Estatística II

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁINSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS

FACULDADE DE ECONOMIA

Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

CONTÍNUAS

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.1 - Introdução

Definição: Uma função X definida pelo espaço amostral e

assumindo valores num intervalo de ´números reais, é dita uma

variável aleatória contínua.

A principal característica de uma v.a. contínua é que, sendo

resultado de uma mensuração, o seu valor pode ser pensado como

pertencendo a um intervalo ao redor do valor efetivamente

observado (sempre nosso valor efetivamente observado será a

média).

Podemos então destacar as diferenças da v.a. discreta e contínua

como sendo:

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.1 - Introdução

Exemplos de v.a. contínuas:

- Tempo de resposta de um sistema computacional

- Tempo de vida de uma máquina

- Resistência de um material

- Oscilação diária em um índice na bolsa de valores

Além destas podemos também destacar:

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.1 - Introdução

De forma semelhante àquela desenvolvida para variáveis discretas,precisamos estabelecer para as contínuas a atribuição de probabilidades àssuas diversas realizações que, neste caso, podem assumir um númeroinfinito de valores diferentes. Abordamos esta questão através do próximoexemplo.

Exemplo: Estudos anteriores revelam a existência de um grande lençolde água no subsolo de uma grande região. No entanto, sua profundidadeainda não foi determinada, sabendo-se apenas que o lençol pode estarsituado em qualquer ponto, entre 20 e 100 metros.

Vamos supor que escolhemos, ao acaso, um ponto nessa região edispomos de uma sonda que, ao fazer a perfuração, detecta com precisão àprofundidade do reservatório de água. Denotamos por X a variávelaleatória representando a profundidade.

Notemos que, apesar de X poder ser qualquer número entre 20 e 100metros, o instrumento, com que trabalhamos, pode não ser tão precisocomo gostaríamos. Por exemplo, uma profundidade de 32,571 metrospoderia ser medida por 32,6 metros.

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.1 - Introdução

Vamos assumir que temos um instrumento ideal que não faz

aproximações. Nessas condições, podemos supor a sonda acoplada a

um instrumento indicador da profundidade e um dispositivo que,

quando a sonda encontrar água, provoque a imediata interrupção da

perfuração.

Uma vez não que temos informações adicionais a respeito da

profundidade do lençol, é razoável assumirmos que a sonda pode

parar em qualquer ponto entre 20 e 100 metros, sem que tenhamos

motivos para privilegiar essa ou aquela profundidade. Assim,

consideraremos todos os pontos como igualmente prováveis. Se

utilizarmos a mesma idéia de atribuir a cada possível ponto uma

probabilidade, teremos uma dificuldade extra, pois eles pertencem a

um intervalo de [20; 100], em que existem infinitos números reais.

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.1 - Introdução

Assim, se cada um deles tiver, individualmente, probabilidade

maior que 0, a soma das probabilidades será igual a infinito e não 1,

como requer a definição da função de probabilidades. Em geral, em

situações como esta, não é interessante considerar um único valor

para a variável aleatória, mas intervalos de valores na atribuição de

probabilidades. Neste caso, sabemos que o espaço amostral

corresponde ao intervalo [20; 100] e as profundidades são

igualmente prováveis.

Suponha por um momento, que dividimos o espaço amostral em 8

intervalos de comprimento 10. Logo, é razoável atribuir aos

intervalos a probabilidade 1/8, correspondendo à relação entre o

comprimento de cada um deles e o comprimento do espaço amostral.

Isto é, 10 para 80 ou 1/8.

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.1 - Introdução

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.1 - IntroduçãoAssim, como dividimos em 8 faixas de igual comprimento e sem

intersecção entre elas, teremos os intervalos [20; 30), [30; 40), ...,

[90; 100] todos com a mesma probabilidade de 1/8, pois todos tem o

mesmo tamanho.

Para construirmos um histograma, podemos supor que 1/8 é a

frequência relativa da ocorrência de cada um dos intervalos. As

ordenadas do gráfico são as densidades, calculadas de modo que a

área de cada retângulo seja a frequência relativa (probabilidade) do

intervalo.

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.1 - Introdução

Note que, dada as características do problema, a divisão em 8 intervalosproduziu o mesmo valor de densidade de 1/80 pra todos eles. Se dividirmoso intervalo [20; 100] em 16 faixas iguais, utilizando o mesmo argumentoanterior, temos que os intervalos [20; 25), [25; 30), ..., [95; 100] terão todosa mesma probabilidade 1/16. O histograma correspondente será:

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.1 - Introdução

O histograma mostra que apesar de termos diferentes intervalos, adensidade permanece a mesma, igual a 1/80.

Podemos continuar esse procedimento aumentando cada vez mais aquantidade de faixas, com a consequente diminuição de suas amplitudes detal forma que, em uma situação teórica com infinitos intervalos, temos oseguinte histograma:

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.1 - Introdução

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.1 - IntroduçãoEstamos agora em condições de caracterizar, completamente a

atribuição de probabilidade para o caso contínuo. Ela será definida

pela área abaixo de uma função positiva, denominada de função de

densidade de probabilidade (fdp). Observe que a densidade em si não

é uma probabilidade, mas uma função matemática que nos auxilia na

atribuição de probabilidades. Assim, para a variável aleatória

contínua X representando a profundidade do lençol de água, a fdp f é

dada por:

.100200

;1002080/1)(

xouxpara

xparaxf

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.1 - IntroduçãoTendo em vista que, nesse exemplo a função de densidade é

bastante simples, a probabilidade de que a profundidade do lençol

esteja em um dado intervalo pode ser calculada com o uso de área de

figuras planas. Assim, para obter a probabilidade de uma

profundidade entre 25 e 29, calculamos a área do retângulo:

e, portanto, P(25 ≤ X < 29) =80

4

80

14

80

1)2529(

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.2 – A função de densidade

probabilidade (fdp)Dizemos que f(x) é uma função contínua de probabilidade ou

função de densidade de probabilidade para uma variável aleatória

contínua X, se satisfaz duas condições:

i) 𝑓(𝑥) ≥ 0, para todo 𝑥 ∈ (−∞,+∞)

ii) A área definida por f(x) é igual a 1.

Com auxílio do cálculo diferencial e integral, podemos

caracterizar a condição ii) através de

Da mesma forma, para calcular probabilidades, temos que para

𝑎 ≤ 𝑏, , a integral indica a área sob f(x) definida

pelo intervalo [a; b].

.1)( dxxf

b

adxxfbXaP ;)()(

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.2 – A função de densidade

probabilidade (fdp)Note que, pela forma como a atribuímos as probabilidades nocaso contínuo, teremos área zero sob qualquer valor individual, istoé, P(X = k) = 0 para qualquer k. Portanto, em se tratando de variáveisaleatórias contínuas, a probabilidade de ocorrência de um valorisolado é sempre zero e, consequentemente, as probabilidadescalculadas sobre os intervalos [a; b], [a; b), (a; b] e (a; b) são asmesmas, para qualquer valor de a e b.

Exemplo: Num teste intelectual com alunos de um colégio Y, otempo para realização de uma bateria de questões de raciocíniológico é medido e anotado para ser comparado com um modeloteórico. Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento dacapacidade de raciocínio lógico e auxiliar a aplicação de medidascorretivas. O modelo teórico considera T, tempo de teste em minutos,como uma variável aleatória contínua com função de densidade deprobabilidade dada por:

O gráfico da fdp é apresentado a seguir (construiremos ele no

software R). Deve ser notado que, pela definição de f(x), ela se

anula para t < 8 ou t >15.

Vamos verificar agora se a função f(t) satisfaz a definição de

densidade. Para calcular P(9 < T 12), vamos obter a área sob f(t)

no intervalo (9; 12]:

contráriocaso

tse

tset

tf

0

151020

3

;108)4(40

1

)(

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.2 – A função de densidade

probabilidade (fdp)

Assim P(9< T 12) = 7/16 valor esse obtido pela soma do

trapézio definido no intervalo (9, 10) com o retângulo determinado

pelo intervalo [10,12] (veja a figura).

6 8 10 12 14 16 18

0.00

0.05

0.10

0.15

t

f(t)

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.2 – A função de densidade

probabilidade (fdp)

Através do uso de integral, essa mesma probabilidade seria

calculada da seguinte forma:

12 10 12

9 9 10

10 12210 12

9 10109

(9 12) ( ) ( ) ( )

1 3 1 3( 4) 4

40 20 40 2 20

11 6 70,4375

80 20 16

P T f t dt f t dt f t dt

tt dt dt t t

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.2 – A função de densidade

probabilidade (fdp)

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.3 – Valor Médio de uma Variável

Aleatória ContínuaO valor esperado ou média da variável aleatória contínua X, com

fdp dada por 𝑓(𝑥), é dada pela expressão:

Já a sua variância é dada por:

Como no caso discreto, a variância é a medida de dispersão mais

utilizada na prática. Aqui podemos, também, utilizar a expressão

alternativa 𝜎2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2, com 𝐸 𝑋2 sendo calculada como:

.)()( dxxxfXE

.)()( 22 dxxfx

.)()( 22 dxxfxXE

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e, como já

mencionado anteriormente, tem a mesma unidade de medida da

variável original, o que facilita a interpretação dos seus valores.

Vamos a um exemplo:

Investidores estudaram uma certa carteira de ações e

estabeleceram um modelo teórico para a variável R, rendimento das

ações (em mil R$). Suponha que R é uma variável aleatória contínua

com a seguinte função de densidade:

Vamos aplicar no Software R

11 , 0 20

( ) 40 10

0,

rse r

f r

caso contrário

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.3 – Valor Médio de uma Variável

Aleatória Contínua

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.3 – Medidas de Posição para Variáveis Aleatórias

ContínuasVamos determinar a média e a variância de R. Temos,

Para variância, calculamos primeiro E(R2):

Assim:

Portanto o desvio padrão será:

Qual seria a probabilidade de conseguirem um rendimento entre 8

e 10 mil? Vamos fazer no R

20 203 2

20

00 0

1 1 1 20 351 5 $ .

40 10 400 3 40 2 3 3

r r rr dr R mil

20 204 3

202 2

00 0

1 1 1 200 500( ) 1 100 $ .

40 10 400 4 40 3 3 3

r r rE R r dc R mil

2

2 2 2 2500 35 275( ) $30,56 mil

3 3 9E R R

30,56 $5,53 milR R

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.4 – O modelo de distribuição NormalA distribuição normal é uma das mais essenciais e importantes

distribuições da estatística, conhecida também como Distribuição de Gaussou Gaussiana. Foi primeiramente introduzida pelo matemático Abraham deMoivre.

Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros,possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita porseus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estesconsegue-se determinar qualquer probabilidade em uma distribuiçãoNormal.

Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve deaproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número deobservações fica grande. Essa importante propriedade provém do Teoremado Limite Central que diz que "toda soma de variáveis aleatóriasindependentes de média finita e variância limitada é aproximadamenteNormal, desde que o número de termos da soma seja suficientementegrande" (Ou seja, que a amostra seja maior que 30 observações).

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.4 – O modelo de distribuição Normal

Diz-se que X tem Distribuição Normal com média e variância

2 se sua função de densidade de probabilidade (fdp) é:

E(X) =

Var(X) = 2

Pode-se ainda verificar que os parâmetros e 2 representam,

respectivamente, a média e a variância da distribuição. A

demonstração requer algumas manipulações de integral. O que não

vai ser demonstrado aqui. Assim quando indicarmos que X ~ N (;

2), segue imediatamente que E(X) = e Var(X) = 2.

xexf

x

iX 2

2

2

)(

2

1)(

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.4 – O modelo de distribuição Normal

Graficamente a curva normal comporta-se da seguinte maneira:

30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000

0e

+0

01

e-0

52

e-0

53

e-0

54

e-0

5

Distribuição Nomal(60.000,8.300)

x

f(x)

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.4 – O modelo de distribuição Normal

Algumas propriedades da densidade da Normal podem ser,

facilmente, observadas de seu gráfico:

fX(xi) é simétrica em relação à ;

fX(xi) 0 quando x ;

o valor máximo de fX(xi) se dá para x = e 𝜇 − 𝜎 e 𝜇 + 𝜎 são

pontos de inflexão de f(xi)

Quando temos 𝜇 = 0 e 𝜎2 = 1, temos uma distribuição padrão

ou reduzida, ou brevemente N(0,1). Para essa a função de densidade

reduz-se a2

21

( ) ( )2

z

z if z z e x

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.4 – O modelo de distribuição Normal

Assim, o gráfico da normal padrão pode ser representado por:

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.4 – O modelo de distribuição Normal

Vamos partir de um exemplo prático:

Vamos trabalhar com uma série dos fundos de investimentos da

Petrobrás gerenciado pelo Bando do Brasil. Observou-se que o

comportamento dos fundos entre 02/01/2012 a 13/03/2012 tiveram

um comportamento muito aproximado a uma curva normal como

pode ser observado no gráfico abaixo:A média ficou em torno de R$ 7,27

a cota do fundo e o desvio padrão

foi de R$ 0,295.

Vamos construir a fdp desta

variável aleatória no software R.

Os limites de intervalo serão R$ 6 e

R$ 8,25

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.4 – O modelo de distribuição Normal

No cálculo de probabilidades para variáveis contínuas, devemos

resolver a integral da fdp no intervalo de interesse, isto é,

P(a X b) =

Entretanto, a integral acima só pode ser resolvida de modo

aproximado e por métodos numéricos. Por essa razão, as

probabilidades para o modelo Normal são calculadas com auxílio de

software estatísticos ou por tabelas.

A partir do exemplo anterior, vamos visualizar algumas

possibilidades e informações probabilísticas que podem ser tiradas a

partir da curva da normal criada para o fundo de ações da Petrobrás.

2

2

( )

21

2

xb

a

e

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.4 – O modelo de distribuição Normal

Cálculo da probabilidade de um modelo Normal usando o R

Levando em consideração as informações do exemplo anterior,

pergunta-se:

a) Qual a probabilidade de obtermos lucro se na época do resgaste o

valor da ação for de R$ 7,18.

Para realizar tal tarefa vamos usar o comando pnormal que faz o

cálculo da probabilidade. Além disso, vamos fazer também a

representação gráfica na curva da normal.

b) Qual deveria ser o preço máximo (em R$) para que o investidor

tenha uma probabilidade de lucro pequena, de cerca de 10%?

Vamos verificar essa possibilidade com o auxílio do R.

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.4 – O modelo de distribuição Normal

Aplicações da v.a. reduzida.

A transformação da normal para a sua correspondente reduzida

z~N(0,1). Para determinar a probabilidade de X [a,b], procedemos

com o seguinte cálculo:

P(a X b) = P(a - X - b - ) =

e, portanto, quaisquer que sejam os valores de e , utilizamos a

Normal Padrão para obter probabilidades com a distribuição Normal.

bZ

aP

bXaP

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.4 – O modelo de distribuição Normal

Os valores para P(0 Z z), z>0 são apresentados na seguinte

tabela.

Com a simetria da densidade Normal podemos calcular valores de

probabilidades em outros intervalos. Note que a simetria também

implica que a probabilidade de estar acima (ou abaixo) de zero é 0,5.

Como probabilidade é sempre um número entre 0 e 1, a tabela

contém apenas a parte decimal.

Por exemplo, para X~N(2,9), teremos:

Agora como foi localizado o valor 0,3413 na tabela normal?

3413,0)10(9

25

9

2

9

22)52(

ZP

XPXP

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.4 – O modelo de distribuição Normal

Para obter P(0 X 2), usamos a assimetria da Normal:

Podemos ainda calcular as probabilidades de intervalos com

extremos negativos, utilizando os correspondentes intervalos na parte

positiva. Um outro recurso importante no uso da tabela é a utilização

do complementar. Por exemplo,

0 2 2 2 2 2(0 2) ( 0) (0 )3 39 9

(0 0,6666) 0,2486

P X P Z P Z P Z

P Z

3707,01293,05,03

105,03

13

23)3(

ZPZPZPXP

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.4 – O modelo de distribuição Normal

A tabela também pode ser utilizada no sentido inverso, isto é,

dado uma certa probabilidade, desejamos obter o valor que a

originou. Por exemplo, quanto vale c tal que P(0 Z c) = 0,4?

Procurando no corpo da tabela, a probabilidade que mais se

aproxima de 0,4 é 0,3997; correspondendo a 1,28 que será o valor de

c.

Suponha, agora, que queremos encontrar d tal que P(Z > d) = 0,8.

Observamos que d precisa ser negativo, pois a probabilidade

desejada é maior que ½, que é o valor de P(Z > 0). Assim, o

intervalo (0; d) precisa ter probabilidade 0,3. Pela simetria da

Normal, o intervalo (-d, 0) também tem probabilidade 0,3. Da tabela,

segue que –d = 0,84 e portanto d = -0,84.

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.4 – O modelo de distribuição Normal

Vamos finalizar essa seção utilizando o exemplo anterior para o

fundo de ações da Petrobrás/BB.

a) Qual a probabilidade de obtermos lucro se na época do resgaste o

valor da ação for de R$ 7,18?

b) Qual deveria ser o preço máximo (em R$) para que o investidor

tenha uma probabilidade de lucro pequena, de cerca de 10%?

Assim, precisamos obter um valor em R$ tal que: P(X < R$) = 0,1.

Então,

7,27 7,18 7,27( 7,18) ( 0,31) 0,5 0,1179 0,3821

0,295 0,295

XP X P P Z

7,27 $ 7,27 $ 7,27( ) 0,1

0,295 0,295 0,295

X R RP P Z

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.5 – A distribuição t de studentA distribuição t de Student é importante no que se refere a

inferências sobre médias populacionais.

Diz-se que uma variável aleatória contínua T tem distribuição t deStudent se sua função de densidade é dada por:

𝑓 𝑡; 𝑣 =

𝑣 + 12

𝑣2

𝜋𝑣1 +

𝑡2

𝑣

−𝑣+12

, −∞ < 𝑡 < ∞

Essa expressão, certamente, é assustadora! Mas eis uma boanotícia: não precisaremos dela para calcular probabilidades! Noentanto, é interessante notar duas características básicas dessaexpressão: o argumento t da função aparece elevado ao quadrado e fT

depende apenas do número de graus de liberdade da qui-quadrado e,portanto, o parâmetro desta distribuição é, também, o número degraus de liberdade.

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.5 – A distribuição t de student

Em termos de média e variância a distribuição t de Student, (com

v graus de liberdade) que será indicada por t(v), será:

𝐸 𝑡 = 0 𝑉𝑎𝑟 𝑡 =𝑣

𝑣 − 2Quanto maior o valor de v mais t aproxima-se de uma normal

N~(0,1), isso pode ser verificado no gráfico abaixo:

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.5 – A distribuição t de student

Assim como no caso da normal, seria necessária uma tabela para

cada valor de v. Os programas computacionais de estatística

calculam probabilidades associadas a qualquer distribuição t. Mas

nos livros didáticos é comum apresentar uma tabela da distribuição t

que envolve os valores críticos, ou seja, valores que deixam

determinada probabilidade acima deles. Mais precisamente, o valor

crítico da t(v) associado à probabilidade α é o valor tv;α tal que

𝑃 𝑡 𝑣 > 𝑡𝑣;𝛼 = 𝛼

Para encontrar o valor tabelado basta pegarmos o grau de

liberdade v e compararmos com a nossa probabilidade de cometer o

erro tipo I (isso será visto mais adiante).

Suponha que tenhamos v=6 e queiramos um erro de 5% para uma

distribuição uni caudal, então teríamos:

Tabela Bicaudal

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.6 – A distribuição Qui-Quadrado

A distribuição qui-quadrado é um caso específico da distribuição

Gama.

Como definição temos:

Uma variável aleatória contínua Y tem distribuição qui-quadrado

com v graus de liberdade (denotada por 2(𝑣) ) se sua função

densidade for dada por:

1

𝑣

22𝑣2

𝑦𝑣

2−1𝑒−

𝑦

2 , 𝑦 > 0

𝑓 𝑦; 𝑣 = 0, 𝑦 < 0

A média e variância para a qui-quadrado são:

E(Y)=v Var(Y)=2v

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.6 – A distribuição Qui-QuadradoGraficamente a distribuição qui-quadrado se comporta da seguinte

forma:

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.6 – A distribuição Qui-QuadradoUsando a tabela qui-quadrado para v=10, observe que

P(Y>2,558)=0,99; ao passo que P(Y>18,307)=0,05.

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.6 – A distribuição F de SnedecorSejam U e V duas v.a. independentes, cada uma com distribuição

qui-quadrado, com v1 e v2 graus de liberdade, respectivamente.

Então, a v.a.

Tem densidade dada por:

𝑔 𝑤, 𝑣1, 𝑣2 = (𝑣1+𝑣2) 2

(𝑣1/2)(𝑣2/2)

𝑣1𝑣2

𝑣12 𝑤(𝑣1−2)/2

(1 + 𝑣1𝑓/𝑣2)(𝑣1+𝑣2)/2

,

𝑤 > 0

Diremos que W tem distribuição F de Snedecor, com 𝑣1 e 𝑣2graus de liberdade, e usaremos a notação W~F(𝑣1, 𝑣2). Podemos

mostrar que:

1

2

U vW

V v

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.6 – A distribuição F de Snedecor

𝐸 𝑊 =𝑣2

𝑣2−2𝑉𝑎𝑟 𝑊 =

2𝑣22(𝑣1+𝑣2−2)

𝑣1(𝑣2−2)2(𝑣2−4)

O gráfico típico de uma distribuição F varia conforme seu grau de

liberdade como pode ser verificado abaixo:

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

I.2.6 – A distribuição F de SnedecorVamos considerar que nossa distribuição F tenha comportamento

de média e variância com a seguinte característica W~F(5,7).

Consultando a Tabela F teremos: P(F > 3,97) = 0,05, ou P (F 3,97)

= 0,95.

Agora se quisermos encontrar:

0,05 = P{F(5,7) < f0}=P{1/F(7,5) < f0}=P{F(7,5) > 1/ f0},

Procurando na Tabela F, para F(7,5), obtemos 1/ f0=4,88 e,

portanto, f0=0,205.