Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

§1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm sốA. Tóm tắt lý thuyết

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây:

1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa)

Giả sử xác định trên . Ta có

; .

2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN,

GTNN của hàm số xác định trên đoạn , ta làm như sau:

B1 Tìm các điểm , , …, thuộc khoảng mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng hoặc không có đạo hàm.

B2 Tính , , …, , , . B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là

GTLN của trên đoạn ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của

trên đoạn .

.

.

Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào

thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của .

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn .

1


Giải. Ta có . Lại có ,

. Suy ra , .

Nhận xét.

đồng biến trên ;

nghịch biến trên .

Ví dụ 2. [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số .

Giải. . Ta có

( ).

Với mọi , ta có

.

Vậy

, đạt được ;

, đạt được .

Ví dụ 3. [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn .

Giải. Ta có

2


.

Với mọi ta có

.

Vậy

, đạt được ;

, đạt được .

Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn .

Giải. Ta có

.

Với mọi ta có

hoặc

hoặc ( ).

Vậy , đạt được .

, đạt được .

Ví dụ 5. [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số .

3


Giải. , suy ra . Ta có

.

hoặc .

Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của .

, , , đạt được .

C. Bài tập

Tìm GTLN, GTNN của các hàm số

1) .

2) trên đoạn .

3) trên đoạn .

4) trên đoạn .

5) trên đoạn .

6) trên đoạn .

7) trên đoạn .

8) trên đoạn .

9) trên khoảng .

4


10) trên khoảng .

11) trên nửa khoảng .

12) trên nửa khoảng .

13) trên đoạn .

14) .

15) .

16) .

17) .

18) .

19)

20)

5


§2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thứcA. Nguyên tắc chungViệc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau: Xác định ẩn phụ . Từ giả thiết, tìm miền giá trị của . Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm biến trên miền giá trị của .B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của .

Giải. Đặt , suy ra . Ta có

.

Xét hàm , với . Ta có đồng

biến trên . Do đó

, đạt được khi và chỉ khi

hoặc .


.


Giải. Đặt . Ta có

,

.

Suy ra . Lại có

.

6


Ta có với mọi , , . Do đó

, đạt được .

, đạt được hoặc .


Giải. Đặt , ta có

,

.

Suy ra . Lại có

.

Ta có biến đổi sau đây

.

Xét hàm với . Ta có

, .

Suy ra nghịch biến trên . Do đó . .

7


+) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt

được .

+) , dấu bằng xảy ra hoặc .

Vậy , đạt được hoặc .

Ví dụ 4. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của

.

Giải. Đặt

.

Ta có

.

Xét hàm , .

Ta có , đồng biến trên .

Do đó

. Dấu “ ” xảy ra

8


, Đạt được .

. Dấu “ ” xảy ra hoặc .

, Đạt được hoặc .


Giải.

Cách 1. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt

thì , hay .

Ta có , suy ra

.

Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất

.

Ta có , .

Do đó

, đạt được chẳng hạn khi

.

9



hoặc .

Cách 2. Ta có .

Xét . Khi đó .

Xét . Chia cả tử và mẫu của cho và đặt , ta được

.

Xét hàm , ta có .

Bảng biến thiên của hàm :

11f t( )

f ' t( ) ++ _ 00

13

3

+∞1-1-∞t

.

Suy ra:

+) , đạt được khi và chỉ khi

hoặc .+) . Đạt được khi và chỉ khi

10


hoặc .

Ví dụ 6. [ĐHB09] Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của

.

Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được

.

Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có

(do , ).

Đặt .

Xét hàm , . Ta có đồng biến trên

.

Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi

hoặc .

Vậy , đạt được hoặc .

Ví dụ 7. [ĐHB12] Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được

11


Do đó, nếu đặt thì ta có

, .

Biến đổi

.

Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là

.

Ta có , , , .

Vậy , đạt được chẳng hạn khi , .

Ví dụ 8. Cho , , thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức

.

Giải. Đặt . Ta có và

.

12


Suy ra .

Lại có

,

.

Xét hàm với . Ta có , suy ra

nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi

.

Ví dụ 9. [ĐHA03] Cho , , thỏa mãn . Chứng minh rằng:

.

Giải. Xét , , , ta có .

Từ suy ra

Đến đây ta có hai cách đi tiếp:

Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

, .

Do đó

13


, với .

Ta có

.

Xét với . Ta có

nghịch biến trên .

(ĐPCM).

Cách 2.

.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

C. Bài tậpBài 1. [ĐHD09] Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của

.

Bài 2. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của

.


.


14


.

Bài 5. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

.


.

Bài 7. [ĐHD12] Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của

.

Bài 8. [ĐHA06] Cho , thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức .

Bài 9. [ĐHB08] Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

.


.

Bài 11. Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức

.

Bài 12. Cho , , thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức

.Bài 13. [ĐHB10] Cho , , thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức

.

Bài 14. Cho , , thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức

.

15

Education

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số