Soal integral dan pembahasan

SOAL INTEGRAL

A. Integral Tak Tentu

1. Soal Buku Mandiri Matematika XII

Jika f ( x )=x3n, untuk setiap n dan n ≠ −13 , maka ∫ f (x )dx adalah ...

a.13n

x3n+C

b.14n

x4n+C

c. x3n + 1+C

d.1n + 1

xn + 1+C

e.13 n + 1

x3 n + 1+C

Penyelesaian :

Substitusikan f ( x )=x3 n ke dalam ∫ f (x )dx = ∫ x3 n dx

∫ x3 n dx = 13n + 1

x3n + 1+C

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 13 n + 1

x3 n + 1+C(e)


∫3 x2+2 x+4dx = ...

a. x3+2x2+4 x+C

b. x3+ x2+4 x+C

c. x3−2 x2+4 x+C

d. x3−x2+4 x+C

e. x3+ x2−4 x+CPenyelesaian :

∫3 x2+2 x+4 dx = 33

x3+ 22

x2

+4 x+C

= x3+ x2+4 x+C

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah x3+ x2+4 x+C (b)


∫12x √ x

dx = ...

a.−1√x

+C

Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK 1

b.−1x√ x

+C

c.1√x

+C

d.−2√x

+C

e.−12√ x

+C

Penyelesaian :

∫12x √ x

dx = ∫1

2 x32

dx

= ∫ 12

x−3

2 dx

= 12∫ x

−32 dx

=12

. 1−32

+ 22

x−32 +2

2 +C

= 12

. 1−12

x−12 +C

= 12

.−2 . x−12 +C

= −x−12 +C

= −1√x

+C

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −1√x

+C (a)


∫3 x2−6 x+7 dx = ...

a. 6 x3−6 x2+6 x+C

b. x3−3 x2+7 x+C

c. 3 x3+2 x2−x+C

d. 3 x3−2 x2+x+C

e. 3 x3−3 x2+x+CPenyelesaian :

∫3 x2−6 x+7dx = 33

x3−62

x2

+7 x+C

= x3−3 x2+7 x+C

2 Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah x3−3 x2+7 x+C (b)


∫{x3+sin (5 x+1 )}dx = ...

a.12

x2−15

cos (5x−1)+C

b.12

x2+ 15

cos(5 x−1)+C

c.14

x2−15

cos (5 x−1)+C

d.14

x2+ 15

cos(5 x−1)+C

e. 3 x2−15

cos (5 x−1)+C

Penyelesaian :

∫{x3+sin (5 x+1 )}dx = 14

x4+ 15

.−cos(5 x−1)2

+C

= 14

x4−15

cos(5 x−1)2

+C

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 14

x4−15

cos(5 x−1)2

+C (c)


∫{sin 3x−cos3 x }dx = ...

a.−13

¿

b. −cos3 x .sin x+C

c. −cos3 x+sin x+C

d.−13

sin 3 x+cos x+C

e.13

sin 3 x+cos x+C

Penyelesaian :

∫{sin 3x−cos3 x }dx = −13

cos3 x−13

sin 3 x+C

= −13

(cos3 x+sin 3 x)+C

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −13

(cos3 x+sin 3 x)+C (a)


∫sin 22 xdx = ...


a.13

sin3 2 x+C

b.13

cos32 x+C

c.−13

cos32 x+C

d.12

x−18

sin 4 x+C

e.12

x−18

cos 4 x+C

Penyelesaian :

∫sin 22 xdx = ∫ 12(1−cos 4 x)dx

= 12∫(1−cos4 x)dx

= 12¿

= 12

x−18

sin 4 x+C


x−18

sin 4 x+C (d)


Jikaf ( x )=∫( 13

x2−2 x+5)dx dan f (0 )=5 , maka f ( x )=¿ ...

a.19

x3−x2+5 x+C

b.23

x3−x2+5 x+9

c.23

x3−2 x2+5x+5

d.19

x3−2 x2+5 x+3

e.19

x3−x2+5 x+5

Penyelesaian :

f ( x )=∫( 13

x2−2 x+5)dx = 19

x3 −22

x2+5 x+C

= 19

x3−x2+5 x+C

Melalui f (0 )=5 dapat ditentukan berapa nilai C dengan

f (0 )=5 f ( x )=19

x3−x2+5x+C


f (0 )=19

.03−02+5.0+C

5=19

.03−02+5.0+C

5=C

Masukkan nilai C ke dalam fung si f ( x )

f ( x )=19

x3−x2+5x+C

f ( x )=19

x3−x2+5 x+5


x3−x2+5 x+5 (e)


JikaF ( x )=3∫√ xdx=f ( x )+C dengan f ' ( x )=3√x , agar F ( 4 )=19 , maka nilai C = ...

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

e. 4

Penyelesaian :

F ( x )=3∫√ x dx = f ( x )+C

= 3∫ x12 dx

= 3( 112+

22

x12+2

2)+C

= 3( 23

x32 )+C

= 2 x√ x+C

Melalui F ( 4 )=19 dapat ditentukan berapa nilai C dengan

F ( 4 )=19 F ( x )=2 x √x+C

F ( 4 )=2.4√4+C

19=16+C

3=C

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 3 (d)


JikaF '(x )=1−2x dan F (3 )=4 , maka F ( x ) = ...


a. 2 x2−x+11

b. x2+2 x+11

c. −2 x2+x+11

d. −x2+ x+11

e. −x2+ x+11Penyelesaian :

F ( x )=∫F ' ( x ) dx =∫1−2x dx

= x−22

x2+C

= x−x2+C

Melalui F (3 )=4 dapat ditentukan berapa nilai C dengan

F (3 )=4 F ( x )=x−x2+C

F (3 )=3−32+C

4=−6+C

10=C

Masukkan nilai C ke dalam fung si F ( x )

F ( x )=x−x2+C

F ( x )=x−x2+10

F ( x )=−x2+x+10

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −x2+ x+10 (e)

B. Integral Tentu


Nilai dari ∫2

3

4 x3 dxadalah ...

a. -65

b. 4

c. 65

d. 76

e. 260

Penyelesaian :

∫2

3

4 x3 dx= [ 44

x4 ]= [ x4 ]=(34 )−(24)

= 81 – 16

= 65


Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 65 (c)


∫1

2

(2 x2+4 x−5)dx = ...

a. -4

b. -2

c. 6

d. 8

e. 13

Penyelesaian :

∫1

2

(3 x2+4 x−5)dx= [33

x3+ 42

x2−5 x ]= [ x3+2 x2−5 x ]= [ (23+2 .22−5.2 )−(13+2.12−5.1 ) ]= [ (8+8−10 )−(1+2−5 ) ]= 8+8−10−1−2+5

= 8



∫0

1

(x√ x+x2)dx = ...

a.13

b.25

c.1115

d. 3 12

e. 5 12

Penyelesaian :

∫0

1

(x√ x+x2)dx= ∫0

1

(x32+x2)dx

= [25

x32 +

13

x3]= [( 2

5.1

32 + 1

3.13)−( 2

5.0

32+ 1

3.03)]


= [( 25+ 1

3 )−0]=

615

+ 515

= 1115



∫1

2 x−1x3 dx = ...

a. 1 1920

b.18

c.78

d. 1

e.32

Penyelesaian :

∫1

2 x−1x3 dx= ∫

1

2

x−3(x−1)dx

= ∫1

2

(x¿¿−2−x−3)dx ¿

= [ 1−1

x−1

−1

−2x−2]

= [−1x

+ 12 x2 ]

= [(−12

+1

2 .22 )−(−11

+1

2.12 )]= [(−1

2+ 1

8 )−(−11

+ 12 )]

= −48

+ 18+ 8

8−4

8

= 18

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 18 (b)



∫a

b 1x2 dx = ...

a.a−bab

b.ab

a−b

c.b−aab

d.ab

b−a

e.ab

a+b

Penyelesaian :

∫a

b 1x2 dx = ∫

a

b

x−2 dx

= [ 1−1

x−1]= [−1

x ]= [(−1

b )−(−1a )]

= −1b

+ 1a

= b−aab

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah b−aab (c)


∫−2

4

( x+4−12

x2)dx = ...

a. 2

b. 18

c. 20 13

d. 22

e. 24 13

Penyelesaian :


∫−2

4

( x+4−12

x2)dx= [12

x2

+4 x−16

x3]= [( 1

2.4

2

+4.4−16

.43)−( 12

.(−2)2

+4.(−2)−16

.(−2)3)]= [(8+16−64

6 )−(2−8+ 86 )]

= [(24− 646 )−(−6+ 8

6 ) ]=

−646

−86+ 180

6

= 108

6

= 18



∫−1

2 π

12 π

(2 x3−cos x ) dx = ...

a. −2

b. 0

c.12

d. 1

e. 2

Penyelesaian :

∫−1

2 π

12 π

(2 x3−cos x ) dx= [ 24

x4

−sin x ]= ¿

= ¿

= −sin 90−sin 90

= −1−1

= −2

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −2 (a)


∫2

a

( x−2 )d x = 4 12 . Nilai a = ...

a. 1 atau 510 Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK

b. -1 atau -5

c. -1 atau 5

d. 2 atau -4

e. -1 atau 4

Penyelesaian :

∫2

a

( x−2 )dx= [12

. x2

−2 x ]92 = [( 1

2. a

2

−2 a)−( 12

.22

−2.2)]92= [( 1

2. a

2

−2a)−(−2)]92= [( 1

2. a

2

−2 a)+ 42 ]

92−4

2 = 12

. a2

−2a

52= 1

2. a

2

−2a

0= 12

. a2

−2a−52

0= a2−4 a−5

0= (a−5 )(a+1)

a = 5 atau a = -1

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah -1 atau 5 (c)


∫−1

a

( x−1 ) dx = 52 . Nilai a = ...

a. 4

b. 2,5

c. 2

d. 1

e. -1

Penyelesaian :

∫−1

a

( x−1 ) dx= [12

. x2

−x ]52 = [( 1

2. a

2

−a)−(12

.12

−1)]52= [( 1

2. a

2

−a)−(32)]


52= [( 1

2. a

2

−a)−32 ]

52+ 3

2 = 12

. a2

−a

82= 1

2. a

2

−a

0= 12

. a2

−a−82

0= a2−2a−8

0= (a−4 )(a+2)

a = 4 atau a = -2

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 4 (a)


∫p

1

(2 x+1 ) dx = −4, maka selisih nilai p = ...

a. -6

b. -4

c. -1

d. 1

e. 5

Penyelesaian :

∫p

1

(2 x+1 ) dx= [22

. x2

+x ]−4 = [ (12+1 )−( p2+ p ) ]−4 = [2−p2−p ]

0 = 2−p2−p+4

0 = −p2−p+6

0 = p2+ p−6

0 = ( p+3 )( p−2)

p = -3 atau p = 2

Selisih nilai p = 2 – (-3) = 5

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 5 (e)

C. Integral Substitusi


∫(x¿¿3+2)2 . 3x2 dx¿ = ...

a.13( x3+2)3+C


b.12(x2+2)2+C

c.13( x3+2)2+C

d.12(x3+2)3+C

e. 2(x3+2)3+C

Penyelesaian :

Misal U=x3+2

dU =3 x2dx

dx= dU3 x2

∫(x¿¿3+2)2 .3x2 dx¿ = ∫U 2 .3 x2 dU3 x2

=∫U 2dU

= 13

U3+C

= 13( x¿¿3+2)3+C ¿

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 13( x¿¿3+2)3+C ¿ (a)


∫ 8x2

(x3+2)3 dx = ...

a. - 4

(x3+2)2 +C

b. - 4

3(x3+2)2 +C

c. 4

3(x3+2)2 +C

d.4

(x3+2)2 +C

e.3

4 (x3+2)2 +C

Penyelesaian :

Misal U=x3+2

dU =3 x2dx

dx= dU3 x2


∫ 8x2

(x3+2)3 dx = ∫ 8 x2

U3 . dU3 x2

= 83∫U−3dU

= 83

. 1−2

U−2+C

= - 43

U−2+C

= −4

3(x¿¿3+2)2+C ¿


3(x¿¿3+2)2+C ¿ (b)


∫3 x √1−2x2 dx = ...

a. 12(1−2x2)

32+C

b. 12(1−2x2)

23 +C

c. −12

(1−2 x2)23+C

d. −12

(1−2 x2)32+C

e. 23(1−2 x2)

32+C

Penyelesaian :

Misal U=1−2 x2

dU =−4 xdx

dx= dU−4 x

∫3 x √1−2x2 dx = ∫3 x √U dU−4 x

= −34 ∫U

12 dU

= −34

. 132

U32 +C

= −34

. 23

U32 +C

= −12

U32 +C


= −12

(1−2x2)32+C

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah - 12(1−2 x2)

32+C (d)


∫ x √9−x2 dx = ...

a.13(9−x2)√9−x2+C

b. -14(9−x2)√9−x2+C

c.14(9−x2)√9−x2+C

d.−13

(9−x2)√9−x2+C

e.15(9−x2)√9−x2+C

Penyelesaian :

Misal U=9−x2

dU =−2 xdx

dx= dU−2 x

∫ x √9−x2 dx = ∫ x √U dU−2 x

= −12 ∫U

12 dU

= −12

. 132

U32 +C

= −12

. 23

U32+C

= −13

U32 +C

= −13

(9−x2)32 +C

= −13

(9−x2)√9−x2+C

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah - −13

(9−x2)√9−x2+C (d)



∫ 9x2

√ x3+8dx = ...

a.16 √ x3+8+C

b.32 √ x3+8+C

c. - 32 √ x3+8+C

d. 6√ x3+8+C

e. 18√x3+8+C

Penyelesaian :

Misal U=x3+8

dU =3 x2dx

dx= dU3 x2

∫ 9x2

√ x3+8dx = ∫ 9 x2

√U. dU3 x2

= 3∫U−1

2 dU

= 3. 112

U12+C

= 6U12 +C

= 6√ x3+8+C

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 6√ x3+8+C (d)


∫cos (4 x+1)dx = ...

a.14

cos (4 x+1)+C

b.14

sin(4 x+1)+C

c.−14

cos (4 x+1)+C

d.−14

sin (4 x+1)+C

e. 4 sin(4 x+1)+C

Penyelesaian :

Misal U=4 x+1

dU =4 dx


dx=dU4

∫cos (4 x+1)dx = ∫cos U dU4

= 14

sin U+C

= 14

sin(4 x+1)+C


sin(4 x+1)+C (b)


∫ x sin x2 dx = ...

a.12

cos x2+C

b.−12

cos x2+C

c.−12

sin x2+C

d. 2 cos x2+C

e. 2 sin x2+C

Penyelesaian :

Misal U =x2

dU =2 xdx

dx=dU2x

∫ x sin x2 dx = ∫ x sin U dU2 x

= 12

.−cosU +C

= −12

cos x2+C


cos x2+C (b)


∫sin4 xcos x dx = ...

a.15

sin5 x+C

b.15

sin5 xcos x+C


c.15

cos5 x+C

d.15

cos5 x sin x+C

e.15

sin5 xcos2 x+C

Penyelesaian :

Misal U=sin x

dU =cos x dx

dx= dUcos x

∫sin 4 xcos x dx = ∫U 4 cos x dUcos x

= ∫U 4 dU

= 15

U5+C

= 15

sin5 x+C


sin5 x+C (a)


∫ tan xcos2 x

dx = ...

a.12

cot2 x+C

b.12

tan 2 x+C

c.12

sec2 x+C

d.12

cosec2 x+C

e.12

sin2 x+C

Penyelesaian :

∫ tan xcos2 x

dx = ∫ sin xcos3 x

dx

Misal U=cos x

dU =−sin x dx

dx= dU−sin x


∫ sin xcos3 x

dx = ∫ sin xU3

dU−sin x

= −∫U−3 dU

= −1−2

U−2+C

= 12

1cos2 x

+C

= 12

sec2 x+C


sec2 x+C (c)


∫1

2

2 x √5−x2 dx = ...

a.113

b.123

c.133

d.143

e.153

Penyelesaian :

Misal U=5−x2

dU =−2 xdx

dx= dU−2 x

∫1

2

2 x √5−x2 dx = ∫1

2

2 x √U dU−2 x

= −∫1

2

U12 dU

= −[ 132

U32 ]

= −[23(5−x2)

32]

= −[( 23

(5−22 )32)−( 2

3(5−12 )

32)]


= −[23−16

3 ] =

143


D. Integral Parsial


∫ x sinx dx = ...

a. −x cos x−sinx+C

b. −x cos x+sinx+C

c. x cos x−sinx+C

d. −x sin x+cosx+C

e. −x sin x−cosx+C

Penyelesaian :

Diferensial Integral

+ x sin x

- 1 −cos x −x cos x

+ 0 −sin x sin x

∫ x sinx dx = −x cosx+sinx+C

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −x cosx+sinx+C (b)


∫ x cosx dx = ...

a. x sin x+cosx+C

b. x sin x−cosx+C

c. x cos x+sinx+C

d. x cos x−sinx+C

e. −x cos x−sinx+C

Penyelesaian :


+ x cos x

- 1 sin x x sin x

+ 0 −cos x cos x

∫ x cosx dx = x sinx+cosx+C


Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah x sinx+cosx+C (a)


∫ x2 cosx dx = ...

a. x2 sinx+2 xcosx−2 sinx+C

b. x2 sinx+2 xcosx+2 sinx+C

c. x2 sinx−2 x cosx−2 sinx+C

d. x2 sinx−2 x cosx+2 sinx+C

e. x2 sinx+2 xcosx+2cosx+CPenyelesaian :


+ x2cos x

- 2 x sin x x2sin x

+ 2 −cos x 2 xcos x

- 0 −sin x −2 sin x

∫ x cosx dx = x2 sinx+2 x cosx−2 sinx+C

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah x2 sinx+2 xcosx−2 s inx+C (a)


∫ x sin 2x dx = ...

a.12

xcos 2 x+ 14

sin 2x+C

b.12

xcos 2−14

sin 2 x+C

c.−12

xcos 2 x+ 14

sin 2x+C

d.12

xcos 2 x+ 14

sin 2x+C

e.12

x sin 2− 14

cos2 x+C

Penyelesaian :


+ x sin 2 x

-1 −1

2cos2 x −1

2cos2 x

+ 0−12

. 12

sin2 x 14

sin 2x


∫ x cos2 xdx = −12

cos2 x+ 14 sin 2x+ C


xcos 2 x+ 14

sin 2x+C (c)


∫(3 x+2)cosx dx = ...

a. (3 x+2 ) sinx+3cosx+C

b. (3 x+2 ) sinx−3cosx+C

c. (3 x+2 ) cosx+5cosx+C

d. (3 x+2 ) cosx−5 sinx+C

e. (3 x+2 ) cosx−5cosx+C

Penyelesaian :


+ (3 x+2 ) cosx

- 3 sinx (3 x+2 )sin x

+ 0 −cosx 3 cosx

∫(3 x+2)cosx dx = (3 x+2 ) sinx+3 cosx+C

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (3 x+2 ) sinx+3cosx+C (a)


∫ x cos(2 x+1)dx = ...

a. – x sin (2x+1 ) +12

cos (2 x+1)+C

b. – 12

sin (2 x+1 ) +14

cos (2¿x+1)+C ¿

c.12

sin (2x+1 ) +14

cos(2¿x+1)+C ¿

d.12

sin (2 x+1 ) −14

cos(2¿x+1)+C ¿

e. – 12

sin (2 x+1 ) −14

cos (2¿x+1)+C ¿

Penyelesaian :


+ x cos (2 x+1)

-1 1

2cos (2x+1) 1

2xcos (2 x+1)


+ 0−12

. 12

cos(2 x+1) −14

cos (2x+1)

∫ x cos(2 x+1)dx = 12

sin (2x+1 ) +14

cos(2¿x+1)+C ¿


sin (2x+1 ) +14

cos(2¿x+1)+C ¿ (c)


∫(x+1)sin(x−1)dx = ...

a. sin ( x−1 )−(x+1)cos ( x−1 )

b. sin ( x−1 )+(x+1)cos ( x−1 )

c. cos ( x−1 )−(x+1)cos (x−1 )

d. cos ( x−1 )+(x+1)cos ( x−1 )

e. cos ( x−1 )−(x+1)sin ( x−1 )

Penyelesaian :


+ (x+1) sin(x−1)

- 1 −cos (x−1) −( x+1 ) cos(x−1)

+ 0 −sin( x−1) sin(x−1)

∫(x+1)sin(x−1)dx = sin ( x−1 )−(x+1)cos ( x−1 )

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah sin ( x−1 )−(x+1)cos ( x−1 ) (a)


∫ x √1+x dx = ...

a. 23

x (1+x)32− 4

15(1+x)

52 +C

b. 23

x (1+x)32− 5

15(1+x)

52 +C

c. 23

x (1+x)32− 6

15(1+x)

52 +C

d. 23

x (1+x)32− 7

15(1+x)

52 +C

e. 23

x (1+x)32− 8

15(1+x)

52 +C

Penyelesaian :


+x

(1+x)12


-1 2

3(1+x )

32 2

3x (1+x)

32

+ 0 23

. 25(1+x )

52 −4

15x (1+x)

52

∫ x √1+x dx = 23

x (1+x)32− 4

15(1+x)

52 +C


x (1+x)32− 4

15(1+x)

52 +C (a)


∫ x (x−2)3 dx = ...

a.14

x (x−2)4+ 120

(x−2)5+C

b.14

x (x−2)4− 120

(x−2)5+C

c.15

x (x−2)5+ 120

(x−2)6+C

d.15

x (x−2)5− 120

(x−2)6+C

e.15

x (x−2)5− 120

(x−2)6+C

Penyelesaian :


+ x (x−2)3

-1 1

4(x−2)

4 14

x (x−2)4

+ 0 14

. 15(x−2)

5 −120

(x−2)5

∫ x (x−2)3 dx = 14

x (x−2)4− 120

(x−2)5+C


x (x−2)4− 120

(x−2)5+C (b)


∫0

3

x √1+x dx = ...

a. 3

b. 6 115


c. 7 1115

d. 15

e. 8

Penyelesaian :


+x

(1+x)12

-1 2

3(1+x )

32 2

3x (1+x)

32

+ 0 23

. 25(1+x )

52 −4

15x (1+x)

52

∫ x √1+x dx = 23

x (1+x)32− 4

15(1+x)

52 +C

∫0

3

x √1+x dx = [23 x (1+x )

32−

415

(1+x )52]

= [ 23 .3 (1+3 )

32−

415

(1+3 )52 ] - [ 2

3 .0 (1+0 )32−

415

(1+0 )52 ]

= [2(8)− 415

(32)] - [−415 ]

= [16−12815

+ 415 ]

= [24015

−12815

+ 415 ]

= 11615 = 7 11

15

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 7 1115 (c)

E. Integral Substitusi Trigonometri

Catatan!

√a2−x2 , x=a sin t

√a2+x2 , x=a tan t

√ x2−a2 , x=a sec t



∫ √9−x2dx = ...

a.92

arc sin x3+ 1

2x √9−x2+C

b.92

arc cos x3+ 1

2x √9−x2+C

c.92

arc sin x2+ 1

2x √9−x2+C

d.92

arc cos x2+ 1

2x √9−x2+C

e.92

arc cos x2+ 1

3x√9− x2+C

Penyelesaian :

(i) x=3 sin t

t=arc sin x3

dx=3 cos t dt

√9−x2 = √32−x2

= √32−32 sin2 t

= √32 ¿¿

= √32 cos2 t

= 3 cos t

(ii) ∫√9−x2dx = ∫3cos t .3cost dt

= ∫ 9cos2 t dt

= 9 ∫cos2 t dt

= 9∫ 12¿¿

= 92∫¿¿

= 92¿

= 92¿

= 92¿

= 92 (arc sin x

3+ x

3. √9−x2

3 )+C

= 92

arc sin x3+ 1

2x √9−x2+C


arc sin x3+ 1

2x √9−x2+C (a)


√9−x2

x 3


∫ dxx2√4+x2 = ...

a.4 x

√4+x2+C

b.−x

4 √4+x2+C

c. −√4+x2

4 x+C

d. √4+x2

4 x+C

e. −√4+x2+C

Penyelesaian :

(i) x=2 tan t

t=arc tan x2

dx=2 sec2t dt

√4+x2 = √22+ x2

= √22+22 tan2t

= √2¿¿

= √22 sec2t

= 2 sec t

(ii) ∫ dxx2√4+x2 = ∫ 2 sec2 t dt

¿¿¿ ¿

= ∫ sec t4 tan2 t

dt

= ∫1

cos t

4. sin2 tcos2 t

dt

= 14∫

1sin2 tcos t

dt

= 14∫

cos tsin2t

dt

= 14∫

cos tsin t

. 1sin t

dt

= 14∫ cot t . cosec t dt


√4+x2

x

2

= 14

.−cosect +C

= −14

. cosec t+C

= −14

. x√4+x2

+C

= −x

4 √4+x2+C

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −x

4 √4+x2+C (b)


∫ dxx2√9−x2 = ...

a. √9−x2

9 x+C

b. −√9−x2

9 x+C

c.9 x

√9−x2+C

d. −√9−¿+C ¿

e. √9−x2+C

Penyelesaian :

(i) x=3 sin t

t=arc sin x3

dx=3 cos t dt

√9−x2 = √32−x2

= √32−32 sin2 t

= √32 ¿¿

= √32 cos2 t

= 3 cos t

(ii) ∫ dxx2√4+x2 = ∫ 3 cos t dt

¿¿¿ ¿

=∫ 19sin2 t

dt

= 19∫

1sin2 t

dt

= 19∫cosec 2t dt


√9−x2

x 3

= 19

.−cot t+C

= −19

.cot t+C

= −19

. √9−x2

x+C

= −√9−x2

9 x+C

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −√9−x2

9 x+C (b)


∫ √25−x2 dx = ...

a.252

arc sin x5+ 1

2x √25−x2+C

b.252

arc cos x5−1

2x√25−x2+C

c.252

arc sin x2+ 1

5x √25−x2+C

d.252

arc cos x2−1

5x√25−x2+C

e.252

arc cos x5+ 1

5x √25−x2+C

Penyelesaian :

(i) x=5sin t

t=arc sin x5

dx=5 cos t dt

√25−x2 = √52−x2

= √52−52 sin2 t

= √52¿¿

= √52 cos2 t

= 5 cos t

(ii) ∫ √25−x2 dx = ∫5cos t .5cost dt

= ∫25cos2 t dt

= 25 ∫cos2 t dt

= 25∫ 12

¿¿

= 252 ∫¿¿


√25−x2

5

= 252

¿

= 252

¿

= 252

¿

= 252 (arc sin x

5+ x

5. √25−x2

5 )+C

= 252

arc sin x5+ 1

2x √25−x2+C


ar c sin x5+ 1

2x √25−x2+C (a)

F. Luas Daerah


Jika L = ∫2

3

4 x3 dx, maka L = ...

a. -65

b. 4

c. 65

d. 76

e. 260

Penyelesaian :

L = ∫2

3

4 x3 dx= [ 44

x4 ]= [ x4 ]=(34 )−(24)

= 81 – 16

= 65



Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y=x2−7 x+10 dan sumbu x, dapat

dinyatakan sebagai ...

a. ∫0

5

( x2−7 x+10 ) dx

b. −∫0

5

( x2−7 x+10 ) dx

c. −∫2

5

( x2−7 x+10) dx


d. ∫2

5

( x2−7 x+10 ) dx

e. ∫0

2

( x2−7 x+10 ) dx

Penyelesaian :

(i) Mencari titik-titiknya

x=¿ 0 y=x2−7 x+10

y=02−7.0+10

y=10

Titiknya di (0,10)

y=¿ 0 y=x2−7 x+10

0=x2−7 x+10

0=( x−5 )(x−2)

x=5 atau x=2

Titiknya di (5,0) atau (2,0)

(ii) Mencari sumbu simetri

x=−b2 a

=−.−72.1

=72=3,5

(iii) Mencari batas-batas luas daerah

L = −∫2

5

x2−7 x+10 dx

Tanda minus adalah menandakan bahwa daerah berada di bawah sumbu x.

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −∫2

5

x2−7 x+10 dx (c)


Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y=x2−5 x−6 dan garis y=6 , dapat

dinyatakan sebagai ...

a. ∫0

5

( x2−5 x−12 ) dx

b. ∫0

5

(−x2+5 x ) dx

c. ∫0

5

( x2−5 x ) dx

d. ∫0

5

(−x2+5 x+12 ) dx

e. ∫−1

6

( x2−5 x ) dx

Penyelesaian :



x=¿ 0 y=x2−5 x−6

y=02−5.0−6

y=−6

Titiknya di (0,-6)

y=¿ 0 y=x2−5 x−6

0=x2−5 x−6

0=( x−6 )(x+1)

x=6 atau x=−1

Titiknya di (6,0) atau (-1,0)

(ii) Mencari sumbu simetri

x=−b2 a

=−.−52.1

=52=2,5


L = ∫0

5

(−6 )−( x2−5 x−6 ) dx

= ∫0

5

−6−x2+5 x+6 dx

= ∫0

5

(−x¿¿2+5 x )dx¿

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah ∫0

5

(−x¿¿2+5 x )dx¿ (b)


Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y=x3, garis x=1 dan garis x=2, sama

dengan ... satuan luas.

a.14

b.54

c.94

d.154

e.174

Penyelesaian :


x=¿ 0 y=x3

y=03


y=0

Titiknya di (0,0)

x=¿ 1 y=x3

y=13

y=1

Titiknya di (1,1)

x=¿ -1 y=x3

y=(−1)3

y=−1

Titiknya di (-1,-1)

x=¿ 2 y=x3

y=23

y=8

Titiknya di (2,8)

(ii) Mencari titik stasioner

y=x3

y '=3x2

0=3 x2

x=0


L = ∫1

2

x3 dx

= [ 14

x4 ] =[( 1

4. 24)−( 1

4.14)] =

154



Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y=x2+1 dan garis y=−x+3 , adalah ...

satuan luas.

a. 11 12

b. 6

c. 5 12


d. 5

e. 4 12

Penyelesaian :

(i) Mencari titik potong antara garis dan kurva

x2+1=−x+3

x2+ x−2=0

( x+2 )(x−1)=0

x=−2 atau x=1

(ii) Mencari luas daerah

L = ∫−2

1

(−x+3 )− ( x2+1 ) dx

= ∫−2

1

−x+3−x2−1 dx

= ∫−2

1

−x2−x+2dx

= [−13

x3−12

x2+2 x] = [−1

313−1

212+2.1]−[−1

3(−2)3−1

2(−2)2+2(−2)]

= [−13

−12+2]−[8

3−2−4 ]

= 4 12

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 4 12 (e)

G. Volume Benda Putar


Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=2x+1, garis

x=1 dan garis x=3 diputar mengelilingi sunbu x adalah ... satuan volume.

a. 50 23

π

b. 52 π

c. 52 23

π

d. 57 π

e. 61 13

π

Penyelesaian :


(i) Menentukan titik-titiknya

x=¿ 0 y=2 x+1

y=2.0+1

y=1

Titiknya di (0,1)

y=¿ 0 y=2x+1

0=2 x+1

x=−12

Titiknya di (-1/2,0)

(ii) Menentukan volume benda putar

V = π∫1

3

(2 x+1)2 dx

= π∫1

3

(4 x¿¿2+4 x+1)dx ¿

= π [ 43

x3+ 42

x2+ x]= π [ 4

333+ 4

232+3]−π [4

313+ 4

212+1]

= 52 23

π

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 52 23

π (c)

51. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y=x3, garis

x=−1 dan garis x=1 diputar mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volume.

a.24

π

b.25

π

c.26

π

d.27

π

e.28

π

Penyelesaian :


x=¿ 0 y=x3

y=03

y=0


Titiknya di (0,0)

x=¿ 1 y=x3

y=13

y=1

Titiknya di (1,1)

x=¿ -1 y=x3

y=(−1)3

y=−1

Titiknya di (-1,-1)

x=¿ 2 y=x3

y=23

y=8

Titiknya di (2,8)

(ii) Mencari titik stasioner

y=x3

y '=3x2

0=3 x2

x=0

(iii) Mencari volume bendar putar

VI = π∫0

1

(x3)2 dx

= π∫0

1

x6 dx

= π [ 17

x7] = π [ 1

717]−π [ 1

707]

= 17

π

VI = VII

Vtotal = 17

π x2=27

π


π (d)

52. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2−1, garis

x=1 dan garis x=−1 diputar mengelilingi sunbu x adalah ... satuan volume.

a. 5 1615

π


b. 2π

c. 2 1615

π

d. 5 π

e.1615

π

Penyelesaian :


x=¿ 0 y=x2−1

y=02−1

y=−1

Titiknya di (0,-1)

y=¿ 0 y=x2−1

0=x2−1

x=−1 atau x=1

Titiknya di (1,0) atau (-1,0)

(ii) Menentukan sumbu simetri

x=−b2a

=−02.1

=02=0

(iii) Menentukan volume benda putar

V = π∫−1

1

(x2−1)2 dx

= π∫−1

1

(x¿¿4−2 x2+1)dx¿

= π [15

x5− 23

x3+x ]= π [( 1

515−2

313+1)−( 1

5(−1)5−2

3(−1)3+(−1)) ]

= π [( 15−2

3+1)−(−1

5+ 2

3−1)]

=π [ 15−2

3+1+ 1

5−2

3+1]

= π [ 315

−1015

+1515

+ 315

−1015

+ 1515 ] =

1615

π


π (e)

53. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y2=2 x, garis x=4

dan sumbu x diputar mengelilingi sunbu x adalah ... satuan volume.

a. 16 π


b. 17 π

c. 18 π

d. 19 π

e. 20 π

Penyelesaian :


x=¿ 0 y2=2 x

y2=2.0

y=0

Titiknya di (0,0)

y=¿ 2 y2=2 x

22=2 x

4=2x

x=2

Titiknya di (2,2)

y=¿ -2 y2=2 x

(−2)2=2 x

4=2x

x=2

Titiknya di (2,-2)

(ii) Menentukan volume benda putar

V = π∫0

4

2x dx

= π [x2 ]= π [42 ]−π [02 ]= 16 π

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 16 π (a)


Perhatikan gambar di bawah. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir

diputar mengelilingi sumbu y, jika dinyatakan dalam bentuk integral adalah ...

a. π∫a

b

y2dx

b. π∫a

b

x2 dx

c. π∫a

b

x dx


d. π∫a

b

y2dx

e. π∫a

b

y dx

Penyelesaian :

Menentukan volume benda putar

y=x2

x=√ y

V = π∫a

b

x2 dx

= π∫a

b

(√ y)2 dx

= π∫a

b

y dx

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah π∫a

b

ydx (e


SOAL PROGRAM LINEAR


Sistem pertidaksamaan untuk daerah himpunan penyelesaian pada gambar di bawah ini

adalah ...

a. 6 x+2 y ≥ 12

3 x+4 y ≤12

x ≤ 0

y ≤0

b. 6 x+2 y ≥ 12

3 x+4 y ≥ 12

x≥ 0

y ≥0

c. 6 x+2 y ≤ 12

3 x+4 y ≤12

x≥ 0

y ≥0

d. 6 x+2 y ≤ 12

3 x+4 y ≥ 12

x≥ 0

y ≤0

e. 6 x+2 y ≥ 12

3 x+4 y ≥ 12

x ≤ 0

y ≤0

Penyelesaian :

6 x+2 y ≤ 12

3 x+4 y ≤12

x≥ 0

y ≥0

Membuktikan daerah yang diarsir dengan menggunakan uji 0 (nol)

6 x+2 y ≤ 12

6.0+2.0 ≤ 12

0≤ 12 Benar, berarti yang mengandung 0 (nol) diarsir

3 x+4 y ≤12

3.0+4.0≤ 12


0 ≤ 12 Benar, berarti yang mengandung 0 (nol) diarsir

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 6 x+2 y ≤ 12 (c)

3 x+4 y ≤12

x≥ 0

y ≥0


Sistem pertidaksamaan untuk daerah himpunan penyelesaian pada gambar di bawah ini

adalah ...

a. 4 x+2 y ≥ 8

2 x+5 y ≥10

x ≥ 0

y ≥0

b. 4 x+2 y ≤8

2 x+5 y ≤10

x ≥ 0

y ≥0

c. 4 x+2 y ≥ 8

2 x+5 y ≤10

x ≥ 0

y ≥0

d. 4 x+2 y ≤8

2 x+5 y ≥10

x ≥ 0

y ≥0

e. 4 x+2 y ≤8

2 x+5 y ≤10

x≤ 0

y ≤0

Penyelesaian :

4 x+2 y ≥ 8

2 x+5 y ≤10

x ≥ 0

y ≥0

Membuktikan daerah yang diarsir dengan menggunakan uji 0 (nol)

4 x+2 y ≥ 8

4.0+2.0≥8

0 ≥ 8 Salah, berarti yang tidak mengandung 0 (nol) diarsir

2 x+5 y ≤10


2.0+5.0 ≤ 10

0≤ 10 Benar, berarti yang mengandung 0 (nol) diarsir

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 4 x+2 y ≥ 8 (c)

2 x+5 y ≤10

x ≥ 0

y ≥0


Suatu jenis roti (x) memerlukan 300 gram tepung dan 80 gram mentega. Untuk jenis roti

yang lain (y) memerlukan 200 gram tepung dan 40 gram mentega. Persediaan yang ada 4

kg tepung dan 2 kg mentega. Model matematika dari persoalan di atas adalah ...

a. 3 x+2 y ≥ 40 ;2 x+ y ≥50 ; x ≥0 ; y ≥ 0

b. 3 x+2 y ≤ 40 ;2 x+ y ≤50 ; x≥ 0 ; y ≥ 0

c. 3 x+2 y ≥ 40 ;2 x+ y ≥50 ; x ≥0 ; y ≥ 0

d. 3 x+2 y ≤ 40 ;2 x+ y ≤50 ; x≥ 0 ; y ≥ 0

e. 3 x+2 y=40 ;2x+ y=50 ;x ≥ 0; y≠ 0

Penyelesaian :

Jenis roti Tepung Mentega

X 300 gram 80 gram

Y 200 gram 40 gram

Persediaan 4000 gram 2000 gram

300 x+200 y ≤ 4000

3 x+2 y ≤ 40

80 x+40 y ≤2000

2 x+ y ≤ 50

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah

3 x+2 y ≤ 40 ;2 x+ y ≤50 ; x≥ 0 ; y ≥ 0 (b)

4. Soal Buku Seri Pendalaman Materi Matematika XII

Seorang pengrajin tas akan membuat dua model tas. Tas model I memerlukan 2 unsur A

dan 2 unsur B, sedangkan tas model II memerlukan 2 unsur A dan 1 unsur B. Pengrajin

tersebut mempunyai persediaan 20 unsur A dan 14 unsur B. Jika banyaknya tas model I

dimisalkan x dan model II dimisalkan y, maka model matematika yang sesuai untuk

persoalan tersebut adalah ...

a. x≥ 0 , y ≥0 , x+ y≤ 10,2 x+ y ≤14

b. x≥ 0 , y ≥0 , x+ y≥ 10,2 x+ y ≥ 14

c. x≥ 0 , y ≥0 , x+ y≤ 10 , x+2 y ≤14

d. x≥ 0 , y ≥0 , x+ y≥ 10 , x+2 y ≥14

e. x≥ 0 , y ≥0 , x+ y≤ 14 , x+2 y ≤ 10


Penyelesaian :

Model tas Unsur A Unsur B

X (Model I) 2 Unsur 2 Unsur

Y (Model II) 2 Unsur 1 Unsur

Persediaan 20 Unsur 14 Unsur

2 x+2 y ≤20

x+ y≤ 10

2 x+ y ≤ 14


x≥ 0 , y ≥0 , x+ y≤ 10,2 x+ y ≤14 (a)


Suatu tukang roti hendak membuat dua jenis roti. Roti A memerlukan 400 g tepung dan

150 g mentega, sedangkan roti B memerlukan 200 g tepung dan 50 g mentega. Tukang roti

tersebut mempunyai persediaan 5 kg tepung dan 3 kg mentega. Jika jumlah roti A

dimisalkan x dan jumlah roti B dimisalkan y, maka model matematika yang sesuai dengan

persoalan tersebut adalah ...

a. x+2 y ≥ 25 , x+3 y ≥60 , x≥ 0 , y≥ 0

b. x+2 y ≤ 25 , x+3 y ≤60 , x≥ 0 , y≥ 0

c. 2 x+ y ≥ 25 ,3 x+ y ≥60 , x≥ 0 , y≥ 0

d. 2 x+ y ≤ 25 ,3 x+ y ≤60 , x≥ 0 , y≥ 0

e. 2 x+ y>25 ,3 x+ y>60 , x ≥ 0 , y ≥ 0

Penyelesaian :

Jenis roti Tepung Mentega

X (Roti A) 400 gram 150 gram

Y (Roti B) 200 gram 50 gram

Persediaan 5000 gram 3000 gram

400 x+200 y≤ 5000

2 x+ y ≤ 25

150 x+50 y ≤ 3000

3 x+ y≤ 60


2 x+ y ≤ 25 ,3 x+ y ≤60 , x≥ 0 , y≥ 0 (d)



Luas daerah parkir 176 m2 , dengan luas rata-rata untuk mobil sedan 4 m2 dan bus 20 m2.

Daya muat maksimum hanya 20 kendaraan. Biaya parkir untuk mobil sedan Rp

1.000,00/jam dan untuk bus Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam tidak ada kendaraan

yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah ...

a. Rp 20.000,00

b. Rp 26.000,00

c. Rp 30.000,00

d. Rp 24.000,00

e. Rp 44.000,00

Penyelesaian :

(i) Menentukan masalah atau kendala

Jenis Kendaraan Luas Banyak

Mobil 4 m2 X

Bus 20 m2 Y

Persediaan 176 m2 20 Kendaraan

(ii) Menentukan fungsi

f =1000 x+2000 y

(iii) Menentukan model matematika

4 x+20 y ≤176

x+5 y≤ 44

x+ y≤ 20

x≥ 0

y ≥0

(iv) Menentukan daerah yang diarsir pada grafik

x+5 y=44

X 0 44

Y 8,8 0

x+ y=20

X 0 20

Y 20 0

Menentukan daerah yang diarsir pada grafik dengan menggunakan uji 0 (nol)

x+5 y≤ 44

0+5.0 ≤ 44

0≤ 44 Benar, yg mengandung 0 diarsir

x+ y≤ 20

0+0≤ 20



(v) Menentukan titik di A, B, C, dan D

Koordinat titik f =1000 x+2000 y

A (0, 8,8) f =17600

B (0, 0) f =0

C (20, 0) f =20000

D (14, 6) f =26000

Mencari koordinat titik D dengan mencari perpotongan kedua garis dengan metode eliminasi:x+5 y=44 x 1 x+5 y=44

x+ y=20 x 5 5 x+5 y=100

−4 x=−56x=14

x+ y=2014+ y=20y=6

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah Rp 26.000,00 (b)


Sebuah butik memiliki 4m kain satin dan 5m kain prada. Dari bahan tersebut akan dibuat

dua baju pesta. Baju pesta I memerlukan 2m kain satin dan 1m kain prada, sedangkan baju

pesta II memerlukan 1m kain satin dan 2m kain prada. Jika harga jual baju pesta I sebesar

Rp500.000,00 dan baju pesta II sebesar Rp400.000,00, hasil penjualan maksimum butik

tersebut adalah ...

a. Rp 800.000,00

b. Rp 1000..000,00

c. Rp 1.300.000,00

d. R p1.400 .000,00

e. Rp 2.000.000,00

Penyelesaian :

(i) Menentukan masalah atau kendala

Model baju Kain satin Kain prada

Baju I (x) 2m 1m

Baju II (y) 1m 2m

Persediaan 4m 5m

(ii) Menentukan fungsi

f =500.000 x+400.000 y

(iii) Menentukan model matematika

2 x+ y ≤ 4

x+2 y ≤ 5

x ≥ 0

y ≥0


(iv) Menentukan daerah yang diarsir pada grafik

2 x+ y=4

X 0 2

Y 4 0

x+2 y=5

X 0 5

Y 52 0

Menentukan daerah yang diarsir pada grafik dengan menggunakan uji 0 (nol)

2 x+ y ≤ 4

2.0+0 ≤ 4

0 ≤ 4 Benar, yg mengandung 0 diarsir

x+2 y ≤ 5

0+2.0 ≤ 5


(v) Menentukan titik di A, B, C, dan D

Koordinat titik f =500.000 x+400.000 y

A (0, 2,5) f =1.000 .000

B (0, 0) f =0

C (2, 0) f =1.000 .000

D (1, 2) f =1.300 .000

Mencari koordinat titik D dengan mencari perpotongan kedua garis dengan metode eliminasi:

2 x+ y=4 x 2 4 x+2 y=8

x+2 y=5 x 1 x+2 y=5

3 x=3x=1

x+2 y=51+2 y=5y=2

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah Rp 1.300.000,00 (c)


SOAL MATRIKS

A. Operasi dan Sifat Matriks


Diberikan (2 x −35 − y ) = (−4 −3

5 −1). Nilai dari x2+ y2 = ...

a. -5

b. -7

c. 5

d. 7

e. 9

Penyelesaian :

(2 x −35 − y ) = (−4 −3

5 −1)2 x=−4

x=−2

− y=−1

y=1x2+ y2=(−2)2+12=5



Diberikan ( 4 25 x+ y 5) = (4 2

7 y+3). Maka nilai dari xy+ y

x = ...

a. 1 12

b. 2

c. 2 12

d. 3

e. 3 12

Penyelesaian:


( 4 25 x+ y 5) = (4 2

7 y+3)5= y+3

2= y

5 x+ y=7

5 x+2=7

5 x=5

x=1

xy+ y

x=1

2+ 2

1=2 1

2

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 2 12 (c)


Diketahui A = (1 23 4) ; B = (2 3

0 1) ; dan C =( 5 2−1 0). Bentuk paling sederhana dari

(A+B) - (A+C) = ...

a. (3 11 1)

b. ( 3 1−1 1)

c. (−3 11 1)

d. (−3 1−1 1)

e. (−3 −1−1 1 )

Penyelesaian:

(A+B) - (A+C)

[(1 23 4 )+(2 3

0 1)]−[(1 23 4 )+( 5 2

−1 0)][(3 5

3 5)]−[(6 42 4 )]

(−3 11 1)

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (−3 11 1) (c)



Diketahui A = ( 3 −2−1 4 ) ; B = (−2 a

b −1) ; dan C =(−1 12−7 2 ). Jika A + 2B = C, maka

nilai dari (a – b) = ...

a. -1

b. 1

c. 10

d. 11

e. 15

Penyelesaian:

A + 2B = C

( 3 −2−1 4 )+2(−2 a

b −1)=(−1 12−7 2 )

( 3 −2−1 4 )+(−4 2 a

2b −2)=(−1 12−7 2 )

( −1 2 a−22 b−1 2 )=(−1 12

−7 2 )2 a−2=12

2 a=14

a=7

2 b−1=−7

2 b=−6

b=−3

(a−b )=7 —3=10



Diberikan ( log y log z1 log y) = ( log z 2

1 12 ). Maka nilai dari x2 = ...

a. √2

b. √3c. 2

d. 3

e. 5

Penyelesaian:

log z=2

z=22

z=4

log y=12


y=312

y=√3

log z=log y

log 4=log √3

1=log √3

x1=√3

x=√3

x2=3



Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan |2 x−1 2x+2 x+2| = 0 adalah ...

a.12 dan 3

b.−12 dan -3

c.12 dan -3

d.13 dan -2

e.−13 dan 2

Penyelesaian:

|2 x−1 2x+2 x+2|=0

(2 x−1 ) (x+2 )−2(x+2)=0

2 x2+4 x−x−2−(2 x+4)=¿ 0

2 x2+4 x−x−2−2x−4=¿ 0

2 x2+x−6=¿0

(2 x−3 )(x+2)=¿0

x=32 atau x=−2

x1+ x2=32−4

2=−1

2

x1 . x2=32

.−2=−3

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah -5 (a)



Diketahui matriks A = (1 24 3) dan I =(1 0

0 1), x adalah bilangan yang memenuhi

persamaan |A−xI| = 0. Hasil kali dari nilai-nilai x yang mungkin adalah ...

a. -5

b. -4

c. -1

d. 1

e. 5

Penyelesaian:

|A−xI| = 0

|(1 24 3)−x (1 0

0 1)|=0

|(1 24 3)−(x 0

0 x )|=0

|(1−x 24 3−x)|=0

(1−x ) (3−x )−2.4=0

3−x−3 x+x2−8=¿ 0

x2−4 x−5=¿ 0

( x−5 )(x+1)=¿0

x=5 atau x=−1

x1. x2=5 .−1=−5

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −12 dan -3 (b)


Jika (x−5 −2−1 4 ) ( 3 −2

−1 4 )=(−1 12−7 2 ), maka ...

a. y=3 x

b. y=2 x

c. y=x

d. y= x3

e. y= x2

Penyelesaian:

A + 2B = C

( 3 −2−1 4 )+2(−2 a

b −1)=(−1 12−7 2 )


( 3 −2−1 4 )+(−4 2a

2b −2)=(−1 12−7 2 )

( −1 2 a−22 b−1 2 )=(−1 12

−7 2 )2a−2=12

2a=14

a=7

2b−1=−7

2b=−6

b=−3

(a−b )=7 —3=10


B. Transpose Matriks


Diketahui matriks A = (3 xy −3) dan B =(3 −5

6 −3), jika AT=BT , maka nilai dari

x2+2 xy+ y2 = ...

a. -4

b. -1

c. 1

d. 4

e. 5

Penyelesaian:

AT=BT

AT=BT

(3 yx −3)=( 3 6

−5 −3)y=6 dan x=−5

x2+2xy+ y2=(−5)2+2.6 . (−5 )+62=1



Diketahui matriks A = (x+ y xy x− y) dan B =( 1 −1

2x

−2 y 3 ), jika AT=B , maka nilai

dari

x− yx+ y = ...

a. 152 Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

Penyelesaian:

AT=B

(x+ y yx x− y)=( 1 −1

2x

−2 y 3 )x+ y=1

x− y=3

2 y=−2

y=−1

x+ y=1

x−1=1

x=2

x− yx+ y =

2+12−1 =

31 = 3


C. Invers Matriks


Diketahui matriks A = (2 x x3 x) . Jika |P|=−1 , maka nilai-nilai x yang mungkin

adalah ...

a. 1 atau −12

b. 1 atau 12

c. 2 atau -1

d. 2 atau 12

e. 2 atau 1

Penyelesaian:

|P|=−1

2 x . x−3. x=−1

2 x2−3 x=−1

2 x2−3 x+1=0

(2 x−1 ) (x−1 )=0


x=12 dan x=1

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 1 atau 12 (b)


Diketahui matriks C = (1+x 35 1+2 x) , tidak mempunyai invers. Nilai-nilai x yang

mungkin adalah ...

a.−52 atau 2

b.−72 atau 2

c.52 atau 2

d.72 atau 2

e.52 atau

72

Penyelesaian:

Tidak mempunyai invers determinan = 0

|(1+x 35 1+2x )|=0

(1+x ) (1+2 x )−3.5=0

1+2 x+x+2 x2−15=0

2 x2+3 x−14=0

(2 x+7 ) ( x−2 )=0

x=−72 dan x=2

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −72 atau 2 (b)


Diketahui matriks F = (3 34 2) , jika (F – kI) adalah matriks singular, maka nilai k yang

mungkin adalah ...

a. -3 atau 6

b. -2 atau 6

c. 2 atau -6

d. -1 atau 6

e. 1 atau -6


Penyelesaian:

Matriks singular tidak mempunyai invers determinan = 0

|(F – k I )|=0

|(3 34 2) – k (1 0

0 1)|=0

|(3 34 2) – (k 0

0 k )|=0

|(3−k 34 2−k )|=0

(3−k ) (2−k )−12=0

6−3 k−2k+k2−12=0

k 2−5 k−6=0

(k−6 ) ( x+1 )=0

k=6 dan k=−1

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah -1 atau 6 (d)


Jika A = (2 51 3) dan B = (5 4

1 1), maka determinan ( AB)−1adalah ...

a. -3 atau 6

b. -2 atau 6

c. 2 atau -6

d. -1 atau 6

e. 1 atau -6

Penyelesaian:

Matriks singular tidak mempunyai invers determinan = 0

|(AB)−1|=|[(2 51 3)(5 4

1 1)]−1|

¿|[(15 138 7 )]

−1|¿| 1

105−104 ( 7 −13−8 15 )|

¿|11 ( 7 −13

−8 15 )|¿7.15 — (−8) .(−13)

¿105−104=1




Diketahui matriks (1 23 4) A = (0 1

1 0) , maka nilai 2A = ...

a. (−2 4−1 −3)

b. ( 2 4−1 −3)

c. (2 −41 3 )

d. ( 2 4−1 3)

e. ( 2 −4−1 3 )

Penyelesaian:

AB=C

A=B−1C

A=(1 23 4 )

−1

(0 11 0)

A= 1−2 ( 4 −2

−3 1 )(0 11 0)

A= 1−2 (−2 4

1 −3)2 A=2. 1

−2 (−2 41 −3)

2 A=( 2 −4−1 3 )

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah ( 2 −4−1 3 ) (e)


VEKTOR

A. Operasi Vektor


Pada segi empat sembarang OABC, S dan T masing-masing adalah titik tengan OB dan

AC, jika u⃗=O⃗A , v⃗=O⃗B , w⃗=O⃗C , maka S⃗T = ...

a.12

u⃗+ 12

v⃗+ 12

w⃗

b.12

u⃗+ 12

v⃗−12

w⃗

c.12

u⃗−12

v⃗+12

w⃗

d.12

u⃗−12

v⃗−12

w⃗

e.−12

w⃗+ 12

v⃗+12

w⃗

Penyelesaian :

S⃗T=S⃗O+O⃗T

¿−12

O⃗B+ a⃗+ c⃗2

¿−12

v⃗+ O⃗A+O⃗C2

¿−12

v⃗+ 12

u⃗+ 12

w⃗

¿ 12

u⃗−12

v⃗+ 12

w⃗


u⃗−12

v⃗+12

w⃗ (c)


Diketahui P⃗Q=(2,0,1) dan P⃗R=(1,1,2 ) . Jika P⃗S=12

P⃗Q , maka R⃗S = ...

a. (0,-1,1)

b. (0,1,-1)

c. (0,-1,-1)

d. (0,-1,32 )


e. (0,-1,-32 )

Penyelesaian :

P⃗S=12 (201)

P⃗S=(1012)

R⃗S=R⃗P+ P⃗S

R⃗S=(−1−1−2)+(

1012)=(

0−1−3

2)

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (0,-1,-32 ) (e)


Diketahui A=(3 , 2 ,−1) , B=(1 ,−2 ,1) dan C=(7 , p−1 ,−5 ) . terletak segaris. Nilai p

= ...

a. 11

b. 9

c. 6

d. 5

e. 2

Penyelesaian :

Jika terletak segaris A⃗B=k B⃗C

A⃗B=k B⃗C

A⃗B=k B⃗C

(b⃗−a⃗ )=k¿

( 1−21 )−( 3

2−1)=k [( 7

p−1−5 )−( 1

−21 )]

(−2−42 )=k ( 6

p+1−6 )

−2=6 k

k=−13

−4=k ( p+1)


−4=−13

( p+1)

−4=−13

p−13

−113

=−13

pp=11

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 11 (a)


Diketahui a⃗=−7 i⃗+8 j⃗ , dan P(1 ,−2) dan C=(7 , p−1 ,−5 ) . Jika |PQ|=|a⃗| dan P⃗Q

berlawanan arah dengan a⃗ , maka koordinat titik Q adalah ...

a. (6, 10)

b. (6, -10)

c. (6, -6)

d. (8, 10)

e. (8, -10)

Penyelesaian :

Jika dan P⃗Q berlawanan arah dengan a⃗ P⃗Q=−a⃗

P⃗Q=−a⃗

( q⃗− p⃗ )=−a⃗

(ab)−( 1

−2)=−(−78 )

(a−1b+2 )=( 7

−8)a−1=7

a=8

b+2=−8

b=−10

(a, b) = (8, -10)

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (8, -10) (e)


Vektor a⃗=( 2−1x−3) , dan panjang vektor |a⃗|=3√6 . Nilai x adalah ...

a. 8 atau -5

b. -8 atau -5

c. -10 atau 4

d. -4 atau 10

e. -4 atau -10


Penyelesaian :

|a⃗|=3√6

3√6=√22+(−1)2+( x−3)2

3√6=√4+1+(x¿¿2−6 x+9)¿

3√6=√x2−6 x+14

54=x2−6 x+14

0=x2−6 x−40

0=( x−10 )(x+4 )

x=10 atau x=−4

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah -4 atau 10 (d)


Titik P membagi ruas garis A⃗B dengan perbandingan A⃗P : P⃗B=1:3. Vektor posisi titik

A, B, dan P masing-masing adalah a⃗ , b⃗ , dan p⃗ . Maka b⃗=¿ ...

a.14(3 a⃗+ p⃗)

b.12

(3 a⃗− p⃗ )

c.13(3 a⃗+ p⃗)

d. 3 a⃗−4 p⃗

e. 3 a⃗−4 p⃗

Penyelesaian :

p⃗= 3. a⃗+1. b⃗3+1

p⃗=3 a⃗+ b⃗4

4 p⃗=3 a⃗+ b⃗

4 p⃗−3 a⃗=b⃗

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 4 p⃗−3 a⃗ (e)

7. Soal Buku Matematika XII

Titik A, B, dan C terletak segaris dengan perbandingan A⃗P : P⃗B=3 :−1. Vektor posisi

titik A, B, dan P masing-masing adalah a⃗ , b⃗ , dan p⃗ . Maka p⃗=¿ ...

a.12(3 b⃗+ a⃗)

b.12(3 b⃗−a⃗)


c.13(3 b⃗+a⃗)

d. 3 b⃗−4 a⃗

e. 3 b⃗−4 b⃗Penyelesaian :

b⃗=1. a⃗+2. p⃗2+1

b⃗= a⃗+2 p⃗3

3 b⃗=a⃗+2 p⃗

2 p⃗=3 b⃗−a⃗

p⃗=3 b⃗−a⃗2

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 12(3 b⃗−a⃗) (b)

B. Perkalian Skalar Dua Vektor


Sudut antara vektor a⃗=−1 i⃗+2 j⃗+2 k⃗ dan b⃗=2 i⃗+4 j⃗+4 k⃗ adalah α . Nilai sin α = ...

a.79

b.718

c.49 √3

d.49 √2

e.59 √2

Penyelesaian :

Rumus perkalian dua vektor a⃗ . b⃗=|a⃗|.|b⃗|. cosα

a⃗ . b⃗=|a⃗|.|b⃗|. cosα

cos α= a⃗ . b⃗|a⃗|.|b⃗|

cos α=(−1

22 ) .(244 )

|(−122 )|.|(2

44)|


cos α= −2+8+8

√(−1)2+22+22 .√22+42+42

cos α= 143 .6

cos α=1418

=79

sin α=√92−72

9=√32

9=4

9 √2

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 49 √2 (d)


Diketahui |a⃗|=8 dan |b⃗|=6. Sudut antara vektor a⃗ dan b⃗ adalah 1200. Maka panjang

vektor a⃗+2b⃗ = ...

a. 2√7

b. 4 √7

c. 6√7

d. 2√33

e. 4 √33Penyelesaian :

Rumus vektor dengan metode jajar genjang a⃗+ b⃗=√( a⃗ )2+ (b⃗ )2+2. a⃗ . b⃗ . cosα

a⃗+ b⃗=√( a⃗ )2+ (b⃗ )2+2. a⃗ . b⃗ . cosα

a⃗+2b⃗=√ ( a⃗ )2+(2 b⃗ )2+2.a⃗ .2 b⃗ . cosα

a⃗+2b⃗=√ (8 )2+(2.6 )2+2.8 .2 .6 .cos 1200

a⃗+2b⃗=√64+144+192 .−12

a⃗+2b⃗=√112=4√7

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 4 √7 (b)


Jika vektor a⃗ dan vektor b⃗ membentuk sudut 600, |a⃗|=4 dan |b⃗|=3, maka |a⃗−b⃗|2 = ...

a. 1

b. 13

c. 14

d. 15

e. 16

Penyelesaian :

Rumus vektor dengan metode jajar genjang a⃗+ b⃗=√( a⃗ )2+ (b⃗ )2+2. a⃗ . b⃗ . cosα62 Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK

a⃗+ b⃗=√( a⃗ )2+ (b⃗ )2+2. a⃗ . b⃗ . cosα

a⃗+¿

a⃗−b⃗=√ (4 )2+ (−3 )2+2.8 .−3 . cos600

a⃗−b⃗=√16+9−48 . 12

a⃗−b⃗=√13

|a⃗−b⃗|2=(√13 )2=13



Diketahui segitiga PQR dengan P(0,1,4), Q(2,-3,2), dan R(-1,0,2). Besar sudut PRQ = ...

a. 1200

b. 900

c. 600

d. 450

e. 300

Penyelesaian :

Rumus perkalian dua vektor pada segitiga P⃗R . Q⃗R=|⃗PR|.|⃗QR|.cos PRQ

Rumus perkalian dua vektor pada segitiga R⃗P . R⃗Q=|⃗RP|.|⃗RQ|. cos PRQ

R⃗P= p⃗−r⃗

R⃗P=(014)−(−1

02 )=(1

12)

R⃗Q=( 2−32 )−(−1

02 )=( 3

−30 )

R⃗P . R⃗Q=|⃗RP|.|⃗RQ|. cos PRQ

cos PRQ=(112) .( 3

−30 )

|(112)|.|( 3

−30 )|

cos PRQ= 3−3+0√12+12+22 .√32+(−3)+02

cos PRQ= 03√12

=0

0=cos900




Diketahui vektor a⃗=p i⃗+ j⃗+4 k⃗, b⃗=2 i⃗−4 j⃗+3 k⃗, dan c⃗=i⃗−3 j⃗+3 k⃗. Jika vektor a⃗ tegak

lurus dengan vektor b⃗ , maka panjangvektor a⃗−c⃗ = ...

a. −5 i⃗+4 j⃗+ k⃗

b. −3 i⃗−2 j⃗+k⃗

c. −3 i⃗+2 j⃗+ k⃗

d. 3 i⃗+2 j⃗+ k⃗

e. 5 i⃗−4 j⃗+k⃗Penyelesaian :

Rumus dua vektor yang tegak lurus a⃗ . b⃗=0

a⃗ . b⃗=0

0=( p14 )( 2

−43 )

0=2 p−4+12

0=2 p+8

−8=2 p

−4=p

a⃗−c⃗=(−414 )−( 1

−33 )=(−5

41 )

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −5 i⃗+4 j⃗+ k⃗ (a)

C. Proyeksi Vektor pada Vektor Lain


Diketahui u⃗=( 1−23 ) dan v⃗=( 2

3−1). Proyeksi skalar vektor (2 u⃗+3⃗ v ) pada v⃗ adalah ...

a.12

b.12 √2

c.14 √14

d. 2√14

e.72 √14


Penyelesaian :

Rumus proyeksi skalar vektor a⃗ pada b⃗ a⃗ . b⃗|b⃗|

a⃗ . b⃗|b⃗|(2u⃗+ 3⃗ v ) . v⃗

|v⃗|

(2( 1−23 )+3 ( 2

3−1)) .( 2

3−1)

|( 23

−1)|(( 2−46 )+( 6

9−3)) .( 2

3−1)

√22+32+(−1)2

(853) .( 23

−1)√4+9+1

16+15−3√14

= 28√14

=2√14

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 2√14 (d)


Diketahui u⃗=i⃗− j⃗+k⃗ , v⃗=i⃗+ j⃗+k⃗ , dan w⃗=3⃗ i−k⃗ . Proyeksi ortogonal vektor ( v⃗+ w⃗ ) pada

u⃗ adalah ...

a.43

i⃗+ 43

j⃗+ 43

k⃗

b.43

i⃗+ j⃗+ 43

k⃗

c.43

i⃗+ j⃗+k⃗

d. i⃗− j⃗+ k⃗

e. 4 i⃗+ j⃗+k⃗Penyelesaian :

Rumus proyeksi ortogonal a⃗ pada b⃗ a⃗ . b⃗|b⃗|2 b⃗


a⃗ . b⃗|b⃗|2 b⃗

( v⃗+w⃗ ) .u⃗|u⃗|2

u⃗

((111)+( 30

−1)) .( 1−11 )

|( 1−11 )|

2 ( 1−11 )

(410) .( 1

−11 )

(√12+(−1)2+12)2 ( 1−11 )

4−1(√3 )2 ( 1

−11 )

33 ( 1

−11 )=( 1

−11 )

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah i⃗− j⃗+ k⃗ (d)

TRANSFORMASI GEOMETRI

1. Soal Buku Mandiri Matematika XII66 Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK

Titik R(5, -3) dirotasikan oleh [O,180o]. Bayangan titik R adalah ...

a. (−5 , 3)

b. (3 ,−5)

c. (−3 , 5)

d. (−5 ,−3)

e. (−3 ,−5)

Penyelesaian :

R (5 ,−3 ) R [O ,180o ]→

R' (x ' , y ')

( x 'y ' )=(cos α −sin α

sin α cosα )( xy )

( x 'y ' )=(cos180o −sin 180o

sin 180o cos180o )( 5−3)

( x 'y ' )=(−1 0

0 −1)( 5−3)

( x 'y ' )=(−5

3 )Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (−5 , 3) (a)


Jika jajargenjang ABCD dengan A(-3, 5); B(4, 1); dan C(6, 8) dicerminkan terhadap garis

y=−x , bayangan titik D adalah ...

a. (1 ,−12)

b. (−12 ,1)

c. (12 ,−1)

d. (12 ,−5)

e. (−5,12)

Penyelesaian :

A⃗B=D⃗C

b⃗−a⃗=c⃗− d⃗

(41)−(−3

5 )=(68)−(ab)( 7−4)=(68)−(ab)(ab)=(−1

12 )D (−1 ,12 ) M y=−x

→D' (x' , y ')

( x 'y ')=( 0 −1

−1 0 )( xy)


( x 'y ' )=( 0 −1

−1 0 )(−112 )

( x 'y ' )=(−12

1 )Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (−12 , 1) (b)


Garis g mempunyai persamaa 2 x+3 y=4 ditranslasikan oleh T( 2−3) menghasilkang '.

Persamaan garis g ' adalah ...

a. 2 x+3 y=−1

b. 2 x+3 y=−2

c. 3 x+2 y=−1

d. 3 x+2 y=9

e. 2 x+3 y=9

Penyelesaian :

A ( x , y ) T ( 2−3)→

A' (x ' , y ' )

( x 'y ' )=( x+a

y+b)( x 'y ' )=( x+2

y−3)( x

y )=(x '−2y'+3)

Substitusikan x dan y ke dalam persamaan 2 x+3 y=4

2 x+3 y=4

2(x '−2)+3( y '+3)=4

2 x'−4+3 y '+9=4

2 x'+3 y '=−1

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 2 x+3 y=−1 (a)


Garis 2 x+3 y−6=0 ditranslasikan dengan matriks ( 2 0−1 1) . Persamaan garis bayangan

adalah ...

a. 5 x+6 y−12=0

b. 5 x+6 y−6=0

c. 5 x+6 y−2=0

d. 2 x+3 y−12=0


e. 2 x+3 y−2=0

Penyelesaian :

A ( x , y )( 2 0−1 1)

→

A '( x' , y ')

( x 'y ' )=( 2 0

−1 1)( xy)

( x 'y ')=( 2 x

−x+ y)

( xy )=( x '

2x '

2+ y ')

Substitusikan x dan y ke dalam persamaan 2 x+3 y−6=0

2 x+3 y−6=0

2( x '

2 )+3( x'

2+ y ' )−6=0

22

x '+ 32

x '+3 y '−6=0

2 x '+3 x '+6 y '−12=0

5 x '+6 y '−12=0

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 5 x+6 y−12=0 (a)


Bayangan titik P(1, 1) karena transformasi (2 00 2)diteruskan dengan transformasi

(0 −11 0 ) adalah ...

a. (−2 , 2)

b. (−2 ,−2)

c. (−2 , 1)

d. (2 ,0)

e. (−2 , 0)

Penyelesaian :

P (1, 1 ) T (2 00 2)→

P' (x ' , y ')T (0 −11 0 )

→

P' ' (x ' ' , y ' ')

( x ' 'y ' ')=(0 −1

1 0 )(2 00 2)(x

y)( x ' '

y ' ')=(0 −11 0 )(2 0

0 2)(11)Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK 69

( x ' 'y ' ' )=(0 −2

2 0 )(11)( x ' '

y ' ' )=(−22 )

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah(−2 , 2) (a)


Persamaan bayangan dari garis 3 x− y+2=0 oleh pencerminan terhadap garis y=x

dilanjutkan dengan rotasi 12

π terhadap O adalah ...

a. 3 x+ y−2=0

b. 3 x+ y+2=0

c. 3 y−x+2=0

d. y−3 x+2=0

e. x−3 y+2=0

Penyelesaian :

P ( x , y ) M y=x→

P ' (x ' , y ' )R [O , 900]→

P' ' (x ' ' , y ' ')

( x ' 'y ' ' )=(cos 900 −sin 900

sin 900 cos 900 )(0 11 0)( x

y)( x ' 'y ' ' )=(0 −1

1 0 )(0 11 0)(x

y)( x ' 'y ' ' )=(−1 0

0 1)(xy)

( x ' 'y ' ' )=(−x

y )( xy )=(−x ' '

y ' ' )Substitusikan x dan y ke dalam persamaan 3 x− y+2=0

3 x− y+2=0

−3 x ' '− y ' '+2=0

3 x ' '+ y ' '−2=0

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 3 x+ y−2=0 (a)


Titik A(n, m) dicerminkan terhadap garis x=2 , menghasilkanbayangan A' (0,2 ) .Nilai

n+m=¿ ...

a. -6

b. -4

c. -2

d. 2


e. 6

Penyelesaian :

A (n , m ) M x=2→

A ' (0 ,2)

( x 'y ' )=(−1 0

0 1)( xy)+(2h

0 )(02)=(−1 0

0 1)( nm)+(4

0)(02)=(−n

m )+(40)

( nm)=(02)+(4

0)( nm)=(−0+4

2−0 )( nm)=(42)

n+m=4+2=6

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 6 (e)


Titik B(1, −√3) jika dirotasikan pada pusat rotasi O(0, 0) sejauh 600 searah jarum jam, maka

bayangannya adalah ...

a. (2 ,0)

b. (1 ,√3)

c. (−√3 , 1)

d. (−1 ,√3)

e. (−1 ,−√3)

Penyelesaian :

B (1,−√3 ) R [O , 60o ]→

B '(x ' , y ' )

( x 'y ' )=(cos α −sin α

sin α cosα )( xy )

( x 'y ')=(cos60o −sin 60o

sin 60o cos60o )( 1−√3)

( x 'y ' )=(

12

−12 √3

12 √3 1

2)( 1−√3)


( x 'y ' )=(

12+ 3

212 √3− 1

2 √3)( x 'y ' )=(20)

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (2 , 0) (a)


Jika titik A(2, −6) didilatasikan pada titik pusat dilatasi O(0, 0) dengan faktor dilatasi k = 2,

maka koordinat bayangannya adalah ...

a. A ' (−4 ,−12)

b. A '(−2 ,−6)

c. A ' (−4,12)

d. A ' (4 ,−12)

e. A ' (1 ,−3)

Penyelesaian :

A (2 ,−6 ) D [ O,2 ]→

A ' (x' , y ')

( x 'y ' )=(2 0

0 2)( xy )

( x 'y ')=(2 0

0 2)( 2−6)

( x 'y ' )=( 4

−12)Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah A ' (4 ,−12) (d)


Sebuah transformasi dilatasi dengan faktor dilatasi −12 memetakan titik A(4, 3) menjadi

A’(10, 6). Koordinat titik pusat dilatasinyadalah ...

a. P(1 ,−2)

b. P(8 , 5)

c. P(−2 , 3)

d. P(5 ,2)

e. P(6 , 3)

Penyelesaian :

A (4 ,3 ) D [(a ,b ) ,−12 ]

→

A' (10,6)


( x 'y ' )=(

−12

0

0 −12

)(x−ay−b)+¿ (a

b)

(106 )=(

−12

0

0 −12

)(4−a3−b)+¿ (a

b)

(106 )=(−2+1

2a

−32

+ 12

b)+¿ (ab)

(106 )=(−2+ 3

2a

−32

+ 32

b)10=−2+1

2a

12=32

a

8=a

6=−32

+ 32

b

152

=32

b

5=a

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah P(8,5) (b)


Education

Soal integral dan pembahasan