МетодМетодии

за решаване на за решаване на квадратниквадратни

уравненияуравнения

МетодМетодии

за решаване на за решаване на квадратниквадратни

уравненияуравнения

Класификация .

Квадратни уравнения.

непълни

пълни

приведени

b = 0;

c = 0;

b = 0; c = 0;

Непълни квадратни уравнения:

a

bx

x

baxx

bxax

cb

0

0

,0

0;02

3

4

0

043

,043 2

x

x

xx

xx

2

2

0; 0

0,

0,

0,

b c

ax с

сx

ас

ако то няма корениа

с cако то x

а a

3

3

0155

4

082

2

2

2

2

x

x

x

x

x

0

,0

0

;0

2

x

ax

c

b

0

07 2

x

x

- няма корени

Ако x1 и x2 са корени

на x2 + px + q = 0, то

x1+x2=-p, x1x2=q.

Други съотношения между корените и коефициентите на приведеното квадратно уравнение x 2+ px + q=0:

Ако x1 и x2 са корени

на ax 2 + bx +c = 0, то x1+x2= - , x1x2=a

bа

с

qpxxxx

xxxxxxxx

22

222

212

21

212221

21

22

21

Теорема на Виет

Приложение формулите на Виет

, xx

, xx

, x x

–

ac – bD

x – x

24

14

122

10096196

4

02414

21

21

21

2

2

,значи корените имат различни знаци

,значи по-големия по модул корен е отрицателен

Намираме корените :

10

49101432

0103

21

2

xx

)(--D

x – x

321 xx

2;5 21 xx

Специални методи:

1. Метод на отделяне на точен

квадрат

2. Метод «прехвърляне» на

старшия коефициент

3. С използването на теореми:

Цел: привеждане на квадратното уравнение в общ вид към непълно квадратно уравнение.

Пример:

2________4

13__13

13

89932

086

2

2

2

xx

xилиx

x

xx

xx

Метод на отделяне на точен квадрат.

Корените на квадратните уравнения

и

са свързани със съотношенията

и

02 cbxax 02 acbyy

a

yx 1

1 a

yx 2

2

В някои случаи е по-удобно да решим първо не даденото В някои случаи е по-удобно да решим първо не даденото квадратно уравнение, а приведеното, получено чрез квадратно уравнение, а приведеното, получено чрез «прехвърляне» на коефициента «прехвърляне» на коефициента а .а .

Пример:

2

1___1

5___10

1214081

0109

0592

22

11

2

2

xy

xy

D

yy

xx

Метод «прехвърляне» на старшия коефициент.

С използването на теореми :

a

c

a

c

157

177;1

017720157

017720157 2

хх

xx

203

171

017220203

017220203

21

2

;хх

хх

Ако в квадратното уравнение a+b+c=0, то единия от корените е равен на 1, а втория по формулите на Виет е

Ако в квадратното Ако в квадратното уравнение уравнение a+c=b, то то единия от корените е равен единия от корените е равен на на -1,-1, а втория по а втория по формулите на Виет е формулите на Виет е

Примери:

Общи методи:

Разлагане на множители;

Въвеждане на нова променлива;

Графически метод.

Метод разлагане на множители

Цел: привеждане на квадратното уравнение в общ вид към вида А(х)·В(х)=0,

където А(х) и В(х) – са многочлени относно х.

Способи: Изнасяне на общ множител пред скоби;Изнасяне на общ множител пред скоби; Използване на формулите за съкратено умножение;Използване на формулите за съкратено умножение; Способ на групиране.Способ на групиране.

2

2

1

2

3 2 1 0

3 3 1 0

3 ( 1) ( 1) 0

( 1)(3 1) 0

1

1

3

x x

x x x

x x x

x x

x

x

Пример:

Въвеждане на нова променлива.

Умението удачно да се въведе нова променлива е важен

елемент от математическата култура. Удачния избор на нова

променлива прави структурата на уравнението по-прозрачна.

4,0____2,0

135______235

1____2

189

023

35

235335

21

21

2

2

xx

xилиx

tt

D

tt

tx

xxПример:

Графически метод

За решение на уравнението f(x) = g(x) е необходимо да се построят графиките на функциите y = f(x), y = g(x) и да се намерят пресечните им точки; абсцисите на точките на пресичане ще са корени на уравнението.

Графическия метод често се използва, не за намиране корените на уравнението, а за

определяне на тяхното количество.

Примерни решения на квадратни уравнения чрез

графически способ

x2-2x-3=0; Y=x2-2x-3; (1;-4)- връх на параболата

Отг: x=-1; x=3.

x2-2x-3=0; x2-2x=3; y=x2-2x; y=3.(1;-1)-връх на параболата. Отг: x=-1; x=3.

x2-2x-3=0; x2-3=2x; y=x2-3; y=2x. (0;-3)- връх на параболата.

Отг: x=-1; x=3.

x2-2x-3=0; x2=2x+3; y=x2; y=2x+3.

(0;0)- връх на параболата.

Отг: x=-1; x=3.

Решение на квадратни уравнения, съдържащи

параметър*.

1. Ако а =1, то имаме линейно уравнение 6х+7=0, х=

2. Ако а , то разглеждаме квадратното уравнение6

7

1

2

1

1

1

1

2 1 ( 1)(4 3) 5 4

4 0, . .5 4 0,

5(2 1) 1

0, 1 3

(2 1) 5 4 0,

14

: 5

7 1,

6

D а а а а

ако D т е а а няма корени

аако D то има един корен х

а

а аако D то има два корена х

а

Отговор ако а то няма корени

ако а то х

ако

1,2

4 (2 1) 5 4 , 1,

5 1

а аа а то х

а

0)34()12(21 2 axaxa

0)34()12(21 2 axaxa

Решение на квадратни уравнения с модул*.

2

2

х

х

0,

062

2

ttx

x

xx

2

3

0,25

06

2

1

2

t

t

DD

tt