UJI NORMALITAS DAN UJI HOMOGENITAS

OLEH : KELOMPOK 11

ANGGOTA :

1. DEA MARIA NELI SARAGIH

2. IGA OCTRIANA

3. NURWANINGSIH

4. RESTU SRI RAHAYU

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2016

DAFTAR ISI

UJI NORMALITAS DAN UJI HOMOGENITAS............................................................................1

DAFTAR ISI.......................................................................................................................................... i

A. UJI NORMALITAS......................................................................................................................1

1. METODE CHI SQUARE..........................................................................................................1

2. METODE LILIEFORS..............................................................................................................4

3. KOLMOGOROV SMIRNOF....................................................................................................6

B. UJI HOMOGENITAS......................................................................................................................9

1. UJI F..........................................................................................................................................9

2. UJI BARTLETT......................................................................................................................11

DAFTAR PUSTAKA..........................................................................................................................14

i

A. UJI NORMALITAS

Uji normalitas berguna untuk menentukan data yang telah dikumpulkan berdistribusi

normal atau diambil dari populasi normal. Metode klasik dalam pengujian normalitas suatu

data tidak begitu rumit. Berdasarkan pengalaman empiris beberapa pakarstatistik, data yang

banyaknya lebih dari 30 angka (n > 30), maka sudah dapat di asumsikan berdistribusi normal.

Biasa dikatakan sebagai sampel besar.

Namun untuk memberikan kepastian, data yang dimiliki berdistribusi normal atau tidak,

sebaiknya digunakan uji statistic normalitas. Karena belum tentu data yang lebih dari 30 bisa

di pastikan berdistribusi normal, demikian sebaliknya data yang banyaknya kurang dari 30

belum tentu tidak berdistribusi normal, untuk itu perlu suatu pembuktian. Uji statistic

normalitas yang dapat digunakan diantaranya Chi-Square, Kolmogorov Smirnov,

Lilliefors.

1. METODE CHI SQUARE

Metode Chi-Square atau X2 untuk Uji Goodness of fit Distribusi Normal menggunakan

pendekatan penjumlahan penyimpangan data observasi tiap kelas dengan nilai yang

diharapkan.

Keterangan :

X2 = Nilai X2

Oi = Nilaiobservasi

Ei = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan tabel normal dikalikan N

(total frekuensi) (pi x N)

N = Banyaknya angka pada data (total frekuensi)

Komponen penyusun rumus tersebut di atas didapatkan berdasarkan pada hasil

transformasi data distribusi frekuensi yang akan di uji normalitasnya, sebagai berikut:

1

Keterangan :

Xi = Batas tidak nyata interval kelas

Z = Transformasi dari angka batas interval kelas ke notasi pada distribusi normal

pi = Luas proporsi kurva normal tiap interval kelas berdasar tabel normal

Oi = Nilai observasi

Ei = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan tabel normal

dikalikan N (total frekuensi) (pi x N)

Persyaratan Metode Chi Square (Uji Goodness of fit Distribusi Normal) adalah

sebagai berikut :

a. Data tersusun berkelompok atau dikelompokkan dalam table distribus frekuensi.

b. Cocok untuk data dengan banyaknya angka besar( n > 30 )

c. Setiap sel harus terisi, yang kurang dari 5 digabungkan.

Signifikansi Metode Chi Square adalah sebagai berikut :

Signifikansi uji, nilai X2 hitung dibandingkan dengan X2 tabel (Chi-Square).

Jika nilai X2 hitung < nilai X2 tabel, maka Ho diterima ; Ha ditolak.

Jika nilai X2 hitung > nilai X2 tabel, maka maka Ho ditolak ; Ha diterima.

Contoh:

Diambil Tinggi Badan Mahasiswa Di Suatu Perguruan Tinggi Tahun 2010

2

Selidiki lah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi normal ? (Mean =

157.8; Standar deviasi = 8.09)

Penyelesaian :

a. Hipotesis :

- Ho : Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normal

- H1 : Populasi tinggi badan mahasiswa tidak berdistribusi normal

a. Nilai α

Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

b. Rumus Statistik penguji

3

4

Luasan pi dihitung dari batasan proporsi hasil tranformasi Z yang dikonfirmasikan

dengan table distribusi normal.

c. Derajat Bebas

Df = ( k – 3 ) = ( 5 – 3 ) = 2

d. Nilai table

Nilai table X2 ; α = 0,05 ; df = 2 ; X2 tabel = 5,991. Tabel X2 (Chi-Square) pada

lampiran.

e. Daerah penolakan

- Menggunakan gambar

- Menggunakan rumus:   |0,427 | < |5,991| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak

f. Kesimpulan:  Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normal α = 0,05.

2. METODE LILIEFORS

Metode Lilliefors menggunakan data dasar yang belum diolah dalam table distribusi

frekuensi. Data ditransformasikan dalam nilai Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal

5

sebagai probabilitas komulatif normal. Probabilitas tersebut dicari bedanya dengan

probabilitas kumulatif empiris. Beda terbesar disbanding dengan tabel Lilliefors.

Keterangan :

Xi = Angkapada data

Z =Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal

F(x)= Probabilitas komulatif normal

S(x)= Probabilitas komulatif empiris

Persyaratan metode liliefors adalah sebagai berikut :

a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada table distribusi frekuensi

c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.

Signifikansi :

Signifikansi uji, nilai | F (x) - S (x) | terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Lilliefors.

Jika nilai | F (x) - S (x) | terbesar < nilai tabel Lilliefors, maka Ho diterima ; Ha ditolak.

Jika nilai | F(x) - S(x) | terbesar > dari nilai tabel Lilliefors, maka Ho ditolak ; Ha diterima.

Contoh :

Berdasarkan data ujian statistic dari 18 mahasiswa di dapatkan data sebagai berikut ; 46,

57, 52, 63, 70, 48, 52, 52, 54, 46, 65, 45, 68, 71, 69, 61, 65, 68. Selidikilah dengan α = 5%,

apakah data tersebut di atas di ambil dari populasi yang berdistribusi normal ?

Penyelesaian :

1. Hipotesis

Ho :Populasi nilai ujian statistic berdistribusi normal

H1 :Populasi nilai ujian statistic tidak berdistribusi normal

2. Nilai α

6

Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

3. Statistik Penguji

Nilai | F(x) - S(x) | tertinggi sebagai angka penguji normalitas, yaitu 0,1469.

4. Derajat Bebas

Df tidak diperlukan

5. Nilai tabel

Nilai Kuantil Penguji Lilliefors, α = 0,05 ; N = 18 yaitu 0,2000. Tabel Lilliefors pada

lampiran

6. Daerah penolakan

Menggunakan rumus | 0,1469 | < | 0,2000| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak

7. Kesimpulan: Populasi nilai ujian statistic berdistribusi normal.

3. KOLMOGOROV SMIRNOF

Metode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode Lilliefors. Langkah-

langkah penyelesaian dan penggunaan rumus sama, namun pada signifikansi yang berbeda.

Signifikansi metode Kolmogorov-Smirnov menggunakan table pembanding Kolmogorov-

Smirnov, sedangkan metode Lilliefors menggunakan table pembanding metode Lilliefors.

7

Keterangan :

Xi = Angkapada data

Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal

FT = Probabilitas komulatif normal

FS = Probabilitas komulatif empiris

Persyaratan Metode Kolmogorof Smirnov adalah sebagai berikut :

a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

b. Data tunggal / belum di kelompokkan pada table distribusi frekuensi

c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.

Siginifikansi :

Signifikansi uji, nilai |FT – FS| terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Kolmogorov

Smirnov.

Jika nilai |FT – FS| terbesar < nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho diterima ; Ha

ditolak.

Jika nilai |FT – FS| terbesar > nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho ditolak ; Ha

diterima.

Contoh :

Suatu penelitian tentang berat badan mahasiswa yang mengikuti pelatihan kebugaran

fisik/jasmani dengan sampel sebanyak 27 orang diambil secara random, di dapatkan data

sebagai berikut ; 78, 78, 95, 90, 78, 80, 82, 77, 72, 84, 68, 67, 87, 78, 77, 88, 97, 89, 97,

98, 70, 72, 70, 69, 67, 90, 97 kg. Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas

di ambil dari populasi yang berdistribusi normal ?

Penyelesaian :

1. Hipotesis

- Ho : Populasi berat badan mahasiswa berdistribusi normal

- H1 : Populasi berat badan mahasiswa tidak berdistribusi normal

8

2. Nilai α

Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

3. Statistik Penguji

4. Derajat bebas

Df tidak diperlukan

5. Nilai tabel

Nilai Kuantil Penguji Kolmogorov, α = 0,05 ; N = 27 ; yaitu 0,254. Tabel

Kolmogorov Smirnov.

6. Daerah penolakan

Menggunakan rumus: | 0,1440 | < | 0,2540| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak

7. Kesimpulan

Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normal α = 0,05.

9

B. UJI HOMOGENITAS

Pengujian homogenitas dimaksudkan untuk memberikan keyakinan bahwa sekumpulan

data yang dimanipulasi dalam serangkaian analisis memang berasal dari populasi yang tidak

jauh berbeda keragamannya / variansnya.

Uji ini dilakukan sebagai prasyarat dalam analisis independent sample t test dan ANOVA.

Asumsi yang mendasari dalam analisis varian (ANOVA) adalah bahwa varian dari populasi

adalah sama. Sebagai criteria pengujian, jika nilai signifikansi lebih dari 0,05 maka dapat

dikatakan bahwa varian dari dua atau lebih kelompok data adalah sama.

Pengujian homogenitas varians suatu kelompok data, dapat dilakukan dengan cara: 1) Uji

F dan 2) Uji Bartlett

1. UJI F

Uji F biasanya dilakukan ketika menguji ke homogenan 2 kelompok data.

Langkah - langkah menghitung uji F :

1. Mencari Varians / Standar deviasi Variabel X danY, dengan rumus :

2. Mencari F hitung dengan dari varians X danY, dengan rumus :

3. Hipotesis Pengujian

Ho : σ12= σ22 (varians data homogen)

H1 : σ12 ≠ σ22 (varians data tidak homogen)

4. Membandingkan F hitung dengan F table pada table distribusi F, dengan

Jika: F hitung ≥ F tabel (0,05; dk1; dk2), maka Tolak Ho

Jika: F hitung < F tabel (0,05; dk1; dk2), maka Terima Ho

Catatan :

Untuk varians terbesar adalah dk pembilang n-1

Untuk varians terkecil adalah dk penyebut n-1

5. Contoh:

10

Data tentang hubungan antara Penguasaan kosakata(X) dan kemampuan membaca

(Y)

N

OX Y X2 Y2

X

Y

1 75 68 5625 4624 5100

2 78 72 6084 5184 5616

3 38 63 1444 3969 2394

4 94 74 8836 5476 6956

5 83 68 6889 4624 5644

6 91 81 8281 6561 7371

7 87 72 7569 5184 6264

8 91 74 8281 5476 6734

9 38 58 1444 3364 2204

10 68 58 4624 3364 3944

JUMLAH 743 688 59077 47826 52227

Kemudian dilakukan penghitungan, dengan rumus yang ada:

Kemudian dicari F hitung :

F = SbesarS kecil =

20 ,747 , 39 = 2,81

Dari penghitungan diatas diperoleh F hitung 2.81 dan dari grafik daftar distribusi F

dengan:

Dk pembilang = 10-1 = 9.

Dk penyebut = 10-1 = 9. Dan α = 0.05

F tabel = 3.18.

Tampak bahwa F hitung < Ftabel. Hal ini berarti data variabel X dan Y homogen.

11

2. UJI BARTLETT

Misalkan sampel berukuran n1,n2,…,nk dengan data Yij = (I = 1,2,…,k dan j = 1,2,

…,nk) dan hasil pengamatan telah disusun seperti dalam Tabel dibawah ini. Selanjutnya

sampel –sampel dhitung variansnya masing – masing yaitu:

S12 , s2

2 , …. Sk2

Untuk mempermudah perhitungan, satuan - satuan yang diperlukan uji Bartlett lebih baik

di susun dalam sebuah table sebagai berikut :

Dari table di atas hitung nilai - nilai yang dibutuhkan :

1. Varians gabungan dari semua sampel

2.  Harga satuan B dengan rumus

3. Uji Bartlett digunakan statistik chi - kuadrat yaitu :

4. Dengan ln 10 = 2.3026

12

5. SIGNIFIKANSI

Jika χ2 ≥ χ2(1-α)(k-1 )maka Ho ditolak

Jika χ2 ≤ χ2(1-α)(k-1) maka Ho diterima

Dimana jika χ2(1-α)(k-1) didapatkan dari table distribusi chi – kuadrat dengan peluang

(1-α) dan dk = (k-1)

6. Contoh :

Diambil data pertumbuhan berat badan anak sapi karena 4 jenis makanan

Dengan varian setiap adalah sebagai berikut :

S12 = 29,3 , s22 = 21,5 , s32 = 35,7 s42 = 20,7

a. Hipotesis

Ho = σ12 = σ2

2 = σ32 = σ4

2

H1 =σ12 ≠σ2

2≠ σ32≠ σ4

2

b. Nilai α

Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

c. Rumus statistic penguji

Untuk mempermudah perhitungan, satuan – satuan yang diperlukan uji

Bartlett lebih baik disusun dalam sebuah table sebagai berikut :

13

Sampelke dk 1/dk S12 Logs12 Dk log (si2)

1 4 0,25 29,3 1,4669 5,8675

2 4 0,25 21,5 1,3324 5,3298

3 3 35,7 35,7 1,5527 4,6580

4 3 20,7 20,7 1,3160 3,9479

JUMLAH 14 1,17 19,8031

Varians gabungan dari empat sampel di atas adalah :

S2 = 4 (29.3 )+4 (21.5 )+3 (35.7 )+4 (20.7)

4+4+3+3 = 26,6

Sehingga log 26,6 = 1,4249

Dan

B = log s2 ∑ (n1-1) = (1,4249)(14) = 19,9486

Sehingga

χ2= (ln 10){B-∑(n-1)logs12} = (2,3026)(19,9486-19,8033)= 0,063

d. Nilai tabel

Jika α = 5% dari table distribusi chi kuadrat dengand k = 3 didapat

X20.95(3) = 7.81.

e. Daerah penolakan

Menggunakan rumus 0,063 < 7.81 ; berarti Ho diterima, H1 ditolak

f. Kesimpulan

14

DAFTAR PUSTAKA

Sudjana. (2002). METODE STATISTIKA. Bandung: Tarsito.

Putri, Ratu Ilma Indra. 2013. Ilma69.wordpress.com. 27 Oktober 2016.

15