Los Defectos Del Aparato EuclidianoLos Defectos Del Aparato Euclidiano

La geometría clásica, bajo la forma que le La geometría clásica, bajo la forma que le dio Euclides en sus elementos, paso dio Euclides en sus elementos, paso durante mucho tiempo por un modelo durante mucho tiempo por un modelo insuperable, y aun difícilmente igualable, al insuperable, y aun difícilmente igualable, al de la teoría deductiva.de la teoría deductiva. Los griegos razonaron con toda la Los griegos razonaron con toda la exactitud posible en las matemáticas y exactitud posible en las matemáticas y dejaron al género humano modelos del dejaron al género humano modelos del arte de demostrar. arte de demostrar.

Con ellos, la geometría dejo de ser una Con ellos, la geometría dejo de ser una colección de recetas practicas o, cuando colección de recetas practicas o, cuando mas, de enunciados empíricos, para llegar mas, de enunciados empíricos, para llegar a ser una ciencia racional. a ser una ciencia racional.

PostuladosPostuladosLos sabios alejandrinos, árabes y Los sabios alejandrinos, árabes y modernos se aplicaron modernos se aplicaron sucesivamente a ello, pero siempre el sucesivamente a ello, pero siempre el análisis revelaba que las pretendidas análisis revelaba que las pretendidas demostraciones se fundaban en demostraciones se fundaban en alguna otra suposición, que muy alguna otra suposición, que muy frecuentemente quedaba implícita: no frecuentemente quedaba implícita: no se había hecho sino cambiar de se había hecho sino cambiar de postulado. postulado.

Un teorema de geometría era a la vez Un teorema de geometría era a la vez un informe sobre las cosas y una un informe sobre las cosas y una construcción del espíritu, una ley de construcción del espíritu, una ley de física y una pieza de un sistema física y una pieza de un sistema lógico, una verdad de hecho y una lógico, una verdad de hecho y una verdad de razón.verdad de razón.

Las FigurasLas FigurasLas figuras no existen solo como Las figuras no existen solo como un auxiliar del razonamiento, un auxiliar del razonamiento, que duplican en cierta forma la que duplican en cierta forma la demostración lógica mediante demostración lógica mediante una ilustración sensible, sin ser una ilustración sensible, sin ser indispensable. indispensable.

Exige que todas las propiedades Exige que todas las propiedades supuestas sean enunciadas bajo supuestas sean enunciadas bajo la forma explicita de la forma explicita de proposiciones: las que se proposiciones: las que se demuestren, serán afirmadas demuestren, serán afirmadas como teoremas, las otras Irán a como teoremas, las otras Irán a aumentar el número de los aumentar el número de los postulados.postulados.

Los AxiomasLos Axiomas

Los axiomas también reciben el nombre de “nociones Los axiomas también reciben el nombre de “nociones comunes” definidos por Euclides. La separación entre comunes” definidos por Euclides. La separación entre los axiomas y los postulados quedo a menudo indecisa. los axiomas y los postulados quedo a menudo indecisa.

Frecuentemente, las dos palabras mismas han sido, y Frecuentemente, las dos palabras mismas han sido, y son aun, tomadas indiferentemente la una por la otra: son aun, tomadas indiferentemente la una por la otra: como prueba, el nombre mismo de la axiomática, que se como prueba, el nombre mismo de la axiomática, que se llamaría, sin duda, mas justamente una postula Tica. llamaría, sin duda, mas justamente una postula Tica.

El axioma envuelve en primer lugar la idea de una El axioma envuelve en primer lugar la idea de una evidencia intelectual. Mientras que el postulado es una evidencia intelectual. Mientras que el postulado es una proposición sintética, cuya contradictoria, difícil o proposición sintética, cuya contradictoria, difícil o imposible de imaginar, permanece no obstante imposible de imaginar, permanece no obstante concesible.concesible.

Las DefinicionesLas Definiciones

Se define un término mediante otros Se define un término mediante otros términos, estos a su vez mediante términos, estos a su vez mediante otros, de suerte que, para evitar la otros, de suerte que, para evitar la regresión al infinito, es necesario sin regresión al infinito, es necesario sin duda detenerse en algunos términos duda detenerse en algunos términos no definidos, así como las no definidos, así como las demostraciones deben apoyarse sobre demostraciones deben apoyarse sobre algunas proposiciones no algunas proposiciones no demostradas.demostradas.

Las “definiciones” iniciales de Euclides Las “definiciones” iniciales de Euclides no tienen de definiciones mas que la no tienen de definiciones mas que la apariencia. Se reducen a simples apariencia. Se reducen a simples descripciones empíricas, comparables descripciones empíricas, comparables a las que daría un diccionario, que a las que daría un diccionario, que tuviera por objeto dirigir el espíritu tuviera por objeto dirigir el espíritu hacia la noción de lo que se trata.hacia la noción de lo que se trata.

•Euclides define la línea recta: como la que descansa Euclides define la línea recta: como la que descansa igualmente sobre sus puntos.igualmente sobre sus puntos.

* Heron la substituye por la definición siguiente, en * Heron la substituye por la definición siguiente, en apariencia más clara: el camino más cortó entre dos apariencia más clara: el camino más cortó entre dos

puntos.puntos.

* Leibniz advierte con razón que la mayor parte de los * Leibniz advierte con razón que la mayor parte de los teoremas que se apoyan sobre la recta no utilizan ni una teoremas que se apoyan sobre la recta no utilizan ni una

ni otra de estas dos propiedades.ni otra de estas dos propiedades.

Demostración Y DefiniciónDemostración Y DefiniciónMediante la demostración y la definición se Mediante la demostración y la definición se hacen operaciones fundamentales hacen operaciones fundamentales mediante las que se desarrolla una teoría mediante las que se desarrolla una teoría deductiva. deductiva.

Pero ¿Qué condiciones debe satisfacer Pero ¿Qué condiciones debe satisfacer una buena demostración y una buena una buena demostración y una buena definición? Eso depende del fin que se definición? Eso depende del fin que se asigne a estas operaciones.asigne a estas operaciones.

Si se pone en primer plano la verdad del Si se pone en primer plano la verdad del contenido, entonces la demostración y la contenido, entonces la demostración y la definición llegan a ser simples medios para definición llegan a ser simples medios para establecerla. establecerla.

El papel de la definición será hacer El papel de la definición será hacer concebir exactamente el sentido de los concebir exactamente el sentido de los términos que componen las proposiciones, términos que componen las proposiciones, y el de la demostración, hacer admitir la y el de la demostración, hacer admitir la verdad de estas.verdad de estas.

La definición y la demostración La definición y la demostración dependen entonces, propiamente dependen entonces, propiamente hablando, de la retorica; su función hablando, de la retorica; su función es esencialmente psicológica: es esencialmente psicológica: pedagógica o didáctica. pedagógica o didáctica.

Pedagógicamente, la buena Pedagógicamente, la buena definición, la buena demostración, definición, la buena demostración, es la que el alumno comprende. es la que el alumno comprende.

Para el niño, la verdadera definición Para el niño, la verdadera definición de la elipse no es la que aprende de la elipse no es la que aprende de memoria, sino algo como: un de memoria, sino algo como: un circulo alargado; la buena circulo alargado; la buena demostración no es la que escribe demostración no es la que escribe en su cuaderno, es la figura que la en su cuaderno, es la figura que la acompaña.acompaña.