SKRIPTA IZ FIZIKE

za 1. razred MEHANIKA

KINEMATIKA 2 - 11 DINAMIKA 12 - 16

1. dio ( I. polugodište ) 17 - 21 2. dio ( II. polugodište )

Energija, rad ,snaga 22, 23

GRAVITACIJA 24 - 27

HIDROMEHANIKA Hidrostatika 27- 32 Hidrodinamika 33 - 35 Dodatak 35 - 41

Nina Obradović, prof.

2

MEHANIKA

KINEMATIKA fizika – je temeljna prirodna znanost koja proučava opća svojstva i zakone gibanja materije fizikalna veličina – je mjerljivo svojstvo fizikalnog stanja, procesa ili tijela, koje omogućuje definiranje fizikalne pojave i njeno opisivanje u matematičkom obliku pomoću odgovarajućih jednadžbi

fizikalna veličina = broj · mjerna jedinica ( npr. m = 16 kg )

mjerenje – mjeriti neku veličinu znači odrediti broj koji pokazuje koliko puta ta veličina sadrži u sebi istovrsnu veličinu dogovorom uzetu za jedinicu.

Međunarodni sustav mjernih jedinica, SI – sustav (MKSA) :

Potencije broja 10 ( predmeci )

Potencija Znak Naziv 1024 Y yotta 1021 Z zetta 1018 E eksa 1015 P peta 1012 T tera 109 G giga 106 M mega 103 k kilo 102 h hekto 101 da deka

100 = 1 10-1 d deci 10-2 c centi 10-3 m mili 10-6 μ mikro 10-9 n nano 10-12 p piko 10-15 f femto 10-18 a ato 10-21 z zepto 10-24 y jokto

3

PONOVIMO :

1. Definicije : fizika, fizikalna veličina, mjerenje 2. Tablice : SI – sustav

predmeci broja 10 ( potencije ) 3. Uvježbati pretvaranje mjernih jedinica : npr. : 23 mm = ? km 23 mm = 23·10-3 m = 23·10-3 ·10-3 km = 23·10-6 km = 0,000023 km 15 dam = ? cm 15 dam = 15·10 m = 15·10·102 cm = 15·103 cm = 15 000 cm 7 dm2 = ? km2 7 dm2 = 7 ·(10-4 km)2 = 7 ·10-8 km2 = 0,00000007 km2

1 L = 1 dm3 1 mL = 1 cm3 1 gcm-3 = 103 kgm-3

Mehanika je dio fizike koja proučava zakone gibanja tijela, tj. vremensku promjenu položaja tijela u prostoru. Mehanika se dijeli na kinematiku, dinamiku i statiku ( kao poseban slučaj dinamike ). Kinematika proučava i opisuje gibanja, bez obzira na njegove uzroke i na svojstva tijela koja se gibaju. Dinamika proučava uzroke gibanja i utjecaj sile i mase na gibanje. Statika proučava uvjete ravnoteže tijela. KINEMATIKA – opisuje gibanje tijela ( put, brzina, ubrzanje ) gibanje – promjena položaja tijela u odnosu na okolinu referentni sustav - odabrani sustav promatranja gibanja

- svako gibanje je relativno gibanje prema određenom referentnom sustavu put, s – dio staze ( niz susjednih točaka kroz koje prolazi tijelo tijekom gibanja )

• put je skalar koji opisuje ukupnu duljinu putanje ( skalar je određen samo iznosom )

• na slici desno to je luk PQ • put je uvijek pozitivna veličina

pomak, x – najkraća udaljenost između dvije točke

• pomak je vektor koji opisuje promjenu položaja u odnosu na prethodni položaj ( vektor je određen iznosom, smjerom i orijentacijom )

• na slici desno to je vektor PQ • iznos pomaka može biti pozitivan ili negativan ( ovisi o dogovorenoj orijentaciji )

( ─ + , obično je dogovor kao kod osi x u matematici )

1 ms-1 = 3,6 kmh-1 1 kmh-1 = 6,3

1 ms-1

4

SKALARNE I VEKTORSKE VELIČINE

SKALAR – veličina određena samo iznosom ( i mjernom jedinicom ) - primjer skalarnih veličina : masa, vrijeme, obujam, gustoća, energija, snaga, … Svaka fizikalna veličina sastoji se od broja ( iznos ) i mjerne jedinice : npr. : m = 5 kg

broj mjerna jedinica fizikalna veličina

VEKTOR - veličina određena iznosom, smjerom i orijentacijom ( i mjernom jedinicom )

- primjer skalarnih veličina : pomak, brzina, ubrzanje, sila, …. ZBRAJANJE vektora ODUZIMANJE vektora udžbenik, str. 10. – 14.; Množenje vektora sa skalarom Primjeri 2, 4 i 5 RASTAVLJANJE vektora

BRZINA, vr

Definicijska formula prosječne brzine : tsv

ΔΔ

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

sm napomena : 1−= ms

sm

−v prosječna ili srednja brzina

−Δs prijeđeni put ( zapravo pomak ) POČKON sss −=Δ ( KON znači „konačno“ ) −Δt vremenski interval POČKON ttt −=Δ ( POČ znači „početno“ )

Napomena : općenito, promjena neke fizikalne veličine x je razlika između konačne i početne vrijednosti te veličine : POČKON xxx −=Δ VAŽNA NAPOMENA :

Može se definirati prosječna brzina po putu i prosječna brzina po pomaku :

Prosječna brzina po putu : vuk

ukputupo t

s= −uks ukupni put

Prosječna brzina po pomaku : vuk

ukpomakupo t

x= −ukx ukupni pomak

Promjena neke fizikalne veličine Δx je razlika između konačne i početne vrijednosti te veličine :

POČKON xxx −=Δ

5

Trenutačna brzina, vt – brzina u „određenom trenutku, tj. trenutačna brzina je jednaka prosječnoj brzini u izvanredno kratkom vremenskom intervalu ( ili, … kada vremenski interval teži nuli ) : tvv = 0→Δt

JEDNOLIKO PRAVOCRTNO GIBANJE Najjednostavnije gibanje je jednoliko gibanje po pravcu. To je gibanje sa brzinom stalnog iznosa. Dakle, srednja brzina jednaka je trenutačnoj, pa se može pisati :

⇒=== .konstvvv t tsv = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

sm ⇒ vts = i

vst =

GRAFIČKI PRIKAZ jednolikog pravocrtnog gibanja :

s/ t grafikon

Put je razmjeran ( proporcionalan ) vremenu :

s ~ t

Općenito : dvije su veličine razmjerne ako im je kvocijent ( omjer ) stalan broj. v/ t grafikon Glavna osobina jednolikog pravocrtnog gibanja je stalna brzina.

U v/t grafu put se može prikazati kao površina lika

ispod pravca ovisnosti v = konst. brzine o vremenu ( slika ) : a/ t grafikon

Kod jednolikog pravocrtnog gibanja nema promjene brzine, pa je ubrzanje nula.

6

1 2

1 2

......

uk

uk

s s svt t t

+ += =

+ +

NEJEDNOLIKO GIBANJE - gibanje sa prosječnim brzinama različitoga iznosa Kod nejednolikog gibanja tijela srednja ( prosječna ) brzina se računa kao omjer ukupnog puta i ukupnog vremena : UBRZANJE ( akceleracija ) Kada tijekom gibanja tijela dolazi do promjene brzine, definira se veličina :

tva

ΔΔ

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2sm , srednja ili prosječna akceleracija ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

2sm = [ ]2−ms

Srednja akceleracija je omjer promjene brzine i odgovarajućeg vremenskog intervala :

12 vvv −=Δ i 12 ttt −=Δ tj. 12

12

ttvva

−−

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2sm

Ako se promjena brzine odvija u jako malom vremenskom intervalu ( )0→Δt , onda se taj omjer naziva trenutačna akceleracija ili samo akceleracija :

0→Δ= tt aa Trenutačna akceleracija jednaka je srednjoj kada vremenski interval teži nuli. Akceleracija je, poput brzine, vektorska veličina. Gornje formule daju samo iznos ubrzanja. Kada je gibanje ubrzano onda je : 0>a , ubrzanje je pozitivno Kada je gibanje usporeno onda je : a < 0 , ubrzanje je negativno ( deceleracija )

JEDNOLIKO UBRZANO PRAVOCRTNO GIBANJE Najjednostavnije ubrzano gibanje je jednoliko ubrzano gibanje po pravcu . To je gibanje sa akceleracijom stalnog iznosa. Dakle, srednje ubrzanje jednako je trenutačnom, pa se može pisati :

⇒=== .konstaaa t tva = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

2sm ⇒ atv = i

avt =

Izvod formule asv 22 = :

7

⇒==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⇒

av

aav

avas

222

2

2

22

avtatv

tas

=⇒=

= 2

2

asv 22 =

Formulu za put kod jednoliko ubrzanog pravocrtnog gibanja dobit ćemo analizom v/t grafikona.

GRAFIČKI PRIKAZ jednoliko ubrzanog pravocrtnog gibanja :

v ~ t a = konst.

Prijeđeni put se može prikazati kao površina u v/t grafu :

vts21

=

2

21

21

21 attatvts =⋅== ⇒ 2

21 ats =

Graf ove funkcije je parabola :

Slobodni pad je primjer jednoliko ubrzanog gibanja sa akceleracijom g :

81,9=g ms-2 10≈ ms-2

2

21 gts = asv 22 =

8

asv

tas

atvaikonsta

22

0.

2

2

=

=

=<=

ELEKTRIČNO TIPKALO ( skica desno ) - sprava pomoću koje možemo analizirati gibanje - sa trake izmjerimo put i vrijeme

- možemo izračunati brzinu, promjenu brzine, ubrzanje, … . traka Važno je znati da vremenski interval između bilo koje dvije susjedne točkica na traci iznosi 0,02 s. To je zbog toga što je frekvencija struje gradske mreže 50 Hz. Budući su frekvencija i vrijeme obrnuto razmjerne veličine, slijedi :

501

=Δt s = 0,02 s

JEDNOLIKO USPORENO PRAVOCRTNO GIBANJE Kada se tijelo giba jednoliko usporeno od neke brzine ( npr. v ) do zaustavljanja ( 0=v ), vrijedit će iste formule kao za jednoliko ubrzano gibanje. Razlika je što se u ovom slučaju brzina smanjuje, a akceleracija je negativna.

GRAFIČKI PRIKAZ jednoliko usporenog pravocrtnog gibanja :

a) b) c)

a) usporavanje “u naprijed”tj. giba se usporeno u smjeru +x

b) usporavanje “u rikverc”, tj. usporeno u smjeru – x

c) ubrzavanje “u rikverc”, tj. ubrzano u smjeru – x

9

v-t grafikon za usporeno gibanje :

a-t grafikon za usporeno gibanje : NAPOMENA : U zadacima sa ovom vrstom gibanja uzima se da je akceleracija a > 0. JEDNOLIKO UBRZANO PRAVOCRTNO GIBANJE sa početnom brzinom v0 v0 – početna brzina Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom je složeno gibanje. Za svako složeno gibanje vrijedi tzv. zakon neovisnosti gibanja, koji glasi :

Jednostavna gibanja od kojih je sastavljeno složeno gibanje odvijaju se neovisno i traju jednako

dugo. Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom složeno je od jednolikog gibanja po pravcu brzinom 0v i jednoliko ubrzanog gibanja. Zbog načela neovisnosti, u formulama ( za put i brzinu ) samo se zbroje pojedine komponente (sastavnice) toga gibanja :

20 2

tatvs += atvv += 0 ⇒ tvv

a 0−=

−tv0 komponenta jednolikog gibanja po pravcu −0v stalna brzina jednolikog gibanja

po pravcu

−2

2ta komponenta jednoliko ubrzanog gibanja −at komponenta jednoliko ubrzanog

gibanja

10

GRAFIČKI PRIKAZ jednoliko ubrzano gibanje sa početnom brzinom :

s/ t grafikon v/ t grafikon a/ t grafikon

Za usporedbu, na s/ t grafu crtkana krivulja je grafički prikaz jednoliko ubrzanog gibanja bez početne

brzine. Izvod formule za put pomoću v/t grafa :

( )2220

00

0tvvttvt

vvtvs −+=⋅

−+= ⇒

( )tvvs ⋅

+=

20

Može se izvesti još jedna formula, koja povezuje brzine sa ubrzanjem i prijeđenim putom. Pogledajte izvod :

(1)

(2)

Kada se (2) uvrsti u (1) : imamo :

I, konačno : asvv 220

2 +=

( )

( )

avv

av

av

s

av

avv

av

av

avvs

avvvv

av

avvs

avva

av

avv

s

avva

avv

vs

222

22

22

2

2

20

220

2

20

20

200

20

20

200

2

20

200

200

0

−=−=

+−+−=

+−+−=

−⋅+−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−

⋅=

avv

tatvv

tatvs

00

20 2

−=⇒+=

+=

11

20

0

2

.

tatvs

atvvkonsta

−=

−==

asvv 220

2 −=

avv

tatvv

tatvs

−=⇒−=

−=

00

20 2

Dodatak : JEDNOLIKO USPORENO PRAVOCRTNO GIBANJE do brzine v ≠ 0 Kada promatramo usporavanje tijela od početne brzine 0v do neke brzine 0≠v , imat ćemo slične algebarske izraze ( formule ) kao i kod jednoliko ubrzanog gibanja sa početnom brzinom. Riječ je o složenom gibanju, koje se sastoji od jednolikog gibanja po pravcu sa stalnom brzinom 0v i jednoliko usporenog gibanja sa akceleracijom a < 0. Kada upotrijebimo načelo neovisnosti gibanja, možemo pisati : Grafikoni :

KAKO biste napisali formulu za računanje npr. puta prijeđenog u petoj sekundi ?

Odgovor :

( ) ( ) ....222

24

25450

2440

25504554 =−−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−=−=Δ − ttattvtatvtatvsss itd.

44 =t s 55 =t s Može se izvesti još jedna formula, koja povezuje brzine sa ubrzanjem i prijeđenim putom. Pogledajte izvod : (1) (2)

Kada se (2) uvrsti u (1) imamo : I, konačno : asvv 22

02 −=

( )

( )

avv

av

avs

av

avv

av

avv

avs

avvvv

avv

av

s

avva

avv

avs

avva

avvvs

222

22

22

2

2

220

220

20

200

20

20

200

20

2

200

20

200

0

−=−=

−+−−=

+−−−=

−⋅−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−

⋅=

12

DINAMIKA

Isaac Newton ( 1643.-1727) – najveći fizičar 17.stoljeća Izrekao je 3 zakona mehanike. Oni su temelj cjelokupne klasične fizike.

I. Newtonov zakon ( ZAKON INERCIJE, tromosti, ustrajnosti ): Ako je ukupna sila koja djeluje na tijelo nula, tada tijelo ili miruje ili se giba jednoliko po pravcu. (miruje ako je i prije mirovalo, a giba se jednoliko ako se i prije tako gibalo – to je smisao tromosti) Definicija mase, m : Budući je masa temeljni pojam u fizici, definira se pomoću svojstava koje ima. Tako se kaže da je masa mjera tromosti tijela. Može se reći i da je masa veličina koja opisuje opiranje tijela prema promjeni brzine ( djelovanju sile ). Oznaka za masu je m ili M, a mjerna jedinica u SI-sustavu je kg.

II. Newtonov zakon ( Temeljna jednadžba gibanja ) Akceleracija koju tijelo dobiva djelovanjem sile, razmjerna je toj sili a obrnuto razmjerna masi tijela :

mFa = [ ] =a ms-2

Potpuni zapis je u vektorskom obliku : mFar

r=

Popularnija je formula pisana u obliku : maF = [ ] =F N , njutn Dakle, sila je jednaka umnošku mase i ubrzanja.

Ovdje je dobro napomenuti da se misli na rezultantnu, tj. ukupnu silu koja djeluje na tijelo. Dugi naziv ( sinonim) za silu je međudjelovanje ili interakcija. Postoji još jedan, često primjenjivan zapis 2. Newtonovog zakona :

tpFΔΔ

= ( u vektorskom obliku : tpFΔΔ

=rr

)

Izvod gornje formule : zbog definicije ubrzanja 2. Newtonov zakon se može napisati :

vF mt

Δ=

Δ i množenjem sa tΔ , dobivamo:

IMPULS SILE može se još obilježiti i slovom I : tFI Δ= F tΔ - IMPULS SILE, umnožak sile i vremena njenog djelovanja

pvm Δ=Δ - PROMJENA KOLIČINE GIBANJA, umnožak mase i promjene brzine pmv = - KOLIČINA GIBANJA, umnožak mase i brzine tijela

Mjerne jedinice su : [ ] =Δ⋅ tF Ns, njutn sekunda [ ] =Δ⋅ vm kgms-1

13

III. Newtonov zakon ( zakon AKCIJE i REAKCIJE ili sile i protusile ) Ako tijelo 1 djeluje na tijelo 2 silom 2,1F , tada će i tijelo 2 djelovati na tijelo 1 silom 1,2F , koja je jednakog iznosa ali suprotnog smjera u odnosu na prvu silu. SVAKA REALNA SILA ima svoju PROTUSILU.

Vektorski zapis tog zakona : 1,22,1 FF

rr−= Skalarni zapis : 1,22,1 FF =

Primjeri nekih sila težina , G

r

Tijela imaju težinu jer se nalaze u gravitacijskom polju Zemlje ( naravno, tijela su teška na drugim planetima ), pa ih Zemlja privlači prema svom središtu. Težina tijela u nekom referentnom sustavu je sila koja daje tijelu akceleraciju jednaku akceleraciji slobodnog pada u tom istom sustavu. Težina se računa prema formuli : gmG rv

= Najčešće se u zadacima koristi skalarni oblik formule : mgG = [ ]G =N

m – masa tijela g - akceleracija slobodnog pada (ubrzanje Zemljine gravitacije)

Najčešće se u zadacima koristi da je : 10≈g ms-2 ; inače, za naše zemljopisno područje : 81,9=g ms-2

Slobodni pad je primjer gibanja tijela u gravitacijskom polju Zemlje. To je jednoliko ubrzano gibanje. Jedina sila koja djeluje na tijelo ja gravitacijska sila. Sila otpora zraka se zanemaruje. Ubrzanje koje dobiva svako tijelo koje slobodno pada iznosi g. Važne napomene : 1. Ako nije drugačije rečeno (tj., ako se tijelo nalazi u tzv. inercijskom referentnom sustavu),

težina tijela je jednaka gravitacijskoj sili na to tijelo : G = Fg 2. Tijelo zbog svoje težine pritišće podlogu ili ovjes. Tu silu zovemo pritisna sila. Dakle,

pritisna sila je sila kojom tijelo djeluje na podlogu ili ovjes ( točku u kojoj je obješena ). Hvatište pritisne sile je u podlozi ili ovjesu.

Pasivne sile Sile reakcije , javljaju se nakon djelovanja neke sile (akcije). Primjer za sile reakcije su :

Napetost niti , N

r

a) to je sila kojom nit ( konop, točka ovjesa ) djeluje na tijelo (obješeno na tu nit) b) ona je protusila pritisnoj sili ( tj. sili kojom tijelo djeluje na ovjes ) c) hvatište joj je u tijelu

14

mgFN g == mgFR g ==

Reakcija podloge , Rr

1. to je sila kojom podloga djeluje na tijelo (koje stoji na njoj) 2. ona je protusila pritisnoj sili (tj. sili kojom tijelo djeluje na podlogu) 3. hvatište joj je u tijelu Tumačenje mirovanja tijela

Poznavajući I. Newtonov zakon i značenje sila napetosti niti i reakcije podloge možemo protumačiti mirovanje tijela na podlozi ili ovjesu : Tijelo je u mirovanju zbog toga što se izjednačavaju gravitacijska sila i sila reakcije podloge ( ili napetost niti ) :

0=+ gFR

rr

Zakon očuvanja količine gibanja

Zakon očuvanja količine gibanja glasi :

U ZATVORENOM FIZIKALNOM SUSTAVU UKUPNA KOLIČINA GIBANJA JE OČUVANA.

Matematički zapis zakona : 22112211 vmvmvmvm ′+′=+

m1- masa prvog tijela m2- masa drugog tijela m v – količina gibanja tijela mase m i brzine v

v1- brzina prvog tijela prije interakcije v'1- brzina prvog tijela poslije interakcije v2- brzina drugog tijela prije interakcije v'2- brzina drugog tijela poslije interakcije

Zatvoreni fizikalni sustav je onaj koji ne međudjeluje sa okolinom. Drugim riječima, to je sustav za koji vrijedi da je suma svih vanjskih sila i momenata sila na taj sustav nula.

0=+ gFNrv

15

22 lhx −=

⇒=− gFFhlh :: 222

lhlmg

lhlFF g

2222

2−

⋅=−

=

Zakon očuvanja količine gibanja se može izreći i ovako : Ukupna promjena količine gibanja u zatvorenom fizikalnom sustavu je nula, tj. nema promjene ukupne količine gibanja: 0=ukpr Umnožak mase tijela i njegove brzine nazivamo KOLIČINA GIBANJA ili kratko IMPULS ( p = mv ). Umnožak mase tijela i promjene njegove brzine nazivamo PROMJENA KOLIČINA GIBANJA :

vmp Δ=Δ Primjena zakona očuvanja energije :

1. elastični sudar ( sudar bilijarskih kugli ) 22112211 vmvmvmvm ′+′=+

2 . neelastični sudar ( sudar glinenih kugli ) vmmvmvm ⋅+=+ )( 212211

−v brzina oba tijela nakon sudara

KOSINA

Kosina je ravnina nagnuta pod nekim kutom (α ) prema horizontalnoj ravnini. oznake veličina: h – visina kosine l – duljina kosine x – treća stranica kosine SILE koje djeluju na TIJELO na kosini su:

RFg

rr, i trF

r ( gravitacijska sila, reakcija podloge i trenje )

Gravitacijska sila se rastavlja na komponente : 21 FFFg

rrr+=

−1Fr

komponenta gravitacijske sile duž kosine (paralelna s kosinom) −2F

r komponenta gravitacijske sile okomita na kosinu

−Rr

reakcija podloge Rastavljanje sila na kosini:

Iz sličnosti trokuta → ⇒= gFFlh :: 1 lhmg

lhFF g ⋅==1

U slučaju kosine, sila trenja se računa po formuli : 2FFtr ⋅= μ Analiza gibanja tijela na kosini: I. UVJET MIROVANJA tijela na kosini : UKUPNA SILA na TIJELO mora biti jednaka nuli ( 1. Newtonov zakon ) duž kosine : trFF ≤1 okomito na kosinu : RF =2

16

22

22

1

hlh

lhlmg

lhmg

FF tr

−=⇒

−=

=

μμ

II. GIBANJE tijela na kosini : a) jednoliko niz kosinu; uvjet je da ukupna sila koja djeluje na tijelo duž kosine bude jednaka nuli

b) jednoliko ubrzano niz kosinu : ⇒> trFFrr

1 razlika tih dviju sila ubrzava tijelo

amF

FFF trrr

rrr

=

+= 1

Jednadžba gibanja u vektorskom obliku : trFFam

rrr+= 1

Jednadžba gibanja u skalarnom obliku : trFFma −= 1

sila trenja na kosini : l

hlmgFFtr

22

2−

== μμ

l

hlmglhmgma

22 −−= μ : m

ubrzanje tijela niz kosinu : l

hlglhga

22 −−= μ

c) da bi se tijelo ubrzavalo uz kosinu, trenje mora biti dovoljno veliko da omogući takvo gibanje : trF > 1F

17

DINAMIKA – 2. dio ( 2. polugodište ) : Sila trenja , trF

r

- je sila između tijela i okoline koja pruža otpor gibanju - ona ovisi o vrsti i svojstvima dodirnih površina - ona ne ovisi o veličini dodirnih površina

Formula : NFtr ⋅= μ N - normalna sila, tj. sila pritiska na podlogu ( okomita komponenta )

sμ - koeficijent ( faktor ) statičkog trenja statičko trenje = trenje mirovanja

dμ - koeficijent ( faktor ) dinamičkog trenja NF dstr ⋅≤ ,μ dinamičko trenje = trenje klizanja

U pravilu je sμ > dμ .

Faktor trenja je uvijek manji od 1 : μ < 1 ( jer sila trenja ne može biti veća od težine tijela )

Grafički prikaz ovisnosti sile trenja o vanjskoj sili F :

Dok tijelo miruje, statičko trenje raste jednako kao i sila F, sve do iznosa Ftrmax. Nakon toga, povećanje sile F uzrokuje klizanje, a iznos statičkog trenja pada na iznos trenja klizanja.

Primjeri : a) Kada se tijelo giba po horizontalnoj podlozi formula za silu trenja je :

mgGFtr ⋅=⋅= μμ

jer je normalna sila u tom slučaju jednaka težini tijela G.

b) Kada se tijelo giba po kosini formula za silu trenja je :

l

hlGFtr

22 −⋅⋅= μ

18

Elastičnost Sila koja djeluje na tijelo može mu promijeniti položaj, ali i oblik. Ako se tijelo nakon djelovanja sile vrati u prvobitan oblik, kažemo da se radi o elastičnoj deformaciji tijela. U drugom slučaju, ako se tijelo nakon djelovanja sile ne vrati u prvobitan oblik, kažemo da se radi o plastičnoj deformaciji.

Elastična sila , elFr

• sila koja se javlja kao protusila na djelovanje vanjske sile, koja želi promijeniti oblik tijela

• posljedica je elastičnih svojstava tijela, koja proizlaze iz karaktera veze između čestica tijela

Elastična sila se najlakše može protumačiti na primjeru el. opruge ( slika ) : oznake : k – konstanta elastičnosti opruge x = 0 , položaj ravnoteže x – pomak iz položaja ravnoteže ili produljenje

Formula elastične sile : xkFel ⋅−=

Elastična sila je razmjerna pomaku : F ~ x Predznak minus u formuli znači da je sila suprotna pomaku. Elastična sila vraća tijelo u ravnotežni položaj. Može se napisati formula za konstantu elastičnosti, koja proizlazi iz formule za elastičnu silu :

xFk = [ ]k =Nm-1

Primjena elastične sile : DINAMOMETAR

Dinamometar je sprava za mjerenje sile.

Jednoliko gibanje po kružnici - kinematika Jednoliko gibanje po kružnici je gibanje sa brzinom stalnog iznosa : ..konstv =

−v linijska brzina, ophodna brzina, obodna brzina

Trv π2

= T – period, ophodno vrijeme, vrijeme za koje tijelo

jedanputa obiđe kružnicu

19

−f frekvencija, učestalost : tNf = [ ]f =s-1 =Hz

Frekvencija je broj periodičnih događaja u jedinici vremena : tNf = frv ⋅=⇒ π2

Frekvencija i period su obrnuto razmjerne veličine : T

f 1=

Uvodi se i veličina ω , kutna brzina : f⋅= πω 2 tj. Tπω 2

= [ ]ω = rads-1

Sada se brzina može izraziti kao : ωrv =

Kod jednolikog gibanje po kružnici stalni iznos imaju ove veličine : brzina, period, frekvencija i kutna brzina.

Iako je gibanje po kružnici primjer gibanja sa brzinom stalnog iznosa, smjer brzine nije stalan, mijenja se.

Vektor brzine je uvijek tangencijalan na kružnicu, tj. okomit je na radijus :

Jednoliko gibanje po kružnici – dinamika Budući da postoji promjena brzine, zapravo znači da mora postojati i ubrzanje :

rva

2

= ili ra 2ω= [ ] =a ms-2

Čim postoji ubrzanje, mora postojati i sila koja će ga uzrokovati / podržavati to gibanje. Sila nosi naziv : CENTRIPETALNA SILA - cpF

r

Iz 2. Newtonovog zakona proizlazi : cpcp amF rr⋅= [ ] =F N

Smjer centripetalne sile određen je smjerom centripetalne akceleracije. Smjer centripetalne sile je prema središtu kružnice, ona je RADIJALNA sila ( slika ) :

Iznos sile se računa po formuli : r

vmFcp

2

=

Budući da postoji sila koja prisiljava tijelo da se giba po kružnici, u svojoj osnovi jednoliko gibanje po kružnici je zapravo ubrzano gibanje.

20

Centripetalna sila u primjerima DA BI TIJELO STALNO KRUŽILO POTREBNA JE SILA KOJA ĆE GA ODRŽAVATI NA KRUŽNOJ PUTANJI. Dakle, centripetalna sila nije neka nova, posebna sila, već ona nastaje kao rezultanta drugih sila. Kaže se da ulogu centripetalne sile igraju razne sile :

- sila trenja, kod gibanja automobila u zavoju : cptr FF =

- gravitacijska sila, kod gibanje planeta oko Sunca : gcp FF = ⇒ mgr

vm =2

- Lorentzova sila, kod gibanja naboja u magnetskom polju okomito na silnice :

Lcp FF = ⇒ QvBr

vm =2

- i td. ….

Referentni sustavi Gibanje tijela ili njegovo međudjelovanja sa drugim tijelom uvijek promatramo iz nekog određenog sustava, tzv. referentnog sustava. Dakle, referentni sustav je odabrani sustav promatranja određene fizikalne pojave ( gibanja, međudjelovanja, itd. …) Postoje dvije osnovne grupe referentnih sustava :

1. Inercijski sustavi – oni sustavi koji međusobno ili miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu ; definirani su 1. Newtonovim zakonom 2. Neinercijski sustavi ili ubrzani ( akcelerirani ) sustavi - oni sustavi koji se prema inercijskima gibaju ubrzano

- u neinercijskim sustavima se javlja tzv. inercijska sila,Fi Osobine ( svojstva ) INERCIJSKE sile :

– javlja se u ubrzanim sustavima - posljedica je tromosti tijela - ona je nerealna sila (nije rezultat međudjelovanja dva tijela) - nema protusilu, tj. za nju ne vrijedi 3. Newtonov zakon - po iznosu je jednaka realnoj sili, ali je suprotnog predznaka ( orijentacije )

Važna napomena : SVAKA REALNA sila ima svoju PROTUSILU. Primjeri inercijske sile : 1. centrifugalna sila 2. inercijska sila u dizalu

21

a

a

UBRZANI SUSTAV – dizalo Na dizalo i sva tijela u njemu djeluje inercijska sila, koja uzrokuje promjenu težine tijela. G – težina tijela u mirujućem dizalu G' – težina tijela u dizalu koji ubrzava/usporava a) ubrzava prema dolje - težina se smanjuje b) ubrzava prema gore – težina se povećava

G′ < G G′ > G ( )agmmaGG −=−=′ maGG +=′ ( )gamG +=

UBRZANI SUSTAV koji jednoliko rotira – Centrifugalna sila CENTRIFUGALNA sila je inercijska sila koja se javlja prilikom gibanja tijela pri kružnici.

Primjer : Vrtuljak a) Promatranje gibanja iz sustava tzv. mirnog promatrača :

gcp FNFrrr

+= Centripetalna sila je zbroj gravitacijske sile i sile napetosti niti. b) Promatranje gibanja iz sustava tijela koje se giba po kružnici :

gcf FNFrrr

+= Centrifugalna sila uravnotežena je sa gravitacijskom silom i silom napetosti niti. Ukupna sila na tijelo je 0. Tijelo kaže: „ Ja mirujem, a sve oko mene se vrti ! “ Najčešći zadatak sa centrifugalnom silom je kada se pita koliki bi morao biti period rotacije Zemlje da tijela na ekvatoru ne pritišću podlogu. Takav primjer se rješava jednostavnom činjenicom da centrifugalna sila poništava gravitacijsku silu, pa je ukupna sila na tijelo u njegovom vlastitom sustavu nula. Tada tijelo ne pritišće podlogu, kažemo da ju u tzv. „bestežinskom stanju“, tj. nema težinu :

gcf FF =

mgRvm

Z

=2

i TR

v Zπ2= ⇒ gRT Z ⋅= π2

22

αcos⋅⋅=⋅= sFsFW p

2

21 kxEel =

FsW =2

21 ksW =

αpF

oF

Energija - sposobnost obavljanja rada 1) Kinetička energija – energija gibanja

2

21 mvEkin = [ J ] → džul

2) Potencijalna energija – energija položaja a) Gravitacijska b) Elastična a) Gravitacijska energija gpE mghEgp = [ J ] - je energija koju ima tijelo zbog položaja u gravitacijskom polju Zemlje b) Elastična potencijalna energija elE [ J ]

k - konstanta elastičnosti opruge xFk = x - produljenje opruge

Rad – djelovanje ( savladavanje ) sile na putu

FsW = [ J = N m ]

Formula vrijedi samo kada je sila paralelna s putom. Ovdje treba biti oprezan : Dakle, kada je sila okomita na put ONA NE OBAVLJA RAD. Npr. centripetalna sila ne radi, tj. njen rad je nula.

Općenito kada sila nije paralelna s putom, uzima se njezina paralelna komponenta :

−α kut između sile i puta

pF - komponenta sile paralelne s putom oF - komponenta sile okomita na put Rad je jednak promjeni energije : EΔ=W npr. pockon EEE −=Δ

Grafički prikaz rada Rad se grafički prikazuje kao površina lika ispod krivulje ( pravca ) ovisnosti sile o putu u F/s grafu. Razmotrit ćemo dva jednostavna primjera : 1. Ako je sila stalna, F = konst. 2. Ako je sila razmjerna s putom : s~F

23

2

21 ksEel =

To je slučaj kod elastične sile.

Zakon očuvanja energije

Ukupna energija u zatvorenom sustavu je konstantna, tj. ne mijenja se pri prijelazu sustava iz jednog stanja u drugo.

.konstEuk = Primjer je slobodni pad : pretvorbe energije kingp EE → ( slobodni pad ) BCAB hhh +=

Z.O.E : gpuk EE = ... u točci A U točci B : )( ABBCABBCBkinBgpuk hhmgmghmghEEE +=+=+=

ukgruk EEmghE ===

Snaga i korisnost SNAGA je fizikalna veličina koja opisuje sustav koji obavlja radi i pokazuje koliki rad obavljen u jedinici vremena ( pokazuje brzinu obavljenog rada). Snaga je fizikalna veličina koja mjeri brzinu prijenosa energije.

t

WP = Mjerna jedinica snage je wat : [ ] WsJP ==

W – rad t - vremenski interval

Korisnost, djelotvornost ( koeficijent iskorištenja, faktor korisnog djelovanja ) je fizikalna veličina koja karakterizira stroj i pokazuje koliki dio uložene energije (rada) stroj vraća u korisnom obliku. Korisnost se definira omjerom dobivene dE i uložene energije uE , odnosno dobivenog dW i uloženog rada

uW :

u

d

u

d

WW

EE

==η

Jednako tako se može napisati i formula za korisnost preko snaga : u

d

PP

=η

Korisnost nikada ne može biti veća od 1, jer bi tada bio narušen zakon očuvanja energije : 1≤η

W

2 3 40

1

2 3

4

s

F [N]

1

F

s

24

GRAVITACIJA , gravitacijska sila Gravitacija – prirodna pojava privlačenja svih masa u svemiru Gravitacijska sila – privlačna sila između bilo koje dvije mase u svemiru Ubrzanje gravitacijske sile, jakost gravitacijskog polja – oznaka : g ili γ Keplerovi zakoni ( J. Kepler ) Prvi zakon

1) PLANETI se gibaju po elipsama oko Sunca u čijem je jednom žarištu Sunce. Sunce Drugi zakon

2) Položajni vektor PLANETA u jednakim vremenskim intervalima opisuje jednake površine. Posljedica tog zakona je da se planete, kada su bliže Suncu gibaju brže.

Treći zakon

3) Kvadrati ophodnih vremena planeta oko Sunca odnose se kao kubovi njihovih srednjih udaljenosti od Sunca :

32

31

22

21

aa

TT

=

U ovom zakonu se uzima da su putanje planeta kružnice.

11 ra = , radijus putanje planete 1

22 ra = , radijus putanje planete 2 On povezuje gibanje planeta u Sunčevom sustavu i omogućuje da se na temelju perioda obilaska planeta oko Sunca jednostavno odrede prave udaljenosti i odnosi u njemu. Ovaj zakon vrijedi kako za planete tako i za sustave satelita, pri čemu je vrijednost konstante za svaki sustav različita. AU = a.j. = a udaljenost Zemlja-Sunce ( astronomska jedinica ) a ≈ 150 milijuna km

Podaci za III. Keplerov zakon

Planet T(god) a(AU) T2 a3

Merkur 0.24 0.39 0.06 0.06 Venera 0.62 0.72 0.39 0.37 Zemlja 1.00 1.00 1.00 1.00 Mars 1.88 1.52 3.53 3.51 Jupiter 11.9 5.20 142 141 Saturn 29.5 9.54 870 868

U ovom zakonu, umjesto oznake a mogu se koristiti oznake r ili R.

planet

v

radijus  pu

tanje  

25

r2m

1m

ekvg

polg

Opći zakon gravitacije = Newtonov zakon gravitacije

Isaac Newton (1642.-1727.) Zakon je poznat i kao Newtonov zakon gravitacije. Newtonov zakon gravitacije je prirodni zakon koji opisuje pojavu općeg privlačenja među svim tijelima u svemiru. Smatra se “najveličanstvenijim poopćenjem koje je ikad učinio ljudski um''. Ista ona sila, koja privlači poslovičnu Newtonovu jabuku tlu, održava Mjesec

u njegovoj putanji oko Zemlje i planete u njihovim putanjama oko Sunca.

Formula za gravitacijsku silu je u biti opći zakon gravitacije : 221

rmmF Γ=

−21,mm mase planete ( može i slovo M ) 111067,6 −⋅=Γ Nm2kg‐2 ‐ opća gravitacijska konstanta −r međusobna udaljenost masa

Gravitacijska sila na Zemlji : To je sila kojom Zemlja djeluje na tijelo koje se nalazi na njoj. Sila je uvijek privlačna, ima hvatište u tijelu a usmjerena je prema središtu Zemlje ( slika ). m

Gravitacijska sila se računa prema formuli : gmFgrr

= M

Najčešće se u zadacima koristi skalarni oblik formule : mgFg =

[ ]N m – masa tijela g - akceleracija slobodnog pada (ubrzanje Zemljine gravitacije) Najčešće se u zadacima koristi da je : 10≈g ms-2 ( inače, za naše zemljopisno područje : 81,9=g ms-2 )

Iz općeg zakona gravitacije možemo zaključiti da se akceleracija slobodnog pada na bilo kojoj planeti (nebeskom objektu) može izračunati pomoću formule :

2RMg Γ= −M masa planete −R radijus planete

Iz formule je vidljivo da je akceleracija slobodnog pada obrnuto razmjerna radijusu planete :

g ∼ 2

1R

⇒ polekv gg <

ubrzanje slobodnog pada na Zemlji : za Zemlju vrijedi :

gpol = 9,83 m/s2

ekvg < polg gekv = 9,78 m/s2

jer je polekv RR > Time postaje jasno zašto se g na Zemlji mijenja ovisno o zemljopisnoj širini ( slika iznad ).

26

mgrvm =

2

h

Primjeri – primjena općeg zakona gravitacije : 1) računanje težine tijela (npr. na Zemlji)

mgFg = ⇒ 2Z

Z

RMg Γ= , akceleracija slobodnog pada 10≈g ms-2

−ZM masa Zemlje −ZR radijus Zemlje 2) računanje težine tijela,G′ , na nekoj visini od površine Zemlje

−ZR radijus Zemlje −h visina iznad površine Zemlje

( )2hRmMG

Z

Z

+Γ=′

hRr Z +=

3) računanje g, ubrzanja slobodnog pada (za bilo koje nebesko tijelo) : 2p

p

RM

g Γ=

−pM masa planete −pR radijus planete

Gibanje satelita Satelit je objekt koji se giba oko nekog masivnog tijela u Svemiru. Da bi neko tijelo postalo satelit, mora biti ispunjen uvjet :

tj. gravitacijska sila ima ulogu centripetalne sile : gcp FF =

rgv =

Za Zemljin satelit ta brzina iznosi : 9,7≈= gRv Z kms-1 , prva svemirska brzina

Za nas su od posebnog značenja tzv. geostacionarni sateliti - ostaju uvijek iznad iste točke nad Zemljom

GEO sateliti su danas najčešći tipovi korištenih komunikacijskih satelita. GEO satelit se nalazi na kružnoj orbiti 36 853 km iznad površine Zemlje i

rotira u ekvatorijalnoj ravnini Zemlje istom brzinom kojom rotira i Zemlja.

PRVA SVEMIRSKA ( KOZMIČKA ) BRZINA

- prva kozmička brzina je brzina koju treba dati tijelu da postane UMJETNI SATELIT neke planete

uvjet : ⇒=⇒= mgR

mvFF cpg

2

IvgRv == R – radijus planete

Za Zemlju : 9,7=Iv kms-1 ( radijus Zemlje : 6400≈ZR km )

27

gRv

mgRmv

221

2

2

=

=

⇒ IIvgRv == 2s

kmvII 2,11=

III vv ⋅= 2

2

2

2

22

4T

rr

M

rMrMM

FF

S

PPS

gcp

π

ω

=Γ

=Γ

=

3: rM SΓ322 4 rTM S π=Γ

22Tr⋅ Tπω 2

=

DRUGA SVEMIRSKA ( KOZMIČKA ) BRZINA

- brzina koju treba dati tijelu da zauvijek napusti planetu

uvjet : kinetička energija tijela na površini planeta mora biti jednaka (ili veća) gravitacijskoj potencijalnoj energiji

Za Zemlju je : Vidi se da postoji veza :

DODATAK : Izvod trećeg Keplerovog zakona −SM masa Sunca

−PM masa planeta

.4 2

3

2

konstMr

T

S

=Γ

=π

⇒ 32

22

31

21

rT

rT

= tj. 32

31

22

21

rr

TT

=

HIDROMEHANIKA

HIDROSTATIKA

TLAK p - je skalarna veličina; predstavlja silu koja djeluje okomito na jedinicu površine : AFp =

Ako sila ne djeluje okomito, uzima se njena okomita komponenta. Mjerna jedinica tlaka : [ ] =p Nm-2 = Pa , paskal ( počasna mjerna jedinica po znanstveniku B. Pascalu )

Ostale jedinice za tlak : 1 bar = 105 Pa 1 mm Hg = 1 torr = 133,33 Pa 1 atm = 760 mm Hg = 101 325 Pa ≅ 1 013 hPa

Vrste tlakova : UNUTARNJI – hidrostatski tlak VANJSKI – hidraulički tlak HIDROSTATSKI TLAK - unutrašnji tlak u fluidu; posljedica je težine fluida ( slika gore )

28

A B C D

1 2 3 4 5

Računa se po formuli : ghp ρ= g – akceleracija slobodnog pada h - dubina Izvod formule :

AVg

Amg

AGp ρ

=== ; AhV = ; gh

hVVgp ρρ

==

Spojene posude – hidrostatski paradoks Hidrostatski tlak u točkama 1 – 5 je isti. Ukupni tlak (na nekoj dubini) dobije se zbrajanjem atmosferskog i hidrostatskog tlaka :

Puk = Patm + ρgh 2211 ghghpp atmuk ρρ ++= ρ1

ρ2

VAŽNO : Razlika tlakova NE ovisi o atmosferskom tlaku.

Dokaz :

( )( ) hghhgghghp

ghpghpp

ppp

atmatm

Δ=−=−=Δ+−+=Δ

−=Δ

ρρρρρρ

1212

12

12

Razlika tlaka ovisi samo o razlici dubina hΔ : hgp Δ=Δ ρ HIDRAULIČKI TLAK - vanjski tlak u fluidu Blaise Pascal, 17.st. – francuski fizičar

Pascalov zakon ( Pascalova kugla – slika desno ) : Vanjski tlak u fluidu širi se na sve strane jednako. Načelo rada hidrauličke dizalice ili preše Uvjet : u uređaju mora biti tekućina, jer je ona za razliku od plina nestlačiva. Malom silom ( 2F ) na dužem putu savladava se veća sila ( F2 ) na kraćem putu. Manjom silom savladava se veća sila → načelo poluge ( vidi sliku ) : dizalica preša F2 2 h2 A1 A2 h1 p2 p1 = p2 F1 p1

29

2

2

1

1

21

AF

AF

pp

=

=Zbog Pascalovog zakona tlakovi ispod lijevog i desnog klipa su jednaki :

⇒ 2

1

2

1

AA

FF

=

Zbog nestlačivosti tekućine : 21 VV =

2211 hAhA ⋅=⋅ ⇒ 1

2

2

1

hh

AA

=

Što ima za posljedicu : 1

2

2

1

hh

FF

=

Ovo je tzv. zlatno pravilo mehanike : koliko smo dobili na sili izgubili smo na putu. Primjer : ATMOSFERSKI TLAK, atmp

je hidrostatski tlak, koji postoji zbog težine atmosfere atmosferski tlakopada sa visinom, a raste sa dubinom

(na svakih 10 m opada/raste za 1mmHg = 133,33 Pa) grubo se može izračunati prema formuli : h – dubina/visina

hm

Papp atmh ⋅±=10

33,133 , tlak na nekoj dubini / visini

Znak + se koristi kada se ide u dubinu, a znak – kada se penje u visinu. patm – tlak na 00 nadmorske visine ( ili onoj koja je odabrana za početnu)

Preciznija formula je : ghpp zrakatm ρ±= 0 znak + se uzima za tlak na nekoj dubini znak – se koristi za računanje tlaka na nekoj visini

3/29,1 mkgzrak =ρ UREĐAJ ZA MJERENJE TLAKA živin barometar → E. Torricelli, 17. st. Skica :

vakuum ( napomena : Torricelli je prvi „otkrio vakuum“ – stanje tlaka 0≈ ) Načelo rada Hg-barometra : hidrostatski tlak stupca žive drži ravnotežu atmosferskom tlaku hgp Hgatm ⋅⋅= ρ

Normirani tlak : 7600 =p mmHg = 101325 Pa

30

2ρ

1ρ

hgghphgp atm ′++=′+ ρρρ

ghpp atm ρ+=

atmpghp =+ ρ

ghpp atm ρ−=

U - cijev U – cijev služi za određivanje gustoće nepoznatog fluida

Na granici dva fluida tlakovi su jednaki :

2211 ghpghp atmatm ρρ +=+

211 ghgh ρρ = ⇒ 1

221 h

hρρ =

Otvoreni manometar

o uređaj za mjerenje tlaka u zatvorenom prostoru o u načelu je to U-cijev

h h

p > patm p < patm

SILA UZGONA, uzgon

Zašto brod pliva, a sjekira ne, iako su oboje od željeza?

Arhimedov zakon Arhimed (grč. Arhimedes, oko 287.-212. p. n. e.) je najveći fizičar i jedan od najvećih matematičara Starog vijeka.

31

tijelauronjenog

tekucineistisnute VV =

urtekuz VgF ⋅⋅= ρ

uzg FF =

ARHIMEDOV zakon - volumen istisnute tekućine jednak je volumenu uronjenog tijela.

TEŽINA tijela uronjenog u fluid smanjuje se za iznos težine istisnutog fluida . Ta sila nosi naziv sila uzgona – ili kratko, uzgon. Težinu uronjenog tijela osjeća fluid. ( pogledajte ovaj link http://www.walter-fendt.de/ph14cr/buoyforce_cr.htm )

- sila kojom fluid djeluje na uronjeno tijelo - smanjuje težinu tijela - djeluje vertikalno prema gore, posljedica je djelovanja hidrostatskih tlakova na donju i gornju plohu tijela −tekρ gustoća tekućine (fluida)

Formula : −urV volumen uronjenog tijela (samo onaj dio koji je u fluidu) Ovisno o omjeru gravitacijske sile i uzgona, tijelo u fluidu može ili lebdjeti ili tonuti ili izranjati iz fluida : balon se diže balon se spušta Kada tijelo u fluidu miruje, vrijedi da je gravitacijska sila jednaka sili uzgona : Ukupna sila na tijelo je nula. Detaljnije : urtek gVmg ρ=

Težina tijela uronjenog u fluid je : tijelauronjtekućeku

uz

VgmgGFGG

.⋅⋅−=′−=′

ρ

Pitanje : Zašto padobranac i kapljice kiše najčešće padaju stalnom brzinom, a ne ubrzano?

32

uzFr

gFr

gFr

gFr

uzFr

uzFr

tijelatek

tijelatek

guz

gVgV

FF

ρρ

ρρ

=

=

=

Uzgon – ponavljanje 1) urtekuz VgF ⋅⋅= ρ Volumen istisnute tekućine jednak je volumenu uronjenog tijela . −ρ gustoća uronjenog tijela

−tekρ gustoća tekućine

zakonArhimedovVV tekucineistisnuteur ⇐=

2) Sila uzgona jednaka je TEŽINI ISTISNUTOG FLUIDA :

tekucineistisnutetekucineistisnutetekucineistisnutetekuz GgmVgF =⋅=⋅⋅= ρ

uztekucineistisnute Fgm =⋅

uztekucineistisnute FG =

3) Težina tijela u fluidu smanjuje se za iznos sile uzgona : uzFGG −=′

tijela

tekurtekuzmgmggVmgFGG

ρρρ ⋅−=−=−=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=′

tijela

tekmgGρρ

1

UVJETI koji proizlaze iz odnosa gravitacijske sile i sile uzgona :

a. tonjenja → tijelatek ρρ < npr. slučaj b.

b. plivanja → tijelatek ρρ = vidi sliku

c. izranjanja → tijelatek ρρ > dolje c.

a. b.

33

tVqΔΔ

=

HIDRODINAMIKA

Pojmovi – definicije : jakost struje fluida = protok, q idealni fluid – nestlačiv, nema unutarnjeg trenja ( viskoznosti ) strujnice – zamišljene krivulje koje opisuju strujanje fluida Protok q je količina fluida koji u jedinici vremena proteče okomito kroz poprečni presjek strujne cijevi :

−ΔV volumen −Δt vrijeme

Mjerna jedinica za protok je : [ ]s

mq3

=

( Napomena : gore definirani protok je, preciznije rečeno, volumni protok. Postoji i maseni protok, koji je omjer mase i vremena. ) stacionarno strujanje – ono kod kojega, u jednakim vremenskim intervalima, kroz svaki presjek cijevi proteče jednaka količina fluida Jednadžba kontinuiteta (neprekidnosti) Za stacionarno strujanje idealnog fluida vrijedi da je protok stalan : .konstq = - to znači da u jednakim vremenskom intervalima kroz svaki presjek strujne cijevi proteče jednaka količina fluida.

Zato se, za stacionarno strujanje može pisati : tVq = , što dalje daje :

⇒⋅

=tvtAq Avq = −vt put koji prijeđe fluid

Tako smo dobili „novu“ formulu za protok → protok je jednak umnošku brzine v i površine presjeka A Za stacionarno strujanje će, zbog jednadžbe kontinuiteta će biti : 2211 vAvA ⋅=⋅ Iz ove posljednje jednadžbe se vidi da, ako se cijev sužava, brzina raste; odnosno, ako se cijev proširuje brzina strujanja se smanjuje. Dakle, tamo gdje je cijev uža, fluid struji brže.

Brzina istjecanja tekućine pretpostavke : idealni fluid, stacionarno strujanje Prema E.Torricelliju, idealni fluid, kada istječe iz posude u kojoj je otvor za istjecanje na dubini h, imat će brzinu istjecanja ( Torricellijev zakon istjecanja ) : ghv 2= g – akceleracija slobodnog pada

34

22221

211

21

222221

2111

22221

211

21

21

.21

21

21

21

VghVvVpVghVvVp

VmizVm

konstVVV

mghmvVpmghmvVp

mghmvWmghmvW

ρρρρ

ρρ

++=++

==

===

++=++

++=++

Formula proizlazi iz zakona očuvanja energije :

2

2mvmgh = ⇒ ghv 22 =

Formula podsjeća na onu od slobodnog pada.

Rad pri strujanju fluida Fluid struji kada u njemu, na istoj dubini u različitim točkama, postoji razlika tlakova pΔ .

Dimenziona analiza : [ ] JNmmmNmPaVp ==⋅=⋅=⋅ 3

23

Umnožak tlaka i volumena ima dimenziju (mjernu jedinicu) energije, tj. rada. Dakle, promjena energije, koja će odgovarati radu pri protjecanju fluida će biti: pVVpW Δ⋅+Δ⋅= Kako mi razmatramo samo stacionarno strujanje uz .konstV = , bit će : pVW Δ⋅= [ ] =W J

12 ppp −=Δ , razlika tlakova Kada fluid struji kroz cijevi, on obavlja rad.

Bernoullijeva jednadžba ili Bernoullijeva jednadžba Daniel Bernoulli, (1700. – 1782.), švicarski fizičar i matematičar

1. vrijedi za idealni fluid i za stacionarno strujanje 2. proizlazi iz zakona očuvanja energije ( Z.O.E.) primijenjenog na fluid :

U zatvorenom fizikalnom sustavu ukupna energija fluida koji struji mora biti očuvana

Izvod formule: oznake veličina : −W rad vanjske sile

−2

21 mv kinetička energija fluida

−mgh potencijalna energija fluida −v brzina strujanja fluida −p vanjski tlak statički −ghρ hidrostatski tlak tlak

−2

22vρ dinamički tlak

Dinamički tlak je tlak zbog strujanja fluida.

2.

1.

v

h p1

p2

p1

p2

35

222

211 2

121 vpvp ρρ +=+

Zbog Bernoullijevog učinka mlaz koji izlazi iz slavine se sužuje pri istjecanju.

Ako držite dva lista papira vertikalno na udaljenosti od par centimetara i pušete između njih, papiri će se pri dnu približiti. Razlog je opet Bernoullijev učinak (efekt).

22221

211 2

121 ghvpghvp ρρρρ ++=++Podijelivši gornju jednadžbu sa volumenom V dobijemo :

ili kraće : ...konstpuk = , pri stacionarnom strujanju idealnog fluida ukupni tlak je stalan; to je Bernoullijev zakon ili Bernoullijeva jednadžba.

Ako je cijev kroz koju protječe fluid horizontalna, bit će 21 hh = , pa imamo :

Pri stacionarnom strujanju idealnog fluida kroz horizontalnu cijev, zbroj statičkog i dinamičkog tlaka je stalan (jednak u svakom presjeku cijevi). To je pojednostavljeni Bernoullijev zakon. Iz gornje jednadžbe vidimo da se na mjestima gdje se poveća brzina fluida povećava dinamički tlak, a smanjuje statički ( jer njihova suma mora ostati stalna ). Ta činjenica se naziva Bernullijev učinak (efekt). Primjena Bernoullijevog učinka Zbog Bernullijevog učinka Bernoullijeva jednadžba ima važnu primjenu. Npr., pri plovidbi brodova, ako su oni relativno blizu jedan drugome, može u prostoru između njih doći do velikog porasta dinamičkog tlaka vode uz istodobni pad statičkog tlaka vode. Time se javi razlika statičkih tlakova između vode sa strane i vode u prostoru između brodova, što uzrokuje pojavu negativnog tlaka vode i pojavu sile koja jedan brod gura prema drugome. Također, pri gradnji odvodnih kanala treba voditi računa o Bernoullijevom učinku.

36

Zašto su avionu za letenje potrebna krila?

Sa eskole – fizika : http://eskola.hfd.hr/hokus_pokus Pokusi i primjeri primjene Bernoullijeve jednadžbe i jednadžbe kontinuiteta Promjena tlaka (∆p) pri većim brzinama protjecanja fluida naziva se podtlakom. Ta se pojava možedemonstrirati na više načina, sredstvima iz svakodnevne uporabe.

Avionsko krilo

Što će se dogoditi s listom papira koji držiš blizu usta i uz rub ga prstima pridržavaš u vodoravnom položaju pa snažno pušeš iznad njega?

Kakva je brzina zraka iznad papira? Zašto se papir podignuo? Što ga podiže? Što je ispod papira? Koliki je tlak zraka ispod papira? Na koju njegovu površinu, odozgo ili odozdo, zrak djeluje većom silom?

37

Puhanjem se dinamički tlak poveća, a statički se tlak smanji, tj. stvori se podtlak pa je tlak iznad lista papira manji od atmosferskog tlaka s donje strane.

Posljedica razlike tlakova ispod i iznad papira jest rezultantna sila koja je usmjerena prema gore. To jeaerodinamički uzgon.

Djelovanjem aerodinamičkog uzgona diže se zrakoplov. Geometrija i položaj krila, te velika brzina gibanja aviona uzrok su nastajanju razlike tlakova ispod i iznad krila.

Demonstraciju djelovanja aerodinamičkoga uzgona na avionsko krilo možeš izvesti pomoću papirnatoga modela.

Laganim presavijanjem lista papira napravi jednostavan model avionskog krila pa snažno puši iznad njega držeći ga ispred usta i pridržavajući ga prstima da stoji vodoravno.

Što će se dogoditi s ''avionskim krilom'' u snažnoj zračnoj struji? Zašto se ''avionsko krilo'' podiže? Kakva je brzina zraka iznad modela? A tlak? Što je s tlakom ispod? Koji je to tlak? Kamo je usmjerena sila? Kako ju nazivamo? Podizanje krila je posljedica aerodinamičkog uzgona uzrokovanoga razlikom tlakova ispod i iznad krila. Napomena: U ovim pokusima razlika tlakova i aerodinamički uzgon nastaju strujanjem zraka iznad mirnoga avionskog krila, a u stvarnosti je aerodinamički uzgon posljedica velike brzine gibanja aviona i sloja zraka uz njega. Avionska nesreća Što bi se dogodilo da se tijekom vožnje avionom, razbije prozor ili se nasilno otvore vrata aviona? Tlak zraka je na većoj nadmorskoj visini manji jer je iznad te točke manji sloj atmosfere nego uz površinuZemlje i zrak je razrijeđen, a avion zbog velike brzine gibanja ''nosi'' sa sobom sloj zraka koji struji oko njega velikom brzinom pa nastaje još i podtlak zbog strujanja. Vanjski je tlak zraka vrlo mali, a u avionu se održavanormalan atmosferski tlak. Razbijanjem prozora ili iznenadnim otvaranjem vrata aviona, putnici bi bili ''isisani'' iz aviona, a zapravo bi ih

38

sila, uzrokovana velikom razlikom tlakova u avionu i izvan njega, izbacila iz aviona. Nešto drugo

Napravi jednostavan model krova kuće od presavijenoga lista papira i pridržavaj ga prstima. Što očekuješ da će se dogoditi kada snažno pušeš u vodoravnom smjeru iznad ''krova''? Primjer je sličan onom sa avionskom krilom! Boca i kuglica U grlo boce koja leži na vodoravnoj površini postavi lopticu od salvetnoga papira ili stiropora. Kako možeš lopticu ubaciti u bocu, a da ih ne dodirneš? Puhnut ćeš? Što će se dogoditi ako puhneš? Što se dogodi s tlakom zraka ispred boce kada pušeš? Kakav je tlak u boci? Je li, kao i prije puhanja, atmosferski? Kamo je usmjerena sila uzrokovana razlikom tlakova? Savjet za pokušaj ubacivanja loptice u bocu:

Puhati se može paralelno s otvorom boce ili na udaljenosti desetak centimetara okomito na otvor boce. Trikovi s puhanjem Uputa: Dva lista papira (A4) postavi uspravno i pridržavaj ih prstima da budu međusobno paralelni i na razmaku od desetak centimetara. Snažno puši između njih odozgo ili sa strane. Što predviđaš da će se dogoditi kada pušeš između dva lista papira koja stoje uspravno? Hoće li se razdvojiti? Zašto se događa suprotno? Što je s brzinom zraka između papira? A s tlakom? Kakav je tlak s vanjske strane? Koji je to tlak? Kamo će biti usmjerena sila? Je li to ista sila koja je ''stisnula'' mlaz vode iz slavine?

Intuitivno očekivanje da će se listovi razdvojiti nije se pokazalo točnim. Dogodilo se suprotno, listovi se približe. Puhanjem se između listova poveća brzina strujanja, a smanji se statički tlak, stvori se podtlak. Atmosferski je tlak s vanjske strane papira veći od tlaka između listova pa je sila usmjerena prema i listovi se spoje. Napravi pokus sa slamkama i limenkama.

Dvije slamke za pijenje soka postavi usporedno, a na njih poprečno, kao na tračnice, položi dvije limenke od coca-cole ili pive na razmaku oko 5 cm pa između njih, odozgo ili sprijeda, snažno puši kroz treću slamku.

39

Što će se dogoditi kada pušeš između limenka? Kako se promijeni tlak zraka između njih zbog strujanja zraka? Kakav je tlak s vanjske strane? Koji je to tlak? Kamo će biti usmjerena sila? Strujanjem zraka između boca nastaje podtlak pa atmosferski tlak s vanjske strane djeluje tako da se one približe. Neočekivano

Stavi žlicu s konveksne (ispupčene) strane u blizinu mlaza vode iz slavine, lagano ju pridržavajući s dva prsta za dršku. Što očekuješ? Hoće li mlaz odbiti ili privući žlicu k sebi? Što je s udubljene strane žlice? Kakav je tlak zraka? A tlak zbog strujanja vode s ispupčene strane žlice? Zašto se žlica prilijepi uz mlaz? Kamo je usmjerena sila?

Ako uz mlaz vode iz slavine položiš žlicu ispupčenom stranom okrenutu prema mlazu, intuitivno očekuješ da će mlaz vode odbiti žlicu, a dogodi se suprotno, žlica se uz njega "prilijepi". Na ispupčenoj je strani zbog brzine protjecanja vode dinamički tlak veći, a statički se tlak smanji. S udubljene je strane žlice tlak atmosferski te, zbog razlike tlakova, okomito na površinu žlice djeluje sila koja "prilijepi" žlicu za mlaz.

U tom se primjeru može vidjeti kako intuicija može prevariti. Pojava se naziva Coanda–učinak. Napravi pokus sa svijećom: Ispred svijeće koja gori stavi lijevak te snažno puši kroz njega. Što očekuješ ?

EINSTEINOV čaj U čaši zavrti vodu s listićima čaja koji su se prethodno dobro natopili i promatraj što će se dogoditi kada prestaneš miješati. Što očekuješ, gdje će se listići zaustaviti? Uz rub? Savjet: umjesto listića čaja možeš upotrijebiti mrvice krep papira. Voda treba biti vrela.

Krvne žile i tlak

Pokazat ćemo i dva primjera koja pojavu strujanja tekućina povezuju s poremećajem protjecanja krvi kroz krvne žile. Zbog ateroskleroze (arterioskleroze) stijenke krvnih žila postaju manje elastične pa na nekim mjestima može nastati suženje (stenoza) ili proširenje krvne žile (aneurizma).

Što se događa kada se na suženju krvne žile skupljaju naslage na stijenkama? Kakav je presjek arterije na tome mjestu? Kakva je brzina protjecanja krvi u tom dijelu? Što je s tlakom na stijenku žile? Djeluje li tlak i izvana na žilu? Što se događa ako vanjski tlak postane veći od unutarnjeg tlaka krvi na stijenku?

40

Lebdenje Lebdenje tijela u zračnoj struji također se objašnjava Bernoullijevom jednadžbom. Načini tanku vertikalnu zračnu struju velike brzine, npr. sušilom za kosu pa joj prinesi lopticu za stolni tenis. Zračna će ju struja "usisati" i nakon toga će ona ostati lebdjeti. Kada lopticu približavaš zračnoj struji, u uskome ''kanalu'' između struje i loptice zrak se giba brzinom v. Prema Bernoullijevoj jednadžbi, zbog veće brzine, statički je tlak ispred loptice manji nego iza loptice gdje je tlak atmosferski. Postoji, dakle, razlika tlakova i

tlačna sila koja djeluje prema zračnoj struji, tako da lopticu ugura u nju. Kada se loptica, koja nema aerodinamičan oblik, nađe u zračnoj struji, na nju djeluje Zemlja silom težom i iznad nje se stvara zračni vrtlog, a odozdo djeluje sila otpora. Loptica lebdi u zraku jer na nju s obje strane djeluju po iznosima jednake sile.

Pokušaj i ovo: Postavi iznad loptice tuljac malo većega promjera od promjera loptice. Što će se dogoditi?

Loptica u ovom slučaju izleti kroz tuljac, jer iznad nje nema vrtloga. Ako se loptica polako približava zračnoj struji, u zračnoj struji je tlak manji pa ''usiše'' lopticu. Zrak se uz lopticu, zbog viskoznosti, giba zajedno s njom u istome smjeru, a kada zračna struja i loptica nisu strogo centrirani, javlja se moment sile koji uzrokuje vrtnju loptice.

Naginjanjem zračne struje, loptica može ostati ''visjeti'' ispod zračne struje. Naime, odozdo na lopticu djeluje tlačna sila koja je posljedica razlike tlakova ispod (atmosferski tlak) i iznad loptice, a prema dolje Zemlja na lopticu djeluje silom težom.

U toj ravnoteži, lopticu zapravo ''drži'' podtlak stvoren strujanjem. Pokušaj pokus s dvije loptice. Približavanjem druge loptice loptici koja već lebdi u zračnoj struji, loptice će nastaviti lebdjeti zajedno. Obrati pozornost na to kako se privlače, udaraju jedna o drugu, malo se odbiju i ponovo privuku i tako će nastaviti kao da su vezane nevidljivim elastičnim nitima. Što bi se dogodilo da iznad loptica postaviš tuljac?

Magnusov efekt

41

Nogometaš ili tenisač ponekad udare loptu tako da ona dobije dovoljno veliku početnu brzinu i jak spin (rotacija oko osi). Tako mogu postići zakrivljenje njezine putanje i zavarati protivničkog igrača (poznati gol RobertaCarlosa). Zašto lopta promijeni putanju ako se udarcem zarotira i giba se velikom brzinom? Tko je bio Magnus?

Heinrich Gustav Magnus (1802 – 1870) njemački kemičar i fizičar po kojem je nazvan Magnusov učinak bio je poznat kao vrstan predavač fizike. Bavio se izučavanjem i otkrivanjemkemijskih spojeva (Magnusova zelena sol) apsorpcijom plinova u krvi, ekspanzijom plinova, izučavanjem para ikondenzacije vlage na površinama, termoelektriciteta, elektrolize te vođenja topline u plinovima. Još možete pogledati : TSUNAMI http://www.wyp2005.hr/interaktivni_pokusi/Tsunami/index.htm MODEL BURE http://www.wyp2005.hr/interaktivni_pokusi/Bura/index.htm