Matematika 2 - Slide week 8 - eliminasi gauss

Modul ke:

Fakultas

Program Studi

Matematika 2Eliminasi Gauss

Beny Nugraha, MT, M.Sc

08FAKULTAS

TEKNIK

TEKNIK ELEKTRO

Konsep Eliminasi Gauss

• Eliminasi Gauss adalah metode yang digunakan untuk mencariakar dari persamaan linear. Persamaan linier adalah kumpulanpersamaan-persamaan yang memiliki variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari sistem persamaan linier dengan npeubah dinyatakan sebagai berikut:

a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn = b2

.

.

am1x1 + am2x2 + …. + amnxn = bn


a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn = b2

.

.

am1x1 + am2x2 + …. + amnxn = bn

Persamaan di atas dalam matriks dapat digambarkan:


• Contoh: Gambarkan bentuk matriks dari persamaan berikut:

x1 – 4x2 + 15x3 = 44

2x1 + 5x2 – x3 = 12

- 2x2 + 4x3 = 10

• Jawab: Dengan menggunakan bentuk umum matriks daripersamaan linear, maka bentuk matriks untuk persamaanlinear di atas adalah:


• Jika diketahui persamaan linear sebagai berikut:

• Maka bentuk matriksnya:

• Atau secara sederhana dapat dituliskan:


• Tujuan dari Eliminasi Gauss adalah untuk mengubah Matriks A menjadi matriks diagonal di mana nilai elemen pada diagonal matriks adalah 1, dan juga untuk mengubah Matriks A menjadimatriks segitiga atas, di mana elemen-elemen di bawahdiagonal bernilai 0.

• Kesimpulannya, Matriks A akan berubah menjadi:


Jika:

R1 adalah setiap elemen pada baris 1, yaitu: a11, a12, a13, dan b1.



Maka tahapan penyelesaian Eliminasi Matriks adalah:

1. Untuk mendapatkan R1 yang baru, bagilah semua elemen di baris 1 dengan a11.

R1 baru = a11/a11, a12/a11, a13/a11, b1/a11

2. Untuk mendapatkan R2 yang baru, gunakan cara:

R2 baru = a21 – [(a21/a11)a11], a22 - [(a21/a11)a12] , a23 - [(a21/a11)a13], b2 - [(a21/a11)b1]

3. Untuk mendapatkan R3 yang baru, gunakan cara:



4. Kemudian bagi semua elemen R2 dengan a22:

R2 baru = a21/a22, a22/a22, a23/a22, b2/a22

5. Dapatkan lagi R1 yang baru dengan cara:




7. Kemudian bagi semua elemen R3 dengan a33:

R3 baru = a31/a33, a32/a33, a33/a33, b3/a33






10. Sampai pada tahap ini, matriks akan berbentuk:


10. Sampai pada tahap ini, matriks akan berbentuk:

11. Persamaan linear dari matriks di atas adalah:

12. Sehingga solusi persamaannya adalah:


• Contoh: Diketahui persamaan linear sebagai berikut:

x1 + x2 + 2x3 = 9

2x1 + 4x2 - 3x3 = 1

3x1 + 6x2 – 5x3 = 0

Tentukan nilai x1, x2, dan x3!

Jawab:

Bentuk matriks dari persamaan di atas adalah:


• Langkah-langkahnya:

1. Kalikan baris (i) dengan -2, lalu tambahkan ke baris (ii):

2. Kalikan baris (i) dengan -3, lalu tambahkan ke baris (iii):



3. Kalikan baris (ii) dengan ½:

4. Kalikan baris (ii) dengan -3, lalu tambahkan ke baris (iii):



5. Kalikan baris (iii) dengan -2:

• Dari matriks di atas telah didapat matriks segitiga bawahnya. Sehingga persamaan di atas menjadi:

x1 + x2 + 2x3 = 9

x2 – 7/2x3= -17/2

x3 = 3



x1 + x2 + 2x3 = 9

x2 – 7/2x3= -17/2

x3 = 3

• Kemudian dengan menggunakan teknik penyulihan mundur, akan didapat:

x3 = 3

x2 – 7/2(3) = -17/2 x2 = 2

x1 + (2) + 2(3) = 9 x1 = 1

Terima KasihBeny Nugraha, MT, M.Sc

Education

Matematika 2 - Slide week 8 - eliminasi gauss