1. . ,. ~ .".:Traduccin:FIDENCIOMArA GoNZLEZ. Facultad de Ciencias. UNAMRevisin tcnica: M. EN C. a..AUDlAPiTIO ROMNFacultad de Ciencias, UNAM

2. Louis Leithold Pepperdine UniversityWW OxfordUniversity Press Mxico ArgmtiM Colllmbia Chile &:Uldnr GuR.temIIlR VenezuelR 3. ----------~----_ ......DISEIQO PARA LA CUBIERTADan Douke, pintor del Sur de California y actualmente profesor de arte en Califomta State University de los Angeles, exhibe su obra de manera regular en Tortue Gallery, en Santa Mnica, y en O. K. Harrts Works 01Art en Nueva York. El profesor Douke redact la siguiente declaracin de acuerdo con el cuadro reproducido en la cubierta: "El enorme avance de la tecnologa elija dcada final del siglo XX, alentada por los utpicos de la sociedad del Oeste que creen en 1IQparaso de informacin electrnica, motiv6 esta pintura especialmente creada para EC7, la cual surge directamente de mi trabajo reciente sobre objetos futuristas. En este cuadro busco mostrar un encuentro Con la imagen y la imaginac6n al borde de la idea fugaz hacia una forma tangible. Deseo que el trabajo tenga un aspecto extrallamente familiar, tal vez como parte de algo ms 8JIDlde, s poderoso y futurista, pero a la vez que parezca usado. El cuadro es m de hecho una metfora que representa el deseo del individuo de buscar y experiment~ la adquisicin del conocimientc".Edici6n:Producctn: Supervtston: Formacin:Fidencio Mata Gonzlez Alfredo Prez Guarneros Antonio Figueredo Hurtado Rosario Lpez Santiago E. G. Corporacin de Servicios Editoriales y GrficosEL CLCULO. Sptima EdicinProhibida la reproduccin total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso expreso y por escrito del editor. DERECHOS RESERVAOOS 4) 1998, respecto a la sptima edicin por: OXFORD UNIVERSITY PRESS - HARLA MXICO, S.A. de C.V. Antonio Caso 142, Col. San Rafael, Delegacin Cuauhtmoc, C. P. 06470, Mxico, D.F. Te]. 5 92 42 77 Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, nmero de registro 72.3.Traducido de la sptima edicin en ingls 'de: 11fE CALCULUS 7 Copyright 1994, by Louis Leithold. Publicado por acuerdo con Louis Leithold e Interests Intemational, loe. ISBN 0-673-469131Impreso en Mxico - Printed in Mxico 1098765432 Esta obra se termin de imprimir en mayo de 1998 en GRUPO MEXICANO MAPASA, S.A. de C.V. Emiliano Zapata No. 93 Col. San luan txhuatepecT1alnepantla, Edo. de Mxico C.P. 54180 Se imprimieron 21,000 ejemplares. 4. A mi hijo Gordon Mare, sus hijos Justin y Matthew, y su abuelo David 5. CONTENIDO, IxvPROLOGO1Funciones y sus grficas21.2rFunciones, lmites y continuidad 1.1~Operaciones con funciones y tipos de funciones12Funciones como modelos, matemticos20Introduccin grfica a de funciones281.3 1.4 1.510$ lmitesDefinicin de lmite de una funciny teoremas de lmites3~1.6lmites laterales491.7Lmites infinitos551.8Continuidad de una funcin en un nmero67Continuidad de una funcin compuesto y continuidad en un lntervclo76Continuidad de las funciones trigonomtricas y teorema de estriccin85Revisi6n del capitulo 1931.91.10~~Derivada y d~ferenciacin1002.1Recta tangente y derivado1012.2Diferenciobilidod y continuidad1092.3Derivado numrica1182.4Teorerncs sobre diferenciacin de funciones algebraicas y derivadas de orden superior1232.5Movimiento rectilneo1322.6Derivada como tasa de variacin145~ 6. viiiCONTENIDO 2.72.92.10~ ~152Derivada de una funcin compuesta y regla de la cadena162Derivada de la funcin potencia para exponentes racionales y diferenciacin implcita172Tasas de variacin relacionadas182Revisin del captulo 22.8Derivadas de las funciones trigonomtricas190Comportamiento de las funciones y de sus. gr~icas,valores extremos y aproximaciones 3.1 3.23.3 3.4 3.5197Valores mximos y mnimos de funciones198Aplicaciones que involucran un extremo absoluto en un intervalo cerrado207Teorema de Rolle y teorema del valor medio215Funciones crecientes y decrecientes, y criterio de la primera derivada223Concavidad, puntos de inflexiny criterio de la segunda derivada231Trazo de las grficas de funciones y de sus derivadas2423.7Lmites al infinito2493.8Resumen para el trazo de las grficas de funciones260Aplicaciones adicionales sobre extremos absolutos266Aproximaciones mediante el mtodo de Newton, de la recta tangente y de diferenciales275Revisin del captulo 3287Integral definida e integracin2963.63.9 3.104.1Antiderivacin2974.2Algunas tcnicas de antiderivacJn3104.3Ecuaciones diferenciales y movimiento rectilneo319 7. CONTENIDO-ix4.4Integral definida3384.6Teorema del valor medio para integrales3524.7Teoremas fundamentales del Clculo3604.8rea de una regin plana3724.9Volmenes de slidos mediante los mtodos de rebanado, de discos y de arandelas381Volmenes de slidos mediante el mtodo de capas cilndricas391Revisin del captulo 4L3284.5~rea3974.10~ ~~Funciones logartmicas, exponenciales, trigonomtricas inversas e hiperblicas4035.1Inversa de una funcin4045.2Funcin logartmica natural4185.3Diferenciacin logartmica e integrales que producen funciones logartmicas naturales430Funcin exponencial natural437yOtras funciones exponenciales logartmicos448Aplicaciones de la funcin exponencial natural4565.7Funciones trigonomtricas inversas4695.8Integrales que producen funciones trigonomtricas inversas485Funciones hiperblicas490Revisin del captulo 55035.4 5.5,5.65.9Aplicaciones adicionales de la integral definida6.15086.4509Centro de masa de una barra516y centroide6.2 6.3Longitud de arco de la grfica de una funcinCentro de masa de una lmina de una regin plana522Trabajo530 8. xCONTENIDO6.5536Revisin del captulo 6....._.,.. ~Fuerza ejercida Por la presin de un lquido542Tcnicas de integracin, formas indeterminadas e integrales impropias5447.1Integracin por partes5457.2Integrales. trigonomtricas5557.3Integracin de funciones algebraicas mediante sustitucin trigonomtrica565Integracin de funciones racionales y crecimiento logstico572Integracin mediante otras tcnicas de sustitucin y labias584Inlegracin numrica5917.4 7.5 7.6 7.7Forma indeterminada O/O y teorema . del valor medio de Cauchy6047.8Otras formas indeterminadas6127.9integrales impropias con lmites de integracin infinitos618Otras integrales impropias627Revisin del captulo 7632Aproximaciones polinomiales, sucesionuy series infinitas6387.108.1Aproximaciones polinornioles mediante la frmula de Taylor6398.2Sucesiones6478.3Series infinitas de trminos' constantes6598.4Series infinitas de trminos positivos6718.5Series infinitas de trminos positivos y negativos684Resumen de crilerios sobre la convergencia y divergencia de series infinitas6958.7Series de potencias6988.8Diferenciacin e integracin de. series de potencias707Series de Taylor7188.68.9 9. ""11CONTENIDO~8.10xiSeries de potencias para logaritmos naturales y serie binomial727Revisin del captulo 8735Ecuaciones paramtricas, curvas planas y grficas polaresel;O9.1longitud de arco de una curva plana9.3Coordenadas polares9.4longitud de orco y rea de uno regin poro grficos polares765Tratamiento unificado de las secciones cnicos y ecuaciones polares de los cnicos774Revisin del captulo 9Ecuaciones para mtricas9.2~7829.5y curvas739y grficasplanaspolares740 747 752i"Vectores, rectas, planos y superficies en el espacio78610.2Vectores en el espacio tridimensional799Producto punto811Planos10.578710.4.,Vectores en el pleno10.3"'-10.1Producto cruz83310.6Superficies846Revisin del captulo 10860y rectos en R3822Funciones vectoriales864Funciones vectoriales11.2Clculo de las funciones vectoriales'87211.3Vectores tangente unitario y normal unitario, y longitud de arco como parmetro88211.4.,11.1y curvasCurvatura88811.5Movimiento curvilneo897Revisin del captulo 11909Clculo diferencial de funciones de ms de una variable913enR386512.1fFunciones de ms de una '{ariable91412.2,lmites y continuidad de funciones de ms de una variable926 10. xiiCONTENIDO12.394212.4Diferenciabilidad y diferencial total95512.5Regla de la cadena para funciones de ms de una variable96512.6Derivadas direccionales y gradientes97512.7Planos tangentes y rectas normales a superficies98512.8Extremos de funciones de dos variables99012.9Derivadas parcialesMult!,plicadoresde lagrange1004Revisin del captulo 121014Integracin mltiple1021Coordenadas cilndricas y esfricas102213.2Integrales dobles102813.3Aplicaciones de las integrales dobles104113.4Integrales dobles en coordenadas polares105213.5Integrales triples106113.6Integrales triples en coordenadas cilndricas y esFricas1067Revisin del captulo 1313.11074Introduccin al Clculo de campos vectoriales107714.1Campos vectoriales107814.2Integrales de lnea108914.3Integrales de lnea independientes de la trayectoria109814.4Teorema de Green110814.5Integrales de superficie112114.6Teorema de la divergencia de Gauss y teorema de Stokes1128Revisin del captulo 141135Apndice: Temas de matemticas previas al Clculo1138A.1Nmeros reales y desigualdades1139A.2Coordenadas y grFicas de ecuaciones1150 11. CONTENIDOxiiiA.3Rectas1158A.4Parbolas1168A.5Circunferencias1173A.6Traslacin de ejes1178A.7Elipses1183A.SHiprbolas1192A.9Funciones trigonomtricas1201A.1OEcuacin general de segundo grado en dos variables y rotacin de ejes1209Fracciones parciales1216A.11 ~Secciones suplementarias ~1223Suplemento 1.5 Suplemento 1.71231Suplemento 1.101232Suplemento 2.81233Suplemento 4.51235Suplemento 5.11237Suplemento 8.21241Suplemento 8.51242Suplemento 8.81243Suplemento 12.31247Suplemento 12.41249Suplemento 12.812241250Tablas y formularios1253Tabla de derivadas1253Tabla de integrales1253Frmulas de lgebra1259Frmulas de geometra1260Frmulas de trigonometra1261Frmulas de trigonometra hiperblica1263Frmulas de geometra analtica1264Alfabeto griego1274Respuestas de los ejercicios impares1275ndice1345 12. ,PROLOGO"Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero sin excederse en ello." Albert Einstein El Clculo 7 (de aqu en adelante abreviado como EC7) es una obra diseada tanto para los cursos de especializacin en matemticas como para los estudiantes cuyo inters primario radica en la ingeniera, las ciencias fsica y sociales,o los camposno tcnicos.La exposicinest adecuadaa la experiencia y madurez del principiante. Las explicaciones detalladas, los abundantes ejemplos desarrollados as como la gran variedad de ejercicios, continan siendo las caractersticas distintivas del texto. En ningn 0!0 tiempo entre ediciones sucesivas han ocurrido tantos cambios en la enseanza del Clculo como en el periodo entre las ediciones sexta y sptima de este texto. Muchos de estos cambios son el resultado de la disponibilidad de la tecnologa modema en la forma de calculadora grfica o graficadora manual. Algunos otros cambios se deben al movimiento denominado reforma del Clculo. He invitado a seguir este movimiento observando el principio:REFORMACON RAZN.Conel fin de apegarmea este principio," he aplicado las siguientes guas: 1.2. 3. 4.5.6. 7.La tecnologa debe incorporarse para mejorar la enseanza y el apren- .. dizaje del Clculo, no para reemplazar las matemticas o restar importancia a los temas tericos. Las definiciones y teoremas deben establecerse formalmente, no informalmente. Los estudiantes deben estar concientes de que las demostraciones de los teoremas son necesarias. Cuando se presenta una demostracin, debe ser bien motivada y cuidadosamente explicada, de modo que sea entendible para cualquiera que haya alcanzadoun dominiopromedio de las seccionesanterioresdel libro. Cuando se establece un teorema sin demostracin, la discusin debe aumentarse mediante figuras y ejemplos; en tales casos, debe enfatizarse el hecho de que lo que se presenta es un ejemplo ilustrativo de la proposicin del teorema y no una demostracindel mismo. Debe darse importancia a los modelos matemticos de las aplicaciones de la vida real. Debe destacarse la redaccin en matemticas. Los catorce captulos de EC7 pueden clasificarse en dos partes: captulos1-9, en los que se estudian funciones de una variable y series infinitas; cap-tulos 10-14, en los que se tratan vectores y funciones de ms de una variable. En EC7 se han realizado cambios en las dos partes. En todo el libro se mantiene un sano equilibrio entre un estudio riguroso y un punto de vista intuitivo, incluso en las modificaciones. Con objeto de alcanzar los objetivos planteados, se han incorporado las siguientes caractersticas: 13. xviPRLOGOGRAFICADORA11ACTIVA"A lo largo de la presentacin, EC7 utiliza la calculadora grfica o graficadora manual no slo como un poderoso y fascinante instrumento para el aprendizaje, sino como un instrumento fundamentalen la solucin de problemas. Se ha integrado la graficadora directamente a la exposicin de acuerdo a la filosofa que he aprendido en mis tres veranos con TICAP (TechnologyIntensive Calculus for Advanced Placement) la cual se resume como sigue: 1.2. 3.Trabajar analticamente (con papel y lpiz); despus apoyar numrica y grficamente (con la graficadora). Trabajar numrica y grficamente; despus confirmar analticamente. Trabajar numrica y grficamente debido a que otros mtodos no son prcticos o posibles.MODELOS MATEMTICOS Y PROBLEMAS VERBALES Los modelos matemticos de situaciones prcticas presentadas como problemas verbales surgen en diversos campos como fsica, qumica, ingeniera, administracin, economa, psicologa, sociologa, biologa y medicina. Las funcionescomo modelosmatemticosse introducenprimeroen la seccin 1.3 y aparecen con frecuencia en el resto del texto. La seccin 1.3 contiene sugerencias para obtener una funcin corno modelo matemtico paso a paso.REDACCiN EN MATEMTICAS A fin de completar la solucin de cada ejemplo de un problema verbal, se presenta una conclusin que responde a las preguntas de ste. El estudiante debe redactar una conclusin semejante, que consista en una o ms oraciones completas, para cada ejercicio similar.Al final de cada grupo de ejercicios hay uno o dos de redaccin los cuales pueden preguntar sobre cmo o por qu funciona un procedimiento determinado, o bien, pueden pedirle al estudiante que describa, explique o justifique un proceso particular.EJERCICIOS Los ejercicios, revisados de las ediciones anteriores y ordenados por grados de dificultad, proporcionanuna gran variedad de tipos de problemas que van desde clculos y aplicaciones hasta problemas tericos para la calculadora y ejercicios de redaccin, corno los mencionados anteriormente.stos aparecen al final de cada seccin y corno ejercicios de repaso al final de cada captulo.EJEMPLOSY EJEMPLOSILUSTRATIVOS Los ejemplos, cuidadosamente seleccionados, habilitan a los estudiantes en la resolucin de los ejercicios, y adems sirven como modelos para sus soluciones. Se utiliza un ejemplo ilustrativo a fin de mostrar un concepto, definicin o teorema particular; es un prototipo de la idea expuesta.PROGRAMA DE ARTE VISUAL (FIGURAS) Todas las figuras se han vuelto a trazar para-EC7. Las grficas trazadas en la graficadora se muestran en una pantalla de graficadora enmarcada por un borde de color ms oscuro a diferencia de las grficas dibujadas a mano. Todas 14. PRLOGOxviilas. figuras tridimensionales se han generado mediante computadora con el fin de obtener precisin matemtica. Estas figuras, que son ms vvidas que en las ediciones anteriores, fueron creadas con la ayuda de Matemtica y Adobe Illustrato".ASPECTOS PEDAGGICOS Cada captulo comienza con una introduccintitulada VISI6N PRELIMINAR. Al final de cada captulo se muestra una lista de sugerencias para su revisin. Juntos, estos aspectos sirven como una resea, de principio a fin del captulo, cuando el estudiante se prepara para un examen.DESCRIPCiN DE CADA CAPTULO Captulo 1 Funciones, lmites y continuidadj,Los tres temas del ttulo de este captulo conforman la base de cualquier primer curso de Clculo. Se exponen todos los teoremas de lmites incluyendo algunas demostraciones en el texto, mientras que otras se esbozan en los ejercicios. La seccin 1.3, nueva en esta edicin, presenta las funciones como modelos matemticos anticipadamente de su uso posterior en aplicaciones. En consecuencia, estos modelos proporcionan al estudiante una vista preliminar de cmo se aplica el Clculo en situaciones reales. La seccin 1.4, tambin nueva, utiliza la graficadora para introducir el concepto de lmite de una funcin.Captulo 2Derivada y diferenciacinEn la seccin 2.1 se define la recta tangente a la grfica de una funcin antes de estudiar la derivada, esto con el propsito de mostrar un avance de la interpretacingeomtricade este concepto.Las aplicacionesfsicasde la derivadaen el estudio del movimiento rectilneo se presentan slo despus de haber demostrado los teoremas sobre diferenciacin, de modo que dichos teoremas pueden emplearse en estas aplicaciones. En la seccin 2.7 se estudian las derivadas de las seis funciones trigonomtricas y despus se emplean como ejemplos para la presentacin inicial de la regla de la cadena en la siguiente seccin. La derivada numrica, tema nuevo en esta edicin y presentado en la seccin 2.3, se utiliza junto con la graficadora para aproximar derivadas y para trazar sus grficas. En la seccin 2.4 se simula el movimiento de una partcula sobre una lnea recta.Captulo 3 Comportamiento de las funciones y sus grficas, valores extremos y aproximaciones En este captulo se presentan las aplicaciones tradicionales de la derivada que implican mximos y mnimos as como el trazado de una curva. Los lmites al infinito y sus aplicaciones para determinar asntotas horizontales se han cambiado a este captulo donde se aplican a fin de dibujar grficas. La graficadora se utiliza frecuentementecon el objeto de apoyar los resultados obtenidos de forma analtica as como para conjeturar propiedades de las funciones, las cuales se confirman despus analticamente.Un aspecto nuevo de esta edicin est relacionado con los ejercicios, donde se le pide al estudiante que dibuje 15. xviii PRLOGO la grfica de una funcin a partir de la grfica de su derivada y viceversa. En la seccin final del captulo se presenta la aproximacin mediante la recta tangente junto con el mtodo de Taylor y el de diferenciales.Captulo 4Integral definida e integracinLas dos primeras secciones tratan sobre antiderivacin (o antidiferenciacin). Se utiliza el trmino antiderivacin en lugar de integracin indefinida, sin embargo, se conserva la notacin estndar fJ(x) dx. Esta notacin sugerir que debe existir alguna relacin entre integrales definidas y antiderivadas, pero no veo perjuicio alguno en lo anterior, en tanto la presentacin proporcione un panorama tericamente apropiado de la definicin de la integral definida como un lmite de sumas. Dichos lmites se aplican primero para definir el rea de una regin plana y despus se utilizan en la definicin de la integral definida. La capacidad de la graficadora para aproximar el valor de una integral definida se presenta antes de la demostracin del segundo teorema fundamental del Clculo, utilizado para obtener valores de integrales analticamente. Esta capacidad permite demostrar propiedades de la integral definida en una graficadora tal como se desarrollan. La seccin 4.3, sobre ecuacionesdiferencialesseparables,presenta aplicacionessobre el movimiento rectilneo, donde el movimiento se simula en la graficadora.Otras aplicaciones de los conceptos de este captulo incluyen el estudio completo del rea de una .regin plana as como el volumen de slidos, presentados posteriormente en la edicinanterior.La seccin4.9 se iniciacon el clculode volmenesmediante el mtododerebanado,secontinaconla determinacinde volmenesde slidos de revolucin mediante los mtodos de discos y de arandelas,consideradoscomo casos especiales del mtodo de rebanado. En la seccin 4.10 se determinan los volmenesde slidosde revolucinmedianteel mtodode capas cilndricas.Captulo 5 Funciones logartmicas, exponenciales, trigonomtricas inversas e hiperblicas En la primera seccin se tratan las funciones inversas, y las cinco secciones siguientes se dedican a las funciones logartmica y exponencial. Primero se define la funcin logartmica natural y despus la funcin exponencial natural como su inversa. Este procedimientopermite dar un significado preciso de un exponente irracional de un nmero positivo. Posteriormente se define la funcin exponencial de base a, donde a es positivo. Las aplicaciones de estas funciones incluyen las leyes naturales de crecimiento y decaimiento, el crecimiento limitado implica la curva de aprendizaje, y la funcin de densidad de probabilidad normal estandarizada. Las tres ltimas secciones se dedican a las funciones trascendentes (no algebraicas) restantes: las funciones trigonomtricas inversas y las funciones hiperblicas.Captulo 6 Aplicaciones integral definidaadicionalesde laEn este captulo se presentan las aplicaciones de la integral definida, no slo las tcnicas de manipulacin sino tambin los principios fundamentales involucrados. La longitud de arco, una aplicacin geomtrica, se trata en la seccin 6.1. Las otras cuatro secciones estn dedicadas a aplicaciones fsicas, las cuales incluyen centro de masa de una barra y de regiones planas, trabajo y fuerza ejercida por la presin de un lquido. En cada aplicacin, se motivan 16. PRLOGOxixy explican intuitivamente las definiciones de los trminos nuevos. Se han vuelto a escribir todas las secciones y se han agregado ejemplos, en algunos de ellos se utiliza la graficadorapara aproximarel valor de la integral definida.Captulo 7 Tcnicas de integracin, formas indeterminadas e integrales impropias Las tcnicas de integracin constituyen uno de los aspectos ms importantes de las operacionesdel Clculo. Estas tcnicas se estudian en las primeras cinco secciones, tratadas en ocho en la edicin anterior. Despus de una motivacin introductoria,se explican los fundamentostericos de cada uno de los mtodos. El dominio de las tcnicas de integracin depende de los ejemplos, y se han utilizado como problemas ilustrativos que, seguramente, el estudiante enfrentar en la prctica. En la seccin 7.4 se presentan otras dos aplicaciones de la integracin: crecimiento logstico, que surge en economa, biologa y sociologa; y la ley qumica de accin de masas. En la seccin 7.6 se estudian dos mtodos numricos para aproximar integrales definidas. Estos procedimientos son importantes debido a que resultan muy adecuados para el uso de computadoras y graficadoras. Los temas sobre aproximacin de integrales definidas incluyen el establecimiento de teoremas acerca de las cotas para el error implicado en estas aproximaciones. Las cuatro secciones restantes, que tratan acerca de las formas indeterminadas e integrales impropias, se han reubicado en esta edicin; preceden inmediatamente a los temas de series, en donde se aplican muchos de los resultados obtenidos. Las aplicaciones de las integrales impropiasincluyen la funcin de densidad de probabilidadas como algunas otras relacionadas con geometra y economa.Captulo 8 Aproximaciones sucesiones y series infinitaspolinomiales,Las secciones acerca de sucesiones y series se han considerado en un solo captulo y no en dos como en la edicin anterior. Todos los temas se incluyen, pero algunas de las discusiones se han acortado sin sacrificar la integridad matemtica. Este captulo es independiente y puede estudiarse en cualquier momentodespusde completarlos primeros siete captulos.La primera seccin trata acerca de aproximaciones polinomiales mediante la frmula de Taylor. Esta frmula se generaliza a la serie de Taylor en la seccin 8.9. Las secciones 8.2-8.6 sehan dedicadoa las sucesionesy seriesinfinitasdetrminosconstantes, y en la seccin 8.6 se presenta un resumen de los criterios de convergencia para series infinitas. En las secciones 8.7-8.10 se estudian las series de trminos variables denominadas series de potencias. Los temas de este captulo conducen por s mismos a la incorporacinde la graficadora, no slo para facilitar el estudio sino que permite a los estudiantesexaminar e investigar la convergenciao divergenciade una serie infinita y de aproximacionespolinomiales.Captulo 9 Ecuaciones paramtricas, planas y grficas polarescurvasLos tres temas de este captulo se han agrupado para completar el estudio del clculo de una variable. Las dos primeras secciones tratan sobre ecuaciones paramtricas y curvas planas, constituyen un requisito previo para el estudio de vectores. En las dos secciones siguientes se estudian grficas polares, mientras que en la seccin final se presenta un tratamiento unificado de las secciones cnicas y las ecuaciones polares de las cnicas. La discusin de 17. xxPRLOGO las secciones cnicas en coordenadas rectangulares ahora se estudian por lo general en un curso previo al Clculo, en esta edicin se tratan en el apndice.Captulo 10 .Vectores, rectas, planos y superficies en el espacio En esta edicin, los vectores bidimensionales y tridimensionales se estudian en el mismo captulo y no en forma separada como en ediciones anteriores. En la seccin 10.1 se definen los vectores en el plano. En la seccin 10.2, antes de definir un vector tridimensional,se presenta el espacio numrico tridimensional, el cual se denota por R3. En el captulo tambin se proporciona una introduccin vectorial a la geometra analtica slida al estudiar, en la seccin IDA, rectas y planos en R3, y superficies en la seccin 10.6.Captulo 11Funciones vectorialesDe igual manera que con los vectores en el captulo 10, en este captulo se estudian las funciones vectoriales tanto en el plano como en el espacio tridimensional.Las curvas en los dos espacios,definidas mediante una funcin vectorial o por medio de un conjunto de ecuacionesparamtricas, as como sus propiedades tambin se estudian simultneamente. Las aplicaciones de este captulo tratan acerca de geometra, fsica e ingeniera. En la seccin 11.5, sobre movimiento curvilneo, se utiliza la graficadora para simular en movimiento de un proyectil en un plano.Captulo 12 Clculo diferencial de funciones de ms de una variable Los temas contenidos en este captulo se han reunido y condensado de dos captulos de las ediciones anteriores, otra vez sin afectar la integridad matemtica. En las primeras cinco secciones se estudian lmites, continuidad, derivadas parciales, diferenciabilidad y la regla de la cadena para funciones de ms de una variable. Las aplicaciones de estas secciones incluyen la determinacin de tasas de variacin y el clculo de aproximaciones.La seccin 12.6, sobre derivadas direccionalesy gradientes, precede a una seccin que muestra la aplicacin del gradiente en la determinacin de planos tangentes y rectas normales a superficies. Otras aplicaciones de las derivadas parciales se presentan en las dos ltimas secciones y tratan sobre problemas de extremos y multiplicadoresde Lagrange.Captulo 13 Integracin mltiple El Clculo integral de funciones de ms de una variable, contenido en las secciones 13.2-13.6, es precedidopor una seccinen la que se estudian coordenadas cilndricas y esfricas, reubicadas en esta edicin, de modo que estn ms cerca a los temas en que se aplican. Las integrales dobles de las funciones de dos variables se estudian en la seccin 13.2 y en las dos secciones siguientes se aplican a la fsica, ingeniera y geometra.Captulo 14 Introduccin al Clculo de campos vectoriaJes En las seis secciones de este captulo final se presenta un estudio amplio del Clculo vectorial. Este estudio incluye campos vectoriales,integrales de lnea, 18. PRLOGOxxiel teorema de Green, el teorema de la divergencia de Gauss y el teorema de Stokes. La presentacin de estos temas es intuitiva y las aplicaciones son acerca de fsica e ingeniera.Apndice Los temas de lgebra, trigonometra y geometra analtica, por lo comn se estudian en cursos previos al Clculo, ahora se presentan en el apndice, dejando as el cuerpo principal del texto para temas estrictamentede Clculo. Esta modificacin tiene como consecuencia el hecho de que las palabras con geometra analtica no aparecen en el ttulo de esta edicin. Las secciones del apndice pueden cubrirse en detalle, como un repaso o pueden omitirse por completo, dependiendode la preparacin de los estudiantes de cada grupo.Secciones suplementarias Las secciones suplementarias se encuentran despus del apndice; estas secciones contienen temas que pueden ser cubiertos u omitidos sin afectar la comprensin del material subsecuente. Estas secciones designadas mediante el nmero de la seccin del cuerpo principal del texto, contienen discusiones tericas y algunas de las demostracionesms difciles. LoUIS LEITHOLD 19. RECONOCIMIENTOSREVISORES Benita Albert, Oak Ridge High School Daniel D. Anderson, University of Iowa Richard Armstrong, Saint Louis Community College at Florissant Valley Carole A. Bauer, Triton College Jack Berman, Northwestem Michigan College Michael L. Berry, West Virginia Wesleyan College James F. Brown, Midland CollegePhillip Clarke, Los Angeles Valley College Charles Coppin, University of Dalias Larry S. DilIey, Central Missouri State University Peter Embalabala, LincIon Land Community College Leon Gerber, Saint John's University Ronald E. Goetz, Saint Louis Community College at Maramac William L. Grimes, Central Missouri State University Kay Hodge, Midland College Charles S. Johnson, Los Angeles Valley College John E. Kinikin, Arcadia High School Stephen Kokoska, Bloomsburg University of Pennsylvania Ron Lancaster Benny Lo, Ohlone College Miriam Long, Madonna University Robert McCarthy, Community College of Allegheny County Lawrence P. Merbach, North Dakota State College of Science Janet Mills, Seattle University James M. Parks, State University of New York College at Potsdam Terry Reeves, Red Rock Community College William H. Richardson, Wichita State University Ricardo A. Salinas, San Antonio College Lillian Seese, Saint Louis Community College at Maramac Luzviminda Villar Shin, Los Angeles Valley College Lawrence Small, Los Angeles Pierce College James Smolko, Lakeland Community College Armond E. Spencer, State University of New York College at Potsdam Anthony E. Vanee, Austin Community College Jan Vandever, South Dakota State University Gerald L. White, Westem IIIinois University Douglas Wilberscheid, Indian River Community College Don Williams, Brazosport College Andre L. Yandl, Seattle University : 20. xxiv RECONOCIMIENTOSPREPARACiN DE SOLUCIONES y RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS Leon Gerber, Saint John's University, asistido por Samuel GerberREVISORES DE LAS RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS Ronald E. Goetz, Saint Louis CornmunityCollege at Maramac Charles S. Johnson, Los Angeles Valley College Robert McCarthy, Community College of Allegheny County Lawrence P. Merbach, North Dakota State College of Science Luzviminda VilIar Shin, Los Angeles Valley College Armond E. Spencer, State University ofNew York College at PotsdamDISEO DE LA CUBIERTA Dan Douke, cortesa de Tortue Gallery, Santa Mnica Para estas personas, para el cuerpo tcnico de HarperCollins College Publishers y todos los usuarios de las seis ediciones anteriores ofrezco mi ms profundo reconocimiento.Deseo agradecer especialmente a Leon Gerber, Saint John's University, y Lawrence Small, Los Angeles Pierce College, por sus esfuerzos diligentes en la revisin del manuscrito en sus diferentes versiones antes de la publicacin as como por sus contribucionessignificativasa los ejercicios nuevos de esta edicin. Tambin agradezco a mi editor, Kevin Connors, HarperCollins College Publishers, por su firme dedicacin, coraje y apoyo para este proyecto L.L. 21. MATERIAL SUPLEMENTARIOPARA EL CLCULO*Para el estudiante An Outline for the Study of Calculus (Un esbozo para el estudio del Clculo) por Leon Gerber, de Saint John's University y John Minnick, de DeAnza College. Para ayudar a los estudiantes en su estudio de EC7, este manual, en tres volmenes, contiene las soluciones detalladas paso a paso de todos los ejercicios cuyo nmero es divisible entre 4. Los manuales tambin contienen todos los teoremas y definiciones importantes as como exmenes simples con sus soluciones para cada captulo.Para el profesor Instructor's Solutions Manual for THE CALCULUS 7 (Manual de soluciones para el profesor) por Leon Gerber, de Saint John's University. Este manual, en dos volmenes, contiene las soluciones para todos los ejercicios de EC7. Test GeneratorlEditor with Quizmaster (Generador de exmenes/Editor con Quizmaster) Este banco de exmenes computarizadoest disponible en versionespara DOS y Macintosh, y puede trabajarse completamente en redes. El Generador de Exmenes, escrito para EC7, puede emplearse para seleccionar problemas y preguntas al elaborar exmenes ya preparados. El Editor permite a los profesores editar cualesquiera datos preexistentes o crear sus propias preguntas. Quizmaster permite a los instructores crear exmenes y cuestionarios del Generador de Exmenes y almacenarlos en discos de modo que puedan ser utilizados por los estudiantes en computadoraspersonales o en una red. Tambin est disponible un banco de exmenes impresos que incluye todos los problemas y preguntas del banco de exmenes computarizado.Libros auxiliares de inters para estudiantes y profesores de Clculo publicados por Oxford University Press, Harla, Mxico Estos materiales se encuentran listados en la tercera de forros de este libro.* N. del E. Este material slo est disponible en ingls. En un futuro prximo esta editorial tendr el "Manual de resolucionespara el profesor". 22. ##ASPECTOS HISTORICOS DEL CALCULOAlgunas de los ideas fundamentales del Clculo se remontan a los antiguos matemticos griegos del tiempo de Arqumedes (287-212 a.C.) as como a los trabajos de los primeros aos del siglo XVII realizados por Ren Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat 1601-1665), John Wallis (1616-1703) e Isaac Barrow (1630-1677). Sin embargo, la invencin del Clculo se atribuye a Sir Isaac Newton (1642-1727) y Gottrried Wilhelm Leibniz (1646-1716) debido a que ellos iniciaron la generalizacin y unificacin de estos conceptos matemticos. Asimismo, otros matemticos de los siglos XVII y XVIII intervinieron en el desarrollo del Clculo, algunos de ellos fueron: Jakob Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748), Leonhard Euler (1707-1783) y Joseph L. Lagrange (1736-1813). No obstante, no fue sino hasta el siglo XIX en que se establecieron los fundamentos de las nociones y de los procesos del Clculo por matemticos tales como Bernhard Bolzano (1781-1848), Augustin L. Cauchy (1789-1857), Karl Weierstrass (1815-1897) y Richard Dedekin (1831-1916). 23. ~PREPARACIONI~PARA EL ESTUDIO DEL CALCULOAprender Clculo puede ser una de las experiencias educacionales ms estimulantes y excitantes. Para que esto sea as, usted debe iniciar su curso de Clculo con el conocimiento de ciertos conceptos de matemticas concernientes a lgebra, geometra, trigonometra y geometra analtica. Los temas de lgebra, trigonometra y geometra analtica de especial importancia se presentan en las secciones A.I-Al1 del apndice al final del libro. Las propiedades especficas de los nmeros reales as como algunas notaciones bsicas se presentan en la seccin Al. Debe familiarizarse con estos temas antes de iniciar el captulo 1. Refirase a las secciones A2-A8 y AIO para revisar los temas de geometra analtica. En la seccin A9 se estudian las funciones trigonomtricas. Tal vez necesite estudiar la seccin A.II, donde se presentan las fracciones parciales, antes de tratar la seccin 7.4 sobre integracin de funciones racionales. La visualizacin mediante grficas juega un papel importante en el estudio del Clculo. Estas grficas se obtendrn en dos formas: a mano y mediante un dispositivo de graficacin automtico de alta velocidad como las graficadoras y computadoras con el software apropiado. Estos dispositivos funcionan de manera similar, pero para el estudiante resultar ms prctico utilizar una graficadora que una computadora personal. En consecuencia, en el texto se emplear la graficadora. Cuando se trate de una grfica realizada a mano se usar la terminologa dibuje la grfica, y cuando deba emplear un dispositivo electrnico en su elaboracin se indicar trace la grfica. Las grficas trazadas en una graficadora estn representadas por figuras que muestran una pantalla de graficadora enmarcada por un rectngulo y las ecuaciones de las grficas mostradas se indican en la parte inferior de la pantalla. Las graficadoras no son estrictamente automticas debido a que requieren de un operador (una persona que las haga funcionar) que presione teclas especficas; sin embargo, como estas teclas dependen del fabricante y del modelo de la graficadora, deber consultar el manual de funcionamiento para obtener informacin sobre cmo realizar operaciones especficas. Con los conocimientos bsicos preliminares, est usted preparado para iniciar su curso de Clculo, que es el fundamento para muchas de las ramas matemticas y para la mayora de los conocimientos del mundo moderno. 24. #EL CALCULO 25. ,,-'..,Funciones, lmites y continuidad .. ".,/N 'U MNIR )Funcionos y $U$' grfico$ ;; . 1.2 Oporaciones con funciones y tipos de funciones 1.3 Funciona como modolos matemticos 1.4 Introduccin grfico o le ImitO$ Ivnc:ioll8$ do 1.5 Definicin de limito de uno luncn y teorema, sobre lmlles 1.6 limite, loleroles 1.7 lrmfles in['nitos 1.8 .Continuidad de uno funti9n , 01) un nmero . .1.9 Continuidod do una funcin compu~lo y continuidad en un roterlolo 1.10 Continuidad de laalvnciones trigonomfricos y 'teorema ele estricci6n1.1~"ndvdoblomonll habr lrolado funciono. In 'v. CUriO, on'. do 'imlle. probobl.ml1lte el concepto rn, mporJ:on,. en ClIIeulo, Se inicia 01 ... Iudlo de Irm,tes "" lo .eccfn I.~ medlon,. ",no In"oduccl6n 9tf~ca o lo~ limite, d."""cion.,. P,im4fo .. p,oporclona uno fu"damltlllcln peno a polO d.1o nocin de 11m, lo cual oc."., """"""" la ~ Jo _ r...:~.., un""",..., le doIIneen"pa'lo ..a:16n 1 8 mlonl"" que lo confinuidod de _ luncln CllrIpIIe1Io. lo oonSnllidod .. "" loterYclo y el _""" dol .olor rn.m.dio "'" lom'" d. lo '''CI6n I 9 El '_.ma de .. friccin $O pro ,,10on lo 0016EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Con notacin de intervalos, el dominio y contradominio de la funcin definida por la ecuacines (-00, +00) y el contradominio es [0, +00). nmeros realesY: nmeros no negativosFIGURA 2[>EJEMPLO ILUSTRATIVO 2Sea/lafuncin definida porla ecuaciny=~ Como los nmeros se han restringido a los nmeros reales, y es una funcin de x slo si x - 2 ~ O debido a que para cualquier x que satisfaga esta desigualdad, se determina un solo valor de y. Sin embargo, si x < 2, se 27. 1.1FUNCIONES Y SUS GRFICAS3tiene la raz cuadrada de un nmero negativo, y en consecuencia, no se obtendr un nmero real y. Por tanto, se debe restringir x de manera que x ;;::: . 2 De este modo, el dominio de f es el intervalo [2, +00), Y su contradominio es [O,+00). ~C> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3Sea g la funcindefinida porla ecuacin y==~Se observa que y es una funcin de x slo para x ;;::: o x S; -3 (o sim3 plemente, Ixl ;;::: para cualquier x que satisfaga alguna de estas desi3); gualdades, se determinar un solo valor de y. No se determinar ningn valor real de y si x est en el intervalo abierto (-3, 3), ya que para estos valores de x se obtiene la raz cuadrada de un nmero negativo. Por tanto, el dominio de g es (-00, -3] U [3, +00), Yel contradominioes [O,+00). ~ Se puede considerar una funcin como un conjunto de pares ordenados. Por ejemplo, la funcin definida por la ecuacin y == x2 consta de todos los pares ordenados (z, y) que satisfacen la ecuacin. Los pares ordenados de esta funcin proporcionados por la tabla 1 son (1, 1), (4, 16), (O,O), (-1, 1), (- ~, ~) y (- 4, 16).Por supuesto, existe un nmero ilimitado de pares ordenados de esta funcin, algunos otros son (2, 4), (-2, 4), (5, 25), (-5, 25), (.f3, 3), etctera.n, ~),C> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4La funcin f del ejemplo ilustrativo 2 es el conjunto de pares ordenados (x, y) para los cuales y = ~. En smbolos esto se expresa comof ={(x, y)Iy==~}Algunos de los pares ordenados de f son (2, O), (~, (5, .f3), (6, 2), (11, 3).1), (3,1), (4, .,f2), ~C> EJEMPLO ILUSTRATIVO 5La funcin g del ejemplo ilustrativo 3 es el conjunto de pares ordenados (x, y) para los cuales y = ..Jx2=9; es decir, g={(x,y)I y = ~}Algunos de los pares ordenados de g son (3, O), (4, J7), (5, 4), (-3, O), (--Jf3, 2). ~ A continuacin se establecer formalmente la definicin de funcin como un conjunto de pares ordenados. Al definir una funcin de esta manera, y no como una regla de correspondencia,se hace ms preciso su significado. 1.1.1 Definicin de funcin 28. 4CAPTULO 1FUNCIONES, MmSy CONnNUIDADnmero. El coojunto de todos los valores admisibles de x se denomina clomflllo de la funcin, y el conjunto de todos lag valores resultantes de y recibe el nombre de"oontradorninfo* de la funcin. En esta definicin, la restriccin de que dos pares ordenados no pueden tener el mismo primer nmero asegura que y es nico para cada valor especfico de x. Los smbolos x y y denotan variables. Debido a que el valor de y depende de la eleccin de x, x denota a la variable independiente mientras que y representa a la variable dependiente. Si f es la funcin tal que los elementos de su dominio se representan por x, y los elementos de su contradominio se denotan por y, entonces el smbolo f(x) (lase "f de x") denota el valor particular de y que corresponde al valor de x. La notacinf(x), denominada valor de funcin, se debe al matemtico y fsico suizo Leonhard Euler (1707-1783).[> EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 f = (x, y) I y = -v'X=2"}. De modo que f(x)=En el ejemplo ilustrativo 2,-v'X=2"A continuacin se calcularf(x) para algunos valores especficos de x. = ~ 1 f(6) = -J6 - 2 2f(3)f(5) f(9)Cuando se define una funcin, debe indicarse el dominio implcita o explcitamente.Por ejemplo, sifest definida por f(x)= 3x2 - 5x + 2la funcin tiene un valor si x es cualquier nmero real; por tanto, el dominio es el conjunto de todos los nmeros reales. Sin embargo, sifest definida por f(x)= 3x2 - 5x + 2ISxslOentonces el dominio de f consta de todos los nmeros reales entre l y 10, incluidos stos. De manera semejante, si g est definida por la ecuacin g(x) = 5x - 2 x+4est implcito que x *- -4, debido a que el cociente no est definido para x = -4; en consecuencia, el dominio de g es el conjunto de todos los nmeros reales excepto -4. Si h est definida por la ecuacin h(x) = ~el dominio de h es el intervalo cerrado [-2, 2] porque ~4 - x2 no es un nmero real para x > 2 o x < -2. El contradominio de h es [O, 2]. *N. del T. La palabra inglesa range se ha traducido generalmente como rango, y corresponde al nombre del conjunto de valores asignados a la variable dependiente de una funcin. Otros nombres para este conjunto son: recorrido (poco empleado en clculo); mbito (trmino muy reciente para este concepto); imagen (muy empleado en lgebra y teora de conjuntos);rango (muy empleado en clculo). 29. 1.1...EJEMPLO J f(x) = x2+FUNCIONES Y SUS GRFICAS5Dado que f es la funcin definida por3x - 4determine: (a) f(O); (b) f(2); (e) f(h); (d) f(2h); (g) f(.x) + f(h)(e) f(2x);(f) f(x + h);. Solucin (a) f(O) = 02 + 3 . O - 4 = -4 = h2 + 3h - 4(e) f(h)(e) f(2x)(d) f(2h)=(2h)2 + 3(2h) - 4 = 4h2 + 6h - 4= (x + h)2 + 3(x + h) - 4 = x2 + 2hx + h2 + 3x + 3h - 4 = x2 + (2h + 3)x + (h2 + 3h - 4)(g) f(x) + f(h)l _.-~-~~= 6= (2x)2 + 3(2x) - 4 = 4x2 + 6x - 4(f) f(x + h)y = (x)(b) f(2) = 22 + 3 . 2 - 4= (x2 + 3x - 4) + (h2 + 3h - 4) = x2 + 3x + (h2 + 3h - 8)Compare los clculos del inciso (f) y (g) del ejemplo 1. En el inciso (f) se realiza el clculo de f(x + h), que es el valor de la funcin para la suma de x y h. En el inciso (g), en donde se calculaf(x) + f(h), se obtiene la suma de los dos valores de la funcinf(x) y f(h). En el captulo 2 se requerir calcular cocientes de la forma f(x + h) - f(x) hh ~ Ofi + " - f(,FIGURA 3Este cociente se presenta como la pendiente de la recta que pasa por los puntos (x, f(x)) y (x + h, f(x + h de la grfica de la funcin definida por y = f(x). Consulte la figura 3. En caso de que al efectuar el clculo aparezca en el numerador la diferencia de dos radicales, se racionaliza el numerador como en el inciso (b) del ejemplo siguiente ....EJEMPL02Determine(x + h) - (x) h donde h ~ O, si (a)f(x)=4x2 - Sx+7; (b)f(x)= Ji.Solucin (a) (x + h) - (x) h4(x + h)2 - S(x + h) + 7 - (4x2 - Sx + 7)h 4x2 + 8hx + 4h2 - Sx - Sh + 7 - 4x2 + Sx - 7 h 8hx - Sh + 4f2 h =8x-S+4h 30. 6CAPTULO1 FUNCIONES,MmS y CONTINUIDAD (b) f(x+ h) - f(x) h-!X+h - ji h(rx+h - ji)(-!X+h + ji) h(-!X+h + ji) (x + h) - x h(-!X+h + ji) hh(-!X+h + ji) 1 En el segundo paso del inciso (b) de esta solucin, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del numerador para racionalizar el numerador, de donde se obtiene un factor comn de h en el numerador y en el denominador. ~FIGURA 4 yEl concepto de funcin como un conjunto de pares ordenados permite enunciar la siguiente definicin de grfica de una funcin. xo1.1.2 Definidn de grfica de una fundn Sifes una funciD.entonces la gnfica defes elcoDjunto de lodos los puntos (x, y) dofpllino R2 para los cuales (l; y) es un par ordenado de!(x) = ~FIGURAS yDe esta definicin, se deduce que la grfica de una funcinf es la misma que la grfica de la ecuacin y = f(x). La grfica de la funcin del ejemplo ilustrativo l es la parbola dibujada en la figura 4. La grfica de la funcinf de los ejemplos ilustrativos 2 y 4 Y dibujada en la figura 5 es la mitad superior de la parbola. La grfica de la funcin g de los ejemplos ilustrativos 3 y 5 est dibujada en la figura 6; est grfica es la mitad superior de una hiprbola. Recuerde que en una funcin existe un solo valor de la variable dependiente para cada valor de la variable independiente del dominio de la funcin. En trminos geomtricos, esto significa que:g(x)=~FIGURA 6Unuutavertical inlersecta la grfica.de una funein a lo mis en unpnto.y x = aObserve que en las figuras 4, 5 y 6, cualquier recta vertical intersectar a cada grfica cuanto ms en un punto.-'_5+-+--+-+-+-AiO,--t---++-t--t-+-+x[>-5FIGURA 7EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 I .xl + y2 = 25], cuya grfica es laConsidere el conjunto circunferencia, de radio 5 y centro en el origen, dibujada en la figura 7. Este conjunto de pares ordenados no es una funcin porque para cualquier x en el intervalo (-5, 5), dos pares ordenados diferentes tienen a x como primer nmero. Por ejemplo, (3, 4) Y (3, -4) son dos pares ordenados del conjunto dado. Adems, observe que cualquier recta vertical cuya ecuacin sea x = a, donde -5 < a < 5, intersecta a la circunferencia en dos puntos. ~ {(x, y) 31. 1.1~EJEMPL03FUNCIONES Y SUS GRFICAS7Determine el dominio de la funcin g definida porg(x) = 'x(x - 2) Apoye la respuesta trazando la grfica en la graficadora.Solucin Como' x(x - 2) no es un nmero real cuando X(X -2) < O, el dominio de la funcin g consta de los valores de x para los cuales x(x - 2) ~ O. Esta desigualdad se satisface cuando se tiene alguno de los dos casos siguientes: x ~ O y x - 2 ~ O;o si x :s;; O y x - 2 :s;; O. Caso 1: x ~ O y x - 2 ~O. sto es, Ey x~2x~OAmbas desigualdades se cumplen si x ~ 2, lo cual equivale a que x est en el intervalo [2, + 00). Caso 2: x :s;; O y x - 2 :s;; O. Esto es,Las dos desigualdades se cumplen si x :s;; O, lo cual equivale a que x pertenezca al intervalo (-00, O]. Las soluciones de estos dos casos se combinan para obtener el dominio deg, el cual es (-00, O] U [2, +00). La grfica de g se muestra en la figura 8. Esta grfica desciende desde la izquierda hasta x = O, asciende hacia la derecha a partir de x = 2, y no contiene puntos cuando x est en el intervalo abierto (O, 2). Por tanto, la grfica apoya la respuesta. [-7.5, 7.5) por [-l, 9] g(x);~x(x- 2)FIGURASComo se vio, el dominio de una funcin diante la definicin de la funcin. Con frecuencia minio a partir de la grfica de la funcin, como en que se trata una funcin definida a trozos, la cual de una expresin.puede determinarse mese determina el contradoel ejemplo siguiente en el se define empleando msy~EJEMPLO4X5-lf(x)......=2x+Seaf la funcin definida por six O tal que la proposicin (2) se cumpla, se establece que el lmite de f(x) conforme x tiende o se aproxima al, es igual a 5, o expresado con smbolosIx - Iooo;-Ix -Ix - I/:SO O existe un > O tal queosiOEJEMPLO ILUSTRATIVO 3Sea h la funcin definida porh(x) '" 2x + 3 La grfica de h consta de todos los puntos de la recta y = 2x + 3, mostrada en la figura 10. Otra vez, excepto en x = 1, se tiene una funcin con los mismos valores de la funcinf, definida por la ecuacin (1), as como de la funcin g del ejemplo ilustrativo 2. De este modo, se puede aplicar una vez, ms el mismo argumento y concluir que para cualquier e > O existe ud O tal queo>si xOEn consecuencia, siO < 1 - 1401 < 0.875 entonces xIf(x)- 80 1 < 0.5Conclusin: Para que el gas ocupe un volumen entre 79.5 y 80.5 m3 su temperatura debe estar entre 139.125 y 140.875. .......EJEMPLO 6 La cubierta circular de una mesa tiene un rea que difiere de 225n pulg- en menos de 4 pulg-, Cul es la medida aproximada del radio? 60. '36CAPTULO 1 FUNCIONES, MITES y CONTINUIDAD$olucin Observe la figura 15. Si la longitud del radio de la cubierta de la mesa es de r pulgadas y A(r) pulgadas cuadradas es el rea de la cubierta, entonces A(r) = nr? A(r) = fU2FIGURA 15El rea es 225n pulg2 cuando el radio mide 15 pulg. Se desea determinar qu tan cerca debe estar r de 15, de modo que A(r) no est a ms de'4 unidades de 225n. Esto es, si f = 4, se desea determinar una O > O, tal quesi O1r - 151 O, tal quesi O < Ix - al EJEMPLO ILUSTRATIVO 2Del teorema 2 de lmites,Im 7 = 7x->5y del teorema 3 de lmites, Imx=-6x-+-61.5.5 Teorema 4 de l mitesy de la diferencia de Si Um ft.x) X~g;;: LYLmite de la suma dos funciones11m g(x} == M. entonces~~a11m [J(t) g(x)J "" L Mx-4e'I.hAa... 'Voi~I)La demostracin del teorema 4 de lmites se presenta en el suplemento de esta seccin. En el enunciado del teorema, el hecho de que lm !(x) = L y x-MIm g(x) = M indica que los lmites existen. En otras palabras, no se puede X->Qdecir simplemente que el lmite de la suma de dos funciones es la suma de sus lmites, se debe agregar la condicin de la existencia de los lmites: si los limites- existen. Consulte el ejercicio 44 de la seccin 1.6 y el ,ejercicio 50 de la seccin 1.7. El teorema siguiente de lmites es una extensin del teorema 4 de lmites para cualquier nmero finito de funciones. Se le pedir que proporcione la demostracin mediante induccin matemtica en el ejercicio suplementario 10. 1.5.6 Teorema 5 de lmitesLim ite de la sumay de la diferencia de n funciones S IDl f{xr %~a,=Km [f1(X) ,;(~QLI'11m fi(.~)'" L;,..., y 'lm fn(x) "=. Lit>entonces~~Q f2(X) . ... , f,,(x)} ==X~aLI L" ... 'L"El lmite del producto de dos funciones se tiene mediante el teorema siguiente de lmites. Otra vez, observe que el teorema establece que el lmiteI 66. 42CAPTULO 1FUNCIONES, LMITES y CONnNUIDAD/WfJ,t~del producto de dos funciones es el producto de sus lmites si los lmites existen. Para la demostracin, refirase al suplemento de esta seccin.1.5.7 Teorema 6 de lmite!! de dos funcionesSi lm f(x) ~a'" L Ylm,r.... almite del productog{x) = M, entonceslim. [f(x) . g(x)] '" L . M ..f...o...f;l1>EJEMPLO ILUSTRATIVO 3lim x x~4Del teorema 3 de lmites. 4. Y del teorema l de lmites. lm (2x + 1) = 9. As, por el teore-=x~4ma 6 de lmites lm [x(2x + 1)] = lmx'lm(2xx~4x--Jo4x-+4+ 1)49 36 El teorema 6 de lmites tambin puede extenderse a un nmero finito de funciones mediante la aplicacin de la induccin matemtica. como se le pedir que lo haga en el ejercicio suplementario 13.1.5.8 Teoremo 7 de limites de n funciones Si xllm (i) '" ...... (I.L" :J"':"(l. f2(X) Iim,lm [fj(xM(i)._x-ta=lmite del productoI",." ... ,y ;r...,....J~(x) "" tll' cnlOlKles 11m.fn(x)] = LIJ']...L"1.5.9 Teorema 8 de lmites lim ite de la n-sima potencia de una funcin Si 'IIm/(x) '" ~'""'iQl:y n.eoscualquier nmero entero positivo. entoncesUm [f(x)]n .&" ....'" i,n4La demostracin es inmediata a partir del teorema 7 de lmites, tomando fJ(X),f2(X), ... ,fn(x) todas iguales af(x) y L, [Z, ... , L; todos iguales aL.1>EJEMPLO ILUSTRATIVO 4Del teorema1 de lmites,lm (5x + 7) = -3. Por tanto, del teorema 8x-Jo-2lm (5x + 7)4 x-Jo-2[ }~~2 (5x+ 7)r(_3)4 81 El siguiente teorema de lmites trata acerca del lmite del cociente de dos funciones, y no slo se requiere la existencia de los lmites, sino que tambin se pide que el lmite de la funcin del denominador sea diferente de cero. 67. 1.5 DEFINICiN DE Mm DE UNA FUNCI6N y TEOREMAS DE LMITES1.5.1 O Teorema 9 de Imtes de dos funciones=" _Si lim f(x) .I...fllL y 1Jm g(,t) .t-:-+Q.Lm ite del cociente= -Mi entonces .,,;:Llfm !(x) ........g(z)43siM ~'O-uLa demostracin de este teorema se presenta en la seccin 1.9.[>EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 Del teorema 3 de lmites, lmx = 4, Y del teorema 1 de lmites, lm (-7x + 1) = -27,Por tanto, del x....;4.%~4teorema 9 de lmites, lm x x-->4 lm(-7x + 1) x-->4 4lm __ x_ x-->4-7x+l-27=_-.271.S.11 Teorema 10 de lm i'es n-simc de una funcinlm/(x) = L. entonces. Si 11 es lJn:nmero entero p:lsiliv.y -Lm,te de la razX~Qfm ~J(x)..I ..... ~'==rifLI,_ cOO~ !,t'stri~i!1 de q~e si n es par. L> 0..La demostracin de este teorema tambin se proporciona en la seccin 1.9.[>EJEMPLO ILUSTRATIVO 6Del ejemplo ilustrativo 5 ydel teorema 10 de lmites, lm ~ x x-->4 -7x + 1 -3 lm __x-->4-7xx_+1Ahora se establecern dos teoremas, los cuales son casos especiales de los teoremas 9 y 10 de lmites, respectivamente. Cada uno de estos teoremas se utiliza en la seccin 1.9 para la demostracin de los teoremas de lmites correspondientes.1.5.12 Teorema Si a es cualquier numero real difereplc de cero, entonces I~(.l~' ~'. IJim1.",!, ~--i"X-. a 68. 44CAPTULO'FUNCIONES, MITIS y CONTINUIDAD1.S.13 Teorema Si a :> O't11es un otinfero entero positivo, o si a ,s; O y n es un u-mero .entero impar. entonces Ihn'.x=, !{RiJI:'-+',g'Las demostraciones de los teoremas 1.5.12 y 1.5.13 se presentan en el suplemento de esta seccin. En los ejemplos siguientes se aplicarn los teoremas anteriores para calcular lmites. A fin de indicar qu teorema se ha aplicado se escribir la abreviacin "T.n L.", donde n representa el nmero del teorema; por ejemplo, "T.2 L." se refiere al teorema 2 de lmites.EJEMPLO 2~lm (x2 + 7x - 5), y cuando sea apro-Calcule' ....3piado, indique los teoremas de lmites que se aplicaron.Solucin lm(x2 + 7x - 5)lm x2 + lm 7x -..... 3x~3x~3lm x : lm x + lm 7x~3x-+3+33(T. 5 L.)lm 5x~3lm x -lm 5.%-+3x-+3(T.6L.)x-+3(T. 3 L. YT.2 L.)73-59 + 21 - 5 25 Es importante que se de cuenta de que el lmite del ejemplo 2 se evalu mediante la aplicacin directa de los teoremas de lmites. Observe que para la funcinf del ejemplo no slo el lmf(x) es igual a 25, sino que tambinf(3) ..... 3es igual a 25. Pero recuerde, lmf(x) y f(a) no siempre son iguales. ' ....3Determine el siguiente lmite y, cuando sea aproEJEMPLQ,3 piado, indique los 'teoremas de lmites que se aplicaron: lm..... 2Solucin lm ..... 2x3 + 2x + :3 x2 + 5=/lm x3 + 2x + 3 x2 + 5(T. 10 L.)"V ..... 2Im (x3 + 2x + 3) x-->2Im (x2 ..... 2(T. 9 L.)+ 5)lm x3 + lm 2x + lm 3_.%+2 -x-+2.%-+2(T. 5 L.)lm x2 + lm 5~x-+2x-+2(lm x)3 + lm 2 . Im x + lm 3 x-+2x-+2.%-+2(Im x)? + lm5 x-+2x-+2(T.6L. y T. 8 L.)x-+2(T. 3 L. y T. 2 L.) 69. 1.5DEFINICI6N DE Mm DE UNA FUNCIN Y TEOREMAS DE MITES....EJEMPLO 445Seaf(x) = x2 - 25x - 5 (a) Utilice una calculadora para determinar y tabular los valores de f(x) cuando x toma los valores 4, 4.5, 4.9, 4.99, 4.999 Y cuando x es igual a 6, 5.5, 5.1,5.01,5.001. A qu valor parece que se aproximaf(x) conforme x tiende a 5? (b) Confirme la respuesta del inciso (a) analfticamente mediante el clculo del lm f(x). ' .... 5SolucinTabla} x(x) = x2 - 25.r - 5 9 9.5 9.9 9.99 9.99944.5 4.9 4.99 4.999(a) Las tablas 1 y 2 muestran los valores de f(x) para los valores indicados de x. Observando estas tablas, parece quef(x) se aproxima a 10 conforme x tiende a 5. (b) En este caso, se tiene una situacin diferente a las de los ejemplos anteriores. No puede aplicarse el teorema 9 de lmites al cociente x2 - 25 dex - 5 bido a que 11m (x - 5) = O. Sin embargo, al factorizar el numerador se obtiene .r .... 5Tabla 2 x5.5 5.1 5.01 5.001x2 - 25 (x)=~=X2 - 25 x - 5(x - 5)(x + 5) x-5Si x "# 5, entonces el numerador y el denominador pueden dividirse entre x - 5 para obtener x + 5. Recuerde que cuando se calcula el lmite de una funcin conforme x se aproxima a 5, se consideran los valores de x cercanos a 5, pero sin tomar este valor. Por tanto, es posible dividir el numerador y el denominador entre x - 5. La solucin se expresa en la siguiente forma.11 10.5 10.1 10.01 10.001x2 - 25 lm---, .... 5 x - 5"lm (x - 5)(x + 5) , .... 5X -5lm (x + 5), .... 510....EJEMPLO 5 g(x) =(T. 1 L.)Considere-.JX - 2 x-4(a) Utilice una calculadora para determinar y tabular los valores de g(x) cuando x toma los valores 3, 3.5, 3.9, 3.99, 3.999 y cuando x es igual a 5, 4.5, 4.1, 4.01, 4.001. A qu valor parece que se aproxima g(x) conforme x tiende a 4? (b) Apoye la respuesta del inciso (a) trazando la grfica de g en un rectngulo de inspeccin conveniente. 70. 46CAPTULO 1 FUNCIONES, MITIS y CONTINUIDAD (e) Confirme la respuesta del inciso (a) analticamente mediante el clculo del lm g(x) y, cuando sea apropiado, indique los teoremas que se aplicaron. x--+4Solucin Tabla3 x3.5 3.9 3.99 3.999g(x) ={X - 2 x - 40.2679 0.2583 0.2516 0.2502 0.2500=Tabla4 x4.5 4.1 . 4.01 4.001(a) Las tablas 3 y 4 muestran los valores de g(x) para los valores especificados de x. Observando estas tablas, parece que g(x) se aproxima a 0.2500 conforme x tiende a 4. (b) La figura 4 muestra la grfica de g trazada en el rectngulo de inspeccin de [1, 5.7] por [O, 1]. La grfica tiene un agujero en el punto (4, 0.25). Utilizando el rastreo (trace) de la graficadora, se observa que g(x) se aproxima a 0.25 conforme x tiende a 4, lo cual apoya la respuesta del inciso (a). (e) Como en el ejemplo 4, no se puede aplicar el teorema 9 de lmites al co-g(x) ={X - 2 x - 4ciente .,Jx - 2 debido a que lm (x - 4) O. Para simplificar el cocienx - 4 x--+4 te se racionaliza el numerador multiplicando tanto el numerador como el denominador por.,Jx + 2. (.,Jx - 2)(,Jx + 2) . (x - 4)( .,Jx + 2) x-4 (x - 4)( .,Jx + 2)0.2361 0.2426 0.2485 0.2498 0.2500Puesto que se est evaluando ellfmite conforme x tiende a 4, se consideran slo los valores de x cercanos a 4 sin tomar este valor. En consecuencia, se pueden dividir el numerador y el denominador entre x - 4, Por tanto .,Jx-2--x=:-4 =1 .,Jx + 2s x e 4La solucin se expresa como sigue: lm .,Jx - 2 X 4x--+4lm[1,5.71 por [O,11 g(x) =lm -'-( .,Jx:...:_x;__-:==2"",)("".,Jx,;;.x_+-::=-2 ) (x - 4)( .,Jx + 2)x--+4x - 4(xlm{X - 2+ 2)1 .,Jx + 2)x--+4-x-4 4)( .,Jxx--+4lm 1FIGURA 4x--+4lm(.,Jx + 2)(T.9L.)x--+4lm .,Jx + lm 2.1'-+4~+2 ";::;4 .. 1.J4 +(T. 2 L.) Y (T. 4 L.)x-+42(T. 10 L.) y (T. 2 L.)(T. 3 L.)1 4 De vez en cuando se necesitarn otros dos enunciados de lmites que son equivalentes a lmf(x)x--+a=L 71. 1.5 DEFINICIN DE MITE DE UNA FUNCIN Y TEOREMAS DE MmS47Estos enunciados se presentan en los dos teoremas siguientes, cuyas demostraciones se le pedirn en los ejercicios 63 y 64. 1.50.14 TeoremaUmf(x) :; L si y 661a S'"".,..,a-1im [J{,l)-Ll :; O..l:'-IQ1.5.15 Teoremalmf{x} = L si y slo siLa:) ':;1fmJ{i 0X""""'I!!I' ....El teorema siguiente establece que una funcin no puede aproximarse a dos lmites diferentes simultneamente. Este teorema recibe el nombre de teorema de unicidad, debido a que garantiza que si el lmite de una funcin existe, entonces es nico. 1.5.16 Teorema Si ImJ(x} .......g= LI ylun/(;.:):;:1'4.4LentoJ1ceS ..= l.,z.Debido a este teorema se puede establecer que si una funcin f tiene un lmite L en el nmero a, entonces L es el lmite de f en a. La demostracin del teorema se proporcionaen el suplementode esta seccin.EJERCICIOS 1.5 En los ejercicios 1 a JO, demuestre, aplicando 1.5.1, que el lmite es el nmero indicado.l.Im 7 x-+23.=2. lm (-4) = -47x-+5lm(2x + 1)=94.x-+45.lm(7 - 3x) = -2 lm (1 + 3x)x--+-29.lmx--+-I=x2 - 1 X+T =6.Im (2x + 7) ..t'~-4-S8.= 7 = -1 2x) = 11lm(4x + 3) x-+Ix-+J7.la definicinlim (7 -x--+-210. lm x2 - 9 x-+3 X - 3-2=6En los ejercicios 11 a 24, determine el lmite y, cuando sea apropiado, indique los teoremas de lmites que se aplicaron.11. 13.im (3x x-+5 lm (xl15.12.+ 2x - 1)14. lim(2x2 - 4x + 5)1"-+-4Im O, sin importar qu tan pequea sea, existe una 6> Otal que si O a. Al calcular, a partir de la definicin, el lmite de ~,conforme x tiende a 4 por la derecha, se tiene lm~=Ox-+4+Si, cuando se considera el lmite de una funcin, la variable independiente x se restringe a nmeros menores que a, se dice que x se aproxima a a por la izquierda. Este lmite recibe el nombre de lmite por la izquierda (o lmite lateral izquierdo).1.6.2 Definicin de l mite por la jzquierda Sea/una funcin definida en cada nmero del intervalo abierto (d, a). Entonces, .ellnUe de/(x), conforme x tiende a a por la Izquierda. es L, lo que se denota por lm f(x)'::: L .x-tD-si para cualquieri> 0, sin importar qu tan pequefla sea, existe UDa:? O tal quesi O < a ... x a Los teoremas 1 a 10 de lmites estudiados en la seccin 1.5 siguen siendo vlidos si "x -7 aH se sustituye por "x -7 a+" o "x -7 a-H. y[>EJEMPLO ILUSTRATIVOfica de la funcin signo definida medianteo-Isgnx =-1-1 sgn x; ~ {x < O x = O O EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 En el ejemplo 2 de la seccin 1.3 se tuvo la siguiente funcin en la que C(x) dlares es el costo total de un pedido de x libras de un producto: C(x)=si O ::;; x ::;; si 10 < x{2x 1.SxLa grfica de C se muestraen la figura 2. Observeel rompimientode la grfica en x = 10. A continuacin se examinar el lm C(x). Como la definicin X---Jo10de C(x) cuando x < 10 es diferente de la definicin cuando x > 10, debe distinguirse entre el lmite por la izquierda en 10 y el lmite por la derecha en 10. Al calcular estos lmites se obtiene Im C(x)x---JolOC(x) ={2x l.&xX---JoJO-si O :S x :S 10 si 10 < xFIGURA 2Iim=2xlm C(x).l---JoIO+=20lrn 1.Sx x---JolO+IS IPuesto que Im C(x) x-eHl'"-:Flm C(x), se concluye, por el teorema 1.6.3, quex---JolO+lm C(x) no existe. En la seccin I.S, se considerar otra vez esta funcin como un ejemplo de una funcin discontinua. .... x---JoIOEJEMPLO J y(8)Sea g la funcin definida porsi x -:F O si x = O Dibuje la grfica de g. (b) Determine lm g(x) si existe. x .... o4Solucin (8) La grfica de g se muestra en la figura 3. Observe que la grfica se rompe(b)en el origen. lm g(x) X---Joo-lm (-x)X---Joo-Im g(x)X---Joo+Olm x+X---JooOsi x ,. O si x = OComo lm g(x) = X---Joo-FIGURA 3lm g(x), se concluye, por el teorema 1.6.3, queX---Joo+lm g(x) existe y es igual a O. Observe que g(O)x~o~~~.x .... o2, lo cual no afecta....- 76. 52CAPTULO 1 FUNCIONES, MITES y CONTINUIDAD...yEJEMPL02Sea h la funcin definida por4 - x2 h(x) = { 2 2 + xsi x ::;;l si 1 < x(a) Dibuje la grfica de h. (b) Determine, si existen, cada uno de los siguientes lmites: lm h(x); lm h(x); lmh(x). x-+I-%-+1+x-+lSolucin (a) La grfica de h se muestra en la figura 4. (b) lm h(x) lm (4 - x2) lm h(x) x-+l-x-+I-lm (2 + x2)x-+I+x-+I +3= 3 x 4 -Comolm h(x)lm h(x) y ambos son iguales a 3, se concluye, porx-+l-x-+l+el teorema 1.6.3, que lm h(x) = 3. X2h(x) = { 2 2 +x~,->1six ~ 1 si 1 < xf...FIGURA 4EJEMPLO 3 f(x)=-Sea fla funcin definida porIx - 31x - 3(a) Trace la grfica defy a partirde la grfica haga una conjetura acerca de lm f(x). (b) Confirme analticamente la conjetura del inciso (a). x->3Solucin (a) La figura 5 muestra la grfica de f trazada en el rectngulo de inspeccin de [-1, 8.4] por [-2, 2]. Debido a que la grfica se rompe en el punto donde x = 3, se sospecha que lm f(x) no existe. (b) Como ,->3 1x _ 31 = {x - 3 3 - X" [-1, 8.4] por [-2, 2] (x) =s~ x ~ 3 entonces SI X < 3Ix - 31 x - 3= {l si x ~ 3 -1 si x < 3Al calcular los lmites laterales se obtieneIx - 31 x - 3lm f(x) =, lm Ix - 31 ,->3-,->3-FIGURASX-lm f(x)3=x-+3+lm Ix - 31 x - 3x-+3+= lm (-1)lm lx-+3-x-+3+=';_I Comolm f(x)x-+3-~lm f(x),x-+3+se ha confirmadoanalticamentelm f(x) no existe.que ~x->3...EJEMPL04 Xf(x)+ 5Seaf la funcinsi x< -3.J"97= {si -3 ::;;x ::;;33-xdefinida porsi30si x ::;; -3-x;si. x{ -1 l=Seaf(x)x .l-+-3no existe, y que lm If(x)x-+o34.~(a)33.xlm g(x); (b) Im g(x); (e) lm g(x) X-+O+(e)4-x_,4Sea h(x) = (x - 1) sgn x. Dibuje la grfica de h. Si existen.determine: (a) lm h(x); (b) lm h(x); (e) lm h(x). x .....o+ r ..... Ox"'" o 28. Sea G(x) = UxD + [4 - xD. Dibuje la grfica de G. Si existen, dete~ine: (a) lm G(x); (b) lm G(x); (e) lmG(x). x_J+ ,_, J-27.2----:::o+---i---i---t--i---i--+ x 2 4x->J29. Dadaf(x)3X+2 = { 5x + kSiX1(e) Obtenga una frmula paraf(x) . g(x).(d) Demuestre que lm [f(x) . g(x)] existe probando que ' .... 1lm [f(x) . g(x)].1:-+1-44. Seanf43. Seanfy g las funcionesdefinidas como={xl ++ I3 x=lm [f(x) . g(x)] ... -+1+y g las funciones definidas como {x + lx - 1si x < l si l :;;; xI- x g(x) = { 1 + xsi x < 1 si l :;;; xf(x)=(a)Muestre que lmf(x) y lm g(x) no existen.(b) (e)Defina la funcinf + g. Demuestre que lm [f(x) + g(x)] existe...1;-+1x-+l,-+1(d) De los resultadosde los incisos (a) y (e) se tiene lm[f(x)x-+t+ g(x)]"#lmf(x)x-+1+ lmg(x). .(-+1Contradice este hecho al teorema 4 de lmites (1.5.5)? Por qu? 45 Sin utilizar las palabras lmite o se aproxima y sin emplear smbolos tales como ( y 5. exprese en palabras lo que significa cada uno de los siguientes simbolismos: (a) lm f(x) = L; (b) Im f(x) = L..(-+60+f(x)existen pero no sonx-+I+x-el "x-+60-Im G(x)...r-+I+(b) Muestre que lm g(x) y lm g(x) existen pero no sonx-+I)-42. En el inciso (a) del ejercicio 8 de la seccin 1.3, se le pidi que encontrase un modelo matemtico que expresara el precio de admisin al Coast Cinema como una funcin de la edad de la persona. Si G es esa funcin y x es la variable independiente, determine cada uno de los siguientes lmites: (a) Im G(x); (b) lm G(x); (e) lm G(x);-e t "iguales, yen consecuencia. Umf(x) no existe.(g) lm F(x).41. En el inciso (a) del ejercicio 7 de la seccin 1.3. se le pidi que encontrase un modelo matemtico que expresara el costo de una llamada telefnica. que no dure ms de 5 minode Mendocino a San Francisco como una funcin de su duracin. Si g es esa funcin y x es la variable independiente, determine cada uno de los siguientes lmites: (a) lim g(x); (b) lm g(x); (e) Im g(x); (d) Im g(x).si x :;;; si 1 < xg(x) = {;,-Im F(x); (e) lm F(x);55si x :;;;1 si I < xx-+a-.(-+a+1.7 LIMITES INFINITOS En esta seccin, se estudian las funciones cuyos valores crecen o decrecen sin lmite conforme la variable independientese acerca cada vez ms a un n-mero fijo. Para iniciar, considere la funcin definida por (x)[-2. 2) por [O. 100](xl = ..l.. ,2FIGURA 1=32" xEl dominio de es el conjunto de todos los nmeros reales excepto O, mientras que su contradominio es el conjunto de todos los nmeros reales positivos. La figura 1 muestra la grfica de j'trazada en el rectngulo de inspeccin de [-2, 2] por [O, 100]. Observe que conforme las coordenadas x de los puntos de la grfica se aproximan a O, por la derecha o por la izquierda, las coordenadas y, o (x), crecen. A continuacin se calcularn algunos valores de la funcin cuando x tiende a O. Aproxime x a O por la derecha, es decir, considere los siguientes valores de x: 1, 0.5, 0.25, O.), 0.01, 0.00), y determine los valores correspondientes de (x), los cuales se muestran en la 80. 56CAPTULO 1 FUNCIONES, MITES y CONnNUIDADTabla 1 xfix)=x32Q50.25 0.1 0.01 0.0011248 300 30000 3000000la tabla l. Observeen esta tabla quef(x) crece conformex se aproximacada vez ms a O, a travs de valoresmayores que O. En realidad, se puedehacerf(x) tan grande como se desee para todos los valores de x suficientementecercanos a O y mayores que O. Debido a este hecho, se dice quef(x) crece sin lmite conforme x tiende a O mediante valores mayores que O, lo cual se escribe como , 3 1im 2.e-e+X:o +00Ahora aproxime x a O por la izquierda; en particular, considere para x los valores -1, -0.5, -0.25, -0.1, -0.01 y -0.001. Debido a la simetra con respecto al eje y, los valores de la funcin son los mismos que los correspondientes a los valores positivos de x. As, otra vez, f(x) crece sin lmite conforme x tiende a O a travs de valores menores que O, lo cual se expresa comoPor tanto, conforme x se aproxima a O por la derecha o por la izquierda,f(x) crece sin lmite, lo que se expresa en smbolos como ylm ~ .t--+Oo: +00XA partir de la informacinanterior, se obtiene la grfica de f, mostrada en la figura 2, la cual, por supuesto, corresponde a la grfica trazada en la figura 1.Observe que las dos "ramas" de la curva se acercan cada vez ms al eje y conforme x se aproxima a O. Para esta grfica, el eje y es una asntota vertical, la cual se definir posteriormenteen esta seccin.1.7.1 Definie in de valore s de funcin que crecen FIGURA 2sin limiteSeafuna funct6n definid,a.en carla nmero de algn Intervalo abierto I que contiene a,a, excepto po.siblemente .en a mismo. Conforme x se aproxima a a,!{x) crece sin llmJte, lo ~uaJse escribe COIl1Q lim f(x) :I'"'~li!=+00si para cualquier nmero Nsi O O existe 0-,> '0 tal queentonces f(~> > NEsta definicin tambin puede establecerse en otra forma como sigue: "Los valores de funcinf(x) crecen sin lmite conforme x tiende a un nmero a si f(x) puede hacerse tan grande como se desee (esto es, mayor que cualquier nmero positivo N) para todos los valores de x suficientemente cercanos a a, pero sin considerar a a, mismo. Se insiste una vez ms, como se hizo cuando se analiza la notacin de intervalos en la seccin A-I del apndice, que + 00 no es un smbolo para representar un nmero real; en consecuencia, cuando se escribe lm f(x) o: +00, no tiene el mismo significado que lm f(x) o: L, donde L es nmero x-->a"'u~areal. La ecuacin (1) puede leerse como "el lmite de f(x) cuando x tiende a a es infinito positivo (o ms infinito)". En tal caso, el lmite no existe, pero el smbolo + 00 indica el comportamientode los valores de funcin f(x) conforme x se aproxima cada vez ms a a. 81. 1.7 LM1TES INFINITOS57De manera anloga, puede indicarse el comportamiento de una funcin cuyos valores decrecen sin ltmite. Para llegar a esto, considere la funcin g definida por la ecuacin -3g(x) = 2" xLa figura 3 muestra la grfica de esta funcin trazada en el rectngulo de inspeccin de [-2, 2) por [-100, O).Los valores de funcin dada por g(x) = -;, son los negativos de los valores proporcionados por f(x) = {. De x x modo que para la funcin g, conforme x se aproxima a O, por la derecha o por la izquierda, g(x) decrece sin lmite, lo que se escribe como Im -3 =[-2, 21 por [-100, DI-00x-tO x2 g(x) =.2 X21.7.2 Definicin de valores d e funcin que decrecen sin lmiteFIGURA 3Seafuna funcindefinida en cada.n6mero de algn intervalo abeno I D, excepto posiblemente en a mismo. Confonne x se aproldmJa a a,!(x) decrece sin lfinlt4;)o cual se escribe como que contiene a Iim f(x)(2),:=: -QQ.t>-f'(fsi para cualqllier nmero N si, O O, tal que entoncesf(x) O, existe o > O tal que si O < x - a < O, entonces f(x) > N y -00Definicionessemejantespuedendarsepara lm f(x) = +00, Im f(x) = x-+ax-+ a+ y lm f(x) = -oo. Se le pedir que escriba estas definiciones en el J:-+a-ejercicio 52. Ahora suponga que h es la funcin definida por la ecuacin h(x)= _1.:!_(3)x - ILa grfica de h se presenta en la figura 4, en esta figura tambin se muestra la recta x = I como una recta punteada (una asntota vertical de la grfica). Consulte las figuras l , 3 y 4, Yobserve la diferencia entre el comportamiento de la funcin de la figura 4 y las funciones de las otras dos figuras. Note que h(x) =2xImx - 1x-+I-FIGURA 4x-tl+2x x - 1lm _1.:!_x - I=-00(4)+00(5) 82. 58CAPTULO 1FUNCIONES,MITES y CONTINUIDAD Esto es, para la funcin definida por (3), conforme x se aproxima a 1 a travs de valores menores que 1, los valores de funcin decrecen sin lmite, mientras que cuando x se aproxima a I mediante valores mayores que 1, los valores de funcin crecen sin lmite. Antes de presentar algunos ejemplos, se necesitan dos teoremas de lmites que implican lmites "infinitos". -1.7.3 Teorema 11 de lmites Si r e~ cualquier nmero entero positivo, entonces (i)lim J_+00;...... xr o~si res impar(11)si Fes parDemostracin Se probar el inciso (i). La demostracin del inciso (ii) es anloga y se deja como ejercicio. (Vea el ejercicio suplementario 3). Se debe probar que para cualquier N > O existe 8 > O. tal que si Oentonces> Oyentonceso, de modo equivalente. como r si O O, 1 x < ( N )1/'.l> O,Nx' < 1El enunciado anterior se cumple si 8 si ONx'x'=(* .)1/' tanto, cuando 8 = Por>NEJEMPLO ILUSTRATIVO1A partir del teorema 11(i)de lmites lm _!_ =x-e+x3+00Y+00Del teorema 11(ii) de lmites, I 1un 3 =x-+o- X-00yEl teorema 12 de lmites, que a continuacin se presenta, implica el lmite de una funcin racional para la cual el lmite del denominador es cero y el lmite del numerador es una constante diferente de cero. Esta situacin se presenta en (4) y (5).1.7.4 Teorema 12 de lmites Si a es cuglquer nmero real y si llmf(x) ",-fa e es una constante diferenle de O, entonces= OY lim g(x) z---tQ:= e, donde 83. 1.7 LMITES INFINITOS59(i) si e > O Yf(x) -; O a travs de valores positivos de/(x). entonces . lrn g(x) = +00 ., .... a f(x)> O y f(x)(U) si eUro ~....o-; O.atravs de valores neglltivos def(x), entonces~(x) ""-00 (x)(lU) si e '" O y /1.%)-tlm g(x) =O a travS de valores positivos def(x), entonces -00x":'a f(x)(Iv) si e < OYN)-;Im g(x) '" [(x)aO travs de valores negativos de/ex), entonces +00~""QEl teorema tambin es vlido si se suStiroye"z -; o" por "x -+ "x -+ a~".0+" oLa demostracin del inciso (i) se presenta en el suplemento de esta seccin. Las demostraciones de los otros incisos se dejan como ejercicios. Consulte los ejercicios suplementarios 4 a 6). Cuando se aplica el teorema 12 de lmites, con frecuencia se obtiene alguna indicacin de si el resultado es +00 o -00, tomando valores adecuados de x prximos a a para determinar si el cociente es positivo o negativo, como se muestra en el ejemplo ilustrativo siguiente.C>EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 , 2x 1Im--.r .... l- XSe puede-x~l-que x -; tome x=1aplicarIm (x - 1)En (4) se tiene=el teorema12 de lmitesya quelm 2x = 2Yx--+I-O. Se desea determinar si el resultado es + 00 o - oo. Puesto1-, se toma un valor cercano a l pero menor que 1; por ejemplo, 0.9 y al calcular el cociente se obtiene2(0.9) = -18 0.9 - l El cociente negativo conduce a sospechar queEste resultado se obtiene a partir del inciso (ii) del teorema 12 de lmites, puesto que cuando x -; 1-, x - 1 se aproxima a O mediante valores negativos. Para ellmte de (5), como x -; 1+, se toma x = 1.1 y se calcula 2(1.1)= 221.1 - 1 Debido a que el cociente es positivo se sospecha que Im __E_ X - l.r .... l+=+ 00.J 84. 60CAPTULO 1 FUNCIONES, MmS y CONTINUIDADEste resultado se obtiene a partir del inciso (i) del teorema 12 de lmites, puesto que cuando x ~ 1+,X - 1 se aproxima a Opor medio de valores positivos." Cuando utilice el procedimientomostradoen el ejemplo ilustrativo2, tenga cuidado al elegir el valor de x, asegrese de que est suficientemente cerca de a al determinar el comportamiento verdadero del cociente. Por ejemplo, cuando se calcul el lm __l!__, el valor elegido de x no debe ser slo x->I- X - 1 menor que 1, sino que tambin debe ser mayor que O...EJEMPLO J F(x) =Seax2 + x + 2 x2 - 2x - 3Determine: (a) lm F(x); (b) lm F(x). (e) Apoye las respuestas de los incix~3+x----.3-sos (a) y (b) trazando la grfica de F.Solucin (a)lm x2 + x + 2 = lm x->3+x2 - 2x - 3x->3+x2 + x + 2 (x - 3)(x + 1)El lmite del numerador es 14, lo cual puede verificarse fcilmente. lm (x - 3)(x + 1) x---+3+lm (x - 3)x---+3+lm (x + 1)x---+3+04 OEl lmite del denominador es O, y el denominador se aproxima a O mediante valores positivos. Entonces, del teorema 12(i)de lmites, lm x2 + x + 2 x->3+(b)x2 '- 2x - 3lm x2 + x + 2 = lm ,...,3-x2 - 2x - 3x_,rx2 + x + 2 + 1)ex - 3)(xComo en el inciso (a), el lmite del numerador es 14. lm (x - 3)(x + 1)x-+3-lm (x - 3): lm (x + 1)x-+3-x-+3-04 O; ->3-2x + x +2 x2 - 2x' - 3FIGURAS=-00x2 - 2x - 3(e) La figura S muestra la grfica de F trazada en el rectngulo de inspeccin de [O, 9.4] por [-10, 10], la cual apoya las respuestas de los incisos (a) y~.. 85. 1.7 LMITESINFINITOSEJEMPLO 2~= ~f(x)Seanyx - 261.J"47 x - 2g(x) =Determine: (a) lim f(x); (b) lm g(x). Apoye cada respuesta trazando la grX-42+x-+2-fica de la funcin.Solucin 2+,x - 2>(a) Como x ~=Im ~ x-+2+2X -O; de modo que x - 2 = ~(x - 22.As lm .,)(x - 2)(x + 2) ~(x - 2)2x-+2+= Im~-fX+.2x-+2+~~= Im -)x + 2 x-+2+ ~El lmite del numerador es 2. El lmite del denominador es O, y el denominador se aproxima a O mediante valores positivos. En consecuencia, por el teorema 12(i) de lmites, t=s=>:lm-s x- -x-+2+X -q= +002La grfica de f trazada en el rectngulo de inspeccin de [2, 5) por [O, 10], y mostrada en la figura 6, apoya la respuesta. (b) Como x ~ 2-, x - 2 < O; de modo que x - 2 -~(2 - x)2. Por tanto,=Im x-+r.J"47 X -2-:= lm = lm x-+2--~[2, 5] por [O, 10](xl =~X2..J2+XEl lmite del numerador es 2. El lmite del denominador es O, y el denominador se aproxima a O mediante valores negativos. En consecuencia, por el teorema 12i) de lmites,4-~..J2+Xx-+2- -~~x - 2FIGURA 6 lmx-+2--J47 X -2=-00La figura 7 muestra la grfica de g trazada en el rectngulo de inspeccin de [O, 2] por [-10, O], la cual apoya la respuesta. ...~EJEMPLO 3Dadah(x) = [xII - 4x-4 [O, 2] por [-10, O] g(x) =~ _"4_- 2 -_ xx-FIGURA 7(a) Trace la grfica de h; y a partir de la grfica elabore un enunciado acerca del comportamiento aparente de h(x) conforme x se aproxima a 4 por medio de valores menores que 4. (b) Confirme el enunciado del inciso (a) analticamente determinando el lm h(x). x-+4- 86. 62CAPTULO 1 FUNCIONES, LMITESY CONTINUIDADSolucin (a) La figura 8 muestra la grfica de h trazada en el rectngulo de inspeccin de [3, 4] por [O, 30]. En la figura, parece que h(x) crece sin lmite conforme x se aproxima a 4 mediante valores menores que 4. (b) Como lm [x] = 3, se tiene que lm ([x] - 4) = -1. Adems, x~4-= O, ylm (x - 4)x~4-.t~4-x -4 se aproxima a O por medio de valores ne-gativos. En consecuencia, del teorema 12(iv) de lmites, [3, 4] por [O, 30] h(x) =[xlIm [[xli x .... 4-- 4x-4FIGURA 8- 4 4X -= +00Este resultado confirma el enunciado del inciso (a). Recuerde que como + 00 y - 00 no son smbolos para representar nmeros reales, los teoremas 1 a 10 de lmites de la seccin 1.5 no se cumplen para lmites "infinitos". Sin embargo, las propiedades concernientes a dichos lmites se presentan en los teoremas siguientes, cuyas demostraciones se dejan como ejercicios (consulte los ejercicios suplementarios 7 a 9).1.7.5 Teorema + 00 y Um g(x) '" e, donde e es cualquier cons.f~.::I tante, entonces Uro[f(x) + g(x)] = +00(1) Si llmf(x)~.{'.... .a.I"",*Q(il) Si Umf(x) ,..y lim g(x) ,.. e, donde e es cualquier eens--00.t-+~X'"=tDtante, entonces lfm. (f(x) + g(x)] =-00:J'-+aEstos teoremas tambin se cumplen si se sustituye "x ~ ''x1>-Joa+ o j,~x ~EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Im _1x .... 2+ X -2=+00YIm _1_+ 2.r .... 2+ Xse deduce del teorema 1.7.5(i)que i (1,"por,a,~'t;,i'Imx .... 2+=Como=[_1_ X -14 2+ __!_2] x +=+001.7.6 Teorema f)Si 11m/ex) ::;, +00 y Um g(x) .l':-+ddistinta de 0, entonceS"X'----+a=.e, donde, e es cualquier constante(1) si e > 0, llmf(x) , g(x) - +00; ~A-tfJ(H) si e Q'tu O1>"t ----+.cumplen si se sustituye "x ~ a" por'Sea-u.EJEMPLO ILUSTRADO 4 Im5x .... 3 (x - 3)2=+00yIm x + 4 = -7 x - 4.r .... 3... 87. 1.7 MITES INFINITOS 63 Por tanto, del teorema 1.7.6 (ii), lm[5 (x - 3)2, .... J.X+4]=_00 x - 41.7.7 Teorema,=SI Hmf(~) ,x:~,a'-00y ln g(i) "" e, donde e es cualquier constante x ......... tIdistinla de 0, entonces (1) si e > 0, Lm./(x) g(x) "" -00; X""o (H) si e < 0, limf(x) g(x) = +00. x-taBstos teoremas tambin se cumplen si se sustituye "x -+ ~~x---7 Q+'" o '''x ~ a... . "[>EJEMPLO ILUSTRATIVO 5Q"porEn el ejemplo 2(b) se mos-tr que lm~ X -x .... 2-=2-00Adems,= _4 -1lm x - 3 + 2' .... X 2-y x = aPor tanto, del teorema 1.7.7(ii), [.;-7hm.r .... 2-2X -3]x ._- x + 2+00Se pueden aplicar lmites infinitos para determinar las asntotas verticales de una grfica, si es que posee alguna. Consulte la figura 9 que muestra la grfica de la funcin definida por f(x)f(x)~__ 1_ (x - a)2FIGURA 91= ( x-a(6))2Cualquier recta paralela al eje x y por encima de ste intersectar esta grfica en dos puntos, un punto a la izq uierda del la recta x = a y el otro en el lado derecho de dicha recta. As, para cualquier k > O, no importa qu tan grande sea, la recta y = k intersectar a la grfica de f en dos puntos; la distancia de estos dos puntos a la recta x = a es cada vez ms pequea conforme k crece. Por esto, se dice que la recta x = a es una asntota vertical de la grfica de!1.7.8 Definicin de asntota vertical La rectax "" a es una asfn10ta verti.caI de la grfica de la funcinal menos uno de los siguientes enunciados es verdadero: (i)ln:J f(x) '::: +(>(1z ....a+.(ii)Um f(x) ~. - 00 lt..... + (lti) . lim (x) "" +0() :.'( 'c~ ....(Iv)Im A """:JI g-!{x) =-00-f$i 88. 64CAPTULO 1 FUNCIONES, LMITESY CONTlNUIDAD[>EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 Cada una de las figuras 10 a 13 muestra una porcin de la grfica de una funcin para la cual la recta x = a es una asntota vertical. En la figura 10 se aplica el inciso (i) de la definicin 1.7.8; en la figura 11, se aplica el inciso (ii); y en las figuras 12 y 13 se aplican los incisos (iii) y (iv), respectivamente.x = a11m I(x).r = a.r = aca,l~~. I(x)+00x~a+= -lm I(x) = -c.ee00}!.~_f(x) = -x-+u-FIGURA 11FIGURA 10.r = a00FIGURA 13FIGURA 12~ yPara la funcin definida 'por (6), los incisos (i) y (iii) de la definicin anterior son verdaderos. Vase la figura 9. S! g es la funcin definida por g(x)=entonces los incisos (ii) y (iv) son verdaderos, por lo que la recta x = a es una asntota veI1'iali4e la grfica de g. La figura 14 muestra esta situacin.....EJEMPIIQ.-4 f definida."(IJ)fDetermine la asntota vertical de la grfica de lafuncin g(x) ~1_ (x _ a)2f(x)3= --. x-3Apoye Ja respualta 1IrazarudIDJla grfica de f y la asntota en el mismo rectn-gulo de opecda.SolucinSe estud~aI1111los lmiteslm f(x) y Im f(x)X-io3+x-+3-porque en los dos casos, ei lnite de! denominador es cero. 1m _3_ x .... 3+ X [-1, 8.4J por [-!O, IOJI(x) ~ _3_ x-3FIGURA 153=+000lb ._3_ 3, ....3- X -=-00De I.a ddiBi,in 1.7.8 'Se coacluye que la recta x = 3 es una asntota vertical de la grifica de f. La grfica de f y de la recta x = 3 trazadas en el rectngulo de inspeccin de [-1, 8.4] por [-lO, 10], mostradas en la figura 15, apoyan la respuesta. .~ 89. 1.7 LMITESINFINITOS65EJERCICIOS 1.7 En los ejercicios 1 a 12, haga lo siguiente: (a) utilice una calculadora para determinar y tabular los valores de f(x) para los valores de x indicados, y a partir de estos valores elabore un enunciado concerniente al comportamiento aparente de f(x). (b) Apoye la respuesta del inciso (a) trazando la grfica de f (e) Confirme la respuesta del inciso (a) analiticamente calculando el lmite indicado.=l.f(x)_1_;x - 5x es 6,5.5, 5.1, 5.01, 5.001, 5.0001;4x2 = 9 _ x2 ; x es 4,3.5,3.1,3.01,3.001,12. f(x)lm~ x--+3+9 -x2En los ejercicios 13 a 32, determine el lfmite analticamente y apoye la respuesta trazando la grfica de la funcin en la graficadora.13. lm _!___l_14. Im~4[2 -1--+2+1->2-lm_l_ x-+s+2. f(x)x-S=15. 1m _!___l_ 4.9999;x-+s-3. f(x)X -=Xes 6, 5.5, 5.1, 5.01, 5.001, 5.0001 Yxes 4, 4.5, 4.9, 4.99, 4.999, 4.9999; lm __ 1_2 H54. f(x)=.1'--+3+{--loOx.1:--+0+x + 2; x es O, 0.5, 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999; 1- x1- x20. Imx - 3.1"--+4-(1. - _!_)21. lm(x - 5)lmx + 2 x-+l-19. I'~ lm---S -s2=25.es 2,1.5, 1.1, 1.01, 1.001, 1.0001; lm ~ HI7. f(x)=-32. lmx-~2x,->.,+x - l _ x2 - 1:r-t2-x - 2 2 - ~4x- X233. Sea X2 +X -6x2 - 6x + 8(a) Trace la grfica tle f en el rectngulo de inspeccin de x es -5, -4.5,-4.1, -4.01, -4,001,x es 5,4.5,4.01,4.001,[-1, 8,4] por [-5, 5]. A partir de la grfica elabore y;acon jetura acerca de los lmites siguientes y, despus, confirme analticamente la conjetura: (b) lm f(x); (e) lm f(x); (d) lm f(x); (e) lim f(x), ,..,,,..,2+-4.0001; lm ~4 x-+-4- x + ~4;lm 6x2 + x - 2 2x2 + 3x - 230.f(x)lm x - 2 +1=3_)t + 429. lm x3 + 9x2 + 20x ,->Jx2 + X - 12x +1x-+-I- X10. f(x)__27. lm [xli - x x-+r 3- X,->1+x - 2;xes-2,-1.5,-1.1,-1.01,-1.001,-1.0001;9. f(x) = ~4; x+2t2 + 3t - 431. 1mx - 2;xesO,-0.5,-0.9,-0.99,-0.999,-0.9999; x + 1, x_ - 2 11m _ +1=x-4(x - 1)-.1'-+-1+ X8. f(x)1m ( 1->4'x +2 ---o; x es O,0.5, 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 y x (x - 1)-.J1(;73_) 45. f(x) = x + 2; x es 2, 1.5, U, 1.01, 1.001, 1.0001;6. f(x)x222. l' Im---x2 - 3 x--+o+ x3 + x2x2(_1 2,->2-lm x + 2 x-+I+ 1- xx23. Im 2 - 4x3 ,->0- 5x2 + 3x3 24. lm1- xh + x2lm--18. r~X5I ---2; (x - 5)(t - 2)2.1'-+0+h + x21m 17. .1'--+0-lm_l_16. Im4(2 -1--+2-_1_; x es 4,4.5,4.9,4.99,4.999, x - 53.0001;x--+4-4.0001;f(x)lm _x_ ,..,4+ x - 411. f(x) = ~; 9-x-3.0001; lrn ~,..,-3- 9x es -4, -3.5, -3.1, -3.01, -3.001,- x.1'--+4+34. Sea X2 + x2 - 3 x2 -+ x .:..6(a) Trace la grfica de f en el rectngulo de inspeccin de [- 4,7, 4.7] por [-5, 5], A partir de la grfica elabore una conjetura acerca de los lmites siguientes y, despus, confirme analticamente la conjetura: (b) lm f(x); (e) lm f(x); (d) lm f(x); (e) lm f(x), ,->.Jx--+-J+.r--+2-x-+2+ 90. 66CAPtULO 1 FUNCIONES, MITES y CONTINUIDADEn los ej(rcicios 35 y 36, determine la asntota vertical de la grfica de la funcin y dibjela. 35.(a)f(x)=.!.(b) g(x) =x(e) F(x) =lG(x) =(d)(b) g(x)= _...!...(e) F(x)l,1--+-1 +lmf(x)x-+3-...!...x4 x3 En los ejercicios 37 a 44, (a) determine la(s) asntota(s) vertical(es) de la grfica de la funcin; y (b] aplique la respuesta del inciso (a) para dibujar la grfica. 2 x - 437. f(x)41. f(x)43. f(x)=40. f(x) ==42. f(x)x + l-4l+ 5x - 6.(--+-2+.r-+2-.1:-+2++00;.eH i =' O;lm f(x)+ 00;.t-+-)+= - 00;x-+l=lm f(x)-00; ==.t-+O-x-+2-==o;3.donde r dlares es el costo de renovacin,e es'la constante de eficiencia comercial,p watts es la potencia de cada lmpara,y k dlareses elcostode laenergaporcada l ()()() atts. w Determine lm C(t). 1-+0+SO. Dadas lf(x)lm f(x);yx - 2x-+I+x-+3-n(~t + 1000 ePk)g(x)=_12 - x(a) Demuestreque limf(x) y lmg(x)no ~isten. (b) Defix-+2.1=-1+ 00;=x--+ 1x--+5-=-4;OO.lm f(x) = +00; limf(x) = -00; lm f(x)x~-I-x-+I-(g) lmf(x); (h) Im f(x); (i) lm f(x); (J) lm f(x). x-+lx-t ..... 'p-C(t)lim f(x); (d) lm f(x); (e) lm f(x); (f) .e-eO; ,~~J(x) O; lmf(x).t-+-2+lm f(x)4x2=48. El Hominio de f es [~2, 2]. j(~2j"== "~ . f(f}) = 5; f(l) ee -5; f(2) ==~; IIm-j{x)(x - 5)245. El dominio de f es [-2, 3). (a) lm f(x); (b) lm f(x); .t--+-)-+x-+OO; lm f(x) = -x-544. f(x) ===2;J(-1)49. Si C(t) dlares es el costo total por hora de luz en una fbrica con n lmparas fluorescentes, cada una con un promedio de vida de t horas, entonces3En los ejercicios 45 y 46, evale los lmites de los incisos (a) a (j) a partir de la grfica de la funcin f dibujada en la figura adjunta.(e)==lmf(x)=0;J(-3) -2;J(5)=0;f(3)}~~/(x)-00;x-+O+38. f(x)-2 x +3 -2 (x + 3)2 5 X2 + 8x + 1539. f(x)=lim f(x)x2=O;f(l) = + 00;,~~J(x)= _...!...G(x) =(d)=O;f(O)x4= _.!. x=47. El dominio defes [-5, 5].f(-5)x2x3 36. (a)f(x)...!...En los ejercicios 47 y 48, dibuje la grfica de algunafunci6nf que satisfaga las condiciones dadas.na la funcinf +.1=1.1=2g.x-+2(e) Demuestre que lm [J(x) + , ... 2g(x) existe. (d) De los resultados de los incisos (a) y (e),lm[J(x) + g(x) ~ limf(x)x-+2x-+2+ limg(x) x--+2Contradice este hecho al teorema 4 de lmites (1.5.5)? 51. De acuerdo con la teora especial de la relatividad de Einstein, ninguna partcula con masa positiva puede viajar ms rpido que la velocidad de la luz. La teora especifica que si m(v) es la medida de la masa de una partcula que se mueve con una velocidad de medida v, entonces 46.El dominio defes [-4, 4]. (a) lm f(x); (b) lim f(x); x-+-4+(e)lim f(x); (d) lmf(x);.r -4-2+x-+ox-+2x-+3+=.1'-+3x_. .. -mof-&.1'-+2+(g) lm f(x); (h) lm f(x); (i) lmf(x); (j) lm f(x). x-+3-m(v)x-.-2-(e) l m_f(x); (f) lm f(x);donde mo es la medida constante de la masa de la partcula en reposo relativa a algn sistema de referencia, y c es la medida constante de la velocidad de la luz. Explique porque ninguno de los siguientes lmites existen: }~~_ m(v); lm m(v); lmm(v). En su explicacin indique el comv-+c+11-+ eportamiento de m(v) conforme v tiende a c mediante valores menores que c. 52. Escriba una definicin formal de cada uno de los siguientes lmites laterales: (a) lm f(x) = + 00; (b) lm f(x) = -00; (e) ,'!.rrJ(x)= -00:-"-, ....-En los ejercicios 53 y 54, establezca con palabras lo que significa el simbolismo indicado sin utilizar las palabras limite, se 91. 1.8CONTINUIDAD DE UNA fUNCIN ~N UN NMEROaproxima, infinito, crece sin lmite o decrece sin limite, y sin emplear smbolos como N y O. = + 0053. !~f(x)54. !~f(x)67tener a la recta x = a como asntota o un agujero en el punto donde x = a. Cul es la relacin entre estos dos conceptosgeomtricosy !~f(x)?= - 0055. Si I',(x)es un polinomioy Q(x) = x - a, entoncesla grfica de la ~ncin f definida por f(x) = P(x)/Q(x) puede1.8; CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN NUMERO yEn el ejemplo 2 de la seccin 1.3 y en el ejemplo ilustrativo 2 de la seccin 1.6 se trat la funcin definida por{2x 1.8xC(x) = .siO:sx:S1O si 10EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Un mayorista distribuye un producto que se vende por libra (o fraccin de libra) cobra $2 por libra si se ordenan 10 o menos libras. Si se ordenan ms de 10 libras, el mayorista cobra $20 ms $1,40 por cada libra que exceda de las 10. Por tanto, si se compran x libras por un costo total de C(x) dlares, entonces C(x) = 2x si O S; x S; 10 Y C(x) = 20 + 1.4(x - 10) si 10 < x; esto es,yC(x) = {2xsi O1.4x+6S;si 10xEJEMPLO ILUSTRATIVO 3 = gxf(x)+ 3Seafla funcin definida porsi x ~ 1 si x = 1La grfica de esta funcin, la cual se muestra en la figura 3, se rompe en el punto donde .r = 1, por lo que se investigarn en ese punto las condiciones de la definicin 1.8.1. (i) f(l) = 2 (ii) IImj(x) = 5 x-+I(iii) lm f(x) ~ f( 1) x-+ILas condiciones (i) y (ii) se satisfacen pero la condicin (iii) no se cumple. Por tanto, la funcin f es discontinua en 1. .... Observe que si en el ejemplo ilustrativo 3, se definirj'(l ) como 5, entonces 1Imf(x) y f(l) seran iguales y f sera continua en 1. Por esta razn, la x-+Idiscontinuidad del ejemplo ilustrativo 3 se denomina discontinuidad removible. En general, suponga que f es una funcin discontinua en el nmero a para la cual lmf(x) existe. Entoncesf(a) no existe, o bien,j(a) ~ l