UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

“FRANCISCO DE MIRANDA “

DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA

ÁREA DE TECNOLOGÍA

Interpolación y Aproximación

Introducción: Una de las funciones más útiles y bondadosas son los polinomios ya que estas son

fáciles de derivar y de integrar (indefinidas) además los resultados son también polinomios.

La expresión P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1x

n-1 + anx

n con an 0, representa un polinomio entero

en x de grado n(entero no negativo) y a0, a1, . . . ,an son constantes reales o complejas.

Una razón de su importancia es que aproximan uniformemente funciones continuas. Dada

cualquier función definida y continua en un intervalo cerrado, existe un polinomio que se encuentra

tan “cerca” de la función como se desea. Este resultado se expresa en el siguiente teorema.

TEOREMA: Aproximación de Weierstrass

Si f es definida y continua en [a, b] y dado >0, existe entonces un polinomio P, definido en [a, b]

tal que: f(x) – P(x)< , para todo x en el intervalo [a, b].

f(x) + ,

P(x)

f (x)

f(x) - ,

a b

Interpolación Polinómica. Fórmula de Lagrange. Diferencias Divididas. Fórmula de Interpolación

de Newton.

Introducción: El proceso de ajustar una serie de datos de una tabla de valores o de una función

dada a una curva es lo que se denomina interpolación. Este proceso también sirve para estimar

valores intermedios entre datos precisos.

Definición: Una función de interpolación es aquella que pasa a través de puntos dados como datos

de una tabla de valores o puntos de una curva.

La interpolación polinomial consiste en ajustar un polinomio a los puntos dados de una tabla.

Las dos formas más comunes de interpolación polinomial son: la interpolación de Lagrange y la

interpolación de Newton. Como la determinación de un polinomio que pasa por un conjunto de

puntos es única, la diferencia radica en el método o proceso para encontrar dichos polinomios y la

forma como estos se expresan.

Sea f una función y xo, x1, ..., xn, n+1 puntos diferentes en los cuales se puede evaluar f; se

determinará un polinomio de grado n tal que: P(xo) = f(xo), P(x1) = f(x1), . . ., P(xn) = f(xn) (*). Tal

polinomio existe según el Teorema de Weierstrass para una función continua, además este

polinomio es único y si se cumple (*) la seminorma:

0)()(0

n

k

kk xPxfPf

Luego P es el polinomio de aproximación óptimo de acuerdo a esta seminorma..

Interpolación de polinomios de Lagrange.

Interpolación Lineal: El método más sencillo de interpolación es conectar dos puntos con una

línea recta, esta técnica se llama interpolación lineal.

La forma de Lagrange para una línea recta que pasa por los puntos (x0, y0) y (x1, y1) es:

P(x) =

1

01

0

0

10

1 yxx

xxy

xx

xx

;

es fácil verificar que esta expresión representa la ecuación de una línea recta y que los puntos dados

pertenecen a ella.

La fórmula de Lagrange de la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (x0, y0), (x1, y1)

y (x2, y2) es: P(x) =

2

1002

10

1

2101

0

0

2010

1y

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxx

.

Esta se denomina interpolación cuadrática.

La fórmula general del polinomio de Interpolación de Lagrange de grado a lo sumo n, que pasa a

través de los puntos (x0, y0), (x1, y1),. . . , (nn, yn) tal que P(x0) = y0, . . . , P(xn) = yn tiene la forma:

P(x) = L0y0 + L1y1 + . . . + Lnyn.

Siendo Lk =

kjxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xx

xx

nkkkkkkk

nkkn

j jk

j

;)(

1110

1110

0

Error asociado al polinomio de interpolación de Lagrange

Teorema: Si x0, x1, , xn; son puntos en el intervalo cerrado [a, b] y f tiene n+1 derivadas

continuas en dicho intervalo. Entonces, para cada x en [a, b] y un c(x) en (a, b) existe

f(x) = P(x) +

n

n

xxxxxxn

xf

10

1

1

)(

donde P es el polinomio de interpolación de Lagrange de f y

Rn(x) =

n

n

xxxxxxn

xcf

10

1

1

))((; con c(x) un punto en el intervalo [a, b], es la

fórmula del residuo o error; esta fórmula es un resultado teórico muy importante ya que los

polinomios de Lagrange se usan extensamente para deducir métodos de diferenciación e

integración.

Observaciones:

1. La fórmula del error del polinomio de Taylor toma en cuenta solamente un punto (“a” o “x0”):

Rn(x) =

0

1

!1

))((xx

n

xcf n

, c(x) un punto entre x0 y x, mientras que la del polinomio de

Lagrange utiliza la información de todos los (n +1) puntos: xo, x1, ..., xn.

2. Una desventaja de la fórmula del residuo asociado al polinomio de Lagrange es que necesita, al

igual que el de Taylor, conocer la derivada de orden n+1 de la función o una cota de ella dentro del

intervalo [a, b].

Ejercicio resuelto 2.3: Determine el polinomio cuadrático que pasa por los siguientes puntos: (-2,

4), (0, 2) y (2, 8).

Solución: L0 = ;8

)2(

)22)(02(

)2)(0(

xxxx L1 =

4

)2)(2(

)20))(2(0(

)2))(2((

xxxx

L2 = 8

)2(

)02))(2(2(

)0))(2((

xxxx

Luego: P(x) = L0y0 + L1y1 + L2y2 = 288

)2(2

4

)2(2(4

8

)2( 2

xxxxxxxx

Ejercicio resuelto:

(a) Use una interpolación del polinomio de primer y segundo orden para evaluar ln|2| con los

siguientes puntos x0 = 1, x1 = 4 y x2 = 6. (b) Estime el error en cada caso. Compare con el

valor verdadero.

Solución: (a) ln(4) = 1.3863; ln(6) = 1.7918 De acuerdo a la fórmula se tiene:

P1(2) = 4621.03863.114

120

41

42

; ln(2)-P1(2)= 0.6932-0.4621 = 0.2311

P2(2) = 56584.07918.1)46)(16(

)42)(12(3863.1

)64)(14(

)62)(12(0

)61)(41(

)62)(42(

ln(2) – P2(2) = 0.69315 – 0.56584 = 0.12731, con P2 se obtiene una mejor aproximación.

(b) Para f(x) =ln(x),f(x) = -x-2

,f(3)

(x)=2x-3

;

E1(x) = )4)(1(2

)(" xx

zfE1(2)= 4212

2

12

z

como 1<x<6 entonces

1/6<1/x<1 por lo tanto 1/z2 < 1, luego E1(2) <2/2 = 1.

E2(2) =

6242126

)(3

zf

< 2/3, ya que 1/z3<1.