Modulo matematica 2

COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA

“CONTINENTAL” Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701

Matemática Segundo Año de Bachillerato Página 1







ÍNDICE

PRIMER QUIMESTRE

BLOQUE 1: FUNCIONES LINEALES ..................................................................... 11

FICHA N°1: ANÁLISIS DE FUNCIONES ......................................................................... 11

OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 11

Destreza de Criterio de desempeño: ..................................................................................... 11

Objetivo Educativo. ............................................................................................................... 11

FUNCIONES LINEALES ............................................................................................................ 13

LECCIÓN N°1 ........................................................................................................................... 14

INVESTIGO N°1 ................................................................................................................... 14

GLOSARIO N°1 .................................................................................................................... 15

RESUMO N°1 ...................................................................................................................... 15

CUESTIONARIO N°1 ................................................................................................................ 16

FICHA N°2: FUNCIONES POLINOMICAS ........................................................................ 18

OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 18



LECCIÓN Nº 2 ......................................................................................................................... 20

INVESTIGO Nº 2 .................................................................................................................. 20

RESUMO Nº 2 ..................................................................................................................... 21

GLOSARIO Nº 2................................................................................................................... 21

CUESTIONARIO Nº 2 .............................................................................................................. 22

FICHA N°3: DOMINIO Y EVALUACIÓN DE FUNCIONES. ......................................... 23

OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 23



Recorrido de una función. ..................................................................................................... 24

Dominio y recorrido ............................................................................................................... 24




LECCIÓN Nº 3 ......................................................................................................................... 25

INVESTIGO Nº 3 .................................................................................................................. 25

RESUMO Nº 3 ..................................................................................................................... 26

GLOSARIO Nº 3................................................................................................................... 26

CUESTIONARIO Nº 3 .............................................................................................................. 27

FICHA N°4: RANGOS E INTERVALOS DE FUNCIONES.............................................. 28

OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 28



Función creciente en un intervalo ..................................................................................... 29

Función estrictamente decreciente en un intervalo ........................................................ 29

Función decreciente en un intervalo................................................................................. 30

LECCIÓN Nº4 .......................................................................................................................... 31

INVESTIGO Nº 4 .................................................................................................................. 31

GLOSARIO Nº 4................................................................................................................... 31

RESUMO Nº 4 ..................................................................................................................... 32

CUESTIONARIO Nº 4 .............................................................................................................. 32

FICHA N°5: RECTAS Y PENDIENTES ................................................................................. 33

OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 33



RECTAS PARALELAS ............................................................................................................ 34

RECTAS PERPENDICULARES ........................................................................................... 35

LECCIÓN N°5 ........................................................................................................................... 36

INVESTIGO N°5 ................................................................................................................... 36

GLOSARIO N°5 .................................................................................................................... 36

RESUMO N°5 ...................................................................................................................... 37

CUESTIONARIO N°5 ................................................................................................................ 38




BLOQUE 2: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ............................................................................... 39

FICHA N°6: Ecuación Bidimensional de la Recta. ..................................................... 39

OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 39



ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO PUNTO Y PENDIENTE ......................................... 39

MONOTONÍA DE LAS LINEAS RECTAS EN FUNCIÓN DE SUS PENDIENTES ....................... 41

Función creciente ........................................................................................................... 41

Función decreciente. ..................................................................................................... 41

LECCIÓN N°6 ........................................................................................................................... 42

INVESTIGO N°6 ................................................................................................................... 42

RESUMO N°6 ...................................................................................................................... 43

GLOSARIO N°6 .................................................................................................................... 44

CUESTIONARIO N°6 ................................................................................................................ 45

FICHA N°7: ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA. ..................................................... 47

OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 47



ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA .................................................................................. 47

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA: ................................................................................... 49

GRAFICA DE LA ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA ....................................................... 49

GRAFICA DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. ......................................................... 50

LECCIÓN N°7 ........................................................................................................................... 52

INVESTIGO N°7 ................................................................................................................... 52

RESUMO N°7 ...................................................................................................................... 53

GLOSARIO N°7 .................................................................................................................... 53

CUESTIONARIO N°7 ................................................................................................................ 54

FICHA N°8: Polinomios........................................................................................................ 56

OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 56

Destreza de Criterio de desempeño. ..................................................................................... 56





POLINOMIOS ...................................................................................................................... 56

Grado de un polinomio .................................................................................................. 57

LECCIÓN N°8 ........................................................................................................................... 59

INVESTIGO N°8 ................................................................................................................... 59

RESUMO N°8 ...................................................................................................................... 60

GLOSARIO N°8 .................................................................................................................... 60

CUESTIONARIO N°8 ................................................................................................................ 61

FICHA N°9: OPERACIONES CON POLINOMIOS ........................................................... 63

OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 63



La suma o adición de polinomios: .................................................................................... 63

Sustracción o resta de polinomios: ................................................................................... 64

La multiplicación de polinomios ........................................................................................ 65

Procedimiento Operativo. ................................................................................................. 65

Multiplicación de polinomios: ........................................................................................... 66

LECCIÓN N°9 ........................................................................................................................... 67

INVESTIGO N°9 ................................................................................................................... 67

RESUMO N°9 ...................................................................................................................... 68

GLOSARIO N°9 .................................................................................................................... 68

CUESTIONARIO N°9 ................................................................................................................ 69

FICHA N°10: DIVISION DE POLINOMIOS ...................................................................... 71

OBJETIVOS. ............................................................................................................................. 71



LA DIVISION DE POLINOMIOS ........................................................................................... 71

División de un monomio por otro monomio. ................................................................... 72

División de polinomios: ..................................................................................................... 72

Reglas de la división:.......................................................................................................... 73

LECCION N°10 ......................................................................................................................... 75

INVESTIGO N°10 ................................................................................................................. 75

RESUMO N°10 .................................................................................................................... 76




GLOSARIO N°10 .................................................................................................................. 76

CUESTIONARIO N°10 .............................................................................................................. 77

SEGUNDO QUIMESTRE

BLOQUE 3: MATEMÁTICA DISCRETA. ................................................................... 79

FICHA N°11: PROPIEDAD DEL RESIDUO .................................................................. 79

OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 79

Destreza de Criterio de desempeño ...................................................................................... 79


Teorema del residuo .......................................................................................................... 79

La división sintética............................................................................................................ 80

LECCIÓN N°11 ......................................................................................................................... 81

INVESTIGO N°11 ................................................................................................................. 81

RESUMO N°11 .................................................................................................................... 81

GLOSARIO N°11 .................................................................................................................. 82

CUESTIONARIO N°11 .............................................................................................................. 83

FICHA N°12: EL ALGORITMO DE EUCLIDES. ................................................................ 84

OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 84



M.C.D. de dos polinomios: El algoritmo de Euclides. ....................................................... 84

Determinación del M.C.D .................................................................................................. 85

M.C.D de los monomios ................................................................................................ 85

M.C.D. de dos polinomios. ............................................................................................ 85

Mínimo Común Múltiplo de polinomios: .......................................................................... 85

LECCION N°12 ......................................................................................................................... 87

INVESTIGO N°12 ................................................................................................................. 87

RESUMO N°12 .................................................................................................................... 87

GLOSARIO N°12 .................................................................................................................. 88

CUESTIONARIO N°12 .............................................................................................................. 89




FICHA N°13: ECUACIONES POLINOMICAS COMPUESTAS. ................................... 91

OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 91



Teorema del residuo .......................................................................................................... 91

TEOREMA DEL FACTOR ...................................................................................................... 92

LECCIÓN N°13 ......................................................................................................................... 94

INVESTIGO N°13 ................................................................................................................. 94

RESUMO N°13 .................................................................................................................... 95

GLOSARIO N°13 .................................................................................................................. 95

CUESTIONARIO N°13 .............................................................................................................. 96

FICHA N°14: GRAFICACIÓN DE POLINOMIOS .............................................................. 98

OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 98



GRAFICACION DE POLINOMIOS......................................................................................... 98

LECCIÓN N°14 ....................................................................................................................... 102

INVESTIGO N°14 ............................................................................................................... 102

RESUMO N°14 .................................................................................................................. 102

GLOSARIO N°14 ................................................................................................................ 103

CUESTIONARIO N°14 ............................................................................................................ 103

FICHA N°15: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS .......................................................... 105

OBJETIVOS: ........................................................................................................................... 105

Destreza de Criterio de desempeño .................................................................................... 105

Objetivo Educativo. ............................................................................................................. 105

Concepto de función trigonométrica .............................................................................. 105

Gráfica de la Función Seno del ángulo ............................................................................ 106

Gráfica de la Función Coseno del ángulo ........................................................................ 107

Gráfica de la Función Tangente del ángulo. .................................................................... 108

Gráfica de la Función Cotangente del ángulo ................................................................. 109

Propiedades de las funciones trigonométricas ............................................................... 110

ECUACIÓN GENERAL DEL SENO ....................................................................................... 110




FICHA N°15 ........................................................................................................................... 112

INVESTIGO N°15 ............................................................................................................... 112

RESUMO N°15 .................................................................................................................. 113

GLOSARIO N°15 ................................................................................................................ 113

CUESTIONARIO N°15 ............................................................................................................ 114

BLOQUE 4: PROBABILIDAD Y GEOMETRÍA ................................................. 116

FICHA N°16: Transformaciones y Desplazamientos. ............................................ 116

OBJETIVO:............................................................................................................................. 116

Criterios de aprendizaje: ..................................................................................................... 116


Desplazamientos (Traslaciones) ...................................................................................... 116

Traslaciones verticales ..................................................................................................... 117

Traslaciones horizontales ................................................................................................ 117

Expansiones y compresiones verticales .......................................................................... 118

LECCION N°16 ....................................................................................................................... 119

INVESTIGO N°16 ............................................................................................................... 119

RESUMO N°16 .................................................................................................................. 119

GLOSARIO N°16 ................................................................................................................ 120

CUESTIONARIO N°16 ............................................................................................................ 120

FICHA N°17: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. ........................................................... 122

OBJETIVO:............................................................................................................................. 122



Fórmulas trigonométricas ................................................................................................... 124

Ecuaciones trigonométricas ................................................................................................ 125

LECCIÓN N°17 ....................................................................................................................... 126

INVESTIGO N°17 ............................................................................................................... 126

RESUMO N°17 .................................................................................................................. 126

GLOSARIO N°17 ................................................................................................................ 127

CUESTIONARIO N°17 ............................................................................................................ 128

FICHA N°18: GENERALIDADES Y APLICACIONES. ................................................... 130

OBJETIVO:............................................................................................................................. 130






Distancia entre Puntos. ................................................................................................... 130

Distancia de un punto a una recta. ......................................................................... 131

LECCIÓN N°18 ....................................................................................................................... 134

INVESTIGO N°18 ............................................................................................................... 134

RESUMO N°18 .................................................................................................................. 135

GLOSARIO N°18 ................................................................................................................ 135

CUESTIONARIO N°18 ........................................................................................................ 136

FICHA N°19: LA PARÁBOLA .............................................................................................. 138

Objetivos: ............................................................................................................................. 138

Destreza de Criterio de desempeño: ................................................................................... 138


LECCIÓN N° 19 ...................................................................................................................... 141

INVESTIGO N° 19 .............................................................................................................. 141

RESUMO N° 19 ................................................................................................................. 141

GLOSARIO N° 19 ............................................................................................................... 142

CUESTIONARIO N°19 ............................................................................................................ 143

FICHA N°20: LAS CÓNICAS ................................................................................................ 145

Objetivos: ............................................................................................................................. 145

Destreza de Criterio de desempeño: ................................................................................... 145


Secciones cónicas ............................................................................................................. 146

LA PARÁBOLA ................................................................................................................... 146

LA CIRCUNFERENCIA ........................................................................................................ 146

La elipse ............................................................................................................................ 147

La hipérbola ..................................................................................................................... 147

LECCIÓN N°20 ....................................................................................................................... 148

INVESTIGO N°20 ............................................................................................................... 148

RESUMO N°20 .................................................................................................................. 149

GLOSARIO N°20 ................................................................................................................ 149




PRIMER QUIMESTRE

BLOQUE 1: Funciones Lineales

FICHA N°1:

ANÁLISIS DE

FUNCIONES

OBJETIVOS:

Fomentar el análisis y evaluación de las funciones matemáticas, además interactuar con los

teoremas y sus aplicaciones en este amplio campo de las Funciones.

Destreza de Criterio de desempeño:

Desarrollo de evaluaciones funcionales.

Graficación de funciones lineales.

Aplicación de teoremas de evaluación funcional.

Objetivo Educativo. En la actualidad el ser humano requiere cada vez con mayor frecuencia el uso de funciones

lineales y otros tipos para resolver problemas económicos, administrativos y de la vida misma.

El conocimiento de sus características y comportamiento nos permite tomar decisiones

importantes.

Una función, en matemáticas es el término usado para indicar la relación o correspondencia

entre dos o más cantidades. El termino función fue usado por primera vez en 1637 por el

matemático francés Rene Descartes. (1596 – 1560).

En una función se asocian dos variables x e y tal forma que al asignar un valor a x entonces, por

alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a y es una función

(univoca) de x.




La variable x a la que se le asigna libremente valores, se llama variable independiente, mientras

que la variable y cuyos valores depende de la x, se llama variables dependientes. Los valores

permitidos de x constituye el dominio de definición de la función y los valores que toma x

constituye su recorrido

x y

Dominio Recorrido.

Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuanto todos de los elementos del primer conjunto (Dominio) se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto (Recorrido)

Ejemplo x y

Si es una función, pues todos los elementos del conjunto salida tienen una sola imagen

(Correspondencia) en el conjunto de llegada.

X y

Dominio Recorrido

1 2 3

4

55

55

5

a b c

d

1 2 3

4

a b c

d

1 2 3

4

a b c

d




No es una función pues no todos los elementos del conjunto salida tienen una imagen

(correspondencia) en el conjunto de llegada

X y

Dominio Recorrido

No es función, pues existe un elemento del conjunto salida que tiene dos imágenes

(correspondencia) del conjunto de llegada.

FUNCIONES LINEALES

Es aquella relación de correspondencia que define como grafica una línea recta cuando es

representado en el plano cartesiano. Su forma característica es

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏

Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de

la recta y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos la

inclinación de la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o abajo.

Ejemplo

Graficar la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1

La grafica nos confirma lo que dice la ecuación que la pendiente de la recta es 2, mientras que

el punto de corte con el eje de las ordenadas es -1.

𝑥 𝑓( ) -2 -5

-1 -3

0 -1

1 1

2 3

1 2 3

4

a b c

d




LECCIÓN N°1

INVESTIGO N°1 1. Escribir una definición de Función.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

__________________________________________________

2. Cuál es el Dominio y el Recorrido de una función.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

__________________________________________________

3. Identifique en la siguiente ecuación la pendiente de las líneas rectas y el punto de corte. Con el

eje de las ordenadas.

𝑓(𝑥) = 4 − 2𝑥

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

_________________________________________________________

4. Dibujar la gráfica de la siguiente ecuación e identificar la pendiente y el punto de corte con el

eje y. Encuentre las coordenadas. 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

ESPECIALIDAD: _____________________________




FUNCIONES

5. Investiga cuando una función es afín

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________

GLOSARIO N°1

a. Función:………………………………………………………………………………………………………………...

b. Dominio…………………………………………………………………………………………………………………

c. Recorrido……………………………………………………………………………………………………………….

d. Contra dominio:……………………………………………………………………………………………………..

e. Pendiente……………………………………………………………………………………………………………..

6. Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

RESUMO N°1

F. lineales F. Cuadráticas




CUESTIONARIO N°1

Identificar si los siguientes gráficos corresponden a una función, argumentar la respuesta en

cada caso.

x y

Dominio Recorrido

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

_________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

_________________________________________________________

1 2 3

4

a b c

d

1 2 3

4

a b c

d




Dibujar las gráficas de las siguientes ecuaciones e identificar en cada caso la pendiente y el punto de

corte con el eje y

a. 𝑓(𝑥) = 2 − 3𝑥

b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1

c. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3

d. 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 5

e. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5

f. 𝑓(𝑥) = 1 − 3𝑥

Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante




BLOQUE 1

Funciones Lineales

FICHA N°2:

FUNCIONES

POLINÓMICAS

OBJETIVOS:

Fomentar el análisis y evaluación de las funciones matemáticas, además interactuar con los

teoremas y sus aplicaciones en este amplio campo de las Funciones.


Desarrollo de evaluaciones funcionales.

Graficación de funciones lineales.

Aplicación de teoremas de evaluación funcional.

Objetivo Educativo. Evaluar numéricamente una función es encontrar el valor de la función para un valor numérico de sus variables. Si la función se escribe como ƒ(x), la función evaluada para una valor numérico, por ejemplo 6, se escribe ƒ(6). Para realizar la evaluación se sustituye el valor numérico en cualquier parte de la función en que aparezca la variable y se realizan las operaciones aritméticas necesarias. Ejemplo. Evaluar la función

ƒ(x) = x4+ x3- 11x2- 9x + 18 cuando el valor numérico de x es 4.

ƒ(4) = 44 + 43 - 11(4)2 - 9(4) + 18

ƒ(4) = 256 + 64 - 11(16) - 36 + 18 ƒ(4) = 256 + 64 - 176 - 36 + 18 ƒ(4) = 126




Cuando una función se evalúa para un valor determinado del dominio, significa que dicho valor se puede sustituir por la literal x que forma a esa función. El valor de y (contra dominio o imagen) se denomina f(x) cuando el dominio está formado por dicha letra x; por tanto, en una pareja ordenada el dominio es el primer valor y el contra dominio el segundo. Es decir: (x, y). Ejemplos

Consideremos f(x)=2x2–6x+8, si queremos evaluar f(a) quedaría: f (a)=2a 2– 6a+8 Así mismo, para f(p) tenemos:

f(p)=2p2– 6p+8 Para f(2x–3) el resultado sería:

f(2x–3)= 2(2x–3)2–6(2x–3)+8

= 2(4x2–12x+9)–12x+18+8

= 8x2–24x+18–12x+18+8

f(2x–3)= 8x2– 36x + 44

Como podemos observar, en todos los casos el valor de x fue sustituido por el valor con el que se quiere evaluar la función.

Encontremos f(2) si f(x)=4x3–8x2+9x– 8

Evaluando tenemos:

f(2)= 4(2)3– 8(2)2+ 9(2) – 8

f(2)= 4(8) – 8(4) + 18 – 8

f(2)= 32 – 32 + 18 - 8

f(2)=10




LECCIÓN Nº 2

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: __________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________

INVESTIGO Nº 2

1. Escribir una definición de evaluación de una Función.

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

2. Cuál es el Dominio y el Recorrido de una función. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

3. Identifique que se debe hacer para realizar una evaluación de una función

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

4. Investiga sobre el valor numérico.

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________




RESUMO Nº 2 Complete el mapa conceptual.

EVALUACION DE UNA FUNCION

Evaluar numéricamente Valor numérico

GLOSARIO Nº 2

Evaluar:………………………………………………………………………………………………………………................... Dominio…………………………………………………………………………………………………………………..………….. Recorrido……………………………………………………………………………………………………………………………… Valor:………………………………………………………………………………………………………………………………...... Valor numérico…………………………………………………………………………………………………………………… Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..………………………………………




CUESTIONARIO Nº 2

Evalúa las siguientes funciones con respecto a lo que se pide y escribe aquí el resultado.

1. f(x)= 2x2 + 8x – 4, Calcular f(–3).

2. f(x)=4x3–10x2+8x–8, Calcular f(2x–8).

3. f(x)=12x5+4x4–5x3+ 3x 2–3x +1, Calcular f(–1).

4. f(x)=6x7+8x5–7x3–3x+12, Calcular f(–2).

5. f(x)=6x2–12x+6, Calcular f(1–x7).





BLOQUE 1: Funciones

Lineales

FICHA N°3:

Dominio y Evaluación de

Funciones.

OBJETIVOS:

Reconocer los dominios e intervalos de una función, mediante sus análisis correspondientes

determinar sus pociones crecientes y decrecientes.


Reconocer los intervalos de una función.

Aplicación de teoremas de los dominios funcionales.

Analizar los recorridos de las funciones lineales.

Objetivo Educativo.

Se llama dominio de definición de una función al conjunto de los valores al conjunto de valores de las variables independientes x para los que existe la función, es decir, para los que hay un valor de la variable dependiente.

Para calcular el dominio de la función hay que hacer todas las consideraciones para definir el o los intervalos de los valores que pueden adoptar la variable independiente. El todo los casos el intervalo que represente el dominio de función siempre será el menor subconjunto de todos Ejemplo: Determine el dominio de la siguiente función:

f(2)= 4(2)3– 8(2)2+ 9(2) – 8

f(2)= 4(8) – 8(4) + 18 – 8

f(2)= 32 – 32 + 18 - 8

f(2)=10




El único valor que no puede tomar la variable independiente es 2, porque en tal caso el denominador de la fracción se haría cero, y como sabemos no existe la división por cero por esto hay que restringir este valor es todos los números reales (R) que si puede adoptar, por tanto:

Recorrido de una función.

El recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, es decir, todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente. Cuando el dominio de la función ha sufrido alguna restricción en los reales, el recorrido automáticamente aumentara adopta valores determinados. Un método clásico de calcular el recorrido de una función es el de despejar de la variable dependiente y en esa expresión analizar la variable dependiente como si se trataría de encontrar el dominio.

Dominio y recorrido

El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la

función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio

usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical

(el eje y).

Ejemplo:

Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:

La función f(x) = x + 1 es una función creciente en los números reales.




LECCIÓN Nº 3 NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________

INVESTIGO Nº 3

1. Establece una semejanza y diferencia entre dominio y recorrido de una función. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

2. Que es el despeje de una variable. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

3. Investiga que se refiere función definida a trazos. Elabora un ejemplo: ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________




RESUMO Nº 3

Completar el cuadro sinóptico.

Dominio de una función

Dominio Recorrido

es

es

Ejemplos

GLOSARIO Nº 3

Punto de llegada:………………………………………………………………………………………… Punto de salida……………………………………………………………………………………………

Intervalo cerrado………………………………………………………………………………………… Intervalo abierto:………………………………………………………………………………………… Punto de corte……………………………………………………………………………………………..

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..………………………………………




CUESTIONARIO Nº 3

Encuentre el dominio y el recorrido de la función:

1. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 5

2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4

3. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1

4. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1





BLOQUE: Funciones Lineales

FICHA N°4:

Rangos e Intervalos

De Funciones

OBJETIVOS:

Reconocer los intervalos de los diferentes tipos de funciones con su respectivo análisis,

aplicando métodos numéricos.


Determinación de las funciones crecientes.

Determinación de funciones decrecientes.

Graficar funciones mediante sus intervalos iniciales.

Objetivo Educativo. Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponda un único valor de la segunda. Pueden representar de diferentes maneras:

a. Mediante una expresión matemática, ecuación o formula. b. Como una tabla de valores que permite representar algunos valores discretos de la

función. c. Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función. d. Mediante una representación gráfica.

Algunas actividades corporales tales como el sueño, el ritmo cardíaco y la locomoción son funciones biológicas que se llevan a cabo en casi todos los seres vivos. Así también en la vida cotidiana los modelos de función han servido a las ciencias para explicar y predecir muchos fenómenos, tanto de la vida científica como de la vida social. La función exponencial, por ejemplo, explica y predice fenómenos de crecimiento de bacterias o del fenómeno de desintegración radiactiva. Igualmente la función exponencial puede reflejar el crecimiento de la población.




Una función es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera la función toma su sentido creciente dese el punto de análisis. Del intervalo, y , se cumple que: Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia arriba:

Función creciente en un intervalo

Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo,

y , se cumple que:

Función estrictamente decreciente en un intervalo

Una función es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que: Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia abajo:




Función decreciente en un

intervalo

Una función es decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera de intervalo, y , se cumple que: Observa, a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del recorrido, entonces es función.

A cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del recorrido, por lo tanto es función.

No es función, pues a un elemento del dominio le corresponde dos elementos del recorrido.




LECCIÓN Nº4

NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________

INVESTIGO Nº 4 Establece una diferencia entre función creciente y decreciente. ______________________________________________________________________________

Que condición se debe cumplir para que una función sea creciente. ______________________________________________________________________________

Que condición se debe cumplir para que una función sea decreciente. ______________________________________________________________________________

GLOSARIO Nº 4

Función:……………………………………………………………………………………………………………………… Creciente:………………………………………………………….………………………………………………………… Decreciente:………………………………………………………………………………………………………………… Intervalo:……………………………………………………………………………………………………..…………… Punto de corte………………………………………………………………………………………………………….. Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………..……………………………………………………………………….




RESUMO Nº 4

Creciente Decreciente

es

es

ejemplos

CUESTIONARIO Nº 4

Demuestra si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes y representa gráficamente:


FUNCION




BLOQUE 1: Funciones Lineales

FICHA N°5:

Rectas y Pendientes

OBJETIVOS:

Analizar y determinar las variaciones de las pendientes en las rectas ubicadas en el plano

cartesiano, además verificar la dirección de recta en función de la pendiente.

Destreza de Criterio de desempeño: Calcular la pendiente de una recta si se conocen dos puntos de dicha recta.

Determinar la monotonía de una función lineal a partir de la pendiente de la recta que

representa dicha función.

Objetivo Educativo. Se denomina pendiente de la recta la inclinación de un elemento respecto de la horizontal. La pendiente de una recta en un sistema cartesiano, se representa con la letra m y está definido como el cambio o variación en el eje “y” dividido por el respecto cambio en el eje “x” entre dos puntos de la recta. La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva de eje OX. Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta Pendiente dados dos puntos




Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece

al crecer el ángulo.

Calculo de la pendiente de la recta: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5).

Escribir su ecuación punto pendiente.

Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2). Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.

RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes iguales.




RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares cuando el ángulo que forman entre ellas es de 90°.

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo. Para que el producto de las dos pendientes de dos líneas rectas sea igual a -1 una de ellas debe ser inverso negativo de la otra y viceversa Ejemplo: Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2, 3) y (-3,-2) y compararla con la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2,3) y (0,5).

𝑥1 = 2 𝑥2 = 3 𝑦1 = −3 𝑦2 = −2

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

𝑚 =(−2) − (−3)

(3) − (2)

𝑚 = 1 𝑚2 = −1

5 (0,5)

4

3 (2,3)

2

1

-3 -2 -1 1 1 2

-2

(-3,-2) -




LECCIÓN N°5

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________

INVESTIGO N°5 Escriba en que caso se dice que dos rectas son perpendiculares: _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Escriba que significa la pendiente de una recta. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Sintetizar como se calcula la pendiente de una recta conociendo dos puntos de esta: _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

GLOSARIO N°5 Pendiente……………………………………………………………………………………………………………………………. Rectas Paralelas…………………………………………………………………………………………………………………… Rectas perpendiculares……………………………………………………………...…………………………………………… Ángulos:………………………………………………………………………………………………………………………………. Variación………………………………………………………………………………………………………………………………

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………….




RESUMO N°5

Pendiente de una Recta

Concepto Rectas paralelas

es es

Formulas




CUESTIONARIO N°5





BLOQUE 2: Álgebra y Geometría

FICHA N°6:

Ecuación

Bidimensional de la

Recta.

OBJETIVOS:

Analizar y determinar las variaciones de las pendientes en las rectas ubicadas en el plano

cartesiano, además verificar la dirección de recta en función de la pendiente.


Determinar la ecuación de la recta, dado dos parámetros (dos puntos, o un punto y la pendiente)

Calcular la pendiente de una recta si se conocen dos puntos de dicha recta.

Determinar la monotonía de una función lineal a partir de la pendiente de la recta que representa dicha función.

Objetivo Educativo.

ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO PUNTO Y PENDIENTE

Cualquier que pasa por los puntos de coordenadas A𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝐵(𝑥1, 𝑦1), tiene como pendiente

la siguiente expresión: 𝑚 =𝑦−𝑦1𝑥−𝑥1

Esta misma expresión puede escribirse de la siguiente manera:

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)




Esta última expresión se conoce como la ecuación punto – pendiente de la recta.

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenada (−2,3) y cuya pendiente es 2.

Remplazando las coordenadas del punto y la pendiente dada en la ecuación de la recta, tenemos:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 3 = 2[𝑥 − (−2)]

𝑦 − 3 = 2[𝑥 + 2]

𝑦 − 3 = 2[𝑥 + 2]

𝑦 − 3 = 2𝑥 + 4

𝑦 = 3 + 2𝑥 + 4

𝑦 = 2𝑥 + 7

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−2,3) 𝑦 𝐵(2, −1)

Para resolver este problemas es necesario calcular la pendiente entre entre dos puntos dados, y

luego calcular la ecuación, la misma que debe cumplirse para los dos puntos

𝑚 =𝑦 − 𝑦1

𝑥 − 𝑥1=

−1 − 3

2 − (−2)=

−4

4= −1

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Como A:

𝑦 − 3 = −1[𝑥 − (−2)] 𝑦 − 3 = −1[𝑥 + 2] 𝑦 − 3 = −𝑥 − 2 𝑦 = 3 − 2 − 𝑥 𝑦 = 1 − 𝑥 Con B 𝑦 − (−1) = −1[𝑥 − 2] 𝑦 + 1 = −𝑥 + 2 𝑦 = −1 + 2 − 𝑥 𝑦 = 1 − 𝑥




MONOTONÍA DE LAS LINEAS RECTAS EN FUNCIÓN DE SUS PENDIENTES

Habíamos determinado que al estudiar la monotonía de una función estamos analizando el

crecimiento y el decrecimiento de la misma.

Es importante recordar que para realizar este análisis, tomamos como referencia a la variable

independiente (x) la misma crece de izquierda a derecha.

Ejemplo:

Dibujar la recta y hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y (1, 2)

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1 =

3 − 2

−2 − 1 =

−5

−3 =

5

3

De esta manera comprobamos que toda la recta de pendiente positiva, significa que “sube” ,

por lo tanto una recta con pendiente positiva es una función creciente en todo su dominio

𝑓(𝑥) → 𝑚 > 0

Función creciente

b. Dibujar la recta y hallar la pendiente de la recta pasa por los puntos A (-2, 3)

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1 =

−2 − 3

1 − (−2) =

−5

1 + 2 = −

5

3

Análogamente una recta con pendiente negativa significativa, que la recta “baja” por lo tanto

una recta con pendiente negativa es una función decreciente en todo su dominio

𝑓(𝑥) → 𝑚 < 0

Función decreciente.

Un tramo de función en el que según avanzamos a lo largo del eje “x” la gráfica sube es un

tramo donde la función es creciente y un tramo de función en el según avanzamos a lo largo

del eje x la gráfica baja es un tramo donde la función es decreciente



Matemática Primer Año de Bachillerato Página 42

LECCIÓN N°6

INVESTIGO N°6 Explicar el proceso para hallar la ecuación de una recta conociendo un punto y la pendiente.

7.

Explique el proceso para hallar la ecuación de una recta conociendo dos puntos de ella.

8.

Explicar cómo se relaciona la pendiente de una recta con su monotonía:

______________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




Proceso

RESUMO N°6

Ecuación de la recta conociendo Monotonía de líneas

Punto y pendiente en función de su pendiente

Proceso es es




GLOSARIO N°6 Recta

1.

Coordenada

1.

Punto medio

1.

Proceso

1.

Punto de corte

1.

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.

9.




CUESTIONARIO N°6

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (−4, −3) y cuya pendiente es -3.

1.

2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (−3, −1) y es perpendicular a otra

recta cuya pendiente es -1

4.

1.




3. Resolver el siguiente problema: El número de calorías que se queman en una hora de ejercitarse en

una caminadora, está en una función de la velocidad que se emplea. Una persona que camina a una

velocidad d un 3𝑘𝑚

ℎ , quema 233 calorías. A 10

𝑘𝑚

ℎ quemara 548 calorías.

a. Graficar la función y hallar la pendiente.

b. Escribir la ecuación que se ajusta a los datos

2.






FICHA N°7:

Ecuación Reducida

de la Recta.

OBJETIVOS:

Analizar y determinar las variaciones de las

pendientes en las rectas ubicadas en el plano cartesiano, además verificar la dirección de recta

en función de la pendiente.


Determinar la pendiente de una recta a partir de su ecuación escritas en sus diferentes formas

Graficar una recta, dada su ecuación en sus diferentes formas.

Determinar la ecuación de la recta, dado dos parámetros (dos puntos, o un punto y la pendiente)

Calcular la pendiente de una recta si se conocen dos puntos de dicha recta.

Determinar la monotonía de una función lineal a partir de la pendiente de la recta que representa dicha función.

Objetivo Educativo.

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA

Sea la recta de la pendiente m que pasa por el punto de coordenadas (𝑥1, 𝑦1), que tiene como

ecuación la siguiente expresión

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥1 + 𝑦1

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚(𝑦1 − 𝑥1)

Siendo la pendiente y las coordenadas (𝑥1, 𝑦1) valores reales, entonces la expresión (𝑥1, −𝑚𝑦1)

tambien es un valor real que lo nombraremos con “b” , entonces la ecuación queda expresada

de la siguiente manera:

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃




En esta forma como ya vimos “m” es la pendiente y “b” es la ordenada de intersección de la

recta con el eje vertical. Ejemplo:

Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por los puntos (2,3) 𝑦 (−1, −3) y

comprobaron el valor de la pendiente y el punto de corte con el eje vertical.

4

3

2 (2,3)

1

-3 -2 -1 1 1 2

-2

(-1,-3) -

𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 =

3−(−3)

2−(−1) =

3+3

2+1 =

6

3= 2

Escribimos la ecuación punto pendiente, transformemos la forma reducida y comprobemos los

parámetros:

𝑦 − 3 = 2(𝑥 − 2)

𝑦 − 3 = 2𝑥 − 4

𝑦 − 3 = 2𝑥 − 1

Y-3+2=2x

y=2x+1

𝑚 = 2 → 𝑏 = 1




ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA:

Tomemos como referencia la misma recta anterior:

𝑦 − 3 = 2(𝑥 − 2)

𝑦 − 3 = 2𝑥 − 4

0 = 2𝑥 − 𝑦 − 4 + 3

𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎

Realicemos esta expresión con la fórmula de la ecuación general de la recta:

𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

En donde:

𝐴 = 2 𝐵 = −1 𝐶 = −1

𝑚 = −𝐴

𝐵 𝐵 = −

𝐶

𝐵

Comprobemos las relaciones en la ecuación estudiada:

𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎

𝑚 = −2

(−1)= 2

𝑏 = −(−1)

(−1)= −1

GRAFICA DE LA ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA

Conociendo el significado de cada elemento de la ecuación de reducida de la recta , la elaboración de la

gráfica se facilita de manera significativa. Ejemplo:

𝑦 = −2𝑥 − 6

En esta ecuación observamos lo siguiente:

1. La pendiente es negativa, por lo tanto la recta es decreciente en todo su dominio.

2. La ordenada que determina el punto de corte con el eje vertical es -6.

3. La abscisa que determina el punto de corte con el eje horizontal es -3 este valor se obtiene

cuando y = 0

𝑦 = −2𝑥 − 6




𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 0, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

0 = −2𝑥 − 6

2𝑥 = −6

𝑥 = −6

2= −3

Estos parámetros son suficientes para graficar la recta con absoluta precisión:

Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por los puntos (2,3) 𝑦 (−1, −3) y

comprobaron el valor de la pendiente y el punto de corte con el eje vertical.

𝑦 = −2𝑥 − 6

4

3

2

1

-6 -4 -2 -2 2 4 6

-4

Corte en el eje horizontal -6

Corte eje vertical

GRAFICA DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.

De manera análoga a la anterior, se conoce el significado de cada elemento de la ecuación de general de

la recta , la gráfica es igual de sencilla:

Ejemplo:

Graficar la recta 2𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0

Igualmente de esta ecuación podemos deducir lo siguiente:

1. La pendiente es positiva, por lo por lo tanto la ecuación es creciente en tanto que su dominio:

𝐴 = 2 𝐵 = −3 𝐶 = −6

𝑚 = −𝐴

𝐵 𝐵 = −

2

−3=

2

3




La pendiente que determina el punto de corte con el eje vertical es 3

𝑏 = −𝐶

𝐵 = −

−6

−3= −2

3. La abscisa que determina el punto de corte con el eje horizontal es 3 y se calcula asi:

𝑎 = −𝐶

𝐴 = −

−6

2= 3

𝑦 = −2𝑥 − 6 -

4

𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟔 = 𝟎 3

2

1

-3 -2 -1 -1 1 2 3

-2

Corte en el eje horizontal (3) -3

Corte eje vertical (-2)




LECCIÓN N°7

INVESTIGO N°7 Escribir el significado geométrico de m y b de la ecuación reducida de la recta.

2.

Explica el proceso para graficar una recta a partir de su ecuación reducido.

3.

Explicar el proceso para graficar una recta a partir de su ecuación general:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PROFESOR: ________________________________




Formula

RESUMO N°7

Ecuación reducida de la recta Ecuación general de la recta

Proceso es Pasos

GLOSARIO N°7

Ecuación reducida:

Decreciente

2.

Punto de intersección horizontal.

1.

Punto de intersección vertical

1.




Abscisa


4.

CUESTIONARIO N°7

Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por el punto (3, −5) y es paralela a la recta 𝑦 = −2𝑥 + 3

Encuentre la pendiente y el punto de corte con el eje vertical de la recta2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0.




Escriba la ecuación reducida y general de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−2,5) 𝑦 𝐵(4, −3)

5.






FICHA N°8: Polinomios

OBJETIVOS:

Comprender las funciones polinomicas, análisis de graficas e intervalos, además comparación

de rangos y aplicaciones.

Destreza de Criterio de desempeño.

Analizar las operaciones que se pueden realizar con polinomios algebraicos.

Resolución de ecuaciones polinomicas y los criterios que se emplean para analizar sus gráficos.

Objetivo Educativo.

POLINOMIOS

Sea “n” un 𝑎0, 𝑎1, 𝑎3 … … … … … . 𝑎𝑛−1número real (𝐶𝑜𝑛 𝑎𝑛 ≠ 0) la función de la forma

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ … … … … … … … … … . 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

Se denomina función polinomicas de x, de grado n

A las funciones polinomiales, también se denomina simplemente polinomios y a cada uno de

los sumandos se les llama términos del polinomio.

En particular, cuando el polinomio de un solo término se llama monomio, si consta de dos

términos binomio y si consta de tres términos se llama trinomio. A los polinomios se les

simboliza con letras mayúsculas y entre paréntesis se encuentran las variables de las que

depende el polinomio.




Monomios 3

5𝑥¸ 6𝑧3

Binomios 1

3− √8; 2𝑥2 + 5𝑎

Trinomio 1

3𝑎𝑥 − 4𝑥2 + 1

Polinomio √7𝑦5 − 4𝑦3 + 5𝑦 −49

√2 costa de cuatro términos.

Grado de un polinomio

El exponente de una expresión es la cantidad que indica cuántas veces debe tomarse dicha expresión como factor. En la expresión 4𝑥2𝑦 el exponente de x es 2 y el exponente de y es 1.

El grado de un monomio con respecto a una letra es el exponte de dicha letra. El monomio de 4𝑥2𝑦𝑧4 es: de segundo grado en x, de primer grado en y y de cuarto grado en z.

El grado de un polinomio con respecto a una letra es el exponte de dicha letra, es el monomio de mayor grado con relación a dicha letra.

Ejemplo:

𝑃(𝑡) = 𝑡2 − 3𝑡 + 2 Indica que se trata de un polinomio P que depende de la variable t. Este polinomio

es de segundo grado en t, pues el termino con mayor exponente es 𝑡2

𝑄(𝑥) = −𝑥5 + 1es de quinto grado y el termino principal es: −𝑥5.

El grado de un término en un polinomio, es igual al exponente que tiene la variable de este término

El coeficiente de un término, es la parte numérica de este término.

Ejemplo:

Para el polinomio 𝑄(𝑥) = 4𝑥5 − 8𝑥4 + 2𝑥3 − 7𝑥+9, identificar los coeficientes y los grados de cada

término

Término 4𝑥5 −8𝑥4 +2𝑥3 −7𝑥 +9

Grado 5 4 3 1 0

Coeficiente 4 -8 2 -7 9




A los polinomios se les suele escribir en orden ascendente o en orden descendente:

Si un polinomio se escribe en orden descendente, en primer lugar se escribe el término mayor

grado a continuación se escribe el término con el siguiente menor grado, y así sucesivamente.

Si un polinomio se escribe en orden ascendente, en primer lugar se escribe el término de menor

grado (que comúnmente es el término constante), a continuación se escribe el término con el

siguiente mayor y así sucesivamente.

Ejemplo: 𝑷(𝑥)= 11𝑥6 − 7𝑥8 + 9𝑥3 − 3 + 16𝑥2

Forma descendente 𝑃(𝑥)= 117𝑥8 + 11𝑥6 + 9𝑥3 − 3

Forma ascendente 𝑃(𝑥)= −3 + 16𝑥2 + 9𝑥3 +11𝑥6 − 7𝑥8

Funciones polinomicas combinadas.




LECCIÓN N°8

INVESTIGO N°8 Que es un expresión algebraica: de una reseña histórica:

6.

Que es un Polinomio:

______________________________________________________________________________

_____________________

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




RESUMO N°8

Elabore un mapa conceptual del contenido del tema tratado:

LOS POLINOMIOS

GLOSARIO N°8

Polinomio es:

Grado en algebra:

3.

Coeficiente es:

2.

Variable es

2.

Termino





______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

CUESTIONARIO N°8 Marque con una X cuál de las siguientes funciones son polinomios: ( )𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6 ( )𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 𝑥−2

( )ℎ(𝑥) =3𝑥2 + 𝑥 − 1

𝑥 − 3

( )𝐻(𝑥) = 0 ( )𝐺(𝑡) = 𝑡9

( )𝐾(𝑢) = √𝑢2 4. COMPLETE:

Expresión dada 1. Coeficiente 2. Parte literal 3. Grado

42x2y

−6x3y2z

2x2y − 3x3 + x − 4

−x8




Determine el grado del polinomio. Ponga el numeral que corresponde:

( )𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6

( )𝑄(𝑥) =𝑥

5−

2𝑥3

8+ 2

( )𝑇(𝑥) = −3

( )𝑑(𝑡) =1

2𝑔𝑡2

( )𝑅(𝑥) =11𝑥2 − 𝑥 + 7

4

( )𝑁(𝑟) = 𝑟110 − 1






FICHA N°9: OPERACIONES CON

POLINOMIOS

OBJETIVOS:

Resolver problemas que contengas ecuaciones polinomicas, además plantear soluciones a

ecuaciones de rango y dominio polinómico en el plano cartesiano.


Analizar las operaciones que se pueden realizar con polinomios algebraicos.

Resolución de operaciones polinomicas y los criterios que se emplean para su aplicación.

Objetivo Educativo. Las cuatro operaciones fundamentales que se pueden realizar con polinomios son la adición, la

sustracción, el producto y la división

Cuando se suma, se resta o multiplica polinomios, el resultado es siempre un polinomio.

Cuando se divide polinomios, el resultado no siempre es un polinomio.

La suma o adición de polinomios:

Definición: Dos términos se llaman términos semejantes si tiene exactamente la misma variable con los mismos exponentes.

Por ejemplo, los términos −2𝑥3 𝑦 8𝑥3 son términos semejantes entre si, pero −2𝑥3 𝑦 8𝑥4 no

son términos semejantes los exponentes de cada término so n diferente.

La suma y la diferencia de dos polinomios se realizan de manera similar a la suma y a la resta de

números reales.

La suma de varios polinomios es otro polinomio, cuyo valor numérico es igual a la suma de los valores numéricos de cada uno de los sumandos




Para sumar dos polinomios se procede de la siguiente manera:

1. Se forma un solo polinomio que contenga los términos de los sumandos con sus correspondientes signos.

2. Se reduce los términos semejantes, si los hubiera.

Ejemplo:

(𝟕𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟖) 𝒚 (𝟒𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 − 𝟏𝟕)

Solución:

(𝟕𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟖) + (𝟒𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 − 𝟏𝟕) = 𝟕𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟖 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 − 𝟏𝟕

(𝟕𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟖) + (𝟒𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 − 𝟏𝟕) = 𝟕𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 − 𝟐𝟓

Sustracción o resta de polinomios:

La definición. (𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠)El opuesto de un polinomio es otro polinomios que suma al original, el resultado es igual a cero.

Dado un polinomio cualquiera, para hallar el polinomio opuesto se deben hacer negativos a los términos

positivos, y hacer positivos a los términos positivos.

Al polinomio opuesto de 𝑃(𝑥) se le denota −𝑃(𝑥)

Ejemplo:

Hallar el polinomio opuesto de a) 𝑃(𝑥) = 6𝑥 − 5; 𝑏) 𝑄(𝑥) = 5𝑥3 + 3𝑥2 − 12

Solución:

a) 𝑃(𝑥) = 6𝑥 − 5

−𝑃(𝑥) = −6𝑥 + 5

𝑏) 𝑄(𝑥) = 5𝑥3 + 3𝑥2 − 12

−𝑄(𝑥) = −5𝑥3 − 3𝑥2 + 12

Para restar el polinomio 𝑄(𝑥) de otro polinomio 𝑃(𝑥) se produce de la siguiente manera:

1. Se escribe el polinomio 𝑃(𝑥) 2. A continuación se escribe el opuesto de 𝑄(𝑥) 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, −𝑄(𝑥) 3. Se reduce a los términos semejantes, si los hubiera.




Ejemplo:

Del polinomio 𝑃(𝑎) = 5𝑎2 − 8𝑎 + 6 restar el polinomio 𝑄(𝑎) = 3𝑎2 − 6𝑎 + 5.

(5𝑎2 − 8𝑎 + 6) − (3𝑎2 − 6𝑎 + 5) = 5𝑎2 − 8𝑎 + 6 − 3𝑎2 + 6𝑎 − 5

(5𝑎2 − 8𝑎 + 6) − (3𝑎2 − 6𝑎 + 5) = 5𝑎2 − 3𝑎2 − 8𝑎 + 6𝑎 + 6 − 5

(5𝑎2 − 8𝑎 + 6) − (3𝑎2 − 6𝑎 + 5) = 2𝑎2 − 2𝑎 + 1

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) = 2𝑎2 − 2𝑎 + 1

La multiplicación de polinomios

El producto de dos polinomios es un polinomio cuyo valor numérico es igual al ´producto de los valores numéricos de aquellos.

Al primer polinomio de un producto se le denomina multiplicando y al segundo polinomio,

multiplicador. Para la realización del producto de dos polinomios debemos tener en cuenta las

siguientes reglas

Reglas de los signos: El producto de dos cantidades igual signo tienen signo positivo y el producto de dos cantidades de signos contrarios tiene signo negativo : Es decir:

+ × += + − × −= + − × += − + × −= −

Procedimiento Operativo.

Para multiplicar dos monomios se procede de la siguiente manera

1. Se determina el signo del producto, mediante la regla de los signos. 2. Se multiplica los coeficientes. 3. A continuación se escribe las letras diferentes de todos los factores, poniéndole a cada

una un exponente igual a la suma de los exponentes que tiene los diferentes factores.




Ejemplo:.

Multiplique 3𝑥2𝑦 𝑝𝑜𝑟 − 4𝑥𝑦3𝑧

Tenemos

(3𝑥2𝑦)(−4𝑥𝑦3𝑧) = −(3.4)(𝑥2+3)(𝑦1+3)𝑧

(3𝑥2𝑦)(−4𝑥𝑦3𝑧) = −12(𝑥5)(𝑦4)𝑧

Multiplicación de polinomios:

1. Se multiplica cada uno de los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador considerando estos como monomios.

2. Se reduce los términos semejantes si los hubiera. 3. La suma de los productos parciales será el producto deseado

Ejemplo:

Multiplicar:

𝑷(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥+9 por 𝑄(𝑥) = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 − 𝟕

𝑷(𝑥)𝑸(𝑥) = (𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟗 )(𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 − 𝟕)

𝑷(𝑥)𝑸(𝑥) = 𝒙𝟓 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝟒 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟑𝟓𝒙 + 𝟗𝒙𝟑 − 𝟏𝟖𝒙 − 𝟔𝟑

𝑷(𝑥)𝑸(𝑥) = 𝒙𝟓 + 𝟓𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟑 − 𝟏𝟕𝒙𝟐 + −𝟓𝟑𝒙 − 𝟔𝟑




LECCIÓN N°9

INVESTIGO N°9 Elabore una bibliografía so sobre un creador de las expresiones algebraicas:

7.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




RESUMO N°9

Elabore un mapa conceptual del contenido del tema tratado: POLINOMIOS

GLOSARIO N°9 Expresión:

Algebra:

4.

Combinaciones:

3.

Binomio

3.

Adición





8.

CUESTIONARIO N°9 Marque con una X según corresponda la respuesta de la sustracción :

Del polinomio

𝑃(𝑎) = 15𝑎2 − 8𝑎 + 6 restar el polinomio 𝑄(𝑎) = 5𝑎2 − 16𝑎 + 20.

( )𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) = 10𝑎2 − 8𝑎 − 14 ( ) 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) = 𝑎2 − 8𝑎 + 14 ( ) 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) = 20𝑎2 − 8𝑎 Marque con una X según corresponda la respuesta de la adición:

Del polinomio 𝑃(𝑎) = 15𝑎2 + 8𝑎 adiciona con el polinomio 𝑄(𝑎) = 15𝑎2 − 6𝑎 + 30:

( )𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) = 10𝑎2 − 8𝑎 − 14 ( ) 𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) = 30𝑎2 + 2𝑎 + 30 ( ) 𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) = 20𝑎2 − 8𝑎 − 30




Marque con una X según corresponda la respuesta de la adición : Del polinomio 𝑃(𝑎) = 10𝑎4 + 𝑎3 + 15𝑎2 + 8𝑎 − 20 𝑄(𝑎) = −10𝑎4 + 2𝑎3 + 𝑎2 + 8𝑎 − 20 𝑅(𝑎) = −𝑎4 + 𝑎3 + 15𝑎2 + 8𝑎 + 20

( )𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) + 𝑅(𝑎) = −2𝑎4 + 15𝑎3 + 31𝑎2 + 24𝑎 − 10

( ) 𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) + 𝑅(𝑎) = 10𝑎4 + 𝑎3 + 15𝑎2 + 8𝑎 − 20

( ) 𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) + 𝑅(𝑎) == −𝑎4 + 5𝑎3 + 31𝑎2 + 24𝑎 − 20

Marque con una X según corresponda la respuesta de la multiplicación de polinomios: Del polinomio 𝑃(𝑥) = 6𝑥 + 5𝑥3 − 8 − 3𝑥2

𝑄(𝑥) = −𝟗 + 4𝑥2 − 7𝑥

( )𝑃(𝑥) × 𝑄(𝑥) = 20𝑥5 − 47𝑥4 − 47𝑥2 + 2𝑥+72

( )𝑃(𝑥) × 𝑄(𝑥) = 30𝑥5 − 7𝑥4 − 57𝑥2 + 𝑥+72

( ) 𝑃(𝑥) × 𝑄(𝑥) = +5𝑎3 + 31𝑎2 + 24𝑎 − 20






FICHA N°10:

DIVISIÓN DE

POLINOMIOS

OBJETIVOS.

Aprender los diferentes métodos para realizar la división de polinomios de grados menores

hasta grados superiores, aprender el método de la división sintética y lo métodos de reducción

de Ruffinni.


Realizar la división de polinomios en función a los procesos preestablecidos.

Resolver las divisiones con métodos sintéticos de análisis.

Resumir funciones con el método de Ruffinni

Objetivo Educativo.

LA DIVISION DE POLINOMIOS

Definición: Dividir dos polinomios es hallar el tercer polinomio tal que su valor numérico sea igual al cociente de los valores numéricos de los dos polinomios dados.

Los dos polinomios dados de denominan dividendo y divisor, y el polinomio hallado, cociente.

La división es la operación inversa de la multiplicación.

En general tenemos

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟= 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 +

𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟

Donde el residuo es un polinomio entero de grado inferior al de divisor. Si el residuo es igual a

cero se dice, que la división es exacta.




División de un monomio por otro monomio.

Para dividir un monomio por otro monomio, se produce de la siguiente manera

Se determina el signo del resultado, mediante la regla de los signos.

Se divide en los coeficientes entre sí . El coeficiente es el coeficiente pedido

Se escribe las letras que se hallan en el dividendo y el divisor, con un exponente igual a la diferencia de los exponentes que llevan en cada termino, cundo dichos exponentes son distintos.

No se escribe las letras que tienen exponente igual en el dividendo y divisor.

Si ubica letras en el dividendo que no se halla en el divisor, se escribirán tal como están, pero si el divisor tiene letras que no figuran en el dividendo, pasarán al cociente con exponente negativo.

Ejemplo:

𝟐𝟎𝒂𝟓𝒃𝟑𝒄𝟐

−𝟓𝒂𝟐𝒃𝟐= −𝟒𝒂𝟑𝒃 𝒄𝟐

𝟏𝟐𝒂𝟑𝒃𝟐 ÷ 𝟒𝒂𝟐𝒃 = 𝟑𝒂𝒃

(−𝟑𝟓𝒙𝟑𝒚𝟒)

(−𝟓𝒙𝟐𝒚𝟑𝒛)= 𝟕𝒙𝒚𝒛−𝟏

Tengamos en cuenta: En general no existe monomios enteros que, multiplicando por el divisor, reproduzca el dividendo, en tales casos se deja la división indicando en forma de fracción.

Ejemplo:

𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒓𝟏𝟓𝒂𝒃𝟐 𝒑𝒐𝒓 𝟖𝒂𝟑

𝟏𝟓𝒂𝒃𝟐

𝟖𝒂𝟑=

𝟏𝟓𝒃𝟐

𝟖𝒂𝟐=

𝟏𝟓

𝟖𝟖𝒂−𝟐𝒃𝟐

División de polinomios:

Consideremos dos polinomios 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) y las siguientes definiciones:

La definición. (𝑫𝒆 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂)Dividir exactamente el polinomo𝑃(𝑥) 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑄(𝑥) distinto de cero, significa hallar un polinomio 𝐶(𝑥) tal que se verifique:

𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑥)𝑄(𝑥) Entonces, se dice que 𝑃(𝑥) es divisible por 𝑄(𝑥)




Es decir, en la división exacta, el residuo es igual cero 𝑅(𝑥) = 0

Definición (𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂) Dividir inexactamente (𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜) el polinomio 𝑃(𝑥)por el polinomio 𝑄(𝑥), distinto a cero, significa hallar dos polinomios 𝐶(𝑥)𝑦 𝑅(𝑥) tal que se verifique

𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)

El polinomio𝑃(𝑥) es el dividendo, 𝑄(𝑥) el divisor, 𝐶(𝑥) el cociente, y 𝑅(𝑥) es el residuo o resto,

entonces se dice que el polinomio 𝑃(𝑥) se divide por el polinomio 𝑄(𝑥)cociente 𝐶(𝑥) y con residuo

𝑅(𝑥)

El grado 𝑅(𝑥) del polinomio 𝑅(𝑥) es estrictamente menor al grado de 𝑄(𝑥)

Reglas de la división:

Para dividir dos polinomios, previamente hay que ordenarlos de manera decreciente, luego se procede

de la siguiente manera:

1. Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor, con

la cual se obtiene el primer término del cociente. Se multiplica este término por el divisor y se resta el residuo-

2. El primer término del residuo, dividendo por el primer término del divisor, da el segundo término del cociente. Multiplicando este segundo término hallando por el divisor y restado el producto obtenido del primer residuo, hallamos un segundo residuo, con el cual se procederá del mismo modo que con el primer para obtener el tercer término del cociente.

3. Se continua de la misma manera hasta dar con un residuo igual a cero o con un polinomio de grado inferior al del divisor, que es el residuo de la operación.




LA DIVISION DE POLINOMIOS

Ejemplo:

Dividir 3𝑥2 + 5𝑥 + 6 𝑝𝑜𝑟 𝑥 + 2

3𝑥 + 11




LECCION N°10

INVESTIGO N°10 Que es una expresión algebraica: indique la clasificación de los polinomios explique cada uno

de ellos y ponga un ejemplo:

1.

Como se realiza la división sintética en los polinomios.

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Como se realiza la multiplicación o producto de polinomios.

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NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




RESUMO N°10 Elabore un mapa conceptual del contenido del tema tratado: POLINOMIOS

GLOSARIO N°10

Trinomio:

Coeficiente:

5.

Teorema:

4.

División

4.

Reglas





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CUESTIONARIO N°10

Marque con una X según corresponda la respuesta de la división: Divida el siguiente polinomio: (𝑎3 − 2𝑎6) ÷ 𝑎2

( ) 𝑎 − 𝑎4

( )0,5𝑎2 −2

2𝑎

( )𝑎1 − 2𝑎 Marque con una X según corresponda la respuesta de la división:

Divida el siguiente polinomio:

21𝑥2𝑦 ÷ −7

( )2𝑥2𝑦

( ) − 3𝑥2𝑦

( ) − 3𝑥3𝑦 Marque con una X según corresponda la respuesta de la división :

Divida el siguiente polinomio: (8𝑥3 − 3𝑥 − 2) ÷ 3𝑥 − 3

( )𝑥2 +8

3𝑥 +

5

3

( )8

3𝑥2 +

8

5𝑥 −

5

3

( )8

3𝑥2 +

8

3𝑥 +

5

3




Marque con una X según corresponda la respuesta de la división de polinomios:

Divida el siguiente polinomio:

(2𝑥5 + 3𝑥4 + 5𝑥3+6𝑥2 − 𝑥 + 6) ÷ 𝑥2 − 3𝑥 + 2 ( )2𝑥3+9𝑥2 + 28𝑥 + 72 ( )2𝑥4+9𝑥2 + 28𝑥 − 36 ( )2𝑥3+9𝑥2 − 72

Grafique el siguiente polinomio.

𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 1

1.





SEGUNDO QUIMESTRE

BLOQUE 3: Matemática Discreta.

FICHA N°11:

Propiedad del Residuo

OBJETIVOS:

Analizar problemas que ameriten una solución múltiple por los métodos analizados

anteriormente, aplicación de las herramientas de solución para los sistemas de ecuaciones

polinomicas.

Destreza de Criterio de desempeño

Resolver un sistema de dos ecuaciones polinomicas con las reglas establecidas.

Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la gráfica y analítica

Determinar la división sintética de los polinomios.

Objetivo Educativo.

Teorema del residuo

Teorema (del residuo) si el polinomio P(𝑥) se evalúa en 𝑥 = 𝑎 entonces el resultado 𝑃(𝑎) es igual al residuo que se obtiene cuando se divide P(𝑥) por 𝑥 − 𝑎. Es decir si P(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) Q(𝑥) + 𝑅, entonces 𝑅 = P(𝑎).

Ejemplo:

Hallar el resto de la división del polinomio P(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2 + 12 por el binomio 𝑥 − 2

Solución De acuerdo al teorema del residuo:

𝑅 = 𝑃(2) = 24 − 5(2)2 + 12

𝑅 = 𝑃(2) = 16 − 20 + 12

𝑅 = 8




Hallar el valor de m para que el polinomio 𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 + 𝑚 sea divisible por 𝑥 − 1

Solución. El resto de la división del polinomio por 𝑥 − 1 se obtiene calculando P(1).

𝑟 = 𝑃(1) = 1 − 3 + 5 + 𝑚

𝑟 = 3 + 𝑚

Para que 𝑃(1) = 0 es necesario que 𝑟 = 3 + 𝑚 = 0; por lo tanto 𝑚 = −3

La división sintética

Si el divisor del polinomio es un binomio de la forma 𝑥 − 𝑎, donde a es una constante, el

algoritmo de la división se puede simplificar a un proceso denominado división sintética.

También llamada regla de Ruffini, es un procedimiento práctico para encontrar el cociente y el

residuo de la división de un polinomio entre un binomio se realiza de la siguiente manera.

El cociente del primer número del cociente es igual al primer término del dividendo.

El cociente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el cociente del

término anterior por a y sumando el coeficiente del término y de igual orden del término.

El residuo de la división se obtiene multiplicando por a el ultimo coeficiente del cociente y

sumando al resultado el último coeficiente del dividendo.

Ejemplo:

1. Realice la operación: (2𝑥3 − 3𝑥 + 5) ÷ (𝑥 − 1)

2 0 − 3 + 5 4

8 − 32 + 116

2 8 − 29 + 121

𝐶(𝑥) = 2𝑥2 + 8𝑥 + 29 𝑟 = 121

2. Realice la operación: (𝒙𝟓 − 𝟏𝟔𝒙𝟑 − 𝟐𝟎𝟐𝒙 + 𝟖𝟏) ÷ (𝒙 − 𝟒)

1 0 − 16 +0 − 202 + 81 4

4 16 0 − 808

1 4 0 0 − 202 − 727

𝐶(𝑥) = 𝑥4 + 4𝑥3 − 202 𝑦 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 − 727




LECCIÓN N°11

INVESTIGO N°11 Elabore un marco teórico sobre la regla de Ruffini:

1.

RESUMO N°11 Elabore un mapa conceptual del teorema del residuo y división sintética.

1.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N°11 Principio:

Residuo:

2.

Operación:

5.

Elementos de la división:

5.

Simplificar


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CUESTIONARIO N°11

Marque con una X según corresponda la respuesta de la división : Hallar el cociente y el residuo de la división dada (𝑥4 − 5𝑥2 + 12): (𝑥 + 2)

( )𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 2 𝑟 = 8 ( ) 𝑥3 + 𝑥2 − 1𝑥 + 2 𝑟 = 7 ( ) 2𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 𝑟 = 18 Marque con una X según corresponda la respuesta de la división:

Hallar el cociente y el residuo de la división dada (𝑥4 + 2𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 6): (𝑥 + 3)

( )𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 2 𝑟 = 8 ( ) 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 2 𝑟 = 0 ( ) 2𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 𝑟 = 0

Marque con una X según corresponda la respuesta de la división :

Hallar por simple inspección la división𝑥3 − 4𝑥2 + 7𝑥 − 6 entre 𝑥 − 2

( )𝑥 + 2 𝑟 = 8 ( ) 𝑥 − 4 𝑟 = 0 ( ) 𝑥 − 2 𝑟 = 0

Marque con una X según corresponda la respuesta de la división de polinomios :

Hallar por simple inspección la división𝑥3 − 2𝑥2 + 3 entre 𝑥 + 1

( )𝑥 − 2 𝑟 = 8 ( ) 𝑥 − 4 𝑟 = 0 ( ) 𝑥 − 12 𝑟 = 0





BLOQUE 3: Matemática Discreta

FICHA N°12:

El Algoritmo de Euclides.

OBJETIVOS:



polinomicas.


Resolver un sistema de dos ecuaciones polinomicas con las reglas establecidas.



Objetivo Educativo.

M.C.D. de dos polinomios: El algoritmo de Euclides.

Consideremos un polinomio de cualquiera que tiene varios divisores; es decir el polinomio se

puede descomponer como el producto de ciertos factores.

Ahora consideremos dos polinomios que han sido descompuestos en factores. Dichos

polinomios pueden divisores comunes o pueden no tenerlos. Si los polinomios tienen divisores

comunes, se puede hallar el máximo común divisor entre ellos.

Definiciónde máximo común divisor: Entre todos los divisores que son comunes a varios polinomios existen uno de mayor grado que los demás, al cual se se llama máximo común divisor de los polinomios dados y se le representa como M.C.D.




Determinación del M.C.D

Para encontrar el M.C.D se debe distinguir dos pasos según se trata de monomios o polinomios-

M.C.D de los monomios

Para la determinación del M.C.D. de monomios bastara hallar el máximo común divisor de los

coeficientes y poner a continuación todas las variables afectadas de sus menores exponentes.

Ejemplo:

Hallar el M.C.D. de los monomios 4𝑎2𝑏4, 16𝑎3𝑏𝑐2𝑑, 36𝑎2𝑏5𝑐4

4𝑎2𝑏4 = 22𝑎2𝑏4

16𝑎3𝑏𝑐2𝑑 = 24𝑎3𝑏𝑐2𝑑

36𝑎2𝑏5𝑐4 = 62𝑎2𝑏5𝑐4

𝑀. 𝐶. 𝐷 = 4𝑎2𝑏𝑐

M.C.D. de dos polinomios.

Para determinar el M.C.D. de dos polinomios, se debe tener presente los siguientes:

Ejemplo:

Hallar el M.C.D. de los polinomios: 𝑥4 − 5𝑥2 + 4 𝑦 𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 12

𝑥4 − 5𝑥2 + 4 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 12 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

M.C.D.= 𝑥2 − 4

Mínimo Común Múltiplo de polinomios:

Definición de mínimo común múltiplo: Entre todos los múltiplos comunes de varios polinomios existen uno de menor grado que los demás, que se llama mínimo común múltiplo y se le denota m.c.m.

Se obtiene descomponiendo entre sus factores primos y luego formando el producto de todos

los factores primos diferentes afectados por su mayor exponente.

Ejemplo:

Hallar el M.C.D. de los monomios 4𝑎2𝑏4, 16𝑎3𝑏𝑐2𝑑, 36𝑎2𝑏5𝑐4




4𝑎2𝑏4 = 22𝑎2𝑏4

16𝑎3𝑏𝑐2𝑑 = 24𝑎3𝑏𝑐2𝑑

36𝑎2𝑏5𝑐4 = 62𝑎2𝑏5𝑐4

𝑚. 𝑐. 𝑚. = 24. 32. 𝑎3𝑏5𝑐4𝑑

𝑚. 𝑐. 𝑚 = 144𝑎3𝑏5𝑐4𝑑

También se puede determinar el mcm de polinomios:

Hallar el mcm. de los polinomios: 𝑥4 − 5𝑥2 + 4 𝑦 𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 12

𝑥4 − 5𝑥2 + 4 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 12 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

mcm.= (𝑥2 − 4)(𝑥2 − 1)(𝑥 + 3)




LECCION N°12

INVESTIGO N°12

Determine el concepto de M.C.D y de mcm. Indique el proceso de realización con un

ejemplo: (10 puntos)

RESUMO N°12

Elabore un mapa conceptual del mcd y mcm de polinomios.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N°12

Máximo:

Mínimo:

Divisor:

Múltiplo:

Divisor.


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CUESTIONARIO N°12

Poner falso o verdadero según corresponda:

1. Máximo común divisor: Entre todos los divisores que son comunes a varios polinomios

existen uno de mayor grado que los demás, al cual se llama máximo común divisor de los

polinomios dados y se le representa como M.C.D.

2. mínimo común múltiplo: Entre todos los múltiplos comunes de varios polinomios existen uno de

menor grado que los demás, que se llama mínimo común múltiplo y se le denota mcm.

3. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división:

Hallar el M.C.D. de los polinomios: 4𝑥3 + 37𝑥2 + 34𝑥 − 48 𝑦 4𝑥2 + 5𝑥 − 6

( )4𝑥2 + 5𝑥 − 6 ( )𝑥2 − 1𝑥 + 2 ( ) − 2𝑥2 − 5𝑥 + 4 4. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división:

Hallar el mcm. De

𝑥4 − 5𝑥2 + 4 𝑦 𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 12

( )𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 2 ( )𝑥5 + 3𝑥4 − 5𝑥3 − 15𝑥2 + 4𝑥 + 12 ( )𝑥5 + 3𝑥4 − 5𝑥3 − 𝑥2 + 4𝑥 − 1





Hallar el mcm. De

4𝑎𝑥2 − 8𝑎𝑥𝑦 + 4𝑎𝑦2 𝑦 6𝑏2𝑥 − 6𝑏2𝑦

( ) 12𝑎𝑏2(𝑥 + 𝑦)2 ( ) 8𝑎𝑏2(𝑥 − 𝑦)3 ( ) 12𝑎𝑏2(𝑥 − 𝑦)2


Hallar el M.C.D. de los polinomios: 36𝑎2𝑏4, 48𝑎3𝑏3𝑐, 60𝑎4𝑏3𝑚

( )12𝑎2𝑏3 ( ) − 4𝑎2𝑏3 ( ) − 2𝑎𝑏𝑥2






FICHA N°13:

Ecuaciones Polinómicas

Compuestas.

OBJETIVOS:



polinómicas.


Realizar las ecuaciones de polinomios en función a los procesos preestablecidos.

Resolver un sistema de dos ecuaciones polinómicas con las reglas establecidas.



Objetivo Educativo.

Teorema del residuo

Definición: Se denomina ecuación a toda igualdad que solo se satisface para determinados valores numéricos de ciertas letras que aparecen en ella.

Las letras que representan los números desconocidos se denominan incógnitas y a los números

y letras que acompañan a la incógnita se los llama coeficiente.

Definición: (𝒅𝒆 𝒓𝒂𝒊𝒛 𝒄𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 )Los valores numéricos que cumplen una ecuación reciben el nombre de soluciones, ceros o raíces de una ecuación.

Definición: (𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒄𝒂𝒔 )Dado un polinomio 𝑃(𝑥)llamadas ecuaciones polinómicas a una igualdad de tipo 𝑃(𝑥)=𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 … … … … … … … … . . 𝑎1𝑥 + 𝑎𝑜 = 0




Definición: (𝒅𝒆 𝒓𝒂𝒊𝒛 𝒄𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 )Un número se denomina raíz del polinomio 𝑃(𝑥) si se verifica que 𝑃(𝑎 )

Gráficamente, las raíces de un polinomio son las coordenadas 𝑥 de los puntos donde el gráfico de la

función se cruza con el eje 𝑥 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 − 5 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑎 = −1 𝑦 𝑎 = 2,5 son raíces

de la ecuación polinomial 2𝑥2 − 3𝑥 − 5 = 0 puesto que al sustituirlos en 𝑃(𝑥) se cumple que

𝑃(𝑎) = 0

Para 𝑎 = −1: 𝑃(−1) = 2(−1)2 − 3(−1) − 5 = 0

Para 𝑎 = −1: 𝑃(2,5) = 2(2,5)2 − 3(2,5) − 5 = 0

Como se observa, el gráfico de 𝑃(𝑥) corta el eje x en los

puntos (−1; 0) 𝑦 (2,5; 0)

TEOREMA DEL FACTOR

Definición (𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓)El binomio (𝑥 −𝑎) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑃(𝑥) si exista un polinomio 𝑄(𝑥) tal que 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) 𝑄(𝑥)

El siguiente teorema establece que se puede determinar si

un polinomio tiene

a(𝑥 − 𝑎) 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 mediamente la evaluación del polinomio en 𝑥 = 𝑎

Teorema(𝒅𝒆𝒍 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓)El polinomio 𝑃(𝑥) tiene como factor a (𝑥 − 𝑎) si al evaluarlo es 𝑥 = 𝑎 resulta que 𝑃(𝑎) = 0

Ejemplo: divisibles: 1,-1,2,-1,4,-4,8,-8 debe quedar el residuo cero

Es 𝑥 − 1 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥3 + 5𝑥2 + 2𝑥 − 8

Solución: 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 + 2𝑥 − 8, entonces

𝑃(1) = (1)3 + 5(1)2 + 2(1) − 8

𝑃(1) = 1 + 5 + 2 − 8 = 0




Para determinar 𝑄(𝑥) empleamos la división sintética

1 5 2 − 8 1

1 6 8

1 6 8 0

Por lo tanto 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 8




LECCIÓN N°13

INVESTIGO N°13

Determine el concepto de M.C.D Indique el proceso de realización con un ejemplo

Determine el concepto de M.C.M Indique el proceso de realización con un ejemplo.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




RESUMO N°13

Elabore un mapa conceptual del mcd y mcm de polinomios.

GLOSARIO N°13

Máximo:

Mínimo:

Divisor:

Múltiplo:

Divisor.





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CUESTIONARIO N°13

Poner falso o verdadero según corresponda:








( )4𝑥2 + 5𝑥 − 6 ( )𝑥2 − 1𝑥 + 2 ( ) − 2𝑥2 − 5𝑥 + 4





Hallar el mcm. De 𝑥4 − 5𝑥2 + 4 𝑦 𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 12

( )𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 2 ( )𝑥5 + 3𝑥4 − 5𝑥3 − 15𝑥2 + 4𝑥 + 12 ( )𝑥5 + 3𝑥4 − 5𝑥3 − 𝑥2 + 4𝑥 − 1


Hallar el mcm. De 4𝑎𝑥2 − 8𝑎𝑥𝑦 + 4𝑎𝑦2 𝑦 6𝑏2𝑥 − 6𝑏2𝑦

( ) 12𝑎𝑏2(𝑥 + 𝑦)2 ( ) 8𝑎𝑏2(𝑥 − 𝑦)3 ( ) 12𝑎𝑏2(𝑥 − 𝑦)2


Hallar el M.C.D. de los polinomios: 36𝑎2𝑏4, 48𝑎3𝑏3𝑐, 60𝑎4𝑏3𝑚

( )12𝑎2𝑏3 ( ) − 4𝑎2𝑏3 ( ) − 2𝑎𝑏𝑥2






FICHA N°14: Graficación de Polinomios

OBJETIVOS:



polinómicas.




Resolver un sistema de dos ecuaciones polinómicas con las reglas establecidas.


Objetivo Educativo.

GRAFICACION DE POLINOMIOS

No hay reglas que permitan la construcción de los gráficos de polinomiales, ya que dependen del grado que tengan los polinomios; sin embargo es posible tener una idea de como es el gráfico de in polinomio si nos valemos de las raíces y el criterio de coeficiente principal.

Criterio de Coeficiente principal: Nos permite describir el comportamiento del grafico de u

polinomio cuando la variable toma valores grades en direcciones positivas o negativas,

utilizando únicamente el signo de coeficiente principal y el grado de polinomio.

La notación flecha: Para describir el comportamiento de los polinomios cuando la variable toma

valores altos en direcciones positivas o negativas usamos la siguiente notación:




𝑥 → ∞ Se lee: toma valores grandes en direcciones positivas.

𝑥 → −∞ Se lee: toma valores grandes en direcciones negativas.

𝑓(𝑥) = 𝑥2

−∞ → 0 → ∞ 𝑥 → −∞𝑦 → ∞

𝒚 = 𝒙𝟑

−∞ → 𝑦 → ∞ 𝑥 → −∞𝑦 → ∞




Si n es impar:

𝑆𝑖𝑎𝒏 > 0el grafico es decreciente a la izquierda y a la derecha creciente es decir, cuanto

𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → −∞ 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ 𝑃(𝑥) → ∞

𝑆𝑖𝑎𝒏 < 0, el grafico es creciente a la izquierda y decreciente a la derecha, es decir

cuando 𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → −∞ y cuando 𝑥 → ∞, 𝑃(𝑥) → −∞

Si n es par y

Si 𝑎𝑛 > 0, el grafica es creciente a la izquierda y creciente a la derecha, es decir, cuando

𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → ∞ 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ 𝑃(𝑥) → −∞




Ejemplo:

1. 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙

Solución Aquí, 𝑛 = 3 𝑦 𝑎𝑛 = −1

Como el grado del polinomio es impar y 𝑎𝑛es negativo, el gráfico a la izquierda decreciente a la

derecha-

Cuando 𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → ∞ 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ 𝑃(𝑥) → −∞

2. 𝑷(𝒙) =𝟑

𝟒𝒙𝟒 + 𝟓𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟕

Solución: 𝑛 = 4 𝑦 𝑎𝑛 =3

4

El grado del polinomio es par y 𝑎𝑛es positivo, el gráfico es creciente a la izquierda creciente a

la derecha-

Cuando 𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → ∞ 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ 𝑃(𝑥) → −∞

3. 𝟏

𝟕𝒙𝟓 + 𝒙𝟒 − 𝟐𝟒

Solución: 𝑛 = 5 𝑦 𝑎𝑛 =1

7

El grado del polinomio es impar y 𝑎𝑛es positivo, el gráfico es decreciente a la izquierda

creciente a la derecha.

Cuando 𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → −∞ 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ 𝑃(𝑥) → ∞




LECCIÓN N°14

INVESTIGO N°14

Determine el concepto de M.C.D y de mcm. Indique el proceso de realización con un

ejemplo:

________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________

RESUMO N°14 Elabore un mapa conceptual del mcd y mcm de polinomios.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N°14

Máximo:______________________________________________________________________________________________

Mínimo: ______________________________________________________________________________________________

Divisor: _______________________________________________________________________________________________

Múltiplo:______________________________________________________________________________________________

Divisor._______________________________________________________________________________________________


________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________

CUESTIONARIO N°14 Poner falso o verdadero según corresponda:











( )4𝑥2 + 5𝑥 − 6 ( )𝑥2 − 1𝑥 + 2 ( ) − 2𝑥2 − 5𝑥 + 4 4. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división:

Hallar el mcm. De 𝑥4 − 5𝑥2 + 4 𝑦 𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 12

( )𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 2 ( )𝑥5 + 3𝑥4 − 5𝑥3 − 15𝑥2 + 4𝑥 + 12 ( )𝑥5 + 3𝑥4 − 5𝑥3 − 𝑥2 + 4𝑥 − 1 5. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división:

Hallar el mcm. De 4𝑎𝑥2 − 8𝑎𝑥𝑦 + 4𝑎𝑦2 𝑦 6𝑏2𝑥 − 6𝑏2𝑦

( ) 12𝑎𝑏2(𝑥 + 𝑦)2 ( ) 8𝑎𝑏2(𝑥 − 𝑦)3 ( ) 12𝑎𝑏2(𝑥 − 𝑦)2 6. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división: Hallar el M.C.D. de los polinomios: 36𝑎2𝑏4, 48𝑎3𝑏3𝑐, 60𝑎4𝑏3𝑚 ( )12𝑎2𝑏3 ( ) − 4𝑎2𝑏3 ( ) − 2𝑎𝑏𝑥2






FICHA N°15: Funciones

Trigonométricas

OBJETIVOS:

Aprender y analizar problemas que ameriten una solución múltiple por los métodos

trigonométricos analizados, aplicación de las herramientas de triángulos rectángulos y

aplicación general de teoremas.


Resolver triángulos rectángulos aplicando el teorema de Pitágoras

Aprender de las funciones trigonométricas.

Resolver ejercicios por el método de las funciones trigonométricas.

Aplicar la ley se senos a triángulos no rectángulos.

Aplicar la ley del coseno para resolver triángulos no rectángulos.

Objetivo Educativo.

Concepto de función trigonométrica

Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes.

Las gráficas de las funciones trigonométricas poseen propiedades matemáticas muy interesantes como máximo, mínimo, asíntotas verticales, alcance y periodo entre otras.

Al establecer relaciones entre dos conjuntos mediante las funciones trigonométricas se establecen relaciones como y=sen(x), y=cos(x), y=tan(x), y=cot(x), y=csc(x) o y=sec(x). La expresión en el paréntesis se denomina argumento de la función (dominio) mientras que y representa el alcance.




Las gráficas de estas funciones se extienden sobre los ejes coordenados, si es sobre el eje de x, tienen la característica de repetirse por intervalos. Esto significa que cada cierta cantidad de radianes, una parte de la gráfica de la función es la misma (periodo). La extensión sobre el eje de y se conoce como alcance. “El modelo de las gráficas de las funciones trigonométricas se obtiene evaluando la función para ángulos que forman una revolución completa”.

Gráfica de la Función Seno del ángulo

El modelo de la gráfica de la función seno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función seno del ángulo utiliza la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función seno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función seno del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función seno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria. Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de la función y=sen(x).

Su dominio es el conjunto de números reales

Su alcance es el conjunto de números mayores o iguales que menos uno hasta los números menores o iguales que uno.

Su intercepto en el eje de y es el punto (0,0).

El eje de x será el eje de referencia.

El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π

2 ,1).

El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (3π

2 ,-1).

Su periodo es 2π.

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Gráfica de la Función Coseno del ángulo

El modelo de la gráfica de la función coseno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función coseno del ángulo utiliza la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función coseno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función coseno del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función coseno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de la función y=cos(x).

Su dominio es el conjunto de números reales

Su alcance es el conjunto de números mayores o iguales que menos uno hasta los números menores o iguales que uno.



El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (0,1) y (2π,1).

El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π,-1).

Su periodo es 2π.

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Gráfica de la Función Tangente del ángulo.

El modelo de la gráfica de la función tangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función tangente del ángulo es el cociente de la y y la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función tangente del ángulo comienza en -π/2 y termina en π/2. En la figura de la derecha se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función tangente del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función tangente del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Esta función tiene asíntotas en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de esta función.

Su dominio es toda x≠π/2±nπ.

Su alcance es el conjunto de todos los números reales.



Las asíntotas del ciclo fundamental son x=±π/2.

Su periodo es π.

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Gráfica de la Función Cotangente del ángulo

El modelo de la gráfica de la función cotangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función cotangente del ángulo es el cociente de la x y la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función cotangente del ángulo comienza en 0 y termina en π. En la figura de la derecha se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función cotangente del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función cotangente del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Esta función tiene asíntotas en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de esta función.

Su dominio es toda x≠±nπ.

Su alcance es el conjunto de todos los números reales.

No tiene intercepto en el eje de y.


Las asíntotas del ciclo fundamental son x=±nπ.

Su periodo es π.

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Propiedades de las funciones trigonométricas

Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:

Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2π y el de la función tangente es π.

Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).

Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.

Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.

ECUACIÓN GENERAL DEL SENO

f(x)= y = A sin[ω(x-α)] + C

La línea base (el punto medio de oscilación) A = amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base) C = desplazamiento vertical = coordenada y de la línea base P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia de un máximo al siguiente) ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2 α = desplazamiento de faso Esta es la distancia horizontal del eje y al primero punto

donde la gráfica cruza la línea base.

ECUACIÓN GENERAL DEL COSENO

f(x)= y = A cos[ω(x - α)] + C

A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base). C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base). P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo). ω es la frecuencia angular, y se expresa por ω= 2π/P o P = 2π/ω. α es el desplazamiento de faso.




EJEMPLOS




FICHA N°15

INVESTIGO N°15

Investigue comportamiento de las funciones trigonométricas cosecante, secante, cotangente.

Graficar las funciones.

1.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




RESUMO N°15

Resuma las propiedades de las funciones trigonométricas.

1.

GLOSARIO N°15

Función seno: _______________________________________________________________

Función coseno:________________________________________________________________

Función tangente:______________________________________________________________

Radianes:______________________________________________________________________


______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________




CUESTIONARIO N°15

Grafique la función y= 2sen(x) + 3. Determine las transformaciones efectuadas.

2.

Determine las transformaciones efectuadas a la función original.

y=3cos(x)+3

1.




Bosqueje la gráfica de f(x) = 3 sen(6x)

1.

Graficar la función h(x) = cos(2x + π)

1.





BLOQUE 4: Probabilidad y

Geometría

FICHA N°16:

Transformaciones y

Desplazamientos.

OBJETIVO: Comprender las diferentes identidades trigonométricas que existen y su aplicación para

resolver distintos problemas que sean plateados, además las transformaciones y sus formas de

gráficas.

Criterios de aprendizaje:

Aprender a resolver ejercicios en los cuales sean necesarias las identidades

trigonométricas para su resolución.

Aprender la correcta aplicación de las identidades trigonométricas.

Objetivo Educativo. Las gráficas de las siguientes funciones f(x)=x, f(x)=x2 y f(x)=׀x׀ las conocemos. Cada una de ellas

tiene una forma particular y sabemos cual es su forma general. En algunas ocasiones se nos

pedirá trazar la gráfica de funciones parecidas a otras que ya conocemos. Estas se dibujan

utilizando técnicas aplicadas a los modelos gráficos de cada función. Estas transformaciones

afectan la forma general de la gráfica de cada función. Las traslaciones, reflejos y las

expansiones - compresiones son las transformaciones a estudiar.

Desplazamientos (Traslaciones)

Las traslaciones son transformaciones que cambian la posición de la gráfica de una función. La forma general de la gráfica de una función se traslada hacia arriba, abajo, a la derecha o a la izquierda. Las traslaciones son consideradas transformaciones rígidas. Ahora veremos como se realizan estas.




Traslaciones verticales

Suponga que k > 0

Para graficar y=f(x)+k, desplace la gráfica de k unidades hacia arriba. Para graficar y=f(x)-k, desplace la gráfica de k unidades hacia abajo.

Traslaciones horizontales

Suponga que h > 0

Para graficar y=f(x-h), desplace la gráfica de h unidades hacia la derecha.

Para graficar y=f(x+h) desplace la gráfica de h unidades hacia la izquierda.

http://matematicaspr.com/file/l2dj/blog/transformaciones-de-funciones/traslaciones-verticales.swf

http://matematicaspr.com/file/l2dj/blog/transformaciones-de-funciones/traslaciones-horizontales.swf




Expansiones y compresiones verticales Para graficar 𝐲 = 𝐚 ∗ 𝐟(𝐱)

Si a>1, la gráfica de y=f(x) se expande verticalmente por un factor a. (Se alarga la función).

Si 0<a<1, la gráfica de y=f(x) se comprime verticalmente por un factor a. (Se encoge la

función)

ECUACION GENERAL DEL SENO

f(x)= y = A sin[ω(x-α)] + C

A = amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base) C = desplazamiento vertical = coordenada y de la línea base P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia de un máximo al siguiente) ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2 α = desplazamiento de faso Esta es la distancia horizontal del eje y al primero punto

donde la gráfica cruza la línea base.

ECUACION GENERAL DEL COSENO

f(x)= y = A cos[ω(x - α)] + C

A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base). C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base). P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo). ω es la frecuencia angular, y se expresa por ω= 2π/P o P = 2π/ω. α es el desplazamiento de faso.

http://matematicaspr.com/file/l2dj/blog/transformaciones-de-funciones/expansiones-y-compresiones-verticales.swf




LECCION N°16

INVESTIGO N°16

Investigue 3 transformaciones trigonométricas que no se han visto en la ficha.

1.

RESUMO N°16

Haga un resumen de las distintas transformaciones y como se aplican:

1.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N°16

Amplitud: _____________________________________________________________________

Ángulo doble: __________________________________________________________________

Expande: ______________________________________________________________________

Compresión: ___________________________________________________________________

Traslación Horizontal: ___________________________________________________________

Traslación Vertical: _____________________________________________________________


______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

CUESTIONARIO N°16

Determine las transformaciones efectuadas.

y= 2sen(3x-4) + 6

1.




Determine las transformaciones efectuadas empezando desde la función original. y= 3cos(x-4) + 5

1.

Transformar la función Cos(x) a -2Cos(3x/2)+1 Determine las transformaciones efectuadas.

1.






Geometría

FICHA N°17: Identidades

Trigonométricas.

OBJETIVO: Comprender las diferentes identidades trigonométricas que existen y su aplicación para

resolver distintos problemas que sean plateados, además las transformaciones y sus formas de

gráficas.


Aprender a resolver ejercicios en los cuales sean necesarias las identidades

trigonométricas para su resolución.


Objetivo Educativo. Las identidades trigonométricas son formas en se relacionan las diferentes funciones

trigonométricas entre si, las funciones trigonométricas tienen estas relaciones debido a que

todas parten de la circunferencia, y por tanto con demostraciones de triángulos se pueden

demostrar la igualdad de ciertas funciones.

La base del estudio de este inciso está en las siguientes 11 fórmulas que a continuación se van a deducir, llamadas fórmulas trigonométricas. Se parte de las definiciones elementales (las cuales se estudiaron en la secundaria) de cada una de las funciones trigonométricas, referidas a la figura 31.







Fórmulas trigonométricas

sen² α + cos² α = 1

sec² α = 1 + tg² α

cosec² α = 1 + cotg² α

EJEMPLOS




Ecuaciones trigonométricas




LECCIÓN N°17

INVESTIGO N°17 Investigue 3 identidades trigonométricas que no se han visto en la ficha.

2.

RESUMO N°17

Haga un resumen de las distintas funciones trigonométricas y como se aplican

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N°17

Ángulo suma

Ángulo doble

3.

Ángulo mitad

1.

Igualdad:

Identidad trigonométrica:


3.




CUESTIONARIO N°17

Resolver los siguientes ejercicios de identidades trigonométricas









Geometría

FICHA N°18:

Generalidades y

Aplicaciones.

OBJETIVO: Comprender y aplicar las diferentes fórmulas de la geometría analítica que existen y su

aplicación para resolver distintos problemas que sean plateados, además las transformaciones

y sus formas de gráficas.


Aprender a calcular la distancia entre elementos puntuados.

Relación entre la geometría analítica y la trigonometría.


Aprender a calcular los distintos parámetros de las ecuaciones y sus graficas

Distancia en geometría.

Objetivo Educativo.

Distancia entre Puntos.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.




Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda

determinada por la relación:

Distancia de un punto a una recta.

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde

el punto.







Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente.

m1=m2

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de

signo.

m1*m2=-1




LECCIÓN N°18

INVESTIGO N°18

Investigue tipos de rectas y la relación de sus pendientes.

4.

Investigue la fórmula para calcular la distancia entre dos rectas paralelas.

1.

Investigue la fórmula para calcular la distancia entre un ponto y una recta.

1.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




RESUMO N°18

Haga un resumen de las tipos de rectas

1.

GLOSARIO N°18

Paralelo: ______________________________________________________________________

Ortogonal:_____________________________________________________________________

Perpendicular:__________________________________________________________________

Pendiente:_____________________________________________________________________

Formulación:___________________________________________________________________


______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________




CUESTIONARIO N°18

Resolver los siguientes ejercicios Determinar la distancia entre los puntos P1(-1; -3) y P2(4;-3) , su pendiente y ecuación de la recta.

1.

Dado los vertices del triangulo P1(-1;2) P2(3;-2) P3(2;1) Grafique los tres puntos y trace el triangulo, determine las distancias de sus lados y el perimetro.

2.




Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1(-2;1) , y es paralela a la ecuación x-y=-2

1.

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1(-3;2) , y es paralela a la ecuación x - y= 2

1.






Geometría

FICHA N°19:

La Parábola

Objetivos: Estudiar la ecuación cuadrática, determinar su gráfica y sus comportamientos en el plano

cartesiano.


La ecuación cuadrática y su método de resolución de la misma, de igual manera que tipo de grafica representa la ecuación cuadrática en el plano.

Curvatura y solución de sistemas cuadráticos

Punto vértice y recorridos.

Objetivo Educativo.

La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax2 + bx + c igual a cero.

Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene una ecuación lineal o de primer orden)

El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo “+” y “-“ de la x que se obtuvo

Lo que para determinar la solución al sistema de ecuaciones cuadráticas nos da una función más conocida como la “ fórmula general ” la misma que será de gran ayuda para determinar la respuesta del sistema de funciones.




De esta manera se tiene

Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes entre sí

Si las dos raíces son reales e iguales

Si las dos raíces son complejas conjugadas

Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3.

x -1 0 1 2 3 4

f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Completando la gráfica obtengo:




La intersección de rectas y parábolas Determine los puntos donde las curvas se intersecan

La intersección se da en (1,1) y (-2,2)




LECCIÓN N° 19

INVESTIGO N° 19

Investigue todo concerniente a la parábola

1.

RESUMO N° 19

Haga un mapa conceptual acerca de cómo se utiliza la ecuación del teorema fundamental del

algebra

2.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




GLOSARIO N° 19

Vértice:

Ecuación cuadrática:

6.

Eje focal:

2.

Parábola:

6.

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado

3.




CUESTIONARIO N°19

Resuelva las ecuaciones cuadráticas con la ecuación de la forma a𝒙𝟐+ bx + c=0

3𝑥2 − 𝑦 = 9

2𝑥2 − 3𝑦 = 12

Grafiqué la ecuación dada: 2𝑥2 − 3𝑦 = 12




Grafiqué la ecuación dada: 2𝑥2 − 3𝑦 = 4

Encuentre los puntos en que se cruzan las curvas: 3𝑥2 − 𝑦 = 9 𝑥 − 𝑦 = 3






Geometría

FICHA N°20:

Las Cónicas

Objetivos: Ampliar el estudio de la Geometría Plana, además estudiar la ecuación cuadrática, determinar su gráfica y sus comportamientos en el plano cartesiano.


Analizar las gráficas de las secciones cónicas

Análisis de la circunferencia

Análisis de la elipse

Análisis de la hipérbola.

Objetivo Educativo.

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.

2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.

https://es.wikipedia.org/wiki/Figuras_geom%C3%A9tricas

https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico

https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra

https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas

https://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes

https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial

https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial

https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_algebraica

https://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9trico

https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n








Secciones cónicas

LA PARÁBOLA

Es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Una parábola (figura A) cuyo eje de simetría sea paralelo al eje de abscisas se expresa mediante la ecuación:

LA CIRCUNFERENCIA

Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada.

Elementos de la circunferencia:

Radio, El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Diámetro, El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida por π;

Tangente, es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto;

𝑨𝒓𝒆𝒂 = 𝟐𝝅𝒓𝟐 𝒅𝒊𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 = 𝟐𝒓

Ecuacion de la circunferencia con centro en el origen.

Ecuación de la circunferencia con centro en el punto (h; k) y radio “r”

https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo

http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangente




La elipse

Es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.

La hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia (resta) de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.

https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse

https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola




LECCIÓN N°20

INVESTIGO N°20

Investigue que es la recta tangente a la circunferencia y hacer un gráfico.

2.

Investigue que es el foco de una parábola y grafique.

1.

NOMBRE: _________________________________

CURSO: ___________________________________

FECHA: ___________________________________

PARALELO: ________________________________

PROFESOR: ________________________________




RESUMO N°20

Realice un resumen sobre las secciones Cónicas. (Use regla y compas)

2.

GLOSARIO N°20

Radio:________________________________________________________________________

Recta Secante:__________________________________________________________________

Directriz: ______________________________________________________________________

Eje focal: ______________________________________________________________________

Recta tangente. :________________________________________________________________

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado

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CUESTIONARIO Nº20

Determinar los puntos de intersección de las dos ecuaciones.

y = x2 – 5x – 3

y = –2x2 + 4x – 1

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2;3)y es perpendicular a la ecuación 2x-6y=4




Determine la grafica (𝒙 − 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟗 Identifique: El punto del centro: El diámetro: El Área de la gráfica:

( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7

Determine el radio de la circunferencia con centro en el punto (-2;-3) y a su vez tiene una recta tangente -x + y = 2, grafique la recta




Matemática Segundo Año de Bachillerato 152

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Modulo matematica 2