ความนาจะเปนโดย

ครสจนต เยาดสต

โรงเรยนกลยาณศรธรรมราช

1. กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ กฎขอท 1 ในการทำางานสองอยางโดยทงานอยางแรกทำาได n1วธ และในแตละวธททำางานอยางแรกน มวธททำางานอยางทสองได n2วธ จำานวนวธททำางานทงสองอยางนเทากบ n1n2วธ

ตวอยาง หองประชมมประต 6 ประต จงหาจำานวนวธทชายคนหนงจะเดนเขาและเดนออกจากหองประชม โดยท 1) จะเขาหรอออกประตใดกได 2) หามเขาและออกประตเดยวกน

วธทำา 1) จำานวนวธทเดนเขา 6 วธ

จำานวนวธทเดนออก 6 วธ

ดงนน จำานวนวธทเดนเขาและออกเทากบ 6x6 = 36 วธ

2) จำานวนวธทเดนเขา 6 วธ

จำานวนวธทเดนออก 5 วธ

ดงนน จำานวนวธทเดนเขาและออกไมซำาประตเดมเทากบ 6x5 = 30 วธ

กฎขอท 2 ในการทำางานซงม k ขนตอนโดยขนตอนทหนงเลอกทำาได n1วธ ในแตละวธของขนตอนทหนงเลอกทำาขนตอนทสองได n2วธ ในแตละวธททำาขนตอนทหนงและขนตอนทสองเลอกทำาขนตอนทสามได n3วธ ฯลฯ จำานวนวธทจะเลอกทำางาน k อยางเทากบ n1n2n3…nkวธ

ตวอยาง มเลขโดดอย 6 ตว คอ 0,1,2,3,4,5 นำามาสรางเปนจำานวนตวเลข 3 หลกทมคานอยกวา 400 ไดกจำานวน เมอ

1) แตละหลกใชเลขซำากนได 2) แตละหลกใชเลขซำากนไมได

3) เปนจำานวนคและแตละหลกใชเลขซำากนไมได

วธทำา 1) หลกรอย เลอกตวเลขได 3 วธ (1,2,3)

หลกสบ เลอกตวเลขได 6 วธ (0,1,2,3,4,5)

หลกหนวย เลอกตวเลขได 6 วธ (0,1,2,3,4,5)

ดงนน จำานวนเลขสามหลก ทนอยกวา 400 ม 3x6x6 = 108 วธ

2) หลกรอย เลอกตวเลขได 3 วธ (1,2,3)

หลกสบ เลอกตวเลขได 5 วธ (หลกรอยเลอกไปแลว 1 ตว)

หลกหนวย เลอกตวเลขได 4 วธ

ดงนน จำานวนเลขสามหลกทนอยกวา 400 ม 3x5x4 = 60 จำานวน

3) หลกหนวย เลอกตวเลขได 2 วธ (0,4)

หลกรอย เลอกตวเลขได 3 วธ (1,2,3)

หลกสบ เลอกตวเลขได 4 วธ

และ หลกหนวย เลอกตวเลขได 1 วธ (2)

หลกรอย เลอกตวเลขได 2 วธ (1,3)

หลกสบ เลอกตวเลขได 4 วธ

ดงนน จำานวนคสามหลกทนอยกวา 400 ม (2x3x4)+(1x2x4) = 32 จำานวน

2. แฟกทอเรยล n (n-Factorial)

บทนยาม เมอ n เปนจำานวนเตมบวก แฟกทอเรยล n หมายถงผลคณของจำานวนเตมบวกตงแต 1 ถง n แทนดวย n!

จากบทนยาม n! = 1.2.3….(n-1).n

หรอ n! = n.(n-1).(n-2)….3.2.1

0! = 1

ตวอยาง จงหาคาของ

วธทำา

!4!.8

!10

1.2.3.4!.8

!8.9.10

!4!.8

!10 =

4

15=

ตวอยาง จงเขยน 504 ใหเปนแฟกทอเรยล

วธทำา 504 = 9.8.7

!6

!6.7.8.9=

!6

!9=

ตวอยาง จงหาคา n จาก

วธทำา

!8)!.8(

!

!10)!.10(

!

−=

− n

n

n

n

!8)!.8(

!

!10)!.10(

!

−=

− n

n

n

n

!8

!10

)!10!.(

)!8!.( =−−

nn

nn

!8

!8.9.10

)!10(

)!10)(9)(8( =−

−−−n

nnn

9.10)9)(8( =−− nn

n-8 = 10

n = 18

3. วธเรยงสบเปลยน (Permutation)

1) วธเรยงสบเปลยนเชงเสน

กฎขอท 3 จำานวนวธเรยงสบเปลยนของ n สงซงแตกตางกนทงหมด เทากบ n! วธ

ตวอยาง จะมวธจดรปภาพตางๆกน 7 รป แขวนไวทผนงเปนแถวไดกวธ ถา

1) ไมมขอกำาหนดเพมเตม 2) รปภาพรปหนงทกำาหนดใหอยตรงกลาง

วธทำา 1) จำานวนวธเรยงสบเปลยนรปภาพ 7 รป ได 7! = 5,040 วธ

2) เพราะวารปภาพทกำาหนดใหอยตรงกลาง เทากบจดรปภาพ 6 รป

ดงนน จำานวนวธจดรปภาพ 7 รปโดยใหรปหนงอยกลางได 6! = 720 วธ

กฎขอท 4 จำานวนวธเรยงสบเปลยนของ n สงซงแตกตางกนทงหมด โดยจดคราวละ r สง เทากบ Pn,r วธ โดย ,

)!(

!, rn

nP rn −

= )1( nr ≤≤

ตวอยาง จะมวธจดคน 7 คน ยนเขาแถว 2 แถว เพอถายรปไดกวธ ถาใหแถวหนาม 4 คน และแถวหลงม 3 คน

วธทำา แถวหนาเลอก 4 คน จาก 7 คน จดได วธ

840)!47(

!74,7 =

−=P

เมอจดแถวหนาแลวแถวหลง 3 คน จดได 3! = 6 วธ

ดงนน จำานวนวธจดคน 7 คน เขาแถวได = 840x6 = 5,040 วธ

ตวอยาง มหนงสอคณตศาสตรตางกน 5 เลม และหนงสอฟสกสตางกน 4 เลม จะมวธจดหนงสอเหลานบนชนหนงสอไดกวธ โดยทหนงสอวชาเดยวกนอยตดกน

วธทำา การจดหนงสอวชาเดยวกนตดกนคดเปนของ 1 สง จดได 2! วธ

หนงสอคณตศาสตรจดได 5! วธ และหนงสอฟสกสจดได 4! วธ

ดงนน จำานวนวธจดเรยงหนงสอทงหมดเทากบ 2!5!4! = 5,760 วธ

2) วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทไมแตกตางกนทงหมด

กฎขอท 5 ถามของอย n สง ในจำานวนนม n1สงเหมอนกนเปนกลมทหนง ม n2สงเหมอนกนเปนกลมทสอง....ม nkสงเหมอนกนเปนกลมท k โดยท n1+n2+n3+…+nk= n

จำานวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สง เทากบ วธ

!!...!!

!

321 knnnn

n

ตวอยาง จงหาจำานวนวธการจดเรยงจาน 8 ใบขนาดเดยวกน ซงมจานสขาว 3 ใบ สเขยว 3 ใบและสแดง 2 ใบ

วธทำา จำานวนวธเรยงจานทง 8 ใบ วธ

560!2!3!3

!8 ==

ตวอยาง มหนงสอคณตศาสตรเหมอนกน 6 เลม และหนงสอภาษาองกฤษเหมอนกน 4 เลม จงหาจำานวนวธจดหนงสอทง 10 เลม วางบนชนหนงสอโดยใหหนงสอทอยหวแถวและทายแถวเหมอนกน 70

!4!4

!8 == วธทำา 1) ใหหนงสอคณตศาสตร อยหวแถวและทายแถว วธ 2) ใหหนงสอภาษาองกฤษ อยหวแถวและทายแถว วธ

28!6!2

!8 ==

3) วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

กฎขอท 6 จำานวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของ n สงซงแตกตางกนทงหมด เทากบ (n-1)! วธ

ตวอยาง ครอบครวครอบครวหนงมสมาชก 6 คน จะจดใหนงรบประทานอาหารรอบโตะกลมซงม 6 ทนง ไดทงหมดกวธ

วธทำา จำานวนวธจดคน 6 คน นงรอบโตะกลมเทากบ (6-1)! = 5! = 120 วธ

ตวอยาง จะจดนกเรยนชาย 4 คน และหญง 4 คน ยนสลบกนเปนวงกลมไดกวธ

วธทำา จดนกเรยนชาย 4 คนใหยนเปนวงกลมไดเทากบ (4-1)! = 3! วธ

จดนกเรยนหญง 4 คน ใหยนระหวางนกเรยนชายไดเทากบ 4! วธ

ดงนน จะจดนกเรยนชาย 4 คน และหญง 4 คน ยนสลบกนเปนวงกลมไดเทากบ

3!.4! = 144 วธ

4. วธจดหม (Combination)

วธจดหมตางกบวธเรยงสบเปลยนตรงทเราไมถออนดบหรอตำาแหนงเปนสำาคญ กลาวคอการสลบทกนไมมความหมาย เชน มตวอกษร 2 ตว คอ A , B ถาเรยงสบเปลยนจะได AB และ BA แตวธจดหม ถอวา AB และ BA เหมอนกน

กฎขอท 7 จำานวนวธจดหมของสงของทแตกตางกน n สง ใหมหมละ r สง เทากบ Cn,r โดย

,

)!(!

!, rnr

nC rn −

= nr ≤≤1

ตวอยาง ชายคนหนงมเสอทแตกตางกน 10 ตว ตองการนำาตดตวไปตางจงหวด 4 ตว จะจดไดทงหมดกวธ

1) ไมมเงอนไขใดเพมเตม 2) ตองมเสอสเหลองอยดวย

วธทำา 1) จะจดเสอ 4 ตว จากเสอทตางกน 10 ตว ไดเทากบ วธ

210!6!.4

!104,10 ==C

72!6!.3

!93,9 ==C 2) จะตองจดเสออนอก 3 ตว จาก 9 ตว จะจดได

เทากบ วธ

5. ทฤษฎบททวนาม (Binomial Theorem)

ทฤษฎบททวนามเปนทฤษฎบทเกยวกบการนำา (a+b)n มากระจายใหอยในรปของการบวก

พจารณาการกระจาย (a+b)n

สมประสทธ

(a+b)0 = 1 1

(a+b)1 = a+b 1 1

(a+b)2 = a2+2ab+b2 1 2 1

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 1 3 3 1

(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 4 6 4 1

(a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 .........................................

จะพบวาผลการกระจายม n+1 พจน และมสมประสทธเปน Cn,0 , Cn,1 , Cn,2 ,….,Cn,n

ทฤษฎบททวนาม เมอ a , b เปนจำานวนจรง n , r เปนจำานวนเตมบวก และ

nr ≤≤0

(a+b)n = Cn,0an+Cn,1an-1b+Cn,2an-2b2+….+Cn,ran-rbr+….+Cn,nbn

หมายเหต 1) Cn,r ทปรากฎในทฤษฎบททวนาม เรยกวา สมประสทธทวนาม

2) พจนท r+1 หรอ Tr+1 = Cn,ran-rbr

ตวอยาง จงหาพจนท 6 ในการกระจาย (2x-y)8

วธทำา พจนท 6 คอ T5+1 = C8,5(2x)8-5(-y)5

= 56(23x3)(-y5)

= -448x3y5

ตวอยาง จงหาพจนทม x9 จากการกระจาย

122 )1

(x

x +

6. ความนาจะเปน (Probability)

1) การทดลองสม (Random Experiment)

บทนยาม การทดลองสม คอการทดลองซงทราบวาผลลพธมอะไรบางแตไมสามารถบอกไดอยางถกตองแนนอนวาในแตละครงททดลองจะเกดผลลพธอะไร

เชน ๏ การโยนเหรยญ 1 อน 1 ครง

๏ การทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง

2) ปรภมตวอยาง (Sample Space)

บทนยาม ปรภมตวอยาง คอเซตของผลลพธทอาจเปนไปไดทงหมดของการทดลองสม

เชน ๏ ในการทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง ถาสนใจแตมของลกเตา

ปรภมตวอยาง คอ S = {1,2,3,4,5,6}

๏ ในการโยนเหรยญ 2 อน 1 ครง

ปรภมตวอยาง คอ S = {HH,HT,TH,TT}

3) เหตการณ (Event)

บทนยาม เหตการณ คอ สบเซตของปรภมตวอยาง

เชน ๏ ในการทอดลกเตา 2 ลก 1 ครง

S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,5),(6,6)}

* เหตการณทไดผลรวมของแตมเปน 5 คอ

E = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}

* เหตการณทไดแตมตางกน 2 คอ

E = {(1,3),(2,4),(3,1),(3,5),(4,2),(4,6),(5,3),(6,4)}

4) ความนาจะเปนของเหตการณ

บทนยาม ถา S แทนปรภมตวอยางของการทดลองสมอยางหนง ซงแตละจดตวอยางมโอกาสเกดขนเทาๆกน และ E แทนเหตการณ แลว

)(

)()(

Sn

EnEP =

สมบตของความนาจะเปน

1) 1)(0 ≤≤ EP

2) 1)( =SP

3) 0)( =φP

หมายเหต ความนาจะเปนของเหตการณใด คอตวเลขทบอกใหทราบวาเหตการณนนมโอกาสเกดขนมากนอยเพยงใด

ตวอยาง ในการทอดลกเตา 2 ลก 1 ครง จงหาความนาจะเปนของเหตการณ

1) ไดผลรวมของแตมมากกวา 9 2) ไดผลรวมของแตมหารดวย 3 ลงตว

วธทำา S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,5),(6,6)} , n(S) = 36

1) เหตการณทไดผลรวมของแตมมากกวา 9 คอ

E1 = {(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)} , n(E1) = 6

ดงนน

6

1

36

6)( 1 ==EP

2) เหตการณทไดผลรวมของแตมหารดวย 3 ลงตว คอ

E2 = {(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6)}

ดงนน 3

1

36

12)( 2 ==EP

ตวอยาง สมหยบไพ 3 ใบ จากไพสำารบหนง จงหาความนาจะเปนทไดไพโพดำาทง 3 ใบ

วธทำา n(S) = C52,3 = 22,100

ให E เปนเหตการณทไดไพโพดำาทง 3 ใบ คอ n(E) = C13,3 = 286

ดงนน

850

11

100,22

286)( ==EP

5) กฎทสำาคญบางประการของความนาจะเปน

ให S เปนปรภมตวอยาง ซงเปนเซตจำากด และ A , B เปนเหตการณใดๆ

กฎขอท 1)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪

กฎขอท 2 ,)()()( BPAPBAP +=∪ φ=∩ BA

กฎขอท 3 )(1)( APAP −=′

กฎขอท 4 )()()( BAPAPBAP ∩−=−

ตวอยาง ถงใบหนงมลกแกวสแดง 3 ลก สขาว 2 ลก และสฟา 4 ลก ถาสมหยบลกแกวขนมา 1 ลก จงหาความนาจะเปนทไดลกแกวเปนสแดงหรอสฟา

วธทำา ให A เปนเหตการณทหยบไดลกแกวสแดง

B เปนเหตการณทหยบไดลกแกวสฟา

เปนเหตการณทหยบไดลกแกวสแดงหรอสฟา 9

3)( =AP

9

4)( =BP

BA∪

จะได ,

ดงนน )()()( BPAPBAP +=∪

9

7

9

4

9

3 =+=

นนคอ ความนาจะเปนทหยบไดลกแกวเปนสแดงหรอสฟาเทากบ

9

7