Funciones Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

Definicion 1:(Inyectiva) Una funcion f : Df → A ⊂ R, se dice inyectiva si, ∀x1, x2 ∈ Df secumple que

x1 6= x2 =⇒ f(x1) 6= f(x2)

o equivalentemente sif(x1) 6= f(x2) =⇒ x1 6= x2

Observacion: Geometricamente esto significa que todas las paralelas al eje x se intersectan conel grafico de f en un unico punto.

Definicion 2:(Sobreyectiva) Una funcion f : Df → A ⊂ R, donde A es el conjunto dellegada, se dice sobreyectiva si se cumple que

Rf = A

en un lenguaje simbolico esto es

∀y0 ∈ A, ∃x0 ∈ Df de tal manera que se cumple f(x0) = y0

Definicion 3:(Biyectiva) Una funcion f : Df → A ⊂ R, si es Inyectiva y Sobreyectiva almismo tiempo.

Funciones Par e Impar

Definicion 1:(Par) Una funcion f se dira par si se cumple que

f(−x) = f(x) , ∀x ∈ Df

Definicion 2:(Impar) Una funcion g se dira impar si se cumple que

g(−x) = −g(x) , ∀x ∈ Dg

Obs: La funcion f(x) = ex con dominio Df = R, ¿es par o impar?

Funciones Crecientes y Decrecientes

Definicion:(Creciente) Una funcion se dice creciente o tambien estrictamente creciente, si paracuales quiera x1, x2 ∈ Df se cumple que

x1 < x2 =⇒ f(x1) < f(x2)

Por otra parte, se dira no decreciente si se cumple que

x1 < x2 =⇒ f(x1) ≤ f(x2)

Definicion:(Decreciente) Una funcion se dice decreciente o tambien estrictamente decre-ciente, si para cuales quiera x1, x2 ∈ Df se cumple que

x1 < x2 =⇒ f(x2) < f(x1)

Por otra parte, se dira no creciente si se cumple

x1 < x2 =⇒ f(x2) ≤ f(x1)

1

Funcion Inversa

Definicion: Dada una fucion f : A → B, si existe una funcion g : B → A, tal que:

1. (f ◦ g)(x) = x, ∀x ∈ B (f ◦ g = IB)

2. (g ◦ f)(x) = x, ∀x ∈ A (g ◦ f = IA)

Se dice que f es una funcion inversible y que la funcion g es la funcion inversa de f . Sedenota: g = f 1

Propiedad: Una funcion admite inversa si solo si es biyetiva.

Operaciones con Funciones

Definicion 1:(Suma) Sean f y g dos funciones con dominios Df y Dg respectivamente, entoncesh = f + g es una funcion llamada la suma de f y g definida por

h(x) = f(x) + g(x) , Dh = Df ∩ Dg

Definicion 2:(Opuesto) El opuesto(tambien llamado inverso aditivo) de una funcion f ,es una funcion g definido por

g(x) = −f(x) , Dg = Df

Observacion: La grafica de la funcion g es el reflejo simetrico de f respecto al eje x.

Definicion 3:(Multiplicacion) Sean f y g dos funciones con dominios Df y Dg respecti-vamente, entonces la funcion h = f · g se llama funcion producto y esta definida por

h(x) = f(x) · g(x) , Dh = Df ∩ Dg

Definicion 4:(Recıproca) Sea f , entonces la funcion recıproca es g = 1

fdefinida por

g(x) =1

f(x), Dg = D 1

f= Df − {x ∈ Df \ f(x) = 0}

Definicion 5:(Cociente) Sean f y g dos funciones, la funcion f · 1

gdenotada por f

g, se llama

la funcion cociente y esta definida por

f

g(x) =

f(x)

g(x), D f

g

= Df ∩ D 1

g

Composicion de Funciones

Definicion: Sean A, B y C conjuntos (no necesariamente diferentes), y sean f : A → B yg : B → C, fuciones. Se llama composicion de funcion de g y f a la funcion de A en C, denotadopor g ◦ f y definida por

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) , Dg◦f = {x ∈ Df \ f(x) ∈ Dg}

Grafica de Funciones

2

Funcion seno: La funcion f(x) = sen(x) esta representada por la siguiente grafica

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8

−2

2

Cuyo dominio y rango sonDf = R , Rf = [−1, 1]

Funcion arcoseno: La funcion f(x) = arc sen(x) o tambien f(x) = sen−1(x) esta represen-tada por la siguiente grafica

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

Cuyo dominio y rango son

Df = [−1, 1] , Rf = [−π

2,π

2]

Funcion coseno: La funcion f(x) = cos(x) esta representada por la siguiente grafica

−8 −6 −4 −2 2 4 6 8

−2

2

Cuyo dominio y rango sonDf = R , Rf = [−1, 1]

Funcion arccoseno: La funcion f(x) = arc cos(x) o tmabien f(x) = cos(x)−1 esta repre-sentada por la siguente grafica

3

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Cuyo dominio y rango sonDf = [−1, 1] , Rf = [0, π]

Funcion tangente: La funcion f(x) = tan(x) esta representada por la siguiente grafica

−12 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 12

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

10

Cuyo dominio y rango son

Df =⋃

n∈Z

〈(2n − 1)π

2, (2n + 1)

π

2, Rf = R

Funcion arco tangente: La funcion f(x) = arctan(x) o tambien f(x) = tan−1(x) estarepresentada por la siguiente grafica

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

4

Cuyo dominio y rango son

Df = R , Rf = 〈−π

2,π

2〉

Funcion secante: La funcion f(x) = sec(x) esta representada por el siguiente grafico

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

Cuyo dominio y rango son

Df =⋃

n∈Z

〈(2n − 1)π

2, (2n + 1)

π

2〉 , Rf = R − 〈−1, 1〉 = 〈−∞, 1] ∪ [1,∞

Funcion arco secante: La funcion f(x) = arcsec(x) esta representada por el siguientegrafico

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

1

2

3

Cuyo dominio y rango son

Df = 〈−∞,−1] ∪ [1,∞〉 , Rf = [0,π

2〉 ∪ 〈

π

2, π]

5