Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( ); 3;1 .x y =

Bài ❺: Giải hệ phương trình 3 3 2

2 2 2

2 3 3 (1)

1 3 2 2 0 (2)

x y x y

x x y y

ìï - - = -ïïíï + - - - + =ïïî

Lời giải: Điều kiện 1 1

0 2

x

y

ìï- £ £ïíï £ £ïî

Khi đó: ( ) ( )3 2

3 3 2 3 23 2 3(1) 1 31 3x x x yx y y yÛ - - = - Û = -+ - +

( ) ( )1 yf x fÛ + = với ( ) 3 3f t t t= - .

( ) 2 3 0 [ 1 ]3 1' ;f t tt - £ " Î -= . Hàm số nghịch biến trên ( )1;1-

Nên 11) .( x yÛ = - Thay vào (2) ta được phương trình:

( ) ( )2

2 21 3 2 1 1 2 0x x x x+ - - + - + + =

2 22 1 2 0x xÛ - - + =

2 22 2 1 (*)

0

x x

x

Û + = -Û =

Do 2

(*)

2

(*)2

2 2

1 2

VT

VP

x

x

=

=

ìï + ³ïïíï - £ïïî .

Với 1.0x y= Þ = Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( ); 0;1 .x y =

Bài ❻: Giải hệ phương trình 3 3 2

2 2 2

12 6 16 0 (1)

4 2 4 5 4 2 0 (2)

x x y y

x x y y

ìï - - + - =ïïíï + - - - + =ïïî


0 4

x

y

ìï- £ £ïíï £ £ïî



Khi đó: 3 3 212 61 6 1( ) x x y yÛ - = - +

( ) ( )

( ) ( )

33 12 2 12 2

2

x x y y

f x f y

Û - = - - -

Û = -

Với ( ) 3 12t tf t= - .Với điều kiện 2;2 ; 0;4 2;2tx yé ù é ù é ùÎ - Î Þ Î -ê ú ê ú ê úë û ë û ë û

Suy ra ( ) 23 12 0 2;2' t t tf é ù= - £ " Î -ê úë û . Hàm số ( )f t nghịch biến trên 2;2é ù-ê úë û

Nên 21) 2( x y y xÛ = - Û = + thay vào (2) ta được phương trình :

( ) ( )2

2 22 4 5 4 2 2 04 6x x xx + - - + - + + =

( )

2 2 2

2 2

4 2 2

4 2 2 2

4 2 4 5 4 6 0

4 6 3 4

16 48 36 36 9

16 57 0 16 57 0

0

x x x

x x

x x x

x x x x

x

Û + - - - + =

Û + = -Û + + = -

Û + = Û + =Û =

Với 0 2x y= Þ = . Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( ); 0;2x y = .

Bài ❼: Giải hệ phương trình( ) 2 2

2

2 4 7 3 2 0 (1)

1 1 (2)

x x x y y x y

x y x y

ìï + + + + + + + + =ïïíï + + = - +ïïî

Lời giải: Điều kiện 2 1 0x y+ + ³

Khi đó ( ) ( ) ( )2 2

2(1) 2 3 2 3x x x y y yÛ + + + + + = - - + -

( ) ( )2f x f yÛ + = - với ( ) 2 3f t t t t= + +

( )2

2

23 1 0'

3

tt t t

tf = + + + > " Î

+¡ .Hàm số đồng biến trên ¡

Nên 2(1) 2x y y xÛ + =- Û =- - thay vào (2) ta được phương trình :



( )2

2 2 1 2 1x x x x+ + + = + + +

2

2 22

2

2 4 5 2 3

32 3 022 4 5 4 12 9 2 8 4 0

32 22

4 2 0

x x x

x xx x x x x x

xx

x x

Û + + = +ìïì ïï + ³ ³-ïïÛ Ûí íï ï+ + = + +ï ï + + =î ïî

ìïï ³-ïÛ Û =- +íïï + + =ïî

Với 22 2x yÞ= + =-- (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Bài ❽: Giải hệ phương trình ( ) ( )

2

53 5 10 5 48 9 0 (1)

2 6 2 11 2 66 (2)

x x y y

x y x x y x

ìï - - + - - =ïïíï - + + = - + + + +ïïî

Lời giải: Điều kiện

10, 9

2 6 0

2 11 0

x y

x y

x y

ìï £ £ïïï - + ³íïï- + + ³ïïî

Khi đó ( ) ( )50 5 3 10 5 45 3 9 0(1) x x y yÛ - + - + - - - =

( ) ( )

3 3

5 10 3 10 5 9 3 9

10 9

x x y y

f x f y

Û - + - = - + -

Û - = -

Với ( ) 35 3 , 0f t t t t= + ³ . ( ) 2 3' 15 0 0t tf t= + > " ³ .

Hàm số đồng biến trên( )0;+¥ . Nên 10 9(1) 1x y y xÛ - = - Û = - thay

vào (2) ta được phương trình :

( ) 22 1 6 2 1 11 66x x x x x- - + + = - + - + +



2

2

7 10 2 66

7 10 2 66 0

..........

x x x x

x x x x

Û + + = - + +

Û + - - + - - =

Bài ❾: Giải hệ phương trình 3

2

2 2 1 3 1 (1)

1 2 2 1 (2)

y x x x y

y x xy x

ìï + - = - -ïïíï + = + +ïïî

Lời giải: Điều kiện 11 x- £ £

Khi đó 32) 2 1(1 1 3y y x x xÛ + =- - + -

( )( )

( ) ( )

3

33

2 2 1 1 1 3 1

2 2 1 1

1

y y x x x

y y x x

f y f x

Û + = - - - + -

Û + = - + -

Û = -

Với ( ) 32 , 0t tf t t= + ³ . ( ) 2 1' 06 0f t t t+ > " ³= .

Hàm số đồng biến trên ( )0;+¥ . Nên (1) 1y xÛ = - thay vào (2) ta được:

2 21 1 2 2 2 1x x x x x- + = + + -

Đặt ( )cos , 0;tx t p= Î . Ta được phương trình

2 21 cos 1 2cos 2cos 1 cost t t t- + = + -

2 22sin 2cos 1 2cos sin2

2 sin cos2 sin22

sin sin 22 4

tt t t

tt t

ttp

Û = - +

Û = +

æ ö÷ç ÷Û = +ç ÷ç ÷çè ø



( )4

2 24 2 6 3 ,

3 42 2

4 2 10 5

tt k t k

k mt

t m t m

p pp p

p pp p p

é éê ê+ = + = - +ê êÛ Û Îê êê ê+ = - + = +ê êë ë

¢

Do ( ) 3 3cos

10 100; t xt

p ppÎ Þ = Þ =

Với 3 3 3cos 1 cos 2 sin

10 10 20x y

p p pÞ = -= = (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) 3 3cos ; 2 sin

10 20;x y

p pæ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø .

Bài ❿: Giải hệ phương trình

11 (1)

1 1 1

1 4 2 2 (2)

x yx y

x y

x y

ìï -ïï - + + =ïí + - +ïïï - + + =ïî


0 1

x

y

ìï £ £ïíï £ £ïî

Khi đó ( )

( )11

1 1 1 1 1(1)

x yx y

x y

-Û + = + -

+ - + - -

( )( ) 1f x f yÛ = - với ( ) , 01 1

tt tf t

t= + ³

+ -

( )( )

( )2

11 1

2' 2 11 0 01 1

tt t

t tt tt

f+ - +

-= + > " ³+ -

Hàm số đồng biến trên ( )0;+¥ .Nên 1 1(1) x y y xÛ = - Û = - thay vào (2) được:



1 4 1 2 2x x- + + - =

1 5 2 2

1 31 5 0

2 21 12 2 0

1 31 5

2 2

1 1 10

1 321 5

2 212

x x

x x

x x

x x

xx x

x

Û - + - =

Û - - + - - =

- -Û + =

- + - +

æ ö÷ç ÷ç ÷çæ ö ÷ç÷ç ÷ç÷Û - + =÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ç ÷è ø ÷ç - + - + ÷ç ÷÷çè ø

Û =

Do 1 1

0 0;11 3

1 52 2

xx x

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ é ùç + > " Î÷ ê úç ÷ ë ûç ÷÷ç - + - + ÷ç ÷÷çè ø

.

Với 1 12 2

x yÞ == . Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( )2

;1 1;

2x y

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø .

Bài ⓫: Giải hệ phương trình ( )3

3 2 2 2 1 0 (1)

2 2 2 5 (2)

x x y y

x y

ìï - - - - =ïïíï + + + =ïïî

Lời giải: Điều kiện 2

12

x

y

ìï £ïïíï ³ïïî

Khi đó ( ) ( )2 1 2(1 1) 2 1 2 1 0x x y yÛ - + - - - + - =



( ) ( )( ) ( )

3 3

2 2 2 1 2 1

2 2 1

x x y y

f x f y

Û - + - = - + -

Û - = -

Với ( ) 3 , 0t t tf t= + ³ . ( ) 2 1' 3 0 0t tf t= + > " ³ . Hàm số đồng biến trên ( )0 ;+ ¥

Nên 21) 2( 2 1 3x y x yÛ - = - Û = - thay vào (2) ta được phương trình:

3 25 2 2 5y y- + + =

Đặt 3

35 2 5

4;22

u yu v

v y

ì æ öï = -ï ÷çï ÷ç £ ³í ÷ç ÷ï ç ÷ç= + è øïïî . Ta có ngay hệ:

23 2

3 23

552 5 2

252 9 2 10 7 02 92

uv uu v v

uu v u u uu

ìï -ï ì= ï -ïì ïï + = ï =ïï ïÛ Ûí í íæ öï ï ï-+ = ÷çï ï ï + - + =î ÷+ =çï ï÷ îç ÷çï è øïî

( )( )2

52

52 3 65

1 2 3 7 04

3 65

1

4

u

u

uv

u

u u u

u

v

ìï -ï =ïïïïïìï - ïï ï=ï ïïÛ Ûí í - +ï ïï

é

ï- + - =ï ïïî

ê =êêê =êêêê =ê

ïïï

ë- -ïïïïî

Với những giá trị của u đều thỏa mãn điều kiện nên

33 35

; 3 2 3 5 22ux y uy u

-= = + =- - -= với

3 5

1

64

3 654

u

u

u

- +

- -

éê =êêê =êêêê =êë



Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm.

Bài ⓬: Giải hệ phương trình ( )( )2 2

6 3

4 1 2 (1)

27 8 2 (2)

x x y y

x x y

ìï + + + + =ïïíï = - +ïïî

Lời giải: Ta có ( ) ( )2 24( 2 11) x x y yÛ + + = + - do 2 1 0y yy + ¹ "- Î ¡

( )( ) ( )

22 4 2 2 4

2

x x y y

f x f y

Û + + =- + - +

Û = -

Với ( ) 2 4t tf t= + + . ( )2

2 2 2

4 | |

4' 1 0

4 4f

t t t t tt t

t t t

+ + += + = > ³ " Î

+ + +¡

Hàm số đồng biến trên ¡ nên (1) 2x yÛ =- thay vào (2) ta được phương trình:

6 3 27 42 x xx = + +

( ) ( )( ) ( )

2 33

33 33

33

3 4 2

1 1 4 2 4 2

(*1 4 )2

x x x

x x x x x x

f x f x x

Û = + +

Û + + + = + + + + +

Û + = + +

Với ( ) 3f t t t= + đồng biến trên ¡ . Nên 33(*) 1 4 2x x xÛ + = + +

2

1 1363 1 0

1 136

xx x

x

é +ê =êÛ - - = Û ê

ê -ê =êë

Với 1 13 1 136 12

yx+ - -

Þ == ; với 1 112

3 13 16

yx- -

Þ ==

Vậy hệ có 2 nghiệm ( ) 1 13 1 13 1 13 13 1; ;

6 12 6 1; ;

2x y

æ ö÷ç ÷ç= ÷ç ÷

æ ö+ - - - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çø ø÷çè èç .



Bài ⓭: Giải hệ phương trình ( )( )2 21 1 1 (1)

6 2 1 4 6 1 (2)

x x y y

x x xy xy x

ìï + + + + =ïïíï - + = + +ïïî

Lời giải: Điều kiện 6 1 02x xy + ³-

Khi đó ( )2

2(1) 1 1x x y yÛ + + =- + - +

( ) ( )f x f yÛ = - với ( ) 21t t tf = + +

Hàm số ( )f t đồng biếntrên ¡

Nên (1) x yÛ =- thay vào (2) ta được phương trình:

2 26 2 1 4 6 1x xx x x+ + = - + +

( )2 2 26 2 1 2 6 1 6x x x x x xÛ + + = + + -

Đặt 22 6 1u x x

v x

ìï = + +ïïíï =ïïî phương trình trở thành 2 26v vu u= -

● 0v = Þ Phương trình vô nghiệm

● 0v ¹ , chia 2 vế phương trình cho 2v ta được: 2

6u uv v

æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷çè ø

2 3

6 02

uu u v

uv vv

éê =æ ö ê÷ç ÷Û - = - = Ûç ê÷ç ÷çè ø ê = -êë


( )2

2 2 2

1 | |1 0

1 1 1'

t t t t tt t

t t tf

+ + += + = > ³ " Î

+ + +¡


Với 22

0 13 2 6 1 3

7 6 1 0 1

x xux x x

x x yv

ì ìï ï³ =ï ï= Þ + + = Û Ûí íï ï- - = = -ï ïî î (thỏa mãn ĐK)

Với 22

3 110 22 2 6 1 2

2 6 1 0 11 32

xxux x x

x xvy

ìï -ïï =ìï £ ïï ï= - Þ + + = - Û Ûí íï ï- - = -ï ïî ï =ïïî

(thỏa)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( ) ( ) 3 11 11 3;y 1; 1 ; ;

2 2x

æ ö- - ÷ç ÷ç= - ÷ç ÷ç ÷çè ø .

Bài ⓮: Giải hệ phương trình ( ) 3

2 3 2

8 3 2 1 4 0 (1)

4 8 2 2 3 0 (2)

x x y y

x x y y y

ìï - - - - =ïïíï - + + - + =ïïî


x ³

Khi đó ( ) 38 4 1 21 1 4( ) x x y yÛ - + - = +

( )( ) ( )

334 2 1 2 1 4

2 1

x x y y

f x f y

Û - + - = +

Û - =

Với ( ) 34f t t t= + . ( ) 212 1' 0t t tf = + > " Î ¡ . Hàm số đồng biến trên ¡

Nên 2

02 1(1 1)

2

yx y y

x

ìï ³ïïÛ - = Û í +ï =ïïî

thế vào (2) ta được :

2

2 23 2

0

1 14 8 2 2 3 0

2 2

y

y yy y y

³

æ ö+ +÷ç ÷ - + + - + =

ìïï

ç ÷

ïï

ç ÷çè ø

íïïïïî



( )4 3 2 2 2

1200 0

2 2 0 1

1

2 00

12

yy yx

y y y y yy y y x

y

yy

ìïïïïïì éì ïï ³³ = ïïï ï ïêÛ Û Û Þí í íêï

éê =êê =êëé =ê

ï ï+ - - = =+ - - = êï ï ïî ëïî ïê =êëïïïïî

Vậy hệ có 2 nghiệm ( ) ( ) 1; 1;1 ; ;0

2x y

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø .

Bài ⓯: Giải hệ phương trình ( ) ( )2

2 2

4 1 3 5 2 0 (1)

4 2 3 4 7 (2)

x x y y

x y x

ìï + + - - =ïïíï + + - =ïïî

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2010)

Lời giải: Điều kiện

3452

x

y

ìïï £ïïíïï £ïïî

Khi đó ( ) ( )33

8 2( 5) 5 21 2x x y yÛ + = - + -

( ) ( )2 5 2f x f yÛ = - với ( ) 3f t t t= +

( ) 2' 3 1 0t tf t= + > " Î ¡ . Hàm số đồng biến trên trên ¡

Nên 22

002 5 2 5 44 5 2

2

(1)xx

x y xx y y

ìï ³ì ïï ³ ïïÛ = - Û Ûí í -ï ï= - =ï ïî ïî

thay vào (2) ta được:

22

2

0

5 44 2 3 4 7

2

(*)

x

xx x

ìï ³ïïï æ öí - ÷çï ÷+ + - =çï ÷ç ÷çï è øïî



Xét hàm số ( )2

22 5 4

4 2 3 42x

x xg xæ ö- ÷ç ÷= + + -ç ÷ç ÷çè ø

liên tục trên 3

0;4

é ùê úê úë û

( ) ( )2 25 4 4 38 8 2 4 4 3 0 0;

2 4'

3 4 3 4x x x x x x x

x xg

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= - - - = - - < " Îç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø- - .

Mặt khác 1

72

gæ ö÷ç ÷ =ç ÷ç ÷çè ø

nên (*) có nghiệm duy nhất 12

2x y= Þ =

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) 1; ;2 .

2x y

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø

Bài ⓰: Giải hệ phương trình 3 3 2

2 2

3 6 3 4 0 (1)

2 4 3 3 2 3 2 0 (2)

x y x x y

x y y x

ìï - + + - + =ïïíï - - + - - + =ïïî


2 2

3 2 0

x

y y

ìï- £ £ïíï + - ³ïî

Khi 3 2 3 23 6 4( ) 31 x x x y yÛ + + + = +

( ) ( )( ) ( )

331 3 1 3

1

x x y y

f x f y

Û + + + = +

Û + =

Với ( ) 3 3f t t t= + . ( ) 2' 3 3 0t tf t= + > " Î ¡ . Hàm số đồng biến trên ¡

Nên (1) 1x yÛ + = thay vào (2) ta được:

( ) ( )2

22 4 3 3 2 1 1 3 2 0x x x x- - + + - + - + =

23 2 4x xÛ- + = -



( )

3 2 2

2 23 3

9 12 4 4 10 12 0

20 13

2 5 6 0

x x

x x x x x

xx y

x x

ì ìï ïï ï£ £ï ïÛ Ûí íï ïï ï- + = - - =ï ïî îìïï £ïïÛ Û = Þ =íïï - =ïïî

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( ); 0;1x y = .

Bài ⓱: Giải hệ phương trình

2 2 2

2 2 2 2

2 2 5 2 0 (1)

1 2 2 1 (2)

x y x y y

y x y xy x x xy y y

ìï - - + - =ïïíï + + - = - + - + + +ïïî


0

x y

y

ìï - ³ïíï ³ïî

Khi đó: ( ) ( )2 2

2 21 1(2) y y y x y x y x yÛ + - - = - + - - - -

( ) ( )f y f x yÛ = - . Với ( ) 2 2,1 0t t tf tt= + - - ³

( )2

1 12 2 0

1 2'

2

tt t t t

tf

t t= - - £ - - <

+ . Hàm số đồng biến trên (0; )+¥

Nên 2(1) y x y x yÛ = - Û = thay vào (1) ta được:

3 24 10 5 2 0y y y- + - =

( )( )22 4 2 1 0

2 4

y y y

y x

Û - - + =Û = Þ =

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( ); 4;2x y = .



Bài ⓲: Giải hệ phương trình ( )( )

22 2

2

5

92 6 ln (1)

93 1 0 (2)

y yx y x xy y

x xx y xy

ì æ öï + + ÷ï ç ÷çï - + + - = ÷çï ÷ç ÷í ç + +è øïïï - - =ïî

Phân tích và hướng giải:

Phương trình thứ 2 của hệ dường như ta khó tìm hàm đặc trưng nên ta cố gắng tìm hàm đặc trưng ở phương trình (1)

Ta có: ( ) ( ) ( )3 3 2 22 6 ln(1) 9 6 ln 9x y x y y y x xÛ - - - = + + - + +

( ) ( )3 2 3 22 6 ln 9 2 ln 9x x x x y y y yÛ - + + + = - + + +

Hàm đặc trưng: ( ) ( )3 22 6 ln 9t t t t tf = - + + +

Việc giải quyết phương trình (2) có đôi chút phiền phức. Các bạn hãy thử chứng minh phương trình 6 23 1x 0x - - = chỉ có nghiệm trong (0; 2) và dùng lượng giác để tìm

nghiệm phương trình bằng các đặt 2 2cos , 0;2

t txpæ ö÷ç ÷= Î ç ÷ç ÷çè ø

.

Bài ⓳: Giải hệ phương trình ( )4 4

2 2

1 1 2 (1)

2 1 6 1 0 (2)

x x y y

x x y y y

ìï + + - - + =ïïíï + - + - + =ïïî

( Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A-A1 năm 2013)

Lời giải: Điều kiện 1x ³

Khi đó 4 41 1 2(1) x x y yÛ + + - = + +

( )( ) ( )

44 4 4

4

1 2 1 2

1

x x y y

f x f y

Û - + + - = ++ +

Û - =

Với ( ) 4 2t tf t= + + . ( )3

4

2' 1

2

ttf

t= +

+



Để ý phương trình (2) : ( )2 22 1 6 1 0y y y yx + - - + =

( )2

1 4 0 0x y y yé ùÛ + - = ³ Þ ³ê úë û . Nên ( ) 0' 0t tf > " ³

Hàm ( )f t đồng biến trên ( )0;+¥ . Nên 4 41(1) 1x y x yÛ - = Û = + thay vào (2)

ta được phương trình :

( ) ( )( )2

4 4 21 2 1 1 6 1 0y y y y y+ + + - + - + =

( )

( )

8 4 5 4 2

8 5 2

7 4

3 1 2 1 6 1 0

2 4 0

2 4 0

y y y y y y y

y y y y

y y y y

Û + + + - + - + - + =

Û + + - =

Û + + - =

( )( )6 5 4 3 21 3 3 3 4 0

0

1

y y y y y y y y

y

y

Û - + + + + + + =é =êÛ ê =êë

Do ( )6 5 4 3 23 3 3 4 0 0y y y y y y y+ + + + + + > " ³

Với 0 1y x= Þ =

Với 1 2y x= Þ =

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( ) ( ) ( ); 1;0 ; 2;1x y = .

Bài ⓴: Giải hệ phương trình

3 2 3 2

2 2

3 9 22 3 9 (1)

1(2)

2

x x x y y y

x y x y

ìï - - + = + -ïïíï + - + =ïïî

( Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A-A1 năm 2012)

Lời giải: Ta có 3 2 3 23 3 1 12 12 3 3 1 1(1) 2 12x x x x y y y yÛ + - - + = + + + - -+

( ) ( ) ( ) ( )3 3

1 12 1 1 12 1x x y yÛ - - - = + - +



Từ phương trình 2 2

(21 1

) 12 2

x yæ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷Þ - + + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

1 1 3 3 11 12 2 2 2 23 1 1 31 112 2 2 22

x x x

y yy

ìï ì ìï ïï - £ ï ïï - £ £ - £ - £ï ïï ï ïïÞ Û Ûí í íï ï ïï ï ï- £ £ - £ + £+ £ï ï ïï ï ïî îïî

Xét hàm số ( ) 3 12t tf t= - trên 3 3;

2 2

é ùê ú-ê úë û

. ( ) 2 3 33 12 0 ;

2 2' t t tf

é ùê ú= - < " Î -ê úë û

Hàm số nghịch biến trên 3 3;

2 2

é ùê ú-ê úë û

Nên (1) 1 1 2x y y xÛ - = + Û = - thay vào (2) ta được phương trình:

( )2

2 12 2

2x xx x+ - - + - =

2

33 22 4 0

122

xx x

x

éê =êÛ - + = Û êê =êë

Với 12

32

yx Þ =-= , với 1 32 2

yx Þ =-=

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( ) 3 1 1 3; ; ; ;

2 2 2 2x y

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø .

2) Hàm đặc trưng được xác định sau khi thực hiện các phép biến đổi giữa các phươngtrình

Bài ❶: Giải hệ phương trình 2

2

3 2 3 (1)

3 2 3 (2)

x x y

y y x

ìï + + = +ïïíï + + = +ïïî




Để ý hai phương trình của hệ có sự đối xứng của ẩn x và ẩn y . Nếu ta trừ từng vế phương trình (1) cho phương trình (2) ta nhận ra ngay hàm đặc trưng:

2 23 3 3 3(1) (2) x x y yÞ + + = + +-

Hàm đặc trưng: ( ) 23 3t tf t= + + đơn điệu 0t" ³

Nghiệm : …

Bài ❷: Giải hệ phương trình 2

2

3 2 3 5 3 (1)

3 2 3 5 3 (2)

x x y

y y x

ìï + + + = + +ïïíï + + + = + +ïïî


Tương tự với bài ❶, 2 phương trình của hệ có sự đối xứng nên:

2 23 3(1) (2 3 3 3 3) x x y yÞ + + + = + + +-

Hàm đặc trưng: ( ) 23 3 3f t t t= + + + đơn điệu 3t" ³-

Nghiệm: …

Bài ❸: Giải hệ phương trình 2 2

2 2

2 2 2 2 1 (1)

2 2 2 0 (2)

x x x y y y

x y x y

ìï + + + = + + +ïïíï + - + - =ïïî


Nhìn vào 2 phương trình của hệ, ta thấy phương trình 1 xuất hiện 2 căn thức là 2x +

và 2 1y + . Liệu 2 căn thức này có liên quan?

Mặt khác phương trình thứ 2 xuất hiện dạng tam thức bậc 2 nhưng sự phân tích kiểuD chính phương có vẻ không ổn

Nếu ta dựa vào 2 căn thức này làm “điểm” tựa cho việc tìm hàm đặc trưng thì việc tìm hàm đặc trưng khá dễ dàng bằng việc đưa phương trình (2) về sự độc lập:



2 22 2 2x yx y- =- - +

Rồi lấy từng vế (1) (2)- ta được:

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 2 1 2 1 2 1x x x y y y+ + + - + = + + + - +

Ta thấy rõ ngay hàm đặc trưng: ( ) 4 2t t tf t= + -

Bài ❹: Giải hệ phương trình ( )

22

2

31 1 (1)

22 5 1 2 2 4 2 (2)

y y y x

x x x x y

ìïï + + + = +ïïíïï + - + = + - +ïïî


Phương trình (2) của hệ có xuất hiện 2 căn thức, một căn thức có sự độc lập là2 2 5x x- + và căn thức còn lại không có sự độc lập. Nhưng biểu thức trong căn

2x 4 2y- + lại có ẩn x bậc nhất liên hệ mật thiết với ẩn x cũng bậc nhất ở phươngtrình (1) . Liệu rằng phương pháp thế có phát huy tác dụng trong việc tìm hàm đặctrưng?

Lời giải: Điều kiện x 2 02 4y + ³-

Khi đó 2 22 2 4( 2 11) 1x y y y yÛ = + - + + thế vào (2) ta được phương trình:

2 2 22 5 1 2 2 1 2 1x x y yx y- + = + ++ + +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

222

22

22

1 1 4 2 1

1 1 4 2 1

1 1 ( )4 4 4 32

x x y y

x x y y

x x y y

Û - + - + = + +

Û - + - + = + +

Û - + - + = + +

Xét hàm số ( ) 2 4t tf t= + + . ( )2

' 1 04

ft

t tt

= + > " Î+

¡

Hàm số đồng biến trên¡ . Nên 1 2( 2) 13 x y x yÛ - = Û - = thay vào (1) ta được:



( )2

2 51 1 2

2y y y y+ + + = +

( )

2

2 2

2

2 2 2 4 2

31

23 3

9 32 29 9 16 41 3 44 4

y y y

y yy y

y y y y y

Û + = -

ì ìï ïï ï£ £ï ïï ïÛ Û Û = Û = ±í íï ïï ï+ = - + =ï ïï ïî î

Với 3 54 2

y xÞ == ,với 3 14 2

xy Þ =-=- (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có 2 nghiệm ( ) 5 3 1 3; ; ; ;

2 4 2 4x y

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø .

Bài ❺: Giải hệ phương trình 2 2

2 2

2 5 3 4 (1)

3 3 1 0 (2)

x x x y y

x y x y

ìï + - + = + +ïïíï - - + + =ïïî


Sự xuất hiện những căn thức cho chúng ta những cơ sở để tìm hàm đặc trưng

Nhận thấy ( )2

2 2 5 1 4x x x- + = - + và 2 4y + nên ta tìm hàm f sao cho

( ) ( )1f x f y- = .

Mặt khác khi ta cộng phương trình (1) với phương trình (2) :

( )2

2 2x 11x xx + + -=- và 2 23 3 yy y y- =+ thì hàm đặc trưng sẽ xuất hiện

Cộng từng vế phương trình (1) với phương trình (2) ta được phương trình :

( ) ( )2 2

2 21 1 4 4x x y y- + - + = + +

Hàm đặc trưng: ( ) 2 2 4t tf t= + +



Nghiệm ( ) 3 1; ;

2 2x y

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø .

Bài ❻: Giải hệ phương trình 3 3 2

2 2

3 17 27 3 13 (1)

6 5 10 0 (2)

y xy x x x y

x y xy y x

ìï + - + = - +ïíï + + - - + =ïî


Nhìn thoáng qua phương trình (1) của hệ có dạng hàm bậc 3 quen thuộc. Nhưng chỉ cóđiều biểu thức 3xy làm mất sự độc lập của hai ẩn nên ta có gắng làm mất biểu thứcđó.

Mặt khác, ở phương trình (2) cũng xuất hiện biểu thức xy nên chúng ta muốn tiêu biến3xy ở phương trình trên thì ta lấy phương trình (1) - 3(2) khi đó ta được:

3 2 33 5 3 2y y xy x- + - = +

Nhìn vào biểu thức trên việc chọn hàm đặc trưng dễ nhận thấy, chúng ta lấy biểu thức đơn giản để chọn hàm đặc trưng 3 2xx + khi đó

( ) ( )3

3 23 5 3 1 2 1y y y yy - + - = - + -

Hàm đặc trưng: ( ) 3 2f t t t= +

Nghiệm ( ) ( ) 2 5; 2;3 ; ;

3 3x y

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø .

Bài ❼: Giải hệ phương trình 5 4 10 6

2

(1)

4 5 8 6 (2)

x xy y y

x y

ìï + = +ïïíï + + + =ïïî


Đây là bài toán có khác nhiều trong các tìa liệu tham khảo. Mặc dù hàm đặc trưng không có sự độc lập của x và y nhưng số mũ ở phương trình (1) cho chúng ta suy nghĩ đến việc chia cho biểu thức (dạng đẳng cấp).



Chia như thế nào. Chú ý phương trình (1)biểu thức 45x xy+ đẳng cấp bậc 5 nên ta

chia hai vế phương trình (1) cho 5y được:

5

5x xy y

y y

æ ö÷ç ÷ + = +ç ÷ç ÷çè ø

Hàm đặc trưng: ( ) 5f t t t= +

Nghiệm ( ) ( ) ( ); 1;1 ; 1; 1x y = - .

Bài ❽: Giải hệ phương trình ( ) ( )

2 3 6 4

2

2 2 (1)

2 1 1 (2)

x y y x x

x y x

ìï + = +ïïíï + + = +ïïî


Tương tự như Bài ❼, ta chia 2 vế phương trình (1) cho 3x ta được:

3

32 2y y

x xx x

æ ö÷ç ÷ + = +ç ÷ç ÷çè ø

Hàm đặc trưng: ( ) 3 2f t t t= +

Nghiệm:…

Bài ❾: Giải hệ phương trình ( )( )3

3

2 3 8 (1)

2 6 (2)

x y

x y

ìï + =ïïíï - =ïïî


Đem lại sự cô lập hai ẩn bằng cách đưa hệ về dạng 3

3

82 3 (1 )

62 (2 )

yx

yx

ìïï ¢+ =ïïíïï ¢- =ïïî

3

3(1') (2 ')2 2

3y yx x

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷Þ + = +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø+

Hàm đặc trưng: ( ) 3 3f t t t= + ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 24


Nghiệm ( ) ( ) 1; 1;2 ; 4;

2x y

æ ö÷ç ÷= - -ç ÷ç ÷çè ø .

Bài ❿: Giải hệ phương trình ( )( )

( )2 4 6 3 (1)

3 1 4 2 1 1 3 (2)

x y x y x y

x x y y

ìï + - + = - -ïïíï - + + = - +ïïî


Ta không tìm thấy sự liên quan giữa các căn thức nên việc dựa vào các căn thức để tìmhàm đặc trưng khá khó khăn. Tuy nhiên phương trình (1) lại có dạng bậc hai đối với ẩnx hoặc ẩn y nên ta thử phân tích (1) thành tích:

( )( )1 2(1) 4 0x y x yÛ + + - + =

Khi đó công việc còn lại khá nhẹ nhàng !!! Các bạn làm tiếp nhé!

Bài ⓫: Giải hệ phương trình ( ) ( )( )

3 2 2

2 2 2

4 1 2 1 6 (1)

2 2 4 1 1 (2)

x y x x

x y y x x

ìï + + + =ïïíï + + = + +ïïî


Nhìn phương trình (2) có vẻ quen thuộc hơn. Nếu ta chia cả hai vế (2) cho 2x ( 0x ¹ ) thì ta sẽ nhận ra ngay hàm đặc trưng:

( )2

2 1 1 112 22 1y

x x xy y

æ ö÷ç ÷+ = + +ç ÷ç ÷çè ø+

Hàm đặc trưng: ( ) 2 1t t tf t= + +

Lời giải: Điều kiện 0x ³

Nhận thấy 0x = không là nghiệm của hệ, nên ta chiacả hai vế phương trình (2) cho2x được:

( )2

2 1 1 12 1 12 2 (3)y

x xy

xy

æ ö÷ç ÷+ = + +ç ÷ç ÷çè ø+



Xét hàm số ( ) 2 1t t tf t= + + đơn điệu trên ¡ . Nên 12(3) y

xÛ = thay vào (1)

được:

( ) ( )3 2 3 2

2

11 2 1 6 2 1 6xx x x x x x

x

æ ö÷ç ÷+ + = Û + + + =ç ÷ç ÷ç+

è ø

Xét hàm số ( ) ( )3 22 1x x xg x x= + + + , 0x ³

( )2

2 13 1 4 2 0 0'

xx x xg x x

x

+= + + + > " ³ . Hàm ( )g x đơn điệu

Nhận thấy ( )1 6g = nên suy ra 1x = là nghiệm phương trình ( ) 6g x = .

Với 12

1x y= Þ = . Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) 1; 1;

2x y

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø .

Bài ⓬: Giải hệ phương trình ( )( )2 2 2 2 3

2

1 3 2 4 1 1 8 (1)

2 0 (2)

x x y y x y

x y x

ìï + - + + + =ïïíï - + =ïïî


Sự cô lập các ẩn phương trình đặt lên hàn đầu. Để chọn phương trình để tìm ra hàmđặc trưng thì ta nên chọn phương trình (1) vì nó cần nhiều phép biến đổi hơn là

phương trình (2) đã quá “trơ trọi”. Bây giờ ta thực hiện công việc cô lập. Nhận thấy0x = không là nghiệm

( )2

2 2 2 3

2

4( 1 3 2 8

4 1 11)

yx x y x y

yÛ + - + =

+ -

( )2 2 2 2

2 2

2 2

1 3 2 2 4 1

(3)

1

1 21 2 4 1

x x y x y y

x y y yx x

Û + - + = + -

Û + + = + +



Bây giờ ta mới thấy ngay vai trò của phương trình (2) . Từ 2

(2)2 1

yx x

Þ =- + thay

vào (3) ta có ngay:

( )2

21 1 11 2 2 1 2y y y

x x x

æ ö÷ç ÷ + + = + +ç ÷ç ÷çè ø

Hàm đặc trưng: ( ) 2 1f t t t t= + + đơn điệu trên ¡

Nghiệm: ( ) 1; 4;

8x y

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø .

Bài⓭:Giải hệ phương trình ( )2 2 2

2 2

3 2 5 2 1 2 1 2 2 (1)

2 2 4 3 (2)

x x x x y y y

x y x y

ìï - - + + = + + +ïïíï + = - +ïïî


Nhìn vào hai căn thức chúng ta đã nhận ra mối liên quan mật thiết 2 1x + và

( )2

2 2 2 1 1y y y+ + = + +

Ta cố gắng tìm hàm f sao cho ( ) ( )1f x f y= + .

Lấy từng vế phương trình (1) (2)- ta được:

( ) ( ) ( )2 2

2 2 1 1 1 1 1x x y y yx + + = + + + + +

Hàm đặc trưng xuất hiện

Lời giải:

Lấy từng vế phương trình (1) (2)- ta được

( ) ( ) ( )2 2

2 2 1 1 1 1 (3)1x x y yx y+ + = + + + + +



Xét hàm số ( ) 2 2 1t tf t t= + + .

( )2

2

22 1 2 2 | 0

1' |

tt t t t t

tf = + + + ³ + ³

+ ( Sử dụng BĐT Cauchy)

Hmà số đồng biến trên ¡ nên (3) 1x yÛ = + thay vào (2) được:

( ) ( )2

21 2 2 1 4 3y y y y+ + = + - +

2

1

2253 4 4 0 23323

x

yyy y xy

y

ìéï = -ïêïïê = -ïé ê= - ïëïê ïéêÛ + - = Û Û íê =ê ï= êïê ïë êïïêï =êïïëî

Vậy phương trình có 2 nghiệm ( ) ( ) 5 2; 1; 2 ; ;

3 3x y

æ ö÷ç ÷= - - ç ÷ç ÷çè ø .

Tài liệu viết tặng các bạn là thành viên lớp 12A1. Chúc cho tất cả đều thành công! :)


Education

Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số