UNIDAD 7: UTILICEMOS LOS EXPONENTES.

Potenciación. La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero o cero. Exponentes Enteros Positivos En nuestros ejemplos de expresiones algebraicas, hemos utilizado símbolos tales

como y . Un símbolo como representa el producto , similarmente representa el producto . En general establecemos la siguiente definición.

Si es un número real arbitrario y es un entero positivo, definimos como el producto de factores iguales a . Es decir

En el símbolo , a se llama la base y el exponente o la potencia. También decimos que es elevado a la potencia .

Ejemplo

A partir de lo anterior podemos comprobar las siguientes propiedades básicas que satisfacen los exponentes enteros positivos. Si y son números reales arbitrarios y y son enteros positivos, entonces tenemos:

El siguiente razonamiento es una justificación de la primera de las propiedades mencionadas.

Se pueden hacer justificaciones similares para comprobar las otras dos propiedades.

Ejemplo

Exponentes enteros negativos.

La potencia de exponente negat ivo es la inversa de la potencia con el mismo exponente, pero posit ivo:

Ejemplo:

Un número elevado a −1, es el inverso de dicho número.

Ejemplo:

Propiedades de los exponentes:

PROPIEDAD DEL COCIENTE DE POTENCIAS

Cuando multiplica dos potencias con la misma base, Usted suma los exponentes. Así cuando divide dos potencias con la misma base, Usted resta los exponentes. En otras palabras, para todos los números reales a, b, y c, donde a ≠ 0,

Lo que realmente está haciendo es eliminar los factores comunes del numerador y del denominador. Ejemplo:

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN PRODUCTO

Cuando multiplica dos potencias con el mismo exponente, pero bases diferentes, las cosas se hacen un poco de forma distinta.

32 × 42 = (3 × 3) × (4 × 4)

Debido a las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, podemos reescribir esto como

32 × 42 = (3 × 4) × (3 × 4) = 122

En general, para todos los números reales a, b, y c (mientras que tanto a y c o tanto b y c no sean cero):

ac × bc = (ab)c

Para encontrar la potencia de un producto, ya sea que encuentre la potencia de cada factor y luego multiplique o multiplique los factores y eleve a la potencia el producto.

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN COCIENTE

Esta es bastante similar a la anterior. Por la eliminación de factores comunes, puede ver que:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Simplifique

Para todos los números reales a, b, y c (siempre que b ≠ 0, y a y c ambas no sean 0):

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UNA POTENCIA

La propiedad del producto de potencias puede ser desarrollada. Suponga que tiene un número elevado a una potencia, y multiplica la expresión completa por si misma una y otra vez. Esto es lo mismo que elevar la expresión a una potencia:

(53)4 = (53)(53)(53)(53)

Pero la propiedad del producto de potencias nos dice que

(53)(53)(53)(53) = 53 + 3 + 3 + 3 = 54(3) = 512

Así es suficiente con solo multiplicar las potencias!

En general, para todos los números reales a, b, y c,

(ab)c = abc.

Para encontrar una potencia de una potencia, multiplique los exponentes.

EXPONENTES RACIONALES

Hemos cubierto los exponentes positivos, exponentes negativos, y los exponentes cero. Pero que pasa si tiene un exponente que no es un entero? Que pasa, por ejemplo, si 91/2?

Podemos volver a caer otra vez en la propiedad del producto de potencias para encontrar:

91/2 × 91/2 = 9(1/2 + 1/2) = 91

Sabemos que 91 = 9, así 91/2 = . Así, el exponente ½ trabaja como una raíz

cuadrada. Similarmente, a1/3 es equivalente a .

y en general

y .

Notación científica. Conversión de notación decimal a científica.

La notación científica se usa para expresar números muy grandes o muy pequeños. Un número en notación científica se escribe como el producto de un número (entero o decimal) y una potencia de 10. El número tiene un dígito hacia la izquierda del punto decimal. La potencia de diez indica cuantos lugares se corrió el punto decimal.

El número 6.5x10-7 escrito en forma decimal sería 0.00000065 porque el punto decimal se corrió 7 lugares hacia la izquierda para formar el decimal 0.00000065.

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