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UNIVERSIDAD CENTROCCIODENTAL “LISANDRO ALVARADO”
DECANATO DE AGRONOMIA PROGRAMA DE ING. AGROINDUSTRIAL
NUCLEO OBELISCO BARQUISIMETO-ESTADO LARA
CATEDRA COMPUTACION APLICADA
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Método Runge-Kutta.
Implementación de Sistemas Numéricos
Integrantes
Alvarado Jean C.
Osuna Desirée
Silva Leonor
Suarez Edgar
Barquisimeto, Enero 2011
Introducción
Los métodos numéricos constituyen una herramienta muy valiosa para la
resolución de problemas prácticos de Ingeniería, se pueden definir a los métodos
numéricos como las técnicas mediante las cuales es posible formular problemas
de manera que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas, ó también
como el grupo de conocimientos matemáticos relacionados con el diseño y
análisis de algoritmos necesarios para resolver problemas de ciencia e ingeniería
por ello el objetivo de este trabajo es presentar de manera sencilla el método
numérico de Runge-Kutta y la implementación de los sistemas numéricos en el
computador.
El trabajo se encuentra estructurado de la siguiente manera: en primer lugar
se presenta las ecuaciones diferenciales ordinarias, luego el método numérico de
Runge-Kuta de segundo orden y de tercer orden, seguidamente algoritmos para la
resolución de ejercicios en el computador; esquema de discretización del método
de Runge-Kutta de segundo orden y de tercer orden y por último las aplicaciones
del método de Runge-Kutta.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de
una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes
respecto de las que se deriva,
Las ecuaciones diferenciales se dividen en:
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: aquellas que contienen derivadas
respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en Derivadas Parciales: aquellas que contienen derivadas
respecto a dos o más variables.
Orden
El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada más alta contenida
en ella.
Grado
El grado de una ecuación diferencial es una potencia a la que esta elevada la
derivada más alta, siempre y cuando la derivada este dada en forma polinomial.
Hay otra clasificación importante de las ecuaciones diferenciales ordinarias la
cual se basa en si éstas son lineales o no lineales. Se dice que la ecuación
diferencial.
Es lineal cuando F es una función lineal en las variables y,y´,y(n). Por lo
tanto, la ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n es 3.La ecuación que no
es de la forma (3), es una ecuación no lineal.
Un problema físico sencillo que de origen a una ecuación diferencial no lineal es el
péndulo oscilante.
Ecuación Diferencial Lineal
La forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n es como
sigue:
an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x) dxn dx n-1 dx
Recuérdese que linealidad quiere decir que todos los coeficientes solo son
funciones de x, y que y todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia.
Entonces, cuando n = 1, la ecuación es lineal y de primer orden.
Ordinarias Tipo Parciales Primer grado Orden Segundo grado Tercer grado Orden n
Grado Lineales
Las ecuaciones diferenciales contienen derivadas de una o más
variables dependientes con respeto a una sola variable
independiente
Las ecuaciones diferenciales contiene derivadas de una o más
variables dependientes con respeto a dos o más variables
independiente
F= (x, y, y’)=0 (dy/dx)
F=(x, y, y’, y’’) =0 (dy /dx )
F=(x, y, y’, y’’, y’’’)=0
F=(x, y, y’………………. y(n))=0
a) Las variables independientes y y todos sus
derivados son de primer grado.
b) Cada coeficiente de y y sus derivados
dependen solamente de la variable
independiente x (puede ser constante)
Ecuaciones diferenciales Solución:
Se define como una relación sin derivadas entre las variables que satisface
a la ecuación
Solución Particular:
Se obtiene de la primitiva dando valores definidos a las constantes
arbitrarias (Ecuación de una curva llamadas curvas integrales de la ecuación
diferencial)
Solución General:
Solución que contiene todas o casi todas sus soluciones (primitiva).
Interpretación Geométrica:
Las ecuaciones diferenciales se expresan geométricamente mediante la
interpretación de un problema mediante trazos en una recta. Así a cada punto
del plano le corresponde una pendiente.
Trayectorias:
Cualquier curva que corte a cada uno de los miembros de una familia dada
de curvas bajo un ángulo constante w, se llama una trayectoria w de la familia.
La trayectoria de intersección, que forma un ángulo de 90º de una familia y
sus pendientes son perpendiculares entre si se denomina “Trayectoria
Ortogonal”.
Para hallar las trayectorias ortogonales se utilizara las curvas integrales de
la ecuación diferencial:
f(x,y, y´-tgw/1+y`tgw)=0
Existencia:
Se dice que hay existencia cuando existe una solución real para la
expresión y se cumplen las siguientes condiciones:
Continuidad de f(x,y) en R
Acotamiento de f(x,y) por R
Unicidad:
Se dice que existe unicidad, cuando se cumple lo siguiente:
Continuidad de f(x,y) y ȭ f/ ȭ y en R
Acotamiento de f(x,y) y ȭ f/ ȭ y por R
Aunque existen excepciones donde solo se cumple una de las condiciones
o ninguna de las dos.
Campo Direccional:
Al conjunto de los segmentos que resultan de la terna (x,y,y´)
Métodos de Runge-Kutta
Los Runge-Kutta no es sólo un método sino una importante familia de
métodos iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar las soluciones
de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s), estas técnicas fueron
desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé
Runge y Martin Wilhelm Kutta
El objetivo de los métodos numéricos de Runge-Kutta, es el análisis y
solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias
(EDO), estos son una extensión del método de Euler para resolver las (EDO’S),
pero con un orden de exactitud más alto que este.
La convergencia lenta del método de Euler y lo restringido de su región de
estabilidad absoluta nos lleva a considerar métodos de orden de convergencia
mayor. El método de Euler se mueve a lo largo de la tangente de una cierta curva
que esta "cerca" a la curva desconocida o buscada. Los métodos Runge-Kutta
extienden esta idea geométrica al utilizar varias derivadas o tangentes
intermedias, en lugar de solo una, para aproximar la función desconocida. Los
métodos Runge-Kutta más simples se obtienen usando dos de estas derivadas
intermedias.
Los métodos de Runge-Kutta mejoran la aproximación del método de Euler
para resolver de modo aproximado el P.V.I. y' = f(t, y), y(t0) = y0, sin necesidad
de calcular derivadas de orden superior.
Recordemos que, de acuerdo con la teoría, la expresión general de los
métodos explícitos de las etapas de Runge Kutta es:
Donde a ij = 0 para j ≥ i y = C i
Fundamento
Al resolver un PVI o un PF, el objetivo es hallar una función y(t) que verifique
en [a,b] los requisitos del problema. Conscientes de la imposibilidad de obtener
una fórmula que exprese y(t), nos contentaremos con obtener los valores que la
solución toma en algunos puntos de [a,b]; es decir, obtendremos una tabla de
valores de y(t) en [a,b]. Esto puede parecer, a primera vista, frustrante, pero para
la mayor parte de las necesidades reales es completamente suficiente; pensemos
que realmente, incluso para una función expresada mediante una fórmula, un
ordenador solo puede dar sus valores en un número finito de puntos, ya que
maneja un número limitado de cifras. El valor de la solución en un punto “C”
distinto de los considerados se obtiene mediante interpolación, o resolviendo de
nuevo el problema en el intervalo [a,c].
Así, una técnica de solución consiste en dividir el intervalo [a,b] mediante una
malla de puntos a = t0 < tl < … < tn = b, llamados puntos soporte, y obtener los
valores yi = y(ti), i = 1, 2, …, n, de la solución en los puntos de la malla.
Una manera frecuente y sencilla (no la mejor en todos los casos) de tomar
los ti, consiste en dividir el intervalo [a,b] en n partes iguales, siendo n un natural.
Así, los puntos son ti = a + ih, i = 0, …, n. Al valor h =(b - a)/n se lo denomina paso
de integración. Utilizaremos en lo sucesivo paso constante en todos los casos.
Sin embargo, las técnicas más eficientes requieren de un ajuste adaptativo
del paso, acomodándose continuamente al comportamiento de la solución en las
cercanías del punto de cálculo actual; por ejemplo, si se sospecha que la solución
es rápidamente variable será necesario disminuir el paso, lo que supone realizar
más operaciones y estar sujeto a errores de redondeo; pero si la solución varía
poco, con pasos más largos se obtendrán buenas aproximaciones y se ahorrará
esfuerzo computacional y evitará innecesarios errores de redondeo.
Los métodos de Runge-Kutta logran la exactitud del procedimiento de una
serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas
variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la
ecuación:
yi + 1 = yi + φ(xi,yi,h)h
Donde φ(xi,yi,h) es conocida como función incremento, la cual puede
interpretarse como una pendiente representativa sobre el intervalo.
Donde las a son constantes y las k son:
k1 = f(xi,yi)
k2 = f(xi + p1h,yi + q11k1h)
k3 = f(xi + p2h,yi + q21k1h + q22k2h)
Observe que las k son relaciones de recurrencia, esto es, k1 aparece en la
ecuación para k2, la cual aparece en la ecuación para k3, etc.
Como cada k es una evaluación funcional, esta recurrencia hace que los
métodos Runge-Kutta sean eficientes para la programación. Existen varios tipos
de métodos Runge-Kutta al emplear diferentes números de términos en la función
incremento como la especificada por n.
n = 1, es el método de Euler. Una vez se elige n, se evalúan las a, p y q al
igualar la función incremento a los términos en la serie de Taylor
Condiciones de Orden
Los métodos de Runge-Kutta son métodos de un paso con función de
incremento
Si hacemos hn = 0, entonces ki = f(xn,yn) para todo i = 1,2,...,s. Así,
Por tanto, un método de Runge-Kutta es consistente si y solo si
Por otra parte, puesto que las etapas ki son evaluaciones de la función f, no
es difícil convencerse de que φ satisface una condición de Lipschitz con respecto
a su segunda variable si f satisface una condición de Lipschitz en y. Así pues, la
condición de consistencia es suficiente para garantizar la convergencia. Veamos
que también es necesaria.
Teorema
Un método de Runge-Kutta es convergente si y solo si es consistente.
Prueba
Si es convergente, en particular lo es para el problema
y'(x) = 1, y(0) = 0,
Cuya solución es y(x) = x. El método, aplicado a este problema con paso fijo
h, se reduce a
yn+1 = yn+h
Tomando como valor de arranque y0 = 0 tenemos que la solución numérica
viene dada por
yn = nh = xn
Por tanto
y(xn) − yn = xn
La solución numérica converge a la teórica si y solo si se cumple la condición
de consistencia.
Métodos de Runge-Kutta de 2do. Orden
El método de Runge Kutta es un método numérico de resolución de
ecuaciones diferenciales que surge como una mejora del método de Euler. El
método de Euler se puede considerar como un método de Runge Kutta de primer
orden, el de Heun, es un método de Runge Kutta de orden dos.
La expansión en serie de Taylor de una función y(x) alrededor de un punto
x=x0 , truncada en el tercer término, es decir, en la segunda derivada
0
2
00 ''2
' xyh
xhyxyxy
0xxh
Tamaño del paso
Esquema de Discretización del Método de Runge-Kutta de orden 2:
yi es la coordenada “y” del punto anterior
xi es la coordenada “x” del punto anterior
F(xi,yi) es la derivada evaluada en el punto anterior
F(xi+h/2,yi+k1/2) es la derivada evaluada en el punto anterior con el cambio de
variable
Ecuación diferencial de segundo orden
Vamos a aplicar el procedimiento de Runge-Kutta a una ecuación diferencial de
segundo orden.
Con las condiciones iniciales
2,
2
11
ky
hxhFyy iiii
),(1 ii yxhFk
hxx ii 1
Una ecuación diferencial de segundo orden es equivalente a un sistema de
dos ecuaciones diferenciales de primer orden, por lo que aplicaremos el mismo
esquema.
Comparando esta tabla con la de un sistema de dos ecuaciones diferenciales
de primer orden, vemos que la segunda columna es la misma, excepto por cambio
de nombre de la función, f en vez de g, y de la variable, v en vez de y. En la
primera columna, las variables k1, k2, k3, k4 pueden calcularse directamente sin
efectuar llamadas a una función.
Sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden
Sea el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden
Con las condiciones iniciales
Este sistema, se puede transformar en un sistema equivalente formado por
cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden. Aplicando dos veces el esquema
descrito para una ecuación diferencial de segundo orden, obtenemos el esquema
descrito en las siguientes tablas
Métodos de Runge-Kutta de 3er. Orden
La expansión en serie de Taylor de una función y(x) alrededor de un punto x
= x0, truncada en el cuarto término, es decir, en la tercera derivada
Tamaño del paso
Esquema de Discretización del Método de Runge-Kutta de orden 3:
0
3
0
2
00 '''6
''2
' xyh
xyh
xhyxyxy
0xxh
3211 46
1kkkyy ii
),(1 ii yxhFk
2,
2
12
ky
hxhFk ii
123 2, kkyhxhFk ii
hxx ii 1
Para i = 0,…, n-1. La solución se da a lo largo del intervalo (to, to+ hn).
Procedimiento de tercer orden
Para n = 3 es probable efectuar un desarrollo similar al del método de
segundo orden, el resultado son seis ecuaciones con ocho incógnitas, por lo tanto
se deben suponer dos valores de las incógnitas con antelación para poder
desarrollar el sistema de ecuaciones. Una versión ampliamente usada es:
Donde:
k1 = f (xi, yi)
k3 = f (xi + h, yi − k1h + 2k2h)
Si la EDO está en función solo de x, este método de tercer orden se reduce a
la regla de Simpson 1/3. En cualquier caso, los métodos de tercer orden tienen
errores local y global, y dan resultados exactos cuando la solución es una cubica.
Al tratarse de polinomios será también exacta cuando la ecuación diferencial sea
cubica y la solución sea de cuarto grado. Esto se debe a que la regla de Simpson
1/3 ofrece estimaciones exactas de la integral para cubicas.
La regla de Simpson 1/3 se puede expresar usando el formato de la
ecuación:
I≈ (b-a) f(x0) + 4f(x1) + f(x2)
. 6
Donde a=x0, b=x2 y x1= el punto a la mitad entre a y b, que está dado por:
(b+a)/2, el punto medio esta ponderado por dos tercios y los puntos extremos
por un sexto.
Tiene un error de truncamiento de:
Et:= - 1 (h) ˆ 5 f (4) (ξ) como h= (b-a)/2 entonces
. 90
Et:= - (b-a) ˆ 5 f (4) (ξ)
. 2880
Donde ξ se encuentra en algún lugar en el intervalo de [a, b].
Nota: ˆ: el símbolo indica que (b-a) esta elevado a la 5.
Ejercicios
Resolver la siguiente derivada a través del método de Runge-Kutta:
= 1 = 1
= 1
h= 0,2
Solución:
Método Range – Kutta 2do Orden para V1 y U1
Xi +1 = X0 + h
V1 = 1 + 0.2
V1= 1.2
K1Y = h*F ( Xi , Yi )
K1U = h * (V0 , U0)
K1U = 0.2 (1 , 1)
K1U = 0.2 *
K1U = 0.2 *
K1U = 0.4
U1 = U0 + h (V0 ; U0 + )
U1 = 1+ 0.2 (1 + ; 1 + )
U1 = 1 + 0.2 (1.1 ; 1.2)
U1 = 1 + 0.2
U1 = 1 + 0.2
U1 = 1,4843
Para V2 y U2
V2 = V1 + h
V2 = 1.2 +0.2
V2 = 1.4
K2U= h* F (V1 ; U1)
K2U = 0.2
K2U = 0.2
K2U = 0.6213
U2 = U0 + h * F
U2 = 1 + 0.2
U2 = 1 + 0.2 (1.3 ; 1.6843)
U2 = 1 + 0.2
U2 = 1 +0.2
U2 = 1.7256
Algoritmo Método Runge-Kutta de 2do Orden %Metodo Runge-Kutta de 2doOrden %dv/du=v+u^2/sprt(v) u=1; v=1; t=0; tmax=3; h=0.2; n=tmax-t/h; for i=1:n v(i+1)=v(i)+h k1=h*(v(i)+u(i)^2)/sqrt(v(i)) u(i+1)=u(i)+h*((v(i)+h/2)+(u(i)+k1/2))/sqrt(v(i)) end %graficas% subplot (3,2,1); plot(u,v,'y-o'); title('Metodo Runge-Kutta 2doOrden. u vs v'); xlabel('valores u'); ylabel('valores v'); legend('v real, u aprox')
To get started, type one of these: helpwin, helpdesk, or demo.
For product information, type tour or visit www.mathworks.com.
»
v = 1.0000 1.2000
k1 = 0.4000
u = 1.0000 1.4600
v = 1.0000 1.2000 1.4000
k1 = 0.6083
u = 1.0000 1.4600 2.0194
v = 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000
k1 = 0.9260
u = 1.0000 1.4600 2.0194 2.6926
1 1.5 2 2.5 31
1.5
2Metodo Runge-Kutta 2doOrden. u vs v
valores u
valo
res v
v real, u aprox
Grafico Método Runge Kutta 2do Orden
Solución Mediante Método de Runge – Kutta 3er Orden.
V1 = 1.2 V2 = 1.4
K1U = 0.4 K2U = 0.6213
U1 = 1.4843 U2 = 1.7256
K2U = h * F ( Xi + ; Yi + )
K2U = h (V0 + , U0 + )
K2U = 0.2 (1 + , 1 + )
K2U = 0.2 (1.1 ; 1.2)
K2U = 0.2
K2U = 0.2
K2U = 0.4843
K3U = h * F (Xi + h, Yi + 2K2Y)
K3U = 0.2 (V0 + h , U0 + 2K2U)
K3U = 0.2 (1+ 0.2 ; 1 + 2 (0.4843))
K3U = 0.2
K3U = 0.2
K3U = 0.9266
Y1 = Y0 + (K1y + 4K2Y + K3U)
U1 = U0 + (K1U + 4K2U + K3U)
U1 = 1 + (0.4 + 4(0.4843) + 0.9266)
U1= 1.5439
Algoritmo Método Runge-Kutta de 3er Orden %Metodo Runge-Kutta de 3er Orden %dv/du=v+u^2/sprt(v) u=1; v=1; t=0; tmax=3; h=0.2; n=tmax-t/h; for i=1:n v(i+1)=v(i)+h k1=h*(v(i)+u(i)^2)/sqrt(v(i)) k2=h*((v(i)+h/2)+(u(i)+k1/2)^2/sqrt(1+h/2)) k3=h*((v(i)+h)+(u(i)+2*k2-k1)^2/sqrt(v(i)+h/2)) u(i+1)=u(i)+(1/6)*(k1+(4*k2)+k3) end %graficas% subplot (3,2,1); plot(u,v,'r-o'); title('Metodo Runge-Kutta 2doOrden. u vs v'); xlabel('valores u'); ylabel('valores v'); legend('v real, u aprox')
To get started, type one of these: helpwin, helpdesk, or demo. For product information, type tour or visit www.mathworks.com.
» v = 1.0000 1.2000 k1 = 0.4000 k2 = 0.4946 k3 = 0.7216 u = 1.0000 1.5167
v = 1.0000 1.2000 1.4000 k1 = 0.6391 k2 = 0.9029 k3 = 1.5432 u = 1.0000 1.5167 2.4823
v = 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 k1 = 1.2782 k2 = 2.1580 k3 = 5.2959 u = 1.0000 1.5167 2.4823 5.0167
0 2 4 61
1.5
2Metodo Runge-Kutta 2doOrden. u vs v
valores u
valo
res v v real, u aprox
Grafico Metodo Runge Kutta 3er Orden
Sistema de Ecuaciones Diferenciales
Resolver Numéricamente:
PVI
Esquema de Discretización del Método de Runge-Kutta de Orden 2 Para
Sistemas de EDO:
hxx ii 1
1 ( , , )y i i ik hF x y z
1
1 1, ,2 2 2
y zi ii ii
k khFy x yy h z
1 ( , , )z i i ik hG x y z
11 1, ,
2 2 2
zi ii i i
kz z h
khG x y z
Esquema de Discretización del Método de Runge-Kutta de Orden 3 Para
Sistemas de EDO:
Aplicaciones del Método de Runge-Kutta
Aplicaciones a la Física:
Movimiento Armónico Simple:
La Ley de Hooke:
Supongamos que un cuerpo de masa M está sujeto al extremo de un resorte
flexible suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra
en la figura 5.1b. Cuando M se reemplaza por un cuerpo diferente Mi, el
alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto.
1 1 2 3
14
6i i y y yy y k k k
hxx ii 1
1 ( , , )y i i ik hF x y z1 1
2 , ,2 2 2
y zy i i i
k khk hF x y z
3 2 1 2 1, 2 , 2y i i y y i z zk hF x h y k k z k k
1 ( , , )z i i ik hG x y z 1 12 , ,
2 2 2
y zz i i i
k khk hG x y z
3 2 1 2 1, 2 , 2z i i y y i z zk hG x h y k k z k k
1 1 2 3
14
6i i z z zz z k k k
Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F
opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en
términos simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad.
Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal
elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero k. Por ejemplo,
si un cuerpo que pesa 10lb. alarga el resorte en 1/2 pie, entonces,
10 = k (1/2) implica que k = 20 lb/pie.
Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. alarga el mismo resorte en
2/5 pie.
Segunda Ley de Newton:
Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una
magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W es
equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:
W = m . g
En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geolibras (slugs)
y g = 9.8 mt/s², p80 cm/s² o 32pie/s², respectivamente. Tal como se indica la figura
5.2b,la condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se
desplaza de su posición de equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la
fuerza neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley
del movimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleración d²w/dt².
Suponiendo que sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores (movimiento
vibratorio libre), entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de
restitución:
md²x/dt² = - k (s + x) + mg
= - kx + mg - ks = - kx
Cero
Aplicaciones del Método Runge-Kutta a la Industria
Martínez, Liliana Ángeles. Dimensionamiento y Simulación de un secador por
aspersión de nivel piloto. Tesis presentada para obtener el Titulo de Maestro en
Ciencias en Bioprocesos. Instituto Politécnico Nacional. Unidad Profesional
Interdisciplinaria Biotecnología.
En: www.biotecnologia.upibi.ipn.mx/recursos/posgrado/Tesis/mc_langeles.pdf
Caiza, Luis.; Sandoval, Marcelo Francisco. , Quintero Montoya, Olga L.
Modelo de Simulación de una Columna de Destilación Binaria basada en Métodos
Numéricos. Colegio Politécnico de la Universidad de San Francisco de Quito,
Cumbayá Quito – Ecuador.
En. http://dspace.epn.edu.ec/bitstream/123456789/1455/1/P26.pdf
Implementación de Sistemas Numéricos en el Computador
El computador funciona básicamente con datos numéricos, es decir que todo
lo que se trabaja en el computador, ya sean: gráficos, dibujos, palabras, sonido,
video, es convertido a información numérica.
Sistema Decimal
Este sistema consta de diez símbolos, que van desde el numero 0 hasta el
numero 9, los cuales le dan la característica principal este sistema conocido. Estos
símbolos numéricos también forman unidades numéricas compuestas, al tomarlos
como exponentes de un número, que se encargara de regular el procedimiento,
este número es llamado base. El numero base va a ser 10, por tal motivo también
es conocido como “sistema de numeración en base 10”.
Sistema Binario
Este es un sistema numérico que utilizan los sistemas digitales para contar.
Se dice “binario” a aquello que tiene dos partes. Muchas cosas en los sistemas
digitales son binarias: los impulsos eléctricos que circulan en los circuitos son de
baja o alta tensión. A diferencia del sistema decimal que utiliza 10 cifras del “0 al
9”, el sistema numérico binario utiliza solo dos cifras el “0 y el 11”. En el sistema
binario las columnas no representan la unidad, la decena, la centena, como en el
sistema decimal, si no la unidad (20), el doble (21), el doble (22). De modo que al
sumar en la misma columna 1 y 1, dará como resultado 0, llevándonos 1 a la
columna de la izquierda. Para los sistemas digitales es fácil, hasta el punto que
reduce todas las operaciones a sumas y restas de números binarios. También las
palabras, los números y los dibujos se traducen en el computador en secuencias
de 1 y 0.
Sistema de numeración Octal
Este sistema consta de ocho símbolos desde el “0 hasta el 7”, es muy poco
utilizado en los computadores. La facilidad con la que se pueden convertir entre el
sistema octal y el binario, hace que el sistema octal sea atractivo como un medio
“taquigráfico” de expresión de números binarios grandes. Cuando se trabaja con
gran cantidad de números binarios de muchos bits, es más adecuado y eficaz
escribirlos en octal y no en binarios.
Sistema de Numeración Hexadecimal
Este sistema consta de 16 símbolos donde desde el 0 hasta el 9 son
números y del 10 hasta el 15 son letras. La ventaja de este sistema de numeración
es que se utiliza para convertir directamente números binarios de 4 bits. En donde
un solo digito hexadecimal puede representar 4 números binarios o 4 bits
Conclusión
Finalmente y para concluir se determino que: la resolución de problemas de
ingeniería está asociada, por lo general, a resultados numéricos puesto que se
requieren respuestas prácticas.
La mayor parte de las leyes científicas de expresan en términos de rapidez
de variación de una variable con respecto otra.
Además proporcionan una herramienta esencial para modelar muchos
problemas en Ingeniería, Física, Economía y Biología, puesto que estos, por lo
general, requieren la determinación de una función que satisface a una ecuación
diferencial.
El Método de Runge Kutta es mejor que el método de Euler, pero aún así es
posible aumentar la precisión achicando los pasos entre los puntos o
implementando el método de orden superior.
Es el método más utilizado para resolver numéricamente problemas de
ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el método de
Runge-Kutte, el cual proporciona un pequeño margen de error con respecto a la
solución real del problema y es fácilmente programable en un software para
realizar iteraciones necesarias.
El dominio de los métodos numéricos, en combinación con las capacidades y
potencialidades de la programación de computadoras resuelve problemas de
ingeniería de manera más fácil y eficientemente.
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
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Interamericana de México, S.A. México.
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