Integral Tak Tentudan

Integral Tertentu

Pengertian Integral

• Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x),

• maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x).

Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut :

• notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)

• f(x) fungsi integran• F(x) fungsi integral umum yang bersifat F’(x)

f(x)• c konstanta pengintegralan

cxFdxxf

• Jika f ‘(x) = xn, maka , n ≠ -1, dengan c sebagai konstanta

cxn

xf n

1

11

Integral Tak Tentu

• apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada interval sedemikian hingga maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c

• Secara matematis, ditulis

cxFdxxf

• di mana • Lambang integral yang

menyatakan operasi antiturunan• f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang

dicari antiturunannya• c Konstanta

dx

Teorema 1• Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka

, c adalah konstanta.

cxn

dxx nn

1

11

Teorema 2• Jika f fungsi yang terintegralkan dan k

suatu konstanta, maka

dxxfkdxxkf

Teorema 3• Jika f dan g fungsi-fungsi yang

terintegralkan, maka

dxxgdxxfdxxgxf

Teorema 4• Jika f dan g fungsi-fungsi yang

terintegralkan, maka dxxgdxxfdxxgxf

Teorema 5

• Aturan integral substitusi• Jika u suatu fungsi yang dapat

didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol maka

, dimana c adalah konstanta dan r ≠ -1.

cxur

dxxuxu tr 1

11'

Teorema 6• Aturan integral parsial• Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat

didiferensialkan, maka

vduuvudv

Teorema 7 • Aturan integral trigonometri

• dimana c adalah konstanta.

cxx

cxxdx

cxxdx

tancos

1

cossin

sincos

2

...)4( 2.1 52 dxxx

xdudx2

cxcuduu 62655 )4(61

61

2xdu2x u

) ...(1

2.23

2

latihanbuatx

dxx

METODE SUBTITUSIDalam menyelesaikan masalah integrasi pertama - tama kita mengusahakan mengubahnya menjadi bentuk rumus dasar dengan menggunakan variabel lain ( subtitusi )Contoh :

Jawab :u = x2 + 4 du = 2x dx

duvvuddvu .).(.

duvvudvu ...

duv dvu.

INTEGRAL PARSIAL

Misalkan u dan v fungsi yang differensiabel

terhadap x, maka :

d(u.v) = v.du + u.dv

u.dv = d(u.v) – v.du

harus lebih mudah dari

yang perlu diperhatikan pada metode ini adalah :(1). Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegral.

(2).

dxx ln dvu.

ln x u dxdux1

dxx ln dx

Contoh :

=

Jawab :

dv = dx v = x

Jadi :

= xln x -

= x ln x – x + c

nnnnn axaxaxaxa

12

21

10 ......

)()()(xQxPxH

2222)( 23

2

xxx

xxxH

INTEGRAL FUNGSI RASIONALSebuah polinom dalam x adalah sebuah fungsi berbentuk :

Fungsi H(x) disebut fungsi rasional jika :

dimana P(x) dan Q(x) adalah polinomJika derajat P(x) lebih rendah dari derajat Q(x), maka H(x) disebut “Rasional Sejati”Contoh :

Sedangkan jika derajat P(x) lebih tinggi dari derajat Q(x),

maka H(x) disebut “Rasional Tidak Sejati”

Contoh :

42336

41310)( 2

22

24

xxx

xxxxxH

Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,

)()(xQxP

: ditulis sebagai jumlah dari bagian yang lebih

sederhana dengan menguraikan Q(x) dalam hasil

kali faktor-faktor linier atau kuadratis, yaitu :

)).....()(()( 21 naxaxaxxQ

)(.....

)()()()(

2

2

1

1

n

n

axA

axA

axA

xQxP

naxxQ )()(

nn

axA

axA

axA

xQxP

)(.....

)()()()(

221

))(()( 22 fexdxcbxaxxQ

)()()()(

22 fexdxDCx

cbxaxBAx

xQxP

1. Faktor Q(x) semua linier dan tak berulang,

, maka :

2. Faktor Q(x) semua linier berulang,

, maka :

3. Q(x) adalah kuadratis,

, maka :

....2

)1(.1 2 dxxx

x

)1)(2()2()1(

12)1)(2(1

xxxBxA

xB

xA

xxx

dxxx

x2

)1(2 23

1xdx

132xdx

cxx |1|ln32|2|ln

31

contoh :

jawab :

x = 2 2 – 1 = A(2+1) 1 = 3A A = 1/3

x = -1 -1 – 1 = B(-1-2) -2= -3B B = 2/3

Jadi,

+

=

....12

)1(.2 2 dxxx

x

222 )1()1(

)1(1)1(1

xBxA

xB

xA

xx

dxxx

x12

)1(2 1x

dx 2)1(

2xdx

cx

x

)1(

2|1|ln

x = 1 1 + 1 = B B = 2

mis, x = 0 0 +1 = A(0 – 1) + B 1 = - A + 2 A = 1

Jadi,

+

,222 xba atauxba ,222 222 axb

222 xba zbax sin zaxba cos 222

222 xba ztgbax zaxba sec 222

222 axb zbax sec ztgaaxb 222

SUBTITUSI TRIGONOMETRI

Jika Integran mengandung salah satu dari bentuk : ,

dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapat ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri dengan menggunakan variabel baru :

Bentuk Subtitusi Memperoleh

....49.1

2

dxxx

zx sin23

zdzdx cos23

cos 349 2 zx

dz

zzdzz

z

zdxxx

sincos3) cos

23(

sin23

cos349 22

dzzdzzec sin3 cos3

cxxx

22

49|2

493|ln3

contoh :

jawab :

,

Jadi,

= 3 ln |cosec z – ctg z| + 3 cos z + c

dzzz

sinsin13

2

....4

.222 xx

dx

ztgx 2 zdzdx 2sec2 sec24 2 zx

22 4 xx

dx dz

zztgz

)sec2)(4(sec2

2

2

dzzz2sin4

cos

zzd

2sin)(sin

41 c

z

sin41

cxx

4

4 2

jawab :

,

Jadi,

• Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang

nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas)

tertentu.

• Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka

integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh : • Dimana :

• f(x) : integran

a : batas bawahb : batas atas

Integral TerTentu

b

a

dxxf )(

KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

6,61832312551

2551

51

5555

25

5

2

5

2

54

xxdxx

a

a

dxxf 0)(

0323251

2251

51

5552

25

2

2

2

2

54

xxdxx

b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

6,61831253251

5251

51

5552

55

2

5

2

5

54

xxdxx

KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTUKAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU

b

a

b

a

dxxfkdxxkf )()( 3093323125

51.5

555

52

55

2

5

2

54

xxdxx

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 6,7111.330936,618

555

2

5

2

5

2

4444

dxxdxxdxxx

c

a

b

c

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()( 6,6183

2

5

3

5

2

444 dxxdxxdxx