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Conjetura
• En matemáticas, el concepto de Conjetura se refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada hasta la fecha.
• Si se demuestra la veracidad de una conjetura, esta pasa a ser considerada un teorema de pleno derecho y puede utilizarse como tal para construir otras demostraciones formales.
• ¿Es necesario hacer cada caso para todas las parejas de números impares?
• ¿Es posible hacerlo?
• ¿Cómo se puede justificar este hecho para todos los casos?
• ¿Cuánto miden los ángulos internos de los polígonos regulares?
• Afirmación: Los ángulos internos de un polígono regular son iguales entre sí.
Teorema de Pitágoras
• Cut the Knot
• 99 demostraciones
• http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml
• 364 demostraciones
• Afirmación: En un triángulo isósceles los ángulos adyacentes a la base son iguales.
• ¿Será cierto?
• Tarea: Demostrarlo
Discusión
• Este tipo de demostración se debe principalmente a los griegos (siglo VII a. C.) y su mayor expositor es el famoso Euclides con su libro Los Elementos.
Discusión
• Los griegos consideraron a las matemáticas como un cuerpo de conocimiento absoluto en donde los hechos matemáticos se establecían para cada caso sin excepción.
Discusión
• Los griegos evitaron la situación en la que la validez de los resultados dependía de la experiencia, la intuición o suposiciones implícitas de cualquier individuo.
Discusión
• ¿Se debe demostrar todo?
• ¡No es necesario!
• Incluso los matemáticos profesionales aceptan hechos sin demostración.
Discusión
• En la antigüedad, la evidencia empírica era suficiente para demostrar un hecho.
• Podemos utilizar la palabra Justificación para referirnos a una comprobación con base en la evidencia empírica.
Discusión
• Actualmente, la justificación sigue siendo parte de la vida cotidiana en las pequeñas o grandes sociedades.
Discusión
• Sin embargo, con el desarrollo de las matemáticas, la justificación de algún hecho ha evolucionado en términos de la comprobación axiomática que ha dado lugar a la Demostración matemática.
Discusión
• En matemáticas, existen diferentes tipos de demostración:
• Por contradicción o reducción al absurdo
• Por inducción
• Ejemplos y Contra-ejemplos
Conjeturas
• En matemáticas, el concepto de Conjetura se refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada hasta la fecha.
Conjeturas
• Christian Goldbach (1690-1764) conjeturó que:
• Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.
• Data: 1742
2 2 4 5 3 8 11 3 14
7 3 10
Conjeturas
• Pierre de Fermat (1601-1665) conjeturó que:
• Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros x, y y z, tales que se cumpla la igualdad:
• Data: 1637
n n nx y z
Conjeturas
• Andrew Wiles en 1995, demostró la conjetura de Fermat.
• La conjetura de Fermat se convirtió en Teorema:
• Último Teorema de Fermat
Discusión
• Los Elementos de Euclides.
• René Descartes, Immanuel Kant, Frank Boole, Gottlob Frege y Giuseppe Peano
Discusión
• En 1931, Kurt Gödel demostró que esto no era posible.
• ¡Las matemáticas son
incompletas!
Discusión
• Gödel demostró que:
• En los Principia Mathematica podía existir una proposición que al mismo tiempo fuese verdadera e indemostrable.
Discusión
• Esto ocurriría con cualquier sistema axiomático, con cualquier tipo de matemáticas existente ahora o que fuese a existir en el futuro.
Discusión
• Teorema de Gödel:
A cada clase k w-consistente y recursiva de formulae corresponden signos de clase r
recursivos, de modo que ni v Gen r ni Neg (vGen r) pertenecen a Flg (k) (donde v es la variante libre de r)
Discusión
• Teorema de Gödel:
Toda formulación axiomática de teoría de los números incluye proposiciones indecidibles.
Discusión
• En suma: Gödel estableció que en cualquier sistema (en cualquier ciencia, en cualquier lengua, en cualquier mente) existen aseveraciones que son ciertas pero que no pueden ser comprobadas.