● Cualquier número será divisible por otro cuando al realizar la división obtengamos resto cero (la división es exacta)

Ejemplo:

315 : 5 = 63 y resto 0. Es decir 315 es divisible por 5

25 : 2 = 12 y resto 1. Es decir, 25 no es divisible por 2.

DIVISIBILIDAD

APLICACIONES DE LA DIVISIBILIDAD

Cálculo de los divisores de un número.

Cálculo del D.C.M. de varios números.

Cálculo del m.c.m. de varios números.

… que la multiplicación de números naturales tiene la propiedad conmutativa (el orden de los factores no altera el producto)

Así: si 5 x 6 = 30 será 6 x 5 = 30 … que en la división tenemos:

dividendo : divisor = cociente

y como la multiplicación y la división son operaciones inversas:

dividendo = divisor x cociente

Por ejemplo:

30 = 5 x 6 entonces: 30 : 5 = 6 y 30 : 6 = 5

En el caso que la división no sea entera (resto distinto de cero):

Dividendo = divisor x cociente + resto

RECUERDA….

Son reglas que nos permiten determinar si un número dado es divisible o no por otro, sin tener que efectuar la división.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un número es divisible por 2 cuando su última cifra es 0 ó es un número par.

● Ejemplos:

750 438 564354

Observa:Todos estos números son divisibles por 2 porque la

última cifra es 0 ó par.

Divisibilidad por 2

Un número es divisible por 3 cuando la suma de todas sus cifras es múltiplo de 3.

● Ejemplos:

Observa:Todos estos números son divisibles por 3

porque al sumar sus cifras se obtiene un

múltiplo de 3.

Divisibilidad por 3

Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son cero o forman un múltiplo de 4.

● Ejemplos:

Observa:Todos estos números son divisibles por 4

porque las dos últimas cifras son 00 ó forman

un múltiplo de 4.

Divisibilidad por 4

Un número es divisible por 5 cuando su última cifra es 0 ó 5.

● Ejemplos:

750 435 2554350

Observa:Todos estos números son divisibles por 5 porque la última cifra es 0, en unos

casos, y 5, en otros.

Divisibilidad por 5

Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez.

● Ejemplos:

Observa:Todos estos números son divisibles por 6,

porque son divisibles por 2 y por 3, al mismo

tiempo.

Divisibilidad por 6

Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son 0 ó forman un número que es múltiplo de 8.

● Ejemplos:

Observa:Todos estos números son divisibles por 8,

porque sus tres últimas cifras, o bien son 000, o forman un número que

es múltiplo de 8.

Divisibilidad por 8 (criterio 1)

86064 70000 116012096

Un número es divisible por 8 cuando su mitad es divisible por 4.

● Ejemplos:

Observa:Todos estos números son divisibles por 8, porque sus mitades son divisibles por 4.

Divisibilidad por 8 (criterio 2)

Un número es divisible por 9 cuando la suma de todas sus cifras es múltiplo de 9.

● Ejemplos:

Observa:Todos estos números son divisibles por 9

porque al sumar sus cifras se obtiene un

múltiplo de 9.

Divisibilidad por 9

Un número es divisible por 10 cuando su última cifra es 0.

● Ejemplos:

700 430 2504000

Observa:Todos estos números son divisibles por 10 porque la última cifra es 0 en todos

los casos.

Divisibilidad por 10

Un número es divisible por 11 cuando la suma de las cifras de lugar impar, menos la suma de las cifras de lugar par, es múltiplo de 11.● Ejemplo: determinamos si 59.697 es múltiplo de 11.

7+6+5 = 18

59 6979+9 = 18

Luego: 18 – 18 = 0

Como la diferencia obtenida es 0 y 0 es múltiplo de 11 (así como de TODOS

los números), afirmamos que 59.697 es múltiplo de 11.

Divisibilidad por 11

MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO

Laura está haciendo flexiones. Cada 5 flexiones, para un momento para descansar y apunta en una tabla cuántas flexiones lleva hechas hasta el momento.

Los números 5, 10, 15, 20, 25 y 30 son múltiplos de 5.Los múltiplos de 5 se pueden calcular de dos formas:●Contando de 5 en 5 a partir de 0.●Multiplicando por 5 los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5...

INTRODUCCIÓN A LOS MÚLTIPLOS

Definición: un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto de veces, es decir, cuando la división entre el primero y el segundo es exacta.

10 es múltiplo de 2 ya que 10 : 2 = 5 y r = 0

Un número tiene infinitos múltiplos. Se obtienen multiplicando sucesivamente el número por los números naturales (0, 1, 2, 3…)

El cero es múltiplo de TODOS los números.

MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

Dados dos números, por ejemplo, 9 y 12: múlt. de 9 = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108... } múlt. de 12 = {0,12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,108...}Los múltiplos comunes de 9 y 12 son: 36, 72, 108…, porque son los múltiplos que coinciden en ambos números exceptuando el cero.Al menor de los múltiplos comunes, en este caso 36, lo denominaremos mínimo común múltiplo de 9 y 12. Y lo escribiremos así:

m.c.m. (9, 12) = 36

MÚLTIPLO COMÚN MENOR (m.c.m.)

Eduardo va a pegar 8 fotos en su álbum. Quiere poner en cada hoja el mismo número de fotos y que no le sobre ninguna. ¿Cuántas fotos puede poner en cada hoja?Observa cómo puede repartir Eduardo las fotos en partes iguales en las hojas del álbum.

INTRODUCCIÓN A LOS DIVISORES

Eduardo puede poner en cada hoja 1, 2, 4 u 8 fotos. Los números 1, 2, 4 y 8 son divisores de 8, porque al

dividir 8 entre cada uno de ellos la división es exacta. Los números 3, 5, 6 y 7 no son divisores de 8, porque al

dividir 8 entre cada uno de ellos la división no es exacta.

Un número es divisor de otro si la división entre ellos es exacta.

DIVISORES O FACTORES DE UN NÚMERO

Para calcular todos los divisores de un número, dividimos dicho número entre los números naturales, es decir, entre 1, 2, 3, ... hasta llegar a la división en la que el cociente sea menor que el divisor. De cada división exacta obtenemos dos divisores: el divisor y el cociente.

El 1 es divisor de TODOS los números.

Veamos un ejemplo

Otra forma de calcular todos los divisores de un número, es utilizando los

criterios de divisibilidad. Al reconocer si un número es o no divisible por otro,

sabremos si este es divisor o no de aquél.

Por ejemplo: queremos saber cuáles son los factores o divisores de 90

• Es divisible por 2, porque es número par.

• Es divisible por 3, porque la suma de sus dígitos (9 + 0 = 9) es un múltiplo de 3.

• No es divisible por 4, porque sus dos últimas cifras no forman un múltiplo de 4.

• Es divisible por 5, porque su última cifra es 0.

• Es divisible por 6, porque es divisible por 2 y por 3 a la vez.

• No es divisible por 7, por al dividirlos el resto no es 0.

• No es divisible por 8, porque su mitad (90 : 2 = 45) no es divisible por 4.

• Es divisible por 9, porque la suma de sus dígitos (9 + 0 = 9) es un múltiplo de 9.

• Es múltiplo de 10, porque termina en 0.

• No es múltiplo de 11, porque la resta entre la cifra que ocupa el lugar impar (9) y la que

ocupa el lugar par (0) no da como resultado un múltiplo de 11.

Conclusión: los factores de 90 son:

fact. de 90 = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 30; 45; 90}

… que los factores podemos escribirlos individualmente o como pares de factores:

Ejemplo: los factores de 90 podemos escribirlos individualmente:

fact. de 90 = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 30; 45; 90}

o como pares de factores:

fact. de 90 = (1 y 90); (2 y 45); (3 y 30); (5 y 18); (6 y 15); (9 y 10)

... que los factores NO son infinitos. Cada número tiene una cierta cantidad de factores.

… que los factores que a su vez son números primos se denominan “factores primos”.

Ejemplo: los factores primos de 90 son:

Fact. primos de 90: {2; 3; 5}

RECUERDA….

DIVISOR COMÚN MAYOR (D.C.M.)

Dados dos números, por ejemplo, 12 y 8:

fact. de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12 }

fact. de 8 = {1, 2, 4, 8}

Los factores comunes de 12 y de 8 son: 1, 2 y 4,porque son los

factores que coinciden en ambos números .

Al mayor de los factores comunes, en este caso 4, lo denominaremos

divisor común mayor de 8 y 12. Y lo escribiremos así:

D.C.M. (8, 12) = 4

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Llamamos número primo al que solo tiene dos divisores: él mismo y el 1.En cambio, un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

Por ejemplo:

fact. de 14 = {1, 2, 7, 14} como tiene más de dos divisores, 14 es

número compuesto.

fact. de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} como tiene más de dos divisores, 12

es número compuesto.

fact. de 7 = {1, 7} como solo tiene dos divisores (él

mismo y la unidad), 7 es número primo.

El número 1 no se considera número primo, ya que solo tiene un divisor: él mismo.

.

La Criba de Eratóstenes o La “Criba de Eratóstenes” consiste en eliminar los números que no sean primos y que, por

tanto, sean múltiplos de algún número.

o Si quieres obtener los números primos menores que 100, como muestra la siguiente tabla,

sigue los pasos indicados:

Tacha el número 1, ya que no se considera primo ni compuesto.

Encierra el número 2 y tacha sus múltiplos, o sea, el 4, el 6, el 8, etc.

Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 3, y tacha sus múltiplos.

Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 5, y tacha sus múltiplos.

Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los números.

Los números encerrados son los números primos.

Los restantes corresponde a los números compuestos, a excepción del 1.

Otra forma de obtener números primos

Otro método que podemos utilizar para determinar si un número es primo o no es la DIVISIÓN.

Lo que debemos hacer es dividir el número por cada número primo.

Por ejemplo: Quiero saber si el número 55 es primo. Lo que debo hacer es dividirlo por 2, por

3, por 5, por 7 y por 11:

55 : 2 = 27 y resto = 1; 55 : 3 = 18 y resto = 1; 55 : 5 = 11 y resto = 0

No hace falta que siga porque ya encontré que 55 es divisible por uno de los números primos: el 5. Por lo tanto, 55 no es número primo. Quiero saber si el número 17 es primo. Repito el proceso anterior:

17 : 2 = 8 y r = 1; 17 : 3 = 5 y r = 2; 17 : 5 = 3 y r = 2; 17 : 7 = 2 y r = 3; 17 : 11 = 1 y r = 6

Así vemos que 17 no es divisible por ningún número primo, entonces 17 es un número primo.