Modelación de sistemas - Función de transferencia y digramas de bloque

Universidad Nacional de Misiones

Ingeniería Electrónica

Control Clásico y Moderno

Informe de Trabajo Práctico N° 1

Modelación de Sistemas. Función de Transferencia y

Diagramas de Bloques

Autores:

HOFF Romina A.

KRUJOSKI Matías G.

VIERA Juan R.

Grupo Nº 4

Profesores Responsables:

Dr. Ing. Fernando Botterón

Ing. Guillermo Fernández

Oberá, Misiones, 21/03/2014

ControlClásico y Moderno FI - UNaM TP N° 1

HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 3 de 17

1)

En la Figura 1.1 se muestra un sistema resorte–masa–amortiguador. Este sistema

consta de una masa m, sujeta a un punto de apoyo superior a través de un resorte de

coeficiente de elasticidad k y a un apoyo inferior a través de un amortiguador de

constante de amortiguación b. Existe además una fuerza F(t) aplicada a la masa. Se

define una coordenada x a través de la cual se desplaza la masa, así la distancia entre

el punto de apoyo y la masa queda representada por x(t). La distancia l0 corresponde a

la distancia entre el techo y el centro de m con el resorte en reposo.

a)Hallar la función de transferencia entre la entrada u(t) [F(t)] y la salida y(t) [x(t)].

b)Calcular los polos de la función de transferencia. M = 15 Kg; k = 225 N/m y los

siguientes valores de b: 350 N x s/m, 116 N x s/m y 14 N x s/m.

c)Trazar la respuesta en frecuencia de magnitud y fase (diagramas de Bode) de este

sistema para cada caso en el punto b.

Figura 1.1: Sistema Mas-Resorte-Amortiguador

Resolución

a) La función de transferencia será

𝑓(𝑡) = 𝑚𝑎(𝑡) + 𝑏 𝑣(𝑡) + 𝑘 𝑖(𝑡) (1.1)

𝑎(𝑡) = (𝑡) (1.2)

𝑣(𝑡) = (𝑡) (1.3)

𝑓(𝑡) = 𝑚(𝑡) + 𝑏(𝑡) + 𝑘 𝑖(𝑡) (1.4)



Siendo la ecuación 1.4 la ecuación diferencial en el dominio del tiempo que representa

el comportamiento del sistema.

Transformando la ecuación 1.4 del dominio del tiempo al de Laplace obtenemos la 1.6

𝐹 = 𝐹(𝑠), 𝑌 = 𝑌(𝑠) (1.5)

𝐹 = (𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘)𝑌 (1.6)

En la ecuación 1.6 se consideran condiciones iniciales nulas.

Trabajando la 1.6 podemos obtener la función de transferencia en el dominio de

Laplace:

𝐹𝑎 =𝑌

𝐹=

1

𝑚

𝑠2 +𝑏

𝑚𝑠 +

𝑘

𝑚

(1.7)

b)

Reemplazando los siguientes valores podemos obtener los polos:

𝑚 = 15 𝑘𝑔_______

𝑘 = 225 𝑁𝑚⁄ _____

𝑏1 = 350 𝑁 ∙ 𝑠𝑚⁄

𝑏2 = 116 𝑁 ∙ 𝑠𝑚⁄

𝑏3 = 14 𝑁 ∙ 𝑠𝑚⁄

𝐹1 =

1

15

𝑠2 +350

15𝑠 +

225

15

= 0.066

(𝑠 + 0,66)(𝑠 + 22,67)

(1.8)

𝐹2 =1/15

𝑠2 +116

15𝑠 + 15

= 1/15

(𝑠 + 3,86 + 𝑗0,22)(𝑠 + 3,86 − 𝑗0,22)

(1.9)

𝐹3 =1/15

𝑠2 +14

15𝑠 + 15

= 1/15

(𝑠 + 0,46 + 𝑗3,8)(𝑠 + 0,46 − 𝑗3,86)

(1.10)



Para el cálculo del diagrama de BODE se utiliza el programa MATLAB® con el

siguiente código

clc % limpia la pantalla

clear all % borra todas las variables de la memoria

close all % cierra todos los procesos

b_1=70/3;

num_1 = [0, 0, 1/15]; % crea un vector para el numerador

den_1 = [1, b_1, 15]; % crea un vector para el denominador

sist_1 = tf( num_1, den_1) % crea la función de transferencia del

% sistema y la muestra en línea de comandos.

Bode (sist_1,'o') % muestra el diagrama de bode del sistema.

hold on

b_2=116/15;





Bode (sist_2,'+') % muestra el diagrama de bode del sistema.

b_3=14/15;





Bode (sist_3,'*') % muestra el diagrama de bode del sistema

legend ('b_1=350 Ns/m','b_2=116 Ns/m','b_3=14 Ns/m')

El resultado se observa en las siguiente figura

Figura 1.2_ Comparación de los resultados de los tres valores de “b”



Conclusiones

En este ejercicio podemos ver tres casos de amortiguamiento con solo cambiar el

factor de amortiguación del dispositivo amortiguador, se muestra perfectamente en la

figura1.2 una disminución de la amortiguación hace cambiar la posición de los polos y

en consecuencia la respuesta de Bode en la que se evidencia la falta de amortiguación

en el tercer caso, donde deja de ser crítica y existe un sobre impulso en el sistema

completo.

(Resuelto por: Viera Juan)

2)

Un motor de corriente continua con excitación independiente, cuyo circuito eléctrico

está representado en la Figura 2.1, es controlado por la corriente de armadura,

manteniéndose la corriente de campo. Este motor acciona una carga de momento de

inercia J. En este esquema se tiene: ( ) .f fi t I ctte

Te: par o torque electromagnético producido por el motor

Tc: par antagónico de la carga.

b: coeficiente de rozamiento.

Vb: fuerza contra electromotriz.

Ra: Resistencia de la armadura. La: Inductancia de la armadura.

Kt: constante de proporcionalidad entre el par motor y la corriente de armadura.

Kb: constante de proporcionalidad entre la velocidad angular y la tensión inducida.

ia: corriente en la armadura. va: tensión aplicada a la armadura (acción de control).

θ: desplazamiento angular del eje del motor

ω:velocidad angular del eje del motor.

Figura 2.1: circuito elétrico motor de cc-carga



a) Escriba las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico de

este sistema electromecánico.

b) Halle la descripción entrada-salida de este sistema (función de transferencia) en el

dominio de Laplace suponiendo que la entrada, u(t), es la tensión de armadura va(t) y

la salida, y(t), es el desplazamiento angular θ(t). Dibuje el diagrama en bloques de

este sistema dinámico identificando los bloques relacionados al motor y a la carga.

c) Siendo Ra=20 Ω, Kt=1 N.m/A, Kb=3 V.s/rad , J=0.5 N.m.s2/rad y b=0.01 N.m.s/rad.

Calcule las constantes de ganancia y de tiempo del motor y obtenga las raíces del

polinomio característico.

d) Calcular los polos de la función de transferencia.

e) Trazar la respuesta en frecuencia de magnitud y fase (diag. de Bode) de este

sistema.

Resolución

a)

El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales describe el comportamiento eléctrico

(ecuación 2.1) y mecánico (ecuación 2.2) del motor.

2

2

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

aa b a a a

e c

dI tV t V t I t R L

dt

d t d tJ T t T t b

dt dt

(2.1)

(2.2)

b)

En la ecuación 2.1 reemplazando ( )

( )b b

d tV t K

dt

y aplicando transformada de Laplace

con condiciones iniciales (CIN) nulas, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )a b a a a aV s sK s I s R sL I s (2.3)

Considerando nulo el torque de carga Tc(t), reemplazando ( ) ( ) e t aT t K I t y despejando

la corriente de armadura, la ecuación 2.2 resulta:

2

2

( ) ( )( ) =a

t t

b d t J d tI t

K dt K dt

(2.4)

Aplicando transformada de Laplace con CIN a la ecuación 2.4 y reemplazando en la 2.3

se obtiene



2( ) = ( ) ( )a

t t

b JI s s s s s

K K (2.5)

2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a a

t t t t

b J b JV s sK s R s s s s sL s s s s

K K K K

(2.6)

Despejando θ(s) de la 2.6

2 2

( )( ) a

b a a

t t t t

V ss

b J b JsK R s s sL s s

K K K K

(2.7)

Despreciando la inductancia La debido a que el régimen transitorio es pequeño, la

función transferencia resulta en 2.8.

2

( ) ( ) 1

( ) ( ) a aab

t t

u s s

R b R Jy s V ssK s s

K K

(2.8)

Operando algebraicamente la expresión 2.8 de forma de dejar la variable s2

multiplicada por uno, se llega a la ecuación 2.9

2

/ /( )

( )

t a t a

a b t b t

a a

K R J K R Js

V s K K b K K bs s s s

R J J R J J

(2.9)

En la figura 2.2 se aprecia el diagrama de bloques de la dinámica del sistema.

1

aa

a

RL s

L

tK

1

bJ s

J

1

s

bK

( )aV s

( )bV s

( )aI s ( ) +eT s

( )

cT s

( )s ( )s

Figura 2.2: Diagrama de bloques del sistema



Donde el bloque 1

aa

a

RL s

L

representa el comportamiento del motor y el bloque

1

bJ s

J

describe el comportamiento de la carga.

c)

La función de transferencia general para un motor de corriente continua está dada por

la ecuación 2.10. En ella Km representa la ganancia del sistema y Tm, la constante de

tiempo del motor.

( )

( ) 1

m

a m

Ks

V s s sT

(2.10)

Trabajando la expresión 2.9 para obtener la forma de la 2.10 se llega a la 2.11

/( ) 1

( ) ( )1

t a t

a b t ab t a a

a b t a

K R J Ks

V s K K R bK K R b R Js s s s

R J K K R b

(2.11)

Donde de la comparación de las ecuaciones 2.10 y 2.11 vemos que la ganancia resulta

0.3125( )

tm

b t a

KK

K K R b

(2.12)

Y la constante de tiempo del motor es

3.125am

b t a

R JT

K K R b

(2.13)

Finalmente, la ecuación de transferencia resulta:

( ) 0.3125

( ) (3.125 1)a

s

V s s s

(2.14)

d)

Reemplazando los valores de las constantes en la ecuación 2.9 obtenemos

( ) 1/10 1

0.1( ) 0.3 0.3a

s

V s s s s s

(2.15)

De la ecuación anterior se aprecia que los polos de la función transferencia son:

𝑠 = 0____𝑠 = −0,3

(2.16)

e)



El diagrama de Bode se observa en la figura 2.3

Figura 2.3:Diagrama de Bode

Dado que la función de transferencia posee un polo en el origen, este ocasiona la caída

de -20 dB por década en la gráfica de magnitud, a la cual se le suma una caída de -40

dB debido al polo real negativo.

La gráfica de fase resulta de la suma de una fase constante de -90 aportada por el polo

en el origen y una fase negativa que varía entre cero y -90 debida al polo en -0.3.

La gráfica resultante es característica de un filtro pasa bajos, esto concuerda con las

características del motor de corriente continua. En conclusión, el motor de cc actúa

como un filtro pasa bajos.

(Resuelto por: Hoff Romina)

3)

Considere el sistema de control de temperatura mostrado en la Figura 3.1. El problema

es controlar la temperatura “y” dentro de la cámara. Esta cámara es calentada a vapor.

Elflujo de vapor caliente “q” es proporcional a la apertura de la válvula “x”, o sea 𝑞 =

𝐾𝑞𝑥.La apertura x de la válvula es controlada por un solenoide y se asume que es

proporcionala la corriente en el solenoide i(t), o sea 𝑥 = 𝐾𝑠𝑖(𝑡). Se asume que la

temperatura de lacámara yy el flujo de vapor q están relacionados por:

-60

-40

-20

0

20

40

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

-180

-135

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)



𝑑𝑦

𝑑𝑡= −𝑐𝑦 + 𝐾𝑐𝑞 (3.1)

Donde c es uncoeficiente que depende del aislamiento de la cámara y de la diferencia

de temperaturaentre el interior y el exterior de la misma. Para simplificar el análisis y

proyecto, seasume que c es una constante positiva. Esto significa que sí no se

introduce vapor a lacámara la temperatura decrece con una tasa igual a 𝑒−𝑐𝑡.

a) Dibuje el diagrama de bloques del sistema desde la referencia r a la salida y. Halle

lafunción de transferencia entre el flujo de calor q y la temperatura y.

b) La tensión de salida del amplificador de la señal de la termocupla es 𝑣 = 𝐾2𝑦y

laseñal de error que ingresa al amplificador de entrada es𝑒 = 𝑟 − 𝑣. Encuentre la

funciónde transferencia entre la entrada u(t) y la corriente del solenoide i(t).

Figura 3.1: Esquema del sistema

Resolución

a)

En base al esquemático del sistema presentado en la figura 3.1 y las ecuaciones

brindadas para la descripción del mismo; se genera el diagrama de bloques exhibido en

la figura 3.2.



R(s) E(s) U(s) Q(s) Y(s)

V(s)

+-

K2

H (s)2

H (s)1

K1

Controlador Actuador Planta

Sensor

G (s)1

Figura 3.2: Diagrama de Bloques

Según lo presentado en el diagrama precedente, la Función de Transferencia completa

del sistema a Lazo Cerrado, se puede obtener fácilmente mediante la expresión 3.2.

𝐺𝐿𝐶(𝑠) =𝑌(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝐺1(𝑠)

1 + 𝐺1(𝑠) ∙ 𝐾2 (3.2)

Partiendo de la ecuación diferencial presentada en 3.1, que describe la relación entre la

temperatura de la cámara y el flujo de vapor, transformando la misma a través de

Laplace se tiene lo exhibido en 3.3.

[𝑠 ∙ 𝑌(𝑠) − 𝑦(0)] = −𝑐 ∙ 𝑌(𝑠) + 𝐾𝑐 ∙ 𝑄(𝑠) (3.3)

Teniendo en cuenta que la definición de función transferencia exige analizar el sistema

con condiciones iniciales nulas, se elimina el segundo término del primer miembro de la

igualdad presentada. Así, operando algebraicamente se arriba a la expresión 3.4.

𝑌(𝑠) ∙ (𝑠 + 𝑐) = 𝐾𝑐 ∙ 𝑄(𝑠) (3.4)

Finalmente, operando para obtener la función transferencia entre la temperatura de la

cámara y el flujo de calor, respetando la nomenclatura definida en la Figura 3.2, se

obtiene la expresión dada en 3.5.

𝐻2(𝑠) =𝑌(𝑠)

𝑄(𝑠)=

𝐾𝑐

𝑠 + 𝑐 (3.5)



b) Planteando la sumatoria de las caídas de potencial eléctrico en la malla dada

entre el amplificador de salida y el solenoide que comanda la válvula, exhibidos en la

Figura 3.1, se obtiene la expresión 3.6.

𝑢(𝑡) − 𝑅 ∙ 𝑖(𝑡) − 𝐿 ∙𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡= 0 (3.6)

Transformando por Laplace la ecuación precedente, y operando se obtiene:

𝑈(𝑠) = 𝑅 ∙ 𝐼(𝑠) + 𝐿 ∙ [𝑠 ∙ 𝐼(𝑠) − 𝑖(0)] (3.7)

Recordando que la función transferencia se define con condiciones iniciales nulas, la

ecuación 3.7 puede ser operada y así arribar a lo presentado en 3.8.

𝑈(𝑠) = 𝐼(𝑠) ∙ (𝑠 ∙ 𝐿 + 𝑅) (3.8)

Así, operando algebraicamente para obtener la transferencia entre la entrada y la

corriente sobre el solenoide, se obtiene la expresión 3.9.

𝐼(𝑠)

𝑈(𝑠)=

1

𝑠 ∙ 𝐿 + 𝑅 (3.9)

Las expresiones obtenidas, ecuación 3.5 y 3.9, son pasos intermedios para llegar a la

función transferencia global del sistema a lazo cerrado. Para obtener dicho resultado,

debe continuarse operando con las expresiones disponibles y finalmente aplicar la

ecuación 3.2.

(Resuelto por: Krujoski Matías)

4)

Considere un motor CC alimentado por la armadura como se muestra en la Figura 4.1,

que acciona una carga a través de un tren de engranajes que permite reducir la

velocidad y aumentar el momento de torsión necesario para impulsar la carga. El

momento de torsión total incluyendo rotor, eje y engranaje primario, está dado por J1 y

el coeficiente de fricción relacionado a este eje es b1; y aquellos correspondientes a la

carga son J2 y b2.

a) Encuentre la función de transferencia entre u(t) y θ2(t).

b) ¿Cuál es la función de transferencia entre Va(t) y d θ2(t)/dt?



Figura 4.1: Sistema motor CC-carga

Resolución

a)

Primeramente se procede a plantear las ecuaciones en el dominio del tiempo de la

parte eléctrica más las partes mecánicas.

2

1 11 2 12

2

2 22 2 2 2

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 2

( ) ( )( )

ab a a a

e

dI tu t V t I t R L

dt

d t d tJ T t T t b

dt dt

d t d tT t b J

dt dt

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Además de estas ecuaciones se plantean las siguientes

1 2

( ) ( )

( ) ( ) ( )

e a t

e

T t I t K

T t T t T t

(4.4)

(4.5)

1( )( )b t

d tV t K

dt

(4.6)

Realizando la transformada de Laplace (considerando condiciones iniciales nulas, CIN)

de las ecuaciones 4.1, 4.2, 4.3 y 4.6 y reemplazando T2(s) en la ecuación 4.2

transformada, se tienen las siguientes ecuaciones.

1

1

2

2 2 2 2 2

2 2

1 1 2 2 2 2 1 1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )

b t

t a a a a

e

V s K s s

u s K s s I s R L sI s

T s b s s J s s

J s s T s b s s J s s b s s

(4.7)

(4.8)



(4.9)

(4.10)

Los pares T1 y T2 se relacionan por medio de los desplazamientos angulares θ1y θ2 y

por el número de dientes de los engranajes reductores, N1 y N2. Esta relación se

expone a continuación.

1 2 1 21 2

2 1 2 1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

T t t N Ns s

T t t N N

(4.11)

Y transformando por Laplace la 4.4 tenemos

( ) ( )e a tT s I s K (4.12)

Reemplazando las ecuaciones 4.11 y 4.12 en la 4.10, obtenemos la relación entre la

corriente de armadura y el desplazamiento angular de la carga, como se ve en la 4.13

2 22 21 2 2 1

1 1

2

2

1 2 1 2 2 1 1 2

2

1

2

( ) ( )

( ) ( 2 ) ( )

a

t

t

N NJ s b s J s b s

N NI s s

K

J N N J s b N b N ss

K N

(4.13)

Finalmente reemplazando las ecuaciones 4.11 y 4.13 en la 4.8 se encuentra la función

de transferencia entre u(s) y θ2(s)

2

1 2 1 2 2 1 1 222 2

1 1

( ) ( 2 )( ) ( ) ( ) ( )t a a

t

J N N J s b N b N sNu s K s s R L s s

N K N

(4.14)

2

2

1 2 1 2 2 1 1 22

1 1

( ) 1

( ) ( ) ( 2 )( )t a a

t

s

u s J N N J s b N b N sNK s R L s

N K N

(4.15)

En la ecuación 4.15, se multiplica al numerador y al denominador por KtR1 llegando a la

4.16



12

2

2 1 2 1 2 2 1 1 2

( )

( ) ( ) ( ) ( 2 )

t

t t a a

K Ns

u s K K N s R L s J N N J s b N b N s

(4.16)

Despreciando la inductancia La dado que el transitorio en el que actúa el inductor es

pequeño, la función transferencia resulta

12

2

1 2 1 2 2 1 1 2 2

( )

( ) ( ) ( 2 )

t

a a t t

K Ns

u s s R J N N J s R b N b N K K N

(4.17)

Se observa de la ecuación 4.17 que la función transferencia entre la entrada u(s) y la

posición angular θ2(s) es de segundo orden. Además, posee un polo en el origen y un

polo real simple.

b)

Para hallar la función de transferencia entre la tensión de entrada Va(t)=u(t) y la

velocidad angular ω(t)=dθ(t)/dt. Por propiedades de la transformada de Laplace de la

derivada, considerando CIN, se tiene que:

22

( )( )TLd t

s sdt

(4.18)

Por lo que la función transferencia resulta

12

1 2 1 2 2 1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( 2 )

t

a a t t

K Ns s ss

u s u s s s R J N N J R b N b N K K N

(4.19)

1

1 2 1 2 2 1 1 2 2

( )

( ) ( ) ( 2 )

t

a a t t

K Ns

u s s R J N N J R b N b N K K N

(4.20)

En la ecuación 4.20 se observa la función de transferencia final entre u(t) y dθ2(t)/dt,

esta función presenta un único polo real simple.

Comparando con la función de transferencia del punto a, ecuación 4.17 con la obtenida

en la 4.20 vemos que se ha reducido un grado el polinomio del denominador. Por lo

que esta última resulta de menor orden que la primera.



Para realizar un análisis de la estabilidad del sistema, conociendo los valores de las

constantes, se tendrá que recurrir al diagrama de Bode o criterios de estabilidad de

Nyquist

(Resuelto por: Hoff Romina)

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