Embed Size (px)
Citation preview
Algebra og likninger
Et forslag til undervisningsopplegg
Tor Arne Mørkved
PONDUSmøter et kjent problem
Et problem også i vår skolehverdag
• Mange elever sliter med å forstå «bokstavregning».
• De forstår ikke hva bokstavene representerer.• De forstår heller ikke poenget med algebra.• Mange sliter med å forstå hva likninger er og
hvordan de skal løses.
Diskutabel strategi:
• Når en elev sliter med å forstå algebra har det vel hendt mer enn en gang at læreren sier at man kan se på bokstavene som appelsiner og bananer.
• 3a + 2b – a + 3b = 2a + 5b • «Man har tre appelsiner og får to bananer, så
blir man fratatt en appelsin og får så tre bananer til. Da sitter man igjen med to appelsiner og fem bananer.» Så langt så vel.
Problemet med appelsinene (for ikke å si bananen)
• Problemet med nevnte strategi er at man ikke får frem at bokstavene kan representere tall.
• Tre appelsiner kan aldri bli tallet 15, mens 3a faktisk kan være 15.
• For eleven kan det også virke forvirrende at konkrete ting som appelsiner og bananer opptrer sammen med rene tall. Når så du sist et fat med frukt og tall?
• Strategien bryter helt sammen når man for eksempel støter på potensuttrykk som a2. (Hva er vel en kvadrert appelsin?)
Algebra (åpne esker) første oppgave
• Legg ut følgende på pulten (firkantene står for åpne esker; inneresker):
• Dersom man rydder blir det kanskje
+
Algebra: Første oppgave
• Tegn opp på papir situasjonen før og etter ryddingen .• Fremdeles på papiret: Erstatt esken med a og brikkene
med tall. Skriv opp situasjonen før og etter ryddingen.• 2+1+ a + 2 + a + a = a + a + a +5 • Mange elever vil da være enig i at det siste kan skrives
som 3a + 5
Algebra: Første oppgave
• Kast en terning en gang og legg like mange brikker i eskene som det tallet terningen viser. (Like mange brikker i alle eskene.)
• Tell opp alle brikkene.• Tegn situasjonen med de fylte eskene og tell opp.• Skriv opp (under tegningen) 3a + 5 = og erstatt deretter a
med det tallet terningen viste. Regn ut.• Eks: Hvis terningen viste 2, så er 3a+5=3x2+5=11• Kast terningen på nytt, men gjenta bare tegning (figur) og
utregning med symboler.
Algebra: Andre oppgave
• Merk tre åpne esker (inneresker) med «a» og to med «b».
• Legg ut noen løse brikker og de tomme a- og b-eskene på ei linje. Tegn situasjonen.
• Rydd slik at a-eskene kommer først, deretter b-eskene og så de løse brikkene og tegn på nytt.
• Fremdeles på papiret: Erstatt brikkene med tall og eskene med bokstaver. Skriv situasjonen før og etter ryddingen.
Algebra: Andre oppgave
• Kast en rød og en hvit terning og la den røde avgjøre hvor mange brikker det skal være a-eskene og den hvite antallet i b-eskene. Legg i brikker og tell opp. Hvor mange brikker blir det tilsammen?
• Tegn opp situasjonen med de tomme eskene på nytt og la terningene på nytt bestemme hvor mange brikker det skal være i hhv. a- og b-eskene, men nå skrives antallet direkte inn på tegningen, eskene brukes ikke. Regn ut samlet antall brikker.
• Skriv opp det siste regnestykket med tall og bokstaver slik: • Hvis f.eks. a = 4 og b= 5, • så må 3a + 2b + 7 = 3x4 + 2x5 + 7 = 12+10+7= 29
Algebra på veddeløpsbanen
(Se utlevert hefte!)
Negative ledd
• Dersom man vil legge inn negative ledd i regnestykket, bør dette skje ved at man på en papirlapp skriver hvor mange esker som skal tas vekk (av hver type). I innlæringsfasen bør man da unngå å lage oppgaver som er slik at svaret inneholder negative bokstavledd.
• Ikke sett et minus-tegn foran en eske. Det kan lede eleven til å tro at det er nok å ta vekk esken bak minustegnet.
Strategi:
• Gå fra det konkrete (her: esker og brikker) til symboler (tall og bokstaver) via bildemodeller (tegninger) på papiret.
• På veien fra det konkrete til det abstrakte kan den muntlige beskrivelsen av hva man gjør være en støttestav til hjelp på veien. Verbaliseringen tvinger også eleven til å tydeliggjøre for seg selv hva han faktisk gjør. Beskriv derfor muntlig hva man gjør konkret. Beskriv også muntlig hva man gjør når oppgaven løses på papiret.
• Tydeliggjør at bokstaver kan stå for flere forskjellige tall (ved f.eks. å kaste en terning flere ganger), men pass på at alle a-er står for samme tall i samme stykke, det samme for b-er osv.)
• Konfronter eleven når han/hun gjør feil.
Dataprogram
• For å innøve regning med algebra synes dataprogrammet Kikora å være interessant.
• Her henvises til foredrag klokka 15.
Likninger: Lukkede esker
• I denne oppgaven skal to og to samarbeide. Den ene skal lage oppgaven og den andre skal løse den.
• Del bordet foran dere i to deler med et pennal e.l.
• Den som lager oppgaven tar et ulike antall lukkede esker og putter like mange brikker i hver eske (skjult for sidemannen). Lukk eskene.
Likninger: Lukkede esker
• Legg noen av eskene på venstre side av delelinja og noen på høyre side, men sørg for at det er flest esker på venstre side.
• Legg deretter på løse brikker på begge sider og sørg for at du ender opp med like mange brikker på hver side (iberegnet dem i eskene).
• Legg esker og brikker om hverandre, men på linje. Tegn situasjonen.
Likninger (forts.)• En tegning kan se slik ut:
=
Likninger (forts.)
• Be sidemannen finne ut hvor mange brikker det er inne i eskene.
• Han får ikke åpne eller riste på eskene, men får lov å flytte både brikker og esker bort, bare han passer på at det hele tiden er balanse i antall brikker mellom sidene. Han må si høyt hva han gjør. Når han har kommet frem til en løsning, ser dere på tegningen av startsituasjonen. Sett inn løsningstallet i stedet for eskene og se om det faktisk er like mange brikker på hver side. Hvis dere finner ut at det stemmer, åpnes en eske for endelig kontroll.
Ved feiloperasjoner
• Dersom eleven gjør en operasjon som ødelegger likevekten, må han/hun konfronteres straks med spørsmål av typen «Er det fortsatt like mange på hver side hvis du flytter en brikke over fra den ene siden til den andre?»
• Hvis eleven holder fast på dette, så lag en forenklet situasjon med åpne esker hvor antallet balanserer mellom sidene. La eleven telle opp. La deretter eleven gjøre feiloperasjonen på nytt og be ham telle opp.
Likninger (forts.)• Gjenta oppgaven, men bytt roller. (Antall brikker i eskene
endres.)• Tredje gang: Nå lages en oppgave på papiret (med figurer) som
også løses på papiret. f.eks. slik:
=
• Løs oppgaven på papiret (ved å stryke vekk like elementer på hver side, evt. dividere med samme tall på begge sider til slutt.)
• Oversett siste oppgave til tall og x-er og løs.• I dette tilfellet: x + 1 + 2+2+2x = 1+2+x+4
Negative ledd
• Negative ledd unngås i begynnelsen ved konkretiseringer. Hvis man ønsker dette i forbindelse med konkretiseringen, så må negative ledd fremkomme som beskjed på en papirlapp: F.eks. «Ta vekk en eske på denne siden» eller «Ta vekk fem brikker på denne siden»
Strategi:
• Gå fra det konkrete (her: esker og brikker) til symboler (tall og bokstaver) via bildemodeller (tegninger) på papiret.
• På veien fra det konkrete til det abstrakte kan den muntlige beskrivelsen av hva man gjør være en støttestav til hjelp på veien. Verbaliseringen tvinger også eleven til å tydeliggjøre for seg selv hva han faktisk gjør. Beskriv derfor muntlig hva man gjør konkret. Beskriv også muntlig hva man gjør når oppgaven løses på papiret.
• Tydeliggjør at vi leter et tall som gjør at vi får samme antall på begge sider.
• Konfronter eleven når han/hun gjør feil.
Takk for meg!
Tilbakemeldinger, ros og ris, forslag til forandringer, forbedringer eller supplerende
innspill mottas med takk!
Tor Arne Mørkved
©
2012
