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Modulación Angular.
Modulación Angular (MA) Introducción
• MA
• En AM amplitud de la señal portadora seguía variaciones de la moduladora
banda base.• En MA la fase de la portadora la que sigue las
variaciones de la señal banda base de información.
• La MA permite discriminar de forma más eficiente el ruido y las interferencias que en el caso de AM.
• MA permite mayor ancho de banda de s(t).
PM – Phase Modulation
FM – Frequency Modulation.
Representación Matemática
En este caso la envolvente compleja viene dada por:
Donde
θ(t) función lineal de m(t).Siendo la señal modulada:
Teniendo esto como base, la diferencia entre AM y FM vendrá dado por la forma de obtener s(t) a partir de la señal mensaje m(t).
)()( tjceAtg
cAtgtR |)(|)(
)]([)( ttwCosAts cc
PM y FM
• Para PM:
• Para FM
)()( tmDt pSensitividad de fase del modulador de fase rad/v
dmDtt
f
)()(
Constante de desviación de frecuencia rad/v-s
Generación de PM a partir de FM y Viceversa
• Nos damos cuenta que FM es equivalente a modular en fase si en lugar de m(t) usamos su integral.
• Equivalentemente, PM es equivalente a modular en frecuencia si en lugar de m(t) usamos su derivada.
)]([)( ttwCosAts cc
)()( tmDt p
dmDtt
f
)()(
Generador de FM usando un modulador de fase
])([)( dmDtwCosAtst
fcc
)(tsIntegrador
Ganancia: Modulador de fase
PM
)(tm
Señal FM
)]([)( tmDtwCosAts pcc
)(tm
p
f
D
D
Generador de PM usando un modulador de frecuencia
)]([)( tmDtwCosAts pcc
)(tsDiferenciador
Ganancia: Modulador de
frecuencia
)(tm
Señal PM
])([)( dmDtwCosAtst
fcc
f
p
D
D )(tm
Frecuencia instantánea
• Una señal paso banda es representada por:
• donde:
• La frecuencia instantánea viene definida por:
dt
tdttf ii
)(
2
1)(
2
1)(
dt
tdftf ci
)(
2
1)(
)()()( tCostRts
)()( tt c
dt
tdftf ci
)(
2
1)(
t
fci dmDdt
dftf
)(
2
1)(
Para el caso de FM tendríamos que la frecuencia instantánea:
)(2
)( tmD
ftf fci
Varía alrededor de la frecuencia de la portadora (fc) y en una forma que es directamente proporcional a la señal moduladora m(t), es por esto que es llamada Modulación en Frecuencia
Frecuencia instantánea
Frecuencia instantánea
m(t)
))(tfi
La frecuencia instantánea varía cuando una señal sinusoidal es usada.
Desviación máxima de Frecuencia
• La desviación de frecuencia respecto a la frecuencia de la portadora es:
• La desviación máxima de frecuencia es:
dt
tdftftf cid
21
dt
tdftfF ci
21
Desviación máxima de Frecuencia
• Para señales FM la desviación máxima de frecuencia es:
pfVDF21
Constante de desviación de frecuencia rad/v-s
Desviación máxima de fase
• Esta definida por:
• Para PM tenemos:
t max
t max
Índice de modulación
• Existen dos índices de modulación:–De Fase: βp
–De Frecuencia: βf
• Donde: ; ∆θ : Desviación máxima de fase
; ∆F : Desviación máxima de frecuencia,
B : ancho de banda
El índice de modulación β representa la máxima desviación de la fase instantánea θi(t) con respecto a la fase de la portadora sin modular 2πfct.
p
B
Ff
Análisis espectral de la señal modulada angularmente
• El espectro de una señal modulada esta dado por:
Donde
)(2
1 *cc ffGffGfS
tjceAFtgFfG )(
Señal modulada FM
Espectro de una Señal FM modulada por una señal sinusoidal
• También llamada Tono Simple. En este tipo de modulaciones la amplitud de la portadora se mantiene constante.
• Cuando hay modulación por una señal sinusoidal se da que:fm = frecuencia de la sinusoide
• Si las señales FM y PM tienen la misma desviación pico en frecuencia => βp = βf
Espectro de una Señal FM modulada por una señal sinusoidal
• Asumiendo que la modulación en una señal FM ES:
• La envolvente compleja es:
• Usando Series de Fourier:
tAtm mmf cos)(
tsenjcc
mtj eAeAtg )()(
n
n
tjnn
mectg )(
Espectro de una Señal FM modulada por una señal sinusoidal
donde los coeficientes de la serie están dados por:
lo que se reduce a:
Esta integral es conocida como la Función de Bessel del primer tipo de orden n.
dteeT
Ac tjn
T
T
tsenj
m
cn
m
m
m
m
2/
2/
)(
nc
nsenjc JAdeAc n
2
1
Espectro de una Señal FM modulada por una señal sinusoidal
Haciendo transformada de Fourier de nuestra envolvente compleja tenemos:
Así obtenemos el espectro de una señal FM modulada por un tono simple.
n
nmn nffcfG )(
n
nmnc nffJAfG )(
Funciones de Bessel
Espectro para una modulación sinusoidal FM o PM con varios β
Espectro para una modulación sinusoidal FM o PM con varios β
Espectro para una modulación sinusoidal FM o PM con varios β
Regla de Carson
• Es una regla para el cálculo del ancho de banda.
• BT = 2∆f + 2fm = 2 ∆f (1 +1/ β ) = 2fm (β + 1)
BT = 2(β+1)BW
donde β : índice de modulación en fase; BW : ancho de banda de señal moduladora que es igual a fm para una señal sinusoidal.
• Cuando el β aumenta también lo hace el ancho de banda.
Ejercicio
Una forma de onda de RF modulada está dada por:500cos[ wct + 20 cos w1t ], donde w1=2πf1, f1=1kHz y
fc=100MHz.(a) Si la constante de desviación de fase es de 100rad/V
encuentre la expresión matemática correspondiente al voltaje de modulación de fase m(t). ¿Cuál es su valor pico y su frecuencia?
(b) Si la constante de desviación de frecuencia es de 106
rad/V.s, encuentre la expresión matemática correspondiente al voltaje de modulación de frecuencia m(t). ¿Cuál es su pico y cuál es su frecuencia?
(c) Si la onda de radiofrecuencia aparece a través de una carga de 50ohm, determine la potencia promedio.
