Facilitador:Ing. Carlos Hernández

Conversión entre los diferentes sistemas y operaciones aritméticas de cada uno de ellos.

Bachiller:Alfaro, Luis C.I 26.070.463

Sección: FV6

Barcelona, Octubre de 2015

República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación Superior

Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”Sede - Barcelona

Ingeniería Electrónica

Sistemas de numeración

• Un sistema de numeración es un conjunto finito de símbolos

y reglas que permiten construir todos los números válidos en el sistema; dichos

números son usados para representar cantidades, así se

tienen los sistemas de numeración:

Sistemas de numeración

Decimal

Binario

hexadecimal

Octal

Pueden representarse como:

.

Formula

P = (M, N)DondeP, es el sistema de numeración considerado (binario, decimal, octal, hexadecimal)M, es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema.N, son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no.

En el caso del sistema decimal son {0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9};

En el binario son {0,1};

En el sistema octal son {0,1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7};

En el hexadecimal son {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

Los actuales sistemas de numeración son netamente posicionales, en los que el valor relativo que representa cada símbolo o cifra depende de su valor absoluto y de la posición que ocupa dicha cifra con respecto a la coma decimal. La coma decimal (,) que separa la parte entera de la parte fraccionaria, en ambientes informáticos, está representada por el punto decimal (.)

Sistema de numeración decimal

El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras diferentes:

cero (0); uno (1); dos (2); tres(3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9).

que, al combinarlos, permiten representar las cantidades imaginadas

Características del sistema de numeración decimal

En un numeral, cada dígito tiene un valor relativo y un valor posicional.

El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10; por ejemplo 528, significa:

5*10^2 + 2*10^1 + 8*10^0.

En un numeral, cada posición es diez veces mayor que la que está inmediatamente a su derecha

En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal

Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía como: 8*10^3 + 2*10^2 + 4*10^1 + 5*10^0 + 9*10^-1 + 7*10^-2

El valor de los dígitos según su posición en un numeral, hasta la centena de millón, aparece en el cuadro siguiente:

9ªPosición

8 ªPosici

ón

7ªPosici

ón

6ªPosici

ón

5ªPosici

ón

4ªPosici

ón

3ªPosici

ón

2ªPosici

ón

1ªPosición

centenasde millón

decenasde

millón

unidadesde

millón

centenas

de mil

decenas

de mil

unidades

de mil

centenas

decenas unidades

CMi DMi UMi CM DM UM C D U

Valor posicional

Ejemplos de sistema de numeración Decimal

Sistema de numeración Hexadecimal

El sistema numérico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado como Hex, no confundir con sistema sexagesimal) es un sistema de numeración que emplea 16 símbolos. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa  valores posibles, y esto puede representarse comoque, según el teorema general de la numeración posicional, equivale al número en base 16 , dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente permiten representar la misma línea de enteros a un byte.

Es un sistema posicional de numeración en el que su base es 16, por tanto, utilizara 16 símbolos para la representación de cantidades. Estos símbolos son: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Es uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de simplificar la escritura de los números binarios, todos los números del sistema se pueden expresar en cuatro bits binarios al ser 16 = 24

Un número en el sistema hexadecimal se divide en cifras con diferente peso: 1, 16, 256, 4096, 65536,.... etc.El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal.Por ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16 en el sistema decimal es:

1A3F16 = 1*16^3 + A*16^2 + 3*16^1 + F*16^0

1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719

1A3F(16) = 6719(10)

Características y ejemplos de conversión

dígito hexadecimal dígito binario 0 0000 1 0001 2 0010

3 0011 4 0100 5 0101

Equivalencia 6 0110 hexadecimal-binario 7 0111

8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111

Hexadecimal Decimal A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 F 15

Como sólo disponemos de diez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) necesitamos ampliar esa cantidad y se hace mediante letras, con la siguiente relación en sistema decima

Tablas de conversión

Ejemplos del sistema de numeración hexadecimal

Sistema de numeración octal

El sistema de numeración octal es un sistema de numeración en base 8, una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal.

Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra, y sumar el resultado.

Para convertir un número en base decimal a base octal se divide por 8 sucesivamente hasta llegar a cociente 0, y los restos de las divisiones en orden inverso indican el número en octal.

Características del sistema de numeración octalLos números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal.

Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 001 010. De modo que el número decimal 74 en octal es 112

Hay que hacer notar que antes de poder pasar un número a octal es necesario pasar por el binario

Una ventaja es que sólo utiliza dígitos y no letras u otro tipo de caracteres. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.

DÍGITO OCTAL DÍGITO BINARIO 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111

Tabla de conversión

Sistema de numeración Binario

1 0 1 0 0 1 1 0 1 1

¦ − ¦ − − ¦ ¦ − ¦ ¦

x o x o o x x o x x

y n y n n y y n y y

Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos binarios), que suelen representar cualquier mecanismo capaz de usar dos estados mutuamente excluyentes. Las siguientes secuencias de símbolos podrían ser interpretadas como el mismo valor numérico binario:

De acuerdo con la representación más habitual, que es usando números arábigos, los números binarios comúnmente son escritos usando los símbolos 0 y 1. Los números

binarios se escriben a menudo con subíndices, prefijos o sufijos para indicar su base. Las notaciones siguientes son equivalentes:

100101 binario (declaración explícita de formato)

100101b (un sufijo que indica formato binario)

1001012 (un subíndice que indica base 2

(binaria) notación)

%100101 (un prefijo que indica formato

binario)

100101B (un sufijo que indica formato binario)

bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)

0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de

programación)

Representación del sistema Binario

Se compone sólo de dos símbolos (0, 1).

El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 2.

El sistema binario también es denominado lenguaje de bajo nivel.

La adyacencia es una característica que consiste en que de una combinación binaria a la siguiente, sólo varía un bit (distancia igual a uno). Esta propiedad es aplicable únicamente a las combinaciones binarias de un código, no al código en sí mismo.

La distancia entre dos combinaciones es el número de bits que cambian de una a otra.

La continuidad es una característica de los códigos binarios que cumplen que todas las posibles combinaciones del código son adyacentes, es decir, que de cualquier combinación del código a la siguiente cambia un sólo bit

Características del sistema de numeración binario

Ejemplos del sistema de numeración binario