Unitat 6: Triangles i Semblança

1. Introducció: els triangles, nomenclatura i classificació

2. El Teorema de Pitàgores

2.1 Formulació

2.2 Aplicacions

3. Semblança

4. Plànols, mapes i maquetes

5. El Teorema de Tales

5.1 Formulació

5.2 Aplicacions

1. Introducció: els triangles, nomenclatura i classificació

-Vèrtexs: amb lletres majúscules (A, B, C)

-Costats: amb lletres minúscules (a, b, c)

-Angles: amb lletres minúscules de l'alfabet grec (α, β, γ)

a) Nomenclatura

a

b

c

A

C

B

α

β

γ

1. Introducció: els triangles, nomenclatura i classificació

-Segons els costats:

-Equilàter: tots els costats iguals

-Isòsceles: dos costats iguals

-Escalè: els tres costats diferents

b) Classificació

-Segons els angles:

-Acutangle: tots els angles aguts

-Rectangle: un angle recte (90°)

-Obtusangle: un angle obtús

Realització del quadre

2. El Teorema de Pitàgores

En un triangle rectangle, la suma dels quadrats dels catets

és igual al quadrat de la hipotenusa.

2.1 Formulació

Pitàgores de Samos (illa grega), 582-496 aC,

filòsof i matemàtic, relació matemàtiques i la

música, terra rodona, secta dels pitagòrics,

doctrina estricta, “tot és nombre”, prohibit

menjar faves, llegenda mort pel camp de faves.

c

b

a a2=b2c2

En un tringle rectangle, la hipotenusa és el costat oposat a

l'angle recte i el més llarg; els catets són els dos costats

adjacents a l'angle recte.

catet

hipotenusacatet

Demostració:

2. El Teorema de Pitàgores

a) Si coneixem 2 catets, càlcul de la hipotenusa

2.2 Aplicacions

c=8cm

b=15cm

a?

a2=b2

c2 a= b2c2

a2=152

82 ;

a2=22564 ;

a2=289 ;

a= 289=17cmEx1 pàg115, 6.4

2. El Teorema de Pitàgores

b) Si coneixem la hipotenusa i un catet, càlcul de l'altre catet.

2.2 Aplicacions

c=20dm

b?

a=29dm

a2=b2

c2 b= a2−c2

292=b2

202 ;

841=b2400 ;

b2=841−400=441 ;

b= 441=21dmEx2 pàg115, 6.5

c) Si coneixem els tres costats, comprovar si és rectangle o no.

342=302

162 ;

Exercicis 231-257

Exemple 1: Tenim un triangle de costats 30, 16 i 34 cm. És un

triangle rectangle?

El més llarg hauria de ser la hipotenusa, per tant s'hauria de complir:

1156=900256 ; 1156=1156

SÍ

432=322

202 ;

Exemple 2: Tenim un triangle de costats 43, 20 i 32 cm. És un

triangle rectangle?

1849=1024400 ; 1849=1424

NO

3. Semblança

Dues figures són semblants quan són iguals o només es

diferencien en les dimensions que tenen.

a

a 'a

=b 'b

=c 'c

=d 'd

=k

Exemple gràfic amb triangle6.16, 261, 262, 263, (263 dibuix)

b

c

d

a'

b'

c'

d'

Els segments corresponents són proporcionals, és a dir, la raó

entre cada parella de valors és constant.

4. Plànols, mapes i maquetesSón representacions o figures semblants a la realitat.

La raó de semblança amb la realitat és l'Escala, que és el

quocient entre la unitat de longitud en la reproducció i la longitud

corresponent a la realitat.

E = 1:200 E = 1/200

Un centímetre al plànol són 200 cm de la realitat

4. Plànols, mapes i maquetes

-Exercici tipus 1: En el plànol d'una casa dibuixat a E=1/200, una

paret fa 2,5 cm. Quant fa a la realitat?

plànol

realitat

1200

=2,5x

x=200 ·2,5

1=500cm=5m

-Exercici tipus 2: Dues ciutats disten 35 km. A quants centímetres

estan en un mapa a E=1/100000?

1100000

=x

3500000

x=3500000 ·1

100000=35cm

plànol

realitat

4. Plànols, mapes i maquetes

-Exercici tipus 3: Calcula a quina escala està la maqueta d'un

cotxe si una roda, que fa 60 cm de diàmetre a la realitat, hi és

representada amb un diàmetre de 2 cm.

plànol

realitat

1x=

260

x=60 ·1

2=30 E=1/30

258, 259, 260Activitat (llibreta):I. Distància de Ripollet a Mataró / Distància de Manresa a l'HospitaletII. De l'Estació a l'Ajuntament / De la Presó al Centre NatacióIII. Altura façana (x), Altura golfes (y), Profunditat semisoterrani (z)IV. Ample edifici habitacions (x), Ample garatge (y), Llargada façanasud (z)

5. El Teorema de Tales

Si un feix de rectes paral·leles tallen dues altres rectes

secants, els segments que hi determinen són proporcionals.

5.1 Formulació

Tales de Milet (actual Turquia), 625-546 aC,

filòsof, matemàtic, físic i astrònom, “aigua com

a origen de totes les coses”, terra rodona, lluna

reflecteix llum del sol, prediu eclipsi solar

585aC, viatg. Egipte, llegenda altura piràmides.

Si un feix de rectes paral·leles tallen dues altres rectes

secants, els segments que hi determinen són proporcionals.

5.1 Formulació

b

a

c

b'a'

c'

a 'a

=b 'b

=c 'c

=kUn parell d'exercicis d'exemple

5. El Teorema de Tales

Comparteixen tots els angles, per tant són triangles semblants.

5.2 Aplicacions

5. El Teorema de Tales

5.2 Aplicacions

Quan dos triangles tenen dos dels costats sobre la mateixa

recta, i el tercer és paral·lel al corresponent, diem que estan en

posició de Tales, podem afirmar que són semblants i , per tant,

que els seus costats són proporcionals.

b

a

c

b'

a'

c'

b

a

c

b'

a'

c'

266, 265, 267, 268, Exem p126, 6.26, 6.27