COMPLEMENTOS PARA OPERACIONES BINARIAS

Complemento a uno

Como alternativa para representar números negativos puede usarse un sistema conocido como complemento a uno. La forma del complemento a uno de un número binario es un NOT bit a bit aplicado al número – Recordemos que el complemento a uno de un número positivo no sufre ningún cambio (C1 (2)= 00000010 C1 (-2)= 11111101). Como en la representación de signo-y-magnitud, el complemento a uno tendrá dos representaciones del 0: 00000000 (+0) y 11111111 (-0). Como ejemplo, el complemento a uno de 0101011 (43) se convierten en 1010100 (-43). El rango para la representación en complemento a uno con 8 bits es -127 a +127 (en base 10). Para sumar dos números representados en este sistema, uno hace una suma binaria convencional, pero es necesario sumar el último acarreo obtenido al resultado de la suma. Para ver porqué esto es necesario, consideramos el caso de la suma de -1 (11111110) a +2 (00000010). ¡La adición binaria solamente da a 00000000, que no es la respuesta correcta! Solamente cuando se suma el acarreo al resultado obtenemos el resultado correcto (00000001).Este sistema numérico de representación era común en computadoras más antiguas; el PDP-1 y la serie de UNIVAC 1100/2200, entre muchas otras, utilizaron la aritmética en complemento a uno. (Una observación de terminología: El sistema es conocido como “complemento a uno” porque la negación de x se forma restando x a una cadena larga de unos. La aritmética del complemento a dos, por otra parte, forma la negación de x restando la potencia de dos que utiliza un bit más en la representación (Siguiendo con el ejemplo de 8 bits el número a restar sería 100000000).

Complemento a dos

Valores con números de 8 bits

Valor del complemento a dos Valor sin signo

00000000 0 0

00000001 1 1

... ... ...

01111110 126 126

01111111 127 127

10000000 −128 128

10000001 −127 129

10000010 −126 130

... ... ...

11111110 −2 254

11111111 −1 255

Los problemas de las múltiples representaciones del 0 y la necesidad del acarreo de salida, se evitan con un sistema llamado Complemento a dos. En el complemento a dos, los números negativos se representan mediante el patrón de bits que es un bit mayor (sin signo) que el complemento a uno del valor positivo. En el complemento a dos, hay un solo cero (00000000). Para negar un número (negativo o positivo) invertimos todos los bits y añadimos un 1 al resultado. La suma de un par de números enteros en complemento a dos es la misma que la suma de un par de números sin signo (excepto para la detección de desbordamiento si se usa). Por ejemplo, la suma en complemento a dos de 127 y –128 da el mismo patrón de bits que la suma sin signo del 127 y 128, tal y como se puede ver en la tabla de abajo. El valor -8, representado en binario con cuatro bits (1000) es un caso especial, ya que su complemento a dos es el mismo, es necesario cinco bits para su representación (01000).Una forma fácil de implementar el complemento a dos es la siguiente:

Ejemplo 1 Ejemplo 21. Empezando desde la derecha encontramos el primer '1' 0101001 01011002. Hacemos un NOT a todos los bits que quedan por la izquierda 1010111 1010100

Tabla de comparación La tabla siguiente compara la representación de los enteros entre 8 y -8 (incluidos) usando 4 bits.Representación de enteros de 4 bits

DecimalEntero

positivoSigno y

magnitudComplemento a 1 Complemento a 2 BCD- exceso 8

+8 1000 n/a n/a n/a 1111

+7 0111 0111 0111 0111 1110

+6 0110 0110 0110 0110 1101

+5 0101 0101 0101 0101 1100

+4 0100 0100 0100 0100 1011

+3 0011 0011 0011 0011 0011

+2 0010 0010 0010 0010 1001

+1 0001 0001 0001 0001 1000

(+)0 0000 0000 0000 0000 0111

(−)0 n/a 1000 1111 n/a n/a

−1 n/a 1001 1110 1111 0110

−2 n/a 1010 1101 1110 0101

−3 n/a 1011 1100 1101 0100

−4 n/a 1100 1011 1100 0011

−5 n/a 1101 1010 1011 0010

−6 n/a 1110 1001 1010 0001

−7 n/a 1111 1000 1001 0000

−8 n/a n/a n/a 1000 n/a