Upload
rizky-astri-wulandari
View
20.986
Download
11
Embed Size (px)
DESCRIPTION
trigonometri
Citation preview
Nama kelompok:@tensesfo
CHRISTIAN FREDERIC PMAUDIA ARDANTI
MAWAHDAHM. BARRY ALDAFFA
M.GUSTI RAMARIZKY ASTRI WULANDARI
SAHARA OKTAVIAWATIYENIKA FIBRIANITA
Trigonometri• Pengertian Trigonometri• Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang
matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik sepertisinus, cosinus, dan tangen.
• Trigonometri adalah bagian dari ilmu matematika yang mempelajari tentang hubungan antara sisi dan sudut suatu segitiga serta fungsi dasar yang muncul dari relasi tersebut. Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga siku-siku. trigonometri identik dengan fungsi trigonometri yang meliputi sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec), secan (sec), dan cotangen (cotan) yang kesemuanya merupakan cara untuk menentukan suatu sisi sebuah segitiga atau sudut yang terbentuk dari dua buah sisi dalam sebuah segitiga.
• Trigonometri merupakan ilmu matematika yang sangat penting dalam kehidupan. Aplikasi ilmu trigonometri dalam kehidupan mencangkup segala bidang seperti astronomi, geografi, teori musik, elektronik, ekonomi, medical, teknik, dan masih banyak lagi. Dengan trigonometri kita bisa mengukur jarak suatu bintang diangkasa tanpa harus pergi kesana. Dengan trigonometri kita bisa mengukur sudut ketinggian tebing tanpa harus memanjatnya. Bisa mengukur lebar suatu sungai tanpa harus menyeberanginya. Itulah manfaat dari mempelajari trigonometri dalam kehidupan sehari-hari.
• Trigonometri adalah sebuah konsep. Hal pertama yang perlu dimengerti dalam memahami konsep dasar trigonometri adalah mengetahui, mengerti dan memahami bentuk dan rumus-rumus sebuah segitiga, terutama segitiga siku-siku. Pada dasarnya sebuah segitiga selalu terdiri dari 3 sisi, yaitu sisi miring, sisi samping, dan sisi depan. Dan tiga buah sudut yaitu sudut tegak lurus, sudut depan dan sudut samping. Dimana jika di tambahkan jumlah sudut sebuah segitiga haruslah 180 derajat.
Tujuan Mempelajari TrigonometriAdapun pemanfaatan trigoneometri dalam kehidupan sehari-hari, antara lain:
• untuk menemukan nilai sebuah sudut atau panjang sebuah sisi sebuah segitiga.• Untuk menghitung sudut serang (angle of attack) yang paling optimal dari suatu
peluncur senjata agar mampu melontarkan projektil sejauh mungkin. • Untuk menghitung berapa "lift force" suatu sayap profil pesawat, dengan
kecepatan tertentu, yang tidak boleh dilewati. Bila nilai ini dilewati, maka pesawat akan mengalami stall (jatuh karena tidak memiliki daya angkat), khususnya perhitungan ini diperlukan pada pesawat pemburu.
• Pada olah gerak teknis kapal selam dibawah air, dengan mengetahui sudut hidroplane depan dan belakang, menginterpolarisasikannya dengan kecepatan kapal, kita lalu dapat memperkirakan berapa kita harus mengisi compensating tank agar kapal welltrimm pada kecepatan tersebut.
• Mengukur luas atau keliling tanah.• untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk
menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.
Trigonometri
Sudut
sudut sudut
Sudut sebagai bentuk (tidak berarah)
Dua sinar garis dengan titik pangkal yang berimpit membagi bidang menjadi dua bagian, masing-masing dinamakan sudut
Arah positifArah negatif
Sudut sebagai gerak putar (berarah)A
B
4
Trigonometri
Sudut
Kedudukan Standar dari Sudut
∠AOB=30°∠AOC=150°∠AOD=225°-360°=-135°
X
Y
BC
D
AO
5
Trigonometri
Sudut
Ukuran Sudut : Derajat
1° = 1/360 putaran 360° = 1 putaran
¼ putaran = ¼ x 360°6
Trigonometri
Sudut
Ukuran Sudut : Derajat
Contoh Soal
Tentukan ukuran sudut berikut dalam satuan derajata. ½ putaranb. ¼ putaran
Jawab :c. ½ putaran = ½ x 360° = 180° d. ¼ putaran = ¼ x 360° = 90°
7
Sudut
Ukuran Sudut : Radian
∠POQ=Panjang PQ radian r
Besar sudut satu putaran penuh = keliling lingkaran radian
jari-jari=2 π r radian = 2π radian r
Besar sudut ½ putaran = π radian Besar sudut ¼ putaran = ½ π radianJika panjang busur PQ=r, maka besarsudut POQ = 1 radian.1 radian = besar sudut pusat lingkaran yang panjang busurnya r.
P
Q
O
r
r
r
8
Sudut
Hubungan Satuan Derajat dan radian
Jika Sudut satu putaran penuh = 360°= 2π radian,Maka 180°= π radian.
Contoh Soal 1. Ubahlah 90° ke dalam satuan radian2. Ubahlah ½ π radian ke dalam satuan derajat3. Ubahlah ¼ radian ke dalam satuan derajat
Jawab :a. 90° = 90 x π/180 rad = ½ π radb. ½ π rad = ½ π x 180°/ π = 90°c. ¼ rad = 1/4 x 180°/ π = 45°/ π
1°= π rad atau 1 rad = 180° = 57,3° 180 π
9
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-sikuA.Panjang sisi-sisi suatu segitiga
• Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan a• Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan b• Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan c• Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan • c2 = a2 + b2
Besar sudut pada segitiga• Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah`
• Perbandingan pada sisi-sisi segitiga
Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus :
Contoh : Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4, b = 3.
Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus (00, 300, 450, 600, 900)
Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut ( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)
Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran
• Sudut dalam kuadran I terletak antara 0o dan 90o (0° < x < 90°), semua bernilai positif • Sudut dalam kuadran II terletak antara 90o dan 180o (90° < x < 180°), hanya nilai sinus yang positif
(cosinus dan tangent bernilai negatif)• Sudut dalam kuadran III terletak antara 180o dan 270o (180° < x < 270°), hanya nilai tangen yang positif
(cosinus dan sinus bernilai negatif)• Sudut dalam kuadran IV terletak antara 270o dan 360o (270° < x < 360°), hanya nilai cosinus yang positif
(sinus dan tangent bernilai negatif.Untuk memudahkan mengingatnya kita dapat menggunakan kalimat semua sindikat tangannya kosongmaksudnya adalah semua, sinus, tangent dan cosinus
Dikuadran ITitik A(x,Y) dikuadran IAbsis positif rA(x,y)Ordinat positif
positifx
yTan
positifr
xCos
positifr
ySin
Dikuadran II• Titik A(-x,y) dikuadran II• A(-x,y)• Absis negatif Ordinat positif
negatifx
yTan
negatifr
xCos
positifr
ySin
Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di semua kuadran.
Rumus di kuadran I
Rumus di kuadran II
Rumus di kuadran III
Rumus sudut negatif
Rumus sudut lebih dari 3600
CotgTan
Cos
Sin
)90(
sin)90(
cos)90(
CotgTan
SinCos
CosSin
)90(
)90(
)90(
TanTan
CosCos
SinSin
)180(
)180(
)180(
CotgTan
SinCos
CosSin
)270(
)270(
)270(
CotgTan
SinCos
CosSin
)270(
)270(
)270(
TanTan
CosCos
SinSin
)(
)(
)(
TankTan
CoskCos
SinkSin
)360.(
)360.(
)360.(
Contoh : Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya
2. Cos 2250 = Cos (2700 – 450) = -Sin 45
=
3. Sin 7500 = = Sin (2.3600 + 300) = Sin 300
=
32
1 32
11. Sin 1200 = Sin (900 + 30)
=
Atau Sin 1200 = Sin (1800 – 600)= Sin 600 =
22
1
2
1
TABEL LENGKAP NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA KUADRAN 1,2,3,4
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
• Sin x = Sin pX1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2
X2 = (180 – p) + k.360 x2 = ( - p) + k.2
• Cos x = Cos pX1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2
X2 = -p + k.360 x2 = -p + k.2
• Tan x = Tan pX1 = p + k.180 atau x1 = p + k.
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian a. Sin x = Sin 200 x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 20
k = 1 x2 = 20 + 360 = 380 (tidak memenuhi)
X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0 x2 = 160 Jadi HP = {20, 160}
IDENTITAS TRIGONOMETRI
Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :
1. Sin2x + Cos2x = 1
Sin2x = 1 – Cos2xCos2x = 1 – Sin2x
2. 1 + tan2x = sec2x
1 = sec2x – tan2xTan2x = sec2x – 1
3. 1 + cotg2x = cosec2x
1 = cosec2x – cotg2xCotg2x = cosec2x – 1
SinX = Sin put, maka: X₁= put + k.360⁰
X₂= (180⁰ - p)+ k.360⁰
CosX= Cos put, maka: X₁= put + k.360⁰
X₂= (-p) + k.360⁰
CosX = Cos put, makaX= put + k.180⁰
Contoh : 1. Buktikan bahwa 5 tan2x + 4 = 5 sec2x – 1
Jawab :5 tan2x + 4 = 5 (sec2x – 1) + 4
= 5 sec2x – 5 + 4 = 5 sec2x – 1 (terbukti)2. Buktikan bahwa 3 cos2x + 3 sin2x = 3
Jawab :3 cos2x + 3 sin2x = 3 (cos2x + sin2x)
= 3 . 1 = 3 (terbukti)
LUAS SEGITIGA
1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui :
Luas = ½ b.c. sin A Luas = ½ a.b. sin C Luas = ½ a.c. sin B
2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui:
3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui
s = ½ . Keliling Segitiga = ½ (a + b + c)
Contoh : Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm.
Sudut C = 450
Jawab :L = ½ a.b.sin C = ½ 5.8.sin 450
= 20. ½ = 10
Penerapan Trigonometri
Sudut Elevasi: sudut antara garis pandang dan garis mendatar ketika pengamat melihat ke atas.
Sudut Depresi: sudut antara garis pandang dan garis mendatar ketika pengamat melihat ke bawah.
1. Seorang siswa akan mengukur tinggi sebuah pohon yang berjarak 6 meter dari dirinya. Ia melihat puncak pohon dengan sudut elevasi 300. Jika tinggi anak 1,6 meter, maka tinggi pohon adalah…. Pembahasan
Perhatikan BDE. tan 300 = DE = 6 . tan 300 DE = 6 . 0,577DE = 3,46 meter
Panjang DE = 3,462 meterTinggi anak = 1,60 meterTinggi pohon = 3,462 m + 1,60 m = 5,062 meter = 5,1 meter.Jadi, tinggi pohon adalah 5,1 m
2. Sebuah tiang bendera berdiri tegak pada tepian sebuah gedung bertingkat. Dari suatu tempat yang berada di tanah, titik pangkal tiang bendera terlihat dengan sudut elevasi 300 dan titik ujung tiang bendera terlihat dengan sudut elevasi 600 . Jika jarak horizontal dari titik pengamatan ke tepian gedung sama dengan 10 m. Berapa meter tinggi tiang bendera tersebut?
Sketsa Gambar!!
A B
C
D
600300
300
?
10m
m
32
2. Membuat Grafik Fungsi Trigonometri
a. Grafik y = sin xo , 00 ≤ X ≤ 3600
x 0 30 90 150 180 210 270 330 360
y 0 ½ 1 ½ 0 -1/2 -1 -1/2 0
33
1
0
-1
90 0 180 0
270 0
360 0
Y = sin xy
x
34
b. Grafik y = Cos xo ; 00 ≤ X ≤ 3600
x 0 60 90 120 180 240 270 300 360 y 1 1/2 0 1/2 -1 - 1/2 -1 1/2 1
1
0
-1
90 0180 0
270 0
360 0
Y = Cos x
36
c. Grafik y = tg xo
x 0 45 90 135 180 225 270 315 360
y 0 1 ∞ -1 0 1 ∞ 1 0
37
1
0
-190 0 180 0
270 0
360 0
Y = Tg x
45 0
315 0135 0
225 0
Uji kompetensi 8.1
Latihan uji kompetensi 8.docx