Ud4 geometria aktibitate bateria

MATEMATIKA I IBATXILERGOA

UD4: GEOMETRIA

UD4:GEOMETRIA - H1

1.1. Puntuaren adierazpena:

1. Puntua, zuzena eta planoen adierazpen matematikoa

O jatorria ezarrita, espazioko edozein X puntuk OX bektorea zehazten du. Orokorrean, A puntua adierazteko beraz bektorearen 3 koodenadak erabiliko ditugu;

Puntuaren adierazpena

UD4:GEOMETRIA - H1

Zuzenki baten erdiko puntua:


Adibidez; Bila ezazu bi puntu hauek osatzen duten zuzenkiaren erdipuntua; A (1,2,4) eta B (2, -1, 2)


UD4:GEOMETRIA - H1

Puntu baten simetrikoa beste puntu batekiko:


Adibidez; Bila ezazu A puntuaren simetrikoa B puntuarekiko; A (1,2,4) eta B (2, -1, 2)


UD4:GEOMETRIA - H1

1.2. Zuzenaren adierazpena:


Zuzen baten adierazpenarako ekuazioak zehazteko, beharrezkoak dira gutxienez PUNTU BAT eta BEKTORE BAT.Demagun puntu bat eta bektore bat;

Zuzenaren adierazpena

EKUAZIO BEKTORIALA:

EKUAZIO PARAMETRIKOAK:

UD4:GEOMETRIA - H1


Zuzenaren adierazpena

EKUAZIO JARRAITUAK:

EKUAZIO INPLIZITUAK:Aurreko ekuazioetatik binaka berdinketak askatzen baditugu, honelako itxurako ekuazioetara iritxiko gara;

UD4:GEOMETRIA - H1

1.3. Planoaren adierazpena:


Plano baten adierazpenarako ekuazioak zehazteko, beharrezkoak dira gutxienez PUNTU BAT eta BI BEKTORE.Demagun puntu bat eta bi bektore;

Planoaren adierazpena

EKUAZIO BEKTORIALA:

EKUAZIO PARAMETRIKOAK:

UD4:GEOMETRIA - H1


Planoaren adierazpena

EKUAZIO INPLIZITUA:Aurrekotatik eragiketa hau egitearen ondorioz bila daitezke;

PLANO BATEN BEKTORE NORMALA (EDO ELKARTUA):

Aurreko ekuazioa duen plano bat emanda, planoaren bektore normala edo elkartua deitzen zaio honako bektoreari:

Honek aukera berri bat eskeintzen digu plano bat bilatzeko planoko puntu bat eta bektore normala ezagutu ezkero.

UD4:GEOMETRIA - H1

1.4. Zuzen bat eta plano baten arteko ebakidura: puntu bat.


Demagun zuzen bat eta plano bat ematen dizkigutela. Pauso hauek jarraituz kalkulatu dezakegu ebaki puntua;

r ∩ π A

1. Zuzenaren ekuazio parametrikoak bilatu.2. Planoaren ekuazio inplizitua bilatu.3. Zuzenaren x, y, z balioak planoaren ekuazioan

ordezkatu eta λ askatu.4. λ horren balioa x, y eta z ezezagunetan

ordezkatuz, A puntua lortzen dugu.

Adibidea; Kalkula ezazu r zuzena eta π planoaren arteko ebaki puntua;

UD4:GEOMETRIA – H2

2.1. Bi zuzenen arteko posizio erlatiboak:

2. Posizio erlatiboak

Posizio erlatiboak

Demagun bi zuzen ditugula:

Beraiekin honako matrizea osatuko dugu:

Matrize hauen heinak kontutan izanik:

Heina(M) Heina (M/N) Sistema Posizio erlatiboa Irudia

2 3 Bateraezina

Elkar gurutzatu


2.1. Bi zuzenen arteko posizio erlatiboak:


Posizio erlatiboak


2 2 SBD Ptu batean ebaki

1 2 Bateraezina Paraleloak

1 1 SBI Bat datoz


2.2. Zuzen bat eta plano baten arteko posizio erlatiboak:


Posizio erlatiboak

Demagun zuzen bat eta plano bat ditugula:




2.2. Zuzen bat eta plano baten arteko posizio erlatiboak:


Posizio erlatiboak


3 3 SBD r ∩ π A

2 3 Bateraezina r // π

2 2 SBI r Є π


2.3. Bi planoen arteko posizio erlatiboak:


Posizio erlatiboak

Demagun bi plano ditugula:




2 2 SBI π1 ∩ π2 r


2.3. Bi planoen arteko posizio erlatiboak:


Posizio erlatiboak

Heina(M) Heina (M/N) Sistema Posizio erlatiboa

Irudia

1 2 Bateraezina π1 // π2

1 1 SBI π1 π2


2.4. Hiru planoen arteko posizio erlatiboak:


Posizio erlatiboak

Demagun hiru plano ditugula:




3 3 SBD Ptu batetan ebaki




Posizio erlatiboak


2 3 Bateraezina

π1 // π2 eta 3ak ebaki

Binaka ebakitzen dira




Posizio erlatiboak


2 2 SBI

π1 = π2 eta besteak zuzen batean

ebakitzen ditu.

3 planoek zuzen batean ebakitzen

dute elkar




Posizio erlatiboak

Heina(M) Heina (M/N)

Sistema Posizio erlatiboa Irudia

1 2 S BATERAEZINA

π1 = π2 // π3

π1 // π2 // π3




Posizio erlatiboak

Heina(M) Heina (M/N)

Sistema Posizio erlatiboa Irudia

1 1 SBI π1 = π2 = π3


3.1. Bektoreak:

3. Espazio euklidearra

Bektoreak

• Demagun v bektorea dugula;

V bektorearen modulu ala norma deitzen diogu honako zenbaki positiboari;

• Biderkadura eskalarra; (Bektoreen arteko angelua)

• Biderkadura bektoriala; • Modulua; biderkaduraren emaitza.• Norabidea; bi bektoreei elkartzuta.• Norantza; torlojuaren erregelaren araberakoa


3.2. Angeluak:

3. Espazio euklidearra

Angeluak

• Zuzenen arteko angelua;

vr eta vs bektoreen arteko angelua da.

• Zuzen baten eta plano baten arteko angelua;

vr eta n bektoreen arteko angelua da .

= 90º -

• Bi planoen arteko angelua;

n eta n bektoreen arteko angelua da.


4.1. A puntuak planoan duen proiekzio ortogonala:

4. Proiekzio ortogonalak

Proiekzio ortogonalak

Izanik; A eta , honako pausoak jarraituko ditugu:

1. An = vr

2. r ∩ A´ aurkitu.

r zuzena bilatu.

4.2. A puntuak r zuzenean duen proiekzio ortogonala:

Izanik; A eta r, honako pausoak jarraituko ditugu:

1. Avr = n

2. r ∩ A´ aurkitu.

r zuzena bilatu.


4.3. r zuzenak ala AB zuzenkiak planoan duen proiekzio ortogonala:

4. Proiekzio ortogonalak

Proiekzio ortogonalak

Izanik; r eta , honako pausoak jarraituko ditugu:

1. r ∩ P P´

2. R zuzeneko A puntu bat aukeratu.

3. A puntuaren proiekzioa bilatu; A´.

4. A´ eta P´ puntuetatik igarotzen den r´zuzena bilatu.


5.1. A puntuaren simetrikoa planoarekiko:

5. Simetriak

Simetriak

Izanik; A eta , honako pausoak jarraituko ditugu:

1. A puntuaren proiekzio ortogonala bilatu A´

2. A puntuaren simetrikoa A´-rekiko bilatu A´´

5.2. A puntuaren simetrikoa r zuzenarekiko:

Izanik; A eta r, honako pausoak jarraituko ditugu:

1. A puntuaren proiekzio ortogonala bilatu A´

2. A puntuaren simetrikoa A´-rekiko bilatu A´´


5.3. Zuzenki baten simetrikoa planoarekiko:

5. Simetriak

Simetriak

Izanik; AB eta , honako pausoak jarraituko ditugu:

1. A puntuaren proiekzio ortogonala bilatu A´ 2. A puntuaren simetrikoa A´-rekiko bilatu A´´3. B puntuaren proiekzio ortogonala bilatu B´ 4. B puntuaren simetrikoa A´-rekiko bilatu B´´5. A´´ eta B´´ puntuetatik igarotzen den zuzenkia.

5.4. A puntuaren simetrikoa r zuzenarekiko:

Izanik; r eta π, honako pausoak jarraituko ditugu:

1. P puntuaren simetrikoa P P´ P´´ 2. A puntuaren simetrikoa planoarekiko A´´3. A´´eta P´´ puntuetatik igarotzen den zuzena r´´


6.1. Bi puntuen arteko distantzia:

6. Espazio metrikoa

Distantziak

Izanik; A eta B, honako pausoak jarraituko ditugu:

6.2. A puntutik π planorainoko distantzia:

Izanik; A eta π, honako pausoak jarraituko ditugu:

Hala zuzenean:

6.3. Plano paraleloen arteko distantzia:

1. π planoaren A puntu bat aukeratu.2. A-ren proiekzioa bilatu -ren gainean A´3. AA´ distantzia kalkulatu.


6.4. Zuzen batetik puntu baterainoko distantzia:

6. Espazio metrikoa

Distantziak

1. A puntuaren proiekzioa bilatu r zuzenarengan. A´

2. A A´distantzia bilatu.

6.5. Zuzen batetik plano baterainoko distantzia (r // π):

1. r zuzeneko A puntu bat aukeratzen dugu.

2. A puntuaren proiekzioa bilatu π planorengan. A´


6.6. Bi zuzenen arteko distantzia (r // s):

1. r zuzeneko A puntu bat aukeratzen dugu.

2. A puntuaren proiekzioa bilatu s zuzenarengan. A´



6.7. Elkar gurutzatzen diren bi zuzenen arteko distantzia:

6. Espazio metrikoa

Distantziak

1. r zuzenari paraleloa den eta s zuzena barne duen π planoaren ekuazioa bilatu.

vr vs n s zuzeneko P puntua planoa bilatu

2. A Є r puntu bat aukeratu.

3. A eta π-ren arteko distantzia kalkulatu.

Education

Ud4 geometria aktibitate bateria