Método de RombergExponenErick Sebastián Martínez BacaRosa Elena Sorto

Método de Romberg Al utilizar la regla del trapecio de segmentos múltiples

y la regla de Simpson de segmentos múltiples, se pudo observar que a medida que aumentaba el numero de segmentos, , el error disminuía; pero para valores muy grandes de , el error por redondeo empezaba a crecer y el esfuerzo computacional se volvía grande.

Método de Romberg El método de integración de Romberg esta diseñado para evitar

estos inconvenientes y esta basado en la regla del trapecio, pero solo se puede usar en casos en los que se conoce la función .

La formula de Romberg es la siguiente:

Método de Romberg

Donde: son las integrales mas y menos exactas,

respectivamente e es la integral mejorada. indica el nivel de integración evaluaciones de la regla del trapecio.

Método de Romberg

Donde:

Método de Romberg Precauciones que se deben tener en cuenta al usar este método: El paso no debe ser muy pequeño para que no se incremente el

error por redondeo. Este método se utiliza en el caso en que se requiera mayor

precisión en el calculo de la integral. El nivel corresponde a la estimación de la regla del trapecio

original. El nivel corresponde a una aproximación con un orden de error . El nivel corresponde a una aproximación con un orden de error

y así sucesivamente.

Método de Romberg Ejemplo Utilice la integración de Romberg para evaluar de

forma aproximada

Método de Romberg

Solución Se trabajara inicialmente con la regla del Trapecio,

para generar los datos del nivel , calculando la integral con distintos números de segmentos, los cuales deben irse duplicando hasta que la variación de las integrales sea mínima.

Método de Romberg

Solución Se comienzan los cálculos con los valores mostrados

en la Tabla 1, los cuales se obtuvieron para los diferentes tamaños de paso indicados.

Método de Romberg

𝑨𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒆𝒙𝑺𝒆𝒏(𝒙)𝟏+𝒙𝟐𝟑𝟎 𝒅𝒙 ,𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒎𝒆𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑹𝒐𝒎𝒃𝒆𝒓𝒈 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝑹𝟕,𝟕 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑅1,1 𝑦 𝑅𝑘,1 ,𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑒𝑠. 𝐶𝑜𝑛 𝑎 = 0 ,𝑏= 3 𝑦 ℎ1 = 3 𝑅1,1 = ℎ12 ሾ𝑓ሺ𝑎ሻ+ 𝑓ሺ𝑏ሻሿ= 𝑏− 𝑎2 ሾ𝑓ሺ𝑎ሻ+ 𝑓ሺ𝑏ሻሿ 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜. 𝑅1,1 = 3− 02 ሾ𝑓ሺ0ሻ+ 𝑓ሺ3ሻሿ………………………..𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑦 𝑏. 𝑅1,1 = 32ሾ0+ 0.2834471132ሿ…………………….𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛. 𝑅1,1 = 0.425170669………………………….…..𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛.

Método de Romberg¿𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑅𝑘,1? 𝐵𝑖𝑒𝑛 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑅𝑘,1 = 𝑅𝑘−1,1 12 + ℎ𝑘−1 𝑓((𝑎+ሺ2𝑖 − 1ሻℎ𝑘) 2𝑘−2

𝑖=1 ; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ𝑘 = 𝑏− 𝑎2𝑘−1 ; 𝑘 = 2

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒: 𝑎 = 0 , 𝑏= 3 , 𝑖 = 1 𝑦 𝑘 = 2 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑅2,1 = 𝑅2−1,1 12 + ℎ2−1 𝑓(0+ሺ2ሺ1ሻ− 1ሻℎ2) 22−2

𝑖=1 ; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ2 = 3− 022−1 = 32 𝑅2,1 = 𝑅1,1 12 + ℎ1 𝑓(1∗ℎ2)1

𝑖=1 ൩; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ2 = 32 ; ℎ1 = 3 𝑦 𝑅1,1 = 0.425170669 𝑅2,1 = +0.42517066912 3𝑓(1∗32 )൨ 𝑅2,1 = 12ሾ0.425170669+ 3(1.375526886)ሿ 𝑅2,1 = 2.275875664

Método de Romberg 𝑅𝑘,1 = 𝑅𝑘−1,1 12 + ℎ𝑘−1 𝑓((𝑎+ሺ2𝑖 − 1ሻℎ𝑘) 2𝑘−2

𝑖=1 ; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ𝑘 = 𝑏− 𝑎2𝑘−1 ;𝑘 = 3

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒: 𝑎 = 0 , 𝑏= 3 , 𝑖 = 1 , 2 𝑦 𝑘 = 3 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑅3,1 = 𝑅3−1,1 12 + ℎ3−1 𝑓((0+ሺ2(𝑖) − 1ሻℎ3) 23−2

𝑖=1 ; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ3 = 3− 023−1 = 34 𝑅3,1 = 𝑅2,1 12 + ℎ2 𝑓(ሺ2(𝑖) − 1ሻℎ3)2

𝑖=1 ൩; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ3 = 34 ; ℎ2 = 32 𝑦 𝑅2,1 = 2.275875664 𝑅3,1 = 12ቈ2.275875664+ 32ቆ𝑓൬34൰ቇ+ 𝑓(3∗34 ((

𝑅3,1 = +2.27587566412 32(0.9235387304+ 1.217674714)൨ 𝑅3,1 = 12ሾ5.487695831ሿ 𝑅3,1 = 2.743847915

Método de Romberg 𝑅𝑘,1 = 𝑅𝑘−1,1 12 + ℎ𝑘−1 𝑓((𝑎+ሺ2𝑖 − 1ሻℎ𝑘) 2𝑘−2

𝑖=1 ; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ𝑘 = 𝑏− 𝑎2𝑘−1 ; 𝑘 = 4

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒: 𝑎 = 0 , 𝑏= 3 , 𝑖 = 1 ,2 ,3 ,4 𝑦 𝑘 = 4 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑅4,1 = 𝑅4−1,1 12 + ℎ4−1 𝑓((0+ሺ2(𝑖) − 1ሻℎ4) 24−2

𝑖=1 ; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ4 = 3− 024−1 = 38 𝑅4,1 = 𝑅3,1 12 + ℎ3 𝑓(ሺ2(𝑖) − 1ሻℎ4)4

𝑖=1 ൩; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ3 = 34 ; ℎ4 = 38 𝑦 𝑅3,1 = 2.743847915

𝑅4,1 = +2.74384791512 34(𝑓൬1∗38 ൰+ 𝑓൬3∗38 ൰+ 𝑓൬5∗38 ൰+ 𝑓(7∗38 ))൨ 𝑅4,1 = 12ሾ2.275875664+ (2.951816992)ሿ 𝑅4,1 = 12ሾ5.695664907ሿ 𝑅4,1 = 2.847832453

Método de Romberg

Tabla 1 Valores iniciales para el calculo de la integral con la formula de Romberg

1

Método de Romberg Solución La cual se completa para los niveles aplicando la

formula de Romberg, de este modo se tiene: Para y haciendo variar desde hasta

Método de Romberg

Método de Romberg

Método de Romberg

Solución Se procede de igual manera para , y haciendo variar

desde 1 hasta 5, y luego con , tal como se muestra en la figura 1.

Método de Romberg

Figura 1 Resumen de valores calculados con la formula de Romberg

Método de Romberg

Método de Romberg

Solución Para y después de siete iteraciones el valor de la

integral por método de Romberg es