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Morfología Matemática

Morfología Matemática en Imágenes

Hugo Franco, PhD

8 de mayo de 2013

Hugo Franco, PhD Morfología Matemática en Imágenes




Morfología

Estudio de la forma y la estructura


Es una técnica de procesado no lineal de la imagen, interesada en lageometría de los objetos contenidos en una escena segmentada

(usualmente binaria, aunque puede generalizarse a cualquier tipo deimagen)

Las imágenes binarias se pueden interpretar como especi�caciones depertenencia (píxel activo) o no�pertenencia (píxel inactivo) de lasregiones de la imagen a un objeto dado.

Dado lo anterior, cualquier transformación sobre un conjunto de�neuna nueva imagen binaria

El análisis y el procesamiento morfológicos se basan en el álgebrade conjuntos y en la topología



Operaciones de conjuntos aplicadas a imágenes binarias

Sean A y B conjuntos de puntos en un espaciodiscreto bidimensional Z2 con elementosa = (a1, a2), b = (b1, b2). Algunas operaciones son

Complemento:

A = Ac = {(x, y)|(x, y) /∈ A}

Traslación

Ax = A + x = {a + x|a ∈ A}

con x = (x, y)Transposición (Re�exión):

A = −A = {−a|a ∈ A}

con −a = (−a1,−a2)Diferencia

A−B = {a|a ∈ A ∧ a /∈ B} = A ∩ B



Análisis morfológico

Permite extraer componentes de la imagen que son útiles en larepresentación y descripción de la forma de las regiones

Super�cie de Objetos

Fronteras

Esqueletos

etc...

Permite obtener características relevantes de los objetos en la imagen

Forma

Tamaño

Posición�Orientación

etc...



Procesamiento morfológico I

Permite transformar la forma o la estructura de los objetos en una imagen

Tipos:

Morfología binaria (es la más frecuente).Morfología de niveles de grisMorfología de imágenes policromáticas

Utilidad en post-procesamiento: tras un procesos de segmentación,para mejorar sus características

Utilidad en pre-procesamiento: depuración de forma de objetosrequerida para etapas de reconocimiento por forma



Procesamiento morfológico II

Elemento Estructurante: conjunto cuya distribución geométricasirve de máscara para la aplicación de la especi�cación matemáticadel operador morfológico. Se notará como E

La forma del elemento estrcturante en el espacio discreto puedevariar según la necesidad de la aplicación

Operadores Morfológicos

Son especi�caciones basadas en las operaciones de conjuntos descritaspara modi�car el estado de los píxeles en la imagen. Los principales son:

Dilatación: δE(A) ≡ A⊕ E = {x|(E + x) ∩A 6= ∅}Erosión: εE(A) ≡ A E = {x|(E + x) ⊂ A 6= ∅}Apertura: A ◦ E = (A E)⊕ E = δE(εE(A))

Cierre: A� E = (A⊕ E) E = εE(δE(A))



Implementación

Las operaciones morfológicas se implementan de forma similar a los�ltros en el dominio del espacio

Elemento Estructurante

Verde: Píxel evaluado

Rojo: Píxeles afectadosen la evaluación

Azul: Píxeles alterados(ejemplo dilatación)

Negro: píxeles activadosen la imagen original



Dilatación

La salida de la dilatación es el conjunto de puntos barridos por el centrodel Elemento Estructurante B tales que algún punto de B tocaba a algúnpunto de A.

Ejemplo: sea el elemento estructurante 1 1 11 1 11 1 1

el resultado de la dilatación de la imagen de la izquierda es la imagende la derecha. El objeto previamente segmentado de la imagenbinaria resulta en un objeto más grueso.

Las separaciones entre las regiones del objeto se acortan y losori�cios se estrechan. En algunos casos, regiones que estabanseparadas pasan a ser una sola región conexa.



Erosión

La salida de la erosión es el conjunto de puntos barridos por el centro delElemento Estructurante C si se cumple que todos los puntos de C estabancontenidos en A

Ejemplo: sea el elemento estructurante 1 1 11 1 11 1 1

Imagen original: izquierda. Imagen dilatada:

El objeto previamente segmentado de la imagen binaria resulta en unobjeto más delgado. Las separaciones entre las regiones del objeto sehacen más grandes y los ori�cios se amplían.En ocasiones, una regiónque era conexa podría separarse en dos regiones inconexas.



Apertura

Permite separar objetos que se saben independientes pero que setocan y quedan unidos en la segmentación

Equivale a desplazar el Elemento Estructurante, en el ejemplo B (uncírculo), por el interior del conjunto (en este caso A) y eliminandolas zonas por las que B no pueda �pasar�. Por ejemplo:



Cierre

Permite mejorar la super�cie detectada como perteneciente aobjetos detectados en la segumentación, sin separarlos (opuesto a laapaertura)

Equivale a desplazar al Elemento Estructurante (B) por el exteriordel conjunto (A), manteniendo las zonas por las que no pueda�pasar�. Por ejemplo:



Referencias

Morfología Matemática. José Luis Alba, Fernando Martín -Universidad de Vigo; Jesús Cid - Universidad Carlos III; InmaculadaMora - Universidad Rey Juan Carlos. 2006


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